Le sinus et le cosinus sont nés à l’origine de la nécessité de calculer des quantités dans des triangles rectangles. On a remarqué que si la mesure en degrés des angles dans triangle rectangle ne changez pas, alors le rapport hauteur/largeur, peu importe à quel point ces côtés changent en longueur, reste toujours le même.

C’est ainsi qu’ont été introduites les notions de sinus et de cosinus. Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, et le cosinus est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.

Théorèmes des cosinus et des sinus

Mais les cosinus et les sinus peuvent être utilisés pour bien plus que de simples triangles rectangles. Pour trouver la valeur d'un angle ou d'un côté obtus ou aigu d'un triangle, il suffit d'appliquer le théorème des cosinus et des sinus.

Le théorème du cosinus est assez simple : « Le carré du côté d'un triangle égal à la somme les carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces côtés par le cosinus de l'angle qui les sépare.

Il existe deux interprétations du théorème des sinus : petite et étendue. Selon la mineure : « Dans un triangle, les angles sont proportionnels aux côtés opposés. » Ce théorème est souvent élargi en raison de la propriété du cercle circonscrit d'un triangle : « Dans un triangle, les angles sont proportionnels aux côtés opposés, et leur rapport est égal au diamètre du cercle circonscrit. »

Dérivés

La dérivée est un outil mathématique qui montre la rapidité avec laquelle une fonction change par rapport à un changement dans son argument. Les dérivés sont utilisés en géométrie et dans un certain nombre de disciplines techniques.

Lors de la résolution de problèmes, vous devez connaître les valeurs tabulaires des dérivées des fonctions trigonométriques : sinus et cosinus. La dérivée d'un sinus est un cosinus, et un cosinus est un sinus, mais avec un signe moins.

Application en mathématiques

Les sinus et les cosinus sont particulièrement souvent utilisés pour résoudre des triangles rectangles et des problèmes qui leur sont associés.

La commodité des sinus et des cosinus se reflète également dans la technologie. Les angles et les côtés étaient faciles à évaluer à l’aide des théorèmes du cosinus et du sinus, décomposant les formes et les objets complexes en triangles « simples ». Les ingénieurs qui s'occupent souvent des calculs de rapports d'aspect et de mesures de degrés ont consacré beaucoup de temps et d'efforts à calculer les cosinus et les sinus des angles non tabulaires.

Puis les tables de Bradis sont venues à la rescousse, contenant des milliers de valeurs de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles différents. DANS époque soviétique certains enseignants ont forcé leurs élèves à mémoriser des pages de tableaux de Bradis.

Le radian est la valeur angulaire d'un arc dont la longueur est égale au rayon ou 57,295779513° degrés.

Degré (en géométrie) - 1/360ème partie d'un cercle ou 1/90ème partie angle droit.

π = 3,141592653589793238462… (valeur approximative de Pi).

Dans cet article, nous allons montrer comment donner définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle et d'un nombre en trigonométrie. Ici, nous parlerons des notations, donnerons des exemples d'entrées et donnerons des illustrations graphiques. En conclusion, faisons un parallèle entre les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente en trigonométrie et en géométrie.

Navigation dans les pages.

Définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente

Voyons comment se forme l'idée de sinus, cosinus, tangente et cotangente dans cours scolaire mathématiques. Dans les cours de géométrie, la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est donnée. Et plus tard, la trigonométrie est étudiée, qui parle du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle de rotation et du nombre. Présentons toutes ces définitions, donnons des exemples et donnons les commentaires nécessaires.

Angle aigu dans un triangle rectangle

Grâce au cours de géométrie, nous connaissons les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Ils sont donnés comme le rapport des côtés d’un triangle rectangle. Donnons leurs formulations.

Définition.

Sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse.

Définition.

Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse.

Définition.

Tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle– c’est le rapport du côté opposé au côté adjacent.

Définition.

Cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle- c'est le rapport du côté adjacent au côté opposé.

Les désignations du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente y sont également introduites - respectivement sin, cos, tg et ctg.

Par exemple, si ABC est un triangle rectangle d’angle droit C, alors le sinus de l’angle aigu A égal au rapport le côté opposé BC à l'hypoténuse AB, c'est-à-dire sin∠A=BC/AB.

Ces définitions permettent de calculer les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu à partir des longueurs connues des côtés d'un triangle rectangle, ainsi qu'à partir de valeurs connues trouvez les longueurs des autres côtés en utilisant le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente et la longueur de l'un des côtés. Par exemple, si l'on savait que dans un triangle rectangle la branche AC est égale à 3 et l'hypoténuse AB est égale à 7, alors on pourrait calculer la valeur du cosinus de l'angle aigu A par définition : cos∠A=AC/ AB=3/7.

Angle de rotation

En trigonométrie, ils commencent à considérer l'angle plus largement - ils introduisent le concept d'angle de rotation. L'amplitude de l'angle de rotation, contrairement à un angle aigu, n'est pas limitée à 0 à 90 degrés ; l'angle de rotation en degrés (et en radians) peut être exprimé par n'importe quel nombre réel compris entre −∞ et +∞.

Dans cette optique, les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente ne concernent pas un angle aigu, mais un angle de taille arbitraire - l'angle de rotation. Ils sont donnés par les coordonnées x et y du point A 1, auquel va le soi-disant point de départ A(1, 0) après sa rotation d'un angle α autour du point O - le début du système de coordonnées cartésiennes rectangulaires et le centre du cercle unité.

Définition.

Sinus de l'angle de rotationα est l'ordonnée du point A 1 , soit sinα = y.

Définition.

Cosinus de l'angle de rotationα est appelé abscisse du point A 1, c'est-à-dire cosα = x.

Définition.

Tangente de l'angle de rotationα est le rapport de l'ordonnée du point A 1 à son abscisse, soit tanα = y/x.

Définition.

Cotangente de l'angle de rotationα est le rapport de l'abscisse du point A 1 à son ordonnée, soit ctgα = x/y.

Le sinus et le cosinus sont définis pour tout angle α, puisque nous pouvons toujours déterminer l'abscisse et l'ordonnée du point, qui sont obtenues en faisant pivoter le point de départ d'un angle α. Mais la tangente et la cotangente ne sont définies pour aucun angle. La tangente n'est pas définie pour les angles α pour lesquels le point de départ va vers un point d'abscisse nulle (0, 1) ou (0, −1), et cela se produit aux angles 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). En effet, à de tels angles de rotation, l'expression tgα=y/x n'a pas de sens, puisqu'elle contient une division par zéro. Quant à la cotangente, elle n'est pas définie pour les angles α dont le point de départ va au point d'ordonnée zéro (1, 0) ou (−1, 0), et cela se produit pour les angles 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Ainsi, le sinus et le cosinus sont définis pour tous les angles de rotation, la tangente est définie pour tous les angles sauf 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), et la cotangente est définie pour tous les angles sauf 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Les définitions reprennent les désignations déjà connues de nous sin, cos, tg et ctg, elles servent aussi à désigner sinus, cosinus, tangente et cotangente de l'angle de rotation (on peut parfois retrouver les désignations tan et cotcorrespondant à tangente et cotangente) . Ainsi le sinus d'un angle de rotation de 30 degrés peut s'écrire sin30°, les entrées tg(−24°17′) et ctgα correspondent à la tangente de l'angle de rotation −24 degrés 17 minutes et la cotangente de l'angle de rotation α . Rappelons que lors de l'écriture de la mesure en radian d'un angle, la désignation « rad » est souvent omise. Par exemple, le cosinus d'un angle de rotation de trois pi rad est généralement noté cos3·π.

En conclusion de ce point, il convient de noter que lorsqu'on parle de sinus, cosinus, tangente et cotangente de l'angle de rotation, l'expression « angle de rotation » ou le mot « rotation » est souvent omise. Autrement dit, au lieu de l'expression « sinus de l'angle de rotation alpha », l'expression « sinus de l'angle alpha » ou encore plus courte, « sinus alpha » est généralement utilisée. Il en va de même pour le cosinus, la tangente et la cotangente.

On dira aussi que les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle sont cohérentes avec les définitions qui viennent d'être données pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle de rotation allant de 0 à 90 degrés. Nous justifierons cela.

Nombres

Définition.

Sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un nombre t est un nombre égal au sinus, au cosinus, à la tangente et à la cotangente de l'angle de rotation en t radians, respectivement.

Par exemple, le cosinus du nombre 8·π est par définition un nombre égal au cosinus de l'angle de 8·π rad. Et le cosinus de l'angle est 8 π rad égal à un, donc le cosinus du nombre 8·π est égal à 1.

Il existe une autre approche pour déterminer le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un nombre. Cela consiste dans le fait que chaque nombre réel t est associé à un point du cercle unité dont le centre est à l'origine du système de coordonnées rectangulaires, et le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont déterminés à travers les coordonnées de ce point. Regardons cela plus en détail.

Montrons comment s'établit une correspondance entre nombres réels et points sur un cercle :

• le nombre 0 reçoit le point de départ A(1, 0) ;
• le nombre positif t est associé à un point sur le cercle unité, auquel nous arriverons si nous nous déplaçons le long du cercle à partir du point de départ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et parcourons un chemin de longueur t ;
• nombre négatif t est associé au point du cercle unité, auquel nous arriverons si nous nous déplaçons le long du cercle à partir du point de départ dans le sens des aiguilles d'une montre et parcourons un chemin de longueur |t| .

Passons maintenant aux définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente du nombre t. Supposons que le nombre t correspond à un point du cercle A 1 (x, y) (par exemple, le nombre &pi/2; correspond au point A 1 (0, 1) ).

Définition.

Sinus du nombre t est l'ordonnée du point sur le cercle unité correspondant au nombre t, c'est-à-dire sint=y.

Définition.

Cosinus du nombre t est appelé l'abscisse du point du cercle unité correspondant au nombre t, c'est-à-dire coût=x.

Définition.

Tangente du nombre t est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse d'un point du cercle unité correspondant au nombre t, c'est-à-dire cible = y/x. Dans une autre formulation équivalente, la tangente d'un nombre t est le rapport du sinus de ce nombre au cosinus, c'est-à-dire cible = sint/coût.

Définition.

Cotangente du nombre t est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée d'un point du cercle unité correspondant au nombre t, c'est-à-dire ctgt=x/y. Une autre formulation est la suivante : la tangente du nombre t est le rapport du cosinus du nombre t au sinus du nombre t : ctgt=cost/sint.

Nous notons ici que les définitions qui viennent d'être données sont cohérentes avec la définition donnée au début de ce paragraphe. En effet, le point du cercle unité correspondant au nombre t coïncide avec le point obtenu en faisant pivoter le point de départ d'un angle de t radians.

Cela vaut quand même la peine de clarifier ce point. Disons que nous avons l'entrée sin3. Comment comprendre s’il s’agit du sinus du chiffre 3 ou du sinus de l’angle de rotation de 3 radians ? Cela ressort généralement clairement du contexte, sinon cela n’a probablement pas une importance fondamentale.

Fonctions trigonométriques d'argument angulaire et numérique

D'après les définitions données dans le paragraphe précédent, chaque angle de rotation α correspond à un angle bien précis. valeur du péchéα, comme la valeur de cosα. De plus, tous les angles de rotation autres que 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) correspondent aux valeurs tgα, et les valeurs autres que 180°k, k∈Z (πk rad ) – valeurs ​​de ctgα. Donc sinα, cosα, tanα et ctgα sont des fonctions de l'angle α. En d’autres termes, ce sont des fonctions de l’argument angulaire.

On peut parler de la même manière des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un argument numérique. En effet, à chaque nombre réel t correspond une valeur sint bien précise, ainsi qu’un coût. De plus, tous les nombres autres que π/2+π·k, k∈Z correspondent aux valeurs cible, et les nombres π·k, k∈Z - valeurs ctgt.

Les fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente sont appelées fonctions trigonométriques de base.

Le contexte indique généralement clairement s'il s'agit de fonctions trigonométriques d'un argument angulaire ou d'un argument numérique. Sinon, nous pouvons considérer la variable indépendante à la fois comme une mesure de l’angle (argument angulaire) et comme un argument numérique.

Cependant, à l'école, ils étudient principalement fonctions numériques, c'est-à-dire des fonctions dont les arguments, comme leurs valeurs de fonction correspondantes, sont des nombres. Par conséquent, si nous parlons de spécifiquement concernant les fonctions, il convient de considérer les fonctions trigonométriques comme des fonctions d'arguments numériques.

Relation entre les définitions de la géométrie et de la trigonométrie

Si l'on considère l'angle de rotation α allant de 0 à 90 degrés, alors les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle de rotation dans le contexte de la trigonométrie sont pleinement cohérentes avec les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle, donnés dans le cours de géométrie. Justifions cela.

Représentons Oxy dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires cercle unitaire. Marquons le point de départ A(1, 0) . Faisons-le pivoter d'un angle α allant de 0 à 90 degrés, nous obtenons le point A 1 (x, y). Déposons la perpendiculaire A 1 H du point A 1 à l'axe Ox.

Il est facile de voir que dans un triangle rectangle, l'angle A 1 OH est égal à l'angle de rotation α, la longueur de la jambe OH adjacente à cet angle est égale à l'abscisse du point A 1, soit |OH |=x, la longueur de la branche A 1 H opposée à l'angle est égale à l'ordonnée du point A 1, soit |A 1 H|=y, et la longueur de l'hypoténuse OA 1 est égale à un, puisque c'est le rayon du cercle unité. Alors, par définition géométrique, le sinus d'un angle aigu α dans un triangle rectangle A 1 OH est égal au rapport de la branche opposée à l'hypoténuse, c'est-à-dire sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=oui. Et par définition trigonométrique, le sinus de l'angle de rotation α est égal à l'ordonnée du point A 1, c'est-à-dire sinα=y. Cela montre que déterminer le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle équivaut à déterminer le sinus de l'angle de rotation α lorsque α est compris entre 0 et 90 degrés.

De même, on peut montrer que les définitions du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle aigu α sont cohérentes avec les définitions du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle de rotation α.

Bibliographie.

1. Géométrie. 7-9 années: cahier de texte pour l'enseignement général institutions / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, etc.]. - 20e éd. M. : Éducation, 2010. - 384 p. : ill. - ISBN978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Géométrie : Manuel. pour les classes 7 à 9. enseignement général institutions / A. V. Pogorelov. - 2e éd. - M. : Education, 2001. - 224 p. : ill. - ISBN5-09-010803-X.
3. Algèbre et fonctions élémentaires : Didacticiel pour les élèves de 9ème lycée/ E.S. Kochetkov, E.S. Kochetkova ; Edité par le docteur en sciences physiques et mathématiques O. N. Golovin - 4e éd. M. : Éducation, 1969.
4. Algèbre: Cahier de texte pour la 9ème année. moy. école/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova ; Éd. S. A. Telyakovsky. - M. : Education, 1990. - 272 pp. : ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov. - 14e éd. - M. : Education, 2004. - 384 pp. : ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovitch A.G. Algèbre et débuts de l'analyse. 10 e année. À 14 heures Partie 1 : tutoriel pour les établissements d'enseignement(niveau profil)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4e éd., ajouter. - M. : Mnémosyne, 2007. - 424 p. : ill. ISBN978-5-346-00792-0.
7. Algèbre et le début de l'analyse mathématique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - I. : Éducation, 2010.- 368 p. : ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel. pour les classes 10-11. moy. école - 3e éd. - M. : Éducation, 1993. - 351 p. : ill. - ISBN5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

Comment trouver le sinus ?

L'étude de la géométrie aide à développer la réflexion. Cet élément doit être inclus dans préparation scolaire. Dans la vie de tous les jours, la connaissance de ce sujet peut être utile, par exemple lors de la planification d'un appartement.

De l'histoire

Le cours de géométrie comprend également la trigonométrie, qui étudie les fonctions trigonométriques. En trigonométrie, nous étudions les sinus, les cosinus, les tangentes et les cotangentes des angles.

Mais sur ce moment Commençons par la chose la plus simple : le sinus. Examinons de plus près le tout premier concept : le sinus d'un angle en géométrie. Qu'est-ce que le sinus et comment le trouver ?

Le concept d'« angle sinusoïdal » et de sinusoïdes

Le sinus d'un angle est le rapport des valeurs du côté opposé et de l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Il s’agit d’une fonction trigonométrique directe, qui s’écrit « sin (x) », où (x) est l’angle du triangle.

Sur le graphique, le sinus d'un angle est indiqué par une onde sinusoïdale ayant ses propres caractéristiques. Une onde sinusoïdale ressemble à une ligne ondulée continue située dans certaines limites du plan de coordonnées. La fonction est impaire, donc elle est symétrique par rapport à 0 sur le plan des coordonnées (elle sort de l'origine des coordonnées).

Le domaine de définition de cette fonction est compris entre -1 et +1 sur le repère cartésien. La période de la fonction angle sinusoïdal est de 2 Pi. Cela signifie que tous les 2 Pi, le motif se répète et l'onde sinusoïdale traverse un cycle complet.

Équation d'onde sinusoïdale

• péché x = a/c
• où a est la branche opposée à l'angle du triangle
• c - hypoténuse d'un triangle rectangle

Propriétés du sinus d'un angle

1. péché(x) = - péché(x). Cette fonctionnalité démontre que la fonction est symétrique et si les valeurs x et (-x) sont tracées sur le système de coordonnées dans les deux sens, alors les ordonnées de ces points seront opposées. Ils seront sur à égale distance de chacun d'eux.
2. Une autre particularité de cette fonction est que le graphique de la fonction augmente sur le segment [- P/2 + 2 Pn] ; [P/2 + 2Pn], où n est n'importe quel nombre entier. Une diminution du graphique du sinus de l'angle sera observée sur le segment : [P/2 + 2Pn] ; [3P/2 + 2Pn].
3. sin(x) > 0 lorsque x est dans la plage (2Пn, П + 2Пn)
4. (X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Les valeurs des sinus de l'angle sont déterminées à l'aide de tableaux spéciaux. De tels tableaux ont été créés pour faciliter le processus de calcul de formules et d'équations complexes. Il est facile à utiliser et contient des significations non seulement fonctions péché(x), mais aussi les valeurs d'autres fonctions.

De plus, un tableau des valeurs standards de ces fonctions est inclus dans l'étude de la mémoire obligatoire, à l'instar d'une table de multiplication. Cela est particulièrement vrai pour les cours à tendance physique et mathématique. Dans le tableau vous pouvez voir les valeurs des principaux angles utilisés en trigonométrie : 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 et 360 degrés.

Il existe également un tableau définissant les valeurs des fonctions trigonométriques des angles non standards. À l'aide de différents tableaux, vous pouvez facilement calculer le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente de certains angles.

Les équations sont faites avec des fonctions trigonométriques. Résoudre ces équations est facile si vous connaissez les plus simples identités trigonométriques et des réductions de fonctions, par exemple, telles que sin (P/2 + x) = cos (x) et autres. Un tableau distinct a également été établi pour ces réductions.

Comment trouver le sinus d'un angle

Lorsque la tâche consiste à trouver le sinus d'un angle et que, selon la condition, nous n'avons que le cosinus, la tangente ou la cotangente de l'angle, nous pouvons facilement calculer ce dont nous avons besoin en utilisant les identités trigonométriques.

• péché 2 x + cos 2 x = 1

À partir de cette équation, nous pouvons trouver à la fois le sinus et le cosinus, selon la valeur inconnue. On peut le faire équation trigonométrique avec une inconnue :

• péché 2 x = 1 - cos 2 x
• péché x = ± √ 1 - cos 2 x
• lit bébé 2 x + 1 = 1 / péché 2 x

A partir de cette équation, vous pouvez trouver la valeur du sinus, connaissant la valeur de la cotangente de l'angle. Pour simplifier, remplacez sin 2 x = y et vous obtenez une équation simple. Par exemple, la valeur de la cotangente est 1, alors :

• 1 + 1 = 1/an
• 2 = 1/an
• 2у = 1
• y = 1/2

Nous effectuons maintenant le remplacement inverse du lecteur :

• péché 2 x = ½
• péché x = 1 / √2

Puisque nous avons pris la valeur cotangente pour l'angle standard (45 0), les valeurs obtenues peuvent être vérifiées dans le tableau.

Si vous avez une valeur tangente et que vous devez trouver le sinus, une autre identité trigonométrique vous aidera :

• tg x * ctg x = 1

Il s'ensuit que :

• lit bébé x = 1 / bronzage x

Afin de trouver le sinus d'un angle non standard, par exemple 240 0, vous devez utiliser des formules de réduction d'angle. On sait que π correspond à 180 0. Ainsi, nous exprimons notre égalité en utilisant des angles standards par expansion.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Nous devons trouver ce qui suit : sin (180 0 + 60 0). La trigonométrie possède des formules de réduction utiles dans ce cas. Voici la formule :

• péché (π + x) = - péché (x)

Ainsi, le sinus d’un angle de 240 degrés est égal à :

• péché (180 0 + 60 0) = - péché (60 0) = - √3/2

Dans notre cas, x = 60 et P, respectivement, 180 degrés. Nous avons trouvé la valeur (-√3/2) dans le tableau des valeurs des fonctions d'angles standards.

De cette façon, des angles non standard peuvent être élargis, par exemple : 210 = 180 + 30.

Comme vous pouvez le voir, cercle donné construit dans un système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine des coordonnées, la position initiale du vecteur rayon est fixée le long de la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée de l'axe et la coordonnée de l'axe. Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons un triangle. Il est rectangulaire car perpendiculaire à l’axe.

A quoi est égal le triangle ? C'est exact. De plus, nous savons qu’il s’agit du rayon du cercle unité, ce qui signifie . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

A quoi est égal le triangle ? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées d’un point appartenant à un cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous vous rendiez compte de cela et que vous n’étiez que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Et bien sûr, les coordonnées ! Et à quelle coordonnée correspond-elle ? C'est vrai, les coordonnées ! Donc point final.

À quoi valent donc et sont égaux ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela, a.

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : angle (comme adjacent à un angle). Quelles sont les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - la coordonnée ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe. Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs , et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre - négatif.

Ainsi, nous savons qu’une révolution entière du rayon vecteur autour d’un cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur vers ou vers ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, le rayon vecteur fera donc un tour complet et s'arrêtera en position ou.

Dans le deuxième cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera en position ou.

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent par ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre un angle. La même image correspond au coin, etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale ou (où est un nombre entier)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : l'angle à correspond à un point avec des coordonnées, donc :

N'existe pas;

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins correspondent respectivement à des points avec des coordonnées. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses:

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et, données dans le tableau ci-dessous, il faut se souvenir:

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple assez simple pour retenir les valeurs correspondantes:

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de mémoriser les valeurs du sinus pour les trois mesures d'angle (), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle. Connaissant ces valeurs, il est assez simple de restituer l'intégralité du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de. Le numérateur " " correspondra et le dénominateur " " correspondra. Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser toutes les valeurs du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaître les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?

Bien sûr que tu peux! Sortons-le formule générale trouver les coordonnées d'un point.

Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous dit que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées d'un point obtenues en faisant pivoter le point de degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée du point correspond à la longueur du segment. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

Ensuite, nous avons cela pour la coordonnée du point.

En utilisant la même logique, nous trouvons la valeur de coordonnée y du point. Ainsi,

Alors, dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

Coordonnées du centre du cercle,

Rayon du cercle,

L'angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

Eh bien, essayons ces formules en nous entraînant à trouver des points sur un cercle ?

1. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

2. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

3. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

4. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.

5. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.

Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?

Résolvez ces cinq exemples (ou apprenez à les résoudre) et vous apprendrez à les trouver !

1.

Vous pouvez le remarquer. Mais on sait ce qui correspond à une révolution complète du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :

2. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Vous pouvez le remarquer. On sait ce qui correspond à deux tours complets du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :

Le sinus et le cosinus sont des valeurs de tableau. Nous rappelons leurs significations et obtenons :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

3. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Vous pouvez le remarquer. Représentons l'exemple en question dans la figure :

Le rayon fait des angles égaux à et avec l'axe. Sachant que les valeurs du tableau du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici une valeur négative et que le sinus prend une valeur positive, nous avons :

Plus de détails exemples similaires sont compris lors de l'étude des formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

4.

Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition)

Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, nous construisons un cercle et un angle unitaires :

Comme vous pouvez le voir, la valeur est positive et la valeur est négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :

Remplaçons les valeurs obtenues dans notre formule et trouvons les coordonnées :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

5. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des formules sous forme générale, où

Coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,

Rayon du cercle (par condition)

Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition).

Remplaçons toutes les valeurs dans la formule et obtenons :

et - les valeurs du tableau. Rappelons-les et substituons-les dans la formule :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (lointaine) et l'hypoténuse.

Le cosinus d'un angle est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.

La tangente d'un angle est le rapport entre le côté opposé (éloigné) et le côté adjacent (proche).

La cotangente d'un angle est le rapport entre le côté adjacent (proche) et le côté opposé (éloigné).

Trigonométrie - coupe sciences mathématiques, qui explore les fonctions trigonométriques et leur utilisation en géométrie. Le développement de la trigonométrie a commencé dans la Grèce antique. Au Moyen Âge, les scientifiques du Moyen-Orient et de l’Inde ont apporté d’importantes contributions au développement de cette science.

Cet article est consacré aux concepts et définitions de base de la trigonométrie. Il discute des définitions des fonctions trigonométriques de base : sinus, cosinus, tangente et cotangente. Leur signification est expliquée et illustrée dans le contexte de la géométrie.

Initialement, les définitions des fonctions trigonométriques dont l'argument est un angle étaient exprimées en termes de rapport des côtés d'un triangle rectangle.

Définitions des fonctions trigonométriques

Le sinus d'un angle (sin α) est le rapport de la jambe opposée à cet angle à l'hypoténuse.

Cosinus de l'angle (cos α) - le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

Angle tangent (t g α) - le rapport du côté opposé au côté adjacent.

Angle cotangent (c t g α) - le rapport du côté adjacent au côté opposé.

Ces définitions sont données pour l'angle aigu d'un triangle rectangle !

Donnons une illustration.

Dans le triangle ABC d'angle droit C, le sinus de l'angle A est égal au rapport de la jambe BC à l'hypoténuse AB.

Les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente permettent de calculer les valeurs de ces fonctions à partir des longueurs connues des côtés du triangle.

Important à retenir !

La plage de valeurs du sinus et du cosinus est de -1 à 1. En d'autres termes, le sinus et le cosinus prennent des valeurs de -1 à 1. La plage de valeurs de la tangente et de la cotangente est la droite numérique entière, c'est-à-dire que ces fonctions peuvent prendre n'importe quelle valeur.

Les définitions données ci-dessus s'appliquent aux angles aigus. En trigonométrie, on introduit la notion d'angle de rotation dont la valeur, contrairement à un angle aigu, n'est pas limitée à 0 à 90 degrés. L'angle de rotation en degrés ou en radians est exprimé par tout nombre réel compris entre - ∞ et + ∞. .

Dans ce contexte, on peut définir le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle de grandeur arbitraire. Imaginons un cercle unité dont le centre est à l'origine du repère cartésien.

Le point initial A de coordonnées (1, 0) tourne autour du centre du cercle unité d'un certain angle α et va au point A 1. La définition est donnée en fonction des coordonnées du point A 1 (x, y).

Sinus (sin) de l'angle de rotation

Le sinus de l'angle de rotation α est l'ordonnée du point A 1 (x, y). péché α = y

Cosinus (cos) de l'angle de rotation

Le cosinus de l'angle de rotation α est l'abscisse du point A 1 (x, y). cos α = x

Tangente (tg) de l'angle de rotation

La tangente de l'angle de rotation α est le rapport de l'ordonnée du point A 1 (x, y) à son abscisse. t g α = y x

Cotangente (ctg) de l'angle de rotation

La cotangente de l'angle de rotation α est le rapport de l'abscisse du point A 1 (x, y) à son ordonnée. c t g α = x y

Le sinus et le cosinus sont définis pour n'importe quel angle de rotation. C'est logique, car l'abscisse et l'ordonnée d'un point après rotation peuvent être déterminées sous n'importe quel angle. La situation est différente avec la tangente et la cotangente. La tangente est indéfinie lorsqu'un point après rotation va à un point d'abscisse nulle (0, 1) et (0, - 1). Dans de tels cas, l'expression de la tangente t g α = y x n'a tout simplement pas de sens, puisqu'elle contient une division par zéro. La situation est similaire avec la cotangente. La différence est que la cotangente n'est pas définie dans les cas où l'ordonnée d'un point tend vers zéro.

Important à retenir !

Le sinus et le cosinus sont définis pour tout angle α.

La tangente est définie pour tous les angles sauf α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

La cotangente est définie pour tous les angles sauf α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Lorsque vous résolvez des exemples pratiques, ne dites pas « sinus de l'angle de rotation α ». Les mots « angle de rotation » sont simplement omis, ce qui implique que le contexte montre déjà clairement de quoi il s’agit.

Nombres

Qu’en est-il de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d’un nombre, et non de l’angle de rotation ?

Sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un nombre

Sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un nombre t est un nombre respectivement égal au sinus, au cosinus, à la tangente et à la cotangente dans t radian.

Par exemple, le sinus du nombre 10 π est égal au sinus de l'angle de rotation de 10 π rad.

Il existe une autre approche pour déterminer le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un nombre. Regardons-le de plus près.

N'importe quel nombre réel t un point du cercle unité est associé au centre à l'origine du repère cartésien rectangulaire. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont déterminés grâce aux coordonnées de ce point.

Le point de départ du cercle est le point A de coordonnées (1, 0).

Nombre positif t

Nombre négatif t correspond au point auquel ira le point de départ s'il se déplace autour du cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et passe le chemin t.

Maintenant que le lien entre un nombre et un point sur un cercle est établi, passons à la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

Sinus (péché) de t

Sinus d'un nombre t- ordonnée d'un point sur le cercle unité correspondant au nombre t. péché t = y

Cosinus (cos) de t

Cosinus d'un nombre t- abscisse du point du cercle unité correspondant au nombre t. cos t = x

Tangente (tg) de t

Tangente d'un nombre t- le rapport de l'ordonnée à l'abscisse d'un point du cercle unité correspondant au nombre t. t g t = y x = sin t cos t

Les dernières définitions sont conformes et ne contredisent pas la définition donnée au début de ce paragraphe. Point sur le cercle correspondant au numéro t, coïncide avec le point auquel va le point de départ après avoir tourné d'un angle t radian.

Fonctions trigonométriques d'argument angulaire et numérique

Chaque valeur de l'angle α correspond à une certaine valeur du sinus et du cosinus de cet angle. Tout comme tous les angles α autres que α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) correspondent à une certaine valeur tangente. La cotangente, comme indiqué ci-dessus, est définie pour tout α sauf α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

On peut dire que sin α, cos α, t g α, c t g α sont des fonctions de l'angle alpha, ou des fonctions de l'argument angulaire.

De même, on peut parler de sinus, cosinus, tangente et cotangente en fonctions d'un argument numérique. Chaque nombre réel t correspond à une certaine valeur du sinus ou du cosinus d'un nombre t. Tous les nombres autres que π 2 + π · k, k ∈ Z, correspondent à une valeur tangente. De même, la cotangente est définie pour tous les nombres sauf π · k, k ∈ Z.

Fonctions de base de la trigonométrie

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont les fonctions trigonométriques de base.

Il ressort généralement du contexte quel argument de la fonction trigonométrique ( argument d'angle ou argument numérique) nous négocions avec.

Revenons aux définitions données au tout début et à l'angle alpha, qui est compris entre 0 et 90 degrés. Les définitions trigonométriques du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente sont pleinement cohérentes avec définitions géométriques, donné en utilisant les proportions d'un triangle rectangle. Montrons-le.

Prenons un cercle unité avec un centre dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires. Faisons pivoter le point de départ A (1, 0) d'un angle allant jusqu'à 90 degrés et traçons une perpendiculaire à l'axe des abscisses à partir du point résultant A 1 (x, y). Dans le triangle rectangle résultant, l'angle A 1 O H est égal à l'angle de rotation α, la longueur de la jambe O H est égale à l'abscisse du point A 1 (x, y). La longueur de la jambe opposée à l'angle est égale à l'ordonnée du point A 1 (x, y), et la longueur de l'hypoténuse est égale à un, puisqu'il s'agit du rayon du cercle unité.

Conformément à la définition de la géométrie, le sinus de l'angle α est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse.

péché α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Cela signifie que déterminer le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle à travers le rapport d'aspect équivaut à déterminer le sinus de l'angle de rotation α, alpha étant compris entre 0 et 90 degrés.

De même, la correspondance des définitions peut être montrée pour le cosinus, la tangente et la cotangente.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée