L'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs est égale au produit des longueurs de ces vecteurs et de l'angle qui les sépare.

C’est bien quand les conditions donnent les longueurs de ces mêmes vecteurs. Cependant, il arrive aussi que la formule de l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs ne puisse être appliquée qu'après des calculs utilisant des coordonnées.
Si vous avez de la chance et que les conditions donnent les longueurs des vecteurs, il vous suffit alors d'appliquer la formule dont nous avons déjà parlé en détail dans l'article. L'aire sera égale au produit des modules par le sinus de l'angle entre eux :

Considérons un exemple de calcul de l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs.

Tâche: Le parallélogramme est construit sur les vecteurs et . Trouvez l'aire si , et l'angle entre elles est de 30°.
Exprimons les vecteurs à travers leurs valeurs :

Peut-être avez-vous une question : d'où viennent les zéros ? Il convient de rappeler que nous travaillons avec des vecteurs, et pour eux . notez également que si le résultat est une expression, il sera converti en. Nous effectuons maintenant les calculs finaux :

Revenons au problème lorsque les longueurs des vecteurs ne sont pas précisées dans les conditions. Si votre parallélogramme se trouve dans le système de coordonnées cartésiennes, vous devrez alors procéder comme suit.

Calcul des longueurs des côtés d'une figure données par les coordonnées

Tout d’abord, nous trouvons les coordonnées des vecteurs et soustrayons les coordonnées correspondantes du début des coordonnées de fin. Disons que les coordonnées du vecteur a sont (x1; y1; z1) et que le vecteur b est (x3; y3; z3).
Nous trouvons maintenant la longueur de chaque vecteur. Pour ce faire, chaque coordonnée doit être mise au carré, puis additionner les résultats obtenus et de nombre fini extraire la racine. Sur la base de nos vecteurs, il y aura les calculs suivants :


Nous devons maintenant trouver le produit scalaire de nos vecteurs. Pour ce faire, leurs coordonnées correspondantes sont multipliées et additionnées.

Ayant les longueurs des vecteurs et leur produit scalaire, on peut trouver le cosinus de l'angle qui les sépare .
Nous pouvons maintenant trouver le sinus du même angle :
Nous avons maintenant toutes les quantités nécessaires, et nous pouvons facilement trouver l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs en utilisant la formule déjà connue.

Rappelons d'abord ce qu'est un produit vectoriel.

Note 1

Oeuvre vectorielle pour $\vec(a)$ et $\vec(b)$ est $\vec(c)$, qui est un troisième vecteur $\vec(c)= ||$, et ce vecteur a des propriétés spéciales :

• Le scalaire du vecteur résultant est le produit de $|\vec(a)|$ et $|\vec(b)|$ par le sinus de l'angle $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Tous les $\vec(a), \vec(b)$ et $\vec(c)$ forment un triplet droit ;
• Le vecteur résultant est orthogonal à $\vec(a)$ et $\vec(b)$.

Si les vecteurs ont des coordonnées ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ et $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), alors leur produit vectoriel en coordonnées cartésiennes Le système peut être déterminé par la formule :

$ = \(y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\)$

Le moyen le plus simple de mémoriser cette formule est de l’écrire sous forme déterminante :

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Cette formule est très pratique à utiliser, mais pour comprendre comment l'utiliser, vous devez d'abord vous familiariser avec le thème des matrices et de leurs déterminants.

Aire d'un parallélogramme, dont les côtés sont déterminés par deux vecteurs $\vec(a)$ et $vec(b)$ est égal à scalaire du produit vectoriel des deux vecteurs donnés.

Cette relation n’est pas du tout difficile à établir.

Rappelons la formule pour trouver l'aire d'un parallélogramme ordinaire, qui peut être caractérisé par les segments $a$ et $b$ qui le forment :

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

Dans ce cas, les longueurs des côtés sont égales aux valeurs scalaires des vecteurs $\vec(a)$ et $\vec(b)$, ce qui nous convient tout à fait, c'est-à-dire le scalaire du le produit vectoriel de ces vecteurs sera l'aire de la figure considérée.

Exemple 1

Sont donnés les vecteurs $\vec(c)$ avec les coordonnées $\(5;3; 7\)$ et le vecteur $\vec(g)$ avec les coordonnées $\(3; 7;10\)$ dans le système de coordonnées cartésiennes . Trouvez l'aire du parallélogramme formé par $\vec(c)$ et $\vec(g)$.

Solution:

Trouvons le produit vectoriel de ces vecteurs :

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19 ; 29 ; 26\)$.

Trouvons maintenant la valeur modulaire du segment orienté résultant, c'est la valeur de l'aire du parallélogramme construit :

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Ce raisonnement est valable non seulement pour trouver une aire dans un espace tridimensionnel, mais également pour un espace bidimensionnel. Découvrez le puzzle suivant sur ce sujet.

Exemple 2

Calculer l'aire d'un parallélogramme si ses segments générateurs sont spécifiés par les vecteurs $\vec(m)$ de coordonnées $\(2; 3\)$ et $\vec(d)$ de coordonnées $\(-5 ; 6\)$.

Solution:

Ce problème est un exemple particulier du problème 1, résolu ci-dessus, mais les deux vecteurs se trouvent dans le même plan, ce qui signifie que la troisième coordonnée, $z$, peut être prise comme nulle.

Pour résumer tout ce qui précède, l'aire du parallélogramme sera :

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Exemple 3

Vecteurs donnés $\vec(a) = 3i – j + k ; \vec(b)= 5i$. Déterminez l'aire du parallélogramme qu'ils forment.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

Simplifions selon le tableau ci-dessous pour les vecteurs unitaires :

Figure 1. Décomposition d'un vecteur par base. Author24 - échange en ligne de travaux d'étudiants

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Temps de calcul :

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Les problèmes précédents concernaient des vecteurs dont les coordonnées sont spécifiées dans le système de coordonnées cartésiennes, mais considérons également le cas si l'angle entre les vecteurs de base diffère de $90°$ :

Exemple 4

Vecteur $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, les longueurs $\vec(a)$ et $\vec(b)$ sont égales entre elles et égales à un , et l'angle entre $\vec(a)$ et $\vec(b)$ est de 45°.

Solution:

Calculons le produit vectoriel $\vec(d) \times \vec(f)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

Pour les produits vectoriels, selon leurs propriétés, ce qui suit est vrai : $$ et $$ sont égaux à zéro, $ = - $.

Utilisons ceci pour simplifier :

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 =-11$.

Utilisons maintenant la formule $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=$5.5.

Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations avec des vecteurs : produit vectoriel de vecteurs Et produit mixte de vecteurs (lien immédiat pour ceux qui en ont besoin). Ce n'est pas grave, il arrive parfois que pour un bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs, il en faut de plus en plus. C’est une dépendance aux vecteurs. Il peut sembler que nous entrons dans la nature géométrie analytique. C'est faux. Dans cette section des mathématiques supérieures, il y a généralement peu de bois, sauf peut-être assez pour Pinocchio. En fait, le matériel est très courant et simple - à peine plus compliqué que le même produit scalaire, même tâches typiques il y en aura moins. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup en seront convaincus ou l'ont déjà été, est de NE PAS FAIRE D'ERREURS DANS LES CALCULS. Répétez comme un sort et vous serez heureux =)

Si les vecteurs scintillent quelque part au loin, comme des éclairs à l’horizon, peu importe, commencez par la leçon Vecteurs pour les nuls restaurer ou réacquérir les connaissances de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective ; j'ai essayé d'en collecter autant que possible collection complète des exemples que l'on retrouve souvent dans Travaux pratiques

Qu'est-ce qui vous rendra heureux tout de suite ? Quand j'étais petite, je savais jongler avec deux et même trois balles. Cela a bien fonctionné. Désormais, vous n'aurez plus du tout à jongler, puisque nous considérerons uniquement des vecteurs spatiaux, et les vecteurs plats avec deux coordonnées seront laissés de côté. Pourquoi? C'est ainsi que sont nées ces actions - le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent en espace tridimensionnel. C'est déjà plus simple !

Cette opération, tout comme le produit scalaire, implique deux vecteurs. Que ce soient des lettres impérissables.

L'action elle-même désigné par de la manière suivante : . Il existe d'autres options, mais j'ai l'habitude de désigner le produit vectoriel des vecteurs de cette façon, entre crochets avec une croix.

Et tout de suite question: si dans produit scalaire de vecteurs deux vecteurs sont impliqués, et ici deux vecteurs sont également multipliés, alors Quelle est la différence? La différence évidente réside tout d’abord dans le RÉSULTAT :

Le résultat du produit scalaire des vecteurs est NOMBRE :

Le résultat du produit vectoriel des vecteurs est VECTEUR: , c'est-à-dire que nous multiplions les vecteurs et obtenons à nouveau un vecteur. Club fermé. En fait, c’est de là que vient le nom de l’opération. Dans divers littérature pédagogique les désignations peuvent également varier, j'utiliserai la lettre .

Définition du produit croisé

Il y aura d'abord une définition avec une image, puis des commentaires.

Définition: Produit vectoriel non colinéaire vecteurs, pris à dans cet ordre , appelé VECTEUR, longueur ce qui est numériquement égal à l'aire du parallélogramme, construit sur ces vecteurs ; vecteur orthogonal aux vecteurs, et est orienté de manière à ce que la base ait une bonne orientation :

Décomposons la définition morceau par morceau, il y a beaucoup de choses intéressantes ici !

Ainsi, les points significatifs suivants peuvent être soulignés :

1) Les vecteurs originaux, indiqués par des flèches rouges, par définition pas colinéaire. Événement vecteurs colinéaires Il conviendra d'y réfléchir un peu plus tard.

2) Les vecteurs sont pris dans un ordre strictement défini: – "a" est multiplié par "être", pas « être » avec « a ». Le résultat de la multiplication vectorielle est VECTOR, qui est indiqué en bleu. Si les vecteurs sont multipliés dans l'ordre inverse, on obtient un vecteur de longueur égale et de direction opposée (couleur framboise). Autrement dit, l'égalité est vraie .

3) Faisons maintenant connaissance avec la signification géométrique du produit vectoriel. C'est un point très important! La LONGUEUR du vecteur bleu (et donc du vecteur cramoisi) est numériquement égale à la ZONE du parallélogramme construit sur les vecteurs. Sur la figure, ce parallélogramme est ombré de noir.

Note : le dessin est schématique et, bien entendu, la longueur nominale du produit vectoriel n'est pas égale à l'aire du parallélogramme.

Souvenons-nous d'un des formules géométriques: L'aire d'un parallélogramme est égale au produit des côtés adjacents et du sinus de l'angle qui les sépare. Par conséquent, sur la base de ce qui précède, la formule de calcul de la LONGUEUR d'un produit vectoriel est valable :

J'insiste sur le fait que la formule concerne la LONGUEUR du vecteur, et non le vecteur lui-même. Quelle est la signification pratique ? Et le sens est que dans les problèmes de géométrie analytique, l'aire d'un parallélogramme se retrouve souvent à travers la notion de produit vectoriel :

Obtenons la deuxième formule importante. La diagonale d'un parallélogramme (ligne pointillée rouge) le divise en deux triangle égal. Par conséquent, l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs (ombrage rouge) peut être trouvée à l'aide de la formule :

4) Un fait tout aussi important est que le vecteur est orthogonal aux vecteurs, c'est-à-dire . Bien entendu, le vecteur de direction opposée (flèche framboise) est également orthogonal aux vecteurs d’origine.

5) Le vecteur est dirigé de telle sorte que base Il a droite orientation. Dans la leçon sur transition vers une nouvelle base J'ai parlé avec suffisamment de détails de orientation du plan, et maintenant nous allons découvrir ce qu'est l'orientation spatiale. Je vais t'expliquer sur tes doigts main droite . Combiner mentalement index avec vecteur et majeur avec vecteur. Annulaire et petit doigt appuyez-le dans votre paume. Par conséquent pouce– le produit vectoriel recherchera. Il s'agit d'une base orientée vers la droite (c'est celle-ci sur la figure). Changez maintenant les vecteurs ( index et majeur) à certains endroits, le pouce se retournera et le produit vectoriel baissera déjà les yeux. C’est aussi une base orientée vers la droite. Vous vous posez peut-être une question : sur quelle base l'orientation a-t-elle quitté ? « Attribuer » aux mêmes doigts main gauche vecteurs, et obtenez la base gauche et l'orientation gauche de l'espace (dans ce cas, le pouce sera situé en direction du vecteur inférieur). Au sens figuré, ces bases « tordent » ou orientent l’espace dans différents côtés. Et ce concept ne doit pas être considéré comme quelque chose de farfelu ou d'abstrait - par exemple, l'orientation de l'espace est modifiée par le miroir le plus ordinaire, et si vous « retirez l'objet réfléchi du miroir », alors il le fera. cas général ne peut pas être combiné avec « l’original ». Au fait, placez trois doigts devant le miroir et analysez le reflet ;-)

... comme c'est bien que tu saches maintenant orienté à droite et à gauche bases, car les déclarations de certains conférenciers sur un changement d'orientation font peur =)

Produit vectoriel de vecteurs colinéaires

La définition a été discutée en détail, reste à savoir ce qui se passe lorsque les vecteurs sont colinéaires. Si les vecteurs sont colinéaires, alors ils peuvent être placés sur une ligne droite et notre parallélogramme se « plie » également en une seule ligne droite. Le domaine de tel, comme disent les mathématiciens, dégénérer le parallélogramme est égal à zéro. La même chose découle de la formule - le sinus de zéro ou 180 degrés est égal à zéro, ce qui signifie que l'aire est nulle

Ainsi, si , alors Et . Veuillez noter que le produit vectoriel lui-même est égal au vecteur zéro, mais dans la pratique, cela est souvent négligé et il est écrit qu'il est également égal à zéro.

Cas particulier– produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même :

À l'aide du produit vectoriel, vous pouvez vérifier la colinéarité des vecteurs tridimensionnels, et nous analyserons également ce problème, entre autres.

Pour résoudre des exemples pratiques dont vous pourriez avoir besoin table trigonométrique pour en trouver les valeurs des sinus.

Eh bien, allumons le feu :

Exemple 1

a) Trouver la longueur du produit vectoriel des vecteurs si

b) Trouver l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs si

Solution: Non, ce n'est pas une faute de frappe, j'ai délibérément fait les mêmes données initiales dans les clauses. Parce que la conception des solutions sera différente !

a) Selon la condition, il faut trouver longueur vecteur (produit vectoriel). D'après la formule correspondante :

Répondre:

Si on vous a posé des questions sur la longueur, dans la réponse, nous indiquons la dimension - les unités.

b) Selon la condition, vous devez trouver carré parallélogramme construit sur des vecteurs. L'aire de ce parallélogramme est numériquement égale à la longueur du produit vectoriel :

Répondre:

Veuillez noter que la réponse ne parle pas du tout du produit vectoriel ; on nous a demandé zone de la figure, par conséquent, la dimension est en unités carrées.

Nous regardons toujours CE que nous devons trouver en fonction de la condition et, sur cette base, nous formulons clair répondre. Cela peut sembler littéral, mais il y a beaucoup de littéralistes parmi les enseignants, et le devoir a de bonnes chances d'être renvoyé pour révision. Bien qu'il ne s'agisse pas d'une argutie particulièrement farfelue, si la réponse est incorrecte, on a alors l'impression que la personne ne comprend pas Des choses simples et/ou n’a pas compris l’essence de la tâche. Ce point doit toujours être gardé sous contrôle lors de la résolution de problèmes en mathématiques supérieures, ainsi que dans d’autres matières.

Où est passée la grande lettre « en » ? En principe, il aurait pu être ajouté à la solution, mais afin de raccourcir l'entrée, je ne l'ai pas fait. J'espère que tout le monde comprend cela et que c'est une désignation pour la même chose.

Un exemple populaire de solution DIY :

Exemple 2

Trouver l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si

La formule pour trouver l'aire d'un triangle via le produit vectoriel est donnée dans les commentaires de la définition. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

En pratique, la tâche est vraiment très courante, les triangles peuvent généralement vous tourmenter.

Pour résoudre d'autres problèmes, nous aurons besoin de :

Propriétés du produit vectoriel des vecteurs

Nous avons déjà examiné certaines propriétés du produit vectoriel, mais je les inclurai dans cette liste.

Pour des vecteurs arbitraires et un nombre arbitraire, les propriétés suivantes sont vraies :

1) Dans d'autres sources d'information, cet élément n'est généralement pas mis en évidence dans les propriétés, mais il est très important en termes pratiques. Qu'il en soit ainsi.

2) – la propriété est également évoquée ci-dessus, parfois elle est appelée anticommutativité. En d’autres termes, l’ordre des vecteurs compte.

3) – associatif ou associatif lois sur les produits vectoriels. Les constantes peuvent être facilement déplacées en dehors du produit vectoriel. Vraiment, que devraient-ils faire là-bas ?

4) – distribution ou distributif lois sur les produits vectoriels. Il n'y a aucun problème non plus pour ouvrir les supports.

Pour le démontrer, regardons un court exemple :

Exemple 3

Trouver si

Solution: La condition nécessite à nouveau de trouver la longueur du produit vectoriel. Peignons notre miniature :

(1) Selon les lois associatives, nous prenons les constantes en dehors du champ du produit vectoriel.

(2) Nous déplaçons la constante à l'extérieur du module, et le module « mange » le signe moins. La longueur ne peut pas être négative.

(3) Le reste est clair.

Répondre:

Il est temps d'ajouter du bois au feu :

Exemple 4

Calculer l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si

Solution: Trouvez l'aire du triangle à l'aide de la formule . Le hic, c'est que les vecteurs « tse » et « de » sont eux-mêmes présentés comme des sommes de vecteurs. L'algorithme ici est standard et rappelle quelque peu les exemples n°3 et 4 de la leçon Produit scalaire des vecteurs. Pour plus de clarté, nous diviserons la solution en trois étapes :

1) Dans un premier temps, on exprime le produit vectoriel à travers le produit vectoriel, en fait, exprimons un vecteur en termes de vecteur. Pas encore de mot sur les longueurs !

(1) Remplacez les expressions des vecteurs.

(2) A l'aide des lois distributives, on ouvre les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes.

(3) En utilisant des lois associatives, nous déplaçons toutes les constantes au-delà des produits vectoriels. Avec un peu d'expérience, les étapes 2 et 3 peuvent être réalisées simultanément.

(4) Les premier et dernier termes sont égaux à zéro (vecteur zéro) en raison de la propriété nice. Dans le deuxième terme on utilise la propriété d'anticommutativité d'un produit vectoriel :

(5) Nous présentons des termes similaires.

En conséquence, le vecteur s'est avéré être exprimé à travers un vecteur, ce qui devait être réalisé :

2) Dans la deuxième étape, nous trouvons la longueur du produit vectoriel dont nous avons besoin. Cette action est similaire à l'exemple 3 :

3) Trouvez l'aire du triangle recherché :

Les étapes 2 et 3 de la solution auraient pu être écrites sur une seule ligne.

Répondre:

Le problème considéré est assez courant dans essais, voici un exemple de solution indépendante :

Exemple 5

Trouver si

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon. Voyons à quel point vous avez été attentif en étudiant les exemples précédents ;-)

Produit croisé de vecteurs en coordonnées

, spécifié dans une base orthonormée, exprimé par la formule:

La formule est vraiment simple : dans la ligne supérieure du déterminant on écrit les vecteurs de coordonnées, dans les deuxième et troisième lignes on « met » les coordonnées des vecteurs, et on met dans un ordre strict– d'abord les coordonnées du vecteur « ve », puis les coordonnées du vecteur « double-ve ». Si les vecteurs doivent être multipliés dans un ordre différent, alors les lignes doivent être interverties :

Exemple 10

Vérifiez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :
UN)
b)

Solution: La vérification est basée sur l'une des affirmations de cette leçon : si les vecteurs sont colinéaires, alors leur produit vectoriel est égal à zéro (vecteur zéro) : .

a) Trouvez le produit vectoriel :

Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

b) Trouvez le produit vectoriel :

Répondre: a) non colinéaire, b)

Voici peut-être toutes les informations de base sur le produit vectoriel des vecteurs.

Cette section ne sera pas très grande, car il y a peu de problèmes lorsque le produit mixte de vecteurs est utilisé. En fait, tout dépendra de la définition, signification géométrique et quelques formules de travail.

Travail mixte les vecteurs sont le produit de trois vecteurs:

Ils se sont donc alignés comme un train et ont hâte d’être identifiés.

Tout d’abord, encore une définition et une image :

Définition: Travail mixte non coplanaire vecteurs, pris dans cet ordre, appelé volume parallélépipédique, construit sur ces vecteurs, équipé d'un signe « + » si la base est droite, et d'un signe « – » si la base est gauche.

Faisons le dessin. Les lignes invisibles pour nous sont tracées en pointillés :

Passons à la définition :

2) Les vecteurs sont pris dans un certain ordre, c'est-à-dire que le réarrangement des vecteurs dans le produit, comme vous pouvez le deviner, ne se produit pas sans conséquences.

3) Avant de commenter la signification géométrique, je noterai une évidence : le produit mixte des vecteurs est un NOMBRE: . Dans la littérature pédagogique, la conception peut être légèrement différente : j'ai l'habitude de désigner un produit mixte par , et le résultat des calculs par la lettre « pe ».

Prieuré A le produit mélangé est le volume du parallélépipède, construit sur des vecteurs (la figure est dessinée avec des vecteurs rouges et des lignes noires). C'est-à-dire que le nombre est égal au volume d'un parallélépipède donné.

Note : Le dessin est schématique.

4) Ne nous inquiétons plus de la notion d’orientation de la base et de l’espace. La signification de la dernière partie est qu'un signe moins peut être ajouté au volume. En mots simples, le produit mixte peut être négatif : .

Directement de la définition découle la formule de calcul du volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs.