Semblable à comment pour un point matériel, nous dériverons un théorème sur le changement de quantité de mouvement du système sous diverses formes.

Transformons l'équation (théorème sur le mouvement du centre de masse d'un système mécanique)

de la manière suivante :

;

L'équation résultante exprime le théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique sous forme différentielle : la dérivée de la quantité de mouvement d'un système mécanique par rapport au temps est égale au vecteur principal forces externes, agissant sur le système .

En projections sur des axes de coordonnées cartésiennes :

; ; .

En prenant les intégrales des deux côtés des dernières équations au fil du temps, nous obtenons un théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique sous forme intégrale : la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique est égale à la quantité de mouvement du vecteur principal de forces externes agissant sur le système .

.

Ou en projections sur des axes de coordonnées cartésiennes :

; ; .

Corollaires du théorème (lois de conservation de la quantité de mouvement)

La loi de conservation de la quantité de mouvement est obtenue comme cas particuliers du théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système en fonction des caractéristiques du système de forces externes. Les forces internes peuvent être quelconques, puisqu'elles n'affectent pas les changements de quantité de mouvement.

Il y a deux cas possibles:

1. Si la somme vectorielle de toutes les forces externes appliquées au système est égale à zéro, alors la quantité de mouvement du système est constante en ampleur et en direction.

2. Si la projection du vecteur principal des forces externes sur n'importe quel axe de coordonnées et/ou et/ou est égale à zéro, alors la projection de la quantité de mouvement sur ces mêmes axes est une valeur constante, c'est-à-dire et/ou et/ou respectivement.

Des entrées similaires peuvent être faites pour un point matériel et pour un point matériel.

La tâche. D'un pistolet dont la masse M, un projectile de masse s'envole dans une direction horizontale m avec rapidité v. Trouver de la vitesse V armes à feu après le tir.

Solution. Toutes les forces extérieures agissant sur Système mécanique arme à projectile, verticale. Cela signifie que, d'après le corollaire du théorème sur la variation de la quantité de mouvement du système, nous avons : .

L'ampleur du mouvement du système mécanique avant le tir :

L'ampleur du mouvement du système mécanique après le tir :

.

En égalisant les membres droits des expressions, on obtient que

.

Le signe « - » dans la formule résultante indique qu'après le tir, le pistolet reculera dans la direction opposée à l'axe. Bœuf.

EXEMPLE 2. Un courant de liquide de densité s'écoule à une vitesse V à partir d'un tuyau de section transversale F et heurte une paroi verticale selon un angle. Déterminez la pression du fluide sur le mur.

SOLUTION. Appliquons le théorème sur le changement de quantité de mouvement sous forme intégrale à un volume de liquide de masse m heurter un mur pendant un certain temps t.

ÉQUATION DE MESHCHERSKY

(équation de base de la dynamique d'un corps de masse variable)

Dans la technologie moderne, il existe des cas où la masse d'un point et d'un système ne reste pas constante pendant le mouvement, mais change. Ainsi, par exemple, en vol fusées spatiales, en raison de l'éjection de produits de combustion et de pièces individuelles inutiles des fusées, la variation de masse atteint 90 à 95 % de la valeur initiale totale. Mais pas seulement technologie spatiale peut être un exemple de la dynamique du mouvement d'une masse variable. DANS industrie textile Il y a un changement significatif dans la masse des diverses broches, bobines, rouleaux aux vitesses de fonctionnement modernes des machines et des machines.

Considérons les principales caractéristiques associées aux changements de masse, en utilisant l'exemple mouvement vers l'avant corps de masse variable. La loi fondamentale de la dynamique ne peut pas être directement appliquée à un corps de masse variable. Par conséquent, nous obtenons des équations différentielles du mouvement d'un point de masse variable, en appliquant le théorème sur la variation de la quantité de mouvement du système.

Que le point ait une masse m+dm se déplace à grande vitesse. Ensuite, une certaine particule avec une masse est séparée du point dm se déplaçant à grande vitesse.

La quantité de mouvement du corps avant que la particule ne se détache :

L'ampleur du mouvement d'un système constitué d'un corps et d'une particule détachée après sa séparation :

Puis le changement d'élan :

Basé sur le théorème sur le changement de quantité de mouvement du système :

Notons la quantité - vitesse relative particules :

Notons

Taille R. appelée force réactive. La force réactive est la poussée du moteur provoquée par l’éjection du gaz de la tuyère.

Finalement on obtient

-

Cette formule exprime l'équation de base de la dynamique d'un corps de masse variable (formule de Meshchersky). De la dernière formule, il résulte que les équations différentielles du mouvement d'un point de masse variable ont la même forme que pour un point de masse constante, à l'exception de la force réactive supplémentaire appliquée au point en raison du changement de masse.

L'équation de base de la dynamique d'un corps de masse variable indique que l'accélération de ce corps est formée non seulement par des forces externes, mais également par la force réactive.

La force réactive est une force similaire à celle ressentie par la personne qui tire - lors du tir avec un pistolet, elle est ressentie par la main ; Lors du tir au fusil, il est perçu par l'épaule.

Première formule de Tsiolkovsky (pour une fusée à un étage)

Supposons qu'un point de masse variable ou une fusée se déplace en ligne droite sous l'influence d'une seule force réactive. Puisque pour de nombreux moteurs à réaction modernes , où est la force réactive maximale autorisée par la conception du moteur (poussée du moteur) ; - la force de gravité agissant sur le moteur situé sur la surface de la terre. Ceux. ce qui précède nous permet de négliger la composante de l'équation de Meshchersky et d'accepter cette équation sous la forme pour une analyse plus approfondie : ,

Notons :

Réserve de carburant (pour les moteurs à réaction liquides - la masse sèche de la fusée (sa masse restante après avoir brûlé tout le carburant) ;

La masse de particules séparées de la fusée ; est considérée comme une valeur variable, variant de à .

Écrivons l'équation mouvement rectiligne points de masse variable sous la forme suivante :

.

Puisque la formule pour déterminer la masse variable d’une fusée est

Par conséquent, les équations du mouvement d’un point En prenant les intégrales des deux côtés, on obtient

Où - vitesse caractéristique- c'est la vitesse qu'une fusée acquiert sous l'influence de la poussée après que toutes les particules ont quitté la fusée (pour les moteurs à réaction liquide - après que tout le carburant a brûlé).

Pris en dehors du signe intégral (ce qui peut être fait sur la base du théorème de la valeur moyenne connu en mathématiques supérieures) est vitesse moyenne particules éjectées d'une fusée.

Composé de n points matériels. Sélectionnons un certain point de ce système MJ avec masse mj. Comme on le sait, des forces externes et internes agissent sur ce point.

Appliquons-le au point MJ résultante de toutes les forces internes F j je et la résultante de toutes les forces extérieures F j e(Figure 2.2). Pour un point matériel sélectionné MJ(comme pour un point libre) on écrit le théorème sur le changement de quantité de mouvement sous forme différentielle (2.3) :

Écrivons des équations similaires pour tous les points du système mécanique (j=1,2,3,…,n).

Graphique 2.2

Additionnons tout ça morceau par morceau néquations :

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Ici ∑m j × V j = Q– l'ampleur du mouvement du système mécanique ;
∑F j e = R e– le vecteur principal de toutes les forces extérieures agissant sur le système mécanique ;
∑F j je = R je =0– le vecteur principal des efforts internes du système (selon la propriété des efforts internes, il est égal à zéro).

Finalement, pour le système mécanique on obtient

dQ/dt = R e. (2.11)

L'expression (2.11) est un théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un système mécanique sous forme différentielle (en expression vectorielle) : la dérivée temporelle du vecteur de quantité de mouvement d'un système mécanique est égale au vecteur principal de toutes les forces externes agissant sur le système.

En projetant l'égalité vectorielle (2.11) sur les axes de coordonnées cartésiens, nous obtenons des expressions pour le théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique en expression de coordonnées (scalaire) :

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

ceux. la dérivée temporelle de la projection de l'impulsion d'un système mécanique sur n'importe quel axe est égale à la projection sur cet axe du vecteur principal de toutes les forces externes agissant sur ce système mécanique.

Multiplier les deux côtés de l'égalité (2.12) par dt, on obtient le théorème sous une autre forme différentielle :

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

ceux. le moment différentiel d'un système mécanique est égal à l'impulsion élémentaire du vecteur principal (la somme des impulsions élémentaires) de toutes les forces externes agissant sur le système.

Intégration de l’égalité (2.13) dans le temps de passage de 0 à t, nous obtenons un théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique sous forme finale (intégrale) (en expression vectorielle) :

Q - Q 0 = S e,

ceux. la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique sur une période de temps finie est égale à l'impulsion totale du vecteur principal (la somme des impulsions totales) de toutes les forces externes agissant sur le système pendant la même période de temps.

En projetant l'égalité vectorielle (2.14) sur les axes de coordonnées cartésiennes, on obtient des expressions du théorème en projections (dans une expression scalaire) :

ceux. le changement dans la projection de l'impulsion d'un système mécanique sur n'importe quel axe sur une période de temps finie est égal à la projection sur le même axe de l'impulsion totale du vecteur principal (la somme des impulsions totales) de toutes les forces externes agissant sur le système mécanique pendant le même laps de temps.

Les corollaires suivants découlent du théorème considéré (2.11) – (2.15) :

1. Si R e = ∑F j e = 0, Que Q = const– on a la loi de conservation du vecteur de quantité de mouvement d’un système mécanique : si le vecteur principal Concernant de toutes les forces externes agissant sur un système mécanique est égal à zéro, alors le vecteur impulsion de ce système reste constant en ampleur et en direction et égal à son valeur initiale Q0, c'est à dire. Q = Q 0.
2. Si R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Que Q x = const– on a la loi de conservation de la projection sur l'axe de la quantité de mouvement d'un système mécanique : si la projection du vecteur principal de toutes les forces agissant sur un système mécanique sur n'importe quel axe est nulle, alors la projection sur le même axe de le vecteur de l'impulsion de ce système sera une valeur constante et égale à la projection sur cet axe du vecteur de l'impulsion initiale, c'est-à-dire Qx = Q0x.

Forme différentielle du théorème de changement de quantité de mouvement système matériel a des applications importantes et intéressantes en mécanique des milieux continus. De (2.11) nous pouvons obtenir le théorème d’Euler.

La quantité de mouvement d'un point matériel appelée quantité vectorielle mV,égal au produit de la masse d'un point et de son vecteur vitesse. Vecteur mV appliqué à un point en mouvement.

La quantité de mouvement du système appelée quantité vectorielle Q, égale à la somme géométrique (vecteur principal) des quantités de mouvement de tous les points du système :

Vecteur Q est un vecteur libre. Dans le système d'unités SI, le module de quantité de mouvement est mesuré en kg m/s ou N s.

En règle générale, les vitesses de tous les points du système sont différentes (voir, par exemple, la distribution des vitesses des points d'une roue roulante, représentée sur la Fig. 6.21), et donc la sommation directe des vecteurs du côté droit de l'égalité (17.2) est difficile. Trouvons une formule à l'aide de laquelle la quantité Q beaucoup plus facile à calculer. De l'égalité (16.4) il résulte que

En prenant la dérivée temporelle des deux côtés, on obtient Ainsi, en tenant compte de l’égalité (17.2), nous trouvons que

c'est-à-dire que la quantité de mouvement du système est égale au produit de la masse du système entier et de la vitesse de son centre de masse.

Notez que le vecteur Q, comme le principal vecteur de forces en statique, il s'agit d'un vecteur généralisé caractéristique du mouvement de l'ensemble du système mécanique. DANS cas général mouvement d'un système, son élan Q peut être considérée comme une caractéristique de la partie translationnelle du mouvement du système avec son centre de masse. Si, lorsque le système (corps) se déplace, le centre de masse est stationnaire, alors l'ampleur du mouvement du système sera égale à zéro. Il s’agit par exemple de la quantité de mouvement d’un corps tournant autour d’un axe fixe passant par son centre de masse.

Exemple. Déterminer l'ampleur du mouvement du système mécanique (Fig. 17.1, UN), composé de marchandises UN masse tA- 2 kg, bloc homogène DANS pesant 1 kg et roues D masse m D - 4 kg. Cargaison UN se déplace à grande vitesse VA - 2 m/s, roue D roule sans glisser, le fil est inextensible et léger. Solution. Quantité de mouvement d'un système de corps

Corps UN avance et Q A = m A V A(numériquement Q R= 4 kg m/s, direction vectorielle Q R coïncide avec la direction VA). Bloc DANS commet mouvement de rotation autour d'un axe fixe passant par son centre de masse ; ainsi, QB- 0. Roue D fait un plan parallèle

mouvement; son centre de vitesse instantanée est au point À, donc la vitesse de son centre de masse (point E)égal à V E = V A /2 = 1 m/s. Quantité de mouvement de la roue Q D - m D V E - 4 kg m/s ; vecteur QD dirigé horizontalement vers la gauche.

En décrivant les vecteurs Q R Et QD En figue. 17.1, b, trouvez la quantité de mouvement Q systèmes selon la formule (a). Compte tenu des orientations et valeurs numériques quantités, on obtient Q ~ ^ Q A + Q E=4l/2~ kg m/s, direction vectorielle Q montré sur la fig. 17.1, b.

Étant donné que une -dV/dt, l'équation (13.4) de la loi fondamentale de la dynamique peut être représentée comme

L'équation (17.4) exprime le théorème sur la variation de l'impulsion d'un point sous forme différentielle : à chaque instant du temps, la dérivée temporelle de l'impulsion d'un point est égale à la force agissant sur le point. (Essentiellement, il s'agit d'une autre formulation de la loi fondamentale de la dynamique, proche de celle donnée par Newton.) Si plusieurs forces agissent sur un point, alors du côté droit de l'égalité (17.4) il y aura une résultante des forces appliquées au point matériel.

Si les deux côtés de l’égalité sont multipliés par dt, alors nous obtenons

La quantité vectorielle à droite de cette égalité caractérise l'action exercée sur le corps par une force dans un laps de temps élémentaire dt cette valeur est notée DS et appelle élémentaire impulsion de force, c'est à dire.

Impulsion S force F pour une période de temps finie /, - / 0 est défini comme la limite de la somme intégrale des impulsions élémentaires correspondantes, c'est-à-dire

Dans le cas particulier, si la force F est constant en ampleur et en direction, alors S = F(t| -/ 0) et S- F(t l -/0). Dans le cas général, l'amplitude de la force impulsionnelle peut être calculée à partir de ses projections sur les axes de coordonnées :

Maintenant, en intégrant les deux côtés de l'égalité (17.5) avec T= const, on obtient

L'équation (17.9) exprime le théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un point sous forme finie (intégrale) : le changement de l'impulsion d'un point sur une certaine période de temps est égal à l'impulsion de la force agissant sur le point (ou à l'impulsion de la résultante de toutes les forces qui lui sont appliquées) sur la même période de temps.

Lors de la résolution de problèmes, utilisez les équations de ce théorème dans des projections sur les axes de coordonnées

Considérons maintenant un système mécanique composé de P. points matériels. Ensuite pour chaque point on peut appliquer le théorème sur le changement de quantité de mouvement sous la forme (17.4), en tenant compte des forces externes et internes appliquées aux points :

En sommant ces égalités et en tenant compte du fait que la somme des dérivées est égale à la dérivée de la somme, on obtient

Puisque de par la nature des forces internes HFk=0 et par définition de la quantité de mouvement ^fn k V/c = Q, puis nous trouvons enfin

L'équation (17.11) exprime le théorème sur le changement de quantité de mouvement du système sous forme différentielle : à chaque instant, la dérivée temporelle de l'impulsion du système est égale à la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système.

En projetant l'égalité (17.11) sur les axes de coordonnées, on obtient

En multipliant les deux côtés (17.11) par dt et en intégrant, on obtient

où 0, Q 0 - la quantité de mouvement du système à des moments précis respectivement et / 0.

L'équation (17.13) exprime le théorème sur le changement de quantité de mouvement du système sous forme intégrale : la variation de la quantité de mouvement du système à tout moment est égale à la somme des impulsions de toutes les forces externes agissant sur le système pendant le même temps.

En projections sur les axes de coordonnées, nous obtenons

Du théorème sur le changement de la quantité de mouvement d'un système, on peut obtenir les conséquences importantes suivantes, qui expriment loi de conservation de la quantité de mouvement d'un système.

• 1. Si la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système est nulle (LFk=0), alors de l'équation (17.11) il s'ensuit que dans ce cas Q= const, c'est-à-dire que le vecteur impulsion du système sera constant en amplitude et en direction.
• 2. Si les forces externes agissant sur le système sont telles que la somme de leurs projections sur n'importe quel axe est nulle (par exemple, Je e kx = 0), alors d'après les équations (17.12) il s'ensuit que dans ce cas Qx = const, c'est-à-dire que la projection de la quantité de mouvement du système sur cet axe reste inchangée.

A noter que les forces internes du système ne participent pas à l'équation du théorème sur la variation de la quantité de mouvement du système. Ces forces, bien qu’elles influencent la dynamique de points individuels du système, ne peuvent pas modifier la dynamique du système dans son ensemble. Compte tenu de cette circonstance, lors de la résolution de problèmes, il est conseillé de choisir le système considéré de manière à ce que les forces inconnues (toutes ou partie d'entre elles) soient rendues internes.

La loi de conservation de la quantité de mouvement est pratique à appliquer dans les cas où, en modifiant la vitesse d'une partie du système, il est nécessaire de déterminer la vitesse de son autre partie.

Problème 17.1. À chariot de pesée t x- 12 kg se déplaçant le long d'un plan horizontal lisse en un point UN une tige en apesanteur est fixée à l'aide d'une charnière cylindrique ANNONCE longueur /= 0,6 m avec charge D masse t 2 - 6 kg à la fin (Fig. 17.2). Au temps /0 = 0, lorsque la vitesse du chariot Et () - 0,5 m/s, tige ANNONCE commence à tourner autour d'un axe UN, perpendiculaire au plan de dessin, selon la loi f = (tg/6)(3^2 - 1) rad (/-en secondes). Définir: u = f.

§ 17.3. Théorème sur le mouvement du centre de masse

Le théorème sur la variation de la quantité de mouvement d'un système mécanique peut être exprimé sous une autre forme, appelée théorème sur le mouvement du centre de masse.

En substituant dans l'équation (17.11) l'égalité Q = MV C, on a

Si la masse M le système est constant, on obtient

Où et avec - accélération du centre de masse du système.

L'équation (17.15) exprime le théorème sur le mouvement du centre de masse du système : le produit de la masse d'un système et de l'accélération de son centre de masse est égal à la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système.

En projetant l'égalité (17.15) sur les axes de coordonnées, on obtient

Où x c , y c , z c - coordonnées du centre de masse du système.

Ces équations sont des équations différentielles de mouvement du centre de masse en projections sur les axes du repère cartésien.

Discutons des résultats obtenus. Rappelons d'abord que le centre de masse du système est point géométrique, parfois situé en dehors des limites géométriques du corps. Les forces agissant sur le système mécanique (externes et internes) s'appliquent à tous les points matériels du système. Les équations (17.15) permettent de déterminer le mouvement du centre de masse du système sans déterminer le mouvement de ses points individuels. En comparant les équations (17.15) du théorème sur le mouvement du centre de masse et les équations (13.5) de la deuxième loi de Newton pour un point matériel, nous arrivons à la conclusion : le centre de masse d'un système mécanique se déplace comme un point matériel dont la masse est égale à la masse de l'ensemble du système, et comme si toutes les forces extérieures agissant sur le système étaient appliquées à ce point. Ainsi, les solutions que l'on obtient en considérant un corps donné comme un point matériel déterminent la loi du mouvement du centre de masse de ce corps.

En particulier, si un corps se déplace en translation, alors les caractéristiques cinématiques de tous les points du corps et de son centre de masse sont les mêmes. C'est pourquoi un corps en mouvement de translation peut toujours être considéré comme un point matériel ayant une masse égale à la masse du corps entier.

Comme le montre (17.15), les forces internes agissant sur les points du système n'affectent pas le mouvement du centre de masse du système. Les forces internes peuvent influencer le mouvement du centre de masse dans les cas où les forces externes changent sous leur influence. Des exemples en seront donnés ci-dessous.

Du théorème sur le mouvement du centre de masse, on peut obtenir les conséquences importantes suivantes, qui expriment la loi de conservation du mouvement du centre de masse du système.

1. Si la somme géométrique de toutes les forces externes agissant sur le système est nulle (LFk=0), alors de l’équation (17.15) il résulte,

Et ça un c = 0 ou V c = const, c'est-à-dire le centre de masse de ce système

se déplace à une vitesse constante en ampleur et en direction (en d’autres termes, de manière uniforme et rectiligne). Dans un cas particulier, si au début le centre de masse était au repos ( Vc=0), alors il restera au repos ; où

piste Vous savez que sa position dans l'espace ne changera pas, c'est-à-dire r c = const.

2. Si les forces externes agissant sur le système sont telles que la somme de leurs projections sur un axe (par exemple, l'axe X)égal à zéro (?F e kx= 0), alors de l'équation (17.16) il s'ensuit que dans ce cas xs=0 ou V Cx = x c = const, c'est-à-dire que la projection de la vitesse du centre de masse du système sur cet axe est une valeur constante. Dans le cas particulier, si au moment initial Vexer= 0, alors à tout moment ultérieur, cette valeur restera la même, et il s'ensuit que la coordonnée xs le centre de masse du système ne changera pas, c'est-à-dire xc- const.

Considérons des exemples illustrant la loi du mouvement du centre de masse.

Exemples. 1. Comme indiqué, le mouvement du centre de masse dépend uniquement de forces externes : les forces internes ne peuvent pas modifier la position du centre de masse. Mais les forces internes du système peuvent provoquer des influences externes. Ainsi, le mouvement d’une personne sur une surface horizontale s’effectue sous l’influence de forces de frottement entre les semelles de ses chaussures et la surface de la route. Avec la force de ses muscles (forces internes), une personne pousse ses pieds hors de la chaussée, c'est pourquoi une force de friction (externe à la personne) apparaît aux points de contact avec la route, dirigée en direction de son mouvement.

• 2. La voiture se déplace de la même manière. Les forces de pression internes dans son moteur forcent les roues à tourner, mais comme ces dernières ont une traction avec la route, les forces de friction qui en résultent « poussent » la voiture vers l'avant (en conséquence, les roues ne tournent pas, mais se déplacent parallèlement au plan). . Si la route est absolument lisse, alors le centre de masse de la voiture sera stationnaire (à vitesse initiale nulle) et les roues, en l'absence de friction, glisseront, c'est-à-dire effectueront un mouvement de rotation.
• 3. Le mouvement à l'aide d'une hélice, d'une hélice ou de rames se produit en raison du rejet d'une certaine masse d'air (ou d'eau). Si nous considérons la masse projetée et le corps en mouvement comme un seul système, alors les forces d'interaction entre eux, en tant que forces internes, ne peuvent pas modifier la quantité totale de mouvement de ce système. Cependant, chaque partie de ce système fera avancer, par exemple, le bateau, et l'eau que les rames rejettent.
• 4. Dans l'espace sans air, lorsqu'une fusée se déplace, la « masse lancée » doit être « emportée avec vous » : le moteur à réaction transmet le mouvement à la fusée en rejetant les produits de combustion du carburant dont la fusée est remplie.
• 5. Lors de la descente en parachute, vous pouvez contrôler le mouvement du centre de masse du système homme-parachute. Si, grâce à des efforts musculaires, une personne tend les suspentes du parachute de telle sorte que la forme de sa voilure ou l'angle d'attaque du flux d'air change, cela provoquera alors une modification de l'influence externe du flux d'air, et influencera ainsi le mouvement. de l’ensemble du système.

Problème 17.2. DANS Problème 17.1 (voir Fig. 17.2) déterminer : 1) loi du mouvement du chariot X (= /)(/), si l'on sait qu'à l'instant initial t 0 = O le système était au repos et la coordonnée x 10 = 0 ; 2) loi d'évolution dans le temps de la valeur totale réaction normale N(N = N" + N") plan horizontal, c'est-à-dire N = f 2 (t).

Solution. Ici, comme dans le problème 17.1, nous considérons un système constitué d'un chariot et d'une charge D, dans une position arbitraire sous l'influence de forces extérieures qui lui sont appliquées (voir Fig. 17.2). Axes de coordonnées Ohoo dessinez-le de manière à ce que l'axe des x soit horizontal et que l'axe à passé par le point Un 0, c'est-à-dire l'emplacement du point UNà un moment donné t-t 0 - 0.

1. Détermination de la loi de mouvement du chariot. Pour déterminer x, = /,(0, on utilise le théorème sur le mouvement du centre de masse du système. Composons équation différentielle ses mouvements en projection sur l'axe x :

Puisque toutes les forces extérieures sont verticales, alors T,F e kx = 0, et donc

En intégrant cette équation, on trouve que Mx s = B, c'est-à-dire que la projection de la vitesse du centre de masse du système sur l'axe des x est une valeur constante. Depuis qu'au moment initial

Intégration de l'équation. Mxs= 0, on obtient

c'est-à-dire coordonner xs le centre de masse du système est constant.

Écrivons l'expression Mxs pour une position arbitraire du système (voir Fig. 17.2), en tenant compte du fait que xA-x { , xD-x2 Et x 2 - x ( - je péché f. Conformément à la formule (16.5), qui détermine la coordonnée du centre de masse du système, dans ce cas Mx s - t (x( + 2 x 2".

pour un moment arbitraire

pour l'instant / () = 0, X (= 0 et

Conformément à l'égalité (b), la coordonnée xs le centre de masse de l'ensemble du système reste inchangé, c'est-à-dire xD^,) = xc(t). Par conséquent, en égalisant les expressions (c) et (d), nous obtenons la dépendance de la coordonnée x au temps.

Répondre: X - 0,2 m, où t- en secondes.

2. Définition de la réaction N. Pour déterminer N = f 2 (t) composons une équation différentielle du mouvement du centre de masse du système en projection sur l'axe vertical à(voir Fig. 17.2) :

Par conséquent, désignant N=N+N", on a

D'après la formule qui détermine l'ordonnée oui centre de masse du système, Mu s = t ( y x + t 2 et 2, où y, = en C1,à 2 heures= et D = UUN ~ 1 parce que Ф" nous obtenons

Différencier cette égalité deux fois dans le temps (en tenant compte du fait que en C1 Et à les quantités sont constantes et, par conséquent, leurs dérivées sont égales à zéro), on trouve

En substituant cette expression dans l'équation (e), nous déterminons la dépendance souhaitée N depuis t.

Répondre: N- 176,4 + 1,13,

où f = (i/6)(3/ -1), t- en secondes, N- en newtons.

Problème 17.3. Poids du moteur électrique t x fixé à la surface horizontale de la fondation avec des boulons (Fig. 17.3). Une tige en apesanteur de longueur l est fixée à une extrémité à l'arbre du moteur perpendiculairement à l'axe de rotation, et un poids ponctuel est monté à l'autre extrémité de la tige. UN masse t 2. L'arbre tourne uniformément avec vitesse angulaire co. Trouvez la pression horizontale du moteur sur les boulons. Solution. Considérons un système mécanique composé d'un moteur et d'un poids ponctuel UN, dans n'importe quelle position. Représentons les forces externes agissant sur le système : la gravité Rx, R2, réaction de la fondation sous forme de force verticale N et force horizontale R. Traçons l'axe des x horizontalement.

Pour déterminer la pression horizontale du moteur sur les boulons (et elle sera numériquement égale à la réaction R. et dirigé à l'opposé du vecteur R. ), nous composerons l'équation du théorème sur la variation de la quantité de mouvement du système en projection sur l'axe horizontal des x :

Pour le système considéré dans sa position arbitraire, en tenant compte du fait que la quantité de mouvement du corps moteur est nulle, on obtient Qx = - t 2 U A soc. En tenant compte de ce VA = une z/, f = co/ (la rotation du moteur est uniforme), on obtient Qx- - m 2 co/cos co/. Différencier Qx dans le temps et en substituant dans l'égalité (a), on trouve R- m 2 co 2 /sin co/.

A noter que ce sont précisément ces forces qui forcent (voir § 14.3) ; lorsqu'elles agissent, des vibrations forcées des structures apparaissent.

Exercices pour travail indépendant

• 1. Qu'appelle-t-on la quantité de mouvement d'un point et d'un système mécanique ?
• 2. Comment change l’impulsion d’un point se déplaçant uniformément autour d’un cercle ?
• 3. Qu'est-ce qui caractérise une impulsion de force ?
• 4. Les forces internes d’un système affectent-elles sa dynamique ? Sur le mouvement de son centre de masse ?
• 5. Comment les couples de forces qui lui sont appliqués affectent-ils le mouvement du centre de masse du système ?
• 6. Dans quelles conditions le centre de masse du système est-il au repos ? Est-ce qu'il se déplace uniformément et en ligne droite ?

7. Dans un bateau stationnaire sans débit d’eau, un adulte est assis à l’arrière et un enfant est assis à la proue du bateau. Dans quelle direction le bateau se déplacera-t-il s’ils changent de place ?

Dans quel cas le module de mouvement du bateau sera-t-il grand : 1) si l’enfant se déplace vers la poupe de l’adulte ; 2) si un adulte va voir l'enfant à la proue du bateau ? Quel sera le déplacement du centre de masse du système « bateau et deux personnes » lors de ces mouvements ?

Laisser un point matériel se déplacer sous l'influence d'une force F. Il est nécessaire de déterminer le mouvement de ce point par rapport au système en mouvement Oxyz(cm. mouvement complexe point matériel), qui se déplace de manière connue par rapport au système stationnaire Ô 1 X 1 oui 1 z 1 .

Équation de base de la dynamique dans un système stationnaire

Écrivons l'accélération absolue d'un point en utilisant le théorème de Coriolis

Où un abdos– accélération absolue ;

un rapport– l'accélération relative ;

un voie– accélération portable;

un cœur– Accélération de Coriolis.

Réécrivons (25) en tenant compte de (26)

Introduisons la notation
- force d'inertie portable,
- Force d'inertie de Coriolis. Alors l’équation (27) prend la forme

L'équation de base de la dynamique pour l'étude du mouvement relatif (28) s'écrit de la même manière que pour le mouvement absolu, seules les forces de transfert et d'inertie de Coriolis doivent être ajoutées aux forces agissant sur un point.

Théorèmes généraux sur la dynamique d'un point matériel

Pour résoudre de nombreux problèmes, vous pouvez utiliser des ébauches prédéfinies obtenues sur la base de la deuxième loi de Newton. Ces méthodes de résolution de problèmes sont combinées dans cette section.

Théorème sur le changement de quantité de mouvement d'un point matériel

Introduisons les caractéristiques dynamiques suivantes :

1. Moment d'un point matériel– quantité vectorielle égale au produit de la masse d'un point et de son vecteur vitesse

. (29)

2. Impulsion de force

Impulsion élémentaire de force– quantité vectorielle égale au produit du vecteur force et d'un intervalle de temps élémentaire

(30).

Alors pleine impulsion

. (31)

À F=const on obtient S=Pi.

L'impulsion totale pour une période de temps finie ne peut être calculée que dans deux cas, lorsque la force agissant sur un point est constante ou dépend du temps. Dans d’autres cas, il faut exprimer la force en fonction du temps.

L'égalité des dimensions d'impulsion (29) et d'élan (30) permet d'établir une relation quantitative entre elles.

Considérons le mouvement d'un point matériel M sous l'action d'une force arbitraire F le long d'une trajectoire arbitraire.

À PROPOS DU :
. (32)

On sépare les variables dans (32) et on intègre

. (33)

En conséquence, en tenant compte de (31), on obtient

. (34)

L'équation (34) exprime le théorème suivant.

Théorème: La variation de l'impulsion d'un point matériel sur une certaine période de temps est égale à l'impulsion de la force agissant sur ce point pendant le même intervalle de temps.

Lors de la résolution de problèmes, l'équation (34) doit être projetée sur les axes de coordonnées

Ce théorème est pratique à utiliser lorsque parmi les quantités données et inconnues se trouvent la masse d'un point, sa vitesse initiale et finale, ses forces et son temps de mouvement.

Théorème sur la variation du moment cinétique d'un point matériel

M
moment d'impulsion d'un point matériel par rapport au centre est égal au produit du module de l'impulsion de la pointe et de l'épaule, c'est-à-dire distance la plus courte(perpendiculaire) du centre à la ligne coïncidant avec le vecteur vitesse

, (36)

. (37)

La relation entre le moment de force (cause) et le moment d’impulsion (effet) est établie par le théorème suivant.

Soit le point M d'une masse donnée m se déplace sous l’influence de la force F.

,
,

, (38)

. (39)

Calculons la dérivée de (39)

. (40)

En combinant (40) et (38), on obtient finalement

. (41)

L'équation (41) exprime le théorème suivant.

Théorème: La dérivée temporelle du vecteur moment cinétique d'un point matériel par rapport à un centre est égale au moment de la force agissant sur le point par rapport au même centre.

Lors de la résolution de problèmes, l'équation (41) doit être projetée sur les axes de coordonnées

Dans les équations (42), les moments d'impulsion et de force sont calculés par rapport aux axes de coordonnées.

De (41) il résulte loi de conservation du moment cinétique (loi de Kepler).

Si le moment de force agissant sur un point matériel par rapport à n'importe quel centre est nul, alors le moment cinétique du point par rapport à ce centre conserve sa grandeur et sa direction.

Si
, Que
.

Le théorème et la loi de conservation sont utilisés dans des problèmes impliquant un mouvement curviligne, notamment sous l'action de forces centrales.

Pour un point matériel, la loi fondamentale de la dynamique peut être représentée comme

En multipliant vectoriellement les deux côtés de cette relation à gauche par le rayon vecteur (Fig. 3.9), on obtient

(3.32)

Sur le côté droit de cette formule on a le moment de force par rapport au point O. On transforme le côté gauche en appliquant la formule de la dérivée d'un produit vectoriel

Mais Comment produit vectoriel vecteurs parallèles. Après cela, nous obtenons

(3.33)

La dérivée première par rapport au temps du moment d'impulsion d'un point par rapport à n'importe quel centre est égale au moment de force par rapport à ce même centre.

Un exemple de calcul du moment cinétique d'un système. Calculez le moment cinétique par rapport au point O d'un système constitué d'un arbre cylindrique de masse M = 20 kg et de rayon R = 0,5 m et d'une charge descendante de masse m = 60 kg (Figure 3.12). L'arbre tourne autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire ω = 10 s -1.

Graphique 3.12

; ;

Pour des données d'entrée données, le moment cinétique du système

Théorème sur la variation du moment cinétique d'un système. Nous appliquons les forces externes et internes résultantes à chaque point du système. Pour chaque point du système, vous pouvez appliquer le théorème sur la variation du moment cinétique, par exemple sous la forme (3.33)

En sommant tous les points du système et en tenant compte du fait que la somme des dérivées est égale à la dérivée de la somme, on obtient

En déterminant le moment cinétique du système et les propriétés des forces externes et internes

Par conséquent, la relation résultante peut être représentée comme

La dérivée première du moment cinétique d'un système par rapport à n'importe quel point est égale au moment principal des forces externes agissant sur le système par rapport au même point.

3.3.5. Travail de force

1) Le travail élémentaire d'une force est égal au produit scalaire de la force et du rayon différentiel du vecteur du point d'application de la force (Fig. 3.13)

Graphique 3.13

L'expression (3.36) peut également s'écrire sous les formes équivalentes suivantes

où est la projection de la force sur la direction de la vitesse du point d’application de la force.

2) Travail de force sur le déplacement final

En intégrant le travail de force élémentaire, on obtient les expressions suivantes pour le travail de force lors du déplacement final du point A au point B

3) Travail force constante

Si la force est constante, alors de (3.38) il résulte

Le travail d'une force constante ne dépend pas de la forme de la trajectoire, mais dépend uniquement du vecteur déplacement du point d'application de la force.

4) Travail de force de poids

Pour la force de poids (Fig. 3.14) et de (3.39) on obtient

Graphique 3.14

Si le mouvement se produit du point B au point A, alors

En général

Le signe « + » correspond au mouvement vers le bas du point d'application de la force, le signe « - » – vers le haut.

4) Travail de force élastique

Supposons que l'axe du ressort soit dirigé le long de l'axe x (Fig. 3.15), et que l'extrémité du ressort se déplace du point 1 au point 2, alors à partir de (3.38) on obtient

Si la rigidité du ressort est Avec, Donc alors

UN (3.41)

Si l'extrémité du ressort se déplace du point 0 au point 1, alors dans cette expression on remplace , , alors le travail de la force élastique prendra la forme

(3.42)

où est l'allongement du ressort.

Graphique 3.15

5) Le travail de force appliqué à un corps en rotation. L'œuvre du moment.

En figue. La figure 3.16 montre un corps en rotation auquel une force arbitraire est appliquée. Lors de la rotation, le point d'application de cette force se déplace en cercle.