Une fois la puissance d'un nombre déterminée, il est logique de parler de propriétés du diplôme. Dans cet article, nous donnerons les propriétés de base de la puissance d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous fournirons des preuves de toutes les propriétés des degrés et montrerons également comment ces propriétés sont utilisées lors de la résolution d'exemples.
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Propriétés des degrés avec exposants naturels
Par définition d'une puissance à exposant naturel, la puissance a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Sur la base de cette définition, et en utilisant également propriétés de multiplication de nombres réels, nous pouvons obtenir et justifier ce qui suit propriétés du degré avec exposant naturel:
- la propriété principale du degré a m ·a n =a m+n, sa généralisation ;
- propriété des puissances quotientes de bases identiques a m:a n =a m−n ;
- propriété de puissance du produit (a·b) n =a n ·b n , son extension ;
- propriété d'un quotient dans diplôme naturel(a:b) n =a n:b n ;
- élever un degré à une puissance (a m) n = a m·n, sa généralisation (((un n 1) n 2) …) n k =un n 1 ·n 2 ·…·n k;
- comparaison du degré avec zéro :
- si a>0, alors a n>0 pour tout nombre naturel n ;
- si a=0, alors a n =0 ;
- si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- si a et b sont des nombres positifs et a
- si m et n sont identiques entiers, que m>n, puis à 0
- si m et n sont identiques entiers, que m>n, puis à 0
Notons immédiatement que toutes les égalités écrites sont identique sous réserve des conditions spécifiées, leurs parties droite et gauche peuvent être échangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m ·a n =a m+n avec simplification des expressions souvent utilisé sous la forme a m+n =a m ·a n .
Examinons maintenant chacun d'eux en détail.
Commençons par la propriété du produit de deux puissances de mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie.
Montrons la propriété principale du degré. Par la définition d'une puissance avec un exposant naturel, le produit de puissances ayant les mêmes bases de la forme a m ·a n peut s'écrire comme un produit. En raison des propriétés de multiplication, l’expression résultante peut s’écrire sous la forme 
, et ce produit est une puissance du nombre a avec un exposant naturel m+n, c'est-à-dire a m+n. Ceci termine la preuve.
Donnons un exemple confirmant la propriété principale du diplôme. Prenons des degrés de mêmes bases 2 et puissances naturelles 2 et 3, en utilisant la propriété fondamentale des degrés on peut écrire l'égalité 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Vérifions sa validité en calculant les valeurs des expressions 2 2 · 2 3 et 2 5 . En effectuant une exponentiation, nous avons 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 et 2 5 =2·2·2·2·2=32, puisque des valeurs égales sont obtenues, alors l'égalité 2 2 ·2 3 =2 5 est correcte et confirme la propriété principale du degré.
La propriété fondamentale d'un degré basé sur les propriétés de multiplication peut être généralisée au produit de trois puissances ou plus avec les mêmes bases et exposants naturels. Ainsi, pour tout nombre k d'entiers naturels n 1, n 2, …, n k l'égalité suivante est vraie : une n 1 ·une n 2 ·…·une n k =une n 1 +n 2 +…+n k.
Par exemple, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Nous pouvons passer à la propriété suivante des puissances avec un exposant naturel : propriété des quotients de puissances de mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n satisfaisant la condition m>n, l'égalité a m:a n = a m−n est vraie.
Avant de présenter la preuve de cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans la formulation. La condition a≠0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n =0, et quand nous nous sommes familiarisés avec la division, nous avons convenu qu'on ne pouvait pas diviser par zéro. La condition m>n est introduite pour qu’on ne dépasse pas les exposants naturels. En effet, pour m>n l'exposant a m−n est un nombre naturel, sinon il sera soit zéro (ce qui arrive pour m−n ) soit un nombre négatif (ce qui arrive pour m Preuve. La propriété principale d'une fraction permet d'écrire l'égalité une m−n ·une n =une (m−n)+n =une m. De l'égalité résultante a m−n ·a n = a m et il s'ensuit que a m−n est un quotient des puissances a m et a n . Cela prouve la propriété des puissances quotientes de bases identiques. Donnons un exemple. Prenons deux degrés de mêmes bases π et d'exposants naturels 5 et 2, l'égalité π 5 :π 2 =π 5−3 =π 3 correspond à la propriété considérée du degré. Considérons maintenant propriété de puissance du produit: la puissance naturelle n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égale au produit des puissances a n et b n , c'est-à-dire (a·b) n = a n ·b n . En effet, par la définition d'un degré à exposant naturel on a Voici un exemple : Cette propriété s’étend à la puissance du produit de trois facteurs ou plus. Autrement dit, la propriété de degré naturel n du produit de k facteurs s'écrit (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Pour plus de clarté, nous montrerons cette propriété avec un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons . La propriété suivante est propriété d'un quotient en nature: le quotient des nombres réels a et b, b≠0 à la puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n, c'est-à-dire (a:b) n = a n:b n. La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Donc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, et de l'égalité (a:b) n ·b n = a n il s'ensuit que (a:b) n est le quotient de a n divisé par b n . Écrivons cette propriété en utilisant des nombres spécifiques comme exemple : Maintenant, exprimons-le propriété d'élever une puissance à une puissance: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, la puissance de a m à la puissance n est égale à la puissance du nombre a d'exposant m·n, c'est-à-dire (a m) n = a m·n. Par exemple, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. La preuve de la propriété de puissance en degré est la chaîne d’égalités suivante : La propriété considérée peut être étendue de degré en degré, etc. Par exemple, pour tout nombre naturel p, q, r et s, l'égalité Il reste à s'attarder sur les propriétés de comparaison des degrés avec un exposant naturel. Commençons par prouver la propriété de comparer zéro et la puissance avec un exposant naturel. Tout d’abord, prouvons que a n >0 pour tout a>0. Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, comme cela ressort de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication suggèrent que le résultat de la multiplication d’un nombre quelconque de nombres positifs sera également un nombre positif. Et la puissance d'un nombre a d'exposant naturel n, par définition, est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Ces arguments nous permettent d'affirmer que pour toute base positive a, le degré a n est un nombre positif. En raison de la propriété prouvée 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 et Il est bien évident que pour tout nombre naturel n avec a=0 le degré de a n est nul. En effet, 0 n =0·0·…·0=0 . Par exemple, 0 3 =0 et 0 762 =0. Passons aux bases de degré négatives. Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le 2·m, où m est un nombre naturel. Alors Enfin, lorsque la base a est un nombre négatif et l’exposant est un nombre impair 2 m−1, alors Passons à la propriété de comparer des puissances de mêmes exposants naturels, qui a la formulation suivante : de deux puissances de mêmes exposants naturels, n est inférieur à celle dont la base est la plus petite, et plus grand est celle dont la base est la plus grande. . Prouvons-le. Inégalités et n propriétés des inégalités une inégalité prouvable de la forme a n est également vraie (2.2) 7 et Il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des puissances à exposants naturels. Formulons-le. De deux puissances dont les exposants naturels et les bases positives identiques sont inférieures à une, celle dont l'exposant est le plus petit est la plus grande ; et de deux puissances à exposants naturels et à bases identiques supérieures à un, celle dont l'exposant est le plus grand est la plus grande. Passons à la preuve de cette propriété. Montrons que pour m>n et 0 Reste à prouver la deuxième partie de la propriété. Montrons que pour m>n et a>1 a m >a n est vrai. La différence a m −a n après avoir retiré a n des parenthèses prend la forme a n ·(a m−n −1) . Ce produit est positif, puisque pour a>1 le degré a n est un nombre positif, et la différence a m−n −1 est un nombre positif, puisque m−n>0 du fait de la condition initiale, et pour a>1 le degré a m−n est supérieur à un . Par conséquent, a m −a n >0 et a m >a n , ce qui restait à prouver. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7 >3 2.
. Sur la base des propriétés de multiplication, le dernier produit peut être réécrit comme 
, qui est égal à a n · b n .
.
.
.
. Pour plus de clarté, voici un exemple avec des chiffres précis : (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Car chacun des produits de la forme a·a est égal au produit des modules des nombres a et a, ce qui signifie que c'est un nombre positif. Par conséquent, le produit sera également positif 
et degré a 2·m. Donnons des exemples : (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 et .
. Tous les produits a·a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et sa multiplication par le nombre négatif restant a donne un nombre négatif. Grâce à cette propriété (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Propriétés des puissances à exposants entiers
Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, alors toutes les propriétés des puissances avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des puissances avec des exposants naturels répertoriées et prouvées dans le paragraphe précédent.
Nous avons défini un degré à exposant négatif entier, ainsi qu'un degré à exposant nul, de telle sorte que toutes les propriétés des degrés à exposant naturel, exprimées par des égalités, restent valables. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables aussi bien pour les exposants nuls que pour les exposants négatifs, même si, bien entendu, les bases des puissances sont différentes de zéro.
Ainsi, pour tout nombre réel et non nul a et b, ainsi que pour tout entier m et n, les éléments suivants sont vrais : propriétés des puissances à exposants entiers:
- une m ·une n =une m+n ;
- une m:une n =une m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (une m) n =une m·n ;
- si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a b−n ;
- si m et n sont des entiers, et m>n , alors à 0
Lorsque a=0, les puissances a m et a n n’ont de sens que lorsque m et n sont tous deux des entiers positifs, c’est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d’être écrites sont également valables pour les cas où a=0 et les nombres m et n sont des entiers positifs.
Prouver chacune de ces propriétés n'est pas difficile, pour ce faire, il suffit d'utiliser les définitions des degrés à exposants naturels et entiers, ainsi que les propriétés des opérations avec des nombres réels. À titre d’exemple, prouvons que la propriété puissance-puissance est valable à la fois pour les entiers positifs et pour les entiers non positifs. Pour ce faire, vous devez montrer que si p est zéro ou un nombre naturel et q est zéro ou un nombre naturel, alors les égalités (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) et (une −p) −q =une (−p)·(−q). Faisons-le.
Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q = a p·q a été prouvée dans le paragraphe précédent. Si p=0, alors nous avons (a 0) q =1 q =1 et a 0·q =a 0 =1, d'où (a 0) q =a 0·q. De même, si q=0, alors (a p) 0 =1 et a p·0 =a 0 =1, d'où (a p) 0 =a p·0. Si p=0 et q=0, alors (a 0) 0 =1 0 =1 et a 0·0 =a 0 =1, d'où (a 0) 0 =a 0·0.
Nous prouvons maintenant que (a −p) q =a (−p)·q . Par définition d'une puissance avec un exposant entier négatif, alors 
. Par la propriété des quotients aux puissances on a 
. Puisque 1 p =1·1·…·1=1 et , alors . La dernière expression, par définition, est une puissance de la forme a −(p·q), qui, grâce aux règles de multiplication, peut s'écrire a (−p)·q.
De même 
.
ET 
.
En utilisant le même principe, vous pouvez prouver toutes les autres propriétés d'un degré avec un exposant entier, écrit sous forme d'égalités.
Dans l’avant-dernière des propriétés enregistrées, il convient de s’attarder sur la preuve de l’inégalité a −n >b −n, qui est valable pour tout entier négatif −n et tout a et b positifs pour lesquels la condition a est satisfaite. . Puisque par condition un 0 . Le produit a n · b n est également positif en tant que produit des nombres positifs a n et b n . Alors la fraction résultante est positive comme le quotient des nombres positifs b n −a n et a n ·b n . Par conséquent, d’où a −n >b −n , ce qui devait être prouvé.
La dernière propriété des puissances à exposants entiers se prouve de la même manière qu’une propriété similaire des puissances à exposants naturels.
Propriétés des puissances avec exposants rationnels
Nous avons défini un degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d’autres termes, les puissances à exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les puissances à exposants entiers. À savoir:
La preuve des propriétés des degrés à exposant fractionnaire repose sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Donnons-en la preuve.
Par définition d'une puissance avec un exposant fractionnaire et , alors 
. Les propriétés de la racine arithmétique permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété d'un degré à exposant entier, on obtient , d'où, par la définition d'un degré à exposant fractionnaire, on a 
, et l'indicateur du diplôme obtenu peut être transformé comme suit : . Ceci termine la preuve.
La deuxième propriété des puissances à exposants fractionnaires se prouve d'une manière absolument similaire : 
Les égalités restantes sont prouvées en utilisant des principes similaires : 
Passons à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout a et b positifs, a bp. Écrivons le nombre rationnel p sous la forme m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Conditionsp<0 и p>0 dans ce cas les conditions m<0 и m>0 en conséquence. Pour m>0 et a
De même, pour m<0 имеем a m >b m , d'où, c'est-à-dire, et a p >b p .
Reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées. Prouvons que pour nombres rationnels p et q, p>q à 0 
Et 
. Et la définition d'un degré avec un exposant rationnel permet de passer aux inégalités et, en conséquence. De là, nous tirons la conclusion finale : pour p>q et 0
Propriétés des puissances à exposants irrationnels
De la manière dont un degré à exposant irrationnel est défini, nous pouvons conclure qu'il possède toutes les propriétés des degrés à exposant rationnel. Donc, pour tout a>0, b>0 et nombres irrationnels p et q, ce qui suit est vrai propriétés des puissances avec des exposants irrationnels:
- a p ·a q =a p+q ;
- une p:une q =une p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- pour tout nombre positif a et b, a 0 l'inégalité a p b p ;
- pour les nombres irrationnels p et q, p>q à 0
De cela, nous pouvons conclure que les puissances avec n’importe quel exposant réel p et q pour a>0 ont les mêmes propriétés.
Bibliographie.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manuel de mathématiques pour la 5ème année. les établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 7e année. les établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. les établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 9e année. les établissements d'enseignement.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).
S. Chestakov,
Moscou
Un examen écrit
11e année
1. Calculs. Conversion d'expressions
§ 3. Puissance avec exposant réel
Les exercices du § 5 du premier chapitre de la collection portent principalement sur la fonction exponentielle et ses propriétés. Dans ce paragraphe, comme dans les précédents, est testée non seulement la capacité à effectuer des transformations basées sur des propriétés connues, mais également la maîtrise du symbolisme fonctionnel. Parmi les tâches de la collection, on peut distinguer les groupes suivants :
- des exercices testant la maîtrise de la définition d'une fonction exponentielle (1.5.A06, 1.5.B01–B04) et la capacité à utiliser des symboles fonctionnels (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11) ;
- des exercices pour transformer des expressions contenant une puissance avec un exposant réel, et pour calculer les valeurs de telles expressions et les valeurs de la fonction exponentielle (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 et etc.);
- exercices pour comparer les valeurs d'expressions contenant une puissance à exposant réel, nécessitant l'utilisation des propriétés d'une puissance à exposant réel et d'une fonction exponentielle (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11) ;
- autres exercices (y compris ceux liés à la notation positionnelle des nombres, aux progressions, etc.) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.
Considérons un certain nombre de problèmes liés au symbolisme fonctionnel.
1.5.A02. e) Les fonctions sont données
Trouvez la valeur de l'expression f 2 (x) – g 2 (x).
Solution. Utilisons la formule de la différence des carrés :
Réponse : –12.
1.5.C11. b) Les fonctions sont données
Trouvez la valeur de l'expression f(x) f(y) – g(x) g(y), si f(x – y) = 9.
Nous présentons de brèves solutions d'exercices pour transformer des expressions contenant une puissance avec un exposant réel, et pour calculer les valeurs de ces expressions et les valeurs de la fonction exponentielle.
1.5.B07. a) On sait que 6 un – 6 –un= 6. Trouvez la valeur de l'expression (6 un– 6) 6 un .
Solution. Des conditions problématiques, il s'ensuit que 6 un – 6 = 6 -un. Alors
(6 un– 6) 6a = 6 -un· 6 un = 1.
1.5.C05. b) Trouver la valeur de l'expression 7 un B, Si 
Solution. Par condition 
Divisez le numérateur et le dénominateur du côté gauche de cette égalité par 7 b. On a 
Faisons un remplacement. Soit y = 7 un B. L'égalité prend la forme
Résolvons l'équation résultante
Le groupe d'exercices suivant est constitué de tâches permettant de comparer les valeurs d'expressions contenant une puissance avec un exposant réel, nécessitant l'utilisation des propriétés d'une puissance avec un exposant réel et une fonction exponentielle.
1.5.B11. b) Classez les nombres f(60), g(45) et h(30) par ordre décroissant si f(x) = 5 x , g(x) = 7 x et h(x) = 3 x .
Solution. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 et h(30) = 3 30 .
Transformons ces diplômes pour obtenir les mêmes indicateurs :
5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .
Écrivons les bases par ordre décroissant : 625 > 343 > 9.
Par conséquent, l’ordre requis est f(60), g(45), h(30).
Réponse : f(60), g(45), h(30).
1.5.C12. a) Comparez 
, où x et y sont des nombres réels.
Solution. 
C'est pourquoi 
C'est pourquoi 
Puisque 3 2 > 2 3, on obtient ça 
Répondre: 
1.5.D11. a) Comparez les nombres 
Puisque nous obtenons 
Répondre: 
Pour compléter notre revue des problèmes de puissance avec des exposants réels, nous considérerons des exercices liés à la notation positionnelle des nombres, aux progressions, etc.
1.5.A03. b) Étant donné la fonction f(x) = (0,1) x. Trouvez la valeur de l'expression 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).
4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.
Ainsi, cette expression est une expansion dans la somme des unités décimales de 4,496.
Réponse : 4 496.
1.5.D07. a) Étant donné la fonction f(x) = 0,1 x. Trouver la valeur de l'expression f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...
f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...
Cette expression est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante avec le premier terme 0,001 et le dénominateur –0,001. Le montant est 
1.5.D09. a) Trouvez la valeur de l'expression 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x si 5 x –5 y =3, x + y = 3.
5 2x +5 2a +25 x 5 ans –25 ans 5 x =(5 x – 5 ans) 2 +2 5 x 5 ans +5 x 5 ans (5 x – 5 ans)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.
Réponse : 634.
§ 4. Expressions logarithmiques
En répétant le thème « Transformation des expressions logarithmiques » (§ 1.6 de la collection), vous devez retenir un certain nombre de formules de base liées aux logarithmes :
Voici un certain nombre de formules dont la connaissance n'est pas requise pour résoudre des problèmes aux niveaux A et B, mais peut être utile pour résoudre des problèmes plus complexes (le nombre de ces formules peut être soit réduit, soit augmenté selon l'avis de l'enseignant. et le niveau de préparation des étudiants) :
La plupart des exercices du § 1.6 du recueil peuvent être classés dans l'un des groupes suivants :
- exercices sur l'utilisation directe de la définition et des propriétés des logarithmes (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08 , 1.6.D10);
- exercices de calcul de la valeur d'une expression logarithmique à partir d'une valeur donnée d'une autre expression ou logarithme (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02) ;
- des exercices pour comparer les valeurs de deux expressions contenant des logarithmes (1.6.C11) ;
- exercices avec une tâche complexe en plusieurs étapes (1.6.D11, 1.6.D12).
Nous présentons de brèves solutions à des exercices sur l'utilisation directe de la définition et des propriétés des logarithmes.
1.6.B05. a) Trouver le sens de l'expression 
Solution. 
L'expression prend la forme
1.6.D08. b) Trouvez la valeur de l'expression (1 – log 4 36)(1 – log 9 36).
Solution. Utilisons les propriétés des logarithmes :
(1 – journal 4 36)(1 – journal 9 36) =
= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =
= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.
1.6.D10. a) Trouver le sens de l'expression 
Solution. Transformons le numérateur :
journal 6 42 journal 7 42=(1 + journal 6 7)(1 + journal 7 6)=1 + journal 6 7 + journal 7 6 + journal 6 7 journal 7 6.
Mais log 6 7 log 7 6 = 1. Par conséquent, le numérateur est 2 + log 6 7 + log 7 6, et la fraction est 1.
Passons à la résolution d'exercices sur le calcul de la valeur d'une expression logarithmique à partir d'une valeur donnée d'une autre expression ou logarithme.
1.6.D02. a) Trouver la valeur de l'expression log 70 320 si log 5 7= un, journal 7 2= b.
Solution. Transformons l'expression. Passons à la base 7 :
Il découle de la condition que 
. C'est pourquoi 
Le problème suivant vous oblige à comparer les valeurs de deux expressions contenant des logarithmes.
1.6.C11. a) Comparez les nombres 
Solution. Réduisons les deux logarithmes en base 2.
Ces chiffres sont donc égaux.
Réponse : ces nombres sont égaux.
Travail indépendant d'un étudiant de 1ère année sur le thème des Diplômes avec un indicateur réel. Propriétés du degré avec exposant réel (6 heures)
Étudier du matériel théorique et prendre des notes (2 heures)
Résoudre une grille de mots croisés (2 heures)
Test de devoirs complet (2 heures)
Le matériel de référence et didactique est présenté ci-dessous
Sur la notion de diplôme à exposant rationnel
Certains des plusfréquemment rencontré
Types de fonctions transcendantales, avant
Totalement indicatif, donner accès à
Beaucoup de recherches.
L. Eiler
De la pratique consistant à résoudre des problèmes algébriques de plus en plus complexes et à opérer avec des degrés, est né le besoin de généraliser le concept de degré et de l'élargir en introduisant les nombres zéro, négatifs et fractionnaires comme indicateur.
L'égalité a 0 = 1 (pour ) est utilisée dans ses œuvres au début du XVe siècle. Le scientifique de Samarcande al-Kashi. Indépendamment, l'indicateur zéro a été introduit par N. Shuke au XVe siècle. Ce dernier a également introduit des exposants négatifs. L'idée des exposants fractionnaires est contenue chez le mathématicien français N. Oresme (XIVe siècle) dans son
ouvrage "Algorisme des proportions". Au lieu de notre signe, il a écrit , à la place il a écrit 4. Oresme formule verbalement les règles pour fonctionner avec les degrés, par exemple (en notation moderne) : , 
et ainsi de suite.
Plus tard, des exposants fractionnaires ainsi que négatifs se trouvent dans « Complete Arithmetic » (1544) du mathématicien allemand M. Stiefel et dans S. Stevin. Ce dernier écrit que la racine du diplôme P. du numéro UN peut être considéré comme un diplôme UN avec un indicateur fractionnaire.
L'opportunité d'introduire des exposants zéro, négatifs et fractionnaires ainsi que des symboles modernes a été écrite pour la première fois en détail en 1665 par le mathématicien anglais John Wallis. Son travail a été complété par I. Newton, qui a commencé à appliquer systématiquement de nouveaux symboles, après quoi ils sont entrés dans un usage général.
L'introduction d'une puissance avec un exposant rationnel est l'un des nombreux exemples de généralisation du concept d'action mathématique. Un degré avec des exposants nuls, négatifs et fractionnaires est défini de telle manière que les mêmes règles d'action qui s'appliquent à un degré avec un exposant naturel lui sont applicables, c'est-à-dire de sorte que les propriétés fondamentales du concept de degré initialement défini sont conservé, à savoir :
La nouvelle définition d'un degré à exposant rationnel ne contredit pas l'ancienne définition d'un degré à exposant naturel, c'est-à-dire que la signification de la nouvelle définition d'un degré à exposant rationnel reste la même pour le cas particulier d'un degré à exposant rationnel. un exposant naturel. Ce principe, observé lors de la généralisation de concepts mathématiques, est appelé principe de permanence (préservation, constance). Il a été exprimé sous une forme imparfaite en 1830 par le mathématicien anglais J. Peacock, et il a été pleinement et clairement établi par le mathématicien allemand G. Hankel en 1867. Le principe de permanence est également observé lors de la généralisation du concept de nombre et de son élargissement. au concept de nombre réel, et avant cela - lors de l'introduction du concept de multiplication par fraction, etc.
Fonction d'alimentation etgraphiquerésoudre des équations etinégalités
Grâce à la découverte de la méthode des coordonnées et de la géométrie analytique, à partir du XVIIe siècle. L'étude graphique des fonctions et la solution graphique des équations d'application générale sont devenues possibles.
Pouvoir une fonction est appelée fonction de la forme
où α est un nombre réel constant. Mais d'abord, nous nous limiterons aux seules valeurs rationnelles de α et au lieu de l'égalité (1) nous écrirons :
Où - nombre rationnel. Pour et par définition, respectivement, nous avons :
à=1, y = x.
Calendrier la première de ces fonctions sur le plan est une droite parallèle à l'axe Oh, et la seconde est la bissectrice des 1er et 3ème angles de coordonnées.
Quand le graphique d'une fonction est une parabole . Descartes, qui désignait la première inconnue par z, le deuxième - à travers oui, troisième - à travers X:, a écrit l'équation de la parabole comme ceci : ( z- abscisse). Il utilisait souvent la parabole pour résoudre des équations. Pour résoudre, par exemple, une équation du 4ème degré
Descartes utilisant la substitution
j'ai une équation quadratique à deux inconnues :
représentant un cercle situé dans un plan (zx) avec parabole (4). Ainsi, Descartes, introduisant la deuxième inconnue (X), divise l'équation (3) en deux équations (4) et (5), dont chacune représente un lieu spécifique de points. Les ordonnées de leurs points d'intersection donnent les racines de l'équation (3).
« Un jour, le roi décida de choisir un premier assistant parmi ses courtisans. Il a conduit tout le monde dans un immense château. "Celui qui l'ouvrira en premier sera le premier assistant." Personne n'a même touché à la serrure. Un seul vizir s'approcha et poussa la serrure qui s'ouvrit. Elle n'était pas verrouillée.
Alors le roi dit : « Vous obtiendrez ce poste parce que vous comptez non seulement sur ce que vous voyez et entendez, mais aussi sur vos propres forces et n’avez pas peur d’essayer. »
Et aujourd'hui, nous allons essayer de prendre la bonne décision.
1. À quel concept mathématique les mots sont-ils associés :
Base
Indicateur (Degré)
Quels mots peuvent être utilisés pour combiner les mots :
Nombre rationnel
Entier
Entier naturel
Nombre irrationnel (nombre réel)
Formulez le sujet de la leçon. (Degré avec exposant réel)
– répéter les propriétés du diplôme
– envisager l’utilisation des propriétés du degré dans les calculs et les simplifications des expressions
– développement des compétences informatiques.
Donc a p, où p est un nombre réel.
Donnez des exemples (choisissez parmi les expressions 5 –2, , 43, ) degrés
– avec indicateur naturel
– avec un indicateur entier
– avec un indicateur rationnel
– avec un indicateur irrationnel
Pour quelles valeurs de a l'expression a-t-elle un sens ?
a n , où n (a – any)
a m , où m (a n'est pas égal à 0) Comment passer d'un degré à exposant négatif à un degré à exposant positif ?
Où p, q (a > 0)
Quelles opérations (opérations mathématiques) peuvent être réalisées avec des diplômes ?
Correspondre:
|
Lors de la multiplication de puissances avec des bases égales |
Les bases sont multipliées, mais l'exposant reste le même |
|
Lors du partage des pouvoirs sur des bases égales |
Les bases sont divisées, mais l'indicateur reste le même |
Dans cet article, nous découvrirons ce que c'est diplôme de. Nous donnerons ici des définitions de la puissance d'un nombre, tandis que nous examinerons en détail tous les exposants possibles, en commençant par l'exposant naturel et en terminant par l'exposant irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes, couvrant toutes les subtilités qui se présentent.
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Puissance avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre
Commençons avec . Pour l’avenir, disons que la définition de la puissance d’un nombre a d’exposant naturel n est donnée pour a, que nous appellerons base de diplôme, et n, que nous appellerons exposant. Nous notons également qu'un degré avec un exposant naturel est déterminé par un produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez comprendre la multiplication des nombres.
Définition.
Puissance d'un nombre d'exposant naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs dont chacun est égal à a, c'est-à-dire .
En particulier, la puissance d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.
Il convient de mentionner tout de suite les règles de lecture des diplômes. La manière universelle de lire la notation a n est : « a à la puissance n ». Dans certains cas, les options suivantes sont également acceptables : « a à la nième puissance » et « nième puissance de a ». Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est « huit puissance douze », ou « huit puissance douzième », ou « douzième puissance huit ».
La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle mettre le nombre au carré, par exemple, 7 2 se lit comme « sept au carré » ou « le carré du nombre sept ». La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombres au cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme « cinq cubes » ou vous pouvez dire « cube du nombre 5 ».
Il est temps d'apporter exemples de degrés avec des exposants naturels. Commençons par le degré 5 7, ici 5 est la base du degré, et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9 .
Attention, dans le dernier exemple, la base de la puissance 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les divergences, nous mettrons entre parenthèses toutes les bases de la puissance qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des exposants naturels 
, leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté, nous allons montrer à ce stade la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3. L'expression (−2) 3 est une puissance de −2 avec un exposant naturel de 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .
Notez qu'il existe une notation pour la puissance d'un nombre a avec un exposant n de la forme a^n. De plus, si n est un nombre naturel à plusieurs valeurs, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici quelques autres exemples d'écriture de diplômes en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation en degrés de la forme a n .
L'un des problèmes inverses à l'élévation à une puissance avec un exposant naturel est le problème de trouver la base d'une puissance à partir d'une valeur connue de la puissance et d'un exposant connu. Cette tâche conduit à .
On sait que l'ensemble des nombres rationnels est constitué d'entiers et de fractions, et chaque fraction peut être représentée comme une fraction ordinaire positive ou négative. Nous avons défini un degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, pour compléter la définition d'un degré avec un exposant rationnel, nous devons donner un sens au degré du nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons-le.
Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété puissance-puissance reste valable, l'égalité doit être vérifiée 
. Si nous prenons en compte l'égalité résultante et la manière dont nous avons déterminé , alors il est logique de l'accepter à condition que pour m, n et a donnés, l'expression ait un sens.
Il est facile de vérifier que pour toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valables (cela a été fait dans la section propriétés d'un degré à exposant rationnel).
Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si étant donné m, n et a l'expression a un sens, alors la puissance de a avec un exposant fractionnaire m/n est appelée la nième racine de a à la puissance m.
Cette affirmation nous rapproche de la définition d’un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire à partir de quoi m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m, n et a, il existe deux approches principales.
Le plus simple est d'imposer une contrainte sur a en prenant a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (puisque pour m≤0 le degré 0 de m n'est pas défini). Nous obtenons alors la définition suivante d’un degré avec un exposant fractionnaire.
Définition.
Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un nombre entier et n est un nombre naturel, est appelé la nième racine du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .
La puissance fractionnaire de zéro est également déterminée avec le seul avertissement que l'indicateur doit être positif.
Définition.
Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme 
.
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant fractionnaire négatif n'a pas de sens.
Il convient de noter qu'avec cette définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une mise en garde : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a un sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, les entrées ont du sens 
ou , et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les puissances à exposant fractionnaire de la forme 
n’a aucun sens, puisque la base ne doit pas être négative.
Une autre approche pour déterminer un degré avec un exposant fractionnaire m/n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite condition supplémentaire: la puissance du nombre a dont l'exposant est est considérée comme la puissance du nombre a dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (nous expliquerons l'importance de cette condition ci-dessous). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est d'abord remplacé par .
Pour n pair et m positif, l'expression a un sens pour tout a non négatif (racine même degré depuis nombre négatif n'a pas de sens), pour m négatif le nombre a doit quand même être différent de zéro (sinon il y aura division par zéro). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être quelconque (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).
Le raisonnement ci-dessus nous amène à cette définition d’un degré à exposant fractionnaire.
Définition.
Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un nombre naturel. Pour tout réductible fraction commune Le diplôme est remplacé par . La puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire irréductible m/n est pour
Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissons simplement le degré comme , et ne faisons pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m/n, alors nous serions confrontés à des situations similaires à la suivante : puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité doit être vraie 
, Mais 
, UN .
Sujet de la leçon : Diplôme avec exposants rationnels et réels.
Objectifs:
généraliser la notion de diplôme ;
pratiquer la capacité de trouver la valeur d'un degré avec un exposant réel ;
consolider la capacité d'utiliser les propriétés des diplômes lors de la simplification d'expressions ;
développer l'habileté d'utiliser les propriétés des diplômes dans les calculs.
intellectuel, émotionnel, développement personnelétudiant;
développer la capacité de généraliser, de systématiser sur la base de comparaisons et de tirer des conclusions ;
intensifier l'activité indépendante;
développer un intérêt cognitif.
éducation à la communication et culture de l'informationétudiants;
L'éducation esthétique passe par la formation de la capacité de rédiger de manière rationnelle et précise une tâche au tableau et dans un cahier.
Éducatif :
Du développement :
Éducatif :
Les étudiants doivent savoir : définition et propriétés du degré avec exposant réel
Les étudiants doivent être capables de :
déterminer si une expression avec un diplôme a un sens ;
utiliser les propriétés des diplômes dans les calculs et la simplification des expressions ;
résoudre des exemples contenant des diplômes ;
comparer, trouver des similitudes et des différences.
Format du cours : séminaire - atelier, avec éléments de recherche. Support informatique.
Forme d'organisme de formation : individuel, groupe.
Technologies éducatives : l'apprentissage par problèmes, apprentissage en collaboration, personnel - apprentissage orienté, communicatif.
Type de cours : leçon de recherche et de travaux pratiques.
Visuels et documents de cours :
présentation
formules et tableaux (Annexe 1.2)
mission de travail indépendant (Annexe 3)
Plan de cours
№Étape de la leçon
But de la scène
Temps, min.
Début de la leçon
Rapporter le sujet de la leçon, fixer les objectifs de la leçon.
1-2 minutes
Travail oral
Répétez les formules de puissance.
Propriétés des diplômes.
4-5 minutes.
Solution avant
planches du manuel n°57 (1,3,5)
№58(1,3,5) avec un respect détaillé du plan de solution.
Formation de compétences et d'aptitudes
les étudiants appliquent des propriétés
degrés lors de la recherche des valeurs d'une expression.
8-10 minutes.
Travaillez en micro-groupes.
Identifier les lacunes dans les connaissances
étudiants, créant des conditions pour
développement individuelétudiant
à la leçon.
15-20 minutes.
Résumer le travail.
Suivre le succès du travail
Les étudiants, lorsqu'ils résolvent de manière indépendante des problèmes sur un sujet, découvrent
la nature des difficultés, leurs causes,
indiquer collectivement des solutions.
5-6 minutes.
Présentez aux élèves les devoirs à la maison. Donnez les explications nécessaires.
1-2 minutes.
PENDANT LES COURS
Bonjour gars! Notez la date et le sujet de la leçon dans vos cahiers.
On raconte que l'inventeur des échecs, en récompense de son invention, a demandé du riz au Raja : sur la première case de l'échiquier, il a demandé de mettre un grain, sur la seconde - 2 fois plus, soit 2 grains, sur la seconde. troisième - 2 fois plus, soit 4 grains, etc. jusqu'à 64 cellules.
Sa demande parut trop modeste au rajah, mais il devint vite évident qu'elle était impossible à réaliser. Le nombre de grains qui ont dû être donnés à l'inventeur des échecs en récompense est exprimé par la somme
1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .
Ce montant est égal à un nombre énorme
18446744073709551615
Et elle est si importante que cette quantité de céréales pourrait recouvrir toute la surface de notre planète, y compris les océans du monde, d’une couche de 1 cm.
Les puissances sont utilisées lors de l'écriture de nombres et d'expressions, ce qui les rend plus compacts et plus pratiques pour effectuer des actions.
Les degrés sont souvent utilisés pour mesurer grandeurs physiques, qui peut être « très grand » ou « très petit ».
La masse de la Terre 6000000000000000000000t s'écrit sous la forme d'un produit 6.10 21 T
Le diamètre d'une molécule d'eau 0,0000000003 m s'écrit comme le produit
3.10 -10 m.
1. Avec lequel concept mathématique mots apparentés :
Base
Indice(Degré)
Quels mots peuvent être utilisés pour combiner les mots :
Nombre rationnel
Entier
Entier naturel
Nombre irrationnel(nombre réel)
Formulez le sujet de la leçon.(Degré avec exposant réel)
2. Donc un X,Oùx est un nombre réel. Sélectionner parmi les expressions
Avec indicateur naturel
Avec un indicateur entier
AVEC indicateur rationnel
3.
Quel est notre objectif ?(UTILISER)
Lequelobjectifs de notre leçon
?
– Généraliser la notion de diplôme.
Tâches:
– répéter les propriétés du degré
– envisager l’utilisation des propriétés du degré dans les calculs et les simplifications des expressions
– développement des compétences informatiques
4 . Puissance avec exposant rationnel
Basedegrés
Diplôme avec indicateurr, base une (nN, mn
r= n
r= - n
r= 0
r= 0
r =0
un n= un. un. … . un
un -n=
un 0 =1
un n=a.a. ….un
un -n=
N'existe pas
N'existe pas
un 0 =1
une=0
0 n=0
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
5 . Parmi ces expressions, choisissez celles qui n’ont pas de sens :
6 . Définition
Si le numéror- naturel, puis un ril y a un travailrnombres dont chacun est égal à a :
un r= un. un. … . un
Si le numéror- fractionnaire et positif, c'est-à-dire oùmEtn- naturel
des chiffres, alors
Si l'indicateurrest rationnelle et négative, alors l'expressionun r
est défini comme l’inverse deun - r
ou
Si
7 . Par exemple
8 . Les puissances des nombres positifs ont les propriétés de base suivantes :
9 . Calculer
10. Quelles opérations (opérations mathématiques) peuvent être réalisées avec des diplômes ?
Correspondre:
A) En multipliant les puissances avec également1) Les bases sont multipliées, mais l'indicateur reste le même
B) Lors du partage des pouvoirs avec des bases égales
2) Les bases sont divisées, mais l'indicateur reste le même
B) Lors de l'élévation d'une puissance à une puissance
3) La base reste la même, mais les indicateurs sont démultipliés
D) Lors de la multiplication de puissances avec des exposants égaux
4) La base reste la même, mais les indicateurs sont soustraits
D) Lors de la division de degrés avec des exposants égaux
5) La base reste la même, mais les indicateurs s'additionnent
11 . Extrait du manuel (au tableau)
A résoudre en classe :
№57 (1,3,5)
№58 (1, 3, 5)
№59 (1, 3)
№60 (1,3)
12 . Par Matériel d'examen d'État unifié
(travail indépendant) sur des morceaux de papier
XIVsiècle.
Réponse : Orezma. 13. De plus (individuellement) pour ceux qui accomplissent les tâches plus rapidement :14. Devoirs
§ 5 (connaître les définitions, les formules)
№57 (2, 4, 6)
№58 (2,4)
№59 (2,4)
№60 (2,4) .
A la fin de la leçon :
« Les mathématiques doivent être enseignées plus tard car elles mettent de l’ordre dans l’esprit »
– C'est ce qu'a dit le grand mathématicien russe Mikhaïl Lomonossov.
- Merci pour la leçon!
Annexe 1
1.Degrés. Propriétés de base
Indicateur
un 1 = un
un n=a.a. ….un
une R n
3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,
(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8
Diplôme avec un exposant entier
un 0 =1,
où un
0 0 - non défini.
Diplôme avec rationnel
Indicateur
Oùun
mn
Diplôme avec exposant irrationnel
Réponse : ==25,9...
1. un X. un oui=un x+y
2.a X:un oui==un xy
3. .(un X) oui=un x.y
4.(a.b) n=un n.b n
5. (=
6. (
Annexe 2
2. Degré avec exposant rationnel
Basedegrés
Diplôme avec indicateurr, base une (nN, mn
r= n
r= - n
r= 0
r= 0
r =0
un n= un. un. … . un
un -n=
un 0 =1
un n=a.a. ….un
un -n=
N'existe pas
N'existe pas
un 0 =1
une=0
0 n=0
N'existe pas
N'existe pas
N'existe pas
Annexe 3
Les opérations sur les puissances ont été utilisées pour la première fois par un mathématicien françaisXIVsiècle.
Déchiffrez le nom du scientifique français.
