Produit scalaire de vecteurs (ci-après dénommé SP). Chers amis! L'examen de mathématiques comprend un groupe de problèmes sur la résolution de vecteurs. Nous avons déjà examiné certains problèmes. Vous pouvez les voir dans la catégorie « Vecteurs ». En général, la théorie des vecteurs n'est pas compliquée, l'essentiel est de l'étudier de manière cohérente. Les calculs et les opérations avec des vecteurs dans le cours de mathématiques à l'école sont simples, les formules ne sont pas compliquées. Jeter un coup d'œil à. Dans cet article, nous analyserons les problèmes sur SP des vecteurs (inclus dans l'examen d'État unifié). Maintenant « immersion » dans la théorie :

H Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire des coordonnées de sa finles coordonnées correspondantes de son origine

Et plus loin:

*La longueur du vecteur (module) est déterminée comme suit :

Il faut retenir ces formules !!!

Montrons l'angle entre les vecteurs :

Il est clair qu'il peut varier de 0 à 180 0(ou en radians de 0 à Pi).

On peut tirer quelques conclusions sur le signe du produit scalaire. Les longueurs des vecteurs ont une valeur positive, cela est évident. Cela signifie que le signe du produit scalaire dépend de la valeur du cosinus de l'angle entre les vecteurs.

Cas possibles :

1. Si l'angle entre les vecteurs est aigu (de 0 0 à 90 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur positive.

2. Si l'angle entre les vecteurs est obtus (de 90 0 à 180 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur négative.

*À zéro degré, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont la même direction, le cosinus est égal à un et, par conséquent, le résultat sera positif.

A 180°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont des directions opposées, le cosinus est égal à moins un,et par conséquent le résultat sera négatif.

Maintenant le POINT IMPORTANT !

A 90°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le cosinus est égal à zéro, et donc le SP est égal à zéro. Ce fait (conséquence, conclusion) est utilisé dans la résolution de nombreux problèmes où l'on parle de la position relative des vecteurs, y compris dans les problèmes inclus dans la banque ouverte de tâches mathématiques.

Formulons l'énoncé : le produit scalaire est égal à zéro si et seulement si ces vecteurs se trouvent sur des droites perpendiculaires.

Ainsi, les formules pour les vecteurs SP :

Si les coordonnées des vecteurs ou les coordonnées des points de leurs débuts et fins sont connues, alors on peut toujours trouver l'angle entre les vecteurs :

Considérons les tâches :

27724 Trouvez le produit scalaire des vecteurs a et b.

Nous pouvons trouver le produit scalaire des vecteurs en utilisant l’une des deux formules suivantes :

L'angle entre les vecteurs est inconnu, mais on peut facilement trouver les coordonnées des vecteurs et ensuite utiliser la première formule. Puisque les origines des deux vecteurs coïncident avec l'origine des coordonnées, les coordonnées de ces vecteurs sont égales aux coordonnées de leurs extrémités, c'est-à-dire

Comment trouver les coordonnées d'un vecteur est décrit dans.

On calcule :

Réponse : 40

Trouvons les coordonnées des vecteurs et utilisons la formule :

Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire les coordonnées correspondantes de son début des coordonnées de la fin du vecteur, ce qui signifie

On calcule le produit scalaire :

Réponse : 40

Trouvez l'angle entre les vecteurs a et b. Donnez votre réponse en degrés.

Soit les coordonnées des vecteurs sous la forme :

Pour trouver l'angle entre les vecteurs, nous utilisons la formule du produit scalaire des vecteurs :

Cosinus de l'angle entre vecteurs :

Ainsi:

Les coordonnées de ces vecteurs sont égales :

Remplaçons-les dans la formule :

L'angle entre les vecteurs est de 45 degrés.

Réponse : 45

Ainsi, la longueur du vecteur est calculée comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées
. La longueur d'un vecteur à n dimensions est calculée de la même manière
. Si l'on se souvient que chaque coordonnée d'un vecteur est la différence entre les coordonnées de la fin et du début, alors on obtient la formule de la longueur du segment, c'est-à-dire Distance euclidienne entre les points.

Produit scalaire deux vecteurs sur un plan est le produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare :
. On peut prouver que le produit scalaire de deux vecteurs = (x 1, x 2) et = (y 1 , y 2) est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes de ces vecteurs :
= X 1 * oui 1 + X 2 * oui 2 .

Dans l'espace à n dimensions, le produit scalaire des vecteurs X= (x 1, x 2,...,x n) et Y= (y 1, y 2,...,y n) est défini comme la somme des produits de leurs coordonnées correspondantes : X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

L’opération consistant à multiplier des vecteurs les uns par les autres est similaire à la multiplication d’une matrice de lignes par une matrice de colonnes. Nous soulignons que le résultat sera un nombre et non un vecteur.

Le produit scalaire des vecteurs a les propriétés (axiomes) suivantes :

1) Propriété commutative : X*Y=Y*X.

2) Propriété distributive par rapport à l'addition : X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Pour tout nombre réel 
.

4)
, siX n'est pas un vecteur nul ;
ifX est un vecteur nul.

Un espace vectoriel linéaire dans lequel un produit scalaire de vecteurs est donné et satisfait aux quatre axiomes correspondants est appelé Vecteur linéaire euclidienespace.

Il est facile de voir que lorsque l’on multiplie un vecteur par lui-même, on obtient le carré de sa longueur. Donc c'est différent longueur un vecteur peut être défini comme la racine carrée de son carré scalaire :.

La longueur du vecteur a les propriétés suivantes :

1) |X| = 0Х = 0 ;

2) |X| = ||*|X|, où est un nombre réel ;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Inégalité de Cauchy-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( inégalité triangulaire).

L'angle  entre les vecteurs dans un espace à n dimensions est déterminé sur la base du concept de produit scalaire. En fait, si
, Que
. Cette fraction n'est pas supérieure à un (selon l'inégalité de Cauchy-Bunyakovsky), donc à partir de là nous pouvons trouver .

Les deux vecteurs sont appelés orthogonal ou perpendiculaire, si leur produit scalaire est égal à zéro. De la définition du produit scalaire, il s'ensuit que le vecteur zéro est orthogonal à tout vecteur. Si les deux vecteurs orthogonaux sont non nuls, alors cos= 0, c'est-à-dire=/2 = 90 o.

Regardons à nouveau la figure 7.4. On peut voir sur la figure que le cosinus de l'angle  de l'inclinaison du vecteur par rapport à l'axe horizontal peut être calculé comme
, et le cosinus de l'angleinclinaison du vecteur par rapport à l'axe vertical est égal à
. Ces numéros sont généralement appelés cosinus directeurs. Il est facile de vérifier que la somme des carrés des cosinus directeurs est toujours égale à un : cos 2 +cos 2 = 1. De même, les notions de cosinus directeurs peuvent être introduites pour des espaces de dimensions supérieures.

Base de l'espace vectoriel

Pour les vecteurs, on peut définir les concepts combinaison linéaire,dépendance linéaire Et indépendance similaire à la façon dont ces concepts ont été introduits pour les lignes de la matrice. Il est également vrai que si les vecteurs sont linéairement dépendants, alors au moins l’un d’entre eux peut être exprimé linéairement par rapport aux autres (c’est-à-dire qu’il s’agit d’une combinaison linéaire d’entre eux). L’inverse est également vrai : si l’un des vecteurs est une combinaison linéaire des autres, alors tous ces vecteurs ensemble sont linéairement dépendants.

Notez que si parmi les vecteurs a l , a 2 ,...am il existe un vecteur nul, alors cet ensemble de vecteurs est nécessairement linéairement dépendant. En fait, nous obtenons  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 si, par exemple, nous assimilons le coefficient  j au vecteur zéro à un et tous les autres coefficients à zéro. Dans ce cas, tous les coefficients ne seront pas égaux à zéro ( j ≠ 0).

De plus, si une partie des vecteurs d’un ensemble de vecteurs sont linéairement dépendants, alors tous ces vecteurs sont linéairement dépendants. En fait, si certains vecteurs donnent un vecteur nul dans leur combinaison linéaire avec des coefficients qui ne sont pas tous deux nuls, alors les vecteurs restants multipliés par les coefficients nuls peuvent être ajoutés à cette somme de produits, et ce sera toujours un vecteur nul.

Comment déterminer si les vecteurs sont linéairement dépendants ?

Par exemple, prenons trois vecteurs : a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) et a 3 = (3, 1, 4, 3). Créons à partir d'eux une matrice, dans laquelle ils seront des colonnes :

Alors la question de la dépendance linéaire se réduira à déterminer le rang de cette matrice. S'il s'avère égal à trois, alors les trois colonnes sont linéairement indépendantes, et s'il s'avère inférieur, cela indiquera une dépendance linéaire des vecteurs.

Puisque le rang est 2, les vecteurs sont linéairement dépendants.

Notez que la solution au problème pourrait également commencer par un raisonnement basé sur la définition de l’indépendance linéaire. A savoir, créez une équation vectorielle  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, qui prendra la forme l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). On obtient alors un système d'équations :

La résolution de ce système à l'aide de la méthode gaussienne sera réduite à l'obtention de la même matrice d'étapes, seulement elle aura un terme supplémentaire sans colonne. Ils seront tous nuls, puisque les transformations linéaires de zéros ne peuvent pas conduire à un résultat différent. Le système d’équations transformé prendra la forme :

La solution de ce système sera (-с;-с; с), où с est un nombre arbitraire ; par exemple, (-1;-1;1). Cela signifie que si l'on prend  l = -1 ; 2 =-1 et 3 = 1, alors l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, c'est-à-dire les vecteurs sont en fait linéairement dépendants.

À partir de l'exemple résolu, il devient clair que si nous prenons un nombre de vecteurs supérieur à la dimension de l'espace, alors ils seront nécessairement linéairement dépendants. En fait, si l’on prenait cinq vecteurs dans cet exemple, on obtiendrait une matrice 4 x 5 dont le rang ne pourrait pas être supérieur à quatre. Ceux. le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes ne dépasserait toujours pas quatre. Deux, trois ou quatre vecteurs quadridimensionnels peuvent être linéairement indépendants, mais cinq ou plus ne le peuvent pas. Par conséquent, pas plus de deux vecteurs ne peuvent être linéairement indépendants sur le plan. Trois vecteurs quelconques dans un espace bidimensionnel sont linéairement dépendants. Dans un espace tridimensionnel, quatre vecteurs (ou plus) sont toujours linéairement dépendants. Et ainsi de suite.

C'est pourquoi dimension l'espace peut être défini comme le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants qui peuvent s'y trouver.

Un ensemble de n vecteurs linéairement indépendants d’un espace R à n dimensions est appelé base cet espace.

Théorème. Chaque vecteur de l'espace linéaire peut être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de base, et de manière unique.

Preuve. Soit les vecteurs e l , e 2 ,...e n former un espace de dimension de base R. Montrons que tout vecteur X est une combinaison linéaire de ces vecteurs. Puisque, avec le vecteur X, le nombre de vecteurs deviendra (n +1), ces (n +1) vecteurs seront linéairement dépendants, c'est-à-dire il existe des nombres l , 2 ,..., n ,, non simultanément égaux à zéro, tels que

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Dans ce cas, 0, car sinon nous obtiendrions l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, où tous les coefficients l , 2 ,..., n ne sont pas égaux à zéro. Cela signifie que les vecteurs de base seraient linéairement dépendants. Par conséquent, nous pouvons diviser les deux côtés de la première équation par :

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

où x j = -( j /),
.

Nous prouvons maintenant qu’une telle représentation sous forme de combinaison linéaire est unique. Supposons le contraire, c'est-à-dire qu'il existe une autre représentation:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Soustrayons-lui terme à terme l'expression obtenue précédemment :

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Puisque les vecteurs de base sont linéairement indépendants, nous obtenons que (y j - x j) = 0,
, c'est-à-dire y j ​​= x j . L’expression s’est donc avérée être la même. Le théorème a été prouvé.

L'expression X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n est appelée décomposition vecteur X basé sur e l, e 2,...e n et les nombres x l, x 2,...x n - coordonnées vecteur x par rapport à cette base, ou dans cette base.

On peut prouver que si les vecteurs non nuls d’un espace euclidien à n dimensions sont orthogonaux par paires, alors ils forment une base. En fait, multiplions les deux côtés de l'égalité l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 par n'importe quel vecteur e i. On obtient  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 pour i.

Vecteurs e l , e 2 ,...e n de forme spatiale euclidienne à n dimensions base orthonormée, si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux et que la norme de chacun d'eux est égale à un, c'est-à-dire si e je *e j = 0 pour i≠j и |е je | = 1 pouri.

Théorème (pas de preuve). Dans tout espace euclidien à n dimensions, il existe une base orthonormée.

Un exemple de base orthonormée est un système de n vecteurs unitaires e i , pour lequel la i-ième composante est égale à un et les composantes restantes sont égales à zéro. Chacun de ces vecteurs est appelé ort. Par exemple, les vecteurs vectoriels (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) constituent la base de l'espace tridimensionnel.

Angle entre les vecteurs

Considérons deux vecteurs donnés $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$. Soustrayons les vecteurs $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ et $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ d'un point $O$ arbitrairement choisi, alors l'angle $AOB$ est appelé le angle entre les vecteurs $\overrightarrow( a)$ et $\overrightarrow(b)$ (Fig. 1).

Image 1.

Notez ici que si les vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$ sont codirectionnels ou que l'un d'eux est le vecteur zéro, alors l'angle entre les vecteurs est $0^0$.

Notation : $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Le concept de produit scalaire de vecteurs

Mathématiquement, cette définition peut s'écrire comme suit :

Le produit scalaire peut être nul dans deux cas :

Si l'un des vecteurs est un vecteur nul (puisque sa longueur est nulle).

Si les vecteurs sont perpendiculaires entre eux (c'est-à-dire $cos(90)^0=0$).

Notez également que le produit scalaire est supérieur à zéro si l'angle entre ces vecteurs est aigu (puisque $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , et inférieur à zéro si l'angle entre ces vecteurs est obtus (puisque $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Le concept de carré scalaire est lié au concept de produit scalaire.

Définition 2

Le carré scalaire d'un vecteur $\overrightarrow(a)$ est le produit scalaire de ce vecteur avec lui-même.

On trouve que le carré scalaire est égal à

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Calcul du produit scalaire à partir de coordonnées vectorielles

En plus de la manière standard de trouver la valeur du produit scalaire, qui découle de la définition, il existe une autre méthode.

Considérons-le.

Soit les vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$ avoir les coordonnées $\left(a_1,b_1\right)$ et $\left(a_2,b_2\right)$, respectivement.

Théorème 1

Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$ est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes.

Mathématiquement, cela peut s'écrire comme suit

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Preuve.

Le théorème a été prouvé.

Ce théorème a plusieurs conséquences :

Corollaire 1 : Les vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$ sont perpendiculaires si et seulement si $a_1a_2+b_1b_2=0$

Corollaire 2 : Le cosinus de l'angle entre les vecteurs est égal à $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Propriétés du produit scalaire des vecteurs

Pour trois vecteurs quelconques et un nombre réel $k$, ce qui suit est vrai :

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Cette propriété découle de la définition d'un carré scalaire (Définition 2).

Droit des voyages :$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Cette propriété découle de la définition du produit scalaire (Définition 1).

Loi distributive :

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(énumérer)

D'après le théorème 1, on a :

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Loi de combinaison :$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(énumérer)

D'après le théorème 1, on a :

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Un exemple de problème de calcul du produit scalaire de vecteurs

Exemple 1

Trouver le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow(a)$ et $\overrightarrow(b)$ si $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ et $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$, et l'angle entre eux est égal à $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Solution.

En utilisant la définition 1, on obtient

Pour $(30)^0 : $

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Pour (45) $^0 : $

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Pour $(90)^0 : $

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Pour $(135)^0 : $

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ droite)=-3\sqrt(2)\]

Conférence: Coordonnées vectorielles ; produit scalaire de vecteurs ; angle entre les vecteurs

Coordonnées vectorielles

Ainsi, comme mentionné précédemment, un vecteur est un segment orienté qui a son propre début et sa propre fin. Si le début et la fin sont représentés par certains points, alors ils ont leurs propres coordonnées dans le plan ou dans l'espace.

Si chaque point a ses propres coordonnées, alors nous pouvons obtenir les coordonnées de l’ensemble du vecteur.

Disons que nous avons un vecteur dont le début et la fin ont les désignations et coordonnées suivantes : A(A x ; Ay) et B(B x ; By)

Pour obtenir les coordonnées d'un vecteur donné, il faut soustraire les coordonnées correspondantes du début des coordonnées de la fin du vecteur :

Pour déterminer les coordonnées d'un vecteur dans l'espace, utilisez la formule suivante :

Produit scalaire des vecteurs

Il existe deux manières de définir la notion de produit scalaire :

• Méthode géométrique. Selon lui, le produit scalaire est égal au produit des valeurs de ces modules et du cosinus de l'angle qui les sépare.

• Signification algébrique. Du point de vue de l'algèbre, le produit scalaire de deux vecteurs est une certaine quantité obtenue à la suite de la somme des produits des vecteurs correspondants.

Si les vecteurs sont donnés dans l'espace, alors vous devez utiliser une formule similaire :

Propriétés:

• Si vous multipliez scalairement deux vecteurs identiques, alors leur produit scalaire ne sera pas négatif :

• Si le produit scalaire de deux vecteurs identiques s'avère égal à zéro, alors ces vecteurs sont considérés comme nuls :

• Si un certain vecteur est multiplié par lui-même, alors le produit scalaire sera égal au carré de son module :

• Le produit scalaire a une propriété communicative, c'est-à-dire que le produit scalaire ne changera pas si les vecteurs sont réorganisés :

• Le produit scalaire de vecteurs non nuls ne peut être égal à zéro que si les vecteurs sont perpendiculaires entre eux :

• Pour un produit scalaire de vecteurs, la loi commutative est valable dans le cas de la multiplication d'un des vecteurs par un nombre :

• Avec un produit scalaire, vous pouvez également utiliser la propriété distributive de la multiplication :

Angle entre les vecteurs

Dans le cas d'un problème plan, le produit scalaire des vecteurs a = (a x ; a y) et b = (b x ; by y) peut être trouvé à l'aide de la formule suivante :

a b = a x b x + a y par y

Formule du produit scalaire de vecteurs pour des problèmes spatiaux

Dans le cas d'un problème spatial, le produit scalaire des vecteurs a = (a x ; a y ; a z) et b = (b x ; by y ; b z) peut être trouvé à l'aide de la formule suivante :

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formule pour le produit scalaire de vecteurs à n dimensions

Dans le cas d'un espace à n dimensions, le produit scalaire des vecteurs a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n) et b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n) peut être trouvé en utilisant la formule suivante :

une b = une 1 b 1 + une 2 b 2 + ... + une n b n

Propriétés du produit scalaire des vecteurs

1. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est toujours supérieur ou égal à zéro :

2. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal à zéro si et seulement si le vecteur est égal au vecteur zéro :

une · une = 0<=>une = 0

3. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal au carré de son module :

4. L'opération de multiplication scalaire est communicative :

5. Si le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est égal à zéro, alors ces vecteurs sont orthogonaux :

une ≠ 0, b ≠ 0, une b = 0<=>une ┴b

6. (αa) b = α(une b)

7. L'opération de multiplication scalaire est distributive :

(une + b) c = une c + bc

Exemples de problèmes de calcul du produit scalaire de vecteurs

Exemples de calcul du produit scalaire de vecteurs pour des problèmes plans

Trouvez le produit scalaire des vecteurs a = (1 ; 2) et b = (4 ; 8).

Solution: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Trouver le produit scalaire des vecteurs a et b si leurs longueurs |a| = 3, |b| = 6, et l'angle entre les vecteurs est de 60˚.

Solution: une · b = |une| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Trouver le produit scalaire des vecteurs p = a + 3b et q = 5a - 3 b si leurs longueurs |a| = 3, |b| = 2, et l'angle entre les vecteurs a et b est de 60˚.

Solution:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |une| 2 + 12 une · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Un exemple de calcul du produit scalaire de vecteurs pour des problèmes spatiaux

Trouvez le produit scalaire des vecteurs a = (1 ; 2 ; -5) et b = (4 ; 8 ; 1).

Solution: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Un exemple de calcul du produit scalaire pour des vecteurs à n dimensions

Trouvez le produit scalaire des vecteurs a = (1 ; 2 ; -5 ; 2) et b = (4 ; 8 ; 1 ; -2).

Solution: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Le produit vectoriel de vecteurs et d'un vecteur est appelé troisième vecteur , défini comme suit :

2) perpendiculaire, perpendiculaire. (1"")

3) les vecteurs sont orientés de la même manière que la base de tout l'espace (positif ou négatif).

Désigner : .

Signification physique du produit vectoriel

— moment de force par rapport au point O ; - rayon - vecteur du point d'application de la force, puis

De plus, si nous le déplaçons vers le point O, alors le triplet doit être orienté comme un vecteur de base.