Piramida. Krnja piramida
Piramida je poliedar, čija je jedna strana poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočna lica ) (Slika 15). Piramida se zove ispraviti , ako je njezina baza pravilan mnogokut, a vrh piramide projiciran u središte baze (slika 16). Trokutasta piramida kojoj su svi bridovi jednaki naziva se tetraedar .
Bočno rebro piramide je stranica bočne plohe koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravnine baze. Svi bočni bridovi pravilne piramide su međusobno jednaki, sve bočne plohe su jednake jednakokračni trokuti. Visina bočne plohe pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apotema . Dijagonalni presjek naziva se presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.
Bočna površina piramida je zbroj površina svih bočnih strana. Površina puna površina naziva se zbroj površina svih bočnih stranica i baze.
Teoremi
1. Ako su u piramidi svi bočni bridovi podjednako nagnuti prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice opisane blizu baze.
2. Ako u piramidi svi bočni bridovi imaju jednake duljine, tada se vrh piramide projicira u središte kruga opisanog u blizini baze.
3. Ako su sva lica u piramidi jednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice upisane u bazu.
Za izračun obujma proizvoljne piramide ispravna je formula:
Gdje V- volumen;
S baza– osnovna površina;
H– visina piramide.
Za pravilnu piramidu točne su sljedeće formule:
Gdje str– osnovni opseg;
h a– apotema;
H- visina;
S puna
S strana
S baza– osnovna površina;
V– volumen pravilne piramide.
Krnja piramida naziva se dio piramide zatvoren između baze i sječne ravnine paralelne s bazom piramide (slika 17). Pravilna krnja piramida naziva se dio pravilne piramide zatvoren između baze i sjecišta paralelne s bazom piramide.
Razlozi krnja piramida – slični poligoni. Bočna lica – trapezi. Visina krnje piramide je udaljenost između njezinih baza. Dijagonalno krnja piramida je segment koji povezuje njezine vrhove koji ne leže na istoj plohi. Dijagonalni presjek presjek je krnje piramide ravninom koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.
Za krnju piramidu vrijede sljedeće formule:
(4)
Gdje S 1 , S 2 – područja gornje i donje baze;
S puna– ukupna površina;
S strana– površina bočne površine;
H- visina;
V– volumen krnje piramide.
Za pravilnu krnju piramidu točna je formula:
Gdje str 1 , str 2 – obodi baza;
h a– apotem pravilne krnje piramide.
Primjer 1. U pravilnoj trokutastoj piramidi diedralni kut na bazi je 60º. Odredite tangens kuta nagiba bočnog brida na ravninu baze.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 18).
 |
Piramida je ispravna, znači u osnovi jednakostraničan trokut a sve su bočne strane jednaki jednakokračni trokuti. Diedarski kut pri bazi je kut nagiba bočne strane piramide prema ravnini baze. Linearni kut bit će kut a između dvije okomice itd. Vrh piramide je projiciran u središte trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice trokuta ABC). Kut nagiba bočnog ruba (npr S.B.) je kut između samog brida i njegove projekcije na ravninu baze. Za rebro S.B. ovaj kut će biti kut SBD. Da biste pronašli tangentu morate znati krake TAKO I O.B.. Neka duljina segmenta BD jednako 3 A. Točka OKO segment linije BD dijeli se na dijelove: i Od nalazimo TAKO: 
Od nalazimo: 
Odgovor:
Primjer 2. Pronađite volumen ispravnog skraćenog četverokutna piramida, ako su dijagonale njegovih baza jednake cm i cm, a visina mu je 4 cm.
Riješenje. Za pronalaženje volumena krnje piramide koristimo formulu (4). Da biste pronašli područje baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice baza jednake su 2 cm odnosno 8 cm. To znači površine baza i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo volumen krnje piramide:
Odgovor: 112 cm 3.
Primjer 3. Odredite površinu bočne strane pravilne trokutaste krnje piramide čije su stranice baza 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 19).
Bočna strana ove piramide je jednakokračan trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati bazu i visinu. Osnove su date prema stanju, samo visina ostaje nepoznata. Odakle ćemo je pronaći A 1 E okomito od točke A 1 na ravnini donje baze, A 1 D– okomito od A 1 osoba AC. A 1 E= 2 cm, jer je to visina piramide. Pronaći DE Napravimo dodatni crtež koji prikazuje pogled odozgo (slika 20). Točka OKO– projekcija središta gornje i donje baze. budući (vidi sliku 20) i S druge strane u redu– polumjer upisan u krug i 
OM– radijus upisan u krug:
MK = DE.
Prema Pitagorinom teoremu iz
Bočno područje lica: 
Odgovor:
Primjer 4. U osnovi piramide nalazi se jednakokračni trapez čije su osnovice A I b (a> b). Svaka bočna strana tvori kut jednak ravnini baze piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Riješenje. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak zbroju površina i površine trapeza ABCD.
Poslužimo se tvrdnjom da ako su sve stranice piramide jednako nagnute prema ravnini baze, tada se vrh projicira u središte kružnice upisane u bazu. Točka OKO– projekcija vrha S u podnožju piramide. Trokut TRAVNJAK je ortogonalna projekcija trokuta CSD na ravninu baze. Prema teoremu o području ortogonalne projekcije ravna figura dobivamo:
Isto tako znači 
Dakle, problem je smanjen na pronalaženje površine trapeza ABCD. Nacrtajmo trapez ABCD odvojeno (slika 22). Točka OKO– središte kružnice upisane u trapez.
Kako se krug može upisati u trapez, tada ili Iz Pitagorine teoreme imamo
- 22.09.2014
Princip rada. Kada pritisnete tipku prve znamenke koda SA1, okidač DD1.1 će se prebaciti i pojavit će se napon na D ulazu okidača DD1.2 visoka razina. Stoga, kada pritisnete sljedeći SA2 kodni gumb, okidač DD1.2 mijenja svoje stanje i priprema sljedeći okidač za prebacivanje. U slučaju daljnjeg ispravnog biranja, okidač DD2.2 će se aktivirati zadnji, i...
- 03.10.2014
Predloženi uređaj stabilizira napon do 24V i struju do 2A sa zaštitom od kratkog spoja. U slučaju nestabilnog pokretanja stabilizatora, treba koristiti sinkronizaciju iz autonomnog generatora impulsa (Sl. 2. Krug stabilizatora prikazan je na sl. 1. Schmittov okidač sastavljen je na VT1 VT2, koji upravlja snažnim regulacijskim tranzistorom VT3. Detalji: VT3 je opremljen hladnjakom...
- 20.09.2014
Pojačalo (vidi sliku) izrađeno je prema tradicionalnom krugu s cijevima s automatskim prednaprezanjem: izlaz - AL5, drajveri - 6G7, kenotron - AZ1. Dijagram jednog od dva kanala stereo pojačala prikazan je na sl. 1. Od kontrole glasnoće, signal se dovodi u mrežu žarulje 6G7, pojačava se, a od anode ove žarulje kroz izolacijski kondenzator C4 dovodi se do ...
- 15.11.2017
NE555 je univerzalni mjerač vremena - uređaj za formiranje (generiranje) pojedinačnih i ponavljajućih impulsa sa stabilnim vremenskim karakteristikama. To je asinkroni RS triger sa specifičnim ulaznim pragovima, precizno definiranim analognim komparatorima i ugrađenim djeliteljem napona (precizni Schmitt triger s RS trigerom). Koristi se za izradu raznih generatora, modulatora, vremenskih releja, graničnika i dr.
je poliedar koji se sastoji od baze piramide i presjeka paralelnog s njom. Možemo reći da je krnja piramida ona piramida kojoj je vrh odrezan. Ova figura ima mnoga jedinstvena svojstva:
- Bočne strane piramide su trapezi;
- Bočni bridovi pravilne krnje piramide iste su duljine i nagnuti prema bazi pod istim kutom;
- Baze su slični poligoni;
- U pravilnoj krnjoj piramidi lica su identična jednakokračni trapezi, čija je površina jednaka. Oni su također nagnuti prema bazi pod jednim kutom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide je zbroj površina njezinih stranica: 
Budući da su stranice krnje piramide trapezi, za izračun parametara morat ćete koristiti formulu područje trapeza. Za pravilnu krnju piramidu možete primijeniti drugačiju formulu za izračunavanje površine. Budući da su mu sve stranice, lica i kutovi na bazi jednaki, moguće je primijeniti opsege baze i apoteme, te također izvesti površinu kroz kut na bazi.
Ako su prema uvjetima u pravilnoj krnjoj piramidi zadani apotem (visina stranice) i duljine stranica baze, tada se površina može izračunati preko poluproizvoda zbroja opsega piramide. osnove i apotem:
Pogledajmo primjer izračuna bočne površine krnje piramide.
Zadana je pravilna peterokutna piramida. Apotema l= 5 cm, duljina ruba u velikoj bazi je a= 6 cm, a rub je na manjoj bazi b= 4 cm. Izračunaj površinu krnje piramide.
Prvo, pronađimo opsege baza. Budući da nam je dana peterokutna piramida, razumijemo da su baze peterokuti. To znači da baze sadrže lik s pet identičnih stranica. Nađimo opseg veće baze:
Na isti način nalazimo opseg manje baze:
Sada možemo izračunati površinu pravilne krnje piramide. Zamijenite podatke u formulu:
Tako smo izračunali površinu pravilne krnje piramide kroz obod i apotemu.
Drugi način za izračunavanje bočne površine pravilne piramide je formula kroz kutove na bazi i površinu samih baza.
Pogledajmo primjer izračuna. Sjećamo se toga ovu formulu odnosi se samo na pravilnu krnju piramidu.
Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Brid donje baze je a = 6 cm, a brid gornje baze je b = 4 cm. Diedarski kut pri bazi je β = 60°. Odredite površinu bočne površine pravilne krnje piramide.
Prvo, izračunajmo površinu baza. Budući da je piramida pravilna, svi bridovi baza su međusobno jednaki. S obzirom da je baza četverokut, razumijemo da će biti potrebno izračunati površina trga. To je umnožak širine i duljine, ali kada se na kvadrat ove vrijednosti su iste. Nađimo površinu veće baze: 
Sada koristimo pronađene vrijednosti za izračunavanje bočne površine. 
Poznavajući nekoliko jednostavnih formula, lako smo izračunali površinu bočnog trapeza krnje piramide koristeći različite vrijednosti.
Sposobnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je pri rješavanju niza praktičnih problema u geometriji. Jedna od najčešćih figura je piramida. U ovom ćemo članku razmotriti i pune i krnje piramide.
Piramida kao trodimenzionalni lik
Svi znaju za Egipatske piramide, tako da ima dobru ideju o kakvoj figuri ćemo govoriti. Međutim, egipatske kamene strukture samo su poseban slučaj ogromne klase piramida.
Geometrijski objekt koji se razmatra u opći slučaj je poligonalna baza čiji je svaki vrh vezan za određenu točku u prostoru koja ne pripada ravnini baze. Ova definicija rezultira figurom koja se sastoji od jednog n-kuta i n trokuta.
Bilo koja piramida sastoji se od n+1 stranica, 2*n bridova i n+1 vrhova. Budući da je predmetna figura savršeni poliedar, broj označenih elemenata poštuje Eulerovu jednakost:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Poligon koji se nalazi u podnožju daje ime piramide, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida s različitim bazama prikazan je na slici ispod.
Točka u kojoj se sastaje n trokuta figure naziva se vrhom piramide. Ako se okomica spusti s nje na podnožje i siječe je u geometrijskom središtu, tada će se takav lik nazvati ravnom linijom. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada nastaje kosa piramida.
Pravilan lik kojemu bazu čini jednakostranični (ekvikutni) n-kut nazivamo pravilnim.
Formula za volumen piramide
Za izračun volumena piramide koristit ćemo se integralnim računom. Da bismo to učinili, podijelimo lik rezanjem ravnina paralelnih s bazom u beskonačan broj tankih slojeva. Donja slika prikazuje četverokutnu piramidu visine h i stranice duljine L, u kojoj četverokut označava tanki sloj presjeka.
Površina svakog takvog sloja može se izračunati pomoću formule:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Ovdje je A 0 područje baze, z je vrijednost okomite koordinate. Vidi se da ako je z = 0, tada formula daje vrijednost A 0 .
Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, to jest:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Zamjenom ovisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivacije dolazimo do izraza:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Dobili smo formulu za volumen piramide. Da biste pronašli vrijednost V, samo pomnožite visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijelite s tri.
Imajte na umu da je dobiveni izraz valjan za izračunavanje volumena piramide bilo koje vrste. To jest, može biti nagnut, a njegova baza može biti proizvoljan n-kut.
i njegov volumen
Primljeno u paragrafu iznad opća formula jer se volumen može razjasniti u slučaju piramide s ispravnom bazom. Površina takve baze izračunava se prema sljedeću formulu:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Ovdje je L duljina stranice pravilnog mnogokuta s n vrhova. Simbol pi je broj pi.
Zamjenom izraza za A 0 u opću formulu dobivamo volumen pravilne piramide:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Na primjer, za trokutastu piramidu ova formula rezultira sljedećim izrazom:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Za pravilnu četverokutnu piramidu, formula volumena ima oblik:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Određivanje volumena pravilne piramide zahtijeva poznavanje stranice njihove baze i visine figure.
Krnja piramida
Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odrezali joj dio bočne plohe na kojoj se nalazi vrh. Preostala figura naziva se krnja piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih spajaju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira krnja piramida sa sličnim paralelnim bazama. Odnosno, duljine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem duljina druge s određenim koeficijentom k.
Na gornjoj slici prikazan je skraćeni pravilan.Vidi se da mu gornju bazu, kao i donju, čini pravilan šesterokut.
Formula koja se može izvesti korištenjem integralnog računa sličnog gornjem je:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) odnosno gornje (male) baze. Varijabla h označava visinu krnje piramide.
Volumen Keopsove piramide
Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena najveće egipatske piramide u sebi.
Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman ustanovili su točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova izvorna visina bila je 146,50 metara (trenutno oko 137 metara). Prosječna duljina svake od četiri strane strukture bila je 230,363 metra. Baza piramide je kvadratna s visokom preciznošću.
Odredimo pomoću navedenih brojki volumen ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilnog četverokuta, za nju vrijedi formula:
Zamjenom brojeva dobivamo:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.
Zapremina Keopsove piramide je gotovo 2,6 milijuna m3. Usporedbe radi, napominjemo da olimpijski bazen ima volumen od 2,5 tisuća m 3. Odnosno, za popunjavanje cijele Keopsove piramide trebat će vam više od 1000 takvih bazena!
