Une équation à une inconnue, qui, après avoir ouvert les parenthèses et ramené des termes similaires, prend la forme

hache + b = 0, où a et b sont des nombres arbitraires, est appelé équation linéaire avec une inconnue. Aujourd’hui, nous allons découvrir comment résoudre ces équations linéaires.

Par exemple, toutes les équations :

2x + 3= 7 – 0,5x ; 0,3x = 0 ; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linéaire.

La valeur de l'inconnue qui transforme l'équation en une véritable égalité est appelée décision ou racine de l'équation .

Par exemple, si dans l'équation 3x + 7 = 13 au lieu de l'inconnu x on remplace le nombre 2, on obtient l'égalité correcte 3 2 +7 = 13. Cela signifie que la valeur x = 2 est la solution ou racine de l'équation.

Et la valeur x = 3 ne transforme pas l'équation 3x + 7 = 13 en une véritable égalité, puisque 3 2 +7 ≠ 13. Cela signifie que la valeur x = 3 n'est pas une solution ou une racine de l'équation.

Solution de n'importe quel équations linéaires se réduit à résoudre des équations de la forme

hache + b = 0.

Déplaçons le terme libre du côté gauche de l'équation vers la droite, en changeant le signe devant b au contraire, nous obtenons

Si a ≠ 0, alors x = ‒ b/a .

Exemple 1. Résolvez l'équation 3x + 2 =11.

Déplaçons 2 du côté gauche de l'équation vers la droite, en changeant le signe devant 2 à l'opposé, nous obtenons
3x = 11 – 2.

Faisons la soustraction, alors
3x = 9.

Pour trouver x, vous devez diviser le produit par un facteur connu, c'est-à-dire
x = 9:3.

Cela signifie que la valeur x = 3 est la solution ou racine de l'équation.

Réponse : x = 3.

Si a = 0 et b = 0, alors nous obtenons l'équation 0x = 0. Cette équation a une infinité de solutions, car lorsque nous multiplions un nombre par 0, nous obtenons 0, mais b est également égal à 0. La solution de cette équation est n'importe quel nombre.

Exemple 2. Résolvez l'équation 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Développons les parenthèses :
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Voici quelques termes similaires :
0x = 0.

Réponse : x - n'importe quel nombre.

Si a = 0 et b ≠ 0, alors nous obtenons l'équation 0x = - b. Cette équation n'a pas de solution, puisque lorsque nous multiplions un nombre par 0, nous obtenons 0, mais b ≠ 0.

Exemple 3. Résolvez l'équation x + 8 = x + 5.

Regroupons les termes contenant des inconnues sur le côté gauche, et les termes libres sur le côté droit :
x – x = 5 – 8.

Voici quelques termes similaires :
0х = ‒ 3.

Réponse : aucune solution.

Sur Figure 1 montre un diagramme pour résoudre une équation linéaire

Établissons un schéma général pour résoudre des équations à une variable. Considérons la solution de l'exemple 4.

Exemple 4. Supposons que nous devions résoudre l'équation

1) Multipliez tous les termes de l'équation par le plus petit commun multiple des dénominateurs, égal à 12.

2) Après réduction on obtient
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Pour séparer les termes contenant des termes inconnus et libres, ouvrez les parenthèses :
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Regroupons dans une partie les termes contenant des inconnues, et dans l'autre - les termes libres :
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Présentons des termes similaires :
- 22х = - 154.

6) Divisez par – 22, nous obtenons
x = 7.

Comme vous pouvez le constater, la racine de l’équation est sept.

Généralement tel les équations peuvent être résolues en utilisant le schéma suivant:

a) amener l'équation à sa forme entière ;

b) ouvrir les supports ;

c) regrouper les termes contenant l'inconnue dans une partie de l'équation, et les termes libres dans l'autre ;

d) amener des membres similaires ;

e) résoudre une équation de la forme aх = b, qui a été obtenue après avoir rapproché des termes similaires.

Cependant, ce schéma n’est pas nécessaire pour toutes les équations. En résolvant beaucoup d'autres équations simples il faut commencer non pas par le premier, mais par le second ( Exemple. 2), troisième ( Exemple. 13) et même dès la cinquième étape, comme dans l'exemple 5.

Exemple 5. Résolvez l'équation 2x = 1/4.

Trouver l'inconnu x = 1/4 : 2,
x = 1/8 .

Examinons la résolution de quelques équations linéaires trouvées dans l'examen d'État principal.

Exemple 6. Résolvez l'équation 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Réponse : - 0,125

Exemple 7. Résolvez l'équation – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Réponse : 2.3

Exemple 8. Résous l'équation

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Exemple 9. Trouver f(6) si f (x + 2) = 3 7

Solution

Puisque nous devons trouver f(6), et que nous connaissons f (x + 2),
alors x + 2 = 6.

On résout l'équation linéaire x + 2 = 6,
nous obtenons x = 6 – 2, x = 4.

Si x = 4 alors
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Réponse : 27.

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Analysons deux types de solutions aux systèmes d'équations :

1. Résoudre le système en utilisant la méthode de substitution.
2. Résoudre le système par addition (soustraction) terme par terme des équations du système.

Pour résoudre le système d'équations par méthode de substitution vous devez suivre un algorithme simple :
1. Exprimez. À partir de n'importe quelle équation, nous exprimons une variable.
2. Remplacer. Nous substituons la valeur résultante dans une autre équation au lieu de la variable exprimée.
3. Résolvez l'équation résultante avec une variable. Nous trouvons une solution au système.

Résoudre système par méthode d'addition (soustraction) terme par terme besoin de:
1. Sélectionnez une variable pour laquelle nous ferons des coefficients identiques.
2. Nous ajoutons ou soustrayons des équations, ce qui donne une équation à une variable.
3. Résolvez l’équation linéaire résultante. Nous trouvons une solution au système.

La solution du système réside dans les points d’intersection des graphiques de fonctions.

Examinons en détail la solution des systèmes à l'aide d'exemples.

Exemple 1:

Résolvons par méthode de substitution

Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution

2x+5y=1 (1 équation)
x-10y=3 (2ème équation)

1. Exprimer
On peut voir que dans la deuxième équation il y a une variable x avec un coefficient de 1, ce qui signifie qu'il est plus simple d'exprimer la variable x à partir de la deuxième équation.
x=3+10a

2.Après l'avoir exprimé, nous substituons 3+10y dans la première équation au lieu de la variable x.
2(3+10 ans)+5 ans=1

3. Résolvez l'équation résultante avec une variable.
2(3+10y)+5y=1 (ouvrez les parenthèses)
6+20 ans+5 ans=1
25 ans = 1-6
25 ans = -5 | : (25)
y=-5:25
y=-0,2

La solution du système d'équations sont les points d'intersection des graphiques, nous devons donc trouver x et y, car le point d'intersection est constitué de x et y. Trouvons x, au premier point où nous l'avons exprimé, nous substituons y.
x=3+10a
x=3+10*(-0,2)=1

Il est d'usage d'écrire des points en premier lieu on écrit la variable x, et en second lieu la variable y.
Réponse : (1 ; -0,2)

Exemple n°2 :

Résolvons en utilisant la méthode d'addition (soustraction) terme par terme.

Résoudre un système d'équations par la méthode d'addition

3x-2y=1 (1 équation)
2x-3y=-10 (2ème équation)

1. Nous choisissons une variable, disons que nous choisissons x. Dans la première équation, la variable x a un coefficient de 3, dans la seconde - 2. Nous devons rendre les coefficients identiques, pour cela nous avons le droit de multiplier les équations ou de diviser par n'importe quel nombre. On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 et obtenons un coefficient total de 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a=2

2x-3a=-10 |*3
6x-9a=-30

2. Soustrayez la seconde de la première équation pour éliminer la variable X. Résolvez l'équation linéaire.
__6x-4a=2

5 ans = 32 | :5
y=6,4

3. Trouvez x. Nous substituons le y trouvé dans n’importe laquelle des équations, disons dans la première équation.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Le point d'intersection sera x=4,6 ; y=6,4
Réponse : (4.6 ; 6.4)

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Que sont les équations irrationnelles et comment les résoudre

Les équations dans lesquelles la variable est contenue sous le signe radical ou sous le signe d'élévation à une puissance fractionnaire sont appelées irrationnel. Lorsque nous traitons de puissances fractionnaires, nous nous privons de nombreuses opérations mathématiques pour résoudre l’équation, c’est pourquoi les équations irrationnelles sont résolues d’une manière particulière.

Les équations irrationnelles sont généralement résolues en élevant les deux côtés de l’équation à la même puissance. De plus, élever les deux côtés de l’équation au même niveau n’est pas même degré est une transformation équivalente d'une équation, et en une transformation paire est une transformation inégale. Cette différence est obtenue en raison de telles caractéristiques d'élévation à une puissance, par exemple si elle est élevée à une puissance paire, alors valeurs négatives"Aller se faire cuire un œuf."

L’intérêt d’élever les deux côtés d’une équation irrationnelle à un pouvoir est le désir de se débarrasser de « l’irrationalité ». Nous devons donc élever les deux côtés de l’équation irrationnelle à un point tel que tous puissances fractionnaires les deux côtés de l’équation se sont transformés en un tout. Ensuite, vous pouvez chercher une solution équation donnée, qui coïncidera avec les solutions de l'équation irrationnelle, à la différence qu'en cas d'élévation à une puissance paire, le signe est perdu et les solutions finales nécessiteront une vérification et toutes ne conviendront pas.

Ainsi, la principale difficulté est liée à l'élévation des deux côtés de l'équation à la même puissance paire - en raison de l'inégalité de la transformation, des racines superflues peuvent apparaître. Il est donc nécessaire de vérifier toutes les racines trouvées. Ceux qui résolvent une équation irrationnelle oublient le plus souvent de vérifier les racines trouvées. Il n’est pas toujours clair non plus dans quelle mesure une équation irrationnelle doit être posée pour se débarrasser de l’irrationalité et la résoudre. Notre calculatrice intelligente a été créée spécifiquement pour résoudre des équations irrationnelles et vérifier automatiquement toutes les racines, ce qui vous évitera l'oubli.

Calculateur d'équations irrationnelles en ligne gratuit

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Instructions

Note:π s'écrit pi ; racine carrée comme sqrt().

Étape 1. Entrez un exemple donné composé de fractions.

Étape 2. Cliquez sur le bouton « Résoudre ».

Étape 3. Obtenez des résultats détaillés.

Pour vous assurer que la calculatrice calcule correctement les fractions, saisissez la fraction séparée par le signe « / ». Par exemple: . La calculatrice calculera l'équation et montrera même sur le graphique pourquoi ce résultat a été obtenu.

Qu'est-ce qu'une équation avec des fractions

Une équation fractionnaire est une équation dans laquelle les coefficients sont nombres fractionnaires. Les équations linéaires avec fractions sont résolues selon le schéma standard : les inconnues sont transférées d'un côté et les connues de l'autre.

Regardons un exemple :

Les fractions avec des inconnues sont transférées vers la gauche et les autres fractions sont transférées vers la droite. Lorsque les nombres sont transférés au-delà du signe égal, alors le signe des nombres change à l'opposé :

Il ne vous reste plus qu'à effectuer les actions des deux côtés de l'égalité :

Le résultat est une équation linéaire ordinaire. Vous devez maintenant diviser les côtés gauche et droit par le coefficient de la variable.

Résolvez des équations avec des fractions en ligne mise à jour : 7 octobre 2018 par : Articles scientifiques.Ru

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