Considérons un certain plan π et un point arbitraire M 0 dans l'espace. Choisissons pour l'avion vecteur normal unitaire n avec le début en un certain point M 1 ∈ π, et soit p(M 0 ,π) la distance du point M 0 au plan π. Puis (Fig. 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)
puisque |n| = 1.
Si le plan π est donné dans système de coordonnées rectangulaires avec son équation générale Ax + By + Cz + D = 0, alors son vecteur normal est le vecteur de coordonnées (A ; B ; C) et on peut choisir
Soient (x 0 ; y 0 ; z 0) et (x 1 ; y 1 ; z 1) les coordonnées des points M 0 et M 1 . Alors l'égalité Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 est vraie, puisque le point M 1 appartient au plan, et les coordonnées du vecteur M 1 M 0 peuvent être trouvées : M 1 M 0 = (x 0 - x 1 ; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ). Enregistrement produit scalaire nM 1 M 0 sous forme de coordonnées et en transformant (5.8), on obtient
puisque Axe 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Ainsi, pour calculer la distance d'un point à un plan, vous devez substituer les coordonnées du point dans l'équation générale du plan, puis valeur absolue diviser le résultat par le facteur de normalisation, égal à la longueur le vecteur normal correspondant.
, Concours "Présentation pour la leçon"
Classe: 11
Présentation de la leçon
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Objectifs:
- généralisation et systématisation des connaissances et des compétences des étudiants ;
- développement de compétences pour analyser, comparer, tirer des conclusions.
Équipement:
- projecteur multimédia;
- ordinateur;
- feuilles avec des textes problématiques
PROGRÈS DE LA CLASSE
I. Moment organisationnel
II. Étape de mise à jour des connaissances(diapositive 2)
Nous répétons comment la distance d'un point à un plan est déterminée
III. Conférence(diapositives 3 à 15)
En classe, nous verrons différentes manières trouver la distance d'un point à un plan.
Première méthode : calcul étape par étape
Distance du point M au plan α :
– égale à la distance au plan α d'un point arbitraire P situé sur une droite a, qui passe par le point M et est parallèle au plan α ;
– est égale à la distance au plan α d'un point arbitraire P situé sur le plan β, qui passe par le point M et est parallèle au plan α.
Nous allons résoudre les problèmes suivants :
№1. Dans le cube A...D 1, trouvez la distance du point C 1 au plan AB 1 C.
Il reste à calculer la valeur de la longueur du segment O 1 N.
№2. Dans un prisme hexagonal régulier A...F 1, dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance du point A au plan DEA 1.
Méthode suivante : méthode volumique.
Si le volume de la pyramide ABCM est égal à V, alors la distance du point M au plan α contenant ∆ABC est calculée par la formule ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Lors de la résolution de problèmes, nous utilisons l'égalité des volumes d'un chiffre, exprimée de deux manières différentes.
Résolvons le problème suivant :
№3. L'arête AD de la pyramide DABC est perpendiculaire au plan de base ABC. Trouver la distance de A au plan passant par les milieux des arêtes AB, AC et AD, si.
Lors de la résolution de problèmes méthode de coordonnées la distance du point M au plan α peut être calculée à l'aide de la formule ρ(M; α) = 
, où M(x 0; y 0; z 0), et le plan est donné par l'équation ax + by + cz + d = 0
Résolvons le problème suivant :
№4. DANS cube unitaire A…D 1 trouve la distance du point A 1 au plan BDC 1.
Introduisons un système de coordonnées avec l'origine au point A, l'axe y s'étendra le long du bord AB, l'axe x le long du bord AD et l'axe z le long du bord AA 1. Puis les coordonnées des points B (0 ; 1 ; 0) D (1 ; 0 ; 0 ;) C 1 (1 ; 1 ; 1)
Créons une équation pour un plan passant par les points B, D, C 1.
Alors – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Donc ρ = 
La méthode suivante qui peut être utilisée pour résoudre des problèmes de ce type est méthode tâches de support.
L'application de cette méthode consiste à utiliser des problèmes de référence connus, formulés sous forme de théorèmes.
Résolvons le problème suivant :
№5. Dans un cube unité A...D 1, trouvez la distance du point D 1 au plan AB 1 C.
Considérons l'application méthode vectorielle.
№6. Dans un cube unité A...D 1, trouvez la distance du point A 1 au plan BDC 1.
Nous avons donc examiné différentes méthodes pouvant être utilisées pour résoudre ce type de problème. Le choix d'une méthode ou d'une autre dépend de la tâche spécifique et de vos préférences.
IV. Travail de groupe
Essayez de résoudre le problème de différentes manières.
№1. L'arête du cube A...D 1 est égale à . Trouvez la distance entre le sommet C et le plan BDC 1.
№2. Dans un tétraèdre régulier ABCD avec une arête, trouvez la distance du point A au plan BDC
№3. Dans un prisme triangulaire régulier ABCA 1 B 1 C 1 dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance de A au plan BCA 1.
№4. Dans une pyramide quadrilatère régulière SABCD, dont toutes les arêtes sont égales à 1, trouvez la distance de A au plan SCD.
V. Résumé de la leçon, devoirs, réflexion
Qu'il y ait un avion 
. Dessinons une normale 
passant par l'origine des coordonnées O. Soit donné 
– les angles formés par la normale 
avec des axes de coordonnées. 
. Laisser 
– longueur du segment normal 
jusqu'à ce qu'il croise l'avion. En supposant que les cosinus directeurs de la normale sont connus 
, on dérive l'équation du plan 
.
Laisser 
) est un point arbitraire sur le plan. Le vecteur normal unitaire a des coordonnées. Trouvons la projection du vecteur 
À la normale.
Depuis le point M appartient à l'avion, alors
.
C'est l'équation d'un plan donné, appelée normale .
Distance du point au plan
Qu'un avion soit donné 
,M*
– point dans l’espace, d
– sa distance à l'avion.
Définition.
Déviation
points M* de l'avion s'appelle le numéro ( +
d),
Si M*
se trouve de l’autre côté du plan où se trouve la direction positive des points normaux 
, et le nombre (- d), si le point est situé de l'autre côté du plan :
.
Théorème.
Laisse l'avion 
avec unité normale 
est donné par l'équation normale :
Laisser M*
– point dans l'espace Déviation t. M* depuis le plan est donné par l'expression
Preuve. Projection t. 
* nous désignons par normal Q.
Déviation ponctuelle M* de l'avion est égal
.
Règle. Trouver déviation
T. M* depuis le plan, vous devez substituer les coordonnées t dans l'équation normale du plan. M*
. La distance d'un point à un plan est 
.
Réduire l'équation du plan général à la forme normale
Soit le même plan défini par deux équations :
Équation générale
Équation normale.
Puisque les deux équations définissent le même plan, leurs coefficients sont proportionnels :
Mettons au carré les trois premières égalités et additionnons-les :
De là, nous trouverons 
– facteur normalisant :
. (10)
En multipliant l'équation générale du plan par un facteur normalisant, on obtient l'équation normale du plan :
Exemples de problèmes sur le thème « Avion ».
Exemple 1. Créer une équation du plan 
passant par un point donné 
(2,1,-1) et parallèle au plan.
Solution. Normal au plan 
:
. Puisque les plans sont parallèles, alors la normale 
est également normal au plan souhaité 
. En utilisant l'équation d'un plan passant par un point donné (3), on obtient pour le plan 
l'équation:
Répondre:
Exemple 2. La base d'une perpendiculaire tombée de l'origine à un plan 
, c'est le but 
. Trouver l'équation du plan 
.
Solution. Vecteur 
c'est normal pour l'avion 
. Point M 0
appartient à l'avion. Vous pouvez utiliser l'équation d'un plan passant par un point donné (3) :
Répondre:
Exemple 3. Construire un avion 
, en passant par les points 
et perpendiculaire au plan 
:.
Par conséquent, pour un certain point M
(X,
oui,
z) appartenait à l'avion 
, il faut que trois vecteurs 
étaient coplanaires :
=0.
Il reste à révéler le déterminant et à amener l'expression résultante sous la forme de l'équation générale (1).
Exemple 4. Avion 
donné par l'équation générale :
Trouver un écart de point 
d'un avion donné.
Solution. Ramenons l'équation du plan sous forme normale.
,
.
Remplaçons les coordonnées du point dans l'équation normale résultante M*.
.
Répondre: 
.
Exemple 5. L'avion coupe-t-il le segment ?
Solution. Couper UN B traversé l'avion, déviations 
Et 
de l'avion 
doit avoir des signes différents :
.
Exemple 6. L'intersection de trois plans en un point.
.
Le système a une solution unique, les trois plans ont donc un point commun.
Exemple 7. Trouver des bissectrices angle dièdre, formé de deux plans donnés.
Laisser 
Et 
- déviation d'un certain point 
du premier et du deuxième plan.
Sur l'un des plans bissecteurs (correspondant à l'angle dans lequel se trouve l'origine des coordonnées), ces écarts sont égaux en grandeur et en signe, et sur l'autre ils sont égaux en grandeur et opposés en signe.
C'est l'équation du premier plan bissecteur.
C'est l'équation du deuxième plan bissecteur.
Exemple 8. Déterminer l'emplacement de deux points donnés 
Et 
par rapport aux angles dièdres formés par ces plans.
Laisser 
. Déterminer : il y a des points dans un coin, adjacent ou vertical 
Et 
.
UN). Si 
Et 
s'allonger sur un côté de 
et de 
, alors ils se trouvent dans le même angle dièdre.
b). Si 
Et 
s'allonger sur un côté de 
et différent de 
, alors ils se trouvent dans les coins adjacents.
V). Si 
Et 
s'allonger différents côtés depuis 
Et 
, alors ils se trouvent dans les coins verticaux.
Systèmes de coordonnées 3
Lignes dans un avion 8
Lignes de première commande. Directement dans un avion. dix
Angle entre lignes droites 12
Équation générale de la droite 13
Équation incomplète du premier degré 14
Équation d'une droite « en segments » 14
Etude conjointe des équations de deux droites 15
Normal à la ligne 15
Angle entre deux droites 16
Équation canonique de la ligne 16
Equations paramétriques d'une droite 17
Équation normale (normalisée) d'une droite 18
Distance du point à la ligne 19
Équation d'un crayon de droites 20
Exemples de problèmes sur le thème « ligne dans un avion » 22
Produit vectoriel des vecteurs 24
Propriétés produit vectoriel 24
Propriétés géométriques 24
Propriétés algébriques 25
Exprimer le produit vectoriel à travers les coordonnées des facteurs 26
Produit mixte de trois vecteurs 28
Signification géométrique produit mélangé 28
Exprimer un produit mixte par des coordonnées vectorielles 29
Exemples de résolution de problèmes
Cet article parle de déterminer la distance entre un point et un plan. Analysons la méthode des coordonnées, qui nous permettra de trouver la distance de point donné espace tridimensionnel. Pour renforcer cela, regardons des exemples de plusieurs tâches.
La distance d'un point à un plan est trouvée à l'aide de la distance connue d'un point à un point, où l'un d'eux est donné et l'autre est une projection sur un plan donné.
Lorsqu'un point M 1 avec un plan χ est spécifié dans l'espace, alors une ligne droite perpendiculaire au plan peut être tracée passant par le point. H 1 est leur point commun d'intersection. De là on obtient que le segment M 1 H 1 est une perpendiculaire tracée du point M 1 au plan χ, où le point H 1 est la base de la perpendiculaire.
Définition 1
La distance d'un point donné à la base d'une perpendiculaire tracée d'un point donné à un plan donné est appelée.
La définition peut être écrite sous différentes formulations.
Définition 2
Distance du point au plan est la longueur de la perpendiculaire tracée d'un point donné à un plan donné.
La distance du point M 1 au plan χ est déterminée comme suit : la distance du point M 1 au plan χ sera la plus petite d'un point donné à n'importe quel point du plan. Si le point H 2 est situé dans le plan χ et n'est pas égal au point H 2, alors on obtient triangle rectangle tapez M 2 H 1 H 2 , qui est rectangulaire, où il y a une jambe M 2 H 1, M 2 H 2 – l'hypoténuse. Cela signifie qu'il s'ensuit que M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 est considéré comme incliné, qui est tiré du point M 1 jusqu'au plan χ. Nous avons que la perpendiculaire tirée d'un point donné au plan est inférieure à l'inclinée tirée du point au plan donné. Regardons ce cas dans la figure ci-dessous.
Distance d'un point à un plan - théorie, exemples, solutions
Il y a un certain nombre problèmes géométriques, dont les solutions doivent contenir la distance du point au plan. Il peut y avoir différentes manières de l'identifier. Pour résoudre, utilisez le théorème de Pythagore ou similarité des triangles. Lorsque, selon la condition, il est nécessaire de calculer la distance d'un point à un plan, donnée dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace tridimensionnel, elle est résolue par la méthode des coordonnées. Ce paragraphe traite de cette méthode.
D'après les conditions du problème, on a qu'un point dans l'espace tridimensionnel de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) de plan χ est donné ; il faut déterminer la distance de M 1 à le plan χ. Plusieurs méthodes de résolution sont utilisées pour résoudre ce problème.
Première façon
Cette méthode est basée sur la recherche de la distance d'un point à un plan en utilisant les coordonnées du point H 1, qui sont la base de la perpendiculaire du point M 1 au plan χ. Ensuite, vous devez calculer la distance entre M 1 et H 1.
Pour résoudre le problème de la deuxième manière, utilisez l’équation normale d’un plan donné.
Deuxième façon
Par condition, nous avons que H 1 est la base de la perpendiculaire qui a été abaissée du point M 1 au plan χ. Ensuite on détermine les coordonnées (x 2, y 2, z 2) du point H 1. La distance requise de M 1 au plan χ est trouvée par la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, où M 1 (x 1, y 1, z 1) et H 1 (x 2, y 2, z 2). Pour résoudre, vous devez connaître les coordonnées du point H 1.
On a que H 1 est le point d'intersection du plan χ avec la droite a, qui passe par le point M 1 situé perpendiculairement au plan χ. Il s'ensuit qu'il est nécessaire d'établir une équation pour une droite passant par un point donné perpendiculaire à un plan donné. C'est alors que l'on pourra déterminer les coordonnées du point H 1. Il faut calculer les coordonnées du point d'intersection de la droite et du plan.
Algorithme pour trouver la distance d'un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) au plan χ :
Définition 3
- établir une équation de la droite a passant par le point M 1 et en même temps
- perpendiculaire au plan χ ;
- trouver et calculer les coordonnées (x 2 , y 2 , z 2) du point H 1, qui sont des points
- intersection de la ligne a avec le plan χ ;
- calculez la distance de M 1 à χ en utilisant la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.
Troisième voie
Dans un système de coordonnées rectangulaires donné O x y z il existe un plan χ, alors on obtient une équation normale du plan de la forme cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. De là, nous obtenons que la distance M 1 H 1 avec le point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) tracé au plan χ, calculée par la formule M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Cette formule est valable, puisqu'elle a été établie grâce au théorème.
Théorème
Si le point M 1 (x 1 , y 1 , z 1) est donné dans espace tridimensionnel, ayant une équation normale du plan χ de la forme cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, alors la distance du point au plan M 1 H 1 est calculée à partir de la formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, puisque x = x 1, y = y 1, z = z 1.
Preuve
La preuve du théorème revient à trouver la distance d'un point à une ligne. De là, nous obtenons que la distance de M 1 au plan χ est le module de la différence entre la projection numérique du rayon vecteur M 1 avec la distance de l'origine au plan χ. On obtient alors l'expression M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Le vecteur normal du plan χ a la forme n → = cos α, cos β, cos γ, et sa longueur est égale à un, n p n → O M → est la projection numérique du vecteur O M → = (x 1, y 1 , z 1) dans la direction déterminée par le vecteur n → .
Appliquons la formule de calcul des vecteurs scalaires. Ensuite, nous obtenons une expression pour trouver un vecteur de la forme n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , puisque n → = cos α , cos β , cos γ · z et O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . La forme d'écriture des coordonnées prendra la forme n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , alors M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Le théorème a été prouvé.
De là, nous obtenons que la distance du point M 1 (x 1, y 1, z 1) au plan χ est calculée en substituant cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 dans le côté gauche de l'équation normale du plan au lieu des coordonnées x, y, z x 1, y 1 et z 1, relatif au point M 1, en prenant la valeur absolue de la valeur obtenue.
Regardons des exemples de recherche de la distance entre un point avec des coordonnées et un plan donné.
Exemple 1
Calculez la distance du point de coordonnées M 1 (5, - 3, 10) au plan 2 x - y + 5 z - 3 = 0.
Solution
Résolvons le problème de deux manières.
La première méthode commence par calculer le vecteur directeur de la ligne a. Par condition, nous avons que l'équation donnée 2 x - y + 5 z - 3 = 0 est une équation générale du plan, et n → = (2, - 1, 5) est le vecteur normal du plan donné. Il est utilisé comme vecteur directeur d’une droite a, perpendiculaire à un plan donné. Doit être écrit équation canonique une droite dans l'espace passant par M 1 (5, - 3, 10) de vecteur directeur de coordonnées 2, - 1, 5.
L'équation deviendra x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.
Les points d'intersection doivent être déterminés. Pour ce faire, combinez doucement les équations dans un système pour passer des équations canoniques aux équations de deux droites qui se croisent. Ce point prenons H 1. Nous obtenons cela
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Après quoi vous devez activer le système
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Passons à la règle de solution du système gaussien :
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1
Nous obtenons cela H 1 (1, - 1, 0).
On calcule la distance d'un point donné à l'avion. On prend les points M 1 (5, - 3, 10) et H 1 (1, - 1, 0) et on obtient
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
La deuxième solution consiste à amener d’abord l’équation donnée 2 x - y + 5 z - 3 = 0 sous forme normale. Nous déterminons le facteur de normalisation et obtenons 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. De là, nous dérivons l'équation du plan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Le côté gauche de l'équation est calculé en substituant x = 5, y = - 3, z = 10, et vous devez prendre la distance de M 1 (5, - 3, 10) à 2 x - y + 5 z - 3 = 0 module. On obtient l'expression :
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Réponse : 2 h 30.
Lorsque le plan χ est spécifié par l'une des méthodes de la section sur les méthodes de spécification d'un plan, vous devez d'abord obtenir l'équation du plan χ et calculer la distance requise en utilisant n'importe quelle méthode.
Exemple 2
Dans l'espace tridimensionnel, les points de coordonnées M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) sont spécifiés. Calculez la distance de M 1 au plan A B C.
Solution
Vous devez d'abord écrire l'équation du plan passant par les trois points donnés avec les coordonnées M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Il s’ensuit que le problème a une solution similaire à la précédente. Cela signifie que la distance du point M 1 au plan A B C a une valeur de 2 30.
Réponse : 2 h 30.
Trouver la distance d'un point donné sur un plan ou à un plan auquel ils sont parallèles est plus pratique en appliquant la formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . On en déduit que les équations normales des plans sont obtenues en plusieurs étapes.
Exemple 3
Trouver la distance d'un point donné de coordonnées M 1 (- 3 , 2 , - 7) à avion coordonné O x y z et avion, donné par l'équation 2 ans - 5 = 0 .
Solution
Le plan de coordonnées O y z correspond à une équation de la forme x = 0. Pour le plan O y z c'est normal. Par conséquent, il est nécessaire de substituer les valeurs x = - 3 dans le côté gauche de l'expression et de prendre la valeur absolue de la distance du point de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7) au plan. On obtient une valeur égale à - 3 = 3.
Après la transformation, l'équation normale du plan 2 y - 5 = 0 prendra la forme y - 5 2 = 0. Ensuite, vous pouvez trouver la distance requise entre le point de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7) et le plan 2 y - 5 = 0. En remplaçant et en calculant, nous obtenons 2 - 5 2 = 5 2 - 2.
Répondre: La distance requise de M 1 (- 3, 2, - 7) à O y z a une valeur de 3, et à 2 y - 5 = 0 a une valeur de 5 2 - 2.
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Trouver la distance d'un point à un plan est une tâche courante qui se pose lors de la résolution de divers problèmes géométrie analytique, par exemple, ce problème peut être réduit à trouver la distance entre deux droites qui se coupent ou entre une droite et un plan qui lui est parallèle.
Considérons le plan $β$ et un point $M_0$ de coordonnées $(x_0;y_0; z_0)$ qui n'appartient pas au plan $β$.
Définition 1
Distance la plus courte entre le point et le plan, il y aura une perpendiculaire tombant du point $M_0$ au plan $β$.
Figure 1. Distance d'un point à un plan. Author24 - échange en ligne de travaux d'étudiants
Ci-dessous, nous expliquons comment trouver la distance entre un point et un plan en utilisant la méthode des coordonnées.
Dérivation de la formule pour la méthode des coordonnées pour trouver la distance d'un point à un plan dans l'espace
Une perpendiculaire du point $M_0$ coupant le plan $β$ au point $M_1$ de coordonnées $(x_1;y_1; z_1)$ se trouve sur une droite dont le vecteur directeur est le vecteur normal du plan $β$. Dans ce cas, la longueur du vecteur unitaire $n$ est égale à un. Par conséquent, la distance de $β$ au point $M_0$ sera :
$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, où $\vec(M_1M_0)$ est le vecteur normal du plan $β$, et $\vec( n)$ est le vecteur normal unitaire du plan considéré.
Dans le cas où l'équation du plan est donnée dans vue générale$Ax+ By + Cz + D=0$, les coordonnées du vecteur normal du plan sont les coefficients de l'équation $\(A;B;C\)$, et le vecteur normal unitaire dans ce cas a des coordonnées calculées par l'équation suivante :
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.
Nous pouvons maintenant trouver les coordonnées du vecteur normal $\vec(M_1M_0)$ :
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.
On exprime également le coefficient $D$ en utilisant les coordonnées d'un point situé dans le plan $β$ :
$D= Axe_1+By_1+Cz_1$
Les coordonnées du vecteur normal unitaire d'égalité $(2)$ peuvent être substituées dans l'équation du plan $β$, alors nous avons :
$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\gauche(4\droite)$
L'égalité $(4)$ est une formule pour trouver la distance d'un point à un plan dans l'espace.
Algorithme général pour trouver la distance du point $M_0$ à un plan
- Si l'équation du plan n'est pas donnée sous forme générale, vous devez d'abord la réduire sous forme générale.
- Après cela, il faut exprimer de équation générale plan, le vecteur normal d'un plan donné passant par le point $M_0$ et un point appartenant à un plan donné ; pour cela il faut utiliser l'égalité $(3)$.
- L'étape suivante consiste à rechercher les coordonnées du vecteur normal unitaire du plan à l'aide de la formule $(2)$.
- Enfin, vous pouvez commencer à trouver la distance du point au plan, cela se fait en calculant le produit scalaire des vecteurs $\vec(n)$ et $\vec(M_1M_0)$.
