Dans le cours d'algèbre de 7e, nous avons traité des transformations d'expressions entières, c'est-à-dire des expressions composées de nombres et de variables utilisant les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication, ainsi que la division par un nombre autre que zéro. Donc les expressions sont des entiers

En revanche, les expressions

en plus des actions d'addition, de soustraction et de multiplication, ils contiennent une division en une expression avec des variables. De telles expressions sont appelées expressions fractionnaires.

Les expressions entières et fractionnaires sont appelées expressions rationnelles.

Une expression entière a du sens pour toutes les valeurs des variables qu'elle contient, car pour trouver la valeur d'une expression entière, vous devez effectuer des actions toujours possibles.

Une expression fractionnaire peut ne pas avoir de sens pour certaines valeurs de variables. Par exemple, l'expression - n'a pas de sens lorsque a = 0. Pour toutes les autres valeurs de a, cette expression a du sens. L'expression a du sens pour les valeurs de x et y lorsque x ≠ y.

Les valeurs des variables pour lesquelles l'expression a un sens sont appelées valeurs valides des variables.

Une expression de la forme est connue sous le nom de fraction.

Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes est appelée fraction rationnelle.

Des exemples de fractions rationnelles sont les fractions

DANS fraction rationnelle sont admissibles les valeurs des variables auxquelles le dénominateur de la fraction ne disparaît pas.

Exemple 1. Trouvons les valeurs acceptables de la variable dans la fraction

Solution Pour savoir à quelles valeurs de a le dénominateur de la fraction devient nul, vous devez résoudre l'équation une(une - 9) = 0. Cette équation a deux racines : 0 et 9. Par conséquent, tous les nombres sauf 0 et 9 sont des valeurs valides pour la variable a.

Exemple 2. A quelle valeur de x est la valeur de la fraction égal à zéro ?

Solution Une fraction est nulle si et seulement si a - 0 et b ≠ 0.

Cet article explique comment trouver les valeurs d'expressions mathématiques. Commençons par des expressions numériques simples, puis considérons les cas à mesure que leur complexité augmente. À la fin, nous donnons une expression contenant des désignations de lettres, des parenthèses, des racines, des signes mathématiques, diplômes, fonctions, etc. Conformément à la tradition, nous fournirons à l’ensemble de la théorie des exemples abondants et détaillés.

Comment trouver la valeur d'une expression numérique ?

Les expressions numériques, entre autres, aident à décrire la condition problématique langage mathématique. En général, les expressions mathématiques peuvent être soit très simples, constituées d'une paire de nombres et de symboles arithmétiques, soit très complexes, contenant des fonctions, des puissances, des racines, des parenthèses, etc. Dans le cadre d’une tâche, il est souvent nécessaire de trouver le sens d’une expression particulière. Comment procéder sera discuté ci-dessous.

Les cas les plus simples

Ce sont des cas où l’expression ne contient que des nombres et des opérations arithmétiques. Pour réussir à trouver les valeurs de telles expressions, vous aurez besoin de connaître l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques sans parenthèses, ainsi que la capacité d'effectuer des opérations avec différents nombres.

Si l'expression ne contient que des nombres et des signes arithmétiques " + " , " · " , " - " , " ÷ " , alors les actions sont effectuées de gauche à droite dans l'ordre suivant : d'abord multiplication et division, puis addition et soustraction. Donnons des exemples.

Exemple 1. Signification expression numérique

Laissez-vous devoir trouver les valeurs de l'expression 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Faisons d'abord la multiplication et la division. On a:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Maintenant, nous effectuons la soustraction et obtenons le résultat final :

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemple 2 : la valeur d'une expression numérique

Calculons : 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Nous effectuons d’abord la conversion, la division et la multiplication de fractions :

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Faisons maintenant quelques additions et soustractions. Regroupons les fractions et ramenons-les à un dénominateur commun :

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

La valeur requise a été trouvée.

Expressions avec parenthèses

Si une expression contient des parenthèses, elles définissent l'ordre des opérations dans cette expression. Les actions entre parenthèses sont réalisées en premier, puis toutes les autres. Montrons cela avec un exemple.

Exemple 3 : la valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression 0,5 · (0,76 - 0,06).

L'expression contient des parenthèses, nous effectuons donc d'abord l'opération de soustraction entre parenthèses, et ensuite seulement la multiplication.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

La signification des expressions contenant des parenthèses entre parenthèses se trouve selon le même principe.

Exemple 4 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Nous effectuerons des actions en commençant par les parenthèses les plus intérieures et en passant aux parenthèses extérieures.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Lors de la recherche de la signification des expressions entre parenthèses, l'essentiel est de suivre la séquence d'actions.

Expressions avec des racines

Les expressions mathématiques dont nous devons trouver les valeurs peuvent contenir des signes racines. De plus, l'expression elle-même peut être sous le signe racine. Que faire dans ce cas ? Vous devez d'abord trouver la valeur de l'expression sous la racine, puis extraire la racine du nombre obtenu. Si possible, il vaut mieux se débarrasser des racines dans les expressions numériques, en remplaçant de par valeurs numériques.

Exemple 5 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression avec les racines - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Tout d’abord, nous calculons les expressions radicales.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Vous pouvez maintenant calculer la valeur de l’expression entière.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Souvent, trouver le sens d’une expression avec des racines nécessite souvent d’abord de transformer l’expression originale. Expliquons cela avec un autre exemple.

Exemple 6 : La valeur d'une expression numérique

Combien font 3 + 1 3 - 1 - 1

Comme vous pouvez le constater, nous n'avons pas la possibilité de remplacer la racine par une valeur exacte, ce qui complique le processus de comptage. Cependant, dans ce cas, vous pouvez appliquer la formule de multiplication abrégée.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Ainsi:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expressions avec pouvoirs

Si une expression contient des puissances, leurs valeurs doivent être calculées avant de procéder à toutes les autres actions. Il arrive que l'exposant ou la base du degré lui-même soient des expressions. Dans ce cas, la valeur de ces expressions est d'abord calculée, puis la valeur du diplôme.

Exemple 7 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Commençons à calculer dans l'ordre.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Il ne reste plus qu'à effectuer l'opération d'addition et découvrir le sens de l'expression :

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Il est aussi souvent conseillé de simplifier une expression en utilisant les propriétés d’un diplôme.

Exemple 8 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression suivante : 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Les exposants sont encore une fois tels que leurs valeurs numériques exactes ne peuvent pas être obtenues. Simplifions l'expression originale pour trouver sa valeur.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expressions avec des fractions

Si une expression contient des fractions, lors du calcul d'une telle expression, toutes les fractions qu'elle contient doivent être représentées comme des fractions ordinaires et leurs valeurs​​calculées.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction contiennent des expressions, les valeurs de ces expressions sont d'abord calculées et la valeur finale de la fraction elle-même est écrite. Les opérations arithmétiques sont effectuées dans l'ordre standard. Regardons l'exemple de solution.

Exemple 9 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression contenant des fractions : 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Comme vous pouvez le voir, il y a trois fractions dans l’expression originale. Calculons d'abord leurs valeurs.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Réécrivons notre expression et calculons sa valeur :

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Souvent, pour trouver le sens des expressions, il est pratique de réduire les fractions. Il existe une règle tacite : avant de trouver sa valeur, il est préférable de simplifier au maximum toute expression, en réduisant tous les calculs aux cas les plus simples.

Exemple 10 : La valeur d'une expression numérique

Calculons l'expression 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nous ne pouvons pas extraire complètement la racine de cinq, mais nous pouvons simplifier l’expression originale grâce à des transformations.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

L'expression originale prend la forme :

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Calculons la valeur de cette expression :

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expressions avec logarithmes

Lorsque des logarithmes sont présents dans une expression, leur valeur est calculée depuis le début, si possible. Par exemple, dans l'expression log 2 4 + 2 · 4, vous pouvez immédiatement écrire la valeur de ce logarithme au lieu du log 2 4, puis effectuer toutes les actions. On obtient : log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Des expressions numériques peuvent également être trouvées sous le signe du logarithme lui-même et à sa base. Dans ce cas, la première chose à faire est de trouver leur signification. Prenons l'expression log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Nous avons:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

S'il est impossible de calculer la valeur exacte du logarithme, simplifier l'expression permet de trouver sa valeur.

Exemple 11 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

journal 2 journal 2 256 = journal 2 8 = 3 .

Par la propriété des logarithmes :

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

En utilisant à nouveau les propriétés des logarithmes, pour la dernière fraction de l'expression, nous obtenons :

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Vous pouvez maintenant procéder au calcul de la valeur de l'expression d'origine.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expressions avec fonctions trigonométriques

Il arrive que l'expression contienne les fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente, ainsi que leurs fonctions inverses. La valeur est calculée avant que toutes les autres opérations arithmétiques ne soient effectuées. Sinon, l'expression est simplifiée.

Exemple 12 : La valeur d'une expression numérique

Trouvez la valeur de l'expression : t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Nous calculons d’abord les valeurs fonctions trigonométriques inclus dans l'expression.

péché - 5 π 2 = - 1

Nous substituons les valeurs dans l'expression et calculons sa valeur :

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

La valeur de l'expression a été trouvée.

Souvent, pour trouver la valeur d’une expression avec des fonctions trigonométriques, il faut d’abord la convertir. Expliquons avec un exemple.

Exemple 13 : La valeur d'une expression numérique

Nous devons trouver la valeur de l'expression cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pour la conversion, nous utiliserons formules trigonométriques cosinus double angle et le cosinus de la somme.

cos 2 π 8 - péché 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - péché 5 π 36 péché π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Cas général d'une expression numérique

De manière générale, une expression trigonométrique peut contenir tous les éléments décrits ci-dessus : parenthèses, puissances, racines, logarithmes, fonctions. Formulons règle générale trouver le sens de telles expressions.

Comment trouver la valeur d'une expression

1. Racines, puissances, logarithmes, etc. sont remplacés par leurs valeurs.
2. Les actions entre parenthèses sont exécutées.
3. Les actions restantes sont effectuées dans l'ordre de gauche à droite. D'abord - multiplication et division, puis - addition et soustraction.

Regardons un exemple.

Exemple 14 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

L'expression est assez complexe et lourde. Ce n'est pas par hasard que nous avons choisi un tel exemple, après avoir essayé d'y intégrer tous les cas décrits ci-dessus. Comment trouver le sens d’une telle expression ?

On sait que lors du calcul de la valeur d'un complexe forme fractionnaire, d'abord les valeurs du numérateur et du dénominateur de la fraction se trouvent respectivement séparément. Nous allons transformer et simplifier séquentiellement cette expression.

Tout d'abord, calculons la valeur de l'expression radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pour ce faire, vous devez trouver la valeur du sinus et l'expression qui est l'argument de la fonction trigonométrique.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Vous pouvez maintenant connaître la valeur du sinus :

péché π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = péché π 6 + 2 π = péché π 6 = 1 2.

On calcule la valeur de l'expression radicale :

2 péché π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · péché π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Avec le dénominateur de la fraction tout est plus simple :

Nous pouvons maintenant écrire la valeur de la fraction entière :

2 · péché π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

En tenant compte de cela, nous écrivons l'expression entière :

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Résultat final:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Dans ce cas, nous avons pu calculer les valeurs exactes des racines, des logarithmes, des sinus, etc. Si cela n’est pas possible, vous pouvez essayer de vous en débarrasser grâce à des transformations mathématiques.

Calculer les valeurs d'expression à l'aide de méthodes rationnelles

Les valeurs numériques doivent être calculées de manière cohérente et précise. Ce processus peut être rationalisé et accéléré en utilisant diverses propriétés des opérations avec les nombres. Par exemple, on sait qu'un produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Compte tenu de cette propriété, on peut immédiatement dire que l'expression 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 est égale à zéro. Dans le même temps, il n'est pas du tout nécessaire d'effectuer les actions dans l'ordre décrit dans l'article ci-dessus.

Il est également pratique d'utiliser la propriété de soustraire des nombres égaux. Sans effectuer aucune action, vous pouvez ordonner que la valeur de l'expression 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 soit également nulle.

Une autre technique permettant d’accélérer le processus consiste à utiliser des transformations d’identité telles que le regroupement de termes et de facteurs et la mise entre parenthèses du facteur commun. Une approche rationnelle pour calculer des expressions avec des fractions consiste à réduire les mêmes expressions au numérateur et au dénominateur.

Par exemple, prenons l'expression 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Sans effectuer les opérations entre parenthèses, mais en réduisant la fraction, on peut dire que la valeur de l'expression est 1 3 .

Trouver les valeurs des expressions avec des variables

La signification d'une expression littérale et d'une expression avec des variables est trouvée pour des définir des valeurs lettres et variables.

Trouver les valeurs des expressions avec des variables

Pour trouver la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables, vous devez remplacer les valeurs données des lettres et des variables dans l'expression d'origine, puis calculer la valeur de l'expression numérique résultante.

Exemple 15 : Valeur d'une expression avec des variables

Calculez la valeur de l'expression 0, 5 x - y étant donné x = 2, 4 et y = 5.

Nous substituons les valeurs des variables dans l'expression et calculons :

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Parfois, vous pouvez transformer une expression pour obtenir sa valeur quelles que soient les valeurs des lettres et des variables qu'elle contient. Pour ce faire, vous devez vous débarrasser des lettres et des variables dans l'expression, si possible, en utilisant transformations identitaires, propriétés des opérations arithmétiques et toutes les autres méthodes possibles.

Par exemple, l'expression x + 3 - x a évidemment la valeur 3, et pour calculer cette valeur il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de la variable x. Signification expression donnée est égal à trois pour toutes les valeurs de la variable x de son domaine valeurs acceptables.

Encore un exemple. La valeur de l'expression x x est égale à un pour tous les x positifs.

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Ainsi, si une expression numérique est composée de nombres et des signes +, −, · et :, alors dans l'ordre de gauche à droite vous devez d'abord effectuer la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction, ce qui vous permettra de trouver le valeur souhaitée de l’expression.

Donnons quelques exemples pour clarifier.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression 14−2·15:6−3.

Solution.

Pour trouver la valeur d'une expression, vous devez effectuer toutes les actions qui y sont spécifiées conformément à l'ordre accepté pour effectuer ces actions. Tout d'abord, dans l'ordre de gauche à droite, nous effectuons la multiplication et la division, nous obtenons 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Maintenant, nous effectuons également les actions restantes dans l'ordre de gauche à droite : 14−5−3=9−3=6. C'est ainsi que nous avons trouvé la valeur de l'expression originale, elle est égale à 6.

Répondre:

14−2·15 :6−3=6.

Exemple.

Trouvez le sens de l’expression.

Solution.

Dans cet exemple, nous devons d'abord faire la multiplication 2·(−7) et la division avec la multiplication dans l'expression . En nous rappelant comment , nous trouvons 2·(−7)=−14. Et d'abord effectuer les actions dans l'expression , alors , et exécutez : .

Nous substituons les valeurs obtenues dans l'expression originale : .

Mais que se passe-t-il s'il y a une expression numérique sous le signe racine ? Pour obtenir la valeur d'une telle racine, vous devez d'abord trouver la valeur de l'expression radicale, en respectant l'ordre accepté pour effectuer les actions. Par exemple, .

Dans les expressions numériques, les racines doivent être perçues comme des nombres, et il est conseillé de remplacer immédiatement les racines par leurs valeurs, puis de trouver la valeur de l'expression résultante sans racines, en effectuant des actions dans la séquence acceptée.

Exemple.

Trouvez le sens de l'expression avec les racines.

Solution.

Trouvons d'abord la valeur de la racine . Pour ce faire, dans un premier temps, on calcule la valeur de l'expression radicale, on a −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Et deuxièmement, on trouve la valeur de la racine.

Calculons maintenant la valeur de la deuxième racine à partir de l'expression originale : .

Enfin, on peut retrouver le sens de l'expression originale en remplaçant les racines par leurs valeurs : .

Répondre:

Bien souvent, pour trouver le sens d’une expression avec des racines, il faut d’abord la transformer. Montrons la solution de l'exemple.

Exemple.

Quel est le sens de l'expression .

Solution.

Nous ne pouvons pas remplacer la racine de trois par sa valeur exacte, ce qui nous empêche de calculer la valeur de cette expression de la manière décrite ci-dessus. Cependant, nous pouvons calculer la valeur de cette expression en effectuant des transformations simples. En vigueur formule de différence carrée: . En prenant en compte, on obtient . Ainsi, la valeur de l’expression originale est 1.

Répondre:

.

Avec des diplômes

Si la base et l'exposant sont des nombres, leur valeur est calculée en déterminant le degré, par exemple 3 2 =3·3=9 ou 8 −1 =1/8. Il existe également des entrées dans lesquelles la base et/ou l'exposant sont des expressions. Dans ces cas, vous devez trouver la valeur de l'expression dans la base, la valeur de l'expression dans l'exposant, puis calculer la valeur du degré lui-même.

Exemple.

Trouver la valeur d'une expression avec des puissances de la forme 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Solution.

Dans l'expression originale, il y a deux puissances 2 3·4−10 et (1−1/2) 3,5−2·1/4. Leurs valeurs doivent être calculées avant d'effectuer d'autres actions.

Commençons par la puissance 2 3·4−10. Son indicateur contient une expression numérique, calculons sa valeur : 3·4−10=12−10=2. Vous pouvez maintenant trouver la valeur du degré lui-même : 2 3·4−10 =2 2 =4.

La base et l'exposant (1−1/2) 3,5−2 1/4 contiennent des expressions, on calcule leurs valeurs pour ensuite trouver la valeur de l'exposant. Nous avons (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Nous revenons maintenant à l'expression d'origine, remplaçons les degrés par leurs valeurs et trouvons la valeur de l'expression dont nous avons besoin : 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Répondre:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Il convient de noter qu'il existe des cas plus courants où il est conseillé de procéder à une enquête préliminaire. simplification de l'expression avec pouvoirs sur le socle.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

À en juger par les exposants dans cette expression, il ne sera pas possible d'obtenir les valeurs exactes des exposants. Essayons de simplifier l'expression originale, cela aidera peut-être à trouver son sens. Nous avons

Répondre:

.

Les puissances dans les expressions vont souvent de pair avec les logarithmes, mais nous parlerons de trouver le sens des expressions avec des logarithmes dans l'un des.

Trouver la valeur d'une expression avec des fractions

Les expressions numériques dans leur entrée peuvent contenir fractions. Lorsque vous avez besoin de trouver le sens d'une expression comme celle-ci, les fractions autres que les fractions doivent être remplacées par leurs valeurs avant de passer au reste des étapes.

Le numérateur et le dénominateur des fractions (qui sont différents des fractions ordinaires) peuvent contenir à la fois des nombres et des expressions. Pour calculer la valeur d'une telle fraction, vous devez calculer la valeur de l'expression au numérateur, calculer la valeur de l'expression au dénominateur, puis calculer la valeur de la fraction elle-même. Cet ordre s'explique par le fait que la fraction a/b, où a et b sont des expressions, représente essentiellement un quotient de la forme (a):(b), puisque .

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouver le sens d'une expression avec des fractions .

Solution.

Il y a trois fractions dans l'expression numérique originale Et . Pour trouver la valeur de l’expression originale, nous devons d’abord remplacer ces fractions par leurs valeurs. Faisons-le.

Le numérateur et le dénominateur d'une fraction contiennent des nombres. Pour trouver la valeur d'une telle fraction, remplacez la barre de fraction par un signe de division et effectuez cette action : .

Au numérateur de la fraction il y a une expression 7−2·3, sa valeur est facile à trouver : 7−2·3=7−6=1. Ainsi, . Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur de la troisième fraction.

La troisième fraction du numérateur et du dénominateur contient des expressions numériques, vous devez donc d'abord calculer leurs valeurs, ce qui vous permettra de trouver la valeur de la fraction elle-même. Nous avons .

Il reste à substituer les valeurs trouvées dans l'expression d'origine et à effectuer les actions restantes : .

Répondre:

.

Souvent, pour trouver les valeurs d'expressions avec des fractions, vous devez effectuer simplifier des expressions fractionnaires, basé sur l'exécution d'opérations avec des fractions et la réduction de fractions.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

La racine de cinq ne peut pas être extraite complètement, donc pour trouver la valeur de l’expression originale, simplifions-la d’abord. Pour ça débarrassons-nous de l'irrationalité au dénominateur première fraction : . Après cela, l'expression originale prendra la forme . Après avoir soustrait les fractions, les racines disparaîtront, ce qui permettra de retrouver la valeur de l'expression initialement donnée : .

Répondre:

.

Avec des logarithmes

Si une expression numérique contient et s'il est possible de s'en débarrasser, cela est fait avant d'effectuer d'autres actions. Par exemple, lors de la recherche de la valeur de l'expression log 2 4+2·3, le logarithme log 2 4 est remplacé par sa valeur 2, après quoi les actions restantes sont effectuées dans l'ordre habituel, c'est-à-dire log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Lorsqu'il existe des expressions numériques sous le signe du logarithme et/ou à sa base, on trouve d'abord leurs valeurs, après quoi la valeur du logarithme est calculée. Par exemple, considérons une expression avec un logarithme de la forme . A la base du logarithme et sous son signe se trouvent des expressions numériques ; on retrouve leurs valeurs : . Nous trouvons maintenant le logarithme, après quoi nous complétons les calculs : .

Si les logarithmes ne sont pas calculés avec précision, alors simplification préliminaire à l'aide de . Dans ce cas, vous devez avoir une bonne maîtrise du contenu de l'article conversion d'expressions logarithmiques.

Exemple.

Trouver la valeur d'une expression avec des logarithmes .

Solution.

Commençons par calculer log 2 (log 2 256) . Puisque 256=2 8, alors log 2 256=8, donc, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Les logarithmes log 6 2 et log 6 3 peuvent être regroupés. La somme des logarithmes log 6 2+log 6 3 est égale au logarithme du produit log 6 (2 3), donc, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Regardons maintenant la fraction. Pour commencer, on réécrit la base du logarithme au dénominateur sous la forme fraction commune comme 1/5, après quoi nous utiliserons les propriétés des logarithmes, ce qui nous permettra d'obtenir la valeur de la fraction :
.

Il ne reste plus qu'à substituer les résultats obtenus dans l'expression originale et finir de trouver sa valeur :

Répondre:

Comment trouver la valeur d’une expression trigonométrique ?

Lorsqu'une expression numérique contient ou, etc., leurs valeurs sont calculées avant d'effectuer d'autres actions. S'il existe des expressions numériques sous le signe des fonctions trigonométriques, leurs valeurs sont d'abord calculées, après quoi les valeurs des fonctions trigonométriques sont trouvées.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

En passant à l'article, nous obtenons et cosπ=−1 . On substitue ces valeurs dans l'expression originale, elle prend la forme . Pour trouver sa valeur, vous devez d'abord effectuer une exponentiation, puis terminer les calculs : .

Répondre:

.

Il est à noter que le calcul des valeurs d'expressions avec sinus, cosinus, etc. nécessite souvent un préalable transformation expression trigonométrique .

Exemple.

Quelle est la valeur de l'expression trigonométrique .

Solution.

Transformons l'expression originale en utilisant , dans ce cas nous aurons besoin de la formule du cosinus de l'angle double et de la formule du cosinus de la somme :

Les transformations que nous avons effectuées nous ont aidé à trouver le sens de l'expression.

Répondre:

.

Cas général

En général, une expression numérique peut contenir des racines, des puissances, des fractions, certaines fonctions et des parenthèses. Trouver les valeurs de telles expressions consiste à effectuer les actions suivantes :

• premières racines, puissances, fractions, etc. sont remplacés par leurs valeurs,
• d'autres actions entre parenthèses,
• et dans l'ordre de gauche à droite, les opérations restantes sont effectuées - multiplication et division, suivies de l'addition et de la soustraction.

Les actions répertoriées sont effectuées jusqu'à l'obtention du résultat final.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

La forme de cette expression est assez complexe. Dans cette expression, nous voyons des fractions, des racines, des puissances, des sinus et des logarithmes. Comment trouver sa valeur ?

En parcourant l'enregistrement de gauche à droite, on retrouve une fraction du formulaire . Nous savons que lorsqu'on travaille avec des fractions type complexe, nous devons calculer séparément la valeur du numérateur, séparément le dénominateur, et enfin trouver la valeur de la fraction.

Au numérateur on a la racine de la forme . Pour déterminer sa valeur, vous devez d'abord calculer la valeur de l'expression radicale . Il y a un sinus ici. On ne peut trouver sa valeur qu'après avoir calculé la valeur de l'expression . Nous pouvons faire ceci : . Alors d'où et d'où .

Le dénominateur est simple : .

Ainsi, .

Après avoir remplacé ce résultat dans l'expression originale, il prendra la forme . L'expression résultante contient le degré . Pour trouver sa valeur, il faut d’abord trouver la valeur de l’indicateur, on a .

Donc, .

Répondre:

.

S'il n'est pas possible de calculer les valeurs exactes des racines, des puissances, etc., vous pouvez alors essayer de vous en débarrasser en utilisant certaines transformations, puis revenir au calcul de la valeur selon le schéma spécifié.

Façons rationnelles de calculer les valeurs des expressions

Le calcul des valeurs d'expressions numériques nécessite cohérence et précision. Oui, il est nécessaire de respecter la séquence d'actions enregistrée dans les paragraphes précédents, mais il n'est pas nécessaire de le faire aveuglément et mécaniquement. Ce que nous entendons par là, c’est qu’il est souvent possible de rationaliser le processus de recherche du sens d’une expression. Par exemple, certaines propriétés des opérations avec des nombres peuvent accélérer et simplifier considérablement la recherche de la valeur d'une expression.

Par exemple, on connaît cette propriété de multiplication : si l’un des facteurs du produit est égal à zéro, alors la valeur du produit est égale à zéro. En utilisant cette propriété, on peut immédiatement dire que la valeur de l'expression 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) est égal à zéro. Si l’on suivait l’ordre standard des opérations, il faudrait d’abord calculer les valeurs des expressions encombrantes entre parenthèses, ce qui prendrait beaucoup de temps, et le résultat serait toujours nul.

Il est également pratique d'utiliser la propriété de soustraire des nombres égaux : si vous soustrayez un nombre égal d'un nombre, le résultat est zéro. Cette propriété peut être considérée de manière plus large : la différence entre deux expressions numériques identiques est nulle. Par exemple, sans calculer la valeur des expressions entre parenthèses, vous pouvez trouver la valeur de l'expression (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), il est égal à zéro, puisque l'expression originale est la différence d'expressions identiques.

Le calcul rationnel des valeurs d'expression peut être facilité par transformations identitaires. Par exemple, cela peut être utile regroupement de termes et de facteurs, non moins souvent utilisé mettre le facteur commun entre parenthèses. Ainsi la valeur de l'expression 53·5+53·7−53·11+5 est très facile à trouver après avoir pris le facteur 53 entre parenthèses : 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Un calcul direct prendrait beaucoup plus de temps.

Pour conclure ce point, prêtons attention à une approche rationnelle du calcul des valeurs des expressions avec des fractions - les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur de la fraction sont annulés. Par exemple, réduire les mêmes expressions au numérateur et au dénominateur d'une fraction permet de retrouver immédiatement sa valeur, qui est égale à 1/2.

Trouver la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables

Signification des expressions littérales et variables se trouve pour des valeurs données spécifiques de lettres et de variables. C'est, nous parlons de sur la recherche de la valeur d'une expression littérale pour des valeurs de lettres données ou sur la recherche de la valeur d'une expression avec des variables pour des valeurs de variables sélectionnées.

Règle trouver la valeur d'une expression littérale ou d'une expression avec des variables pour des valeurs données de lettres ou des valeurs sélectionnées de variables est la suivante : vous devez remplacer les valeurs données de lettres ou de variables dans l'expression d'origine et calculer la valeur de l'expression numérique résultante ; c'est la valeur souhaitée.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression 0,5·x−y à x=2,4 et y=5.

Solution.

Pour trouver la valeur requise de l'expression, vous devez d'abord remplacer les valeurs données des variables dans l'expression d'origine, puis effectuer les étapes suivantes : 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Répondre:

−3,8 .

Pour terminer, effectuer parfois des conversions sur des expressions littérales et variables donnera leurs valeurs, quelles que soient les valeurs des lettres et des variables. Par exemple, l’expression x+3−x peut être simplifiée, après quoi elle prendra la forme 3. De là, nous pouvons conclure que la valeur de l'expression x+3−x est égale à 3 pour toute valeur de la variable x à partir de son plage de valeurs admissible (APV). Autre exemple : la valeur de l'expression est égale à 1 pour toutes les valeurs positives de x, donc la plage des valeurs admissibles de la variable x dans l'expression originale est l'ensemble des nombres positifs, et dans cette plage l'égalité tient.

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• Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov. - 14e éd. - M. : Education, 2004. - 384 pp. : ill. - ISBN 5-09-013651-3.