Problem 1. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Odredi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžbe stranica AB i BC i njihovih kutnih koeficijenata; 3) kut B u radijanima s točnošću od dvije znamenke; 4) jednadžba visine CD i njezine duljine; 5) jednadžbu središnje AE i koordinate točke K sjecišta ove središnje s visinom CD; 6) jednadžba pravca koji prolazi točkom K paralelno sa stranicom AB; 7) koordinate točke M, smještene simetrično na točku A u odnosu na ravnu liniju CD.

Riješenje:

1. Udaljenost d između točaka A(x 1 ,y 1) i B(x 2 ,y 2) određena je formulom

Primjenom (1) nalazimo duljinu stranice AB:

2. Jednadžba pravca koji prolazi kroz točke A(x 1 ,y 1) i B(x 2 ,y 2) ima oblik

(2)

Zamjenom koordinata točaka A i B u (2) dobivamo jednadžbu stranice AB:

Nakon što smo riješili posljednju jednadžbu za y, nalazimo jednadžbu stranice AB u obliku jednadžbe ravne linije s kutnim koeficijentom:

gdje

Zamjenom koordinata točaka B i C u (2) dobivamo jednadžbu pravca BC:

Ili

3. Poznato je da se tangens kuta između dviju ravnih linija, čiji su kutni koeficijenti jednaki, izračunava po formuli

(3)

Traženi kut B tvore prave linije AB i BC, čiji kutni koeficijenti se nalaze: Primjenom (3) dobivamo

Ili drago.

4. Jednadžba pravca koji prolazi ovu točku u određenom smjeru, ima oblik

(4)

Visina CD okomita je na stranicu AB. Da bismo pronašli nagib visine CD, koristimo uvjet okomitosti pravaca. Od tad Zamjenjujući u (4) koordinate točke C i pronađeni kutni koeficijent visine, dobivamo

Da bismo pronašli duljinu visine CD, najprije odredimo koordinate točke D - sjecišta pravaca AB i CD. Zajedničko rješavanje sustava:

pronašli smo oni. D(8;0).

Pomoću formule (1) nalazimo duljinu visine CD:

5. Da bismo pronašli jednadžbu medijane AE, najprije odredimo koordinate točke E, koja je sredina stranice BC, koristeći formule za dijeljenje segmenta na dva jednaka dijela:

(5)

Stoga,

Zamjenom koordinata točaka A i E u (2) nalazimo jednadžbu za medijan:

Da bismo pronašli koordinate točke presjeka visine CD i medijane AE, zajedno rješavamo sustav jednadžbi

Pronašli smo.

6. Budući da je tražena pravac paralelna sa stranicom AB, njezin kutni koeficijent bit će jednak kutnom koeficijentu pravca AB. Zamjenom u (4) koordinate nađene točke K i kutni koeficijent dobivamo

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Kako je pravac AB okomit na pravac CD, tražena točka M, koja se nalazi simetrično točki A u odnosu na pravac CD, leži na pravcu AB. Osim toga, točka D je središte segmenta AM. Koristeći formule (5), nalazimo koordinate željene točke M:

Trokut ABC, visina CD, središnja AE, pravac KF i točka M konstruirani su u xOy koordinatnom sustavu na sl. 1.

Zadatak 2. Napravite jednadžbu za geometrijsko mjesto točaka čije su udaljenosti do zadane točke A(4; 0) i zadanog pravca x=1 jednake 2.

Riješenje:

U koordinatnom sustavu xOy konstruiramo točku A(4;0) i pravac x = 1. Neka je M(x;y) proizvoljna točka željenog geometrijskog mjesta točaka. Spustimo okomicu MB na zadani pravac x = 1 i odredimo koordinate točke B. Kako točka B leži na zadanom pravcu, njena apscisa je jednaka 1. Ordinata točke B jednaka je ordinati točke M. Dakle, B(1;y) (slika 2).

Prema uvjetima zadatka |MA|: |MV| = 2. Udaljenosti |MA| i |MB| nalazimo iz formule (1) problema 1:

Kvadrirajući lijevu i desnu stranu, dobivamo

ili

Rezultirajuća jednadžba je hiperbola u kojoj je realna poluos a = 2, a imaginarna poluos

Definirajmo žarišta hiperbole. Za hiperbolu je jednakost zadovoljena. Prema tome, i – trikovi hiperbola. Kao što vidite, dana točka A(4;0) je desni fokus hiperbole.

Odredimo ekscentricitet rezultirajuće hiperbole:

Jednadžbe asimptota hiperbole imaju oblik i . Prema tome, ili i su asimptote hiperbole. Prije konstruiranja hiperbole konstruiramo njezine asimptote.

Problem 3. Napravite jednadžbu za geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od točke A(4; 3) i pravca y = 1. Svedite dobivenu jednadžbu na njezin najjednostavniji oblik.

Riješenje: Neka je M(x; y) jedna od točaka željenog geometrijskog mjesta točaka. Spustimo okomicu MB iz točke M na ovu ravnicu y = 1 (slika 3). Odredimo koordinate točke B. Očito je da je apscisa točke B jednaka apscisi točke M, a ordinata točke B jednaka je 1, tj. B(x; 1). Prema uvjetima zadatka |MA|=|MV|. Prema tome, za bilo koju točku M(x;y) koja pripada željenom geometrijskom mjestu točaka vrijedi sljedeća jednakost:

Rezultirajuća jednadžba definira parabolu s vrhom u točki. Da dovedemo jednadžbu parabole u njen najjednostavniji oblik, postavimo i y + 2 = Y, tada jednadžba parabole ima oblik:

Vježbajte. Točke A (2,1), B (1,-2), C (-1,0) su vrhovi trokuta ABC.
a) Nađite jednadžbe stranica trokuta ABC.
b) Nađite jednadžbu jedne od središnjica trokuta ABC.
c) Nađite jednadžbu jedne od visina trokuta ABC.
d) Pronađite jednadžbu jednog od simetrale trokuta ABC.
e) Odredite površinu trokuta ABC.

Riješenje provodi uz pomoć kalkulator.
Zadane su koordinate trokuta: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Koordinate vektora
Koordinate vektora nalazimo pomoću formule:
X = x j - x i; Y = y j - y i

Na primjer, za vektor AB

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
prije Krista(-2;2)
2) Vektorski moduli

3) Kut između ravnih linija
Kut između vektora a 1 (X 1 ;Y 1), a 2 (X 2 ;Y 2) može se pronaći pomoću formule:

gdje je a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Odredite kut između stranica AB i AC

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektorska projekcija
Vektorska projekcija b vektorirati a može se pronaći pomoću formule:

Nađimo projekciju vektora AB na vektor AC

5) Površina trokuta



Riješenje


Pomoću formule dobivamo:

6) Podjela segmenta u ovoj relaciji
Radijus vektor r točke A, koji dijeli segment AB u omjeru AA:AB = m 1:m 2, određuje se formulom:

Koordinate točke A nalaze se pomoću formula:




Jednadžba medijana trokuta
Označimo sredinu stranice BC slovom M. Zatim ćemo koordinate točke M pronaći koristeći formule za dijeljenje segmenta na pola.


M(0;-1)
Jednadžbu medijana AM nalazimo pomoću formule za jednadžbu pravca koji prolazi kroz dva zadanih bodova. Medijan AM prolazi kroz točke A(2;1) i M(0;-1), dakle:

ili

ili
y = x -1 ili y -x +1 = 0
7) Jednadžba pravca


Jednadžba pravca AB

ili

ili
y = 3x -5 ili y -3x +5 = 0
Jednadžba pravca AC

ili

ili
y = 1/3 x + 1/3 ili 3y -x - 1 = 0
Jednadžba pravca BC

ili

ili
y = -x -1 ili y + x +1 = 0
8) Duljina visine trokuta povučena iz vrha A
Udaljenost d od točke M 1 (x 1 ;y 1) do pravca Ax + By + C = 0 jednaka je apsolutnoj vrijednosti veličine:

Pronađite udaljenost između točke A(2;1) i pravca BC (y + x +1 = 0)

9) Jednadžba visine kroz vrh C
Pravac koji prolazi kroz točku M 0 (x 0 ; y 0) i okomit na pravac Ax + By + C = 0 ima vektor smjera (A; B) i stoga je predstavljen jednadžbama:


Ova se jednadžba može pronaći na drugi način. Da bismo to učinili, pronađimo nagib k 1 ravne linije AB.
AB jednadžba: y = 3x -5, tj. k 1 = 3
Nađimo kutni koeficijent k okomice iz uvjeta okomitosti dviju ravnih linija: k 1 *k = -1.
Zamjenom nagiba ove linije umjesto k 1, dobivamo:
3k = -1, odakle je k = -1 / 3
Budući da okomica prolazi kroz točku C(-1,0) i ima k = -1 / 3, tražit ćemo njezinu jednadžbu u obliku: y-y 0 = k(x-x 0).
Zamjenom x 0 = -1, k = -1 / 3, y 0 = 0 dobivamo:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
ili
y = -1/3 x - 1/3
Jednadžba simetrale trokuta
Nađimo simetralu kuta A. Točku presjeka simetrale sa stranicom BC označimo s M.
Upotrijebimo formulu:

AB jednadžba: y -3x +5 = 0, AC jednadžba: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Simetrala kuta dijeli popola, stoga je kut NAK ≈ 26,5 0
Nagib AB jednak je 3 (jer je y -3x +5 = 0). Kut nagiba je 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Simetrala prolazi kroz točku A(2,1), koristeći formulu, imamo:
y - y 0 = k(x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
ili
y=x-1
preuzimanje datoteka

Primjer. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Potrebno je: 1) izračunati duljinu bočne strane zrakoplova; 2) izraditi jednadžbu stranice BC; 3) pronaći unutarnji kut trokuta u vrhu B; 4) sastaviti jednadžbu za visinu AK povučenu iz vrha A; 5) pronaći koordinate težišta homogenog trokuta (sjecišta njegovih medijana); 6) izraditi crtež u koordinatnom sustavu.

Vježbajte. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Potreban:

1. napišite jednadžbu za medijan povučen iz vrha B i izračunajte njegovu duljinu.
2. napiši jednadžbu za visinu povučenu iz vrha A i izračunaj njezinu duljinu.
3. nađi kosinus unutarnjeg kuta B trokuta ABC.

Napravite crtež.

Preuzmite rješenje

Primjer br. 3. Zadani su vrhovi A(1;1), B(7;4), C(4;5) trokuta. Odredi: 1) duljinu stranice AB; 2) unutarnji kut A u radijanima s točnošću od 0,001. Napravite crtež.
preuzimanje datoteka

Primjer br. 4. Zadani su vrhovi A(1;1), B(7;4), C(4;5) trokuta. Nađite: 1) jednadžbu visine povučene kroz vrh C; 2) jednadžbu medijane povučene kroz vrh C; 3) točka sjecišta visina trokuta; 4) duljina visine spuštene iz vrha C. Nacrtaj.
preuzimanje datoteka

Primjer br. 5. Zadani su vrhovi trokuta ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Odredi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžba stranica AB i AC i njihovih kutnih koeficijenata; 3) područje trokuta.

Koordinate vektora nalazimo pomoću formule: X = x j - x i ; Y = y j - y i
ovdje X,Y koordinate vektora; x i, y i - koordinate točke A i; x j, y j - koordinate točke A j
Na primjer, za vektor AB
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Duljine stranica trokuta
Duljina vektora a(X;Y) izražava se preko njegovih koordinata formulom:


Površina trokuta
Neka su točke A 1 (x 1 ; y 1), A 2 (x 2 ; y 2), A 3 (x 3 ; y 3) vrhovi trokuta, tada se njegova površina izražava formulom:

Na desnoj strani nalazi se determinanta drugog reda. Površina trokuta je uvijek pozitivna.
Riješenje. Uzimajući A kao prvi vrh, nalazimo:

Pomoću formule dobivamo:

Jednadžba pravca
Pravac koji prolazi kroz točke A 1 (x 1 ; y 1) i A 2 (x 2 ; y 2) predstavljen je jednadžbama:

Jednadžba pravca AB
Kanonska jednadžba pravca:

ili

ili
y = -3 / 4 x -15 / 4 ili 4y + 3x +15 = 0
Nagib ravne linije AB jednak je k = -3 / 4
Jednadžba pravca AC

ili

ili
y = 13 / 16 x + 65 / 16 ili 16y -13x - 65 = 0
Nagib pravca AB jednak je k = 13/16

Vježbajte. Zadane su koordinate vrhova piramide ABCD. Potreban:

1. Upiši vektore u ort sustav i pronađi module tih vektora.
2. Nađi kut između vektora.
3. Pronađite projekciju vektora na vektor.
4. Pronađite površinu lica ABC.
5. Odredi obujam piramide ABCD.

Riješenje
Primjer br. 1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Primjer br. 2
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1,-5,2): Primjer br. 3
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): Primjer br. 4

Vježbajte. Pronaći oštar kut između pravaca x + y -5 = 0 i x + 4y - 8 = 0.
Preporuke za rješenje. Problem se rješava servisom Kut između dviju ravnih linija.
Odgovor: 30,96 o

Primjer br. 1. Zadane su koordinate točaka A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Odredite duljinu brida A1A2. Napravite jednadžbu za rub A1A4 i lice A1A2A3. Sastavite jednadžbu za visinu spuštenu iz točke A4 na ravninu A1A2A3. Odredite površinu trokuta A1A2A3. Odredi obujam trokutaste piramide A1A2A3A4.

Koordinate vektora nalazimo pomoću formule: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
Ovdje X,Y,Z koordinate vektor; x i, y i, z i - koordinate točke A i; x j, y j, z j - koordinate točke A j;
Dakle, za vektor A 1 A 2 oni će biti sljedeći:
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1; Z = z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Duljina vektora a(X;Y;Z) izražava se preko njegovih koordinata formulom:

Kako naučiti rješavati probleme iz analitičke geometrije?
Tipičan zadatak s trokutom na ravnini

Ova lekcija je stvorena na pristupu ekvatoru između geometrije ravnine i geometrije prostora. U ovaj trenutak Potrebno je sistematizirati prikupljene informacije i odgovoriti na vrlo važno pitanje: kako naučiti rješavati probleme iz analitičke geometrije? Poteškoća je u tome što možete smisliti beskonačan broj zadataka iz geometrije, a nijedan udžbenik neće sadržavati sve mnoštvo i raznolikost primjera. Nije izvod funkcije s pet pravila razlikovanja, tablicom i nekoliko tehnika….

Postoji rješenje! Neću glasno govoriti o činjenici da sam razvio neku vrstu grandiozne tehnike, međutim, po mom mišljenju, postoji učinkovit pristup problemu koji se razmatra, koji čak i potpunoj lutki omogućuje postizanje dobrih i izvrsnih rezultata. Barem opći algoritam rješenja geometrijski problemi formirao vrlo jasno u mojoj glavi.

ŠTO TREBATE ZNATI I MOĆI UČINITI
za uspješno rješavanje geometrijskih problema?

Od toga se ne može pobjeći - da ne biste nasumično nosom bockali gumbe, morate svladati osnove analitičke geometrije. Stoga, ako ste tek počeli učiti geometriju ili ste je potpuno zaboravili, počnite s lekcijom Vektori za lutke. Osim vektora i radnji s njima, potrebno je poznavati osnovne pojmove ravninske geometrije, posebice, jednadžba pravca u ravnini i . Geometrija prostora prikazana je u člancima Jednadžba ravnine, Jednadžbe pravca u prostoru, Osnovni zadaci o pravcu i ravnini i neke druge lekcije. Zakrivljene linije i prostorne plohe drugog reda stoje nešto odvojeno, i specifične zadatke ne toliko s njima.

Pretpostavimo da student već ima osnovna znanja i vještine rješavanja najjednostavnijih problema analitičke geometrije. Ali to se događa ovako: pročitate izjavu problema i... poželite zatvoriti cijelu stvar, baciti je u dalji kut i zaboraviti kako noćna mora. Štoviše, to u osnovi ne ovisi o razini vaših kvalifikacija; s vremena na vrijeme i sam nailazim na zadatke za koje rješenje nije očito. Što učiniti u takvim slučajevima? Ne morate se bojati zadatka koji ne razumijete!

Prvo, treba instalirati - Je li to "ravni" ili prostorni problem? Na primjer, ako uvjet uključuje vektore s dvije koordinate, onda je to, naravno, geometrija ravnine. A ako je učitelj natovario zahvalnog slušatelja piramidom, onda je tu jasno geometrija prostora. Rezultati prvog koraka su već prilično dobri, jer smo uspjeli odrezati ogromnu količinu informacija nepotrebnih za ovaj zadatak!

Drugi. Stanje će vas obično zabrinjavati s nekim geometrijskim likom. Zaista, prošećite hodnicima svog rodnog sveučilišta, vidjet ćete puno zabrinutih lica.

U "ravnim" problemima, da ne spominjemo očite točke i linije, najpopularniji lik je trokut. Analizirat ćemo ga vrlo detaljno. Slijedi paralelogram, a puno rjeđi su pravokutnik, kvadrat, romb, krug i drugi oblici.

U prostornim zadacima isti mogu letjeti plošne figure+ sami avioni i oni obični trokutaste piramide s paralelopipedima.

Drugo pitanje - Znate li sve o ovoj figuri? Pretpostavimo da uvjet govori o jednakokračnom trokutu, a vi se vrlo nejasno sjećate o kakvom se trokutu radi. Otvaramo školsku lektiru i čitamo o jednakokračan trokut. Što da radim... doktor je rekao romb, znači romb. Analitička geometrija je analitička geometrija, ali pomoći će riješiti problem geometrijska svojstva same figure, poznat nam iz školski plan i program. Ako ne znate koliki je zbroj kutova trokuta, možete dugo patiti.

Treći. UVIJEK pokušajte slijediti crtež(na nacrtu/završnoj kopiji/mentalno), čak i ako to uvjetom nije potrebno. U "ravnim" problemima, sam Euklid naredio je da uzme ravnalo i olovku - i to ne samo da bi razumio stanje, već i u svrhu samotestiranja. U ovom slučaju, najprikladnija ljestvica je 1 jedinica = 1 cm (2 ćelije bilježnice). O nemarnim studentima i matematičarima koji se vrte u grobovima da i ne govorimo – u takvim zadacima gotovo je nemoguće pogriješiti. Za prostorne zadatke izvodimo shematski crtež, koji će također pomoći u analizi stanja.

Crtež ili shematski crtež često vam omogućuje da odmah vidite način rješavanja problema. Naravno, za ovo morate poznavati temelje geometrije i razumjeti svojstva geometrijskih oblika (vidi prethodni pasus).

Četvrta. Razvoj algoritma rješenja. Mnogi geometrijski problemi su u više koraka, tako da je rješenje i njegov dizajn vrlo zgodno rastaviti na točke. Često vam algoritam odmah padne na pamet nakon što pročitate uvjet ili dovršite crtež. U slučaju poteškoća krećemo s PITANJEM zadatka. Na primjer, prema uvjetu “trebate konstruirati ravnu liniju...”. Ovdje je najlogičnije pitanje: "Što je dovoljno znati da se konstruira ova pravac?" Pretpostavimo, "znamo točku, moramo znati vektor smjera." Postavljamo sljedeće pitanje: “Kako pronaći ovaj vektor smjera? Gdje?" itd.

Ponekad postoji "greška" - problem nije riješen i to je to. Razlozi za zaustavljanje mogu biti sljedeći:

– Ozbiljan nedostatak u osnovnom znanju. Drugim riječima, ne znate i/ili ne vidite neke vrlo jednostavne stvari.

– Nepoznavanje svojstava geometrijskih figura.

– Zadatak je bio težak. Da, događa se. Nema smisla pariti se satima i skupljati suze u maramicu. Potražite savjet od svog nastavnika, kolega učenika ili postavite pitanje na forumu. Štoviše, bolje je da se konkretizira - o onom dijelu rješenja koji ne razumijete. Vapaj u obliku "Kako riješiti problem?" ne izgleda baš dobro... i, iznad svega, za vaš vlastiti ugled.

Peta faza. Odlučujemo-provjeravamo, odlučujemo-provjeravamo, odlučujemo-provjeravamo-dajmo odgovor. Korisno je provjeriti svaku točku zadatka odmah nakon što je dovršen. To će vam pomoći da odmah uočite pogrešku. Naravno, nitko ne zabranjuje brzo rješavanje cijelog problema, ali postoji rizik od ponovnog pisanja svega (često nekoliko stranica).

Ovo su, možda, sva glavna razmatranja kojih se treba pridržavati pri rješavanju problema.

Praktični dio nastave prikazan je u ravninskoj geometriji. Bit će samo dva primjera, ali neće se činiti dovoljno =)

Prođimo kroz nit algoritma koju sam upravo obradio u svom malom znanstveni rad:

Primjer 1

Zadana su tri vrha paralelograma. Pronađite vrh.

Počnimo razumjeti:

Prvi korak: Očito je da govorimo o “ravnom” problemu.

Drugi korak: Zadatak se bavi paralelogramom. Sjećaju li se svi ove figure paralelograma? Nema potrebe za osmijehom, mnogi se obrazuju s 30-40-50 ili više godina, pa se i jednostavne činjenice mogu izbrisati iz sjećanja. Definicija paralelograma nalazi se u primjeru br. 3 lekcije Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora.

Treći korak: Napravimo crtež na kojem označavamo tri poznata vrha. Smiješno je da nije teško odmah konstruirati željenu točku:

Konstruirati ga je, naravno, dobro, ali rješenje mora biti formulirano analitički.

Četvrti korak: Razvoj algoritma rješenja. Prvo što pada na pamet je da se točka može pronaći kao sjecište pravaca. Ne znamo njihove jednadžbe, pa ćemo se morati pozabaviti ovim problemom:

1) Nasuprotne stranice su paralelne. Po bodovima Nađimo vektor smjera ovih stranica. Ovaj najjednostavniji zadatak o čemu se razgovaralo na satu Vektori za lutke.

Bilješka: ispravnije je reći "jednadžba pravca koji sadrži stranicu", ali ovdje i dalje radi kratkoće koristit ću izraze "jednadžba stranice", "vektor smjera stranice" itd.

3) Nasuprotne stranice su paralelne. Pomoću točaka nalazimo vektor smjera tih stranica.

4) Kreirajmo jednadžbu ravne crte pomoću točke i vektora smjera

U odlomcima 1-2 i 3-4 zapravo smo dva puta riješili isti problem; usput, o tome se raspravljalo u primjeru br. 3 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Moglo se ići dužim putem - prvo pronaći jednadžbe linija i tek onda iz njih "izvući" vektore smjera.

5) Sada su jednadžbe linija poznate. Ostaje konstruirati i riješiti odgovarajući sustav linearne jednadžbe(vidi primjere br. 4, 5 iste lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini).

Poenta je pronađena.

Zadatak je vrlo jednostavan i njegovo rješenje je očito, ali postoji kraći put!

Drugo rješenje:

Dijagonale paralelograma dijele se na dva dijela svojom sjecišnom točkom. Označio sam točku, ali da ne bih zatrpao crtež, nisam crtao same dijagonale.

Sastavimo jednadžbu stranice točku po točku :

Da biste provjerili, trebali biste mentalno ili na nacrtu zamijeniti koordinate svake točke u dobivenu jednadžbu. Sada pronađimo nagib. Da bismo to učinili, prepisujemo opću jednadžbu u obliku jednadžbe s koeficijentom nagiba:

Dakle, nagib je:

Slično, nalazimo jednadžbe stranica. Ne vidim puno smisla u opisivanju iste stvari, pa ću je dati odmah gotov rezultat:

2) Odredi duljinu stranice. Ovo je najjednostavniji problem koji se obrađuje u razredu. Vektori za lutke. Za bodove koristimo formulu:

Pomoću iste formule lako je pronaći duljine ostalih stranica. Provjera se može obaviti vrlo brzo običnim ravnalom.

Koristimo formulu .

Nađimo vektore:

Tako:

Usput smo usput pronašli duljine stranica.

Kao rezultat:

Pa, čini se da je istina; da biste bili uvjerljivi, možete pričvrstiti kutomjer na kut.

Pažnja! Nemojte brkati kut trokuta s kutom između ravnih linija. Kut trokuta može biti tup, ali kut između ravnih linija ne može (vidi zadnji odlomak članka Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini). Međutim, da biste pronašli kut trokuta, također možete koristiti formule iz gornje lekcije, ali hrapavost je u tome što te formule uvijek daju šiljasti kut. Uz njihovu pomoć riješio sam ovaj problem u nacrtu i dobio rezultat. A na konačnom primjerku morao bih napisati dodatne isprike, to .

4) Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem.

Standardni zadatak, detaljno razmotren u primjeru br. 2 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Iz opća jednadžba ravno Izvadimo vektor vodič. Napravimo jednadžbu ravne linije pomoću točke i vektora smjera:

Kako pronaći visinu trokuta?

5) Napravimo jednadžbu za visinu i pronađimo njezinu duljinu.

Nema bijega od strogih definicija, pa ćete morati ukrasti iz školskog udžbenika:

Visina trokuta naziva se okomica povučena iz vrha trokuta na pravac koji sadrži suprotnu stranicu.

Odnosno, potrebno je izraditi jednadžbu za okomicu povučenu iz vrha na stranu. O ovom se zadatku raspravlja u primjerima br. 6, 7 lekcije Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Iz jednadžbe ukloniti normalni vektor. Sastavimo jednadžbu visine koristeći točku i vektor smjera:

Imajte na umu da ne znamo koordinate točke.

Ponekad se jednadžba visine nalazi iz omjera kutnih koeficijenata okomitih pravaca: . U ovom slučaju tada: . Sastavimo jednadžbu visine pomoću točke i kutnog koeficijenta (vidi početak lekcije Jednadžba pravca na ravnini):

Duljina visine može se pronaći na dva načina.

Postoji zaobilazni put:

a) nađi – točku presjeka visine i stranice;
b) pomoću dviju poznatih točaka odredite duljinu dužine.

Ali u razredu Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini razmatrana je zgodna formula za udaljenost od točke do pravca. Točka je poznata: , poznata je i jednadžba pravca: , Tako:

6) Izračunajte površinu trokuta. U svemiru se površina trokuta tradicionalno izračunava pomoću vektorski produkt vektora, ali ovdje nam je dan trokut na ravnini. Koristimo školsku formulu:
– Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove osnovice i visine.

U ovom slučaju:

Kako pronaći medijan trokuta?

7) Napravimo jednadžbu za medijan.

Medijan trokuta zove se segment koji povezuje vrh trokuta sa sredinom suprotne stranice.

a) Pronađite točku – sredinu stranice. Koristimo formule za koordinate središta segmenta. Poznate su koordinate krajeva segmenta: , zatim koordinate sredine:

Tako:

Sastavimo jednadžbu medijana točku po točku :

Da biste provjerili jednadžbu, morate u nju zamijeniti koordinate točaka.

8) Nađi točku presjeka visine i medijane. Mislim da su svi već naučili kako izvesti ovaj element umjetničkog klizanja bez pada: