Pročitajte temu lekcije: “Dijeljenje s ostatkom.” Što već znate o ovoj temi?

Možete li 8 šljiva ravnomjerno rasporediti na dva tanjura (slika 1)?

Riža. 1. Ilustracija za primjer

U svaki tanjur možete staviti 4 šljive (sl. 2).

Riža. 2. Ilustracija za primjer

Radnja koju smo izveli može se napisati ovako.

8: 2 = 4

Mislite li da je moguće 8 šljiva jednako podijeliti na 3 tanjura (slika 3)?

Riža. 3. Ilustracija za primjer

Ponašajmo se ovako. U svaki tanjur prvo stavite po jednu šljivu, a zatim drugu šljivu. Ostat će nam 2 šljive, ali 3 tanjura. To znači da ih ne možemo dalje ravnomjerno rasporediti. U svaki tanjur stavimo po 2 šljive, a ostale su nam 2 šljive (sl. 4).

Riža. 4. Ilustracija za primjer

Nastavimo s promatranjem.

Pročitajte brojke. Među zadanim brojevima pronađi one koji su djeljivi s 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Testirajte se.

Preostali brojevi (11, 13, 14, 16, 17, 19) nisu djeljivi s 3, odnosno kažu "dijeli s ostatkom."

Nađimo vrijednost kvocijenta.

Otkrijmo koliko je puta 3 sadržano u broju 17 (slika 5).

Riža. 5. Ilustracija za primjer

Vidimo da 3 ovala odgovaraju 5 puta i ostaju 2 ovala.

Dovršena radnja se može napisati ovako.

17: 3 = 5 (preostala 2)

Možete ga napisati i u stupac (Sl. 6)

Riža. 6. Ilustracija za primjer

Pogledaj slike. Objasnite naslove ovih slika (slika 7).

Riža. 7. Ilustracija za primjer

Pogledajmo prvu sliku (slika 8).

Riža. 8. Ilustracija za primjer

Vidimo da je 15 ovala podijeljeno u 2. 2 su ponovljena 7 puta, dok je ostatak bio 1 oval.

Pogledajmo drugu sliku (slika 9).

Riža. 9. Ilustracija za primjer

Na ovoj je slici 15 kvadrata podijeljeno na 4. 4 su ponovljena 3 puta, dok su ostatak bila 3 kvadrata.

Pogledajmo treću sliku (slika 10).

Riža. 10. Ilustracija za primjer

Možemo reći da je 15 ovala podijeljeno na 3. 3 su se ponavljala 5 puta jednako. U takvim slučajevima kaže se da je ostatak 0.

Napravimo podjelu.

Sedam kvadrata dijelimo na tri. Dobivamo dvije grupe, a ostaje jedan kvadrat. Zapišimo rješenje (slika 11).

Riža. 11. Ilustracija za primjer

Napravimo podjelu.

Otkrijmo koliko je puta četiri sadržano u broju 10. Vidimo da broj 10 sadrži četiri puta 2 puta i ostaju 2 kvadrata. Zapišimo rješenje (slika 12).

Riža. 12. Ilustracija za primjer

Napravimo podjelu.

Otkrijmo koliko je puta dva sadržano u broju 11. Vidimo da je u broju 11 dva sadržano 5 puta i ostaje 1 kvadratić. Zapišimo rješenje (slika 13).

Riža. 13. Ilustracija za primjer

Izvucimo zaključak. Dijeljenje s ostatkom znači saznati koliko je puta djelitelj sadržan u djelitelju i koliko je jedinica preostalo.

Dijeljenje s ostatkom može se izvesti i na brojevnom pravcu.

Na brojevnoj crti označimo odsječke od 3 podjeljka i vidimo da su tri puta tri podjeljka i ostaje jedan podjeljak (slika 14).

Riža. 14. Ilustracija za primjer

Zapišimo rješenje.

10: 3 = 3 (preostalo 1)

Napravimo podjelu.

Na brojevnoj crti označimo odsječke od 3 podjeljka i vidimo da su tri puta tri podjeljka, a ostaju dva podjeljka (slika 15).

Riža. 15. Ilustracija za primjer

Zapišimo rješenje.

11: 3 = 3 (preostala 2)

Napravimo podjelu.

Na brojevnoj crti označimo segmente od 3 podjeljka i vidimo da smo dobili točno 4 puta, nema ostatka (slika 16).

Riža. 16. Ilustracija za primjer

Zapišimo rješenje.

12: 3 = 4

Danas smo se na satu upoznali s dijeljenjem s ostatkom, naučili kako izvesti navedenu radnju pomoću crteža i brojevnog pravca te uvježbali rješavanje primjera na temu lekcije.

Bibliografija

1. MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
2. MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
3. MI. Moro. Lekcije iz matematike: Smjernice za učitelja. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
4. Regulatorni dokument. Praćenje i vrednovanje ishoda učenja. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
5. "Škola Rusije": Programi za osnovna škola. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
6. SI. Volkova. Matematika: Probni rad. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Domaća zadaća

1. Zapiši brojeve koji su djeljivi s 2 bez ostatka.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Izvršite dijeljenje s ostatkom pomoću slike.

3. Izvršite dijeljenje s ostatkom pomoću brojevne crte.

4. Napravite zadatak za svoje prijatelje na temu lekcije.

U ovom članku ćemo pogledati dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom. Počnimo s opći princip dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom, formulirat ćemo i dokazati teorem o djeljivosti cijelih brojeva s ostatkom, pratiti ćemo veze između djelitelja, djelitelja, nepunog količnika i ostatka. Zatim ćemo navesti pravila po kojima se cijeli brojevi dijele s ostatkom i razmotriti primjenu tih pravila pri rješavanju primjera. Nakon toga ćemo naučiti kako provjeriti rezultat dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.

Navigacija po stranici.

Općenito razumijevanje dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom

Dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom smatrat ćemo generalizacijom dijeljenja s ostatkom prirodnih brojeva. To je zbog činjenice da su prirodni brojevi sastavni dio cijeli brojevi.

Počnimo s pojmovima i oznakama koje se koriste u opisu.

Analogno dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom, pretpostavit ćemo da su rezultat dijeljenja s ostatkom dva cijela broja a i b (b nije jednako nuli) dva cijela broja c i d. Nazivaju se brojevi a i b djeljiv I šestar prema tome, broj d – Podsjetnik od dijeljenja a s b, a zove se cijeli broj c nepotpuno privatno(ili jednostavno privatna, ako je ostatak nula).

Pretpostavimo da je ostatak nenegativan cijeli broj i da njegova vrijednost ne prelazi b, tj. (na slične lance nejednakosti naišli smo kada smo govorili o usporedbi tri ili više cijelih brojeva).

Ako je broj c nepun kvocijent, a broj d ostatak dijeljenja cijelog broja a s cijelim brojem b, tada ćemo tu činjenicu ukratko napisati kao jednakost oblika a:b=c (ostatak d).

Imajte na umu da kod dijeljenja cijelog broja a s cijelim brojem b, ostatak može biti nula. U ovom slučaju kažemo da je a djeljivo s b bez traga(ili potpuno). Dakle, dijeljenje cijelih brojeva bez ostatka je poseban slučaj dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.

Također je vrijedno reći da kada dijelimo nulu s nekim cijelim brojem, uvijek imamo posla s dijeljenjem bez ostatka, budući da će u tom slučaju kvocijent biti jednak nuli (vidi teorijski dio o dijeljenju nule s cijelim brojem), a ostatak također će biti jednaka nuli.

Odlučili smo se o terminologiji i zapisu, sada shvatimo značenje dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.

Dijeljenje negativnog cijelog broja a s pozitivnim cijelim brojem b također može dobiti značenje. Da biste to učinili, smatrajte dug negativnim cijelim brojem. Zamislimo ovu situaciju. Dug koji čini stavke mora vratiti b osoba dajući jednak doprinos. Apsolutna vrijednost nepotpuni kvocijent c u ovom slučaju će odrediti iznos duga svake od tih osoba, a ostatak d će pokazati koliko će stavki ostati nakon otplate duga. Navedimo primjer. Recimo da 2 osobe duguju 7 jabuka. Ako pretpostavimo da svaki od njih duguje 4 jabuke, tada će im nakon plaćanja duga ostati 1 jabuka. Ova situacija odgovara jednakosti (−7):2=−4 (preostalo 1).

Dijeljenje s ostatkom proizvoljnog cijelog broja a s cijelim brojem negativan broj nećemo pridavati nikakvo značenje, ali zadržavamo pravo na postojanje.

Teorem o djeljivosti cijelih brojeva s ostatkom

Kada smo govorili o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom, saznali smo da su dividend a, djelitelj b, parcijalni kvocijent c i ostatak d povezani jednakošću a=b·c+d. Cijeli brojevi a, b, c i d imaju isti odnos. Ova veza je potvrđena na sljedeći način teorem o djeljivosti s ostatkom.

Teorema.

Svaki cijeli broj a može se predstaviti jedini način kroz cijeli broj b različit od nule u obliku a=b·q+r, gdje su q i r neki cijeli brojevi, i .

Dokaz.

Prvo ćemo dokazati mogućnost predstavljanja a=b·q+r.

Ako su cijeli brojevi a i b takvi da je a djeljiv s b, tada po definiciji postoji cijeli broj q takav da je a=b·q. U ovom slučaju vrijedi jednakost a=b·q+r pri r=0.

Sada ćemo pretpostaviti da je b pozitivan cijeli broj. Izaberimo cijeli broj q tako da umnožak b·q ne prelazi broj a, a da je umnožak b·(q+1) već veći od a. To jest, uzimamo q tako da su nejednakosti b q

Preostaje dokazati mogućnost predstavljanja a=b·q+r za negativno b .

Budući da je modul broja b u ovom slučaju pozitivan broj, tada za postoji reprezentacija gdje je q 1 neki cijeli broj, a r je cijeli broj koji zadovoljava uvjete. Zatim, uzimajući q=−q 1, dobivamo reprezentaciju koja nam je potrebna a=b·q+r za negativno b.

Prijeđimo na dokaz jedinstvenosti.

Pretpostavimo da uz reprezentaciju a=b·q+r, q i r cijeli brojevi i , postoji još jedna reprezentacija a=b·q 1 +r 1, gdje su q 1 i r 1 neki cijeli brojevi, a q 1 ≠ q i .

Nakon oduzimanja lijeve i desne strane druge jednakosti od lijeve i desne strane prve jednakosti, dobivamo 0=b·(q−q 1)+r−r 1, što je ekvivalentno jednakosti r− r 1 =b·(q 1 −q) . Zatim jednakost oblika , a zbog svojstava modula brojeva, jednakost .

Iz uvjeta možemo zaključiti da. Budući da su q i q 1 cijeli brojevi i q≠q 1, zaključujemo da . Iz dobivenih nejednakosti i slijedi da jednakost oblika nemoguće pod našom pretpostavkom. Stoga ne postoji drugi prikaz broja a osim a=b·q+r.

Odnosi između dividende, djelitelja, djelomičnog količnika i ostatka

Jednakost a=b·c+d omogućuje pronalaženje nepoznatog djelitelja a ako su poznati djelitelj b, djelomični kvocijent c i ostatak d. Pogledajmo primjer.

Primjer.

Kolika je vrijednost dividende ako je, kada se podijeli s cijelim brojem −21, rezultat nepotpun kvocijent 5 i ostatak 12?

Riješenje.

Trebamo izračunati dividendu a kada su poznati djelitelj b=−21, parcijalni kvocijent c=5 i ostatak d=12. Prelazeći na jednakost a=b·c+d, dobivamo a=(−21)·5+12. Promatrajući, prvo množimo cijele brojeve −21 i 5 prema pravilu za množenje cijelih brojeva s različitim predznacima, nakon čega izvodimo zbrajanje cijelih brojeva s različitim predznacima: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Odgovor:

−93 .

Veze između djelitelja, djelitelja, parcijalnog količnika i ostatka također su izražene jednakostima oblika b=(a−d):c, c=(a−d):b i d=a−b·c. Ove jednakosti vam omogućuju da izračunate djelitelj, djelomični kvocijent i ostatak. Često ćemo morati pronaći ostatak pri dijeljenju cijelog broja a s cijelim brojem b kada su poznati dividenda, djelitelj i parcijalni kvocijent, koristeći formulu d=a−b·c. Kako bismo izbjegli daljnja pitanja, pogledajmo primjer izračuna ostatka.

Primjer.

Nađite ostatak pri dijeljenju cijelog broja −19 s cijelim brojem 3 ako znate da je parcijalni kvocijent jednak −7.

Riješenje.

Za izračunavanje ostatka dijeljenja koristimo formulu oblika d=a−b·c. Iz uvjeta imamo sve potrebne podatke a=−19, b=3, c=−7. Dobivamo d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (izračunali smo razliku −19−(−21) pomoću pravila oduzimanje negativnog cijelog broja).

Odgovor:

Dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva, primjeri

Kao što smo već više puta primijetili, pozitivni cijeli brojevi su prirodni brojevi. Dakle, dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva provodi se prema svim pravilima za dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva. Vrlo je važno moći lako izvoditi dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva, budući da je to temelj dijeljenja ne samo pozitivnih cijelih brojeva, već i osnova svih pravila dijeljenja s ostatkom proizvoljnih cijelih brojeva.

S našeg gledišta, najprikladnije je izvršiti dijeljenje stupaca; ova metoda vam omogućuje da dobijete i nepotpuni kvocijent (ili jednostavno kvocijent) i ostatak. Pogledajmo primjer dijeljenja s ostatkom cijelih pozitivnih brojeva.

Primjer.

Podijelite s ostatkom 14 671 na 54.

Riješenje.

Podijelimo ove pozitivne cijele brojeve stupcem:

Ispostavilo se da je djelomični kvocijent jednak 271, a ostatak je jednak 37.

Odgovor:

14 671:54=271 (ostatak. 37) .

Pravilo dijeljenja s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem, primjeri

Formulirajmo pravilo koje nam omogućuje da izvedemo dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja s negativnim cijelim brojem.

Djelomični kvocijent dijeljenja pozitivnog cijelog broja a s negativnim cijelim brojem b je suprotan djelomičnom kvocijentu dijeljenja a s modulom b, a ostatak dijeljenja a s b jednak je ostatku dijeljenja s.

Iz ovog pravila slijedi da je djelomični kvocijent dijeljenja pozitivnog cijelog broja s negativnim cijelim brojem nepozitivan cijeli broj.

Pretvorimo navedeno pravilo u algoritam za dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem:

• Modul dividende dijelimo s modulom djelitelja, dobivamo parcijalni kvocijent i ostatak. (Ako je ostatak jednak nuli, tada se izvorni brojevi dijele bez ostatka, a prema pravilu za dijeljenje cijelih brojeva suprotnih predznaka, traženi kvocijent jednak je broju suprotnom od kvocijenta iz dijeljenja modula. )
• Zapisujemo broj nasuprot dobivenom nepunom kvocijentu i ostatku. Ovi brojevi su, redom, traženi kvocijent i ostatak dijeljenja izvornog pozitivnog cijelog broja s negativnim cijelim brojem.

Navedimo primjer korištenja algoritma za dijeljenje pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem.

Primjer.

Podijelite s ostatkom pozitivnog cijelog broja 17 s negativnim cijelim brojem −5.

Riješenje.

Upotrijebimo algoritam za dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem.

Dijeljenjem

Suprotan broj od 3 je −3. Dakle, traženi parcijalni kvocijent dijeljenja 17 s −5 je −3, a ostatak je 2.

Odgovor:

17 :(−5)=−3 (preostala 2).

Primjer.

Podijeliti 45 puta −15.

Riješenje.

Moduli dividende i djelitelja su 45, odnosno 15. Broj 45 je djeljiv sa 15 bez ostatka, a količnik je 3. Dakle, cijeli pozitivni broj 45 dijelimo s cijelim negativnim brojem −15 bez ostatka, a kvocijent je jednak broju nasuprot 3, odnosno −3. Doista, prema pravilu za dijeljenje cijelih brojeva s različitim predznacima, imamo .

Odgovor:

45:(−15)=−3 .

Dijeljenje s ostatkom negativnog cijelog broja pozitivnim cijelim brojem, primjeri

Navedimo formulaciju pravila za dijeljenje s ostatkom negativnog cijelog broja s pozitivnim cijelim brojem.

Da biste dobili nepotpuni kvocijent c dijeljenjem negativnog cijelog broja a s pozitivnim cijelim brojem b, trebate uzeti broj nasuprot nepotpunom kvocijentu dijeljenjem modula izvornih brojeva i od njega oduzeti jedan, nakon čega se izračunava ostatak d pomoću formule d=a−b·c.

Iz ovog pravila dijeljenja s ostatkom slijedi da je parcijalni kvocijent dijeljenja negativnog cijelog broja s pozitivnim cijelim brojem negativan cijeli broj.

Iz navedenog pravila slijedi algoritam za dijeljenje s ostatkom prirodnog negativnog broja a s prirodnim brojem b:

• Određivanje modula dividende i djelitelja.
• Modul dividende dijelimo s modulom djelitelja, dobivamo parcijalni kvocijent i ostatak. (Ako je ostatak nula, tada se izvorni cijeli brojevi dijele bez ostatka, a traženi kvocijent je jednak broju suprotnom od kvocijenta dijeljenja modula.)
• Zapišemo broj nasuprot dobivenom nepunom kvocijentu i od njega oduzmemo broj 1. Izračunati broj je željeni djelomični kvocijent c dijeljenja izvornog negativnog cijelog broja s pozitivnim cijelim brojem.

Analizirajmo rješenje primjera u kojem koristimo napisani algoritam dijeljenja s ostatkom.

Primjer.

Nađite djelomični kvocijent i ostatak pri dijeljenju negativnog cijelog broja −17 s pozitivnim cijelim brojem 5.

Riješenje.

Modul djelitelja −17 jednak je 17, a modul djelitelja 5 jednak je 5.

Dijeljenjem 17 sa 5, dobivamo djelomični kvocijent 3 i ostatak 2.

Suprotno od 3 je −3. Oduzmite jedan od −3: −3−1=−4. Dakle, traženi parcijalni kvocijent je jednak −4.

Ostaje samo izračunati ostatak. U našem primjeru a=−17 , b=5 , c=−4 , tada d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Dakle, parcijalni kvocijent dijeljenja negativnog cijelog broja −17 s pozitivnim cijelim brojem 5 je −4, a ostatak je 3.

Odgovor:

(−17):5=−4 (preostala 3) .

Primjer.

Podijelite negativan cijeli broj −1,404 s pozitivnim cijelim brojem 26.

Riješenje.

Modul dividende je 1404, modul djelitelja je 26.

Podijelite 1404 sa 26 pomoću stupca:

Kako se modul djelitelja dijeli s modulom djelitelja bez ostatka, izvorni cijeli brojevi se dijele bez ostatka, a željeni kvocijent jednak je broju nasuprot 54, odnosno −54.

Odgovor:

(−1 404):26=−54 .

Pravilo dijeljenja s ostatkom za cijele negativne brojeve, primjeri

Formulirajmo pravilo dijeljenja s ostatkom cijelih negativnih brojeva.

Da biste dobili nepotpuni kvocijent c dijeljenjem negativnog cijelog broja a s negativnim cijelim brojem b, morate izračunati nepotpuni kvocijent dijeljenjem modula izvornih brojeva i dodati mu jedan, nakon čega se ostatak d izračunava pomoću formule d =a−b·c.

Iz ovog pravila slijedi da je parcijalni kvocijent dijeljenja negativnih cijelih brojeva pozitivan cijeli broj.

Prepišimo navedeno pravilo u obliku algoritma za dijeljenje cijelih negativnih brojeva:

• Određivanje modula dividende i djelitelja.
• Modul dividende dijelimo s modulom djelitelja, dobivamo parcijalni kvocijent i ostatak. (Ako je ostatak nula, tada se izvorni cijeli brojevi dijele bez ostatka, a traženi kvocijent jednak je kvocijentu modula djelitelja podijeljenog s modulom djelitelja.)
• Dobivenom nepotpunom kvocijentu dodajemo jedan; ovaj broj je željeni nepotpuni kvocijent od dijeljenja izvornih negativnih cijelih brojeva.
• Ostatak računamo pomoću formule d=a−b·c.

Razmotrimo korištenje algoritma za dijeljenje cijelih negativnih brojeva pri rješavanju primjera.

Primjer.

Nađite djelomični kvocijent i ostatak pri dijeljenju negativnog cijelog broja −17 s negativnim cijelim brojem −5.

Riješenje.

Upotrijebimo odgovarajući algoritam dijeljenja s ostatkom.

Modul djelitelja je 17, modul djelitelja je 5.

Podjela 17 kroz 5 daje djelomični kvocijent 3 i ostatak 2.

Nepunom količniku 3 dodajemo jedan: 3+1=4. Stoga je traženi parcijalni kvocijent dijeljenja −17 s −5 jednak 4.

Ostaje samo izračunati ostatak. U ovom primjeru a=−17 , b=−5 , c=4 , tada d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Dakle, djelomični kvocijent dijeljenja negativnog cijelog broja −17 s negativnim cijelim brojem −5 je 4, a ostatak je 3.

Odgovor:

(−17):(−5)=4 (preostala 3) .

Provjera rezultata dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom

Nakon dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom korisno je provjeriti rezultat. Provjera se provodi u dvije faze. U prvoj fazi provjerava se je li ostatak d nenegativan broj, te se provjerava je li uvjet zadovoljen. Ako su ispunjeni svi uvjeti prve faze provjere, tada možete prijeći na drugu fazu provjere, inače se može tvrditi da je negdje napravljena pogreška prilikom dijeljenja s ostatkom. U drugoj fazi provjerava se valjanost jednakosti a=b·c+d. Ako je ta jednakost točna, tada je dijeljenje s ostatkom ispravno izvedeno, inače je negdje napravljena pogreška.

Pogledajmo rješenja primjera u kojima se provjerava rezultat dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.

Primjer.

Pri dijeljenju broja −521 s −12 djelomični kvocijent je bio 44, a ostatak 7, provjerite rezultat.

Riješenje. −2 za b=−3, c=7, d=1. Imamo b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Dakle, jednakost a=b·c+d nije točna (u našem primjeru a=−19).

Zbog toga je dijeljenje s ostatkom izvršeno netočno.

Dijeljenje s ostatkom- ovo je dijeljenje jednog broja s drugim, u kojem ostatak nije jednak nuli.

Dijeljenje nije uvijek moguće, jer postoje slučajevi kada jedan broj nije djeljiv s drugim. Na primjer, broj 11 nije djeljiv s 3, jer ne postoji prirodni broj koji bi pomnožen s 3 dao 11.

Kad se dioba ne može provesti, dogovorili smo se da se ne dijeli cijela dividenda, nego samo onaj njezin najveći dio koji se može podijeliti djeliteljem. U ovom primjeru najveći dio dividende koji se može podijeliti s 3 je 9 (rezultat je 3), preostali manji dio dividende - 2 neće se dijeliti s 3.

Kada govorimo o dijeljenju 11 sa 3, 11 se još uvijek zove dividenda, 3 je djelitelj, rezultat dijeljenja je broj 3, tzv. nepotpuno privatno, a broj 2 je ostatak diobe. Samo dijeljenje u ovom slučaju naziva se dijeljenje s ostatkom.

Nepotpuni kvocijent je najveći broj koji, kada se pomnoži djeliteljem, daje umnožak koji nije veći od dividende. Razlika između dividende i ovog proizvoda naziva se ostatak. Ostatak je uvijek manji od djelitelja, inače bi se mogao podijeliti i djeliteljem.

Dijeljenje s ostatkom može se napisati na sljedeći način:

11:3 = 3 (ostatak 2)

Ako je pri dijeljenju jednog prirodnog broja drugim prirodnim brojem ostatak 0, kaže se da je prvi broj djeljiv s drugim cijelim brojem. Na primjer, 4 je djeljivo s 2. Broj 5 nije djeljiv sa 2. Riječ se obično sasvim izostavlja radi kratkoće i kaže: takav i takav broj je djeljiv s drugim, na primjer: 4 je djeljivo s 2, ali 5 nije djeljivo s 2.

Provjera dijeljenja s ostatkom

Rezultat dijeljenja s ostatkom možete provjeriti na sljedeći način: nepuni kvocijent pomnožite s djeliteljem (ili obrnuto) i dobivenom umnošku dodajte ostatak. Ako je rezultat broj jednak dividendi, tada je dijeljenje s ostatkom učinjeno ispravno:

11:3 = 3 (ostatak 2)

U ovom ćemo članku pobliže pogledati dijeljenje s ostatkom. Počnimo s općom idejom ove akcije, a zatim saznajte značenje dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom, te uvesti potrebne pojmove. Zatim ćemo iznijeti niz zadataka koji se rješavaju dijeljenjem prirodnih brojeva s ostatkom. Zaključno ćemo se zadržati na svim vrstama veza između dividende, djelitelja, nepotpunog količnika i ostatka dijeljenja.

Navigacija po stranici.

Odgovor:

Dividenda je 79.

Također treba napomenuti da se provjera rezultata dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom provodi provjerom valjanosti dobivene jednakosti a=b·c+d.

Pronalaženje ostatka ako su poznati dividenda, djelitelj i parcijalni količnik

U svom značenju, ostatak d je broj elemenata koji ostaju u izvornom skupu nakon isključivanja b puta c elemenata iz njegovih a elemenata. Dakle, zbog značenja množenja prirodnih brojeva i značenja oduzimanja prirodnih brojeva, jednakost je istinita d=a−b·c. Tako, ostatak d od dijeljenja prirodnog broja a prirodnim brojem b jednak je razlici djelitelja a i umnoška djelitelja b s parcijalnim količnikom c..

Rezultirajuća relacija d=a−b·c omogućuje vam da pronađete ostatak kada su poznati dividenda, djelitelj i nepotpuni kvocijent. Pogledajmo primjer rješenja.

Krenut ćemo od opće ideje dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom, au ovom članku ćemo razumjeti principe po kojima se ta radnja provodi. Uopće dijeljenje s ostatkom ima mnogo zajedničkog s dijeljenjem prirodnih brojeva bez ostatka, pa ćemo se često pozivati ​​na gradivo u ovom članku.

Prvo, pogledajmo dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom. Zatim ćemo pokazati kako možete pronaći rezultat dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom izvođenjem sekvencijalnog oduzimanja. Nakon toga prijeći ćemo na metodu odabira nepotpunog kvocijenta, ne zaboravljajući dati primjere s detaljnim opisom rješenja. Zatim ćemo napisati algoritam koji nam omogućuje dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom u općem slučaju. Na kraju članka pokazat ćemo kako provjeriti rezultat dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom.

Navigacija po stranici.

Dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom

Jedan od najprikladnijih načina dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom je dijeljenje na duge. U članku Dijeljenje prirodnih brojeva stupcima detaljno smo obradili ovu metodu dijeljenja. Ovdje se nećemo ponavljati, već jednostavno dati rješenje jednog primjera.

Primjer.

Podijeli s ostatkom prirodnog broja 273 844 prirodnim brojem 97.

Riješenje.

Napravimo podjelu po stupcima:

Dakle, djelomični kvocijent od 273,844 podijeljen sa 97 je 2,823, a ostatak je 13.

Odgovor:

273,844:97=2,823 (ostatak 13) .

Dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom uzastopnim oduzimanjem

Djelomični kvocijent i ostatak možete pronaći pri dijeljenju prirodnih brojeva uzastopnim oduzimanjem djelitelja.

Suština ovog pristupa je jednostavna: od elemenata postojećeg skupa sekvencijalno se formiraju skupovi sa potrebnim brojem elemenata sve dok to nije moguće, broj rezultirajućih skupova daje nepotpuni kvocijent, a broj preostalih elemenata u originalnom skupu je ostatak dijeljenja.

Navedimo primjer.

Primjer.

Recimo da trebamo podijeliti 7 sa 3.

Riješenje.

Zamislimo da trebamo staviti 7 jabuka u vrećice od 3 jabuke. Od prvobitnog broja jabuka uzmemo 3 komada i stavimo ih u prvu vrećicu. U ovom slučaju, zbog značenja oduzimanja prirodnih brojeva, ostaje nam 7−3=4 jabuke. Opet ih uzmemo 3 i stavimo u drugu vrećicu. Nakon toga ostaje nam 4−3=1 jabuka. Jasno je da tu proces završava (ne možemo formirati drugo pakiranje sa potrebnim brojem jabuka, jer je preostali broj jabuka 1 manji od količine 3 koja nam je potrebna). Kao rezultat imamo dvije vreće s potrebnim brojem jabuka i jednu jabuku.

Tada, zbog značenja dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom, možemo reći da smo dobili sljedeći rezultat 7:3=2 (ost. 1).

Odgovor:

7:3=2 (odmor. 1) .

Razmotrimo rješenje drugog primjera, a mi ćemo dati samo matematičke izračune.

Primjer.

Prirodni broj 145 podijelite s 46 uzastopnim oduzimanjem.

Riješenje.

145−46=99 (po potrebi pogledati članak oduzimanje prirodnih brojeva). Kako je 99 veće od 46, oduzimamo djelitelj drugi put: 99−46=53. Budući da je 53>46, oduzimamo djelitelj treći put: 53−46=7. Kako je 7 manje od 46, nećemo moći ponovno izvršiti oduzimanje, odnosno time završava proces sekvencijalnog oduzimanja.

Kao rezultat, trebali smo sukcesivno oduzeti djelitelj 46 od dividende 145 3 puta, nakon čega smo dobili ostatak 7. Dakle, 145:46=3 (preostalo 7).

Odgovor:

145:46=3 (preostalih 7) .

Treba napomenuti da ako je dividenda manja od djelitelja, tada nećemo moći izvršiti sekvencijalno oduzimanje. Da, to nije potrebno, jer u ovom slučaju možemo odmah napisati odgovor. U tom slučaju parcijalni kvocijent je jednak nuli, a ostatak je jednak dividendi. Odnosno, ako a

Također treba reći da je dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom razmatranom metodom dobro samo kada je za dobivanje rezultata potreban mali broj uzastopnih oduzimanja.

Izbor nepotpunog kvocijenta

Pri dijeljenju zadanih prirodnih brojeva a i b s ostatkom može se pronaći parcijalni kvocijent c. Sada ćemo pokazati na čemu se temelji proces selekcije i kako bi se trebao odvijati.

Najprije odlučimo među kojim brojevima ćemo tražiti nepotpuni kvocijent. Kada smo govorili o značenju dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom, saznali smo da nepotpun kvocijent može biti ili nula ili prirodan broj, odnosno jedan od brojeva 0, 1, 2, 3, ... Dakle, traženi nepotpuni kvocijent je jedan od napisanih brojeva, a mi samo moramo proći kroz njih kako bismo utvrdili koji je broj parcijalni kvocijent.

Zatim će nam trebati jednadžba oblika d=a−b·c, koja specificira , kao i činjenicu da je ostatak uvijek manji od djelitelja (ovo smo također spomenuli kada smo govorili o značenju dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom).

Sada možemo izravno prijeći na opis postupka odabira nepotpunog kvocijenta. Dividend a i djelitelj b su nam u početku poznati, kao nepotpuni kvocijent c redom uzimamo brojeve 0, 1, 2, 3, ..., svaki put računajući vrijednost d=a−b·c i uspoređujući je s djeliteljem. Ovaj proces završava čim je dobivena vrijednost manja od djelitelja. U ovom slučaju, broj c u ovom koraku je željeni nepotpuni kvocijent, a vrijednost d=a−b·c je ostatak dijeljenja.

Ostaje analizirati postupak izbora nepotpunog kvocijenta na primjeru.

Primjer.

Podijeli s ostatkom prirodnog broja 267 s 21.

Riješenje.

Odaberimo nepotpuni kvocijent. U našem primjeru, a=267, b=21. Sukcesivno ćemo dodijeliti c vrijednosti 0, 1, 2, 3, ..., računajući u svakom koraku vrijednost d=a−b·c i uspoređujući je s djeliteljem 21.

Na c=0 imamo d=a−b·c=267−21·0=267−0=267(prvo se radi množenje prirodnih brojeva, a zatim oduzimanje, to piše u članku). Dobiveni broj je veći od 21 (ako je potrebno, proučite materijal u članku koji uspoređuje prirodne brojeve). Stoga nastavljamo proces selekcije.

Na c=1 imamo d=a−b·c=267−21·1=267−21=246. Od 246>21, nastavljamo proces.

Na c=2 dobivamo d=a−b·c=267−21·2=267−42=225. Od 225>21, idemo dalje.

Na c=3 imamo d=a−b·c=267−21·3=267−63=204. Od 204>21, nastavljamo odabir.

Na c=12 dobivamo d=a−b·c=267−21·12=267−252=15. Dobili smo broj 15, što je manje od 21, tako da se proces može smatrati završenim. Odabrali smo nepotpuni kvocijent c=12, s ostatkom d jednakim 15.

Odgovor:

267:21=12 (ostatak 15) .

Algoritam dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom, primjeri, rješenja

U ovom odjeljku razmotrit ćemo algoritam koji omogućuje dijeljenje s ostatkom prirodnog broja a s prirodnim brojem b u slučajevima kada metoda sekvencijalnog oduzimanja (i metoda odabira nepotpunog kvocijenta) zahtijeva previše računskih operacija.

Odmah primijetimo da ako je dividenda a manja od djelitelja b, tada znamo i djelomični kvocijent i ostatak: za a b.

Prije nego što detaljno opišemo sve korake algoritma dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom, odgovorit ćemo na tri pitanja: što inicijalno znamo, što trebamo pronaći i na temelju čega ćemo to učiniti? U početku znamo djelitelj a i djelitelj b. Moramo pronaći parcijalni kvocijent c i ostatak d. Jednakost a=b·c+d definira odnos između dividende, djelitelja, parcijalnog količnika i ostatka. Iz napisane jednakosti proizlazi da ako dividendu a predstavimo kao zbroj b·c+d, u kojem je d manji od b (jer je ostatak uvijek manji od djelitelja), tada ćemo vidjeti i nepotpun kvocijent c a ostatak d.

Sve što preostaje je otkriti kako prikazati dividendu a kao zbroj b·c+d. Algoritam za to je vrlo sličan algoritmu za dijeljenje prirodnih brojeva bez ostatka. Opisat ćemo sve korake, a ujedno ćemo i riješiti primjer radi veće jasnoće. Podijelite 899 sa 47.

Prvih pet točaka algoritma omogućit će vam da dividendu predstavite kao zbroj nekoliko članova. Treba napomenuti da se radnje iz ovih točaka ponavljaju ciklički iznova i iznova dok se ne pronađu svi članovi koji zbrajaju dividendu. U zadnjoj šestoj točki dobiveni zbroj se pretvara u oblik b·c+d (ako dobiveni zbroj više nema ovaj oblik), odakle postaju vidljivi traženi nepotpuni kvocijent i ostatak.

Dakle, počnimo predstavljati dividendu 899 kao zbroj nekoliko članova.

Prvo izračunamo koliko je više znamenki u djelitelju veći od broja znamenki u djelitelju i zapamtimo taj broj.

U našem primjeru dividenda ima 3 znamenke (899 je troznamenkasti broj), a djelitelj dvije znamenke (47 je dvoznamenkasti broj), dakle dividenda ima jednu znamenku više, a zapamtimo broj 1 .

Sada u unosu djelitelja s desne strane zbrajamo brojeve 0 u iznosu određenom brojem dobivenim u prethodnom paragrafu. Štoviše, ako je napisani broj veći od dividende, tada trebate oduzeti 1 od broja zapamćenog u prethodnom odlomku.

Vratimo se našem primjeru. U zapisu djelitelja 47 dodamo jednu znamenku 0 s desne strane i dobijemo broj 470. Od 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Nakon toga, broju 1 s desne strane pridružujemo brojeve 0 u iznosu određenom brojem memoriranim u prethodnom odlomku. U ovom slučaju dobivamo jedinicu znamenke s kojom ćemo dalje raditi.

U našem primjeru broju 1 pridružujemo 1 znamenku 0 i dobivamo broj 10, odnosno radit ćemo s mjestom desetica.

Sada sukcesivno množimo djelitelj s 1, 2, 3, ... jedinicama radne znamenke dok ne dobijemo broj veći ili jednak djelitelju.

Saznali smo da je u našem primjeru radna znamenka desetica. Dakle, prvo pomnožimo djelitelj s jednom jedinicom na mjestu desetica, odnosno pomnožimo 47 s 10 i dobijemo 47 10 = 470. Dobiveni broj 470 manji je od dividende 899, pa nastavljamo s množenjem djelitelja s dvije jedinice na mjestu desetica, odnosno množimo 47 s 20. Imamo 47·20=940. Dobili smo broj veći od 899.

Broj dobiven u pretposljednjem koraku tijekom sekvencijalnog množenja je prvi od traženih članova.

U primjeru koji analiziramo traženi član je broj 470 (taj broj je jednak umnošku 47·100, ovu jednakost ćemo koristiti kasnije).

Nakon toga nalazimo razliku između dividende i prvog pronađenog člana. Ako je dobiveni broj veći od djelitelja, nastavljamo s traženjem drugog člana. Da bismo to učinili, ponavljamo sve opisane korake algoritma, ali sada ovdje dobiveni broj uzimamo kao dividendu. Ako u ovoj točki ponovno dobijemo broj veći od djelitelja, tada nastavljamo s traženjem trećeg člana, još jednom ponavljajući korake algoritma, uzimajući dobiveni broj kao dividendu. I tako nastavljamo dalje, pronalazeći četvrti, peti i sljedeće članove sve dok broj dobiven u ovoj točki ne bude manji od djelitelja. Čim se to dogodi, ovdje dobiveni broj uzimamo kao zadnji izraz koji tražimo (gledajući unaprijed, recimo da je jednak ostatku) i prelazimo na završnu fazu.

Vratimo se našem primjeru. U ovom koraku imamo 899−470=429. Budući da je 429>47, ovaj broj uzimamo kao dividendu i s njim ponavljamo sve korake algoritma.

Broj 429 ima jednu znamenku više od broja 47, pa zapamtite broj 1.

Sada u oznaku dividende s desne strane dodamo jednu znamenku 0, dobijemo broj 470, koji je veći od broja 429. Dakle, od broja 1 koji smo zapamtili u prethodnom odlomku, oduzimamo 1, dobivamo broj 0, koji smo zapamtili.

Budući da smo se u prethodnom odlomku sjetili broja 0, tada broju 1 ne treba dodijeliti niti jednu znamenku 0 s desne strane. U ovom slučaju imamo broj 1, odnosno radna znamenka je znamenka jedinica.

Sada uzastopno množimo djelitelj 47 s 1, 2, 3, ... Nećemo se detaljnije zadržavati na ovome. Recimo samo da je 47·9=423<429 , а 47·10=470>429. Drugi član koji tražimo je broj 423 (koji je jednak 47 9, koji ćemo dalje koristiti).

Razlika između 429 i 423 je 6. Ovaj broj je manji od djelitelja 47, pa je to treći (i posljednji) član koji tražimo. Sada možemo prijeći na završnu fazu.

Eto, došli smo do završne faze. Sve dosadašnje radnje bile su usmjerene na to da se dividenda prikaže kao zbroj više pojmova. Sada preostaje dobiveni zbroj pretvoriti u oblik b·c+d. Svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje pomoći će nam da se nosimo s ovim zadatkom. Nakon toga postat će vidljivi traženi nepotpuni kvocijent i ostatak.

U našem primjeru, dividenda 899 jednaka je zbroju tri člana 470, 423 i 6. Zbroj 470+423+6 može se prepisati kao 47·10+47·9+6 (sjetimo se, obratili smo pozornost na jednakosti 470=47·10 i 423=47·9). Sada primijenimo svojstvo množenja prirodnog broja zbrojem i dobijemo 47·10+47·9+6= 47·(10+9)+6= 47·19+6. Dakle, dividenda se transformira u oblik koji nam treba 899=47·19+6, iz kojeg se lako mogu pronaći nepotpuni kvocijent 19 i ostatak 6.

Dakle, 899:47=19 (ostatak 6).

Naravno, prilikom rješavanja primjera nećete tako detaljno opisati postupak dijeljenja s ostatkom.