Les mathématiques, ce que j'aime. Le nombre inimaginable de Graham Le plus grand nombre au monde Graham

épigraphe
Si tu regardes longtemps dans l’abîme,
vous pouvez passer un bon moment.
Ingénieur d'âme mécanique

Dès qu'un enfant (et cela se produit vers l'âge de trois ou quatre ans) comprend que tous les nombres sont divisés en trois groupes « un, deux et plusieurs », il essaie immédiatement de savoir : combien sont nombreux, combien diffèrent de très nombreux, et peut-il y en avoir tellement que cela n'arrive plus. Vous avez sûrement joué à un jeu intéressant (pour cet âge) avec vos parents, qui peuvent en nommer le plus plus grand nombre, et si l'ancêtre n'était pas plus stupide qu'un élève de cinquième, alors il gagnait toujours, en répondant « deux millions » pour chaque « million » et « deux milliards » ou « milliards plus un » pour chaque « milliard ».

Dès la première année d’école, tout le monde connaît les chiffres ensemble infini, ils ne finissent jamais et il n’y a pas de plus grand nombre. Pour n’importe quel million de milliards de milliards, vous pouvez toujours dire « plus un » et quand même gagner. Et un peu plus tard, on comprend (devrait venir !) que de longues chaînes de chiffres en elles-mêmes ne signifient rien. Tous ces milliards de milliards n’ont de sens que lorsqu’ils servent à représenter un certain nombre d’objets ou décrivent un certain phénomène. Il n’y a aucune difficulté à trouver un nombre long qui ne représente rien d’autre qu’un ensemble de nombres à consonance longue ; il en existe déjà un nombre infini. La science, dans une certaine mesure figurative, est engagée dans la recherche de combinaisons très spécifiques de nombres dans ce vaste abîme, ajoutant à certains phénomène physique, comme la vitesse de la lumière, le nombre d'Avogadro ou la constante de Planck.

Et la question se pose immédiatement : quel est le plus grand nombre au monde qui signifie quelque chose ? Dans cet article, je vais essayer de parler du monstre numérique appelé nombre de Graham, même si à proprement parler, la science connaît des nombres plus grands. Le chiffre de Graham est le chiffre le plus médiatisé, pourrait-on dire, « entendu » parmi le grand public, car il est assez simple à expliquer et pourtant suffisamment important pour faire tourner les têtes. En général, il est nécessaire de déclarer ici un petit avertissement (avertissement russe). Cela peut ressembler à une blague, mais je ne plaisante pas du tout. Je le dis très sérieusement : une plongée méticuleuse dans de telles profondeurs mathématiques, associée à l'expansion effrénée des frontières de la perception, peut avoir (et aura) un impact sérieux sur la vision du monde, sur la position de l'individu dans la société et, en fin de compte, sur le général état psychologique la cueillette, ou, appelons un chat un chat, ouvre la voie à la bêtise. Il n'est pas nécessaire de lire le texte suivant trop attentivement et vous ne devez pas imaginer les choses qui y sont décrites de manière trop vivante et vivante. Et ne dites pas plus tard que vous n’étiez pas prévenu !

Des doigts:

Avant de passer aux nombres de monstres, pratiquons d'abord sur les chats. Permettez-moi de vous rappeler que pour décrire de grands nombres (pas des monstres, mais simplement de grands nombres), il est pratique d'utiliser le scientifique ou ce qu'on appelle. notation exponentielle.

Lorsqu'ils parlent, par exemple, du nombre d'étoiles dans l'Univers (dans l'Univers observable), aucun idiot ne prend la peine de calculer combien il y en a au sens littéral avec une précision de dernière étoile. On pense qu'il y a environ 10 21 pièces. Et c'est une estimation inférieure. Cela signifie que le nombre total d'étoiles peut être exprimé par un nombre comportant 21 zéros après un, c'est-à-dire "1 000 000 000 000 000 000 000."

Voici à quoi ressemble une petite partie d’entre eux (environ 100 000) : amas globulaire Oméga Centaure.

Naturellement, quand nous parlons deà propos de telles échelles, les nombres réels ne jouent pas un rôle significatif dans le nombre, tout est très conditionnel et approximatif. Le nombre réel d’étoiles dans l’Univers pourrait être « 1 564 861 615 140 168 357 973 » ou peut-être « 9 384 684 643 798 468 483 745 ». Ou encore « 3 333 333 333 333 333 333 333 », pourquoi pas, même si c'est peu probable, bien sûr. En cosmologie, science des propriétés de l’Univers dans son ensemble, on ne s’embarrasse pas de telles bagatelles. L'essentiel est d'imaginer qu'environ ce nombre est composé de 22 chiffres, ce qui rend plus pratique de le considérer comme un suivi de 21 zéros et de l'écrire sous la forme 10 21. La règle est générale et très simple. Quel chiffre ou numéro remplace le diplôme (imprimé petite impression au-dessus de 10 ici), il y aura autant de zéros après un dans ce nombre, si vous le peignez de manière simple, avec des signes alignés, et non de manière scientifique. Certains nombres ont des « noms humains », par exemple nous appelons 10 3 « mille », 10 6 – « million » et 10 9 – « milliard », mais d'autres n'en ont pas. Disons que 10 59 n'a pas de nom généralement accepté. Et 10 21, en passant, l'a dit - c'est un « sextillion ».

Tout ce qui va jusqu’à un million est intuitivement clair pour presque tout le monde, car qui ne veut pas devenir millionnaire ? Ensuite, certaines personnes commencent à avoir des problèmes. Bien que presque tout le monde en connaisse un milliard (10 9). Vous pouvez même compter jusqu'à un milliard. Si, juste après votre naissance, littéralement au moment de la naissance, vous commencez à compter une fois par seconde « un, deux, trois, quatre... » et que vous ne dormez pas, ne buvez pas, ne mangez pas, mais juste comptez, comptez, comptez inlassablement jour et nuit, puis à 32 ans, vous pourrez compter jusqu'à un milliard, car 32 révolutions de la Terre autour du Soleil prennent environ un milliard de secondes.

7 milliards, c'est le nombre d'habitants de la planète. Sur la base de ce qui précède, il est absolument impossible de tous les compter dans l'ordre au cours d'une vie humaine : vous devrez vivre plus de deux cents ans.

100 milliards (10 11) - c'est le nombre d'individus qui ont vécu sur la planète tout au long de son histoire. McDonald's a vendu 100 milliards de hamburgers en 1998 au cours de ses 50 années d'existence. Il y a 100 milliards d’étoiles (enfin un peu plus) dans notre galaxie voie Lactée, et le Soleil en fait partie. L'Univers observable contient le même nombre de galaxies. Il y a 100 milliards de neurones dans le cerveau humain. Et le même nombre de bactéries anaérobies vivent dans le caecum de tous ceux qui lisent ces lignes.
Le billion (10 12) est un nombre rarement utilisé. Il est impossible de compter jusqu'à mille milliards, cela prendra 32 mille ans. Il y a mille milliards de secondes, les gens vivaient dans des grottes et chassaient les mammouths avec des lances. Oui, il y a mille milliards de secondes, les mammouths vivaient sur Terre. Il y a environ un billion de poissons dans les océans de la planète. Notre galaxie voisine d’Andromède compte environ un billion d’étoiles. Une personne est composée de 10 000 milliards de cellules. Le PIB de la Russie en 2013 s'élevait à 66 000 milliards de roubles (en roubles de 2013). De la Terre à Saturne, 100 000 milliards de centimètres et le même nombre de lettres au total ont été imprimés dans tous les livres jamais publiés.

Un quadrillion (10 15, millions milliards) est le nombre de fourmis sur la planète. Les gens normaux ne prononcent pas ce mot à voix haute, eh bien, admettez-le, quand vous dernière fois avez-vous entendu « un quadrillion de quelque chose » dans une conversation ?

Quintillion (10 18, milliards de milliards) - c'est le nombre de configurations possibles qui existent lors de la résolution d'un Rubik's cube 3x3x3. Également le nombre de mètres cubes d'eau dans les océans du monde.
Sextillion (10 21) - nous avons déjà rencontré ce numéro. Le nombre d'étoiles dans l'Univers observable. Le nombre de grains de sable dans tous les déserts de la Terre. Le nombre de transistors dans tous les appareils électroniques existants de l’humanité, si Intel ne nous mentait pas.

10 sextillions (10 22) est le nombre de molécules contenues dans un gramme d'eau.

10 24 est la masse de la Terre en kilogrammes.

10 26 est le diamètre de l'Univers observable en mètres, mais compter en mètres n'est pas très pratique : les limites généralement acceptées de l'Univers observable sont de 93 milliards d'années-lumière.
La science ne fonctionne pas avec des dimensions plus grandes que l’Univers observable. Nous savons avec certitude que l'Univers observable n'est pas l'univers entier, entier, entier. C’est la partie que nous pouvons, du moins en théorie, voir et observer. Ou alors ils l’ont peut-être vu dans le passé. Ou bien nous pourrons le voir dans un avenir lointain, en restant dans le cadre de la science moderne. Du reste de l’Univers, même à la vitesse de la lumière, les signaux ne pourront pas nous parvenir, c’est pourquoi ces lieux, de notre point de vue, ne semblent pas exister. Quelle est sa taille grand univers personne ne le sait vraiment. Peut-être un million de fois plus que Observable. Ou peut-être un milliard. Ou peut-être même sans fin. Je vous le dis, ce n'est plus de la science, mais de la divination sur le marc de café. Les scientifiques ont quelques suppositions, mais cela relève plus de la fantaisie que de la réalité.

Pour la visualisation échelle cosmique Il est utile d'étudier cette image en l'agrandissant en plein écran.

Cependant, même dans l’Univers observable, vous pouvez entasser bien plus que des mètres.

10 51 atomes composent la planète Terre.

10 80 quantité approximative particules élémentaires dans l'Univers observable.

10 90 est le nombre approximatif de photons dans l’Univers observable. Il y en a près de 10 milliards de fois plus que les particules élémentaires, les électrons et les protons.
10 100 - google. Ce chiffre ne veut rien dire physiquement, il est juste rond et joli. L'entreprise qui s'est fixé pour objectif d'indexer les liens de Google (je plaisante bien sûr, c'est plus que le nombre de particules élémentaires dans l'Univers !) a pris en 1998 le nom de Google.

10 122 protons seront nécessaires pour remplir l’Univers observable au maximum de sa capacité, de proton à proton, de bout en bout.

L'Univers observable occupe 10 185 volumes Planck. Notre science ne connaît pas de quantités plus petites que le volume de Planck (un cube d'une longueur de Planck de 10 à 35 mètres). Certes, comme dans l’Univers, il y a quelque chose d’encore plus petit, mais les scientifiques n’ont pas encore trouvé de formules sensées pour de telles bagatelles, ce n’est que de la pure spéculation.

Il s’avère que 10 185 environ est le plus grand nombre qui pourrait, en principe, signifier quelque chose dans science moderne. Dans une science qui peut toucher et mesurer. C'est quelque chose qui existe ou pourrait exister si nous avions appris tout ce qu'il y avait à savoir sur l'Univers. Le numéro est composé de 186 chiffres, le voici :

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

La science, bien sûr, ne s’arrête pas là, mais au-delà de cela, il existe des théories libres, des suppositions et même simplement des grattages et des courses pseudo-scientifiques. Par exemple, vous avez probablement entendu parler de la théorie inflationniste, selon laquelle, peut-être, notre Univers n'est qu'une partie d'un Multivers plus général, dans lequel ces univers sont comme des bulles dans un océan de champagne.

Ou avez-vous entendu parler de la théorie des cordes, selon laquelle il peut exister environ 10 500 configurations de vibrations des cordes, ce qui signifie le même nombre d’univers potentiels, chacun avec ses propres lois.
Plus on s'enfonce dans la forêt, moins la physique théorique et la science en général restent en nombre croissant, et derrière les colonnes de zéros, une reine des sciences de plus en plus pure et sans nuages commence à apparaître. Les mathématiques ne sont pas de la physique, il n'y a pas de restrictions et il n'y a pas de quoi avoir honte, amusez-vous, écrivez des zéros dans les formules jusqu'à ce que vous abandonniez.
Je mentionnerai simplement le googolplex, qui est bien connu de beaucoup. Un nombre qui a un googol de chiffres, dix à la puissance un googol (10 googol), ou dix à la puissance dix à la puissance cent (10 10 100 (l'éditeur ne vous permet pas de faire une autre itération de la puissance, il faudra utiliser une photo, ou je mettrai un slash (/)

.
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Je ne l'écrirai pas en chiffres. Googolplex ne veut absolument rien dire. Une personne ne peut imaginer un googolplex de quoi que ce soit, c'est physiquement impossible. Pour écrire un tel nombre, vous aurez besoin de l’ensemble de l’Univers observable, si vous écrivez avec un « nano-stylo » directement à travers le vide, en fait dans les cellules de Planck du cosmos. Convertissons toute la matière en encre et remplissons l'Univers uniquement de nombres solides, nous obtiendrons alors un googolplex. Mais les mathématiciens (des gens terribles !) ne font que s'échauffer avec Googolprex, c'est la barre la plus basse à partir de laquelle les vrais nuls partent pour eux. Et si vous pensez que nous parlons de la puissance de googolplex, vous n'avez aucune idée à quel point vous vous trompez.
De nombreuses personnes suivent Googleplex chiffres intéressants, ayant l’un ou l’autre rôle dans les preuves mathématiques, passons directement au nombre de Graham, du nom (enfin, naturellement) du mathématicien Ronald Graham. Tout d’abord, je vais vous dire ce que c’est et à quoi il sert, après quoi je décrirai sa taille au sens figuré et sur mes doigts™, puis j’écrirai le numéro lui-même. Plus précisément, je vais essayer d'expliquer ce que j'ai écrit.
Le numéro de Graham est apparu dans un article consacré à la résolution d'un des problèmes de la théorie de Ramsey, et « Ramsey » ici n'est pas un gérondif imparfait, mais le nom de famille d'un autre mathématicien, Frank Ramsey. La tâche, bien entendu, est assez farfelue du point de vue du profane, même si elle n’est pas très compliquée et même facilement compréhensible.
Imaginez un cube dont tous les sommets sont reliés par des segments de droite de deux couleurs, rouge ou bleu. Connecté et coloré dans un ordre aléatoire. Certains ont déjà deviné que nous parlerions d’une branche des mathématiques appelée combinatoire.
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Serons-nous capables d'inventer et de choisir une configuration de couleurs (et il n'y en a que deux - rouge et bleu) de sorte qu'en colorant ces segments, nous ne nous retrouvions PAS avec tous les segments de la même couleur reliant les quatre sommets situés dans le même avion ? Dans ce cas, ils ne représentent PAS un tel chiffre :
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Vous pouvez y penser vous-même, faire tourner le cube dans votre imagination sous vos yeux, ce n'est pas si difficile à faire. Il y a deux couleurs, le cube a 8 sommets (coins), ce qui signifie qu'il y a 28 segments qui les relient. Vous pouvez choisir la configuration de coloration de telle manière que nous n'obtiendrons nulle part la figure ci-dessus, il y aura des lignes multicolores dans tous les plans possibles.
Et si nous avions plus de dimensions ? Et si nous ne prenions pas un cube, mais un cube à quatre dimensions, c'est-à-dire tesseract ? Pouvons-nous réaliser le même tour que nous avons fait avec la 3D ?
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Je ne vais même pas commencer à expliquer ce qu’est un cube à quatre dimensions, est-ce que tout le monde le sait ? Un cube à quatre dimensions possède 16 sommets. Et vous n’avez pas besoin de vous creuser la tête et d’essayer d’imaginer un cube à quatre dimensions. Ce sont des mathématiques pures. J'ai regardé le nombre de dimensions, je l'ai inséré dans la formule et j'ai obtenu le nombre de sommets, d'arêtes, de faces, etc. Ainsi, un cube à quatre dimensions comporte 16 sommets et 120 segments qui les relient. Le nombre de combinaisons de couleurs dans le cas à quatre dimensions est beaucoup plus grand que dans le cas à trois dimensions, mais même ici, il n'est pas très difficile de compter, de diviser, de réduire, etc. En bref, découvrez que dans un espace à quatre dimensions, vous pouvez également faire preuve de créativité en colorant les segments d'un hypercube de telle sorte que toutes les lignes de la même couleur reliant 4 sommets ne se trouvent pas dans le même plan.
Dans la cinquième dimension ? Et dans la cinquième dimension, où le cube est appelé penteracte ou pentacube, c’est également possible.
Et en six dimensions.
Et puis il y a des difficultés. Graham n'a pas pu prouver mathématiquement qu'un hypercube à sept dimensions pouvait effectuer une telle opération. À la fois huit dimensions et neuf dimensions, et ainsi de suite. Mais il s'est avéré que ce « et ainsi de suite » ne va pas à l'infini, mais se termine par un très grand nombre, appelé « nombre de Graham ».
C'est-à-dire qu'il existe une dimension minimale de l'hypercube à laquelle la condition est violée, et il n'est plus possible d'éviter une combinaison de coloration de segments telle que quatre points de la même couleur se trouveront dans le même plan. Et cette dimension minimale est nettement supérieure à six et nettement inférieure au nombre de Graham, c’est la preuve mathématique du scientifique.
Et maintenant la définition de ce que j'ai décrit ci-dessus en plusieurs paragraphes, dans le langage sec et ennuyeux (mais vaste) des mathématiques. Il n’est pas nécessaire de comprendre, mais je ne peux m’empêcher d’en parler.
Considérons un hypercube à n dimensions et connectez toutes les paires de sommets pour obtenir un graphe complet avec 2n sommets. Colorons chaque bord de ce graphique en rouge ou Couleur bleue. À quoi valeur la plus basse n chacune de ces colorations contient-elle nécessairement un sous-graphe complet unicolore avec quatre sommets, qui se trouvent tous dans le même plan ?
En 1971, Graham a prouvé que ce problème avait une solution et que cette solution (le nombre de dimensions) se situe entre le nombre 6 et un nombre plus grand, qui a ensuite été nommé d'après lui (et non par l'auteur lui-même). En 2008, la preuve a été améliorée, la limite inférieure a été relevée et désormais le nombre de dimensions requis se situe entre le nombre 13 et le nombre de Graham. Les mathématiciens ne dorment pas, le travail continue, le champ d'application se rétrécit.
De nombreuses années se sont écoulées depuis les années 70, ils ont été retrouvés Problèmes mathématiques dans lequel apparaissent des nombres plus grands que Graham, mais ce premier nombre monstre a tellement étonné les contemporains qui ont compris l'échelle dont nous parlions qu'en 1980, il a été inclus dans le Livre Guinness des Records comme « le plus grand nombre jamais impliqué dans une preuve mathématique stricte » sur ce moment.
Essayons de comprendre quelle est sa taille. Le plus grand nombre que l'on puisse avoir signification physique 10 185, et si l’Univers observable tout entier est rempli d’un ensemble apparemment infini de nombres minuscules, nous obtenons quelque chose de proportionnel à googolplex.
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Pouvez-vous imaginer cette immensité ? En avant, en arrière, en haut, en bas, à perte de vue et à perte de vue télescope Hubble, et même dans la mesure où cela ne suffit pas, jusqu'aux galaxies les plus lointaines et en regardant au-delà d'elles - des nombres, des nombres, des nombres bien plus petits qu'un proton. Bien entendu, un tel Univers ne pourra pas exister longtemps ; il s’effondrera immédiatement dans un trou noir. Vous souvenez-vous de la quantité d’informations qui peuvent théoriquement entrer dans l’Univers ? Je te l'ai dit.
Le chiffre est vraiment énorme, ça époustoufle. Ce n’est pas exactement l’équivalent du googolplex, et il n’a pas de nom, je l’appellerai donc « dochulion ». Je viens d'y penser, pourquoi pas. Le nombre de cellules de Planck dans l'Univers observable, et chaque cellule contient un nombre. Le nombre contient 10 185 chiffres et peut s’écrire 10 10 185.
dochulion = 10 10 185
Ouvrons un peu plus grand les portes de la perception. Vous vous souvenez de la théorie de l’inflation ? Que notre Univers n’est qu’une des nombreuses bulles du Multivers. Et si vous imaginiez une douzaine de telles bulles ? Prenons un nombre aussi long que tout ce qui existe et imaginons un multivers avec un nombre similaire d'univers, dont chacun est couvert à pleine capacité de nombres - nous obtenons un dochulion de dochulions. Pouvez-vous imaginer cela ? Comment vous flottez dans la non-existence d'un champ scalaire, et tout autour de vous se trouvent des univers-univers et en eux des nombres-nombres-nombres... J'espère qu'un tel cauchemar (mais pourquoi un cauchemar ?) ne vous tourmentera pas ( et pourquoi tourmenter ?) un lecteur trop impressionnable la nuit.
Pour plus de commodité, appelons cette opération « flip ». Une interjection si frivole, comme s'ils prenaient l'Univers et le retournaient, alors il était à l'intérieur en nombre, mais maintenant, au contraire, nous avons autant d'univers à l'extérieur qu'il y avait de nombres, et chaque boîte est pleine, elle-même toute en chiffres. Tout comme vous épluchez une grenade, vous pliez la croûte, les grains ressortent de l'intérieur et dans les grains il y a à nouveau des grenades. J'ai aussi eu l'idée à la volée, pourquoi pas, c'était une super balade avec le dokhulion.
Où est-ce que je veux en venir ? Faut-il ralentir ? Allez, Hoba, et encore un flip ! Et maintenant, nous avons autant d'univers qu'il y avait de nombres dans les univers, dont le nombre était égal à un million de nombres qui remplissaient notre Univers. Et immédiatement, sans vous arrêter, retournez à nouveau. Et le quatrième et le cinquième. Dixième, millième. Suivez-vous vos pensées, pouvez-vous encore imaginer l'image ?
Ne perdons pas de temps en bagatelles, déployons les ailes de l'imagination, accélérons au maximum et faisons des flip flips. Nous retournons chaque univers autant de fois que le nombre de dizaines d'univers qu'il y avait dans le retournement précédent, qui était un retournement de l'avant-dernier, lequel... euh... eh bien, suivez-vous ? Quelque part comme ça. Laissons maintenant notre numéro devenir, disons, "dohuliard".
dohuliard = flip flip
Nous ne nous arrêtons pas et continuons à retourner des dohullions de dohuliards tant que nous en avons la force. Jusqu'à ce que tes yeux s'assombrissent, jusqu'à ce que tu aies envie de crier. Ici, chacun est son courageux Pinocchio, le mot sûr sera « fromage fromage ».
Alors voilà. Qu'est-ce que tout cela? Les dohullions énormes et infinis de flips et de dohuliards d'univers à chiffres complets ne peuvent être comparés au nombre de Graham. Ils n’effleurent même pas la surface. Si le nombre de Graham est représenté comme un bâton, traditionnellement étendu sur tout l'univers observable, alors ce que nous avons trouvé ici se révélera être une encoche d'épaisseur... eh bien... comment puis-je le dire doucement... ... indigne d'être mentionné. Alors, je l'ai adouci du mieux que j'ai pu.
Maintenant, faisons une pause et faisons une pause. On lisait, on comptait, nos petits yeux étaient fatigués. Oublions le nombre de Graham, il faut encore ramper et ramper pour y arriver, détournons nos yeux, détendons-nous, méditons sur un nombre beaucoup plus petit, carrément miniature, que nous appellerons g 1, et notons-le en seulement six personnages:
g1 = 33
Le nombre g 1 est égal à « trois, quatre flèches, trois ». Qu'est-ce que ça veut dire? Voici à quoi ressemble la méthode d'écriture appelée notation fléchée de Knuth.
Pour plus de détails et de détails, vous pouvez lire l'article sur Wikipédia, mais il y a des formules là-bas, je vais le raconter brièvement en mots simples.
Une flèche signifie une exponentiation ordinaire.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000
Deux flèches signifient clairement élever à la puissance d'une puissance.
23 = 222 = 2 2/ 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3/ 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (plus de 7 000 milliards)
34 = 3333 = 3 3/ 3/ 3 = 3 7 625 597 484 987 = un nombre avec environ 3 000 milliards de chiffres
35 = 33333 = 3 3/ 3/ 3/ 3 = 3 3/ 7 625 597 484 987 = 3 à la puissance un nombre à 3 000 milliards de chiffres - googolplex est déjà nul
En bref, "nombre flèche flèche un autre nombre" montre quelle est la hauteur des puissances (les mathématiciens disent "b Ashnya") est construit à partir du premier nombre. Par exemple, 58 signifie une tour de huit cinq et est si grand qu'il ne peut être calculé sur aucun superordinateur, même sur tous les ordinateurs de la planète en même temps.
En bref, "nombre flèche flèche un autre nombre" montre quelle hauteur de puissances (les mathématiciens disent "tour") est construite à partir du premier nombre. Par exemple, 58 signifie une tour de huit cinq et est si grand qu'il ne peut être calculé sur aucun superordinateur, même sur tous les ordinateurs de la planète en même temps.

Passons aux trois flèches. Si la double flèche indiquait la hauteur de la tour en degrés, alors la triple flèche semblerait indiquer « la hauteur de la tour de la hauteur de la tour » ? Que diable! Dans le cas de trois, nous avons la hauteur de la tour, la hauteur de la tour, la hauteur de la tour (un tel concept n'existe pas en mathématiques, j'ai décidé de l'appeler « sans tour »). Quelque chose comme ça : 11

Autrement dit, 33 forme une tour folle de triplés, haute de 7 000 milliards. Que sont 7 000 milliards de triplets empilés les uns sur les autres et qualifiés de « fous » ? Si vous avez lu attentivement ce texte et ne vous êtes pas endormi au tout début, vous vous souvenez probablement qu'il y a 100 000 milliards de centimètres entre la Terre et Saturne. Les trois affichés à l'écran dans la douzième police, celui-ci - 3 - mesure cinq millimètres de haut. Cela signifie qu'une folle série de trois s'étendra de votre écran... enfin, pas jusqu'à Saturne, bien sûr. Je ne peux même pas atteindre le Soleil, seulement un quart unité astronomique, à peu près la même chose que de la Terre à Mars par beau temps. Veuillez noter (ne dormez pas !) que l'insouciance n'est pas un nombre qui s'étend de la Terre à Mars, c'est tour de degrés si haute. On se souvient que cinq triplets dans cette tour couvrent le googolplex, le calcul du premier décimètre des triplets brûle tous les fusibles des ordinateurs de la planète, et les millions de kilomètres de degrés restants sont pour ainsi dire inutiles, ils se moquent simplement ouvertement du lecteur, les compter est inutile et impossible.
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Maintenant, il est clair que 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 sans tour, (pas 3 au degré sans tour, mais « trois flèches flèche folle » (!)), alias l'imprudence sans tour ne conviendra ni en longueur ni en hauteur dans l'Univers Observable, et ne rentrera même pas dans le supposé Multivers.
À 35 = 33333 les mots se terminent, et à 36 = 333333 les interjections se terminent, mais vous pouvez vous entraîner si vous êtes intéressé.
Passons aux quatre flèches. Comme vous l'avez déjà deviné, ici le fou est assis sur le fou, il conduit les fous, et c'est pareil que ce soit avec ou sans tour. Je vais juste donner en silence une image révélant le schéma de calcul de quatre flèches, lorsque chaque numéro suivant de la tour de degrés détermine la hauteur de la tour de degrés, qui détermine la hauteur de la tour de degrés, qui détermine la hauteur du tour de degrés... et ainsi de suite jusqu'à l'oubli de soi.

Il est inutile de le calculer et cela ne fonctionnera pas. Le nombre de degrés ici ne peut pas être compté de manière significative. Ce nombre est impossible à imaginer, il est impossible à décrire. Aucune analogie avec les doigts™ n'est applicable ; il n'y a tout simplement rien avec quoi comparer le nombre. On peut dire que c'est immense, que c'est grandiose, que c'est monumental et que ça regarde au-delà de l'horizon des événements. Autrement dit, donnez-lui quelques épithètes verbales. Mais la visualisation, même libre et imaginative, est impossible. Si avec trois flèches il était encore possible de dire quelque chose, de dessiner une imprudence de la Terre à Mars, de la comparer d'une manière ou d'une autre avec quelque chose, alors il ne peut tout simplement pas y avoir d'analogies. Essayez d'imaginer une fine tour de triplés de la Terre à Mars, à côté d'une autre presque la même, et une autre, et une autre... Un champ infini de tours s'étend au loin, dans l'infini, des tours partout, des tours partout. Et ce qui est le plus offensant, c'est que ces tours n'ont même rien à voir avec le nombre, elles déterminent seulement la hauteur des autres tours qu'il faut construire pour avoir la hauteur des tours, pour avoir la hauteur de les tours... pour qu'après un temps et des itérations inimaginables, elles obtiennent le numéro lui-même.
C'est ce qu'est g 1, c'est ce qu'est 33.
Vous êtes-vous reposé ? Maintenant, à partir du g 1, nous revenons avec une vigueur renouvelée à l’assaut contre le numéro de Graham. Avez-vous remarqué à quel point l’escalade augmente de flèche en flèche ?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = tour, la hauteur de la Terre jusqu'à Mars.
33 = un nombre impossible à imaginer ou à décrire.
Pouvez-vous imaginer quel genre de cauchemar numérique se produit lorsque le tireur s'avère avoir cinq ans ? Quand y en a-t-il six ? Pouvez-vous imaginer le nombre lorsque le tireur aura cent ? Si vous le pouvez, permettez-moi d'attirer votre attention sur le nombre g 2 dans lequel le nombre de ces flèches s'avère être égal à g 1. Rappelez-vous ce qu'est g 1, n'est-ce pas ?

Tout ce qui a été écrit jusqu'à présent, tous ces calculs, degrés et tours qui ne rentrent pas dans les multivers des multivers, n'était nécessaire que pour une seule chose. Pour afficher le NOMBRE DE FLÈCHES dans le nombre g 2. Il n'est pas nécessaire de compter quoi que ce soit ici, vous pouvez simplement rire et agiter la main.
Je ne vais pas le cacher, il y a aussi g 3, qui contient des flèches g 2. D'ailleurs, est-il encore clair que g 3 n'est pas g 2 « à la puissance » de g 2, mais le nombre de fous qui déterminent la hauteur des tours folles qui déterminent la hauteur... et ainsi de suite tout au long de l'année. enchaîner jusqu'à la mort thermique de l'Univers ? C'est là que vous pouvez commencer à pleurer.
Pourquoi pleurer? Parce que c'est absolument vrai. Il y a aussi le nombre g 4, qui contient g 3 flèches entre les triolets. Il y a aussi g 5, il y a g 6 et g 7 et g 17 et g 43...
Bref, il y en a 64 de ces g. Chaque précédente est numériquement égale au nombre de flèches de la suivante. Le dernier g 64 est le numéro de Graham, avec lequel tout a commencé si apparemment innocemment. C'est le nombre de dimensions de l'hypercube, qui sera certainement suffisant pour colorer correctement les segments avec les couleurs rouge et bleue. Peut-être moins, c'est pour ainsi dire la limite supérieure. Il est écrit ainsi :

Quel est le plus grand nombre au monde qui signifie quelque chose ? Dans cet article, je vais essayer de parler d'un monstre numérique appelé le numéro de Graham.

Écrit sly2m.livejournal.com

Source:

Si vous regardez l’abîme pendant longtemps, vous pouvez passer un bon moment.
Ingénieur d'âme mécanique

Numéro de doigt Graham™

Dès qu'un enfant (et cela se produit vers l'âge de trois ou quatre ans) comprend que tous les nombres sont divisés en trois groupes « un, deux et plusieurs », il essaie immédiatement de savoir : combien fait beaucoup, combien diffère de beaucoup, et s'il y en a tellement qu'il n'y en a plus. Vous avez sûrement joué à un jeu intéressant (pour cet âge) avec vos parents, qui peuvent nommer le plus grand nombre, et si votre ancêtre n'était pas plus bête qu'un élève de cinquième, alors il gagnait toujours, en répondant « deux millions » pour chaque « million » , et « deux millions » pour « milliard » - « deux milliards » ou « milliard plus un ».

Dès la première année d’école, tout le monde sait qu’il existe un nombre infini de nombres, qu’ils ne finissent jamais et que le plus grand nombre n’existe pas. Pour n’importe quel million de milliards de milliards, vous pouvez toujours dire « plus un » et quand même gagner. Et un peu plus tard, on comprend (devrait venir !) que de longues chaînes de chiffres en elles-mêmes ne signifient rien. Tous ces milliards de milliards n’ont de sens que lorsqu’ils servent à représenter un certain nombre d’objets ou décrivent un certain phénomène. Il n’y a aucune difficulté à trouver un nombre long qui ne représente rien d’autre qu’un ensemble de nombres à consonance longue ; il en existe déjà un nombre infini. La science, dans une certaine mesure figurative, s’emploie à rechercher des combinaisons très spécifiques de nombres dans ce vaste abîme, en les ajoutant à un phénomène physique, par exemple la vitesse de la lumière, le nombre d’Avogadro ou la constante de Planck.

Et la question se pose immédiatement : quel est le plus grand nombre au monde qui signifie quelque chose ? Dans cet article, je vais essayer de parler du monstre numérique appelé nombre de Graham, même si à proprement parler, la science connaît des nombres plus grands. Le chiffre de Graham est le chiffre le plus médiatisé, pourrait-on dire, « entendu » parmi le grand public, car il est assez simple à expliquer et pourtant suffisamment grand pour faire tourner les têtes. En général, il est nécessaire de déclarer ici un petit avertissement (avertissement russe). Cela peut ressembler à une blague, mais je ne plaisante pas du tout. Je le dis très sérieusement : une plongée méticuleuse dans de telles profondeurs mathématiques, combinée à l'expansion effrénée des frontières de la perception, peut avoir (et aura) un impact sérieux sur la vision du monde, sur la position de l'individu dans la société et, en fin de compte, sur l'état psychologique général du bricoleur, ou, disons les choses par leur nom propre, ouvre la voie à la bêtise. Il n'est pas nécessaire de lire le texte suivant trop attentivement et vous ne devez pas imaginer les choses qui y sont décrites de manière trop vivante et vivante. Et ne dites pas plus tard que vous n’étiez pas prévenu !

Avant de passer aux nombres de monstres, pratiquons-nous d’abord sur les chats. Permettez-moi de vous rappeler que pour décrire de grands nombres (pas des monstres, mais simplement de grands nombres), il est pratique d'utiliser le scientifique ou ce qu'on appelle. notation exponentielle.

Lorsqu'ils parlent, par exemple, du nombre d'étoiles dans l'Univers (dans l'Univers observable), aucun idiot ne prend la peine de calculer combien il y en a littéralement, jusqu'à la dernière étoile. On estime qu'il y a environ 10²¹ pièces. Et c'est une estimation inférieure. Cela signifie que le nombre total d'étoiles peut être exprimé par un nombre comportant 21 zéros après un, c'est-à-dire "1 000 000 000 000 000 000 000."

Voilà à quoi ressemble une petite fraction d’entre eux (environ 100 000) dans l’amas globulaire Omega Centauri.

Naturellement, lorsqu'il s'agit de telles échelles, les nombres réels ne jouent pas un rôle important, après tout, tout est très conditionnel et approximatif. Le nombre réel d’étoiles dans l’Univers pourrait être « 1 564 861 615 140 168 357 973 » ou peut-être « 9 384 684 643 798 468 483 745 ». Ou encore « 3 333 333 333 333 333 333 333 », pourquoi pas, bien que peu probable bien sûr. En cosmologie, science des propriétés de l’Univers dans son ensemble, on ne s’embarrasse pas de telles bagatelles. L'essentiel est d'imaginer qu'environ ce nombre est composé de 22 chiffres, ce qui permet de le considérer plus facilement comme un suivi de 21 zéros et de l'écrire sous la forme 10²¹. La règle est générale et très simple. Quel que soit le chiffre ou le nombre qui remplace le degré (imprimé en petits caractères au-dessus de 10), autant de zéros après l'unité seront dans ce nombre, si vous le peignez de manière simple, avec des signes alignés, et non dans un ordre. manière scientifique. Certains nombres ont des « noms humains », par exemple nous appelons 10³ « mille », 10⁶ « millions » et 10⁹ « milliards », mais d'autres n'en ont pas. Disons que 10⁵⁹ n'a pas de nom généralement accepté. Et 10²¹, d'ailleurs, l'a - c'est un « sextillion ».

Tout ce qui va jusqu’à un million est intuitivement clair pour presque tout le monde, car qui ne veut pas devenir millionnaire ? Ensuite, certaines personnes commencent à avoir des problèmes. Bien que presque tout le monde en connaisse un milliard (10⁹). Vous pouvez même compter jusqu'à un milliard. Si, juste après votre naissance, littéralement au moment de la naissance, vous commencez à compter une fois par seconde « un, deux, trois, quatre... » et que vous ne dormez pas, ne buvez pas, ne mangez pas, mais juste comptez, comptez, comptez inlassablement jour et nuit, puis à 32 ans, vous pourrez compter jusqu'à un milliard, car 32 révolutions de la Terre autour du Soleil prennent environ un milliard de secondes.

100 milliards (10¹¹) - c'est le nombre d'individus qui ont vécu sur la planète tout au long de son histoire. McDonald's a vendu 100 milliards de hamburgers en 1998 au cours de ses 50 années d'existence. Il y a 100 milliards d’étoiles (enfin, un peu plus) dans notre galaxie, la Voie lactée, et le Soleil en fait partie. L'Univers observable contient le même nombre de galaxies. Il y a 100 milliards de neurones dans le cerveau humain. Et le même nombre de bactéries anaérobies vivent dans le caecum de tous ceux qui lisent ces lignes.

Le billion (10¹²) est un nombre rarement utilisé. Il est impossible de compter jusqu'à mille milliards, cela prendra 32 mille ans. Il y a mille milliards de secondes, les gens vivaient dans des grottes et chassaient les mammouths avec des lances. Oui, il y a mille milliards de secondes, les mammouths vivaient sur Terre. Il y a environ un billion de poissons dans les océans de la planète. Notre galaxie voisine d’Andromède compte environ un billion d’étoiles. Une personne est composée de 10 000 milliards de cellules. Le PIB de la Russie en 2013 s'élevait à 66 000 milliards de roubles (en roubles de 2013). De la Terre à Saturne, 100 000 milliards de centimètres et le même nombre de lettres au total ont été imprimés dans tous les livres jamais publiés.

Un quadrillion (10¹⁵, millions de milliards) est le nombre de fourmis sur la planète. Les gens normaux ne prononcent pas ce mot à voix haute, eh bien, admettez-le, à quand remonte la dernière fois que vous avez entendu « un quadrillion de quelque chose » dans une conversation ?

Quintillion (10¹⁸, milliards de milliards) - c'est le nombre de configurations possibles qui existent lors de la résolution d'un Rubik's cube 3x3x3. Également le nombre de mètres cubes d'eau dans les océans du monde.

Sextillion (10²¹) - nous avons déjà rencontré ce nombre. Le nombre d'étoiles dans l'Univers observable. Le nombre de grains de sable dans tous les déserts de la Terre. Le nombre de transistors dans tous les appareils électroniques existants de l’humanité, si Intel ne nous mentait pas.

10 sextillions (10²²) est le nombre de molécules dans un gramme d'eau.

10²⁴ - masse de la Terre en kilogrammes.

10²⁶ est le diamètre de l'Univers observable en mètres, mais compter en mètres n'est pas très pratique : les limites généralement acceptées de l'Univers observable sont de 93 milliards d'années-lumière.

La science ne fonctionne pas avec des dimensions plus grandes que l’Univers observable. Nous savons avec certitude que l'Univers observable n'est pas le tout, le tout, l'Univers tout entier. C’est la partie que nous pouvons, du moins en théorie, voir et observer. Ou alors ils l’ont peut-être vu dans le passé. Ou bien nous pourrons le constater un jour dans un avenir lointain, en restant dans le cadre de la science moderne. Du reste de l’Univers, même à la vitesse de la lumière, les signaux ne pourront pas nous parvenir, c’est pourquoi ces lieux, de notre point de vue, ne semblent pas exister. Personne ne sait vraiment quelle est la taille de cet univers. Peut-être un million de fois plus que Observable. Ou peut-être un milliard. Ou peut-être même sans fin. Je vous le dis, ce n'est plus de la science, mais de la divination sur le marc de café. Les scientifiques ont quelques suppositions, mais cela relève plus de la fantaisie que de la réalité.

Pour visualiser les proportions cosmiques, il est utile d’étudier cette image en l’agrandissant en plein écran.

Cependant, même dans l'Univers observable, vous pouvez insérer bien plus que des mètres.

10⁵¹ atomes composent la planète Terre.

10⁸⁰ est le nombre approximatif de particules élémentaires dans l’Univers observable.

10⁹⁰ est le nombre approximatif de photons dans l’Univers observable. Il y en a près de 10 milliards de fois plus que les particules élémentaires, les électrons et les protons.

10¹⁰⁰ - google. Ce chiffre ne veut rien dire physiquement, il est juste rond et joli. L'entreprise qui s'est fixé pour objectif d'indexer les liens de Google (je plaisante bien sûr, c'est plus que le nombre de particules élémentaires dans l'Univers !) a pris en 1998 le nom de Google.

10¹²² de protons seront nécessaires pour remplir l’Univers observable au maximum, de manière étanche, proton à proton, de bout en bout.

10¹⁸⁵ volumes de Planck sont occupés par l'Univers observable. Notre science ne connaît pas de quantités plus petites que le volume de Planck (un cube d'une longueur de Planck de 10⁻³⁵ mètres). Certes, comme dans l’Univers, il y a quelque chose d’encore plus petit, mais les scientifiques n’ont pas encore trouvé de formules sensées pour de telles bagatelles, ce n’est que de la pure spéculation.

Il s'avère que 10¹⁸⁵ environ est le plus grand nombre qui, en principe, peut signifier quelque chose dans la science moderne. Dans une science qui peut toucher et mesurer. C'est quelque chose qui existe ou pourrait exister si nous avions appris tout ce qu'il y avait à savoir sur l'Univers. Le numéro est composé de 186 chiffres, le voici :

Ou avez-vous entendu parler de la théorie des cordes, selon laquelle il peut y avoir environ 10⁵⁰⁰ configurations de vibrations des cordes, ce qui signifie le même nombre d'univers potentiels, chacun avec ses propres lois.

Plus on s'enfonce dans la forêt, moins la physique théorique et la science en général restent en nombre croissant, et derrière les colonnes de zéros, une reine des sciences de plus en plus pure et sans nuages commence à apparaître. Les mathématiques ne sont pas de la physique, il n'y a pas de restrictions et il n'y a pas de quoi avoir honte, amusez-vous, écrivez des zéros dans les formules jusqu'à ce que vous abandonniez.

Je mentionnerai simplement le googolplex, qui est bien connu de beaucoup. Un nombre avec des chiffres googol, dix à la puissance googol ou dix à la puissance dix à la puissance cent

Je ne l'écrirai pas en chiffres. Googolplex ne veut absolument rien dire. Une personne ne peut imaginer un googolplex de quoi que ce soit, c'est physiquement impossible. Pour écrire un tel nombre, vous aurez besoin de l’ensemble de l’Univers observable, si vous écrivez avec un « nano-stylo » directement à travers le vide, en fait dans les cellules de Planck du cosmos. Convertissons toute la matière en encre et remplissons l'Univers uniquement de nombres solides, nous obtiendrons alors un googolplex. Mais les mathématiciens (des gens terribles !) ne font que s'échauffer avec Googolprex, c'est la barre la plus basse à partir de laquelle de vraies bonnes choses commencent pour eux. Et si vous pensez que nous parlons de la puissance de googolplex, vous n'avez aucune idée à quel point vous vous trompez.

Après le googolplex, il existe de nombreux nombres intéressants qui jouent un rôle ou un autre dans les preuves mathématiques, mais passons directement au nombre de Graham, nommé d'après (enfin, naturellement) le mathématicien Ronald Graham. Tout d’abord, je vais vous dire ce que c’est et à quoi il sert, après quoi je décrirai sa taille au sens figuré et sur mes doigts™, puis j’écrirai le numéro lui-même. Plus précisément, je vais essayer d'expliquer ce que j'ai écrit.

Le nombre de Graham est apparu dans un article consacré à la résolution d'un des problèmes de la théorie de Ramsey, et « Ramsey » ici n'est pas un gérondif imparfait, mais le nom de famille d'un autre mathématicien, Frank Ramsey. La tâche, bien entendu, est assez farfelue du point de vue du profane, même si elle n’est pas très compliquée et même facilement compréhensible.

Imaginez un cube dont tous les sommets sont reliés par des lignes-segments de deux couleurs, rouge ou bleu. Connecté et coloré dans un ordre aléatoire. Certains ont déjà deviné que nous parlerions d’une branche des mathématiques appelée combinatoire.

Pouvons-nous être intelligents et choisir une configuration de couleurs (et il n'y en a que deux - rouge et bleu) de sorte qu'en colorant ces segments, nous ne nous retrouvions PAS avec tous les segments de la même couleur reliant les quatre sommets se trouvant dans le même avion? Dans ce cas, ils ne représentent PAS un tel chiffre :

Et si nous avions plus de dimensions ? Et si nous ne prenions pas un cube, mais un cube à quatre dimensions, c'est-à-dire tesseract ? Pouvons-nous réaliser le même tour que nous avons fait avec la 3D ?

Dans la cinquième dimension ? Et dans la cinquième dimension, où le cube est appelé penteracte ou pentacube, c’est également possible.
Et en six dimensions.

Et puis il y a des difficultés. Graham n'a pas pu prouver mathématiquement qu'un hypercube à sept dimensions pouvait effectuer une telle opération. À la fois huit dimensions et neuf dimensions, et ainsi de suite. Mais il s'est avéré que ce « et ainsi de suite » ne va pas à l'infini, mais se termine par un très grand nombre, appelé « nombre de Graham ».

C'est-à-dire qu'il existe une dimension minimale de l'hypercube à laquelle la condition est violée, et il n'est plus possible d'éviter la combinaison de colorations de segments de telle sorte que quatre points de la même couleur se trouvent dans le même plan. Et cette dimension minimale est nettement supérieure à six et nettement inférieure au nombre de Graham, c’est la preuve mathématique du scientifique.

Et maintenant la définition de ce que j'ai décrit ci-dessus en plusieurs paragraphes, dans le langage sec et ennuyeux (mais vaste) des mathématiques. Il n’est pas nécessaire de comprendre, mais je ne peux m’empêcher d’en parler.

Considérons un hypercube à n dimensions et connectez toutes les paires de sommets pour obtenir un graphe complet avec 2n sommets. Colorons chaque bord de ce graphique en rouge ou en bleu. Car quelle est la plus petite valeur de n, chacune de ces colorations contient nécessairement un sous-graphe complet unicolore avec quatre sommets, qui se trouvent tous dans le même plan ?

En 1971, Graham a prouvé que ce problème avait une solution et que cette solution (le nombre de dimensions) se situe entre le nombre 6 et un nombre plus grand, qui a ensuite été nommé d'après lui (et non par l'auteur lui-même). En 2008, la preuve a été améliorée, la limite inférieure a été relevée et désormais le nombre de dimensions requis se situe entre le nombre 13 et le nombre de Graham. Les mathématiciens ne dorment pas, le travail continue, le champ d'application se rétrécit.

De nombreuses années se sont écoulées depuis les années 70, des problèmes mathématiques ont été trouvés dans lesquels apparaissent des nombres plus grands que Graham, mais ce premier nombre monstre a tellement étonné les contemporains qui ont compris l'échelle dont nous parlons qu'en 1980, il a été inclus dans le Livre Guinness des Records comme « le plus grand nombre jamais impliqué dans une preuve mathématique rigoureuse » à cette époque.

Essayons de comprendre quelle est sa taille. Le plus grand nombre pouvant avoir une signification physique est 10¹⁸⁵, et si l'univers observable tout entier est rempli d'un ensemble apparemment infini de petits nombres, nous obtenons quelque chose de comparable à un googolplex.

Pouvez-vous imaginer cette immensité ? En avant, en arrière, en haut, en bas, aussi loin que l'œil peut voir et aussi loin que le télescope Hubble peut voir, et même aussi loin que le télescope Hubble peut voir, jusqu'aux galaxies les plus lointaines et en regardant au-delà d'elles - des nombres, des nombres, des nombres beaucoup plus petit qu'un proton. Bien entendu, un tel Univers ne pourra pas exister longtemps ; il s’effondrera immédiatement dans un trou noir. Vous souvenez-vous de la quantité d’informations qui peuvent théoriquement entrer dans l’Univers ?

Le chiffre est vraiment énorme, ça époustoufle. Ce n’est pas exactement l’équivalent du googolplex, et il n’a pas de nom, je l’appellerai donc « dochulion ». Je viens d'y penser, pourquoi pas. Le nombre de cellules de Planck dans l'Univers observable, et chaque cellule contient un nombre. Le nombre contient 10¹⁸⁵ chiffres et peut être représenté comme

Ouvrons un peu plus grand les portes de la perception. Vous vous souvenez de la théorie de l’inflation ? Que notre Univers n’est qu’une des nombreuses bulles du Multivers. Et si vous imaginiez une douzaine de telles bulles ? Prenons un nombre aussi long que tout ce qui existe et imaginons un multivers avec un nombre similaire d'univers, dont chacun est couvert à pleine capacité de nombres - nous obtenons un dochulion de dochulions. Pouvez-vous imaginer cela ? Comment vous flottez dans la non-existence d'un champ scalaire, et tout autour de vous se trouvent des univers-univers et en eux des nombres-nombres-nombres... J'espère qu'un tel cauchemar (mais pourquoi un cauchemar ?) ne vous tourmentera pas ( et pourquoi tourmenter ?) un lecteur trop impressionnable la nuit.

Par commodité, nous appellerons cette opération « flip ». Une interjection si frivole, comme s'ils prenaient l'Univers et le retournaient, alors il était à l'intérieur en nombre, mais maintenant, au contraire, nous avons autant d'univers à l'extérieur qu'il y avait de nombres, et chaque boîte est pleine, elle-même toute en chiffres. Tout comme vous épluchez une grenade, vous pliez la croûte, les grains ressortent de l'intérieur et dans les grains il y a à nouveau des grenades. J'ai aussi eu l'idée à la volée, pourquoi pas, c'était une super balade avec le dokhulion.

Où est-ce que je veux en venir ? Faut-il ralentir ? Allez, Hoba, et encore un flip ! Et maintenant, nous avons autant d'univers qu'il y avait de nombres dans les univers, dont le nombre était égal à un million de nombres qui remplissaient notre Univers. Et immédiatement, sans vous arrêter, retournez à nouveau. Et le quatrième et le cinquième. Dixième, millième. Suivez-vous vos pensées, pouvez-vous encore imaginer l'image ?

Ne perdons pas de temps en bagatelles, déployons les ailes de l'imagination, accélérons au maximum et faisons des flip flips. Nous retournons chaque univers autant de fois que le nombre de dizaines d'univers qu'il y avait dans le retournement précédent, qui était un retournement de l'avant-dernier, lequel... euh... eh bien, suivez-vous ? Quelque part comme ça. Que notre numéro devienne maintenant, disons, « dohuliard ».

Dohuliard = flip de flips

Nous ne nous arrêtons pas et continuons à retourner des dohullions de dohuliards tant que nous en avons la force. Jusqu'à ce que tes yeux s'assombrissent, jusqu'à ce que tu aies envie de crier. Ici, chacun est son courageux Pinocchio, le mot sûr sera « fromage fromage ».

Alors voilà. Qu'est-ce que tout cela? Les dohullions énormes et infinis de flips et de dohuliards d'univers à chiffres complets ne peuvent être comparés au nombre de Graham. Ils n’effleurent même pas la surface. Si le nombre de Graham est représenté comme un bâton, traditionnellement étendu sur tout l'univers observable, alors ce que nous avons trouvé ici se révélera être une encoche d'épaisseur... eh bien... comment puis-je le dire doucement... ... indigne d'être mentionné. Alors, je l'ai adouci du mieux que j'ai pu.

Maintenant, faisons une pause et faisons une pause. On lisait, on comptait, nos petits yeux étaient fatigués. Oublions le nombre de Graham, le chemin est encore long, détournons nos yeux, détendons-nous, méditons sur un nombre beaucoup plus petit, voire miniature, que nous appellerons g₁, et écrivons-le en seulement six caractères :
g₁ = 33

Le nombre g₁ est égal à « trois, quatre flèches, trois ». Qu'est-ce que ça veut dire? Voici à quoi ressemble la méthode d'écriture appelée notation fléchée de Knuth.

Une flèche signifie une exponentiation ordinaire.

44 = 4⁴ = 256

1010 = 10¹⁰ = 10 000 000 000

Deux flèches signifient clairement élever à la puissance d'une puissance.

En bref, « nombre flèche flèche un autre nombre » montre quelle hauteur de puissances (les mathématiciens disent « tour ») est construite à partir du premier nombre. Par exemple, 58 signifie une tour de huit cinq et est si grand qu'il ne peut être calculé sur aucun superordinateur, même sur tous les ordinateurs de la planète en même temps.

Passons aux trois flèches. Si la double flèche indiquait la hauteur de la tour en degrés, alors la triple flèche semblerait indiquer « la hauteur de la tour de la hauteur de la tour » ? Que diable! Dans le cas de trois, nous avons la hauteur de la tour la hauteur de la tour la hauteur de la tour (un tel concept n'existe pas en mathématiques, j'ai décidé de l'appeler « sans tour »). Quelque chose comme ça:

Autrement dit, 33 forme une tour folle de triplés, haute de 7 000 milliards. Que représentent 7 000 milliards de trois empilés les uns sur les autres et qualifiés de « fous » ? Si vous avez lu attentivement ce texte et ne vous êtes pas endormi au tout début, vous vous souvenez probablement qu'il y a 100 000 milliards de centimètres entre la Terre et Saturne. Les trois affichés à l'écran dans la douzième police, celui-ci - 3 - mesure environ cinq millimètres de haut. Cela signifie qu'une folle série de trois s'étendra de votre écran... enfin, pas jusqu'à Saturne, bien sûr. Il n’atteindra même pas le Soleil, seulement un quart d’unité astronomique, soit environ la distance entre la Terre et Mars par beau temps. Permettez-moi d'attirer votre attention (ne dormez pas !) sur le fait qu'une tour folle n'est pas un nombre de la longueur de la Terre à Mars, c'est une tour de degrés d'une telle hauteur. On se souvient que cinq triplés dans cette tour couvrent le googolplex, le calcul du premier décimètre des triplets brûle tous les fusibles des ordinateurs de la planète, et les millions de kilomètres de degrés restants semblent inutiles, ils se moquent simplement ouvertement du lecteur, il ça ne sert à rien de les compter.

Maintenant, il est clair que 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 sans tour, (pas 3 au degré sans tour, mais « trois flèches flèche folle » (!)), alias l'insouciance sans tour ne conviendra ni en longueur ni en hauteur dans l'Univers Observable, et ne rentrera même pas dans le supposé Multivers.

À 35 = 33333 les mots se terminent, et à 36 = 333333 les interjections se terminent, mais vous pouvez vous entraîner si vous êtes intéressé.

Passons aux quatre flèches. Comme vous l'avez déjà deviné, ici le fou s'assoit sur le fou, il conduit le fou, et même avec une tour, c'est pareil sans tour. Je vais juste donner en silence une image révélant le schéma de calcul de quatre flèches, lorsque chaque numéro suivant de la tour de degrés détermine la hauteur de la tour de degrés, qui détermine la hauteur de la tour de degrés, qui détermine la hauteur du tour de degrés... et ainsi de suite jusqu'à l'oubli de soi.

C'est ce qu'est g₁, c'est ce qu'est 33.

Vous êtes-vous reposé ? Maintenant, à partir de g₁, nous revenons avec une vigueur renouvelée à l’assaut contre le nombre de Graham. Avez-vous remarqué à quel point l’escalade augmente de flèche en flèche ?

33 = 7 625 597 484 987

33 = tour, la hauteur de la Terre jusqu'à Mars.

33 = un nombre impossible à imaginer ou à décrire.

Pouvez-vous imaginer quel genre de cauchemar numérique se produit lorsque le tireur s'avère avoir cinq ans ? Quand y en a-t-il six ? Pouvez-vous imaginer le nombre lorsque le tireur aura cent ? Si vous le pouvez, laissez-moi vous proposer un nombre g₂ dans lequel le nombre de ces flèches s'avère être égal à g₁. Rappelez-vous ce qu'est g₁, n'est-ce pas ?

Je ne vais pas le cacher, il y a aussi g₃, qui contient le shooter g₂. Au fait, est-il encore clair que g₃ n'est pas g₂ « à la puissance » de g₂, mais le nombre de fous qui déterminent la taille des fous qui déterminent la taille... et ainsi de suite tout au long de la chaîne jusqu'à la mort thermique de l'Univers ? C'est là que vous pouvez commencer à pleurer.

Pourquoi pleurer? Parce que c'est absolument vrai. Il existe également un nombre g₄, qui contient des flèches g₃ entre les trois. Il y a aussi g₅, il y a g₆ et g₇ et g₁₇ et g₄₃...

Bref, il y en a 64 de ces g. Chaque précédente est numériquement égale au nombre de flèches de la suivante. Le dernier g₆₄ est le nombre de Graham, avec lequel tout a commencé si apparemment innocemment. C'est le nombre de dimensions de l'hypercube, qui sera certainement suffisant pour colorer correctement les segments avec les couleurs rouge et bleue. Peut-être moins, c'est pour ainsi dire la limite supérieure. Il est écrit ainsi :

et ils l'écrivent comme ça.

Il y a des nombres qui sont tellement incroyablement grands qu’il faudrait même l’univers entier pour les écrire. Mais voici ce qui est vraiment fou… certains de ces nombres insondables sont cruciaux pour comprendre le monde.

Quand je dis « le plus grand nombre de l’univers », je parle en réalité du plus grand nombre significatif nombre, le nombre maximum possible qui est utile d’une manière ou d’une autre. Les prétendants à ce titre sont nombreux, mais je vous préviens tout de suite : il y a vraiment un risque qu'en essayant de tout comprendre, vous époustoufliez. Et en plus, avec trop de maths, on ne s'amusera pas beaucoup.

Googol et googolplex

Edouard Kasner

Nous pourrions commencer par ce qui est probablement les deux plus grands nombres dont vous ayez jamais entendu parler, et ce sont en effet les deux plus grands nombres qui ont des définitions généralement acceptées dans le monde. langue anglaise. (Il existe une nomenclature assez précise utilisée pour désigner des nombres aussi grands que vous le souhaiteriez, mais ces deux nombres que vous ne trouverez pas dans les dictionnaires de nos jours.) Googol, depuis qu'il est devenu mondialement connu (quoique avec des erreurs, notez. en fait c'est googol ) sous la forme de Google, né en 1920 pour intéresser les enfants aux grands nombres.

À cette fin, Edward Kasner (photo) a emmené ses deux neveux, Milton et Edwin Sirott, se promener dans les palissades du New Jersey. Il les a invités à proposer des idées, puis Milton, neuf ans, a suggéré « googol ». On ne sait pas d'où il tient ce mot, mais Kasner a décidé que ou un nombre dont cent zéros suivent l'unité sera désormais appelé un googol.

Mais le jeune Milton ne s'arrête pas là : il en propose un nombre encore plus grand, le googolplex. Il s'agit d'un nombre, selon Milton, dans lequel la première place est 1, puis autant de zéros que vous pourriez écrire avant de vous fatiguer. Bien que l’idée soit fascinante, Kasner a décidé qu’une définition plus formelle était nécessaire. Comme il l'explique dans son livre de 1940 Mathématiques et imagination, la définition de Milton laisse ouverte la possibilité risquée qu'un bouffon accidentel puisse devenir un mathématicien supérieur à Albert Einstein simplement parce qu'il a une plus grande endurance.

Kasner a donc décidé qu'un googolplex serait , ou 1, puis un googol de zéros. Sinon, et dans une notation similaire à celle que nous traiterons pour les autres nombres, nous dirons qu'un googolplex est . Pour montrer à quel point cela est fascinant, Carl Sagan a un jour noté qu'il est physiquement impossible d'écrire tous les zéros d'un googolplex parce qu'il n'y a tout simplement pas assez d'espace dans l'univers. Si nous remplissons tout le volume de l'Univers observable avec de petites particules de poussière d'environ 1,5 microns, alors le nombre de diverses façons l'emplacement de ces particules sera approximativement égal à un googolplex.

Linguistiquement parlant, googol et googolplex sont probablement les deux nombres significatifs les plus importants (du moins en anglais), mais, comme nous allons maintenant le démontrer, il existe une infinité de façons de définir la « signification ».

Monde réel

Si nous parlons du plus grand nombre significatif, il existe un argument raisonnable selon lequel cela signifie en réalité que nous devons trouver le plus grand nombre ayant une valeur qui existe réellement dans le monde. Nous pouvons commencer par la population humaine actuelle, qui s’élève actuellement à environ 6 920 millions. Le PIB mondial en 2010 était estimé à environ 61 960 milliards de dollars, mais ces deux chiffres sont insignifiants comparés aux quelque 100 000 milliards de cellules qui composent le corps humain. Bien entendu, aucun de ces chiffres n’est comparable à numéro complet particules dans l'Univers, dont on considère généralement qu'il y a environ , et ce nombre est si grand que notre langue n'a pas de mot qui lui corresponde.

On peut jouer un peu avec les systèmes de mesures, en rendant les chiffres de plus en plus grands. Ainsi, la masse du Soleil en tonnes sera inférieure à celle en livres. Un excellent moyen d'y parvenir est d'utiliser le système d'unités de Planck, qui sont les plus petites mesures possibles pour lesquelles les lois de la physique s'appliquent toujours. Par exemple, l’âge de l’Univers au temps de Planck est d’environ . Si l'on remonte à la première unité de temps de Planck après le Big Bang, on verra que la densité de l'Univers était alors de . Nous en recevons de plus en plus, mais nous n'avons même pas encore atteint Google.

Le plus grand nombre ayant une application dans le monde réel – ou dans ce cas-ci une application dans le monde réel – est probablement l’une des dernières estimations du nombre d’univers dans le multivers. Ce nombre est si grand que le cerveau humain ne sera littéralement pas capable de percevoir tous ces différents univers, puisque le cerveau n'est capable que de configurations approximatives. En fait, ce nombre est probablement le plus grand nombre qui ait un sens pratique, à moins que vous ne preniez en compte l’idée du multivers dans son ensemble. Cependant, il y en a encore beaucoup plus qui s’y cachent. Mais pour les trouver, nous devons entrer dans le domaine des mathématiques pures, et il n’y a pas de meilleur point de départ que les nombres premiers.

Mersenne prime

Une partie du défi consiste à trouver une bonne définition de ce qu’est un nombre « significatif ». Une solution consiste à penser en termes de nombres premiers et composés. Un nombre premier, comme vous vous en souvenez probablement mathématiques scolaires, est-ce que entier naturel(attention non égal à un), qui n'est divisible que par lui-même. Ainsi, et sont des nombres premiers, et et sont des nombres composés. Cela signifie que tout nombre composé peut finalement être représenté par ses facteurs premiers. D’une certaine manière, le nombre est plus important que, disons, parce qu’il n’existe aucun moyen de l’exprimer en termes de produit de nombres plus petits.

On peut évidemment aller un peu plus loin. , par exemple, est en réalité juste , ce qui signifie que dans un monde hypothétique où notre connaissance des nombres est limitée à , un mathématicien peut toujours exprimer le nombre . Mais le nombre suivant est premier, ce qui signifie que la seule façon de l’exprimer est de connaître directement son existence. Cela signifie que les plus grands nombres premiers connus jouent un rôle important, mais, disons, un googol - qui n'est en fin de compte qu'une collection de nombres multipliés ensemble - ne le fait pas. Et comme les nombres premiers sont fondamentalement aléatoires, il n’existe aucun moyen connu de prédire qu’un nombre incroyablement grand sera réellement premier. Aujourd’hui encore, découvrir de nouveaux nombres premiers est une entreprise difficile.

Mathématiciens La Grèce ancienne j'avais une idée sur nombres premiers, au moins dès 500 av. Ces nombres sont connus sous le nom de nombres de Mersenne, du nom du scientifique français Marin Mersenne du XVIIe siècle. L'idée est assez simple : un nombre de Mersenne est n'importe quel nombre de la forme . Ainsi, par exemple, et ce nombre est premier, il en va de même pour .

Il est beaucoup plus rapide et plus facile de déterminer les nombres premiers de Mersenne que tout autre type de nombre premier, et les ordinateurs ont travaillé dur pour les rechercher au cours des six dernières décennies. Jusqu’en 1952, le plus grand nombre premier connu était un nombre, un nombre avec des chiffres. La même année, l'ordinateur a calculé que le nombre est premier et que ce nombre est composé de chiffres, ce qui le rend beaucoup plus grand qu'un google.

Depuis, les ordinateurs sont en chasse et, actuellement, le -ième nombre de Mersenne est le plus grand nombre premier. connu de l'humanité. Découvert en 2008, il s’agit d’un nombre comportant près de millions de chiffres. Il s'agit du plus grand nombre connu qui ne peut pas être exprimé en termes de nombres plus petits, et si vous souhaitez obtenir de l'aide pour trouver un nombre de Mersenne encore plus grand, vous (et votre ordinateur) pouvez toujours participer à la recherche sur http://www.mersenne.org /.

Numéro d'inclinaison

Stanley biaise

Regardons à nouveau les nombres premiers. Comme je l’ai dit, ils se comportent fondamentalement mal, ce qui signifie qu’il n’y a aucun moyen de prédire quel sera le prochain nombre premier. Les mathématiciens ont été contraints de recourir à des mesures assez fantastiques pour trouver un moyen de prédire les futurs nombres premiers, même de manière nébuleuse. La plus réussie de ces tentatives est probablement la fonction de comptage de nombres premiers inventée en fin XVIII siècle, le légendaire mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Je vous épargnerai les calculs plus compliqués - nous en avons beaucoup plus à venir de toute façon - mais l'essentiel de la fonction est le suivant : pour tout nombre entier, vous pouvez estimer combien de nombres premiers sont plus petits que . Par exemple, si , la fonction prédit qu'il devrait y avoir des nombres premiers, s'il doit y avoir des nombres premiers inférieurs à , et si , alors il devrait y avoir des nombres premiers plus petits.

La disposition des nombres premiers est en effet irrégulière et n’est qu’une approximation du nombre réel de nombres premiers. En fait, nous savons qu’il existe des nombres premiers inférieurs à , des nombres premiers inférieurs à et des nombres premiers inférieurs à . Ce excellente note, certes, mais ce n'est toujours qu'une estimation... et plus précisément une estimation d'en haut.

Dans tous les cas connus jusqu'à , la fonction qui trouve le nombre premier surestime légèrement le nombre réel de nombres premiers inférieurs à . Les mathématiciens pensaient autrefois que cela serait toujours le cas, à l'infini, et que cela s'appliquerait certainement à des nombres inimaginables, mais en 1914, John Edensor Littlewood a prouvé que pour un nombre inconnu, inimaginablement énorme, cette fonction commencerait à produire moins de nombres premiers. , puis il basculera entre l'estimation supérieure et l'estimation inférieure un nombre infini de fois.

La chasse était le point de départ des courses, puis Stanley Skewes est apparu (voir photo). En 1933, il prouva que la limite supérieure à laquelle une fonction se rapprochant du nombre de nombres premiers produit pour la première fois une valeur plus petite est le nombre . Il est difficile de vraiment comprendre, même dans le sens le plus abstrait, ce que représente réellement ce nombre, et de ce point de vue, il s'agit du plus grand nombre jamais utilisé dans une preuve mathématique sérieuse. Les mathématiciens ont depuis réussi à réduire la limite supérieure à un nombre relativement petit, mais le nombre original reste connu sous le nom de nombre Skewes.

Alors, quelle est la taille du nombre qui éclipse même le puissant googolplex ? Dans The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells raconte une manière dont le mathématicien Hardy a pu conceptualiser la taille du nombre de Skuse :

"Hardy pensait qu'il s'agissait du "plus grand nombre jamais utilisé dans un but particulier en mathématiques" et suggérait que si une partie d'échecs était jouée avec toutes les particules de l'univers comme pièces, un mouvement consisterait à échanger deux particules, et le le jeu s'arrêterait lorsque la même position serait répétée une troisième fois, alors le nombre de tous les jeux possibles serait approximativement égal au nombre de Skuse.

Une dernière chose avant de continuer : nous avons parlé du plus petit des deux nombres Skewes. Il existe un autre nombre de Skuse, découvert par le mathématicien en 1955. Le premier nombre découle du fait que l'hypothèse dite de Riemann est vraie - il s'agit d'une hypothèse particulièrement difficile en mathématiques qui reste non prouvée, très utile lorsqu'il s'agit de nombres premiers. Cependant, si l'hypothèse de Riemann est fausse, Skuse a constaté que le point de départ des sauts augmente jusqu'à .

Problème d'ampleur

Avant d'arriver au chiffre qui fait paraître minuscule le nombre de Skewes, nous devons parler un peu d'échelle, car sinon nous n'avons aucun moyen d'évaluer où nous allons aller. Prenons d’abord un nombre – c’est un petit nombre, si petit que les gens peuvent réellement comprendre intuitivement ce qu’il signifie. Il y a très peu de nombres qui correspondent à cette description, puisque les nombres supérieurs à six cessent d'être numéros séparés et devenez « peu », « plusieurs », etc.

Prenons maintenant, c'est-à-dire . Bien que nous ne puissions pas comprendre intuitivement, comme nous l’avons fait pour le nombre, de quoi il s’agit, il est très facile d’imaginer de quoi il s’agit. Jusqu'ici, tout va bien. Mais que se passe-t-il si nous déménageons ? Ceci est égal à , ou . Nous sommes très loin de pouvoir imaginer cette quantité, comme n'importe quelle autre très grande quantité - nous perdons la capacité de comprendre des pièces individuelles autour d'un million. (Vraiment, c'est fou un grand nombre de Il faudrait un certain temps pour compter jusqu'à un million de n'importe quoi, mais le fait est que nous sommes toujours capables de percevoir ce nombre.)

Cependant, même si nous ne pouvons pas l’imaginer, nous sommes au moins capables de comprendre en termes généraux ce que représentent 7 600 milliards, peut-être en les comparant à quelque chose comme le PIB américain. Nous sommes passés de l’intuition à la représentation puis à la simple compréhension, mais au moins nous avons encore quelques lacunes dans notre compréhension de ce qu’est un nombre. Cela est sur le point de changer à mesure que nous gravissons un autre échelon dans l’échelle.

Pour ce faire, il faut passer à une notation introduite par Donald Knuth, connue sous le nom de notation fléchée. Cette notation peut s'écrire . Lorsque nous irons ensuite à , le nombre que nous obtiendrons sera . Ceci est égal au total de trois. Nous avons désormais largement dépassé tous les autres chiffres dont nous avons déjà parlé. Après tout, même les plus grands d’entre eux ne comptaient que trois ou quatre termes dans la série d’indicateurs. Par exemple, même le nombre super-Skuse est "seulement" - même en tenant compte du fait que la base et les exposants sont beaucoup plus grands que , ce n'est toujours absolument rien comparé à la taille d'une tour numérique avec un milliard de membres. .

Évidemment, il n’existe aucun moyen de comprendre des nombres aussi énormes… et pourtant, le processus par lequel ils sont créés peut encore être compris. Nous ne pouvons pas comprendre la quantité réelle donnée par une tour de puissances avec un milliard de triplets, mais nous pouvons fondamentalement imaginer une telle tour avec de nombreux termes, et un superordinateur vraiment décent serait capable de stocker de telles tours en mémoire même s'il Je n'ai pas pu calculer leurs valeurs réelles.

Cela devient de plus en plus abstrait, mais cela ne fera qu’empirer. Vous pourriez penser qu’il s’agit d’une tour de degrés dont la longueur des exposants est égale (en effet, dans la version précédente de cet article, j’ai fait exactement cette erreur), mais c’est simple. En d'autres termes, imaginez pouvoir calculer la valeur exacte d'une tour de puissance de triplets composée d'éléments, puis vous prenez cette valeur et créez une nouvelle tour contenant autant de fois que... cela donne.

Répétez ce processus avec chaque numéro suivant ( note en commençant par la droite) jusqu'à ce que vous le fassiez plusieurs fois, et puis finalement vous obtenez . C'est un nombre tout simplement incroyablement grand, mais au moins les étapes pour l'obtenir semblent compréhensibles si vous faites tout très lentement. Nous ne pouvons plus comprendre les nombres ni imaginer la procédure par laquelle ils sont obtenus, mais au moins nous pouvons comprendre l'algorithme de base, seulement dans un temps suffisamment long.

Maintenant, préparons l'esprit à vraiment le faire exploser.

Numéro de Graham (Graham)

Ronald Graham

C'est ainsi que l'on obtient le nombre de Graham, qui figure dans le Livre Guinness des records comme le plus grand nombre jamais utilisé dans une preuve mathématique. Il est absolument impossible d’imaginer son ampleur, et tout aussi difficile d’expliquer de quoi il s’agit exactement. Fondamentalement, le nombre de Graham apparaît lorsqu'il s'agit d'hypercubes, qui sont théoriques. formes géométriques avec plus de trois dimensions. Le mathématicien Ronald Graham (voir photo) a voulu savoir à quel plus petit nombre de dimensions certaines propriétés d'un hypercube resteraient stables. (Désolé pour une explication aussi vague, mais je suis sûr que nous devons tous obtenir au moins deux diplômes en mathématiques pour que ce soit plus précis.)

Quoi qu'il en soit, le nombre de Graham est une estimation supérieure de ce nombre minimum de dimensions. Alors, quelle est la taille de cette limite supérieure ? Revenons au nombre, si grand qu'on ne comprend que vaguement l'algorithme permettant de l'obtenir. Maintenant, au lieu de simplement sauter d'un niveau supplémentaire jusqu'à , nous compterons le nombre qui a des flèches entre le premier et les trois derniers. Nous sommes désormais bien au-delà de la moindre compréhension de ce qu’est ce nombre ou même de ce que nous devons faire pour le calculer.

Maintenant, répétons ce processus une fois ( noteà chaque étape suivante, nous écrivons le nombre de flèches égal au nombre obtenu à l'étape précédente).

Ceci, mesdames et messieurs, est le chiffre de Graham, qui est d'un ordre de grandeur supérieur au point de compréhension humaine. C’est un nombre tellement plus grand que n’importe quel nombre que vous pouvez imaginer – il est tellement plus grand que n’importe quel infini que vous pourriez espérer imaginer – il défie tout simplement même la description la plus abstraite.

Mais voici une chose étrange. Puisque le nombre de Graham est essentiellement constitué de triplets multipliés ensemble, nous connaissons certaines de ses propriétés sans réellement les calculer. Nous ne pouvons pas représenter le nombre de Graham en utilisant une notation familière, même si nous avons utilisé l'univers entier pour l'écrire, mais je peux vous donner les douze derniers chiffres du nombre de Graham dès maintenant : . Et ce n'est pas tout : on connaît au moins les derniers chiffres du numéro de Graham.

Bien entendu, il convient de rappeler que ce nombre n’est qu’une limite supérieure du problème initial de Graham. Il est fort possible que le nombre réel de mesures nécessaires pour obtenir la propriété souhaitée soit bien inférieur. En fait, depuis les années 1980, selon la plupart des experts en la matière, on croit qu’il n’existe en réalité que six dimensions, un nombre si petit que nous pouvons le comprendre intuitivement. La limite inférieure a depuis été relevée à , mais il y a encore de très bonnes chances que la solution au problème de Graham ne se situe pas à proximité d'un nombre aussi grand que celui de Graham.

Vers l'infini

Alors, existe-t-il des nombres supérieurs à celui de Graham ? Il y a bien sûr, pour commencer, le numéro de Graham. Quant au nombre significatif... eh bien, il existe des domaines extrêmement complexes des mathématiques (en particulier le domaine connu sous le nom de combinatoire) et de l'informatique dans lesquels des nombres encore plus grands que celui de Graham apparaissent. Mais nous avons presque atteint la limite de ce que je peux espérer être un jour expliqué rationnellement. Pour ceux qui sont assez téméraires pour aller encore plus loin, voici de la littérature pour lecture supplémentaireà vos propres risques.

Eh bien, maintenant une citation étonnante attribuée à Douglas Ray ( note Honnêtement, ça a l'air plutôt drôle :

«Je vois des amas de nombres vagues qui sont cachés là dans l'obscurité, derrière le petit point de lumière que donne la bougie de la raison. Ils se chuchotent ; conspirer pour qui sait quoi. Peut-être qu'ils ne nous aiment pas beaucoup parce que nous avons capturé leurs petits frères dans nos esprits. Ou peut-être qu’ils mènent simplement une vie à un chiffre, là-bas, au-delà de notre compréhension.

Pour imaginer d’une manière ou d’une autre l’échelle du nombre, examinons sa notation plus en détail.

1 . Ainsi, en mathématiques, il existe la notion d’« hyperopérateur » pour déterminer le niveau des opérations arithmétiques. Ainsi, l’addition est un hyperopérateur de premier niveau, et un hyperopérateur de deuxième niveau est une multiplication, qui est une addition répétée. Autrement dit, un multiplicateur est un nombre qui nous indique combien de fois nous devons ajouter la valeur multipliée. Par exemple : 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. L'hyperopérateur suivant est l'exponentiation, X n = X^n, qui est essentiellement une multiplication répétée. Exemple : 3 3 = 3 3 3 = 27. Écrire 3 3 en notation Knuth ressemblera à 33. Ici, pour plus de clarté, il faut dire que le premier chiffre de l'expression 33 est la valeur avec laquelle nous effectuons l'action, et le nombre de flèches entre les nombres est une opération arithmétique ; dans ce cas, une flèche signifie une exponentiation. Le deuxième chiffre signifie à quelle puissance le premier chiffre doit être élevé (combien de fois multiplier par lui-même). En conséquence, l’expression 74 signifie sept à la puissance quatre. En d’autres termes, 7 doit être multiplié par 7 quatre fois.

2 . L'hyperopérateur de quatrième niveau est la tétration, l'exponentiation répétée. Dans l'entrée de Knuth, il y a deux flèches entre les chiffres. Exemple : 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. C'est-à-dire que le deuxième chiffre en présence de deux flèches signifie qu'autant de fois vous devez élever le premier nombre à la puissance lui-même. En d’autres termes, il nous montre la hauteur de la tour de puissance à partir du premier chiffre. Par exemple, l'entrée 58 signifie une tour de huit cinq, empilés les uns sur les autres comme des cubes.

Ceux dont le cerveau est complètement gonflé de graisse ou qui ne sont occupés qu'à réfléchir à la façon de trouver un chan, de se gonfler ou de se débarrasser de l'acné, doivent se rappeler que les expressions en tétration sont calculées. de haut en bas, ou de droite à gauche. En termes simples, 3 3 3 n'est pas égal à 27 3, mais quand même 3 27 . Maintenant tu vois, mon petit ami poilu, que la tétration est déjà une manière d'écrire assez puissante, permettant d'écrire dans une expression courte des nombres 100 500 fois plus grands que 100 500. Mais ce n'est pas tout, car ce n'est pas un hyperopérateur assez puissant pour calculer le nombre de Graham.

3 . Allons plus loin : l'hyperopérateur de cinquième niveau est la pentation (tétration répétitive). Trois flèches entre les chiffres. C'est là que commencent les conneries, à partir desquelles des gens qui ne sont pas des mathématiciens professionnels crachent sur toutes ces conneries et n'essaient plus de les comprendre. Mais vous n'êtes pas comme eux, n'est-ce pas ? Si vous pensiez que la pentation du nombre 3 se développe en 3 à la puissance 7 625 597 484 987, alors vous vous trompez. Vous n'avez aucune idée à quel point vous vous trompez. Parce que 3 à la puissance 7 625 597 484 987 n'est que 34. Et la pentation est 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…( nombre d'exponentiations - 7 625 597 484 987 fois)…3. Autrement dit, une tour calme de triplés s’avère avoir plus de sept mille milliards et demi d’étages ! Autrement dit, le deuxième chiffre avec trois flèches indique la hauteur de la tour de tétration du premier chiffre. Pour plus de clarté : 34 peut s'écrire 3 3 3 3, ou 3 (3 (3 3)). Et l’essentiel ici est de comprendre que cette tour de tétrations n’est pas une tour de degrés, ici l’escalade est bien plus rapide. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Enfin compris, salope ?! 34 est égal à 3 dans la tétration du nombre, qui est obtenue en calculant la tour de puissance à partir du nombre 3 d'une hauteur de 7 625 597 484 987 étages. En conséquence, si 34 s'écrit comme une tour de puissance de triplets, alors le nombre d'étages de cette tour sera égal au nombre qui serait obtenu lors du calcul d'une tour de puissance d'une hauteur de 7 625 597 484 987 étages. Avez-vous imaginé ? Bien entendu, je n’imaginais pas que de telles quantités ne puissent être comprises d’un seul coup.

Si vous commencez toujours à ne pas comprendre lentement ce qui se passe ici, relisez le paragraphe 2.

4 . Et le dernier hyperopérateur dont nous avons besoin est l’hexagone. Comme vous l'avez peut-être deviné, il y a quatre flèches entre les trois. Il s’agit donc d’une pentation répétée. Le deuxième chiffre, s'il y a quatre flèches, signifie la hauteur de la tour de « pentation ». 33 = 3(33) = 333…33, où le nombre de tétrations est le résultat du calcul de la pentation 33. Si vous ne comprenez toujours rien, relisez les points 3 et 2.
Si nous arrivons à la toute fin de cette chaîne impensable de tétrations et commençons à la calculer, alors le deuxième triplet à partir de la fin sera égal à 7 625 597 484 987 dans la tétration. Et le résultat de la tétrisation du troisième triplet à partir de la fin sera le nombre obtenu en pentant le triple du paragraphe précédent. Et devant nous se trouvent encore des googolplexes et des googolplexes de tétrations répétitives du nombre 3. Ici, il est déjà inutile d'essayer de comprendre quelque chose, de saisir d'une manière ou d'une autre le résultat... Et ici, vous pouvez demander : « Est-ce vraiment le nombre de Graham ? Wow, comme c'est énorme ! Mais non, ce n'est pas le numéro de Graham. Ce n’était qu’un dicton mathématique, et il est insignifiant, infiniment petit comparé au nombre de Graham.

Par conséquent, l'hexagone ne fait qu'ajouter une flèche pisseuse à la pentation, mais le résultat s'avère être plus grand d'un nombre inimaginable d'ordres de grandeur. Et maintenant, en fait, je calcule le nombre de Graham. Le nombre trois dans les exemples a été utilisé pour une raison, car le nombre de Graham est essentiellement constitué de triplets multipliés. Appelons donc le résultat de notre hexaration (33) G1. Ce sera la première étape des calculs. Seulement le premier. Et l’étape suivante accélère la progression, de sorte qu’ajouter un, dix, MILLIONS de flèches entre les chiffres marque le pas. La deuxième étape consiste à calculer G2. Maintenant, nous prenons le résultat de notre hexaration du triple et écrivons une expression où le nombre de flèches de superpuissance sera égal à ce résultat. G2 = 3…(nombre de flèches de superpuissance - G1)…3. Je me demande comment s'appelle l'hyperopérateur de CE niveau ?..

Écrire non seulement le résultat, mais même cet hyperopérateur, n'est plus possible sans abréviation. Et le nombre résultant de son calcul (si, bien sûr, il était possible de le calculer) remplirait à la fois l'Univers et Mondes parallèles, et le sous-espace, et toutes sortes d'autres plans astraux. Et n'oubliez pas qu'en G1 le nombre de flèches était égal à quatre - et c'est déjà un nombre inaccessible pour le calcul et l'enregistrement de la manière habituelle ! Et en G2, ce nombre n’est que le nombre de super-degrés. C'est ça. La progression est incroyablement rapide. Et ce n'est que le début. L'étape suivante consiste à calculer le nombre G3, où le nombre de flèches de superpuissance sera égal à G2 ! De même, ceci est suivi de 62 autres étapes de calcul, où le résultat de chaque étape est uniquement le nombre de flèches de superpuissance de l'étape suivante, et le nombre de Graham est G64 !

Mais le matan donne parfois des résultats pires que n'importe quel médicament.

Pour imaginer d’une manière ou d’une autre l’échelle du nombre, examinons sa notation plus en détail. Un certain préambule s'impose ici, mais, en général, rien ne sera trop compliqué, nous essaierons de tout décrire le plus clairement possible.

1 . Ainsi, en mathématiques, il existe la notion d’« hyperopérateur » pour déterminer le niveau des opérations arithmétiques. L’addition est donc un hyperopérateur de premier niveau. L'hyperopérateur de deuxième niveau est la multiplication. La multiplication est une addition répétée. Autrement dit, un multiplicateur est un nombre qui nous indique combien de fois nous devons ajouter la valeur multipliée. Par exemple : 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. L'hyperopérateur suivant est l'exponentiation, X n = X^n, qui est essentiellement une multiplication répétée. Exemple : 3 3 = 3 3 3 = 27. Écrire 3 3 en notation Knuth ressemblera à 33. Ici, pour plus de clarté, il faut dire que le premier chiffre de l'expression 33 est la valeur avec laquelle on effectue l'action, le nombre de flèches entre les nombres - il s'agit d'une opération arithmétique, dans ce cas, une flèche signifie élever à une puissance. Le deuxième chiffre signifie à quelle puissance le premier chiffre doit être élevé (combien de fois multiplier par lui-même). Par conséquent, si l’expression était 74, cela signifie sept à la puissance quatre. En d’autres termes, 7 doit être multiplié par 7 quatre fois.

2 . L'hyperopérateur du quatrième niveau est la tétration. La tétration est une exponentiation répétée. Dans l'entrée de Knuth, il y a deux flèches entre les chiffres. Exemple : 33 = 3 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987. C'est-à-dire que le deuxième chiffre en présence de deux flèches signifie qu'autant de fois vous devez élever le premier nombre à la puissance lui-même. En d’autres termes, il nous montre la hauteur de la tour de puissance à partir du premier chiffre. Par exemple, l'entrée 58 signifie une tour de huit cinq, empilés les uns sur les autres comme des cubes.

Ceux dont le cerveau est complètement gonflé de graisse ou qui ne sont occupés qu'à réfléchir à la façon de trouver un chan, de se gonfler ou de se débarrasser de l'acné, doivent se rappeler que les expressions en tétration sont calculées. de haut en bas ou de droite à gauche. En termes simples, 3 3 3 n'est pas égal à 27 3, mais quand même 3 27 . Maintenant tu vois, mon stupide petit ami, que la tétration est déjà une manière d'écrire assez puissante, permettant d'écrire des nombres 100 500 fois plus grands que 100 500 lui-même dans une expression courte. Mais ce n'est pas tout, car ce n'est pas un hyperopérateur assez puissant pour calculer le nombre de Graham.

3 . Allons plus loin : l'hyperopérateur de cinquième niveau est la pentation (tétration répétitive). Trois flèches entre les chiffres. C'est là que commencent les conneries, à partir desquelles des gens qui ne sont pas des mathématiciens professionnels crachent sur toutes ces conneries et n'essaient plus de les comprendre. Mais vous n'êtes pas comme eux, n'est-ce pas ? Si vous pensiez que la pentation du nombre 3 se développe en 3 à la puissance 7 625 597 484 987, alors vous vous trompez. Vous n'avez aucune idée à quel point vous vous trompez. Parce que 3 à la puissance 7 625 597 484 987 n'est que 34. Et la pentation est 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…( nombre d'exponentiations - 7 625 597 484 987 fois)…3. Autrement dit, une tour calme de triplés s’avère avoir plus de sept mille milliards et demi d’étages ! Autrement dit, le deuxième chiffre avec trois flèches indique la hauteur de la tour de tétration du premier chiffre. Pour plus de clarté : 34 peut s'écrire 3 3 3 3, ou 3 (3 (3 3)). Et l’essentiel ici est de comprendre que cette tour de tétrations n’est pas une tour de degrés, ici l’escalade est bien plus rapide. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3. Comprenez-vous enfin ? 34 est égal à 3 dans la tétration du nombre, qui est obtenue en calculant la tour de puissance à partir du nombre 3 d'une hauteur de 7 625 597 484 987 étages. En conséquence, si 34 s'écrit comme une tour de puissance de triplets, alors le nombre d'étages de cette tour sera égal au nombre qui serait obtenu lors du calcul d'une tour de puissance d'une hauteur de 7 625 597 484 987 étages. Avez-vous imaginé ? Bien entendu, je n’imaginais pas que de telles quantités ne puissent être comprises d’un seul coup.

Si vous commencez toujours à ne pas comprendre lentement ce qui se passe ici, relisez le paragraphe 2.

4 . Et le dernier hyperopérateur dont nous avons besoin est l’hexagone. Comme vous l'avez peut-être deviné, il y a quatre flèches entre les trois. Il s’agit donc d’une pentation répétée. Le deuxième chiffre, s'il y a quatre flèches, signifie la hauteur de la tour de « pentation ». 33 = 3(33) = 333...33, où le nombre de tétrations est le résultat du calcul de la pentation 33. Si vous ne comprenez toujours rien, relisez les paragraphes 3 et 2. Si on va jusqu'au bout de cette chaîne impensable de tétrations et commencez à la calculer, alors déjà le deuxième triplet de la fin sera égal en tétration à 7 625 597 484 987. Et le résultat de la tétration du troisième triplet de la fin sera le nombre obtenu en pentant le triple dans le paragraphe précédent. Et devant nous se trouvent encore des googolplexes et des googolplexes de tétrations répétitives du nombre 3. Ici, il est déjà inutile d'essayer de comprendre quelque chose, de saisir d'une manière ou d'une autre le résultat... Et ici, vous pouvez demander : « Est-ce vraiment le nombre de Graham ? Wow, comme c'est énorme ! Mais non, ce n'est pas le numéro de Graham. Ce n’était qu’un dicton mathématique, et il est insignifiant, infiniment petit comparé au nombre de Graham.

Cela signifie l'hexagone. Cela ne fait qu’ajouter une flèche à la pentation, mais le résultat s’avère être un nombre inimaginable d’ordres de grandeur supérieur. Et maintenant, en fait, je calcule le nombre de Graham. Le nombre trois dans les exemples a été utilisé pour une raison, car le nombre de Graham est essentiellement constitué de triplets multipliés. Appelons donc le résultat de notre hexaration (33) G1. Ce sera la première étape des calculs. Seulement le premier. Et l’étape suivante accélère la progression, de sorte qu’ajouter un, dix, MILLIONS de flèches entre les chiffres marque le pas. Deuxième étape, calcul de G2. Maintenant, nous prenons le résultat de notre hexaration du triple et écrivons une expression où le nombre de flèches de superpuissance sera égal à ce résultat. G2 = 3…(nombre de flèches de superpuissance - G1)…3. Je me demande comment s'appelle l'hyperopérateur d'un TEL niveau ?.. Écrire non seulement le résultat, mais même cet hyperopérateur n'est plus possible sans abréviation. Et le nombre résultant de son calcul (si, bien sûr, il était possible de le calculer) remplirait de ses nombres l’Univers, les mondes parallèles, le sous-espace et tout autre plan astral. Et n’oubliez pas qu’en G1 le nombre de flèches était égal à 4 ! Et c'est déjà un nombre inaccessible pour le calcul et l'enregistrement de la manière habituelle ! Et en G2, ce nombre n’est que le nombre de super-degrés. C'est ça. La progression est incroyablement rapide. Et ce n'est que le début. L'étape suivante consiste à calculer le nombre G3, où le nombre de flèches de superpuissance sera égal à G2 ! Et de même, après cela, il y a encore 62 étapes de calcul, où le résultat de chaque étape est uniquement le nombre de flèches de la superpuissance de l'étape suivante, et le nombre de Graham est G64 !

Mais le matan donne parfois des résultats pires que n'importe quel médicament.