L'analyse du comportement des systèmes montre qu'en plus de l'énergie et de la quantité de mouvement, il existe une autre grandeur mécanique, qui est également associée à la loi de conservation - c'est ce qu'on appelle moment cinétique. Les noms moment cinétique, couple, moment cinétique ou simplement moment cinétique sont également utilisés.
Quelle est cette quantité et quelles sont ses propriétés ?
Prenons d’abord une particule. Soit un rayon vecteur caractérisant sa position par rapport à un point Ô du système de référence choisi, et est son élan dans ce système. Le moment cinétique de la particule UN par rapport au point Ô(Fig. 6.1) est appelé un vecteur égal au produit vectoriel des vecteurs et :
De cette définition, il résulte que est un vecteur axial. Sa direction est choisie pour que la rotation autour du point Ô dans la direction du vecteur, ils forment un système à droite. Le module vectoriel est égal à
 ,
| (6.2) |
où est l'angle entre les vecteurs et 
bras du vecteur par rapport au point À PROPOS(Fig. 6.1).
Dérivons une équation décrivant le changement dans le temps du vecteur. Il est appelé équation du moment. Pour tirer une conclusion, il est nécessaire de savoir quelle grandeur mécanique est responsable du changement du vecteur dans un temps donné
système de référence. Dérivons l'équation (6.1) par rapport au temps :
Depuis le point Ô immobile, puis vecteur égal à la vitesse particules, c'est-à-dire coïncide en direction avec le vecteur, donc
En utilisant la deuxième loi de Newton, nous obtenons où est la résultante de toutes les forces appliquées à la particule. Ainsi,
La quantité du côté droit de cette équation est appelée moment de force par rapport au point À PROPOS(Fig. 6.2). En le désignant par la lettre , nous écrivons
Le vecteur, comme , est axial. Le module de ce vecteur, de la même manière que (6.2), est égal à
Cette équation s'appelle équation du moment. Notez que si le référentiel est non inertiel, alors le moment de force inclut à la fois le moment des forces d'interaction et le moment des forces d'inertie par rapport au même point. Ô.
De l'équation du moment (6.5), en particulier, il s'ensuit que si alors . En d'autres termes, si par rapport à un point O du référentiel choisi le moment de toutes les forces agissant sur la particule est égal à zéro pendant la période de temps qui nous intéresse, alors par rapport à ce point le moment cinétique de la particule reste constante pendant cette période.
Exemple 1. Une planète A est en mouvement et le champ gravitationnel du Soleil est C (Fig. 6.3). Par rapport à quel point du système de référence héliocentrique le moment cinétique d'une planète donnée sera-t-il conservé dans le temps ?
Pour répondre à cette question, il faut tout d'abord établir quelles forces agissent sur la planète A. Dans ce cas, il s'agit uniquement de la force de gravité.
du côté du Soleil. Puisque lorsque la planète bouge, la direction de cette force
passe tout le temps par le centre du Soleil, alors ce dernier est le point par rapport auquel le moment de force est toujours égal à zéro et le moment cinétique de la planète restera constant. L’élan de la planète va changer.
Exemple 2. La rondelle A, se déplaçant le long d'un plan horizontal lisse, rebondit élastiquement sur une paroi verticale lisse (Fig. 6.4, vue de dessus). Trouvez le point par rapport auquel le moment cinétique de la rondelle restera constant pendant ce processus.
La rondelle est soumise à l'action de la force de gravité, de la force de réaction du plan horizontal et de la force de réaction du mur au moment de l'impact avec celui-ci. Les deux premières forces s'équilibrent, laissant la force . Son moment est nul par rapport à n'importe quel point situé sur la ligne d'action du vecteur, ce qui signifie que par rapport à l'un de ces points, le moment cinétique de la rondelle restera constant dans ce processus.
Exemple 3. Sur un plan horizontal lisse se trouvent un cylindre vertical fixe et une rondelle A reliée au cylindre par un filetage AB (Fig. 6.5, vue de dessus). La rondelle a reçu une vitesse initiale comme le montre cette figure. Y a-t-il ici un point autour duquel le moment cinétique de la rondelle restera constant lorsqu'elle se déplace ?
Dans ce cas, la seule force non compensée agissant sur la rondelle A est la force de tension du filetage. Il est facile de voir qu’il n’existe aucun point par rapport auquel le moment de force dans le processus de mouvement serait toujours égal à zéro. Et par conséquent, il n’y a aucun point par rapport auquel le moment cinétique de la rondelle resterait constant. Cet exemple montre qu'il n'y a pas toujours un point par rapport auquel le moment cinétique de la particule resterait constant.
L’équation du moment (6.5) permet de répondre à deux questions :
1) trouver le moment de force par rapport au point O qui nous intéresse dans n'importe lequel moment de temps t, si la dépendance temporelle du moment cinétique de la particule par rapport au même point est connue ;
2) déterminer l'incrément du moment cinétique d'une particule par rapport au point O pour n'importe quelle période de temps, si la dépendance temporelle du moment de force agissant sur cette particule par rapport au même point O est connue.
La solution à la première question revient à trouver la dérivée par rapport au temps du moment d'impulsion, c'est-à-dire qui est égale, d'après (6.5), au moment de force souhaité.
La solution à la deuxième question se résume à intégrer l’équation (6.5). En multipliant les deux côtés de cette équation par dt, on obtient - une expression qui détermine l'incrément élémentaire du vecteur. En intégrant cette expression au cours du temps, on retrouve l'incrément du vecteur sur une période de temps finie t :
 | (6.6) |
La quantité du côté droit de cette équation est appelé impulsion moment de force. En conséquence, l'énoncé suivant a été obtenu : l'augmentation du moment cinétique d'une particule sur une période de temps quelconque est égale au moment cinétique de la force sur la même période. Regardons deux exemples.
Exemple 1. Le moment cinétique d'une particule par rapport à un certain point change avec le temps t selon la loi 
où et sont des vecteurs constants mutuellement perpendiculaires. Trouvez le moment de force agissant sur la particule lorsque l'angle entre les vecteurs et est égal à 45°.
D’après (6.5), 
ceux. vecteur, coïncide toujours en direction avec le vecteur. Représentons les vecteurs et un certain instant t (Fig. 6.6). De cette figure il ressort clairement que l'angle = 45° au moment où Donc et .
Exemple 2. Une pierre A de masse m a été lancée selon un angle par rapport à l'horizontale avec une vitesse initiale . En négligeant la résistance de l'air, trouvez la dépendance temporelle du moment cinétique de la pierre par rapport au point de lancement O (Fig. 6.7).
Sur une période de temps dt, le moment cinétique de la pierre par rapport à la pointe
O recevra un incrément 
. Parce que 
Que 
Après avoir intégré cette expression en tenant compte du fait qu'à l'heure actuelle 
on a 
. Cela montre que la direction du vecteur reste inchangée pendant le mouvement (le vecteur est dirigé au-delà du plan, Fig. 6.7.
Considérons maintenant les notions de moment cinétique et de moment de force par rapport à l'axe. Choisissons dans certains système inertiel référence à un axe fixe arbitraire. Supposons que, par rapport à un point O sur l'axe, le moment cinétique de la particule A soit égal à , et le moment de force agissant sur la particule soit .
Le moment cinétique par rapport à l'axe z est la projection sur cet axe d'un vecteur défini par rapport à un point arbitraire O d'un axe donné (Fig. 6.8). La notion de moment de force par rapport à un axe est introduite de la même manière. Leur
Découvrons les propriétés de ces quantités. En projetant (6.5) sur l'axe z, on obtient
| (6.7) |
c'est-à-dire que la dérivée temporelle du moment cinétique de la particule par rapport à l'axe z est égale au moment de force par rapport à cet axe. En particulier, si alors . En d'autres termes, si le moment de force par rapport à un axe fixe z est égal à zéro, alors le moment cinétique de la particule par rapport à cet axe reste constant. Dans ce cas, le vecteur lui-même peut changer.
Exemple : Un petit corps de masse m, suspendu à un fil, se déplace uniformément dans un cercle horizontal (Fig. 6.9) sous l'influence de la gravité. Par rapport au point O, le moment cinétique du corps - le vecteur - est dans le même plan avec l'axe z et le filetage. Lorsqu'un corps bouge, le vecteur sous l'influence du moment de gravité tourne constamment, c'est-à-dire change. La projection reste constante puisque le vecteur est perpendiculaire
Trouvons maintenant des expressions analytiques pour et . Il est facile de voir que ce problème se résume à trouver les projections sur l’axe z des produits vectoriels et .
Utilisons un système de coordonnées cylindriques et associons à la particule A (Fig. 6.10) des vecteurs unitaires dirigés dans la direction des coordonnées correspondantes croissantes. Dans ce système de coordonnées, le rayon vecteur et l'impulsion de la particule s'écrivent comme suit :
où sont les projections du vecteur sur les vecteurs correspondants. De l'algèbre vectorielle, on sait que produit vectoriel on peut imaginer
déterminant
De là, il est immédiatement clair que le moment cinétique de la particule par rapport à l'axe z
où est la projection de la vitesse angulaire avec laquelle le rayon vecteur de la particule tourne.
De la même manière qu’en (6.8), le moment de force relatif à l’axe z s’écrit :
| (6.10) |
où est la projection du vecteur force sur le vecteur unitaire
Notons que les projections et ne dépendent en réalité pas du choix du point O sur l'axe z, par rapport auquel les vecteurs et sont définis. De plus, il est clair que et sont des grandeurs algébriques, leurs signes correspondent aux signes des projections et .
Équation de base pour la dynamique du mouvement de rotation point matériel - accélération angulaire Le point où il tourne autour d'un axe fixe est proportionnel au couple et inversement proportionnel au moment d'inertie.
M = E*J ou E = M/J
En comparant l'expression résultante avec la deuxième loi de Newton avec loi progressiste, on voit que le moment d'inertie J est une mesure de l'inertie du corps pendant mouvement de rotation. Comme la masse, la quantité est additive.
Moment d'inertie anneau fin :
Moment d'inertie
Pour calculer le moment d'inertie, il faut diviser mentalement le corps en éléments suffisamment petits, dont les points peuvent être considérés comme se trouvant à la même distance de l'axe de rotation, puis trouver le produit de la masse de chaque élément par le carré de sa distance à l'axe et, enfin, additionner tous les produits résultants. Il s’agit évidemment d’une tâche qui prend beaucoup de temps. Compter
moments d'inertie des corps corrects Forme géométrique Dans certains cas, vous pouvez utiliser des méthodes de calcul intégral.
Trouver la somme finie des moments d'inertie des éléments du corps sera remplacé par la sommation à l'infini grand nombre moments d'inertie calculés pour les éléments infinitésimaux :
lim je = 1 ∞ ΣΔm je r je 2 = ∫r 2 dm. (à Δm → 0).
Calculons le moment d'inertie d'un disque homogène ou d'un cylindre solide de hauteur h par rapport à son axe de symétrie
Divisons le disque en éléments sous forme de minces anneaux concentriques ayant des centres sur son axe de symétrie. Les anneaux résultants ont un diamètre interne r et externe r+dr, et la hauteur h. Parce que docteur<< r
, alors on peut supposer que la distance de tous les points de l'anneau à l'axe est égale r.
Pour chaque anneau individuel, le moment d'inertie
je = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Où ΣΔm− masse de l'anneau entier.
Volume de la sonnerie 2πrhdr. Si la densité du matériau du disque ρ
, alors la masse de l'anneau
ρ2πrhdr.
Moment d'inertie de l'anneau
je = 2πρhr 3 dr.
je = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
je = (1/2)πρhR 4.
Mais la masse du disque m = ρπhR 2, ainsi,
je = (1/2)mR 2.
Présentons (sans calcul) les moments d'inertie pour quelques corps de forme géométrique régulière, constitués de matériaux homogènes
1. Le moment d'inertie d'un anneau mince par rapport à un axe passant par son centre perpendiculaire à son plan (ou d'un cylindre creux à paroi mince par rapport à son axe de symétrie) :
je = mR 2.
2. Moment d'inertie d'un cylindre à paroi épaisse par rapport à l'axe de symétrie :
je = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Où R1− interne et R2− rayons extérieurs.
3.
Le moment d'inertie du disque par rapport à un axe coïncidant avec l'un de ses diamètres :
je = (1/4)mR 2.
4. Le moment d'inertie d'un cylindre solide par rapport à un axe perpendiculaire à la génératrice et passant par son milieu :
je = m(R 2 /4 + h 2 /12)
Où R.− rayon de la base du cylindre, h− hauteur du cylindre.
5.
Moment d'inertie d'une tige fine par rapport à un axe passant par son milieu :
Je = (1/12)ml 2,
Où je− longueur de la tige.
6.
Moment d'inertie d'une tige mince par rapport à un axe passant par l'une de ses extrémités :
Je = (1/3)ml 2
7. Le moment d'inertie de la balle par rapport à un axe coïncidant avec l'un de ses diamètres :
je = (2/5)mR 2.
Si le moment d'inertie d'un corps est connu autour d'un axe passant par son centre de masse, alors le moment d'inertie autour de tout autre axe parallèle au premier peut être trouvé sur la base du théorème dit de Huygens-Steiner.
Moment d'inertie du corps je par rapport à n'importe quel axe est égal au moment d'inertie du corps Est par rapport à un axe parallèle à celui donné et passant par le centre de masse du corps, plus la masse du corps m, multiplié par le carré de la distance je entre axes :
je = je c + ml 2.
A titre d'exemple, calculons le moment d'inertie d'une boule de rayon R. et la masse m, suspendu à un fil de longueur l, par rapport à un axe passant par le point de suspension À PROPOS. La masse du fil est faible par rapport à la masse de la balle. Depuis le moment d'inertie de la balle par rapport à l'axe passant par le centre de masse Ic = (2/5)mR2, et la distance
entre les axes ( l + R), puis le moment d'inertie autour de l'axe passant par le point de suspension :
je = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Dimension du moment d'inertie :
[I] = [m] × = ML2.
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Dans tout système de particules, il y a un point remarquable AVEC- centre d'inertie, ou le centre de masse, - qui possède un certain nombre de propriétés intéressantes et importantes. Le centre de masse est le point d'application du vecteur impulsion du système, puisque le vecteur de toute impulsion est un vecteur polaire. Position des points AVEC par rapport au début À PROPOS d'un système de référence donné est caractérisé par un rayon vecteur déterminé par la formule suivante :
Il convient de noter que le centre de masse du système coïncide avec son centre de gravité. Certes, cette affirmation n'est vraie que dans le cas où le champ de gravité au sein d'un système donné peut être considéré comme homogène.
Trouvons la vitesse du centre de masse dans ce référentiel. En différenciant (4.8) par rapport au temps, on obtient
ceux. la quantité de mouvement du système est égale au produit de la masse du système et de la vitesse de son centre de masse.
On obtient l'équation du mouvement du centre de masse. La notion de centre de masse permet de donner à l'équation (4.4) une forme différente, qui s'avère souvent plus pratique. Pour ce faire, il suffit de substituer (4.10) dans (4.4), et de tenir compte du fait que la masse du système en tant que tel est une quantité constante. Ensuite, nous obtenons
| , | (4.11) |
où est la résultante de toutes les forces externes agissant sur le système. C'est ce que c'est équation du mouvement du centre de masse Les systèmes sont l’une des équations les plus importantes de la mécanique. D'après cette équation, Lorsqu'un système de particules se déplace, son centre d'inertie se déplace comme si toute la masse du système était concentrée en ce point et que toutes les forces externes lui étaient appliquées., agissant sur le système. Dans ce cas, l'accélération du centre d'inertie est totalement indépendante des points d'application des forces extérieures.
Ainsi, si le centre de masse du système se déplace uniformément et rectiligne, cela signifie que sa quantité de mouvement est conservée en cours de mouvement. Bien entendu, le contraire est également vrai.
Équation (4.11). sa forme coïncide avec l'équation de base de la dynamique d'un point matériel et est sa généralisation naturelle à un système de particules : l'accélération du système dans son ensemble est proportionnelle à la résultante de toutes les forces extérieures et inversement proportionnelle à la masse totale de le système. Rappelons que dans les systèmes de référence non inertiels, la résultante de toutes les forces externes comprend à la fois les forces d'interaction avec les corps environnants et les forces d'inertie.
Considérons un certain nombre d'exemples de mouvement du centre de masse du système.
Exemple 1. Montrons comment vous pouvez résoudre le problème avec un homme sur un radeau (p. 90) d'une autre manière, en utilisant le concept de centre de masse.
Puisque la résistance de l’eau est négligeable, la résultante de toutes les forces externes agissant sur le système homme-radeau est égale à zéro. Cela signifie que la position du centre d'inertie de ce système ne changera pas lors du mouvement de la personne (et du radeau), c'est-à-dire
.
où et sont des rayons vecteurs caractérisant les positions des centres de masse de la personne et du radeau par rapport à un certain point du rivage. De cette égalité nous trouvons le lien entre les incréments de vecteurs et
En gardant à l’esprit que les incréments représentent les mouvements de la personne et du radeau par rapport au rivage, on retrouve le mouvement du radeau :
Exemple 2. Un homme saute d'une tour dans l'eau. Le mouvement d'un sauteur dans le cas général est très complexe. Cependant, si la résistance de l’air est négligeable, alors nous pouvons immédiatement affirmer que le centre d’inertie du sauteur se déplace le long d’une parabole, comme un point matériel, sur lequel agit une force constante là où se trouve la masse d’une personne.
Exemple 3. Une chaîne fermée reliée par un filetage à l'extrémité de l'axe d'une machine centrifuge tourne uniformément autour d'un axe vertical avec une vitesse angulaire (Fig. 4.4). Dans ce cas, le filetage forme un angle avec
verticale. Comment se comporte le centre d’inertie de la chaîne ?
Tout d’abord, il est clair qu’avec une rotation uniforme, le centre d’inertie de la chaîne ne se déplace pas dans le sens vertical. Cela signifie que la composante verticale de la force T de tension du fil compense la force de gravité (Fig. 4.4, à droite). La composante horizontale de la force de tension est d’ampleur constante et est toujours dirigée vers l’axe de rotation.
Il s'ensuit que le centre de masse de la chaîne - le point C - se déplace le long d'un cercle horizontal dont le rayon peut être facilement trouvé à l'aide de la formule (4.11), écrite sous la forme
où est la masse de la chaîne. Dans ce cas, le point C est toujours situé entre l'axe de rotation et le filetage, comme le montre la Fig. 4.4.
Dans les cas fréquents où l'on s'intéresse uniquement au mouvement relatif des particules au sein d'un système, et non au mouvement de ce système dans son ensemble, il est plus conseillé d'utiliser un système de référence dans lequel le centre de masse est au repos . Cela permet de simplifier considérablement tant l'analyse du phénomène que les calculs.
Un référentiel rigidement connecté au centre de masse d'un système de particules donné et se déplaçant en translation par rapport aux systèmes inertiels est appelé système de centre de masse ou, brièvement, Système C(la désignation du système est associée à la première lettre du mot centre en latin). Une caractéristique distinctive de ce système est que l'impulsion totale du système de particules qu'il contient est nulle - cela découle directement de la formule (4.10). En d’autres termes, tout système de particules dans son ensemble repose sur son - Système C.
Pour un système fermé de particules, son AVEC- le système est inertiel ; pour un système ouvert, dans le cas général il est non inertiel.
Trouvons le lien entre les valeurs de l'énergie mécanique du système dans K Et AVEC systèmes de référence. Commençons par l'énergie cinétique du système. Vitesse des particules en K-le système peut être représenté comme une somme de vitesses, où et est la vitesse de cette particule dans AVEC-système et la vitesse du centre de masse du système par rapport à K-systèmes de référence, respectivement. Ensuite, vous pouvez l'écrire.
En plus de la conservation de l'impulsion et de l'énergie dans les systèmes fermés, une autre quantité physique est conservée : le moment cinétique. Considérons d'abord le produit vectoriel des vecteurs et (Fig. 32).
Un produit vectoriel de vecteurs est un vecteur dont le module est égal à :
où est l'angle entre les vecteurs et .
La direction du vecteur est déterminée par la règle de la vrille s'il tourne de vers le long du chemin le plus court.
Il existe une expression pour déterminer le produit vectoriel :
1. Moment de force par rapport à un point et par rapport à un axe.
Introduisons d'abord la notion de moment de force. Supposons qu'une particule, dont la position est déterminée à l'aide du rayon vecteur par rapport à l'origine du point 0, soit soumise à une certaine force (Fig. 33).
Appelons le moment de force par rapport au point 0 une quantité vectorielle :
Dans ce cas, le vecteur du moment de force est dirigé perpendiculairement au plan du dessin vers nous. De la figure, il résulte que la valeur . Appelons-le le deuxième bras. Le bras de moment d'une force est la distance entre le point de référence 0 et la ligne d'action de la force.
Le moment de force par rapport à un axe passant par le point 0 est la projection du vecteur du moment de force par rapport au point 0 sur cet axe.
2. Moment de quelques forces. Propriétés du moment d'un couple de forces.
Considérons deux forces parallèles, de même ampleur, de direction opposée, n'agissant pas le long de la même ligne droite (Fig. 34). De telles forces sont appelées une paire de forces. La distance entre les lignes droites le long desquelles ces forces agissent est appelée le bras de la paire.
Les notations suivantes sont introduites ici :
Rayon vecteur du point d'application de la force,
Vecteur rayon du point d’application de la force par rapport au point d’application de la force.
Nous définissons le moment total de ce couple de forces comme :
Puisque les forces forment une paire, il s’ensuit :
On voit que le moment d'un couple de forces ne dépend pas du choix de l'origine des points d'application des forces.
3. Le moment cinétique d'une particule par rapport à l'axe et par rapport au point.
Passons maintenant à la notion de moment cinétique. Supposons qu'une particule de masse m, dont la position est déterminée à l'aide du rayon vecteur par rapport à l'origine du point 0, se déplace avec vitesse (Fig. 35).
Introduisons un vecteur, que nous appellerons le moment cinétique de la particule par rapport au point 0. Nous appellerons la quantité le bras du moment cinétique par rapport au point 0.
Le moment cinétique par rapport à l'axe passant par le point 0 est la projection du moment cinétique par rapport au point sur cet axe.
1. Considérons un mouvement le long d’une ligne droite. A une hauteur h, un avion de masse m vole horizontalement avec une vitesse V (Fig. 36).
Trouvons le moment cinétique de l'avion par rapport à un point 0. Le module du moment cinétique est égal au produit de l'impulsion et de son bras. Dans ce cas, le bras de quantité de mouvement est égal à h. Ainsi:
2. Considérez le mouvement en cercle. Une particule de masse m se déplace le long d'un cercle de rayon R avec une vitesse absolue constante V (Fig. 37). Trouvez le moment cinétique de la particule par rapport au centre du cercle 0.
Momentum de la particule M== рR=const.
4. Équation des moments des particules
Par définition, le moment cinétique d'une particule par rapport à un point 0 est égal à :
Trouvons la dérivée temporelle des côtés droit et gauche de cette expression :
Le premier terme tend vers zéro selon la règle du produit vectoriel. Nous avons finalement :
Cette expression est appelée équation du moment des particules.
Le taux de variation du moment cinétique est égal au moment de force.
5.Momentum du système de particules.
La loi du changement et de la conservation du moment cinétique d'un système de particules.
Considérons un système de particules interagissant les unes avec les autres, sur lesquelles des forces externes agissent. Définissons la position dans l'espace des particules de ce système à l'aide de vecteurs de rayon par rapport à un point de référence 0. Notons le moment cinétique total de ce système par rapport au point :
Trouvons le changement dans le moment total :
Écrivons ce système d'équations :
…………………………………..
Faisons la somme des côtés gauche et droit de ce système et considérons les sommes appariées dans le premier terme de droite.
Selon la troisième loi de Newton, toutes les autres sommes appariées disparaîtront également. Par conséquent, le moment total de toutes les forces internes d’interaction entre les particules est égal à zéro. Il reste alors :
Le moment cinétique d'un système de particules modifie le moment cinétique des forces externes. Pour un système fermé de particules, la loi de conservation du moment cinétique est satisfaite.
6.Moment cinétique orbital et intrinsèque d'un système de particules.
Considérons un système de N particules dont la position est spécifiée à l'aide de vecteurs de rayon par rapport à un point de référence 0 (Fig. 38).
Déterminons la position du centre de masse C de ce système à l'aide du rayon vecteur. Ensuite, la position de la i-ème particule par rapport à l'origine 0 sera déterminée comme suit :
Écrivons le moment cinétique total du système de particules par rapport à l'origine 0 :
Nous appellerons le premier terme le moment cinétique orbital du système :
Nous appellerons le deuxième terme le moment cinétique propre du système :
Alors le moment cinétique total du système par rapport au point de référence 0 a la forme :
7.Mouvement dans le champ de forces central.
Considérons une particule se déplaçant dans un champ de force central. Rappelons que dans un tel champ la force agissant sur une particule dépend uniquement de la distance entre la particule et l'origine. De plus, la force est toujours dirigée le long du rayon vecteur de la particule.
Il est facile de comprendre que dans ce cas le moment de la force centrale est égal à zéro et, par conséquent, la loi de conservation du moment cinétique par rapport à l'origine est satisfaite.
Puisque , la trajectoire des particules est toujours située dans le plan dans lequel se trouvent les vecteurs force et le vecteur rayon. Dans le champ central, les particules se déplacent selon des trajectoires plates.
Pendant le temps dt, le rayon vecteur de la particule décrira la zone dS (Fig. 39).
Cette aire est égale à la moitié de l'aire d'un parallélogramme construit sur le vecteur rayon et le vecteur déplacement élémentaire. Comme on le sait, l'aire d'un tel parallélogramme est égale au module du produit vectoriel. Ainsi, nous pouvons maintenant écrire :
Appelons la quantité vitesse sectorielle, et pour cela nous obtenons l'expression :
Parce que dans le champ central M = const, alors par conséquent la vitesse sectorielle reste constante.
Conclusion : lorsqu'une particule se déplace dans un champ de force central, son rayon vecteur décrit des zones égales dans des périodes de temps égales.
Cette affirmation est la deuxième loi de Kepler.
8. Problème à deux corps.
Le problème du mouvement des particules dans un champ de force central a de nombreuses applications. Considérons le problème du mouvement de deux corps. Considérons deux particules interagissant uniquement entre elles. Voyons comment se comporte le centre de masse d'un tel système. Du théorème sur le mouvement du centre de masse d'un système fermé, nous pouvons conclure qu'il est soit au repos, soit se déplace de manière rectiligne et uniforme.
Nous allons résoudre le problème de deux corps dans le système de leur centre de masse. Comme on le sait, le rayon vecteur du centre de masse du système est déterminé à l'aide de l'expression :
De la loi de conservation de la quantité de mouvement d'un tel système fermé, il résulte que :
Introduisons un rayon vecteur qui détermine la position de la deuxième particule par rapport à la première (Fig. 40) :
Nous pouvons alors obtenir des expressions pour relier les vecteurs rayon qui déterminent la position des particules par rapport à leur centre de masse commun avec le vecteur rayon de leur position relative :
Considérons maintenant ce problème d'un point de vue énergétique. Notons par et les vitesses des particules par rapport à leur centre de masse, et par - la vitesse de la deuxième particule par rapport à la première. Alors à partir de la loi de conservation de la quantité de mouvement d'un système de particules on peut obtenir les expressions suivantes :
Écrivons l'énergie mécanique totale de ce système de particules :
Ici, U(r 21) est la propre énergie potentielle du système.
Cette expression peut être transformée comme suit :
où la désignation suivante est introduite - masse réduite.
Nous voyons d'un point de vue énergétique que ce système de particules se comporte comme une seule particule de masse réduite et se déplaçant avec une vitesse relative. Le problème de deux corps se réduit au problème du mouvement d’un seul corps.
Si la dépendance est connue, alors le problème principal peut être résolu, c'est-à-dire trouver les dépendances et .
Écrivons l'équation du mouvement (deuxième loi de Newton) pour chacune des particules du champ central :
Il y a un signe moins à droite de la deuxième équation, car .
En divisant la première équation par m 1 et la seconde par m 2, on obtient :
Soustrayez la première équation de la seconde :
Enfin:
De là, vous pouvez trouver la dépendance.
9.Mouvement des satellites artificiels. Vitesses cosmiques.
Considérons le mouvement d'un satellite artificiel de la Terre près de sa surface. Puisqu'une seule force agit sur le satellite - la force d'attraction gravitationnelle vers la Terre, nous pouvons écrire l'équation de son mouvement circulaire :
où m est la masse du satellite, M est la masse de la Terre, Rz est le rayon de la Terre.
De là, vous pouvez obtenir la vitesse du satellite :
En substituant les valeurs correspondantes, on obtient la vitesse V 1 = 8 km/s.
Cette vitesse est appelée premier espace(la vitesse qu'il faut communiquer à un corps pour qu'il devienne un satellite de la Terre près de sa surface).
Nous avons considéré le cas le plus simple d'un satellite se déplaçant sur une orbite circulaire. Cependant, comme le montre la théorie, dans le problème des deux corps, d'autres trajectoires de mouvement d'une particule par rapport à une autre sont possibles : ellipses, hyperboles et paraboles. Les orbites elliptiques correspondent à une valeur négative de l'énergie mécanique totale du système, les orbites hyperboliques correspondent à une valeur positive de l'énergie mécanique totale et les orbites paraboliques correspondent à une valeur d'énergie mécanique totale égale à zéro.
Trouvons ce qu'on appelle vitesse d'échappement. C'est la vitesse qui doit être transmise au corps pour qu'il devienne un satellite du Soleil, tandis que le corps doit se déplacer selon une trajectoire parabolique.
Écrivons l'énergie mécanique totale du système satellite-Terre, en considérant la Terre immobile :
En assimilant l'énergie mécanique totale à zéro, nous obtenons la deuxième vitesse d'échappement :
En substituant les valeurs correspondantes, nous obtenons V 2 = 11,2 km/s.
UNE MÉCANIQUE SOLIDE
VIII. Cinématique du corps rigide
1. Corps absolument solide. Mouvement plan d'un corps rigide et sa décomposition en translation et rotation.
Jusqu’à présent, nous avons utilisé un point matériel comme modèle physique, mais tous les problèmes ne peuvent pas être résolus dans cette approximation. Passons maintenant à ce que l'on appelle corps absolument solides. Un corps absolument solide est un corps dans lequel la distance entre les particules qui le composent ne change pas. Autrement dit, il s’agit d’un corps absolument indéformable.
Nous allons le prendre en compte mouvement à plat un corps rigide dans lequel, pendant le mouvement, l'un de ses points reste dans l'un des plans parallèles. Dans un mouvement plan, les trajectoires de chaque point d'un corps rigide se trouvent dans le même plan et les plans de toutes les trajectoires coïncident ou sont parallèles.
Tout mouvement complexe d'un corps rigide peut être représenté comme une somme de mouvements plus simples : translation et rotation. . Progressive est le mouvement d'un corps rigide dans lequel une ligne reliant deux points quelconques du corps maintient sa direction dans l'espace. Le mouvement vers l'avant n'est pas nécessairement linéaire, par exemple une cabine dans une grande roue (Fig. 41).
Rotation est un mouvement dans lequel les trajectoires de tous les points d'un corps rigide sont des cercles concentriques dont le centre se trouve sur l'axe de rotation. Un cylindre roulant sur une table subit à la fois un mouvement de translation et un mouvement de rotation autour de son axe de symétrie.
Montrons comment le mouvement plan peut être décomposé en translation et rotation (Fig. 42).
On peut voir sur la figure que de la position 1 à la position 2, le corps peut être déplacé d'abord en position de translation, puis en position 2 en rotation autour de l'axe. Cette division en mouvement de translation et de rotation peut se faire d'une infinité de manières, mais dans ce cas la rotation s'effectue toujours selon le même angle.
Ainsi, le mouvement plan peut être représenté comme une translation avec la même vitesse pour tous les points du corps et une rotation avec la même vitesse angulaire. Pour les vitesses linéaires des points d’un corps rigide, cela peut s’écrire :
Voici le rayon vecteur de n’importe quel point d’un corps rigide.
Par exemple, le roulement d'un cylindre sur une surface horizontale (Fig. 43) peut être représenté comme un mouvement de translation de tous les points avec une vitesse V 0 et une rotation autour d'un axe coïncidant avec son axe de symétrie 0, avec une vitesse angulaire., ou comme une translation mouvement avec vitesse et rotation avec la même vitesse angulaire, mais autour de l'axe.
Le mouvement d'un corps rigide peut être représenté comme un ensemble de rotations uniquement autour de l'axe dit instantané. Cet axe peut être situé soit à l'intérieur du corps solide lui-même, mais il peut également être situé à l'extérieur de celui-ci. La position de l'axe instantané change avec le temps. Dans le cas du roulement du cylindre, l'axe instantané coïncide avec la ligne de tangence du cylindre avec le plan.
Représentons-le sur la Fig. 44 direction des vitesses instantanées de certains points du cylindre par rapport à un référentiel fixe. La vitesse du point A est égale à zéro à chaque instant, car il se compose d’une vitesse de translation et d’une vitesse linéaire égales en ampleur. La vitesse du point C est égale au double de la vitesse, etc.
Voyons comment la vitesse est orientée par rapport au référentiel fixe de n'importe quel point du cylindre. Pour ce faire, on écrit la condition d'un corps absolument rigide pour deux points arbitraires sous la forme suivante :
Différencions les côtés droit et gauche dans le temps :
Associons le point A à l'axe de rotation instantané, puis et . Nous avons donc :
De cette condition il résulte que les vecteurs correspondants sont perpendiculaires, c'est-à-dire .
Le moment cinétique de la particule(point matériel) par rapport au point O est appelé une quantité vectorielle égale à :
L- vecteur axial. La direction du vecteur moment cinétique L est déterminée de telle sorte que la rotation autour du point O dans la direction du vecteur p autour d'un axe passant par le point O obéit à la règle de la vis à droite. Les vecteurs r, p et L forment un système droitier. Dans le système SI, le moment cinétique a une unité de mesure : [L]=1 kg m 2 /s.
Considérons deux exemples de calcul du moment cinétique d'une particule par rapport au point O.
Exemple 1. La particule se déplace le long d’une trajectoire rectiligne, sa masse est m et sa quantité de mouvement est p. Trouvons L et ½ L1. Faisons un dessin.
de la formule (22.4.), il s'ensuit que le module du moment cinétique ne peut changer qu'en raison d'un changement du module de vitesse, car lorsque vous vous déplacez sur un chemin droit, l'épaule je reste constant.
Exemple 2. Une particule de masse m se déplace sur un cercle de rayon R avec une vitesse V. Trouvons L et ½ L½. Faisons un dessin.
Figure 22.3 Direction du vecteur impulsion d'une particule se déplaçant dans un cercle de rayon R avec une vitesse V.
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(22 .5 ) |
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(22 .6 ) |
Le moment cinétique est considéré par rapport au point C. De la formule (22.6.), il s'ensuit que le module du moment cinétique ne peut changer qu'en raison d'un changement du module de vitesse. Malgré le changement continu de la direction du vecteur p, la direction du vecteur L reste constante.
