Dans cette leçon, nous dériverons la formule de la somme des termes d'un progression arithmétique et résolvez quelques problèmes en utilisant cette formule.

Sujet : Progressions

Leçon : Formule pour la somme des termes d'une progression arithmétique finie

1. Introduction

Considérez le problème : trouvez la somme nombres naturels de 1 à 100 inclus.

Étant donné : 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.

Trouver : S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Solution : S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Réponse : 5050.

La séquence d'entiers naturels 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 est progression arithmétique: a1=1, d=1.

Nous avons trouvé la somme des cent premiers nombres naturels, c'est-à-dire la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique.

La solution envisagée a été proposée par le grand mathématicien Carl Friedrich Gauss, qui a vécu au XIXe siècle. Il a résolu le problème à l'âge de 5 ans.

Référence historique : Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) était un mathématicien, mécanicien, physicien et astronome allemand. Considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le « Roi des Mathématiciens ». Lauréat de la médaille Copley (1838), membre étranger des académies des sciences suédoise (1821) et russe (1824) et de la Royal Society anglaise. Selon la légende, un professeur de mathématiques à l'école, afin d'occuper longtemps les enfants, leur demandait de compter la somme des nombres de 1 à 100. Le jeune Gauss remarqua que les sommes par paires des opposés sont les mêmes : 1+100=101. , 2+99=101, etc. etc., et j'ai instantanément obtenu le résultat : 101x50=5050.

2. Dérivation de la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

Considérons un problème similaire pour une progression arithmétique arbitraire.

Trouver : la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique.

Montrons que toutes les expressions entre parenthèses sont égales entre elles, c'est-à-dire à l'expression . Soit d la différence d'une progression arithmétique. Alors:

Etc. On peut donc écrire :

Où obtient-on la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique :

.

3. Résoudre des problèmes en utilisant la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

1. Résolvons le problème de la somme des nombres naturels de 1 à 100 en utilisant la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique :

Solution : a1=1, d=1, n=100.

Formule générale:

.

Dans notre cas: .

Réponse : 5050.

Formule générale:

. Trouvons le nième terme de la progression arithmétique à l'aide de la formule : .

Dans notre cas: .

Pour trouver, il faut d’abord trouver.

Cela peut être fait en utilisant la formule générale .Nous appliquons d’abord cette formule pour trouver la différence d’une progression arithmétique.

C'est . Moyens .

Maintenant, nous pouvons trouver.

Utiliser la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

, nous le trouverons.

4. Dérivation de la deuxième formule pour la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

Obtenons la deuxième formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique, à savoir : on prouve que .

Preuve:

Dans la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique substituons l'expression à , à savoir . On obtient : , c'est-à-dire . Q.E.D.

Analysons les formules résultantes. Pour les calculs utilisant la première formule vous devez connaître le premier terme, le dernier terme et n en utilisant la deuxième formule - il faut connaître le premier terme, la différence et n.

Et en conclusion, notons que dans tous les cas Sn est fonction quadratique de n, parce que .

5. Résoudre des problèmes en utilisant la deuxième formule pour la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

Formule générale:

.

Dans notre cas:.

Réponse : 403.

2. Trouvez la somme de tous nombres à deux chiffres, multiples de 4.

(12 ; 16 ; 20 ; … ; 96) - un ensemble de nombres qui satisfont aux conditions du problème.

Cela signifie que nous avons une progression arithmétique.

n nous trouvons à partir de la formule pour :.

C'est . Moyens .

Utiliser la deuxième formule pour la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique

, nous le trouverons.

Vous devez trouver la somme de tous les termes du 10 au 25 inclus.

Une solution est la suivante :

Ainsi, .

6. Résumé de la leçon

Ainsi, nous avons dérivé des formules pour la somme des termes d’une progression arithmétique finie. Nous avons utilisé ces formules pour résoudre certains problèmes.

Dans la prochaine leçon, nous nous familiariserons avec la propriété caractéristique de la progression arithmétique.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algèbre 9e année (manuel pour le lycée) - M. : Education, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algèbre pour la 9e année avec avancé. étudié Mathématiques.-M. : Mnémosyne, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Chapitres supplémentaires pour le manuel scolaire d'algèbre de 9e année - M. : Prosveshchenie, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Collection de problèmes d'algèbre pour les niveaux 8-9 ( Didacticiel pour les étudiants des écoles et des classes avancées. étudié mathématiques).-M. : Éducation, 1996.

5. Mordkovich A.G. Algèbre 9e année, manuel pour les établissements d'enseignement général. - M. : Mnémosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algèbre 9e année, livre de problèmes pour les établissements d'enseignement. - M. : Mnémosyne, 2002.

7. Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école. 7e et 8e années (manuel de l'enseignant) - M. : Éducation, 1983.

1. Section collégiale. ru en mathématiques.

2. Portail des sciences naturelles.

3. Exponenta. ru Site mathématique éducatif.

1. N° 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. Algèbre 9e année).

2. N° 12.96 (Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Collection de problèmes d'algèbre pour les niveaux 8-9).

Somme d'une progression arithmétique.

La somme d’une progression arithmétique est une chose simple. Tant dans le sens que dans la formule. Mais il existe toutes sortes de tâches sur ce sujet. Du basique au assez solide.

Tout d'abord, comprenons la signification et la formule du montant. Et puis nous déciderons. Pour votre propre plaisir.) La signification du montant est aussi simple qu'un meuglement. Pour trouver la somme d’une progression arithmétique, il suffit d’additionner soigneusement tous ses termes. Si ces termes sont peu nombreux, vous pouvez les ajouter sans aucune formule. Mais s'il y en a beaucoup, ou beaucoup... l'addition est gênante.) Dans ce cas, la formule vient à la rescousse.

La formule du montant est simple :

Voyons quels types de lettres sont inclus dans la formule. Cela clarifiera beaucoup les choses.

S n - la somme d'une progression arithmétique. Résultat de l'addition tout le monde membres, avec d'abord Par dernier. C'est important. Ils s'additionnent exactement Tous membres d'affilée, sans sauter ni sauter. Et précisément, à partir de d'abord. Dans des problèmes tels que trouver la somme des troisième et huitième termes, ou la somme du cinquième au vingtième termes, l'application directe de la formule sera décevante.)

un 1 - d'abord membre de la progression. Tout est clair ici, c'est simple d'abord numéro de ligne.

un- dernier membre de la progression. Dernier numéro rangée. Ce n’est pas un nom très familier, mais appliqué au montant, il convient très bien. Ensuite, vous verrez par vous-même.

n - numéro du dernier membre. Il est important de comprendre que dans la formule ce nombre coïncide avec le nombre de termes ajoutés.

Définissons le concept dernier membre un. Question délicate : quel membre sera le dernier si donné sans fin progression arithmétique?)

Pour répondre avec assurance, vous devez comprendre le sens élémentaire de la progression arithmétique et... lire attentivement la tâche !)

Dans la tâche consistant à trouver la somme d'une progression arithmétique, le dernier terme apparaît toujours (directement ou indirectement), qui devrait être limité. Dans le cas contraire, un montant définitif et précis n'existe tout simplement pas. Pour la solution, peu importe que la progression soit donnée : finie ou infinie. Peu importe comment cela est donné : une série de nombres ou une formule pour le nième terme.

Le plus important est de comprendre que la formule fonctionne du premier terme de la progression jusqu'au terme avec numéro n. En fait, le nom complet de la formule ressemble à ceci : la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique. Le nombre de ces tout premiers membres, soit n, est déterminé uniquement par la tâche. Dans une tâche, toutes ces informations précieuses sont souvent cryptées, oui... Mais qu'à cela ne tienne, dans les exemples ci-dessous nous vous révélons ces secrets.)

Exemples de tâches sur la somme d'une progression arithmétique.

Tout d'abord, information utile:

La principale difficulté des tâches impliquant la somme d’une progression arithmétique est définition correcteéléments de la formule.

Les rédacteurs des tâches chiffrent ces mêmes éléments avec une imagination sans limites.) L'essentiel ici est de ne pas avoir peur. Comprendre l'essence des éléments, il suffit simplement de les déchiffrer. Examinons quelques exemples en détail. Commençons par une tâche basée sur un véritable GIA.

1. La progression arithmétique est donnée par la condition : a n = 2n-3,5. Trouvez la somme de ses 10 premiers termes.

Bon travail. Facile.) Pour déterminer le montant à l’aide de la formule, que devons-nous savoir ? Premier membre un 1, dernier terme un, oui le numéro du dernier membre n.

Où puis-je obtenir le numéro du dernier membre ? n? Oui, sur place, sous condition ! Il dit : trouvez la somme 10 premiers membres. Eh bien, avec quel numéro sera-t-il ? dernier, dixième membre ?) Vous ne le croirez pas, son numéro est le dixième !) Par conséquent, au lieu de un Nous substituerons dans la formule un 10, et plutôt n- dix. Je le répète, le numéro du dernier membre coïncide avec le nombre de membres.

Reste à déterminer un 1 Et un 10. Ceci est facilement calculé à l’aide de la formule du nième terme, donnée dans l’énoncé du problème. Vous ne savez pas comment faire cela ? Assistez à la leçon précédente, sans cela, il n'y a aucun moyen.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S10.

Nous avons découvert la signification de tous les éléments de la formule de la somme d'une progression arithmétique. Il ne reste plus qu'à les substituer et à compter :

C'est ça. Réponse : 75.

Une autre tâche basée sur le GIA. Un peu plus compliqué :

2. Étant donné une progression arithmétique (a n) dont la différence est de 3,7 ; une 1 =2,3. Trouvez la somme de ses 15 premiers termes.

On écrit immédiatement la formule de somme :

Cette formule nous permet de trouver la valeur de n'importe quel terme par son numéro. Nous recherchons une substitution simple :

une 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Il reste à substituer tous les éléments dans la formule de la somme d'une progression arithmétique et à calculer la réponse :

Réponse : 423.

À propos, si dans la formule de somme au lieu de un On substitue simplement la formule au nième terme et on obtient :

Présentons-en des similaires et obtenons une nouvelle formule pour la somme des termes d'une progression arithmétique :

Comme vous pouvez le voir, ce n'est pas obligatoire ici nième mandat un. Dans certains problèmes, cette formule aide beaucoup, oui... Vous vous souvenez de cette formule. Est-ce possible dans bon moment c'est facile de l'afficher, comme ici. Après tout, vous devez toujours vous rappeler la formule de la somme et la formule du nième terme.)

Maintenant, la tâche sous la forme d'un court cryptage) :

3. Trouvez la somme de tous les nombres positifs à deux chiffres qui sont des multiples de trois.

Ouah! Ni votre premier membre, ni votre dernier, ni progression du tout... Comment vivre !?

Vous devrez réfléchir avec votre tête et extraire tous les éléments de la somme de la progression arithmétique de la condition. Nous savons ce que sont les nombres à deux chiffres. Ils se composent de deux nombres.) Quel sera le nombre à deux chiffres d'abord? 10, vraisemblablement.) Un dernière chose numéro à deux chiffres ? 99, bien sûr ! Les chiffres à trois chiffres le suivront...

Multiples de trois... Hm... Ce sont des nombres divisibles par trois, ici ! Dix n'est pas divisible par trois, 11 n'est pas divisible... 12... est divisible ! Alors, quelque chose se dessine. Vous pouvez déjà écrire une série selon les conditions du problème :

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Cette série sera-t-elle une progression arithmétique ? Certainement! Chaque terme diffère du précédent par strictement trois. Si vous ajoutez 2 ou 4 à un terme, disons, le résultat, c'est-à-dire le nouveau nombre n'est plus divisible par 3. Vous pouvez immédiatement déterminer la différence de la progression arithmétique : d = 3. Cela sera utile !)

Ainsi, nous pouvons noter en toute sécurité quelques paramètres de progression :

Quel sera le numéro ? n dernier membre ? Quiconque pense que 99 se trompe fatalement... Les chiffres s'enchaînent toujours, mais nos membres dépassent trois. Ils ne correspondent pas.

Il y a deux solutions ici. Une solution est pour les super travailleurs. Vous pouvez noter la progression, toute la série de nombres et compter le nombre de membres avec votre doigt.) La deuxième façon est destinée aux réfléchis. Vous devez vous rappeler la formule du nième terme. Si nous appliquons la formule à notre problème, nous constatons que 99 est le trentième terme de la progression. Ceux. n = 30.

Regardons la formule de la somme d'une progression arithmétique :

Nous regardons et nous réjouissons.) Nous avons extrait de l'énoncé du problème tout le nécessaire pour calculer le montant :

un 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Il ne reste plus que l'arithmétique élémentaire. Nous remplaçons les nombres dans la formule et calculons :

Réponse : 1665

Un autre type de puzzle populaire :

4. Étant donné une progression arithmétique :

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Trouvez la somme des termes du vingtième à trente-quatre.

On regarde la formule du montant et... on s'énerve.) La formule, je vous le rappelle, calcule le montant Depuis le premier membre. Et dans le problème, vous devez calculer la somme depuis le vingtième... La formule ne fonctionnera pas.

Vous pouvez bien sûr écrire toute la progression dans une série et ajouter des termes de 20 à 34. Mais... c'est en quelque sorte stupide et prend beaucoup de temps, non ?)

Il existe une solution plus élégante. Divisons notre série en deux parties. La première partie sera du premier mandat au dix-neuvième. Deuxième partie - de vingt à trente-quatre heures. Il est clair que si l'on calcule la somme des termes de la première partie S1-19, ajoutons-le avec la somme des termes de la deuxième partie S20-34, on obtient la somme de la progression du premier mandat au trente-quatrième S1-34. Comme ça:

S1-19 + S20-34 = S1-34

De là, nous pouvons voir que trouver la somme S20-34 peut être fait par simple soustraction

S20-34 = S1-34 - S1-19

Les deux montants du côté droit sont pris en compte Depuis le premier membre, c'est-à-dire la formule de somme standard leur est tout à fait applicable. Commençons?

Nous extrayons les paramètres de progression de l'énoncé du problème :

d = 1,5.

un 1= -21,5.

Pour calculer les sommes des 19 premiers et des 34 premiers termes, nous aurons besoin des 19e et 34e termes. On les calcule à l'aide de la formule du nième terme, comme dans le problème 2 :

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Il ne reste rien. De la somme de 34 termes soustrayez la somme de 19 termes :

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Réponse : 262,5

Une remarque importante ! Il existe une astuce très utile pour résoudre ce problème. Au lieu d'un calcul direct ce dont vous avez besoin (S 20-34), nous avons compté quelque chose qui ne semble pas nécessaire - S 1-19. Et puis ils ont déterminé S20-34, en supprimant l'inutile du résultat complet. Ce genre de « feinte avec vos oreilles » vous évite souvent de graves problèmes.)

Dans cette leçon, nous avons examiné des problèmes pour lesquels il suffit de comprendre la signification de la somme d'une progression arithmétique. Eh bien, vous devez connaître quelques formules.)

Conseils pratiques :

Lors de la résolution d'un problème impliquant la somme d'une progression arithmétique, je recommande d'écrire immédiatement les deux formules principales de ce sujet.

Formule pour le nième terme :

Ces formules vous diront immédiatement quoi rechercher et dans quelle direction penser pour résoudre le problème. Aide.

Et maintenant les tâches pour une solution indépendante.

5. Trouvez la somme de tous les nombres à deux chiffres qui ne sont pas divisibles par trois.

Cool ?) L'indice est caché dans la note du problème 4. Eh bien, le problème 3 vous aidera.

6. La progression arithmétique est donnée par la condition : a 1 = -5,5 ; un n+1 = un n +0,5. Trouvez la somme de ses 24 premiers termes.

Insolite ?) C’est une formule récurrente. Vous pouvez en lire davantage dans la leçon précédente. N’ignorez pas le lien, de tels problèmes se retrouvent souvent à l’Académie nationale des sciences.

7. Vasya a économisé de l'argent pour les vacances. Jusqu'à 4550 roubles ! Et j'ai décidé d'offrir à ma personne préférée (moi-même) quelques jours de bonheur). Vivez magnifiquement sans rien vous priver. Dépensez 500 roubles le premier jour et chaque jour suivant, dépensez 50 roubles de plus que le précédent ! Jusqu'à ce que l'argent soit épuisé. Combien de jours de bonheur Vasya a-t-il eu ?

Est-ce difficile ?) Est-ce que cela aidera ? formule supplémentaire de la tâche 2.

Réponses (en désarroi) : 7, 3240, 6.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

SÉQUENCES NUMÉRIQUES VI

§ 144. Somme des termes d'une progression arithmétique

On dit qu'un jour un professeur école primaire, voulant occuper longtemps la classe avec un travail indépendant, il a confié aux enfants une tâche « difficile » : calculer la somme de tous les nombres naturels de 1 à 100 :

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

L'un des étudiants a immédiatement proposé une solution. C'est ici.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 fois

Il s’agissait de Carl Gauss, qui devint plus tard l’un des mathématiciens les plus célèbres au monde*.

*Un cas similaire avec Gauss s'est réellement produit. Cependant, ici, c'est grandement simplifié. Les nombres proposés par l'enseignant étaient à cinq chiffres et formaient une progression arithmétique avec une différence de trois chiffres.

L'idée d'une telle solution peut être utilisée pour trouver la somme des termes de toute progression arithmétique.

Lemme. La somme de deux termes d'une progression arithmétique finie, équidistants des extrémités, est égale à la somme des termes extrêmes.

Par exemple, dans une progression arithmétique finie

1, 2, 3.....98, 99, 100

les termes 2 et 99, 3 et 98, 4 et 97, etc. sont équidistants des extrémités de cette progression. Leurs sommes 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 sont donc égales à la somme des termes extrêmes 1 + 100.

Preuve du lemme. Laissez entrer la progression arithmétique finie

un 1 , un 2 , ..., un n - 1 , un n

deux membres quelconques sont à égale distance des extrémités. Supposons que l'un d'eux soit k ème terme à gauche, c'est-à-dire un k , et l'autre - k le ième terme à droite, soit un n -k+ 1 . Alors

un k + un n -k+ 1 =[un 1 + (k - 1)d ] + [un 1 + (pk )d ] = 2un 1 + (n - 1)d .

La somme des termes extrêmes de cette progression est égale à

un 1 + un n = un 1 + [un 1 + (n - 1)d ] = 2un 1 + (n - 1)d .

Ainsi,

un k + un n -k+ 1 = un 1 + un n

Q.E.D.

En utilisant le lemme éprouvé, il est facile d’obtenir formule générale pour le montant P. membres de toute progression arithmétique.

S n = un 1 +un 2 + ...+ un n - 1 + un n

S n = un n + un n - 1 + ... + un 2 + un 1 .

En additionnant ces deux égalités terme par terme, on obtient :

2S n = (un 1 +un n ) + (un 2 +un n - 1)+...+(un n - 1 +un 2) + (un n +un 1)

un 1 +un n = un 2 +un n - 1 = un 3 +un n - 2 =... .

2S n = n (un 1 +un n ),

La somme des termes d'une progression arithmétique finie est égale au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes et du nombre de tous les termes.

En particulier,

Des exercices

971. Trouvez la somme de tous les nombres impairs à trois chiffres.

972. Combien de sonneries une horloge fera-t-elle pendant la journée si elle ne sonne que le nombre d'heures entières ?

973. Quelle est la somme du premier P. nombres de nombres naturels ?

974. Dérivez la formule de la longueur du chemin parcouru par un corps lors d'un mouvement uniformément accéléré :

Où v 0 - vitesse initiale en m/sec , UN - accélération dans m/sec 2 , t - le temps de trajet en seconde.

975. Trouver la somme de toutes les fractions irréductibles de dénominateur 3 entre entiers positifs T Et P. (T< п ).

976. Un ouvrier entretient 16 métiers à tisser automatiques. Productivité de chaque machine UN m/h. Le travailleur a allumé la première machine à 7 heures h, et chacun suivant par 5 min plus tard que le précédent. Découvrez la production en mètres pour les 2 premiers h travail.

977. Résoudre des équations :

une) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. Du 1er au 12 juillet inclus, la température de l'air a augmenté quotidiennement en moyenne de 1/2 degré. Sachant que la température moyenne pendant cette période s'est avérée être de 18 3/4 degrés, déterminez quelle était la température de l'air le 1er juillet.

979. Trouver une progression arithmétique dont la moyenne arithmétique est P. premiers termes pour tout P. égal à leur nombre.

980. Trouver la somme des vingt premiers termes de la progression arithmétique dans laquelle

un 6 + un 9 + un 12 + un 15 = 20.

Type de cours : apprendre du nouveau matériel.

Objectifs de la leçon:

• élargir et approfondir la compréhension des élèves des problèmes résolus à l’aide de la progression arithmétique ; organisation activité de recherche les élèves lorsqu'ils dérivent la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique ;
• développer la capacité d'acquérir de manière indépendante de nouvelles connaissances et d'utiliser les connaissances déjà acquises pour accomplir une tâche donnée ;
• développer le désir et le besoin de généraliser les faits obtenus, développer l'indépendance.

Tâches:

• résumer et systématiser les connaissances existantes sur le thème « Progression arithmétique » ;
• dériver des formules pour calculer la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique ;
• apprendre à appliquer les formules obtenues lors de la résolution de divers problèmes ;
• attirer l'attention des élèves sur la procédure permettant de trouver la valeur d'une expression numérique.

Équipement:

• des cartes avec des tâches pour travailler en groupe et en binôme ;
• document d'évaluation;
• présentation"Progression arithmétique."

I. Actualisation des connaissances de base.

1. Travail indépendant par deux.

1ère possibilité :

Définir la progression arithmétique. Écrivez une formule de récurrence qui définit une progression arithmétique. Veuillez fournir un exemple de progression arithmétique et indiquer sa différence.

2ème possibilité :

Écrivez la formule du nième terme d'une progression arithmétique. Trouver le 100ème terme de la progression arithmétique ( un}: 2, 5, 8 …
A ce moment, deux élèves au dos du tableau préparent des réponses aux mêmes questions.
Les élèves évaluent le travail de leur partenaire en les cochant au tableau. (Des fiches avec réponses sont remises.)

2. Moment de jeu.

Exercice 1.

Professeur. J'ai pensé à une progression arithmétique. Posez-moi seulement deux questions pour qu'après les réponses vous puissiez rapidement nommer le 7ème terme de cette progression. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Questions des étudiants.

1. Quel est le sixième terme de la progression et quelle est la différence ?
2. Quel est le huitième terme de la progression et quelle est la différence ?

S'il n'y a plus de questions, l'enseignant peut les stimuler - une « interdiction » de d (différence), c'est-à-dire qu'il n'est pas permis de demander à quoi est égale la différence. Vous pouvez vous poser des questions : à quoi est égal le 6ème terme de la progression et à quoi est égal le 8ème terme de la progression ?

Tâche 2.

Il y a 20 nombres écrits au tableau : 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

L'enseignant se tient dos au tableau. Les élèves appellent le numéro et l'enseignant appelle instantanément le numéro lui-même. Expliquez comment je peux faire cela ?

Le professeur se souvient de la formule du nième trimestre une n = 3n – 2 et, en remplaçant les valeurs spécifiées n, trouve les valeurs correspondantes un.

II. Définir une tâche d'apprentissage.

Je propose de résoudre un problème ancien remontant au 2ème millénaire avant JC, trouvé dans des papyrus égyptiens.

Tâche:« Qu'on vous le dise : divisez 10 mesures d'orge entre 10 personnes, la différence entre chaque personne et son voisin est de 1/8 de la mesure. »

• Comment ce problème est-il lié au sujet de la progression arithmétique ? (Chaque personne suivante reçoit 1/8 de la mesure en plus, ce qui signifie que la différence est d=1/8, 10 personnes, ce qui signifie n=10.)
• À votre avis, que signifie la mesure numéro 10 ? (Somme de tous les termes de la progression.)
• Que devez-vous savoir d'autre pour qu'il soit facile et simple de diviser l'orge en fonction des conditions du problème ? (Premier terme de progression.)

Objectif de la leçon– obtenir la dépendance de la somme des termes de la progression par rapport à leur nombre, au premier terme et à la différence, et vérifier si le problème a été résolu correctement dans les temps anciens.

Avant d’en déduire la formule, regardons comment les anciens Égyptiens résolvaient le problème.

Et ils l'ont résolu comme suit :

1) 10 mesures : 10 = 1 mesure – part moyenne ;
2) 1 mesure ∙ = 2 mesures – doublé moyenne partager.
Doublé moyenne la part est la somme des parts de la 5ème et de la 6ème personne.
3) 2 mesures – 1/8 mesures = 1 7/8 mesures – doubler la part de la cinquième personne.
4) 1 7/8 : 2 = 5/16 – fraction de cinquième ; et ainsi de suite, vous pouvez trouver la part de chaque personne précédente et suivante.

On obtient la séquence :

III. Résoudre le problème.

1. Travaillez en groupe

Groupe I : Trouvez la somme de 20 nombres naturels consécutifs : S 20 =(20+1)∙10 =210.

En général

Groupe II : Trouvez la somme des nombres naturels de 1 à 100 (La Légende du Petit Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Conclusion:

Groupe III : Trouvez la somme des nombres naturels de 1 à 21.

Solution : 1+21=2+20=3+19=4+18…

Conclusion:

Groupe IV : Trouvez la somme des nombres naturels de 1 à 101.

Conclusion:

Cette méthode de résolution des problèmes considérés est appelée « Méthode Gauss ».

2. Chaque groupe présente la solution au problème au tableau.

3. Généralisation des solutions proposées pour une progression arithmétique arbitraire :

un 1, un 2, un 3,…, un n-2, un n-1, un n.
S n = une 1 + une 2 + une 3 + une 4 +…+ une n-3 + une n-2 + une n-1 + une n.

Trouvons cette somme en utilisant un raisonnement similaire :

4. Avons-nous résolu le problème ?(Oui.)

IV. Compréhension primaire et application des formules obtenues lors de la résolution de problèmes.

1. Vérifier la solution d'un problème ancien à l'aide de la formule.

2. Application de la formule pour résoudre divers problèmes.

3. Exercices pour développer la capacité d'appliquer des formules lors de la résolution de problèmes.

A) N° 613

Donné: ( un) - progression arithmétique;

(un n) : 1, 2, 3, …, 1500

Trouver: S 1500

Solution: , une 1 = 1, et 1500 = 1500,

B) Étant donné : ( un) - progression arithmétique;
(un n) : 1, 2, 3, …
S n = 210

Trouver: n
Solution:

V. Travail indépendant avec vérification mutuelle.

Denis a commencé à travailler comme coursier. Le premier mois, son salaire était de 200 roubles, et chaque mois suivant, il augmentait de 30 roubles. Combien a-t-il gagné au total en un an ?

Donné: ( un) - progression arithmétique;
une 1 = 200, d=30, n=12
Trouver: S12
Solution:

Réponse : Denis a reçu 4 380 roubles pour l'année.

VI. Enseignement des devoirs.

1. Section 4.3 – apprendre la dérivation de la formule.
2. №№ 585, 623 .
3. Créez un problème qui peut être résolu en utilisant la formule de la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique.

VII. Résumer la leçon.

1. Feuille de match

2. Continuez les phrases

• Aujourd'hui, en classe, j'ai appris...
• Formules apprises...
• Je crois que …

3. Pouvez-vous trouver la somme des nombres de 1 à 500 ? Quelle méthode utiliserez-vous pour résoudre ce problème ?

Bibliographie.

1. Algèbre, 9e année. Tutoriel pour les établissements d'enseignement. Éd. G.V. Dorofeeva. M. : « Lumières », 2009.

En étudiant l'algèbre en lycée(9e année) l'un des sujets importants est l'étude des suites de nombres, qui incluent des progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous examinerons une progression arithmétique et des exemples de solutions.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Pour comprendre cela, il est nécessaire de définir la progression en question, ainsi que de fournir les formules de base qui seront utilisées plus tard pour résoudre les problèmes.

Une progression arithmétique ou algébrique est un ensemble de nombres rationnels ordonnés dont chaque terme diffère du précédent par une valeur constante. Cette valeur est appelée la différence. Autrement dit, connaissant n'importe quel membre d'une série ordonnée de nombres et la différence, vous pouvez restaurer toute la progression arithmétique.

Donnons un exemple. La séquence de nombres suivante sera une progression arithmétique : 4, 8, 12, 16, ..., puisque la différence dans ce cas est de 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mais l'ensemble des nombres 3, 5, 8, 12, 17 ne peut plus être attribué au type de progression considéré, puisque la différence pour lui n'est pas valeur constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formules importantes

Présentons maintenant les formules de base qui seront nécessaires pour résoudre des problèmes utilisant la progression arithmétique. Désignons par le symbole a n le nième membre de la séquence, où n est un nombre entier. Nous notons la différence Lettre latine d. Alors les expressions suivantes sont valides :

1. Pour déterminer la valeur du nième terme, la formule suivante convient : a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Pour déterminer la somme des n premiers termes : S n = (a n +a 1)*n/2.

Pour comprendre d'éventuels exemples de progression arithmétique avec solutions en 9e année, il suffit de rappeler ces deux formules, puisque tout problème du type considéré repose sur leur utilisation. N'oubliez pas non plus que la différence de progression est déterminée par la formule : d = a n - a n-1.

Exemple n°1 : trouver un terme inconnu

Donnons un exemple simple d'une progression arithmétique et les formules qui doivent être utilisées pour la résoudre.

Soit la séquence 10, 8, 6, 4, ..., vous devez y trouver cinq termes.

Des conditions du problème, il résulte déjà que les 4 premiers termes sont connus. Le cinquième peut être défini de deux manières :

1. Calculons d'abord la différence. On a : d = 8 - 10 = -2. De même, vous pouvez emmener deux autres membres l’un à côté de l’autre. Par exemple, d = 4 - 6 = -2. Puisqu'on sait que d = a n - a n-1, alors d = a 5 - a 4, d'où on obtient : a 5 = a 4 + d. On substitue les valeurs connues : a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. La deuxième méthode nécessite également de connaître la différence de progression en question, il faut donc d'abord la déterminer comme indiqué ci-dessus (d = -2). Sachant que le premier terme a 1 = 10, on utilise la formule du nombre n de la suite. On a : a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. En remplaçant n = 5 dans la dernière expression, nous obtenons : a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Comme vous pouvez le constater, les deux solutions ont conduit au même résultat. Notez que dans cet exemple, la différence de progression d est une valeur négative. De telles séquences sont dites décroissantes, puisque chaque terme suivant est inférieur au précédent.

Exemple n°2 : différence de progression

Maintenant, compliquons un peu la tâche, donnons un exemple de la façon dont

On sait que chez certains le 1er terme est égal à 6, et le 7ème terme est égal à 18. Il faut trouver la différence et restituer cette suite au 7ème terme.

Utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu : a n = (n - 1) * d + a 1 . Remplaçons-y les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et a 7, nous avons : 18 = 6 + 6 * d. A partir de cette expression vous pouvez facilement calculer la différence : d = (18 - 6) /6 = 2. Ainsi, nous avons répondu à la première partie du problème.

Pour restituer la séquence au 7ème terme, vous devez utiliser la définition d'une progression algébrique, c'est-à-dire a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, et ainsi de suite. En conséquence, on restitue la séquence entière : a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Exemple n°3 : établir une progression

Compliquons encore plus le problème. Nous devons maintenant répondre à la question de savoir comment trouver une progression arithmétique. L'exemple suivant peut être donné : deux nombres sont donnés, par exemple - 4 et 5. Il est nécessaire de créer une progression algébrique pour que trois termes supplémentaires soient placés entre ceux-ci.

Avant de commencer à résoudre ce problème, vous devez comprendre quelle place les nombres donnés occuperont dans la progression future. Puisqu'il y aura trois autres termes entre eux, alors a 1 = -4 et a 5 = 5. Après avoir établi cela, passons au problème, qui est similaire au précédent. Encore une fois, pour le nième terme nous utilisons la formule, nous obtenons : a 5 = a 1 + 4 * d. De : d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ce que nous obtenons ici n’est pas une valeur entière de la différence, mais c’est nombre rationnel, donc les formules de la progression algébrique restent les mêmes.

Ajoutons maintenant la différence trouvée à 1 et restaurons les termes manquants de la progression. On obtient : a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, ce qui a coïncidé avec les conditions du problème.

Exemple n°4 : premier terme de progression

Continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec solutions. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de la progression algébrique était connu. Considérons maintenant un problème d'un type différent : donnons deux nombres, où a 15 = 50 et a 43 = 37. Il faut trouver par quel nombre commence cette suite.

Les formules utilisées jusqu'à présent supposent la connaissance de a 1 et d. Dans l’énoncé du problème, on ne sait rien de ces chiffres. Néanmoins, nous écrirons des expressions pour chaque terme sur lequel des informations sont disponibles : a 15 = a 1 + 14 * d et a 43 = a 1 + 42 * d. Nous avons reçu deux équations dans lesquelles il y a 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème se réduit à résoudre un système d’équations linéaires.

La façon la plus simple de résoudre ce système est d’exprimer un 1 dans chaque équation, puis de comparer les expressions résultantes. Première équation : a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d ; deuxième équation : a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. En égalisant ces expressions, nous obtenons : 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, d'où la différence d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (seulement 3 décimales sont données).

Connaissant d, vous pouvez utiliser l'une des 2 expressions ci-dessus pour un 1. Par exemple, d'abord : a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le 43ème terme de la progression, qui est précisé dans la condition. On obtient : a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. La petite erreur est due au fait que les calculs ont été arrondis au millième.

Exemple n°5 : montant

Examinons maintenant plusieurs exemples avec des solutions pour la somme d'une progression arithmétique.

Soit une progression numérique de la forme suivante : 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres ?

Grâce au développement la technologie informatique vous pouvez résoudre ce problème, c'est-à-dire ajouter tous les nombres séquentiellement, ce que l'ordinateur fera immédiatement dès qu'une personne appuie sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu mentalement si vous faites attention au fait que la série de nombres présentée est une progression algébrique et que sa différence est égale à 1. En appliquant la formule de la somme, nous obtenons : S n = n * (a 1 + une n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Il est intéressant de noter que ce problème est appelé « gaussien » car dans début XVIII siècle, le célèbre Allemand, alors qu'il n'avait que 10 ans, était capable de le résoudre dans sa tête en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il a remarqué que si l'on additionne les nombres aux extrémités de la séquence par paires, on obtient toujours le même résultat, c'est-à-dire 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., et puisque ces sommes seront exactement 50 (100 / 2), alors pour obtenir la bonne réponse il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple n°6 : somme de termes de n à m

Un autre exemple typique de somme d'une progression arithmétique est le suivant : étant donné une série de nombres : 3, 7, 11, 15, ..., il faut trouver à quoi sera égale la somme de ses termes de 8 à 14. .

Le problème est résolu de deux manières. La première consiste à trouver les termes inconnus de 8 à 14, puis à les additionner séquentiellement. Comme il y a peu de termes, cette méthode ne demande pas beaucoup de travail. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème en utilisant une deuxième méthode, plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme de la progression algébrique entre les termes m et n, où n > m sont des nombres entiers. Dans les deux cas, on écrit deux expressions pour la somme :

1. S m = m * (un m + un 1) / 2.
2. S n = n * (un n + un 1) / 2.

Puisque n > m, il est évident que la 2ème somme inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et y ajoutons le terme a m (dans le cas de la différence, il est soustrait de la somme S n), nous obtiendrons la réponse nécessaire au problème. On a : S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + un m * (1- m/2). Il est nécessaire de substituer des formules pour a n et a m dans cette expression. On obtient alors : S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. En substituant ces nombres, nous obtenons : S mn = 301.

Comme le montrent les solutions ci-dessus, tous les problèmes sont basés sur la connaissance de l’expression du nième terme et de la formule de la somme de l’ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement la condition, de comprendre clairement ce que vous devez trouver, puis de procéder ensuite à la solution.

Un autre conseil est de rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à une question sans utiliser de calculs mathématiques complexes, c'est exactement ce que vous devez faire, car dans ce cas, la probabilité de commettre une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple d'une progression arithmétique avec la solution n°6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, et divisez le problème global en sous-tâches distinctes (dans ce cas, trouvez d'abord les termes a n et a m).

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Nous avons découvert comment trouver une progression arithmétique. Si vous comprenez, ce n'est pas si difficile.