Types d'inégalités exponentielles et méthodes pour les résoudre. Résoudre les inégalités exponentielles : méthodes de base. Définition des équations exponentielles

Dans cette leçon, nous examinerons diverses inégalités exponentielles et apprendrons comment les résoudre, sur la base de la technique de résolution des inégalités exponentielles les plus simples.

1. Définition et propriétés d'une fonction exponentielle

Rappelons la définition et les propriétés de base fonction exponentielle. C'est sur les propriétés que la solution de tous équations exponentielles et les inégalités.

Fonction exponentielle est une fonction de la forme , où la base est le degré et Ici x est la variable indépendante, argument ; y est la variable dépendante, fonction.

Riz. 1. Graphique de la fonction exponentielle

Le graphique montre des exposants croissants et décroissants, illustrant la fonction exponentielle avec une base supérieure à un et inférieure à un mais supérieure à zéro, respectivement.

Les deux courbes passent par le point (0;1)

Propriétés de la fonction exponentielle:

Domaine: ;

Plage de valeurs : ;

La fonction est monotone, augmente avec, diminue avec.

Une fonction monotone prend chacune de ses valeurs étant donné une seule valeur d'argument.

Quand , lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction augmente de zéro inclus à plus l'infini, c'est-à-dire que pour des valeurs données de l'argument, nous avons une fonction croissante de manière monotone (). Au contraire, lorsque l'argument augmente de moins à plus l'infini, la fonction diminue de l'infini à zéro inclus, c'est-à-dire que pour des valeurs données de l'argument, nous avons une fonction décroissante de manière monotone ().

2. Les inégalités exponentielles les plus simples, méthode de solution, exemple

Sur la base de ce qui précède, nous présentons une méthode pour résoudre des inégalités exponentielles simples :

Technique de résolution des inégalités :

Égaliser les bases des diplômes ;

Comparez les indicateurs en conservant ou en changeant le signe d'inégalité par le signe opposé.

La solution aux inégalités exponentielles complexes consiste généralement à les réduire aux inégalités exponentielles les plus simples.

Diplôme de base plus d'un, ce qui signifie que le signe d'inégalité est conservé :

Transformons le membre de droite en fonction des propriétés du degré :

La base du degré est inférieure à un, le signe de l'inégalité doit être inversé :

Pour des solutions inégalité quadratique résoudre l'équation quadratique correspondante :

En utilisant le théorème de Vieta, nous trouvons les racines :

Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Nous avons donc une solution à l'inégalité :

Il est facile de deviner que le côté droit peut être représenté comme une puissance avec un exposant nul :

La base du degré est supérieure à un, le signe de l'inégalité ne change pas, on obtient :

Rappelons la technique pour résoudre de telles inégalités.

Considérons la fonction fractionnaire-rationnelle :

On retrouve le domaine de définition :

Trouver les racines de la fonction :

La fonction a une seule racine,

On sélectionne des intervalles de signe constant et on détermine les signes de la fonction sur chaque intervalle :

Riz. 2. Intervalles de constance du signe

Ainsi, nous avons reçu la réponse.

Répondre:

3. Résoudre les inégalités exponentielles standards

Considérons des inégalités avec les mêmes indicateurs, mais des bases différentes.

L'une des propriétés de la fonction exponentielle est que pour toute valeur de l'argument, elle prend des valeurs strictement positives, ce qui signifie qu'elle peut être divisée en fonction exponentielle. Divisons l'inégalité donnée par son côté droit :

La base du degré est supérieure à un, le signe d'inégalité est conservé.

Illustrons la solution :

La figure 6.3 montre des graphiques des fonctions et . Evidemment, lorsque l'argument est supérieur à zéro, le graphique de la fonction est plus haut, cette fonction est plus grande. Lorsque les valeurs des arguments sont négatives, la fonction descend, elle est plus petite. Lorsque l'argument est égal, les fonctions sont égales, ce qui signifie point donné est aussi une solution à l’inégalité donnée.

Riz. 3. Illustration par exemple 4

Transformons l'inégalité donnée selon les propriétés du degré :

Voici quelques termes similaires :

Divisons les deux parties en :

Maintenant, nous continuons à résoudre de la même manière que l'exemple 4, divisons les deux parties par :

La base du degré est supérieure à un, le signe d'inégalité reste :

4. Solution graphique des inégalités exponentielles

Exemple 6 - Résoudre graphiquement l'inégalité :

Examinons les fonctions des côtés gauche et droit et construisons un graphique pour chacune d'elles.

La fonction est exponentielle et augmente sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'argument.

La fonction est linéaire et décroissante sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de l'argument.

Si ces fonctions se croisent, c'est-à-dire que le système a une solution, alors une telle solution est unique et peut être facilement devinée. Pour ce faire, nous parcourons des entiers ()

Il est facile de voir que la racine de ce système est :

Ainsi, les graphiques des fonctions se coupent en un point avec un argument égal à un.

Nous devons maintenant obtenir une réponse. La signification de l'inégalité donnée est que l'exposant doit être supérieur ou égal à fonction linéaire, c'est-à-dire être supérieur ou coïncider avec lui. La réponse est évidente : (Figure 6.4)

Riz. 4. Illustration par exemple 6

Nous avons donc cherché à résoudre diverses inégalités exponentielles standards. Nous passons ensuite à l’examen d’inégalités exponentielles plus complexes.

Bibliographie

Mordkovich A. G. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Mnémosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Outarde. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. L'algèbre et les débuts de l'analyse mathématique. - M. : Lumières.

Mathématiques. Maryland. Mathématiques-répétition. com. Diffur. kemsu. ru.

Devoirs

1. Algèbre et débuts de l'analyse, 10e et 11e années (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, n° 472, 473 ;

2. Résolvez l’inégalité :

3. Résolvez les inégalités.

Décision majoritaire problèmes mathématiques est en quelque sorte lié à la transformation d'expressions numériques, algébriques ou fonctionnelles. Ce qui précède s'applique particulièrement à la décision. Dans les versions de l'Examen d'État unifié en mathématiques, ce type de problème comprend notamment la tâche C3. Apprendre à résoudre des tâches C3 est important non seulement pour réussite Examen d'État unifié, mais aussi parce que cette compétence sera utile lors de l'étude d'un cours de mathématiques au lycée.

Lorsque vous effectuez des tâches C3, vous devez résoudre différents types d’équations et d’inégalités. Parmi eux figurent des modules rationnels, irrationnels, exponentiels, logarithmiques, trigonométriques, contenant ( valeurs absolues), ainsi que les combinés. Cet article traite des principaux types d'équations et d'inégalités exponentielles, ainsi que de diverses méthodes pour les résoudre. Découvrez la résolution d'autres types d'équations et d'inégalités dans la section « » des articles consacrés aux méthodes de résolution de problèmes C3 à partir de Options d'examen d'État unifié mathématiques.

Avant de commencer à analyser spécifiquement équations exponentielles et inégalités, en tant que professeur de mathématiques, je vous suggère de rafraîchir certains supports théoriques dont nous aurons besoin.

Fonction exponentielle

Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?

Fonction du formulaire oui = un x, Où un> 0 et un≠ 1 est appelé fonction exponentielle.

Basique propriétés de la fonction exponentielle oui = un x:

Graphique d'une fonction exponentielle

Le graphique de la fonction exponentielle est exposant:

Graphiques de fonctions exponentielles (exposants)

Résoudre des équations exponentielles

Indicatif sont appelées équations dans lesquelles la variable inconnue ne se trouve que dans les exposants de certaines puissances.

Pour des solutions équations exponentielles vous devez connaître et être capable d’utiliser le théorème simple suivant :

Théorème 1.Équation exponentielle un F(X) = un g(X) (Où un > 0, un≠ 1) est équivalent à l'équation F(X) = g(X).

De plus, il est utile de rappeler les formules et opérations de base avec degrés :

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Exemple 1. Résous l'équation:

Solution: Nous utilisons les formules et substitutions ci-dessus :

L'équation devient alors :

Discriminant du reçu équation quadratique positif:

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Cela signifie que cette équation a deux racines. On les retrouve :

En passant à la substitution inverse, on obtient :

La deuxième équation n'a pas de racine, puisque la fonction exponentielle est strictement positive dans tout le domaine de définition. Résolvons le deuxième :

Compte tenu de ce qui a été dit dans le théorème 1, on passe à l'équation équivalente : X= 3. Ce sera la réponse à la tâche.

Répondre: X = 3.

Exemple 2. Résous l'équation:

Solution: restrictions sur la zone valeurs acceptables ce n'est pas le cas de l'équation, puisque l'expression radicale a un sens pour n'importe quelle valeur X(fonction exponentielle oui = 9 4 -X positif et différent de zéro).

On résout l'équation par transformations équivalentes en utilisant les règles de multiplication et de division des puissances :

La dernière transition a été effectuée conformément au théorème 1.

Répondre:X= 6.

Exemple 3. Résous l'équation:

Solution: les deux côtés de l'équation originale peuvent être divisés par 0,2 X. Cette transition sera équivalente, puisque cette expression est supérieure à zéro pour toute valeur X(la fonction exponentielle est strictement positive dans son domaine de définition). L’équation prend alors la forme :

Répondre: X = 0.

Exemple 4. Résous l'équation:

Solution: nous simplifions l'équation à une équation élémentaire au moyen de transformations équivalentes en utilisant les règles de division et de multiplication des puissances données au début de l'article :

Diviser les deux côtés de l'équation par 4 X, comme dans l'exemple précédent, est une transformation équivalente, puisque cette expression n'est pas égal à zéro pour aucune valeur X.

Répondre: X = 0.

Exemple 5. Résous l'équation:

Solution: fonction oui = 3X, situé sur le côté gauche de l’équation, augmente. Fonction oui = —X Le -2/3 du côté droit de l’équation diminue. Cela signifie que si les graphiques de ces fonctions se croisent, alors au plus un point. Dans ce cas, il est facile de deviner que les graphiques se coupent au point X= -1. Il n'y aura pas d'autres racines.

Répondre: X = -1.

Exemple 6. Résous l'équation:

Solution: on simplifie l'équation au moyen de transformations équivalentes, en gardant partout à l'esprit que la fonction exponentielle est strictement supérieure à zéro pour toute valeur X et en utilisant les règles de calcul du produit et du quotient des puissances données en début d'article :

Répondre: X = 2.

Résoudre les inégalités exponentielles

Indicatif sont appelées inégalités dans lesquelles la variable inconnue n'est contenue que dans les exposants de certaines puissances.

Pour des solutions inégalités exponentielles la connaissance du théorème suivant est requise :

Théorème 2. Si un> 1, alors l'inégalité un F(X) > un g(X) équivaut à une inégalité de même sens : F(X) > g(X). Si 0< un < 1, то показательное неравенство un F(X) > un g(X) équivaut à une inégalité de sens opposé : F(X) < g(X).

Exemple 7. Résoudre l'inégalité :

Solution: Présentons l'inégalité originale sous la forme :

Divisons les deux côtés de cette inégalité par 3 2 X, dans ce cas (en raison de la positivité de la fonction oui= 3 2X) le signe de l'inégalité ne changera pas :

Utilisons la substitution :

L’inégalité prendra alors la forme :

Ainsi, la solution de l'inégalité est l'intervalle :

en passant à la substitution inverse, on obtient :

En raison de la positivité de la fonction exponentielle, l’inégalité de gauche est automatiquement satisfaite. En utilisant la propriété bien connue du logarithme, on passe à l'inégalité équivalente :

Puisque la base du degré est un nombre supérieur à un, l'équivalent (d'après le théorème 2) est le passage à l'inégalité suivante :

Nous obtenons donc enfin répondre:

Exemple 8. Résoudre l'inégalité :

Solution: En utilisant les propriétés de multiplication et de division des puissances, on réécrit l'inégalité sous la forme :

Introduisons une nouvelle variable :

Compte tenu de cette substitution, l’inégalité prend la forme :

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 7, on obtient l'inégalité équivalente suivante :

Ainsi, les valeurs suivantes de la variable satisfont l'inégalité t:

Ensuite, en passant à la substitution inverse, on obtient :

Puisque la base du degré est ici supérieure à un, le passage à l'inégalité sera équivalent (d'après le théorème 2) :

Finalement on obtient répondre:

Exemple 9. Résoudre l'inégalité :

Solution:

Nous divisons les deux côtés de l'inégalité par l'expression :

Il est toujours supérieur à zéro (en raison de la positivité de la fonction exponentielle), il n'est donc pas nécessaire de changer le signe de l'inégalité. On a:

t situé dans l'intervalle :

En passant à la substitution inverse, nous constatons que l’inégalité initiale se divise en deux cas :

La première inégalité n’a pas de solution en raison de la positivité de la fonction exponentielle. Résolvons le deuxième :

Exemple 10. Résoudre l'inégalité :

Solution:

Branches de parabole oui = 2X+2-X 2 sont dirigés vers le bas, donc il est limité d'en haut par la valeur qu'il atteint à son sommet :

Branches de parabole oui = X 2 -2X Les +2 de l'indicateur sont dirigés vers le haut, ce qui signifie qu'il est limité par le bas par la valeur qu'il atteint à son sommet :

Dans le même temps, la fonction s'avère également délimitée par le bas oui = 3 X 2 -2X+2, qui se trouve du côté droit de l’équation. Elle atteint son objectif valeur la plus basse au même point que la parabole de l'exposant, et cette valeur est égale à 3 1 = 3. Ainsi, l'inégalité originale ne peut être vraie que si la fonction de gauche et la fonction de droite prennent une valeur égale à 3 au même point (par l'intersection La plage de valeurs de ces fonctions est uniquement ce nombre). Cette condition est satisfaite en un seul point X = 1.

Répondre: X= 1.

Pour apprendre à décider équations exponentielles et inégalités, il est nécessaire de s'entraîner constamment à les résoudre. Diverses choses peuvent vous aider dans cette tâche difficile. manuels méthodologiques, cahiers de problèmes en mathématiques élémentaires, recueils de problèmes de compétition, cours de mathématiques à l'école, ainsi que séances individuelles avec un tuteur professionnel. Je vous souhaite sincèrement du succès dans votre préparation et d'excellents résultats à l'examen.

Sergueï Valérievitch

P.S. Chers invités ! Veuillez ne pas écrire de demandes pour résoudre vos équations dans les commentaires. Malheureusement, je n'ai absolument pas le temps pour ça. De tels messages seront supprimés. Veuillez lire l'article. Peut-être y trouverez-vous des réponses à des questions qui ne vous ont pas permis de résoudre votre problème par vous-même.

C'est obligatoire lors de la résolution d'un système d'équations exponentielles? Certainement, transformation ce système dans un système d’équations simples.

Exemples.

Résoudre des systèmes d'équations :

Exprimons àà travers Xà partir de (2) l’équation du système et remplacez cette valeur dans l’équation du système (1).

On résout (2) la ième équation du système résultant :

2 x +2 x +2 =10, appliquez la formule : un x + oui=un x∙ un oui.

2 x +2 x ∙2 2 =10, retirons le facteur commun 2 x entre parenthèses :

2 x (1+2 2)=10 ou 2 x ∙5=10, donc 2 x =2.

2 x =2 1, à partir d'ici x=1. Revenons au système d'équations.

Réponse : (1 ; 2).

Solution.

Nous représentons les côtés gauche et droit de l'équation (1) sous forme de puissances avec une base 2 , et le côté droit de (2) l'équation comme puissance nulle du nombre 5 .

Si deux puissances avec les mêmes bases sont égales, alors les exposants de ces puissances sont égaux - nous assimilons les exposants aux bases 2 et exposants avec bases 5 .

Le système résultant équations linéaires avec deux variables, nous résolvons en utilisant la méthode d'addition.

Nous trouvons x=2 et nous substituons cette valeur à la place X dans la deuxième équation du système.

Nous trouvons à.

Réponse : (2 ; 1.5).

Solution.

Si dans les deux exemples précédents nous sommes passés à un système plus simple en assimilant les indicateurs de deux degrés avec les mêmes bases, alors dans le 3ème exemple cette opération est impossible. Il est pratique de résoudre de tels systèmes en introduisant de nouvelles variables. Nous allons introduire des variables toi Et v, puis exprimez la variable toià travers v et nous obtenons une équation pour la variable v.

Nous résolvons (2) la ième équation du système.

v2 +63v-64=0. Sélectionnons les racines à l'aide du théorème de Vieta, sachant que : v 1 +v 2 = -63 ; v1 ∙v2 =-64.

On obtient : v 1 =-64, v 2 =1. Nous retournons au système et vous trouvons.

Puisque les valeurs de la fonction exponentielle sont toujours positives, les équations 4 x = -1 et 4 ans = -64 n'ai pas de solutions.

Méthodes de résolution de systèmes d'équations

Pour commencer, rappelons brièvement quelles méthodes existent généralement pour résoudre des systèmes d'équations.

Exister quatre manières principales solutions aux systèmes d'équations :

Méthode de substitution : prenez l'une des équations données et exprimez $y$ en termes de $x$, puis $y$ est substitué dans l'équation système, à partir de laquelle la variable $x.$ est trouvée. Après cela, nous pouvons facilement calculer la variable $y.$

Méthode d'addition : Dans cette méthode, vous devez multiplier une ou les deux équations par des nombres tels que lorsque vous additionnez les deux, l'une des variables « disparaît ».

Méthode graphique : les deux équations du système sont représentées sur avion coordonné et le point de leur intersection est trouvé.

Méthode d'introduction de nouvelles variables : dans cette méthode, nous remplaçons certaines expressions pour simplifier le système, puis utilisons l'une des méthodes ci-dessus.