Objectifs de la leçon:
Les étudiants doivent savoir :
- détermination de la probabilité Événement aléatoire;
- être capable de résoudre des problèmes pour trouver la probabilité d'un événement aléatoire ;
- pouvoir postuler connaissance théorique sur la pratique.
Objectifs de la leçon:
Pédagogique : créer les conditions permettant aux étudiants de maîtriser un système de connaissances, de compétences et d'aptitudes avec les concepts de probabilité d'un événement.
Éducatif : former une vision scientifique du monde chez les étudiants
Développemental : développer l’intérêt cognitif, la créativité, la volonté, la mémoire, la parole, l’attention, l’imagination, la perception des élèves.
Modalités d'organisation des activités éducatives et cognitives :
- visuel,
- pratique,
- par activité mentale : inductive,
- selon l'assimilation du matériel : partiellement recherche, reproductif,
- par degré d'indépendance : travail indépendant,
- stimulant : encouragement,
- types de contrôle : vérification des problèmes résolus de manière indépendante.
Plan de cours
- Exercices oraux
- Apprendre du nouveau matériel
- Résoudre des tâches.
- Travail indépendant.
- Résumer la leçon.
- Commenter les devoirs.
Équipement : projecteur multimédia (présentation), cartes ( travail indépendant)
Pendant les cours
I. Moment organisationnel.
Organisation de la classe tout au long du cours, préparation des élèves au cours, ordre et discipline.
Fixer des objectifs d'apprentissage pour les étudiants, à la fois pour l'ensemble de la leçon et pour ses étapes individuelles.
Déterminez l'importance de la matière étudiée, à la fois dans ce sujet et dans l'ensemble du cours.
II. Répétition
1. Qu’est-ce que la probabilité ?
La probabilité est la possibilité que quelque chose se produise ou soit réalisable.
2. Quelle définition est donnée par le fondateur de la théorie des probabilités moderne A.N. Kolmogorov?
La probabilité mathématique est une caractéristique numérique du degré de possibilité d'apparition d'un certain événement dans certaines conditions qui peuvent être répétées un nombre illimité de fois.
3. Quelle est la définition classique de la probabilité donnée par les auteurs de manuels scolaires ?
La probabilité P(A) de l'événement A dans un essai avec des résultats élémentaires également possibles est le rapport du nombre d'issues m favorables à l'événement A au nombre n de tous les résultats de l'essai.
Conclusion : en mathématiques, la probabilité se mesure par le nombre.
Aujourd'hui, nous continuerons à considérer le modèle mathématique des « dés ».
Le sujet de recherche en théorie des probabilités concerne les événements qui apparaissent sous certaines conditions et qui peuvent être reproduits un nombre illimité de fois. Chaque occurrence de ces conditions est appelée un test.
Test - lancer dé.
Événement – lancer un six ou rouler un nombre pair de points.
Lorsque vous lancez un dé plusieurs fois, chaque camp a la même probabilité (le dé est juste).
III. Résolution de problèmes oraux.
1. Les dés (dés) ont été lancés une fois. Quelle est la probabilité qu’un 4 soit obtenu ?
Solution. Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé. Événement – un numéro sur le côté supprimé. Il n'y a que six visages. Listons tous les événements : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Donc P.= 6. L'événement A = (4 points obtenus) est favorisé par un événement : 4. Par conséquent T= 1. Les événements sont également possibles, puisqu'on suppose que le dé est juste. Donc P(A) = t/n= 1/6 = 0,17.
2. Les dés (dés) ont été lancés une fois. Quelle est la probabilité que pas plus de 4 points soient obtenus ?
P.= 6. L'événement A = (pas plus de 4 points obtenus) est favorisé par 4 événements : 1, 2, 3, 4. Par conséquent T= 4. Donc P(A) = t/n= 4/6 = 0,67.
3. Les dés (dés) ont été lancés une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 4 points ?
Solution. Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé. Événement – un numéro sur le côté supprimé. Moyens P.= 6. L'événement A = (moins de 4 points obtenus) est favorisé par 3 événements : 1, 2, 3. Donc T= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.
4. Les dés (dés) ont été lancés une fois. Quelle est la probabilité qu’un nombre impair de points soit obtenu ?
Solution. Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé. Événement – un numéro sur le côté supprimé. Moyens P.= 6. L'événement A = (un nombre impair de points est lancé) est favorisé par 3 événements : 1,3,5. C'est pourquoi T= 3. P(A) = t/n= 3/6 = 0,5.
IV. Apprendre de nouvelles choses
Aujourd'hui, nous examinerons les problèmes lorsque, dans une expérience aléatoire, deux dés sont utilisés ou deux ou trois lancers sont effectués.
1. Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité que la somme des points tirés soit égale à 6. Arrondissez la réponse au centième près. .
Solution. Le résultat de cette expérience est une paire ordonnée de nombres. Le premier numéro apparaîtra sur le premier dé, le second sur le second. Il est pratique de présenter un ensemble de résultats dans un tableau.
Les lignes correspondent au nombre de points sur le premier dé, les colonnes - sur le deuxième dé. Total des événements élémentaires P.= 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Écrivons la somme des points obtenus dans chaque cellule et colorions les cellules où la somme est 6.
Il y a 5 cellules de ce type, ce qui signifie que l'événement A = (la somme des points tirés est de 6) est favorisé par 5 résultats. Ainsi, T= 5. Par conséquent, P(A) = 5/36 = 0,14.
2. Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit de 3 points. Arrondir le résultat au centième .
P.= 36.
L'événement A = (somme égale 3) est favorisé par 2 résultats. Ainsi, T= 2.
Par conséquent, P(A) = 2/36 = 0,06.
3. Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit supérieur à 10 points. Arrondir le résultat au centième .
Solution. Le résultat de cette expérience est une paire ordonnée de nombres. Total des événements P.= 36.
L'événement A = (un total de plus de 10 points sera obtenu) est favorisé par 3 résultats.
Ainsi, T
4. Lyuba lance deux fois dé. Au total, elle a marqué 9 points. Trouvez la probabilité que l'un des lancers rapporte 5 points .
Solution Le résultat de cette expérience est une paire ordonnée de nombres. Le premier numéro apparaîtra au premier lancer, le deuxième au deuxième. Il est pratique de présenter un ensemble de résultats dans un tableau.
Les lignes correspondent au résultat du premier lancer, les colonnes - le résultat du deuxième lancer.
Total des événements pour lesquels le score total est de 9 P.= 4. L'événement A = (un des lancers a donné 5 points) est favorisé par 2 résultats. Ainsi, T= 2.
Par conséquent, P(A) = 2/4 = 0,5.
5. Sveta lance les dés deux fois. Au total, elle a marqué 6 points. Trouvez la probabilité que l’un des lancers rapporte 1 point.
Premier lancer |
Deuxième lancer |
Somme des points |
||
Il y a 5 résultats également possibles.
La probabilité de l'événement est p = 2/5 = 0,4.
6. Olya lance les dés deux fois. Elle a obtenu un total de 5 points. Trouvez la probabilité qu'au premier lancer vous obteniez 3 points.
Premier lancer |
Deuxième lancer |
Somme des points |
||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Il y a 4 résultats également possibles.
Résultats favorables – 1.
Probabilité de l'événement R.= 1/4 = 0,25.
7. Natasha et Vitya jouent aux dés. Ils lancent les dés une fois.
Celui qui lance le plus de points gagne. Si les points sont égaux, il y a match nul. Il y a 8 points au total. Trouvez la probabilité que Natasha gagne.
Somme des points |
||||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Il y a 5 résultats également possibles.
Résultats favorables – 2.
Probabilité de l'événement R.= 2/5 = 0,4.
8. Tanya et Natasha jouent aux dés. Ils lancent les dés une fois. Celui qui lance le plus de points gagne. Si les points sont égaux, il y a match nul. Un total de 6 points ont été obtenus. Trouvez la probabilité que Tanya ait perdu.
| Tanya | Natasha | Somme des points | ||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = | |||
| + | = |
Il y a 5 résultats également possibles.
Résultats favorables – 2.
Probabilité de l'événement R.= 2/5 = 0,4.
9. Kolya et Lena jouent aux dés. Ils lancent les dés une fois. Celui qui lance le plus de points gagne. Si les points sont égaux, il y a match nul. Kolya a été le premier à lancer et il a obtenu 3 points. Trouvez la probabilité que Lena ne gagne pas.
Kolya a obtenu 3 points.
Lena a 6 résultats également possibles.
Il y a 3 issues favorables pour perdre (à 1 et à 2 et à 3).
Probabilité de l'événement R.= 3/6 = 0,5.
10. Masha lance les dés trois fois. Quelle est la probabilité d’obtenir des nombres pairs trois fois ?
Masha a 6 6 6 = 216 résultats également possibles.
Il y a 3 · 3 · 3 = 27 résultats favorables pour perdre.
Probabilité de l'événement R.= 27/216 = 1/8 = 0,125.
11. Dans une expérience aléatoire, trois dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit de 16 points. Arrondissez le résultat au centième.
Solution.
| Deuxième | Troisième | Somme des points | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = | ||||
| + | + | = |
Résultats également possibles – 6 6 6 = 216.
Résultats favorables – 6.
Probabilité de l'événement R.= 6/216 = 1/36 = 0,277... = 0,28. Ainsi, T= 3. Par conséquent, P (A) = 3/36 = 0,08.
V. Travail indépendant.
Option 1.
- Les dés (dés) sont lancés une fois. Quelle est la probabilité que vous ayez obtenu au moins 4 points ? (Réponse : 0,5)
- Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit de 5 points. Arrondissez le résultat au centième. (Réponse : 0,11)
- Anya lance les dés deux fois. Elle a obtenu un total de 3 points. Trouvez la probabilité qu'au premier lancer vous obteniez 1 point. (Réponse : 0,5)
- Katya et Ira jouent aux dés. Ils lancent les dés une fois. Celui qui lance le plus de points gagne. Si les points sont égaux, il y a match nul. Le total est de 9 points. Trouvez la probabilité qu'Ira ait perdu. (Réponse : 0,5)
- Dans une expérience aléatoire, trois dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit de 15 points. Arrondissez le résultat au centième. (Réponse : 0,05)
Option 2.
- Les dés (dés) sont lancés une fois. Quelle est la probabilité que pas plus de 3 points soient obtenus ? (Réponse : 0,5)
- Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit de 10 points. Arrondissez le résultat au centième. (Réponse : 0,08)
- Zhenya lance les dés deux fois. Elle a obtenu un total de 5 points. Trouvez la probabilité qu'au premier lancer vous obteniez 2 points. (Réponse : 0,25)
- Masha et Dasha jouent aux dés. Ils lancent les dés une fois. Celui qui lance le plus de points gagne. Si les points sont égaux, il y a match nul. Il y a eu 11 points au total. Trouvez la probabilité que Masha gagne. (Réponse : 0,5)
- Dans une expérience aléatoire, trois dés sont lancés. Trouvez la probabilité que le total soit de 17 points. Arrondir le résultat
VI. Devoirs
- Dans une expérience aléatoire, trois dés sont lancés. Il y a 12 points au total. Trouvez la probabilité que vous obteniez 5 points au premier lancer. Arrondissez le résultat au centième le plus proche.
- Katya lance les dés trois fois. Quelle est la probabilité que les mêmes nombres apparaissent trois fois ?
VII. Résumé de la leçon
Que faut-il savoir pour trouver la probabilité d’un événement aléatoire ?
Pour calculer la probabilité classique, vous devez connaître toutes les issues possibles d’un événement et ses issues favorables.
La définition classique de la probabilité ne s’applique qu’aux événements dont les résultats sont également probables, ce qui limite sa portée.
Pourquoi étudions-nous la théorie des probabilités à l’école ?
De nombreux phénomènes dans le monde qui nous entoure ne peuvent être décrits qu’à l’aide de la théorie des probabilités.
Littérature
- Algèbre et débuts de l'analyse mathématique.10e-11e années : manuel. pour les établissements d'enseignement : un niveau de base de/ [Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva et autres]. – 16e éd., révisée. – M. : Éducation, 2010. – 464 p.
- Semenov A.L. Examen d'État unifié : 3000 problèmes avec réponses en mathématiques. Toutes les tâches du groupe B / – 3e éd., révisée. et supplémentaire – M. : Maison d'édition « Examen », 2012. – 543 p.
- Vysotsky I.R., Iachchenko I.V. Examen d'État unifié 2012. Mathématiques. Problème B10. Théorie des probabilités. Cahier d'exercices/Éd. A.L. Semenov et I.V. Yashchenko. – M. : MCSHMO, 2012. – 48 p.
Expliquez le principe de résolution du problème. Les dés ont été lancés une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 4 points ? et j'ai obtenu la meilleure réponse
Réponse de Divergente[gourou]
50 pourcent
Le principe est extrêmement simple. Résultats totaux 6 : 1,2,3,4,5,6
Parmi ceux-ci, trois satisfont à la condition : 1,2,3, et trois ne la satisfont pas : 4,5,6. La probabilité est donc 3/6=1/2=0,5=50 %
Réponse de je suis surhomme[gourou]
Il peut y avoir six options au total (1,2,3,4,5,6)
Et parmi ces options 1, 2 et 3 sont moins de quatre
Donc 3 réponses sur 6
Pour calculer la probabilité, on divise la distribution favorable à tout, soit 3 par 6 = 0,5 soit 50%
Réponse de Oriy Dovbysh[actif]
50%
divisez 100% par le nombre de chiffres sur les dés,
puis multipliez le pourcentage reçu par le montant que vous devez connaître, c'est-à-dire par 3)
Réponse de Ivan Panine[gourou]
Je ne sais pas avec certitude, je me prépare au GIA, mais le professeur m'a dit quelque chose aujourd'hui, uniquement sur la probabilité d'avoir des voitures, puisque j'ai compris que le rapport est affiché sous forme de fraction, en haut le nombre est favorable , et au fond, à mon avis, c'est généralement général, bon, on a eu un truc comme ça sur les voitures : Dans une compagnie de taxi à ce moment libérez 3 voitures noires, 3 jaunes et 14 vertes. L'une des voitures s'est rendue chez le client. Trouvez la probabilité qu'un taxi jaune vienne à lui. Donc, il y a 3 taxis jaunes et sur le nombre total de voitures il y en a 3, il s'avère qu'en haut de la fraction on écrit 3, car c'est un nombre de voitures favorable, et en bas on écrit 20 , comme il y a 20 voitures au total dans la flotte de taxis, donc on obtient la probabilité 3 à 20 ou 3/20 en fraction, eh bien, c'est comme ça que j'ai compris.... Je ne sais pas exactement comment gérer des os, mais peut-être que ça a aidé d'une manière ou d'une autre...
Réponse de 3 réponses[gourou]
Bonjour! Voici une sélection de sujets avec des réponses à votre question : Expliquez le principe de résolution du problème. Les dés ont été lancés une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 4 points ?
Problème 19 ( OGE- 2015, Iachchenko I.V.)
Olya, Denis, Vitya, Arthur et Rita ont tiré au sort pour savoir qui devrait commencer le jeu. Trouvez la probabilité que Rita commence le jeu.
Solution
Au total, 5 personnes peuvent démarrer le jeu.
Réponse : 0,2.
Problème 19 ( OGE- 2015, Iachchenko I.V.)
Misha avait quatre bonbons dans sa poche - "Grillage", "Masque", "Écureuil" et "Petit Chaperon Rouge", ainsi que les clés de l'appartement. En retirant les clés, Misha a accidentellement laissé tomber un bonbon. Trouvez la probabilité que le bonbon Masque soit perdu.
Solution
Il y a 4 options au total.
La probabilité que Misha laisse tomber le bonbon Masque est égale à
Réponse : 0,25.
Problème 19 ( OGE- 2015, Iachchenko I.V.)
Les dés (dés) sont lancés une fois. Quelle est la probabilité que le nombre obtenu ne soit pas inférieur à 3 ?
Solution
Total diverses options points perdus sur les dés - 6.
Le nombre de points, au moins 3, peut être : 3,4,5,6 - c'est-à-dire 4 options.
Cela signifie que la probabilité est P = 4/6 = 2/3.
Réponse : 2/3.
Problème 19 ( OGE- 2015, Iachchenko I.V.)
La grand-mère a décidé de donner à son petit-fils Ilyusha des fruits sélectionnés au hasard pour le voyage. Elle avait 3 pommes vertes, 3 poires vertes et 2 bananes jaunes. Trouvez la probabilité qu'Ilya reçoive un fruit vert de sa grand-mère.
Solution
3+3+2 = 8 - fruits totaux. Parmi ceux-ci, 6 sont verts (3 pommes et 3 poires).
Alors la probabilité qu'Ilya reçoive un fruit vert de sa grand-mère est égale à
P = 6/8 = 3/4 = 0,75.
Réponse : 0,75.
Problème 19 ( OGE- 2015, Iachchenko I.V.)
Les dés sont lancés deux fois. Trouvez la probabilité qu’un nombre supérieur à 3 soit obtenu les deux fois.
Solution
6*6 = 36 - nombre total de nombres possibles en lançant deux dés.
Les options qui nous conviennent sont :
Il existe 9 options de ce type au total.
Cela signifie que la probabilité qu'un nombre supérieur à 3 soit obtenu les deux fois est égale à
P = 9/36 = 1/4 = 0,25.
Réponse : 0,25.
Problème 19 ( OGE- 2015, Iachchenko I.V.)
Les dés (dés) sont lancés 2 fois. Trouvez la probabilité qu’une fois un nombre supérieur à 3 soit obtenu, et une autre fois un nombre inférieur à 3 soit obtenu.
Solution
Options totales : 6*6 = 36.
Les résultats suivants nous conviennent :
