Suite du sujet, l'équation d'une droite sur un plan est basée sur l'étude d'une droite issue des cours d'algèbre. Cet article fournit des informations générales sur le thème de l'équation d'une droite avec une pente. Examinons les définitions, obtenons l'équation elle-même et identifions le lien avec d'autres types d'équations. Tout sera discuté à l'aide d'exemples de résolution de problèmes.

Avant d'écrire une telle équation, il est nécessaire de définir l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe O x avec leur coefficient angulaire. Supposons qu'un système de coordonnées cartésiennes O x sur le plan soit donné.

Définition 1

L'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe O x, situé dans le système de coordonnées cartésiennes O x y sur le plan, c'est l'angle qui est mesuré de la direction positive O x à la droite dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Lorsque la ligne est parallèle à O x ou y coïncide, l'angle d'inclinaison est 0. Ensuite, l'angle d'inclinaison de la droite donnée α est défini sur l'intervalle [ 0 , π) .

Définition 2

Pente directe est la tangente de l'angle d'inclinaison d'une droite donnée.

La désignation standard est k. À partir de la définition, nous trouvons que k = t g α . Lorsque la droite est parallèle à Ox, on dit que la pente n'existe pas, puisqu'elle va vers l'infini.

La pente est positive lorsque le graphique de la fonction augmente et vice versa. La figure montre diverses variantes d'emplacement angle droit par rapport au système de coordonnées avec la valeur du coefficient.

Pour trouver cet angle, il faut appliquer la définition du coefficient angulaire et calculer la tangente de l'angle d'inclinaison dans le plan.

Solution

De la condition nous avons que α = 120°. Par définition, la pente doit être calculée. Trouvons-le à partir de la formule k = t g α = 120 = - 3.

Répondre: k = - 3 .

Si le coefficient angulaire est connu et qu'il est nécessaire de trouver l'angle d'inclinaison par rapport à l'axe des abscisses, alors la valeur du coefficient angulaire doit être prise en compte. Si k > 0, alors l'angle droit est aigu et se trouve par la formule α = a r c t g k. Si k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Exemple 2

Déterminez l'angle d'inclinaison de la droite donnée par rapport à O x avec un coefficient angulaire de 3.

Solution

De la condition nous disons que le coefficient angulaire est positif, ce qui signifie que l'angle d'inclinaison par rapport à O x est inférieur à 90 degrés. Les calculs sont effectués à l'aide de la formule α = a r c t g k = a r c t g 3.

Réponse : α = a r c t g 3 .

Exemple 3

Trouvez l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe O x si la pente = - 1 3.

Solution

Si nous prenons la lettre k comme désignation du coefficient angulaire, alors α est l'angle d'inclinaison par rapport à une ligne droite donnée dans la direction positive O x. Donc k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Répondre: 5π6 .

Une équation de la forme y = k x + b, où k est la pente et b est un nombre réel, est appelée l'équation d'une droite avec une pente. L'équation est typique de toute ligne droite qui n'est pas parallèle à l'axe O y.

Si l'on considère en détail une ligne droite sur un plan dans un système de coordonnées fixe, qui est spécifiée par une équation avec un coefficient angulaire qui a la forme y = k x + b. Dans ce cas, cela signifie que l’équation correspond aux coordonnées de n’importe quel point de la ligne. Si l'on substitue les coordonnées du point M, M 1 (x 1, y 1) dans l'équation y = k x + b, alors dans ce cas la ligne passera par ce point, sinon le point n'appartient pas à la ligne.

Exemple 4

Une droite de pente y = 1 3 x - 1 est donnée. Calculez si les points M 1 (3, 0) et M 2 (2, - 2) appartiennent à la droite donnée.

Solution

Il faut substituer les coordonnées du point M 1 (3, 0) dans l'équation donnée, on obtient alors 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. L’égalité est vraie, ce qui signifie que le point appartient à la droite.

Si nous substituons les coordonnées du point M 2 (2, - 2), alors nous obtenons une égalité incorrecte de la forme - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. On peut conclure que le point M 2 n'appartient pas à la droite.

Répondre: M 1 appartient à la lignée, mais pas M 2.

On sait que la droite est définie par l'équation y = k · x + b, passant par M 1 (0, b), par substitution on obtient une égalité de la forme b = k · 0 + b ⇔ b = b. De là on peut conclure que l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire y = k x + b sur le plan définit une droite qui passe par le point 0, b. Il forme un angle α avec la direction positive de l'axe O x, où k = t g α.

Considérons, à titre d'exemple, une droite définie à l'aide d'un coefficient angulaire spécifié sous la forme y = 3 x - 1. On obtient que la droite passera par le point de coordonnée 0, - 1 avec une pente de α = a r c t g 3 = π 3 radians dans le sens positif de l'axe O x. Cela montre que le coefficient est de 3.

Équation d'une droite avec une pente passant par un point donné

Il faut résoudre un problème où il faut obtenir l'équation d'une droite de pente donnée passant par le point M 1 (x 1, y 1).

L'égalité y 1 = k · x + b peut être considérée comme valide, puisque la droite passe par le point M 1 (x 1, y 1). Pour supprimer le chiffre b, il faut partir de la gauche et bonnes pièces soustraire l’équation de la pente. Il s'ensuit que y - y 1 = k · (x - x 1) . Cette égalité est appelée l'équation d'une droite de pente donnée k, passant par les coordonnées du point M 1 (x 1, y 1).

Exemple 5

Écrire une équation pour une droite passant par le point M 1 de coordonnées (4, - 1), de coefficient angulaire égal à - 2.

Solution

Par condition nous avons que x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. A partir de là, l'équation de la droite s'écrira comme suit : y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Répondre: y = - 2 x + 7 .

Exemple 6

Écrivez l'équation d'une droite à coefficient angulaire qui passe par le point M 1 de coordonnées (3, 5), parallèle à la droite y = 2 x - 2.

Solution

Par condition, on a que les droites parallèles ont des angles d'inclinaison identiques, ce qui signifie que les coefficients angulaires sont égaux. Pour trouver la pente de cette équation, vous devez vous rappeler sa formule de base y = 2 x - 2, il s'ensuit que k = 2. On compose une équation avec le coefficient de pente et on obtient :

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Répondre: y = 2 x - 1 .

Transition d'une équation de ligne droite avec une pente à d'autres types d'équations de ligne droite et inversement

Cette équation n’est pas toujours applicable à la résolution de problèmes, car elle n’est pas écrite de manière très pratique. Pour ce faire, vous devez le présenter sous une forme différente. Par exemple, une équation de la forme y = k x + b ne permet pas d'écrire les coordonnées du vecteur directeur d'une droite ou les coordonnées d'un vecteur normal. Pour ce faire, vous devez apprendre à représenter avec des équations d'un type différent.

On peut avoir équation canonique droite sur un plan en utilisant l’équation d’une droite avec une pente. Nous obtenons x - x 1 a x = y - y 1 a y . Il faut déplacer le terme b vers la gauche et diviser par l'expression de l'inégalité résultante. Nous obtenons alors une équation de la forme y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

L'équation d'une droite avec une pente est devenue l'équation canonique de cette droite.

Exemple 7

Amener l'équation d'une droite avec un coefficient angulaire y = - 3 x + 12 sous forme canonique.

Solution

Calculons-le et présentons-le sous la forme d'une équation canonique d'une droite. On obtient une équation de la forme :

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Réponse : x 1 = y - 12 - 3.

L'équation générale d'une droite est la plus simple à obtenir à partir de y = k · x + b, mais pour cela il faut faire des transformations : y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Une transition s'opère à partir de équation générale ligne droite vers des équations d’un autre type.

Exemple 8

Étant donné une équation en ligne droite de la forme y = 1 7 x - 2 . Découvrez si le vecteur de coordonnées a → = (- 1, 7) est un vecteur ligne normale ?

Solution

Pour résoudre il faut passer à une autre forme de cette équation, pour cela on écrit :

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Les coefficients devant les variables sont les coordonnées du vecteur normal de la ligne. Écrivons-le ainsi : n → = 1 7, - 1, donc 1 7 x - y - 2 = 0. Il est clair que le vecteur a → = (- 1, 7) est colinéaire au vecteur n → = 1 7, - 1, puisque nous avons la bonne relation a → = - 7 · n →. Il s'ensuit que le vecteur original a → = - 1, 7 est un vecteur normal de la droite 1 7 x - y - 2 = 0, ce qui signifie qu'il est considéré comme un vecteur normal pour la droite y = 1 7 x - 2.

Répondre: Est

Résolvons le problème inverse de celui-ci.

Il faut passer de la forme générale de l'équation A x + B y + C = 0, où B ≠ 0, à une équation à coefficient angulaire. Pour ce faire, nous résolvons l’équation de y. On obtient A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Le résultat est une équation avec une pente égale à - A B .

Exemple 9

Une équation en ligne droite de la forme 2 3 x - 4 y + 1 = 0 est donnée. Obtenir l'équation d'une droite donnée avec un coefficient angulaire.

Solution

En fonction de la condition, il faut résoudre pour y, on obtient alors une équation de la forme :

2 3 x - 4 oui + 1 = 0 ⇔ 4 oui = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Réponse : y = 1 6 x + 1 4 .

Une équation de la forme x a + y b = 1 est résolue de la même manière, appelée équation d'une droite en segments, ou type canonique x - x 1 une x = y - y 1 une y . Nous devons le résoudre pour y, alors seulement nous obtenons une équation avec la pente :

x une + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x une ⇔ y = - b une · x + b.

L'équation canonique peut être réduite à une forme avec un coefficient angulaire. Pour ça:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = une y une x · x - une y une x · x 1 + y 1

Exemple 10

Il existe une droite donnée par l'équation x 2 + y - 3 = 1. Réduire sous la forme d'une équation avec un coefficient angulaire.

Solution.

En fonction de la condition, il faut transformer, on obtient alors une équation de la forme _formule_. Les deux côtés de l'équation doivent être multipliés par - 3 pour obtenir l'équation de pente requise. En transformant, on obtient :

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Répondre: y = 3 2 x - 3 .

Exemple 11

Réduisez l'équation de la ligne droite de la forme x - 2 2 = y + 1 5 à une forme avec un coefficient angulaire.

Solution

Il faut calculer l'expression x - 2 2 = y + 1 5 en proportion. Nous obtenons que 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Vous devez maintenant l'activer complètement, pour ce faire :

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Réponse : y = 5 2 x - 6 .

Pour résoudre de tels problèmes, les équations paramétriques de la droite de la forme x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ doivent être réduites à l'équation canonique de la droite, seulement après cela, on peut passer à l'équation avec le coefficient de pente.

Exemple 12

Trouver la pente de la droite si elle est donnée équations paramétriques x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Solution

Il faut passer de la vue paramétrique à la vue pente. Pour ce faire, on retrouve l'équation canonique à partir de l'équation paramétrique donnée :

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Il faut maintenant résoudre cette égalité par rapport à y pour obtenir l'équation d'une droite à coefficient angulaire. Pour ce faire, écrivons-le ainsi :

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Il s’ensuit que la pente de la droite est de 2. Ceci s'écrit k = 2.

Répondre: k = 2.

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Numériquement égal à la tangente de l'angle (constituant la plus petite rotation de l'axe Ox à l'axe Oy) entre la direction positive de l'axe des abscisses et la droite donnée.

La tangente d’un angle peut être calculée comme le rapport du côté opposé au côté adjacent. k est toujours égal à , c'est-à-dire la dérivée de l'équation d'une droite par rapport à X.

Pour les valeurs positives de la pente k et coefficient de décalage nul b la ligne droite se situera dans les premier et troisième quadrants (dans lesquels X Et ouià la fois positif et négatif). Dans le même temps, de grandes valeurs du coefficient angulaire k une ligne droite plus raide correspondra, et une ligne plus plate correspondra à des lignes plus petites.

Droit et perpendiculaire si , et parallèle si .

Remarques

Fondation Wikimédia. 2010.

• Iphit (roi d'Elis)
• Liste des décrets du Président de la Fédération de Russie « Sur l'attribution des récompenses d'État » pour 2001

Voyez ce qu'est « Coefficient angulaire d'une ligne droite » dans d'autres dictionnaires :

pente (directe)- - Thèmes industrie pétrolière et gazière FR pente... Guide du traducteur technique

Facteur de pente- nombre (mathématique) k dans l'équation d'une droite sur le plan y = kx+b (voir Géométrie analytique), caractérisant la pente de la droite par rapport à l'axe des x. Dans le système de coordonnées rectangulaires du Royaume-Uni, k = tan φ, où φ est l'angle entre ... ... Grande Encyclopédie Soviétique

Équations d'une droite

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Temps de réaction- La mesure du temps de réaction (RT) est probablement le sujet le plus vénérable de la psychologie empirique. Elle trouve son origine dans le domaine de l'astronomie, en 1823, avec la mesure des différences individuelles dans la vitesse de perception d'une étoile traversant une ligne de télescope. Ces … Encyclopédie psychologique

ANALYSE MATHEMATIQUE- une branche des mathématiques qui fournit des méthodes de recherche quantitative sur divers processus de changement ; traite de l'étude du taux de changement (calcul différentiel) et de la détermination des longueurs de courbes, des aires et des volumes de figures limités par des contours courbes et ... Encyclopédie de Collier

Droit- Ce terme a d'autres significations, voir Direct (significations). La ligne droite est l’un des concepts fondamentaux de la géométrie, c’est-à-dire qu’elle n’a pas de définition universelle exacte. Dans une présentation systématique de la géométrie, une ligne droite est généralement considérée comme une... ... Wikipédia

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Arbre mineur- A ne pas confondre avec le terme « Ellipsis ». Ellipse et ses foyers Ellipse (grec ancien ἔλλειψις déficience, au sens de manque d'excentricité jusqu'à 1) le lieu des points M du plan euclidien pour lequel la somme des distances à deux points donnés est F1... ... Wikipédia

En mathématiques, l'un des paramètres qui décrit la position d'une droite sur le plan cartésien est le coefficient angulaire de cette droite. Ce paramètre caractérise la pente de la droite par rapport à l'axe des abscisses. Pour comprendre comment trouver la pente, rappelez d'abord la forme générale de l'équation d'une droite dans le système de coordonnées XY.

DANS vue générale toute ligne droite peut être représentée par l'expression ax+by=c, où a, b et c sont des nombres réels arbitraires, mais toujours a 2 + b 2 ≠ 0.

En utilisant des transformations simples, une telle équation peut être amenée à la forme y=kx+d, dans laquelle k et d sont des nombres réels. Le nombre k est la pente, et l'équation d'une droite de ce type est appelée équation avec pente. Il s'avère que pour trouver la pente, il suffit de réduire l'équation originale à la forme indiquée ci-dessus. Pour une compréhension plus complète, considérons un exemple spécifique :

Problème : Trouver la pente de la droite donnée par l'équation 36x - 18y = 108

Solution : Transformons l'équation d'origine.

Réponse : La pente requise de cette ligne est de 2.

Si, lors de la transformation de l'équation, nous avons reçu une expression comme x = const et que par conséquent nous ne pouvons pas représenter y en fonction de x, alors nous avons affaire à une droite parallèle à l'axe X. Le coefficient angulaire d'une telle une ligne droite est égale à l'infini.

Pour les droites exprimées par une équation comme y = const, la pente est nulle. Ceci est typique des lignes droites parallèles à l’axe des abscisses. Par exemple:

Problème : Trouver la pente de la droite donnée par l'équation 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solution : Ramenons l'équation originale à sa forme générale

24x + 12 ans - 12 ans + 28 = 4

Il est impossible d'exprimer y à partir de l'expression résultante, donc le coefficient angulaire de cette ligne est égal à l'infini et la ligne elle-même sera parallèle à l'axe Y.

Signification géométrique

Pour une meilleure compréhension, regardons l'image :

Sur la figure, nous voyons un graphique d'une fonction comme y = kx. Pour simplifier, prenons le coefficient c = 0. Dans le triangle OAB, le rapport du côté BA sur AO sera égal au coefficient angulaire k. En même temps, le rapport VA/AO est la tangente angle aiguα dans triangle rectangle OAV. Il s'avère que le coefficient angulaire de la droite est égal à la tangente de l'angle que fait cette droite avec l'axe des abscisses de la grille de coordonnées.

En résolvant le problème de savoir comment trouver le coefficient angulaire d'une ligne droite, nous trouvons la tangente de l'angle entre celle-ci et l'axe X de la grille de coordonnées. Cas limites, lorsque la ligne en question est parallèle aux axes de coordonnées, confirmez ce qui précède. En effet, pour une droite décrite par l'équation y=const, l'angle entre elle et l'axe des abscisses est nul. La tangente de l'angle zéro est également nulle et la pente est également nulle.

Pour les droites perpendiculaires à l’axe des x et décrites par l’équation x=const, l’angle entre elles et l’axe des X est de 90 degrés. La tangente d'un angle droit est égale à l'infini, et le coefficient angulaire de droites similaires est également égal à l'infini, ce qui confirme ce qui a été écrit ci-dessus.

Pente tangente

Une tâche courante souvent rencontrée dans la pratique consiste également à trouver la pente d'une tangente au graphique d'une fonction en un certain point. Une tangente est une ligne droite, la notion de pente lui est donc également applicable.

Pour savoir comment trouver la pente d’une tangente, il va falloir rappeler la notion de dérivée. La dérivée de toute fonction en un certain point est une constante numériquement égale à la tangente de l'angle formé entre la tangente au point spécifié au graphique de cette fonction et l'axe des abscisses. Il s'avère que pour déterminer le coefficient angulaire de la tangente au point x 0, nous devons calculer la valeur de la dérivée de la fonction d'origine en ce point k = f"(x 0). Regardons l'exemple :

Problème : Trouver la pente de la droite tangente à la fonction y = 12x 2 + 2xe x en x = 0,1.

Solution : trouver la dérivée de la fonction d'origine sous forme générale

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Réponse : La pente requise au point x = 0,1 est de 4,831

Les problèmes liés à la recherche de la dérivée d'une tangente sont inclus dans l'examen d'État unifié de mathématiques et s'y retrouvent chaque année. Parallèlement, les statistiques dernières années montre que de telles tâches posent certaines difficultés aux diplômés. Par conséquent, si un élève espère obtenir des notes décentes basées sur réussir l'examen d'État unifié, alors il doit absolument apprendre à faire face aux problèmes de la section « Le coefficient angulaire d'une tangente comme valeur de la dérivée au point de tangence », préparée par les spécialistes du portail pédagogique de Shkolkovo. Ayant compris l'algorithme permettant de les résoudre, l'étudiant sera en mesure de réussir le test de certification.

Moments de base

Commencer avec une solution Problèmes liés à l'examen d'État unifiéà ce sujet, il faut rappeler la définition de base : la dérivée d'une fonction en un point est égale à la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point. C'est quoi signification géométrique dérivé.

Il existe une autre définition importante qui doit être actualisée. Cela ressemble à ceci : le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe des abscisses.

Quels autres points importants méritent d’être notés dans ce sujet ? Lors de la résolution de problèmes pour trouver la dérivée lors de l'examen d'État unifié, il est nécessaire de se rappeler que l'angle formé par la tangente peut être inférieur, supérieur à 90 degrés ou égal à zéro.

Comment se préparer à l'examen ?

Pour que les tâches de l'examen d'État unifié sur le thème « Le coefficient angulaire d'une tangente comme valeur de la dérivée au point de tangence » vous soient confiées assez facilement, lors de la préparation de l'épreuve finale, utilisez les informations sur ce section sur le portail éducatif Shkolkovo. Vous trouverez ici le matériel théorique nécessaire, rassemblé et clairement présenté par nos spécialistes, et vous pourrez également vous entraîner à réaliser les exercices.

Pour chaque tâche, par exemple des problèmes sur le thème « Le coefficient angulaire d'une tangente comme tangente de l'angle d'inclinaison », nous avons noté la réponse correcte et l'algorithme de solution. Dans le même temps, les étudiants peuvent effectuer en ligne des exercices de différents niveaux de difficulté. Si nécessaire, la tâche peut être enregistrée dans la section « Favoris » afin que vous puissiez ultérieurement discuter de sa solution avec l'enseignant.

Le thème « Le coefficient angulaire d'une tangente comme tangente de l'angle d'inclinaison » se voit confier plusieurs tâches lors de l'examen de certification. Selon son état, le diplômé peut être amené à fournir soit une réponse complète, soit une réponse courte. En préparation pour réussir l'examen d'État unifié En mathématiques, l'élève doit impérativement répéter des problèmes dans lesquels il est nécessaire de calculer le coefficient angulaire d'une tangente.

Cela vous aidera à le faire portail éducatif"Chkolkovo". Nos spécialistes ont préparé et présenté du matériel théorique et pratique de la manière la plus accessible possible. Après s'être familiarisés avec celui-ci, les diplômés de tout niveau de formation seront capables de résoudre avec succès des problèmes liés aux dérivées dans lesquels il est nécessaire de trouver la tangente de l'angle tangent.

Moments de base

Pour trouver le bon et décision rationnelle des tâches similaires dans l'examen d'État unifié doivent être rappelées définition de base: La dérivée représente le taux de changement d'une fonction ; il est égal à la tangente de l'angle tangent tracé au graphique de la fonction en un certain point. Il est tout aussi important de terminer le dessin. Il vous permettra de trouver la bonne solution aux problèmes USE sur la dérivée, dans lesquels vous devez calculer la tangente de l'angle tangent. Pour plus de clarté, il est préférable de tracer le graphique sur le plan OXY.

Si vous vous êtes déjà familiarisé avec le matériel de base sur le thème des dérivées et que vous êtes prêt à commencer à résoudre des problèmes de calcul de la tangente de l'angle tangent, tels que Travaux d'examen d'État unifié, vous pouvez le faire en ligne. Pour chaque tâche, par exemple des problèmes sur le thème « Relation d'une dérivée avec la vitesse et l'accélération d'un corps », nous avons noté la bonne réponse et l'algorithme de solution. Dans le même temps, les étudiants peuvent s’entraîner à effectuer des tâches de différents niveaux de complexité. Si nécessaire, l’exercice peut être enregistré dans la section « Favoris » afin que vous puissiez discuter ultérieurement de la solution avec le professeur.