§4.5. CALCUL DES MOMENTS D'INERTIE DE SECTIONS DE FORME SIMPLE

Comme indiqué au § 1.5, les caractéristiques géométriques des sections complexes sont déterminées en les divisant en un certain nombre de figures simples dont les caractéristiques géométriques peuvent être calculées à l'aide de formules appropriées ou déterminées à l'aide de tableaux spéciaux. Ces formules sont obtenues grâce à l'intégration directe des expressions (8.5)-(10.5). Les méthodes pour les obtenir sont discutées ci-dessous à l'aide des exemples d'un rectangle, d'un triangle et d'un cercle.

Section rectangulaire

Déterminons le moment d'inertie axial d'un rectangle de hauteur h et de largeur b par rapport à l'axe passant par sa base (Fig. 11.5, a). Sélectionnons dans le rectangle aux lignes parallèles à l'axe une bande élémentaire de hauteur et de largeur b.

L'aire de cette bande, la distance de la bande à l'axe leur est égale. Remplaçons ces quantités dans l'expression du moment d'inertie (8.5) :

De la même manière, pour le moment d'inertie autour de l'axe, on peut obtenir l'expression

Pour déterminer le moment d'inertie centrifuge, on sélectionne dans le rectangle avec des lignes parallèles aux axes (Fig.

11.5, b), une zone élémentaire de taille. Déterminons d'abord le moment d'inertie centrifuge non pas de l'ensemble du rectangle, mais uniquement d'une bande verticale de hauteur h et de largeur située à distance de l'axe

Le produit est placé en dehors du signe intégral, puisque pour toutes les zones appartenant à la bande verticale considérée, il est constant.

Intégrons alors l'expression sur l'intervalle de à

Déterminons maintenant les moments d'inertie axiaux du rectangle par rapport aux y et les axes passant par le centre de gravité parallèles aux côtés du rectangle (Fig. 12.5). Pour ce cas, les limites d'intégration seront de à

Le moment d'inertie centrifuge du rectangle par rapport aux axes (Fig. 12.5) est égal à zéro, puisque ces axes coïncident avec ses axes de symétrie.

Section triangulaire

Déterminons les moments d'inertie axiaux du triangle par rapport à trois axes parallèles passant par sa base (Fig. 13.5, a), son centre de gravité (Fig. 13.5, b) et son sommet (Fig. 13.5, e).

Pour le cas où l'axe passe par la base du triangle (Fig. 13.5, a),

Pour le cas où l'axe passe par le centre de gravité du triangle parallèle à sa base (Fig. 13.5, b),

Dans le cas où l'axe passe par le sommet du triangle parallèle à sa base (Fig. 13.5, c),

Le moment d'inertie est significativement plus grand (trois fois) que le moment d'inertie puisque la partie principale de l'aire du triangle est plus éloignée de l'axe que de l'axe

Les expressions (17,5) - (19,5) ont été obtenues pour triangle isocèle. Cependant, cela est également vrai pour les triangles non isocèles. En comparant, par exemple, les triangles montrés sur la Fig. 13.5, a et 13.5, d, dont le premier est isocèle et le second n'est pas isocèle, on établit que les dimensions de l'aire et les limites dans lesquelles y varie (de 0 à) sont les mêmes pour les deux triangles. Par conséquent, les moments d'inertie pour eux sont également les mêmes. De même, on peut montrer que les moments d’inertie axiaux de toutes les sections représentées sur la Fig. 14,5 sont les mêmes. En général, le déplacement de parties de la section parallèlement à un certain axe n'affecte pas la valeur du moment d'inertie axial par rapport à cet axe.

Il est évident que la somme des moments d'inertie axiaux du triangle par rapport aux axes représentés sur la Fig. 13.5, a et 13.5, b, doivent être égaux au moment d'inertie axial du rectangle par rapport à l'axe représenté sur la Fig. 11.5, une. Cela découle du fait qu'un rectangle peut être considéré comme deux triangles, pour l'un dont l'axe passe par la base, et pour l'autre par le sommet parallèle à sa base (Fig. 15.5).

En effet, d'après les formules (17.5) et (19.5)

ce qui coïncide avec l'expression du rectangle selon la formule (12.5).

Section en forme de cercle

Déterminons le moment d'inertie axial du cercle par rapport à tout axe passant par son centre de gravité. De la fig. 16,5, mais devrait

Il est évident que par rapport à tout axe passant par le centre du cercle, le moment d'inertie axial sera égal et, par conséquent,

A l'aide de la formule (11.5) on trouve le moment d'inertie polaire du cercle par rapport à son centre :

La formule du moment d'inertie axial d'un cercle peut être obtenue plus en détail d'une manière simple, si vous dérivez d'abord la formule de son moment d'inertie polaire par rapport au centre (point O). Pour ce faire, nous sélectionnons un anneau élémentaire dans un cercle d'épaisseur de rayon et d'aire (Fig. 16.5, b).

Le moment d'inertie polaire d'un anneau élémentaire par rapport au centre du cercle, puisque toutes les zones élémentaires qui composent cet anneau sont situées à la même distance du centre du cercle. Ainsi,

Ce résultat coïncide avec celui obtenu ci-dessus.

Les moments d'inertie (polaire et axial) d'une section en forme d'anneau circulaire avec un diamètre extérieur et intérieur d (Fig. 17.5) peuvent être déterminés comme la différence entre les moments d'inertie correspondants des cercles extérieur et intérieur.

Moment d'inertie polaire de l'anneau basé sur la formule (21.5)

ou, si nous désignons

De même, pour les moments d'inertie axiaux de l'anneau

Moment d'inertie et moment de résistance

Lors de la détermination de la section transversale des structures de bâtiment, il est souvent nécessaire de connaître le moment d'inertie et le moment de résistance pour la section transversale de la structure considérée. Qu'est-ce que le moment de résistance et comment il est lié au moment d'inertie est décrit séparément. De plus, pour les structures compressibles, il faut également connaître la valeur du rayon de giration. Déterminer le moment de résistance et le moment d'inertie, et parfois le rayon de giration, pour la plupart des sections transversales est simple Forme géométrique peut être fait en utilisant des formules bien connues :

Tableau 1. Formes de section, aires de section, moments d'inertie et moments de résistance pour les structures de formes géométriques assez simples.

Habituellement, ces formules suffisent pour la plupart des calculs, mais il existe toutes sortes de cas et la section transversale de la structure peut ne pas avoir une forme géométrique aussi simple ou la position des axes autour desquels le moment d'inertie ou le moment de résistance est nécessaire. à déterminer n'est peut-être pas la même, alors vous pouvez utiliser les formules suivantes :

Tableau 2. Formes de section, aires de section transversale, moments d'inertie et moments de résistance pour les structures de formes géométriques plus complexes

Comme le montre le tableau 2, il est assez difficile de calculer le moment d'inertie et le moment de résistance pour des angles inégaux, mais cela n'est pas nécessaire. Il existe des assortiments pour les angles roulés à brides inégales et égales, ainsi que pour les canaux, les poutres en I et les tubes profilés. DANS assortiments Les valeurs du moment d'inertie et du moment résistant sont données pour chaque profil.

Tableau 3. Evolution des moments d'inertie et des moments de résistance en fonction de la position des axes.

Les formules du tableau 3 peuvent être nécessaires pour calculer les éléments de toit inclinés.

Ce serait bien d'expliquer exemple clair pour ceux qui sont particulièrement doués, comme moi, qu'est-ce que le moment d'inertie et à quoi sert-il. Sur les sites spécialisés, tout est en quelque sorte très confus, mais Doc a un talent évident pour transmettre des informations, peut-être pas les plus complexes, mais très compétentes et compréhensibles.

En principe, ce qu'est un moment d'inertie et d'où il vient est expliqué de manière suffisamment détaillée dans l'article « Fondements de la résistance, formules de calcul », ici je répéterai seulement : « W est le moment résistant de la section transversale de la poutre, c'est-à-dire l'aire de la partie comprimée ou tendue de la section de la poutre, multipliée par le bras d'action de la force résultante. Le moment résistant doit être connu pour les calculs de résistance de la structure, c'est-à-dire en fonction des contraintes ultimes. Le moment d'inertie doit être connu pour déterminer les angles de rotation de la section transversale et la déviation (déplacement) du centre de gravité de la section transversale, car des déformations maximales se produisent dans les couches supérieures et inférieures de la structure de flexion, le moment L'inertie peut être déterminée en multipliant le moment résistant par la distance entre le centre de gravité des sections et la couche supérieure ou inférieure, donc pour les sections rectangulaires I=Wh/2. Lors de la détermination du moment d'inertie des sections de formes géométriques complexes, la figure complexe est d'abord divisée en figures simples, puis les aires de section transversale de ces figures et les moments d'inertie des figures les plus simples sont déterminés, puis les aires des figures les plus simples les figures sont multipliées par le carré de la distance entre le centre de gravité général de la section et le centre de gravité de la figure la plus simple. Le moment d'inertie de la figure la plus simple faisant partie d'une section complexe est égal au moment d'inertie de la figure + le carré de la distance multiplié par l'aire. Ensuite, les moments d'inertie obtenus sont résumés et le moment d'inertie de la section complexe est obtenu. Mais ce sont les formulations les plus simplifiées (même si, j'en conviens, cela semble quand même assez délicat).

Moment d'inertie et moment de résistance - Dr Lom

Lors de la détermination de la section transversale des structures de bâtiment, il est souvent nécessaire de connaître le moment d'inertie et le moment de résistance de la section transversale de la structure. Le moment de résistance et le moment d'énergie pour la grande majorité des sections transversales d'une forme géométrique simple peuvent être déterminés à l'aide de formules connues de longue date.

Chapitre 5. MOMENTS D'INERTIE DES SECTIONS PLATES

Toute section plane est caractérisée par un certain nombre de caractéristiques géométriques : surface, coordonnées du centre de gravité, moment statique, moment d'inertie, etc.

Moments statiques autour des axes X Et oui sont égaux:

Les moments statiques sont généralement exprimés en centimètres cubes ou des compteurs et peut avoir à la fois positif et valeurs négatives. L'axe autour duquel le moment statique est nul est appelé central. Le point d'intersection des axes centraux est appelé centre de gravité de la section. Formules pour déterminer les coordonnées du centre de gravité xc Et oui c section complexe, divisée en composants simples dont les zones sont connues Un je et la position du centre de gravité xci Et et ci, a la forme

L'amplitude du moment d'inertie caractérise la résistance de la tige à la déformation (torsion, flexion) en fonction de la taille et de la forme de la section. Il y a des moments d'inertie :

– axial, déterminé par les intégrales de la forme

Les moments d'inertie axiaux et polaires sont toujours positifs et non

aller à zéro. Moment d'inertie polaire IP égal à la somme moments d'inertie axiaux je x Et je par rapport à toute paire d'axes mutuellement perpendiculaires X Et à:

Le moment d'inertie centrifuge peut être positif, négatif ou nul. La dimension des moments d'inertie est cm 4 ou m 4. Formules pour déterminer les moments d'inertie sections simples par rapport aux axes centraux sont donnés dans des ouvrages de référence. Lors du calcul des moments d'inertie de sections complexes, des formules de transition des axes centraux des sections simples vers d'autres axes parallèles aux axes centraux sont souvent utilisées.

où sont les moments d'inertie des sections simples par rapport aux axes centraux ;

m, n– les distances entre axes (Fig. 18).

Riz. 18. Pour déterminer les moments d'inertie autour des axes,

Les grands axes centraux de la section sont importants. Les axes centraux principaux sont deux axes perpendiculaires entre eux passant par le centre de gravité de la section, par rapport auxquels le moment d'inertie centrifuge est nul, et les moments d'inertie axiaux ont des valeurs extrêmes. Les principaux moments d'inertie sont indiqués je toi(maximum) et Je v(min) et sont déterminés par la formule

La position des axes principaux est déterminée par l'angle α, qui est obtenu à partir de la formule

L'angle α est éloigné de l'axe avec un moment d'inertie non principal important ; une valeur positive est dans le sens antihoraire.

Si une section a un axe de symétrie, alors cet axe est le principal. L'autre axe principal est perpendiculaire à l'axe de symétrie. En pratique, on utilise souvent des profilés composés de plusieurs profilés laminés (poutre en I, canal, cornière). Les caractéristiques géométriques de ces profilés sont données dans les tableaux d'assortiment. Pour les angles inégaux et équilatéraux, le moment d'inertie centrifuge par rapport aux axes centraux parallèles aux brides est déterminé par la formule

Faites attention à la désignation des principaux axes centraux dans le tableau d'assortiment des coins. Signe je xy car un coin dépend de sa position dans la section. La figure 19 montre les positions possibles du coin dans la section et montre les signes pour je xy.

Riz. 19. Positions possibles du coin dans la section

Définir Iu, IV et la position des principaux axes centraux de la section

Une section complexe est constituée de deux profils roulés. Un extrait des tableaux d'assortiment (Annexe 5) est présenté sur la Fig. 21.

Comme auxiliaire nous prendrons les axes passant le long de l'extérieur

côtés du canal (axe xB, et B, voir fig. 20).Coordonnées du centre de gravité de la section :

(calculez-vous).

Riz. 20. Position des principaux axes centraux d'inertie

U Et V section complexe

On pourrait par exemple choisir les axes centraux du canal comme auxiliaires. Ensuite, le nombre de calculs sera légèrement réduit.

Moments d'inertie axiaux :

Veuillez noter que l'angle inégal dans la section est situé

différemment de celui indiqué dans le tableau d’assortiment. Calculez vous-même la valeur.

N° 24 180 x 110 x 12

Riz. 21. Valeurs des caractéristiques géométriques des profilés laminés :

UN– canal n° 24 ; b– coin inégal 180 x 110 x 12

Moments d'inertie centrifuges :

– pour un canal (il y a des axes de symétrie) ;

- pour le coin,

signe moins – en raison de la position du coin dans la section ;

– pour toute la section :

Suivez le but des panneaux n Et m. Des axes centraux du canal on passe aux axes centraux communs de la section, donc + m2

Principaux moments d'inertie de la section :

Position des principaux axes centraux de la section :

; α = 55 ou 48 ′ ;

Vérification de l'exactitude du calcul des quantités je toi, Je v et α est produit par la formule

L'angle α pour cette formule est mesuré à partir de l'axe toi.

La section considérée présente la plus grande résistance à la flexion par rapport à l'axe toi et le plus petit – par rapport à l'axe v.

Chapitre 5. MOMENTS D'INERTIE DES SECTIONS PLATES Toute section plane est caractérisée par un certain nombre de caractéristiques géométriques : aire, coordonnées du centre de gravité, moment statique, moment d'inertie et d (voir Fig. 8.1) : ...

(MÉCANIQUE APPLIQUÉE)

Moments d'inertie des sections

Propriétés des moments d'inertie.

Moments d'inertie des sections planes

Il existe des moments d'inertie axiaux, polaires et centrifuges des sections. Le moment d'inertie axial d'une section par rapport à n'importe quel axe est la somme des produits des produits élémentaires des aires d Et pa est le carré de leurs distances à un axe donné(voir Fig. 8.1) : Moment d'inertie polaire de la section...
(MÉCANIQUE DES STRUCTURES POUR ARCHITECTES)

Moments statiques des sections planes

Riz. 2.24 Lors de l'étude des questions de résistance, de rigidité et de stabilité, il est nécessaire de pouvoir déterminer certaines caractéristiques géométriques des sections, qui incluent les moments statiques, les moments d'inertie et les moments de résistance. Le moment statique de l'aire de la figure par rapport à l'axe des x (Fig. 2.24), pris...
(MÉCANIQUE APPLIQUÉE)

Moments d'inertie des sections

Les moments d'inertie des sections sont appelés intégrales de la forme suivante Propriétés des moments d'inertie. La dimension des moments d'inertie est [longueur41, généralement [m4] ou [cm4|. Les moments d'inertie axiaux et polaires sont toujours positifs. Le moment d'inertie centrifuge peut être positif, négatif ou nul....
(RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX UTILISANT DES COMPLEXES INFORMATIQUES)

http://:www.svkspb.nm.ru

Caractéristiques géométriques des sections plates

Carré: , dF - plateforme élémentaire.

Moment statique d'un élément de surfacedF par rapport à l'axe 0x
- produit de l'élément de surface par la distance "y" de l'axe 0x : dS x = ydF

Après avoir additionné (intégré) ces produits sur toute la surface de la figure, on obtient moments statiques par rapport aux axes y et x :
;
[cm 3, m 3, etc.].

Coordonnées du centre de gravité:
. Moments statiques relatifs axes centraux(les axes passant par le centre de gravité de la section) sont égaux à zéro. Lors du calcul des moments statiques d'une figure complexe, celle-ci est divisée en parties simples, avec des aires connues F i et les coordonnées des centres de gravité x i, y i. Le moment statique de l'aire de la figure entière = la somme de les moments statiques de chacune de ses parties :
.

Coordonnées du centre de gravité d'une figure complexe :

M
Moments d'inertie de section

Axial(équatorial) moment d'inertie de la section- la somme des produits des aires élémentaires dF par les carrés de leurs distances à l'axe.

;
[cm 4, m 4, etc.].

Le moment d'inertie polaire d'une section par rapport à un certain point (pôle) est la somme des produits des aires élémentaires par les carrés de leurs distances à ce point.
; [cm 4, m 4, etc.]. J y + J x = J p .

Moment d'inertie centrifuge de la section- la somme des produits des aires élémentaires et de leurs distances à deux axes perpendiculaires entre eux.
.

Le moment d'inertie centrifuge de la section par rapport aux axes dont l'un ou les deux coïncident avec les axes de symétrie est égal à zéro.

Les moments d'inertie axiaux et polaires sont toujours positifs ; les moments d'inertie centrifuges peuvent être positifs, négatifs ou nuls.

Le moment d'inertie d'une figure complexe est égal à la somme des moments d'inertie de ses éléments constitutifs.

Moments d'inertie des sections de forme simple

P.
section rectangulaire Cercle

À


anneau

T
Triangle

R.
isofémoral

Rectangulaire

T
Triangle

H quart de cercle

J y =J x =0,055R 4

Jxy =0,0165R 4

En figue. (-)

Demi-cercle

M

Les moments d'inertie des profilés standards se retrouvent à partir des tableaux d'assortiment :

D
vutavr Canal Coin

M

Moments d'inertie autour des axes parallèles:

J. x1 = J x + une 2 F ;

J y1 =J y + b 2 F;

le moment d'inertie autour de n'importe quel axe est égal au moment d'inertie autour de l'axe central parallèle à celui donné, plus le produit de l'aire de la figure et le carré de la distance entre les axes. J y1x1 = J yx + abF; (« a » et « b » sont substitués dans la formule en tenant compte de leur signe).

Dépendance entre moments d'inertie lors de la rotation des axes:

J. x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2 ; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2 ;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Angle >0, si la transition de l'ancien système de coordonnées au nouveau se produit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. J y1 + J x1 = J y + J x

Les valeurs extrêmes (maximales et minimales) des moments d'inertie sont appelées principaux moments d'inertie. Les axes autour desquels les moments d'inertie axiaux ont des valeurs extrêmes sont appelés principaux axes d'inertie. Les principaux axes d'inertie sont perpendiculaires entre eux. Moments d'inertie centrifuges autour des axes principaux = 0, c'est-à-dire axes principaux d'inertie - axes autour desquels le moment d'inertie centrifuge = 0. Si l'un des axes coïncide ou les deux coïncident avec l'axe de symétrie, alors ce sont les principaux. Angle définissant la position des axes principaux :
, si  0 >0  les axes tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. L'axe maximum fait toujours un angle plus petit avec celui des axes par rapport auxquels le moment d'inertie a une plus grande valeur. Les axes principaux passant par le centre de gravité sont appelés principaux axes centraux d'inertie. Moments d'inertie autour de ces axes :

J max + J min = J x + J y . Le moment d'inertie centrifuge par rapport aux principaux axes centraux d'inertie est égal à 0. Si les principaux moments d'inertie sont connus, alors les formules de transition vers les axes de rotation sont :

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2  ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2  ; J x1y1 = (J max - J min) sin2 ;

Le but ultime du calcul des caractéristiques géométriques de la section est de déterminer les principales points centraux inertie et la position des principaux axes centraux d'inertie. R. rayon d'inertie -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Si J x et J y sont les principaux moments d'inertie, alors i x et i y - rayons d'inertie principaux. Une ellipse construite sur les rayons d'inertie principaux comme sur les demi-axes s'appelle ellipse d'inertie. En utilisant l'ellipse d'inertie, vous pouvez trouver graphiquement le rayon d'inertie i x1 pour n'importe quel axe x1. Pour ce faire, vous devez tracer une tangente à l'ellipse, parallèle à l'axe x1, et mesurer la distance de cet axe à la tangente. Connaissant le rayon d'inertie, vous pouvez trouver le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe x 1 :
. Pour les sections avec plus de deux axes de symétrie (par exemple : cercle, carré, anneau, etc.), les moments d'inertie axiaux autour de tous les axes centraux sont égaux entre eux, J xy = 0, l'ellipse d'inertie se transforme en un cercle d'inertie.

Moments de résistance.

Moment de résistance axial- le rapport du moment d'inertie autour de l'axe à la distance de celui-ci au point le plus éloigné de la section.
[cm 3, m 3]

Les moments de résistance par rapport aux principaux axes centraux sont particulièrement importants :

rectangle:
; cercle : W x =W y =
,

section tubulaire (anneau) : W x =W y =
, où = d N /d B .

Moment de résistance polaire - le rapport du moment d'inertie polaire à la distance du pôle au point le plus éloigné de la section :
.

Pour un cercle W р =
.

On distingue les types de moments d'inertie des sections suivants : axiaux ; centrifuge; polaire; moments d'inertie centraux et principaux.

Moments d'inertie centrifuges sections relatives à Et z est appelée une intégrale de la forme La somme des moments d'inertie axiaux d'une section par rapport à deux axes de coordonnées est égale au moment d'inertie polaire par rapport à l'origine :

La dimension des types spécifiés de moments d'inertie de la section (longueur 4), c'est-à-dire m 4 ou cm 4.

Les moments d'inertie axiaux et polaires de la section sont des grandeurs positives ; le moment d'inertie centrifuge peut être positif, négatif et égal à zéro (pour certains axes qui sont l'axe de symétrie).

Il existe des dépendances pour les moments d'inertie lors de la translation parallèle et de la rotation des axes de coordonnées.

Figure 5.4 – Translation et rotation parallèles des axes de coordonnées pour une section transversale arbitraire d'une poutre

Pour les moments d'inertie centrifuges

Si les moments d'inertie de la section sont connus Iz, je, Izu par rapport aux axes z Et à, puis les moments d'inertie autour des axes de rotation z 1 Et à 1, à l'angle α par rapport aux axes d'origine (Fig. 5.4, b) est déterminé par les formules :

Avec la notion principaux moments d'inertie relier la position des principaux axes d'inertie. Principaux axes d'inertie sont appelés deux axes mutuellement perpendiculaires, par rapport auxquels le moment d'inertie centrifuge est égal à zéro, et les moments axiaux acquièrent des valeurs extrêmes (maximales et minimales).

Si les axes principaux passent par le centre de gravité de la figure, alors ils sont appelés principaux axes centraux d’inertie.

La position des principaux axes d'inertie se trouve à partir des dépendances suivantes :

Lors du calcul de la résistance des éléments structurels, ils utilisent le concept d'une caractéristique géométrique telle que module de section.

Considérons, par exemple, la section transversale d'une poutre (Fig. 5.5).

Figure 5.5 – Exemple de section transversale d'une poutre

Distance du t le plus éloigné. UN du centre de gravité de la section, c'est-à-dire S à propos significatif heure 1, et la distance t. DANS- à travers h 2.

(5.16)

Alors les moments de résistance de section par rapport à axe z horizontal points UN, DANS sont calculés comme le rapport du moment d'inertie axial autour de l'axe z aux distances aux points UN B:

Le plus petit moment de résistance de la section présente un intérêt pratique dans les calculs de résistance. Wmin, correspondant au t le plus éloigné. UN du centre de gravité de la section h 1 = y maximum.

Dimension des éléments de résistance (longueur 3), soit m 3, cm 3.

Tableau 5.1 – Valeurs des moments d'inertie et des moments résistants des sections les plus simples par rapport aux axes centraux

Types de noms de section	Moments d'inertie	Moments de résistance
Rectangle
Cercle

suite du tableau 5.1

Moment d'inertie axial (ou équatorial) de la section par rapport à un axe est appelé pris sur toute sa surface F dF par les carrés de leurs distances à cet axe, soit

Le moment d'inertie polaire d'une section par rapport à un certain point (pôle) est repris sur toute sa surface F somme des produits des zones élémentaires dF par les carrés de leurs distances à partir de ce point, soit

Le moment d'inertie centrifuge d'une section par rapport à deux axes mutuellement perpendiculaires est pris sur toute sa surface F somme des produits des zones élémentaires dFà leurs distances de ces axes, c'est-à-dire

Les moments d'inertie sont exprimés en cm 4, m 4, etc. Les moments d'inertie axiaux et polaires sont toujours positifs, puisque leurs expressions sous les signes intégraux incluent les valeurs des aires dF(toujours positif) et les carrés des distances de ces zones à un axe ou pôle donné.

La figure 2.3 montre une coupe avec une aire F et les axes sont affichés à Et X.

Riz. 2.3. Section d'aire F.

Moments d'inertie axiaux de cette section par rapport aux axes à Et X:

La somme de ces moments d'inertie

ainsi,

La somme des moments d'inertie axiaux d'une section par rapport à deux axes perpendiculaires entre eux est égale au moment d'inertie polaire de cette section par rapport au point d'intersection de ces axes.

Les moments d'inertie centrifuges peuvent être positifs ou égaux à zéro. Le moment d'inertie centrifuge de la section par rapport aux axes dont l'un ou les deux coïncident avec ses axes de symétrie est égal à zéro. Le moment d'inertie axial d'une section complexe par rapport à un certain axe est égal à la somme des moments d'inertie axiaux de ses éléments constitutifs par rapport au même axe. De même, le moment d'inertie centrifuge d'une section complexe par rapport à deux axes quelconques perpendiculaires entre eux est égal à la somme des moments d'inertie centrifuges de ses éléments constitutifs par rapport aux mêmes axes. De plus, le moment d'inertie polaire d'une section complexe par rapport à un certain point est égal à la somme des moments d'inertie polaires de ses éléments constitutifs par rapport au même point. Il convient de garder à l’esprit que les moments d’inertie calculés autour de différents axes et points ne peuvent être additionnés.

Pour un rectangle

Pour un cercle

Pour la bague

Souvent, lors de la résolution de problèmes pratiques, il est nécessaire de déterminer les moments d'inertie d'une section par rapport à des axes orientés de différentes manières dans son plan. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser les valeurs déjà connues des moments d'inertie de la section entière (ou de ses différents éléments constitutifs) par rapport à d'autres axes, données dans la littérature technique, les ouvrages de référence et les tableaux spéciaux, ainsi tel que calculé à l’aide des formules disponibles. Il est donc très important d’établir les relations entre les moments d’inertie d’une même section par rapport à différents axes.

Dans le très cas général transition de n'importe quel vieux à n'importe lequel nouveau Le système de coordonnées peut être considéré comme deux transformations successives de l'ancien système de coordonnées :

1) par transfert parallèle des axes de coordonnées vers une nouvelle position ;

2) en les faisant pivoter par rapport à la nouvelle origine.

Ainsi,

Si l'axe X passe par le centre de gravité de la section, puis le moment statique Sexe= 0 et

De tous les moments d'inertie autour d'axes parallèles, le moment d'inertie axial a la plus petite valeur autour de l'axe passant par le centre de gravité de la section.

Moment d'inertie autour de l'axe à

Dans le cas particulier où l'axe / passe par le centre de gravité de la section,

Moment d'inertie centrifuge

Dans le cas particulier où l'origine de l'ancien système de coordonnées y0х est situé au centre de gravité de la section,

Si la section est symétrique et que l'un des anciens axes (ou les deux) coïncide avec l'axe de symétrie, alors