Les formules de somme et de différence des sinus et cosinus pour deux angles α et β permettent de passer de la somme de ces angles au produit des angles α + β 2 et α - β 2. Notons tout de suite qu'il ne faut pas confondre les formules de somme et de différence des sinus et cosinus avec les formules de sinus et cosinus de la somme et de la différence. Ci-dessous, nous répertorions ces formules, donnons leurs dérivations et montrons des exemples d'application pour des problèmes spécifiques.

Formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus

Écrivons à quoi ressemblent les formules de somme et de différence pour les sinus et les cosinus

Formules de somme et de différence pour les sinus

péché α + péché β = 2 péché α + β 2 cos α - β 2 péché α - péché β = 2 péché α - β 2 cos α + β 2

Formules de somme et de différence pour les cosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β -α2

Ces formules sont valables pour tous les angles α et β. Les angles α + β 2 et α - β 2 sont appelés respectivement demi-somme et demi-différence des angles alpha et bêta. Donnons la formulation pour chaque formule.

Définitions des formules pour les sommes et différences de sinus et cosinus

Somme des sinus de deux angles est égal au double du produit du sinus de la demi-somme de ces angles et du cosinus de la demi-différence.

Différence des sinus de deux angles est égal au double du produit du sinus de la demi-différence de ces angles et du cosinus de la demi-somme.

Somme des cosinus de deux angles est égal au double du produit du cosinus de la demi-somme et du cosinus de la demi-différence de ces angles.

Différence des cosinus de deux angles est égal au double du produit du sinus de la demi-somme et du cosinus de la demi-différence de ces angles, pris avec un signe négatif.

Dériver des formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus

Pour dériver des formules pour la somme et la différence du sinus et du cosinus de deux angles, des formules d'addition sont utilisées. Listons-les ci-dessous

péché (α + β) = péché α · cos β + cos α · péché β péché (α - β) = péché α · cos β - cos α · péché β cos (α + β) = cos α · cos β - péché α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Imaginons également les angles eux-mêmes comme une somme de demi-sommes et de demi-différences.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Nous procédons directement à la dérivation des formules de somme et de différence pour sin et cos.

Dérivation de la formule de la somme des sinus

Dans la somme sin α + sin β, nous remplaçons α et β par les expressions pour ces angles données ci-dessus. On a

péché α + péché β = péché α + β 2 + α - β 2 + péché α + β 2 - α - β 2

Nous appliquons maintenant la formule d'addition à la première expression et à la seconde - la formule du sinus des différences d'angle (voir les formules ci-dessus)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 péché α - β 2 péché α + β 2 + α - β 2 + péché α + β 2 - α - β 2 = péché α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Ouvrez les parenthèses, ajoutez des termes similaires et obtenez la formule souhaitée

péché α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 péché α - β 2 + péché α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 péché α - β 2 = = 2 péché α + β 2 cos α - β 2

Les étapes pour dériver les formules restantes sont similaires.

Dérivation de la formule de la différence des sinus

péché α - péché β = péché α + β 2 + α - β 2 - péché α + β 2 - α - β 2 péché α + β 2 + α - β 2 - péché α + β 2 - α - β 2 = péché α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 péché α - β 2 - péché α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 péché α - β 2 = = 2 péché α - β 2 cos α + β 2

Dérivation de la formule de la somme des cosinus

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - péché α + β 2 péché α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + péché α + β 2 péché α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Dérivation de la formule de la différence des cosinus

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - péché α + β 2 péché α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + péché α + β 2 péché α - β 2 = = - 2 péché α + β 2 péché α - β 2

Exemples de résolution de problèmes pratiques

Tout d'abord, vérifions l'une des formules en y substituant des valeurs d'angle spécifiques. Soit α = π 2, β = π 6. Calculons la valeur de la somme des sinus de ces angles. Tout d'abord, nous utiliserons le tableau des valeurs de base des fonctions trigonométriques, puis nous appliquerons la formule de la somme des sinus.

Exemple 1. Vérification de la formule de la somme des sinus de deux angles

α = π 2, β = π 6 péché π 2 + péché π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 péché π 2 + péché π 6 = 2 péché π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 péché π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Considérons maintenant le cas où les valeurs d'angle diffèrent des valeurs de base présentées dans le tableau. Soit α = 165°, β = 75°. Calculons la différence entre les sinus de ces angles.

Exemple 2. Application de la formule de la différence des sinus

α = 165°, β = 75° sin α - sin β = sin 165° - sin 75° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165° - 75° 2 cos 165° + 75° 2 = = 2 sin 45° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

À l'aide des formules de somme et de différence des sinus et des cosinus, vous pouvez passer de la somme ou de la différence au produit de fonctions trigonométriques. Ces formules sont souvent appelées formules permettant de passer d'une somme à un produit. Les formules pour la somme et la différence des sinus et des cosinus sont largement utilisées pour résoudre équations trigonométriques et pendant la conversion expressions trigonométriques.

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Les formules à double angle sont utilisées pour exprimer les sinus, les cosinus, les tangentes, les cotangentes d'un angle d'une valeur de 2 α en utilisant fonctions trigonométriques angle α. Cet article présentera toutes les formules à double angle avec preuves. Des exemples d'application de formules seront considérés. Dans la dernière partie, les formules pour les angles triples et quadruples seront présentées.

Liste des formules double angle

Pour convertir des formules à double angle, rappelez-vous que les angles en trigonométrie ont la forme n en notation α, où n est entier naturel, la valeur de l'expression est écrite sans parenthèses. Ainsi, la notation sin n α est considérée comme ayant la même signification que sin (n α) . Lorsque nous désignons sin n α, nous avons une notation similaire (sin α) n. L'utilisation de la notation est applicable à toutes les fonctions trigonométriques de puissances n.

Vous trouverez ci-dessous les formules à double angle :

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Notez que les données formules de péché et cos sont applicables avec n’importe quelle valeur de l’angle α. La formule de la tangente à double angle est valable pour toute valeur de α, où t g 2 α a du sens, c'est-à-dire α ≠ π 4 + π 2 · z, z est n'importe quel nombre entier. La cotangente du double angle existe pour tout α, où c t g 2 α est défini en α ≠ π 2 z.

Le cosinus d'un angle double a la notation triple d'un angle double. Tous sont applicables.

Preuve de formules à double angle

La preuve des formules part des formules d'addition. Appliquons les formules du sinus de la somme :

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β et le cosinus de la somme cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β. Supposons que β = α, alors on obtient que

sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α et cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - péché 2 α

Ainsi, les formules pour le sinus et le cosinus du double angle sin 2 α = 2 · sin α · cos α et cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α sont prouvées.

Les formules restantes cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α et cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 conduisent à la forme cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, en remplaçant 1 par la somme des carrés par l'identité principale sin 2 α + cos 2 α = 1 . On obtient que sin 2 α + cos 2 α = 1. Donc 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α et 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - péché 2 α.

Pour prouver les formules du double angle de tangente et de cotangente, nous appliquons les égalités t g 2 α = sin 2 α cos 2 α et c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. Après la transformation, on obtient que t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α et c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · péché α · cos α . Divisez l'expression par cos 2 α, où cos 2 α ≠ 0 avec n'importe quelle valeur de α lorsque t g α est défini. Nous divisons une autre expression par sin 2 α, où sin 2 α ≠ 0 avec n'importe quelle valeur de α, lorsque c t g 2 α a du sens. Pour prouver la formule du double angle pour la tangente et la cotangente, nous substituons et obtenons :

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Les formules trigonométriques de base sont des formules qui établissent des liens entre les fonctions trigonométriques de base. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont interconnectés par de nombreuses relations. Ci-dessous les principaux formules trigonométriques, et pour plus de commodité, nous les regrouperons par objectif. En utilisant ces formules, vous pouvez résoudre presque tous les problèmes d’un cours standard de trigonométrie. Notons tout de suite que ci-dessous ne sont que les formules elles-mêmes, et non leur conclusion, qui seront discutées dans des articles séparés.

Identités de base de la trigonométrie

Les identités trigonométriques fournissent une relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, permettant à une fonction d'être exprimée en termes d'une autre.

Identités trigonométriques

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Ces identités découlent directement des définitions cercle unitaire, sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg) et cotangente (ctg).

Formules de réduction

Les formules de réduction vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires et arbitrairement grands au travail avec des angles allant de 0 à 90 degrés.

Formules de réduction

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Les formules de réduction sont une conséquence de la périodicité des fonctions trigonométriques.

Formules d'addition trigonométriques

Les formules d'addition en trigonométrie permettent d'exprimer la fonction trigonométrique de la somme ou de la différence des angles en termes de fonctions trigonométriques de ces angles.

Formules d'addition trigonométriques

péché α ± β = péché α · cos β ± cos α · péché β cos α + β = cos α · cos β - péché α · péché β cos α - β = cos α · cos β + péché α · péché β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Sur la base de formules d'addition, des formules trigonométriques pour plusieurs angles sont dérivées.

Formules pour angles multiples : double, triple, etc.

Formules double et triple angle

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α avec t g 2 α = avec t g 2 α - 1 2 · avec t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formules demi-angle

Les formules de demi-angle en trigonométrie sont une conséquence des formules de double angle et expriment la relation entre les fonctions de base d'un demi-angle et le cosinus d'un angle entier.

Formules demi-angle

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formules de réduction de diplôme

Formules de réduction de diplôme

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Il est souvent peu pratique de travailler avec des pouvoirs encombrants lors des calculs. Les formules de réduction de degré vous permettent de réduire le degré d'une fonction trigonométrique d'arbitrairement grand au premier. Voici leur point de vue général :

Vue générale des formules de réduction de diplôme

pour même n

péché n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

pour impair n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Somme et différence de fonctions trigonométriques

La différence et la somme des fonctions trigonométriques peuvent être représentées comme un produit. La factorisation des différences de sinus et de cosinus est très pratique à utiliser pour résoudre des équations trigonométriques et simplifier des expressions.

Somme et différence de fonctions trigonométriques

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 péché α + β 2 péché α - β 2 , cos α - cos β = 2 péché α + β 2 péché β - α 2

Produit de fonctions trigonométriques

Si les formules pour la somme et la différence des fonctions permettent d'accéder à leur produit, alors les formules pour le produit des fonctions trigonométriques effectuent la transition inverse - du produit à la somme. Des formules pour le produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus sont prises en compte.

Formules pour le produit de fonctions trigonométriques

péché α · péché β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) péché α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Substitution trigonométrique universelle

Toutes les fonctions trigonométriques de base – sinus, cosinus, tangente et cotangente – peuvent être exprimées en termes de tangente à un demi-angle.

Substitution trigonométrique universelle

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

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Les relations entre les fonctions trigonométriques de base - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont données formules trigonométriques. Et comme il existe de nombreuses connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - des fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent de réduire le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.

Dans cet article, nous listerons dans l'ordre toutes les formules trigonométriques de base, suffisantes pour résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons par objectif et les saisirons dans des tableaux.

Navigation dans les pages.

Identités trigonométriques de base

Basique identités trigonométriques définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique par rapport à une autre.

Pour une description détaillée de ces formules trigonométriques, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.

Formules de réduction

Formules de réduction découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage d'un angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.

La justification de ces formules, une règle mnémotechnique pour leur mémorisation et des exemples de leur application peuvent être étudiées dans l'article.

Formules d'addition

Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.

Formules pour double, triple, etc. angle

Formules pour double, triple, etc. L'angle (on les appelle aussi formules d'angles multiples) montre comment les fonctions trigonométriques du double, du triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur calcul est basé sur des formules d'addition.

Des informations plus détaillées sont collectées dans l'article formules pour double, triple, etc. angle

Formules demi-angle

Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en termes de cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.

Leur conclusion et des exemples d'application peuvent être trouvés dans l'article.

Formules de réduction de diplôme

Formules trigonométriques pour réduire les degrés visent à faciliter la transition entre diplômes naturels fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. Autrement dit, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques au premier.

Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques

L'objectif principal formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier des expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques, car elles permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.

Formules pour le produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus

Le passage du produit de fonctions trigonométriques à une somme ou une différence s'effectue à l'aide des formules du produit des sinus, des cosinus et du sinus par cosinus.

Substitution trigonométrique universelle

Nous complétons notre revue des formules de base de la trigonométrie avec des formules exprimant des fonctions trigonométriques en termes de tangente à un demi-angle. Ce remplacement s'appelait substitution trigonométrique universelle. Sa commodité réside dans le fait que toutes les fonctions trigonométriques sont exprimées rationnellement en termes de tangente à un demi-angle sans racines.

Bibliographie.

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