En d’autres termes, la dépendance linéaire d’un groupe de vecteurs signifie qu’il existe parmi eux un vecteur qui peut être représenté par une combinaison linéaire d’autres vecteurs de ce groupe.

Disons. Alors

Donc le vecteur X linéairement dépendant des vecteurs de ce groupe.

Vecteurs X, oui, ..., z sont appelés linéaires vecteurs indépendants, s'il résulte de l'égalité (0) que

α=β= ...= γ=0.

Autrement dit, les groupes de vecteurs sont linéairement indépendants si aucun vecteur ne peut être représenté par une combinaison linéaire d’autres vecteurs de ce groupe.

Détermination de la dépendance linéaire des vecteurs

Soit m vecteurs de chaîne d'ordre n :

Après avoir fait une exception gaussienne, nous réduisons la matrice (2) à la forme triangulaire supérieure. Les éléments de la dernière colonne ne changent que lorsque les lignes sont réorganisées. Après m étapes d’élimination, nous obtenons :

Où je 1 , je 2 , ..., je m - indices de lignes obtenus par permutation possible des lignes. Compte tenu des lignes résultantes des indices de ligne, nous excluons celles qui correspondent au vecteur ligne zéro. Les lignes restantes forment des vecteurs linéairement indépendants. Notez que lors de la composition de la matrice (2), en modifiant la séquence des vecteurs lignes, vous pouvez obtenir un autre groupe de vecteurs linéairement indépendants. Mais le sous-espace que forment ces deux groupes de vecteurs coïncide.

Présenté par nos soins opérations linéaires sur les vecteurs permettent de créer diverses expressions pour quantités vectorielles et transformez-les en utilisant les propriétés définies pour ces opérations.

Sur la base d'un ensemble donné de vecteurs a 1, ..., an, vous pouvez créer une expression de la forme

où a 1, ... et n sont des nombres réels arbitraires. Cette expression s'appelle combinaison linéaire de vecteurs un 1, ..., un n. Les nombres α i, i = 1, n, représentent coefficients de combinaison linéaire. Un ensemble de vecteurs est également appelé système de vecteurs.

En relation avec le concept introduit de combinaison linéaire de vecteurs, le problème se pose de décrire un ensemble de vecteurs qui peut être écrit comme une combinaison linéaire d'un système de vecteurs donné a 1, ..., an. De plus, des questions naturelles se posent sur les conditions dans lesquelles il existe une représentation d'un vecteur sous la forme d'une combinaison linéaire, et sur le caractère unique d'une telle représentation.

Définition 2.1. Les vecteurs a 1, ... et n sont appelés linéairement dépendant, s'il existe un ensemble de coefficients α 1 , ... , α n tel que

α 1 une 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

et au moins un de ces coefficients est non nul. Si l'ensemble spécifié de coefficients n'existe pas, alors les vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Si α 1 = ... = α n = 0, alors, évidemment, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Dans cet esprit, on peut dire ceci : vecteurs a 1, ..., et n sont linéairement indépendants s'il résulte de l'égalité (2.2) que tous les coefficients α 1 , ... , α n sont égaux à zéro.

Le théorème suivant explique pourquoi le nouveau concept est appelé « dépendance » (ou « indépendance ») et fournit un critère simple pour la dépendance linéaire.

Théorème 2.1. Pour que les vecteurs a 1, ... et n, n > 1 soient linéairement dépendants, il faut et il suffit que l'un d'eux soit une combinaison linéaire des autres.

◄ Nécessité. Supposons que les vecteurs a 1, ... et n soient linéairement dépendants. D'après la définition 2.1 de la dépendance linéaire, dans l'égalité (2.2) à gauche il y a au moins un coefficient non nul, par exemple α 1. En laissant le premier terme du côté gauche de l'égalité, nous déplaçons le reste vers la droite, en changeant leurs signes, comme d'habitude. En divisant l'égalité résultante par α 1, on obtient

une 1 =-α 2 /α 1 ⋅ une 2 - ... - α n /α 1 ⋅ une n

ceux. représentation du vecteur a 1 comme une combinaison linéaire des vecteurs restants a 2, ..., a n.

Adéquation. Supposons, par exemple, que le premier vecteur a 1 puisse être représenté comme une combinaison linéaire des vecteurs restants : a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. En transférant tous les termes du côté droit vers la gauche, nous obtenons a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, c'est-à-dire une combinaison linéaire de vecteurs a 1, ..., an avec des coefficients α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, égal à vecteur nul. Dans cette combinaison linéaire, tous les coefficients ne sont pas nuls. Selon la définition 2.1, les vecteurs a 1, ... et n sont linéairement dépendants.

La définition et le critère de dépendance linéaire sont formulés pour impliquer la présence de deux vecteurs ou plus. Cependant, on peut aussi parler d'une dépendance linéaire d'un vecteur. Pour réaliser cette possibilité, au lieu de « les vecteurs sont linéairement dépendants », vous devez dire « le système de vecteurs est linéairement dépendant ». Il est facile de voir que l'expression « un système d'un vecteur est linéairement dépendant » signifie que ce seul vecteur est nul (dans une combinaison linéaire, il n'y a qu'un seul coefficient, et il ne doit pas être égal à zéro).

Le concept de dépendance linéaire a une interprétation géométrique simple. Les trois affirmations suivantes clarifient cette interprétation.

Théorème 2.2. Deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils colinéaire.

◄ Si les vecteurs a et b sont linéairement dépendants, alors l'un d'eux, par exemple a, s'exprime à travers l'autre, c'est-à-dire a = λb pour un nombre réel λ. Selon la définition 1.7 travaux vecteurs par nombre, les vecteurs a et b sont colinéaires.

Soit maintenant les vecteurs a et b colinéaires. S’ils sont tous deux nuls, alors il est évident qu’ils sont linéairement dépendants, puisque toute combinaison linéaire d’entre eux est égale au vecteur zéro. Soit l'un de ces vecteurs non égal à 0, par exemple le vecteur b. Notons λ le rapport des longueurs des vecteurs : λ = |a|/|b|. Les vecteurs colinéaires peuvent être unidirectionnel ou dirigé à l'opposé. Dans ce dernier cas, on change le signe de λ. Ensuite, en vérifiant la définition 1.7, nous sommes convaincus que a = λb. D’après le théorème 2.1, les vecteurs a et b sont linéairement dépendants.

Remarque 2.1. Dans le cas de deux vecteurs, compte tenu du critère de dépendance linéaire, le théorème prouvé peut être reformulé ainsi : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un d'eux est représenté comme le produit de l'autre par un nombre. C'est un critère pratique pour la colinéarité de deux vecteurs.

Théorème 2.3. Trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils coplanaire.

◄ Si trois vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants, alors, d'après le théorème 2.1, l'un d'eux, par exemple a, est une combinaison linéaire des autres : a = βb + γc. Combinons les origines des vecteurs b et c au point A. Alors les vecteurs βb, γс auront une origine commune au point A et le long de selon la règle du parallélogramme, leur somme est ceux. le vecteur a sera un vecteur d'origine A et la fin, qui est le sommet d'un parallélogramme construit sur des vecteurs composants. Ainsi, tous les vecteurs se trouvent dans le même plan, c’est-à-dire coplanaire.

Soit les vecteurs a, b, c coplanaires. Si l’un de ces vecteurs est nul, alors il est évident qu’il s’agira d’une combinaison linéaire des autres. Il suffit de prendre tous les coefficients d'une combinaison linéaire égaux à zéro. On peut donc supposer que les trois vecteurs ne sont pas nuls. Compatible commencé de ces vecteurs en un point commun O. Soit leurs extrémités respectivement les points A, B, C (Fig. 2.1). Par le point C on trace des droites parallèles aux droites passant par des paires de points O, A et O, B. En désignant les points d'intersection comme A" et B", on obtient un parallélogramme OA"CB", donc OC" = OA" + OB". Le vecteur OA" et le vecteur non nul a = OA sont colinéaires, et donc le premier d'entre eux peut être obtenu en multipliant le second par un nombre réel α:OA" = αOA. De même, OB" = βOB, β ∈ R. En conséquence, nous obtenons que OC" = α OA. + βOB, c'est-à-dire que le vecteur c est une combinaison linéaire de vecteurs a et b. D'après le théorème 2.1, les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants.

Théorème 2.4. Quatre vecteurs quelconques sont linéairement dépendants.

◄ Nous effectuons la preuve selon le même schéma que dans le théorème 2.3. Considérons quatre vecteurs arbitraires a, b, c et d. Si l'un des quatre vecteurs est nul, ou parmi eux il y a deux vecteurs colinéaires, ou si trois des quatre vecteurs sont coplanaires, alors ces quatre vecteurs sont linéairement dépendants. Par exemple, si les vecteurs a et b sont colinéaires, alors nous pouvons faire leur combinaison linéaire αa + βb = 0 avec des coefficients non nuls, puis ajouter les deux vecteurs restants à cette combinaison, en prenant des zéros comme coefficients. On obtient une combinaison linéaire de quatre vecteurs égaux à 0, dans laquelle se trouvent des coefficients non nuls.

Ainsi, nous pouvons supposer que parmi les quatre vecteurs sélectionnés, aucun vecteur n’est nul, aucun n’est colinéaire et aucun n’est trois coplanaire. Choisissons le point O comme début commun. Alors les extrémités des vecteurs a, b, c, d seront quelques points A, B, C, D (Fig. 2.2). Par le point D on trace trois plans parallèles aux plans OBC, OCA, OAB, et soit A", B", C" les points d'intersection de ces plans avec les droites OA, OB, OS respectivement. On obtient un parallélépipède OA" C "B" C" B"DA", et les vecteurs a, b, c se trouvent sur ses arêtes émergeant du sommet O. Puisque le quadrilatère OC"DC" est un parallélogramme, alors OD = OC" + OC " À son tour, le segment OC" est un parallélogramme OA"C"B", donc OC" = OA" + OB" et OD = OA" + OB" + OC" .

Il reste à noter que les couples de vecteurs OA ≠ 0 et OA" , OB ≠ 0 et OB" , OC ≠ 0 et OC" sont colinéaires, et il est donc possible de sélectionner les coefficients α, β, γ tels que OA" = αOA , OB" = βOB et OC" = γOC. On obtient finalement OD = αOA + βOB + γOC. Par conséquent, le vecteur OD est exprimé à travers les trois autres vecteurs, et les quatre vecteurs, selon le théorème 2.1, sont linéairement dépendants.

Dépendance linéaire et indépendance vectorielle

Définitions des systèmes vectoriels linéairement dépendants et indépendants

Définition 22

Disons un système de n-vecteurs et un ensemble de nombres
, Alors

(11)

est appelé une combinaison linéaire d'un système donné de vecteurs avec un ensemble donné de coefficients.

Définition 23

Système vectoriel
est dit linéairement dépendant s'il existe un tel ensemble de coefficients
, dont au moins un n'est pas égal à zéro, que la combinaison linéaire d'un système de vecteurs donné avec cet ensemble de coefficients est égale au vecteur zéro :

Laisser
, Alors

Définition 24 (à travers la représentation d'un vecteur du système comme une combinaison linéaire des autres)

Système vectoriel
est dit linéairement dépendant si au moins un des vecteurs de ce système peut être représenté comme une combinaison linéaire des vecteurs restants de ce système.

Déclaration 3

Les définitions 23 et 24 sont équivalentes.

Définition 25(via une combinaison linéaire nulle)

Système vectoriel
est dit linéairement indépendant si une combinaison linéaire nulle de ce système n'est possible que pour tout
égal à zéro.

Définition 26(en raison de l'impossibilité de représenter un vecteur du système comme une combinaison linéaire des autres)

Système vectoriel
est dit linéairement indépendant si aucun des vecteurs de ce système ne peut être représenté comme une combinaison linéaire d'autres vecteurs de ce système.

Propriétés des systèmes vectoriels linéairement dépendants et indépendants

Théorème 2 (vecteur zéro dans le système de vecteurs)

Si un système de vecteurs a un vecteur nul, alors le système est linéairement dépendant.

 Laissez
, Alors .

On a
, donc, par définition d'un système de vecteurs linéairement dépendants à travers une combinaison linéaire nulle (12) le système est linéairement dépendant. 

Théorème 3 (sous-système dépendant dans un système vectoriel)

Si un système de vecteurs a un sous-système linéairement dépendant, alors le système entier est linéairement dépendant.

 Laissez
- sous-système linéairement dépendant
, parmi lesquels au moins un n'est pas égal à zéro :

Cela signifie que, par définition 23, le système est linéairement dépendant. 

Théorème 4

Tout sous-système d’un système linéairement indépendant est linéairement indépendant.

 Du contraire. Supposons que le système soit linéairement indépendant et ait un sous-système linéairement dépendant. Mais alors, selon le théorème 3, le système entier sera également linéairement dépendant. Contradiction. Par conséquent, un sous-système d’un système linéairement indépendant ne peut pas être linéairement dépendant. 

Signification géométrique de la dépendance linéaire et de l'indépendance d'un système de vecteurs

Théorème 5

Deux vecteurs Et sont linéairement dépendants si et seulement si
.

 Nécessité.

Et - linéairement dépendant
que la condition est remplie
. Alors
, c'est à dire.
.

Adéquation.

Linéairement dépendant. 

Corollaire 5.1

Le vecteur zéro est colinéaire à n'importe quel vecteur

Corollaire 5.2

Pour que deux vecteurs soient linéairement indépendants, il faut et il suffit que n'était pas colinéaire .

Théorème 6

Pour qu'un système de trois vecteurs soit linéairement dépendant, il faut et suffisant que ces vecteurs soient coplanaires .

 Nécessité.

- sont linéairement dépendants, par conséquent, un vecteur peut être représenté comme une combinaison linéaire des deux autres.

, (13)

Où
Et
. D'après la règle du parallélogramme il y a une diagonale d'un parallélogramme avec des côtés
, mais un parallélogramme est une figure plate
coplanaire
- sont également coplanaires.

Adéquation.

- coplanaire. Appliquons trois vecteurs au point O :

C

B'

– linéairement dépendant 

Corollaire 6.1

Le vecteur zéro est coplanaire à n’importe quelle paire de vecteurs.

Corollaire 6.2

Pour que les vecteurs
étaient linéairement indépendants, il faut et il suffit qu'ils ne soient pas coplanaires.

Corollaire 6.3

Tout vecteur d'un plan peut être représenté comme une combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires du même plan.

Théorème 7

Quatre vecteurs quelconques dans l'espace dépendent linéairement .

 Considérons 4 cas :

Traçons un plan par vecteurs, puis un plan par vecteurs et un plan par vecteurs. Puis on trace les plans passant par le point D, parallèles aux couples de vecteurs ; ; respectivement. Nous construisons un parallélépipède le long des lignes d'intersection des plans O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Considérons O.B. 1 D 1 C 1 – parallélogramme par construction selon la règle du parallélogramme
.

Considérons OADD 1 – un parallélogramme (de la propriété d'un parallélépipède)
, Alors

EMBED Équation.3 .

Par le théorème 1
tel que . Alors
, et par définition 24, le système de vecteurs est linéairement dépendant. 

Corollaire 7.1

La somme de trois vecteurs non coplanaires dans l'espace est un vecteur qui coïncide avec la diagonale d'un parallélépipède construit sur ces trois vecteurs appliqué à une origine commune, et l'origine du vecteur somme coïncide avec l'origine commune de ces trois vecteurs.

Corollaire 7.2

Si l'on prend 3 vecteurs non coplanaires dans l'espace, alors n'importe quel vecteur de cet espace peut être décomposé en une combinaison linéaire de ces trois vecteurs.

Tache 1. Découvrez si le système de vecteurs est linéairement indépendant. Le système de vecteurs sera précisé par la matrice du système dont les colonnes sont constituées des coordonnées des vecteurs.

.

Solution. Soit la combinaison linéaire égal à zéro. Après avoir écrit cette égalité en coordonnées, on obtient le système d'équations suivant :

.

Un tel système d'équations est appelé triangulaire. Elle n'a qu'une solution . Donc les vecteurs linéairement indépendant.

Tâche 2. Découvrez si le système de vecteurs est linéairement indépendant.

.

Solution. Vecteurs linéairement indépendant (voir problème 1). Montrons que le vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs . Coefficients de dilatation vectorielle sont déterminés à partir du système d’équations

.

Ce système, comme un système triangulaire, a une solution unique.

Donc le système de vecteurs linéairement dépendant.

Commentaire. Les matrices du même type que dans le problème 1 sont appelées triangulaire , et dans le problème 2 – triangulaire à gradins . La question de la dépendance linéaire d'un système de vecteurs est facilement résolue si la matrice composée des coordonnées de ces vecteurs est triangulaire à échelons. Si la matrice n'a pas de forme spéciale, alors en utilisant conversions de chaînes élémentaires , en préservant les relations linéaires entre les colonnes, il peut être réduit à une forme triangulaire en escalier.

Conversions de chaînes élémentaires matrices (EPS) les opérations suivantes sur une matrice sont appelées :

1) réarrangement des cordes ;

2) multiplier une chaîne par un nombre non nul ;

3) ajouter une autre chaîne à une chaîne, multipliée par un nombre arbitraire.

Tâche 3. Trouver le sous-système linéairement indépendant maximum et calculer le rang du système de vecteurs

.

Solution. Réduisons la matrice du système utilisant EPS à une forme triangulaire par étapes. Pour expliquer la procédure, on note la ligne avec le numéro de la matrice à transformer par le symbole . La colonne après la flèche indique les actions sur les lignes de la matrice en cours de conversion qui doivent être effectuées pour obtenir les lignes de la nouvelle matrice.

.

Évidemment, les deux premières colonnes de la matrice résultante sont linéairement indépendantes, la troisième colonne est leur combinaison linéaire et la quatrième ne dépend pas des deux premières. Vecteurs sont appelés basiques. Ils forment un sous-système maximal linéairement indépendant du système , et le rang du système est trois.

Base, coordonnées

Tâche 4. Trouver la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble des vecteurs géométriques dont les coordonnées satisfont à la condition .

Solution. L'ensemble est un plan passant par l'origine. Une base arbitraire sur un plan est constituée de deux vecteurs non colinéaires. Les coordonnées des vecteurs dans la base sélectionnée sont déterminées en résolvant le système d'équations linéaires correspondant.

Il existe une autre façon de résoudre ce problème, lorsque vous pouvez trouver la base à l'aide des coordonnées.

Coordonnées les espaces ne sont pas des coordonnées sur le plan, puisqu'ils sont liés par la relation , c'est-à-dire qu'ils ne sont pas indépendants. Les variables indépendantes et (appelées libres) définissent de manière unique un vecteur sur le plan et, par conséquent, elles peuvent être choisies comme coordonnées dans . Puis la base se compose de vecteurs appartenant et correspondant à des ensembles de variables libres Et , c'est .

Tâche 5. Trouvez la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble de tous les vecteurs de l'espace dont les coordonnées impaires sont égales entre elles.

Solution. Choisissons, comme dans le problème précédent, des coordonnées dans l'espace.

Parce que , puis variables libres déterminent de manière unique le vecteur à partir duquel et sont donc des coordonnées. La base correspondante est constituée de vecteurs.

Tâche 6. Trouver la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble de toutes les matrices de la forme , Où – des nombres arbitraires.

Solution. Chaque matrice de est représentable de manière unique sous la forme :

Cette relation est le développement du vecteur par rapport à la base
avec coordonnées .

Tâche 7. Trouver la dimension et la base de la coque linéaire d'un système de vecteurs

.

Solution.À l'aide de l'EPS, nous transformons la matrice des coordonnées des vecteurs du système en une forme triangulaire par étapes.

.

Colonnes les dernières matrices sont linéairement indépendantes, et les colonnes exprimé linéairement à travers eux. Donc les vecteurs former une base , Et .

Commentaire. Base en est choisi de manière ambiguë. Par exemple, les vecteurs constituent également une base .

Dans cet article, nous aborderons :

• que sont les vecteurs colinéaires ;
• quelles sont les conditions de colinéarité des vecteurs ;
• quelles sont les propriétés des vecteurs colinéaires ;
• quelle est la dépendance linéaire des vecteurs colinéaires.

Définition 1

Les vecteurs colinéaires sont des vecteurs parallèles à une ligne ou se trouvant sur une ligne.

Exemple 1

Conditions de colinéarité des vecteurs

Deux vecteurs sont colinéaires si l’une des conditions suivantes est vraie :

• état 1 . Les vecteurs a et b sont colinéaires s'il existe un nombre λ tel que a = λ b ;
• état 2 . Les vecteurs a et b sont colinéaires avec des rapports de coordonnées égaux :

une = (une 1 ; une 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ une ∥ b ⇔ une 1 b 1 = une 2 b 2

• état 3 . Les vecteurs a et b sont colinéaires à condition que le produit vectoriel et le vecteur zéro soient égaux :

une ∥ b ⇔ une, b = 0

Note 1

Condition 2 non applicable si l'une des coordonnées vectorielles est nulle.

Note 2

Condition 3 s'applique uniquement aux vecteurs spécifiés dans l'espace.

Exemples de problèmes pour étudier la colinéarité des vecteurs

Exemple 1

Nous examinons les vecteurs a = (1 ; 3) et b = (2 ; 1) pour la colinéarité.

Comment résoudre?

Dans ce cas, il faut utiliser la 2ème condition de colinéarité. Pour des vecteurs donnés, cela ressemble à ceci :

L'égalité est fausse. Nous pouvons en conclure que les vecteurs a et b ne sont pas colinéaires.

Répondre : un | | b

Exemple 2

Quelle valeur m du vecteur a = (1 ; 2) et b = (- 1 ; m) est nécessaire pour que les vecteurs soient colinéaires ?

Comment résoudre?

En utilisant la deuxième condition de colinéarité, les vecteurs seront colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles :

Cela montre que m = - 2.

Répondre: m = - 2 .

Critères de dépendance linéaire et d'indépendance linéaire des systèmes vectoriels

Théorème

Un système de vecteurs dans un espace vectoriel n'est linéairement dépendant que si l'un des vecteurs du système peut être exprimé en fonction des vecteurs restants de ce système.

Preuve

Soit le système e 1 , e 2 , . . . , e n est linéairement dépendant. Écrivons une combinaison linéaire de ce système égale au vecteur zéro :

une 1 e 1 + une 2 e 2 + . . . + une n e n = 0

dans lequel au moins un des coefficients de combinaison n'est pas égal à zéro.

Soit a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

On divise les deux côtés de l'égalité par un coefficient non nul :

une k - 1 (une k - 1 une 1) e 1 + (une k - 1 une k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Notons :

A k - 1 une m , où m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Dans ce cas:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ou e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Il s'ensuit que l'un des vecteurs du système s'exprime à travers tous les autres vecteurs du système. C'est ce qu'il fallait prouver (etc.).

Adéquation

Soit l'un des vecteurs exprimé linéairement à travers tous les autres vecteurs du système :

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

On déplace le vecteur e k du côté droit de cette égalité :

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Puisque le coefficient du vecteur e k est égal à - 1 ≠ 0, on obtient une représentation non triviale de zéro par un système de vecteurs e 1, e 2, . . . , e n , ce qui signifie à son tour que ce système de vecteurs est linéairement dépendant. C'est ce qu'il fallait prouver (etc.).

Conséquence:

• Un système de vecteurs est linéairement indépendant lorsqu’aucun de ses vecteurs ne peut être exprimé en termes de tous les autres vecteurs du système.
• Un système de vecteurs contenant un vecteur nul ou deux vecteurs égaux est linéairement dépendant.

Propriétés des vecteurs linéairement dépendants

1. Pour les vecteurs à 2 et 3 dimensions, la condition suivante est remplie : deux vecteurs linéairement dépendants sont colinéaires. Deux vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants.
2. Pour les vecteurs tridimensionnels, la condition suivante est satisfaite : trois vecteurs linéairement dépendants sont coplanaires. (3 vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants).
3. Pour les vecteurs à n dimensions, la condition suivante est satisfaite : n + 1 vecteurs sont toujours linéairement dépendants.

Exemples de résolution de problèmes impliquant une dépendance linéaire ou une indépendance linéaire des vecteurs

Exemple 3

Vérifions les vecteurs a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 pour l'indépendance linéaire.

Solution. Les vecteurs sont linéairement dépendants car la dimension des vecteurs est inférieure au nombre de vecteurs.

Exemple 4

Vérifions les vecteurs a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 pour l'indépendance linéaire.

Solution. On retrouve les valeurs des coefficients pour lesquels la combinaison linéaire sera égale au vecteur zéro :

x 1 une + x 2 b + x 3 c 1 = 0

On écrit l'équation vectorielle sous forme linéaire :

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Nous résolvons ce système en utilisant la méthode de Gauss :

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

De la 2ème ligne on soustrait la 1ère, de la 3ème - la 1ère :

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

De la 1ère ligne on soustrait la 2ème, à la 3ème on ajoute la 2ème :

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

De la solution, il s'ensuit que le système a de nombreuses solutions. Cela signifie qu'il existe une combinaison non nulle de valeurs de tels nombres x 1, x 2, x 3 pour laquelle la combinaison linéaire de a, b, c est égale au vecteur zéro. Donc les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendant. ​​​​​​​

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