Leçons 32-33. Inverse fonctions trigonométriques

09.07.2015 6432 0

Cible: considérer les fonctions trigonométriques inverses et leur utilisation pour écrire des solutions équations trigonométriques.

I. Communiquer le sujet et le but des cours

II. Apprendre du nouveau matériel

1. Fonctions trigonométriques inverses

Commençons notre discussion sur ce sujet avec l'exemple suivant.

Exemple 1

Résolvons l'équation : a) péché x = 1/2 ; b) péché x = a.

a) Sur l'axe des ordonnées on trace la valeur 1/2 et on construit les angles x1 et x2, pour lequel péché x = 1/2. Dans ce cas x1 + x2 = π, d'où x2 = π – x1 . A l'aide du tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, on trouve la valeur x1 = π/6, puisPrenons en compte la périodicité de la fonction sinusoïdale et notons les solutions équation donnée: où k ∈ Z.

b) Évidemment, l'algorithme de résolution de l'équation péché x = a est le même que dans le paragraphe précédent. Bien entendu, la valeur a est désormais tracée le long de l’axe des ordonnées. Il est nécessaire de désigner d'une manière ou d'une autre l'angle x1. Nous avons convenu de désigner cet angle par le symbole arcsin UN. Alors les solutions de cette équation peuvent s’écrire sous la formeCes deux formules peuvent être combinées en une seule : où

Les fonctions trigonométriques inverses restantes sont introduites de la même manière.

Très souvent, il est nécessaire de déterminer la grandeur de l'angle par valeur connue sa fonction trigonométrique. Un tel problème est multivalué - il existe d'innombrables angles dont les fonctions trigonométriques sont égales à la même valeur. Par conséquent, sur la base de la monotonie des fonctions trigonométriques, les fonctions trigonométriques inverses suivantes sont introduites pour déterminer de manière unique les angles.

Arc sinus du nombre a (arc sinus , dont le sinus est égal à a, c'est-à-dire

Arc cosinus d'un nombre a(arccos a) est un angle a de l'intervalle dont le cosinus est égal à a, c'est-à-dire

Arctangente d'un nombre une(arctg a) - un tel angle a à partir de l'intervalledont la tangente est égale à a, c'est-à-diretg a = a.

Arccotangente d'un nombre a(arcctg a) est un angle a de l'intervalle (0 ; π) dont la cotangente est égale à a, c'est-à-dire ctg a = a.

Exemple 2

Allons trouver:

Compte tenu des définitions des fonctions trigonométriques inverses, on obtient :

Exemple 3

Calculons

Soit l'angle a = arcsin 3/5, alors par définition sin a = 3/5 et . Il nous faut donc trouver parce que UN. Utilisation de base identité trigonométrique, on a:On prend en compte que cos a ≥ 0. Donc,

Propriétés de la fonction	Fonction
	y = arc sinus x	y = arccos x	y = arctan x	y = arcctg x
Domaine	x ∈ [-1 ; 1]	x ∈ [-1 ; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Plage de valeurs	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0;π)
Parité	Impair	Ni pair ni impair	Impair	Ni pair ni impair
Zéros de fonction (y = 0)	À x = 0	À x = 1	À x = 0	y ≠ 0
Intervalles de constance des signes	y > 0 pour x ∈ (0 ; 1], à< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 pour x ∈ [-1 ; 1)	y > 0 pour x ∈ (0; +∞), à< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 pour x ∈ (-∞; +∞)
Monotone	En augmentant	Descendant	En augmentant	Descendant
Relation avec la fonction trigonométrique	péché y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Calendrier

Donnons un certain nombre d'exemples plus typiques liés aux définitions et aux propriétés de base des fonctions trigonométriques inverses.

Exemple 4

Trouvons le domaine de définition de la fonction

Pour que la fonction y soit définie, il faut satisfaire l'inégalitéce qui équivaut au système d’inégalitésLa solution de la première inégalité est l'intervalle x∈ (-∞; +∞), seconde - Cet intervalle et est une solution au système d'inégalités, et donc le domaine de définition de la fonction

Exemple 5

Trouvons la zone de changement de fonction

Considérons le comportement de la fonction z = 2x - x2 (voir photo).

Il est clair que z ∈ (-∞; 1]. Considérant que l’argument z la fonction arc cotangente varie dans les limites spécifiées, à partir des données du tableau, nous obtenons queDonc la zone de changement

Exemple 6

Montrons que la fonction y = arctg x impair. LaisserAlors tg a = -x ou x = - tg a = tg (- a), et Par conséquent, - a = arctg x ou a = - arctg X. Ainsi, nous voyons quec'est-à-dire que y(x) est une fonction impaire.

Exemple 7

Exprimons à travers toutes les fonctions trigonométriques inverses

Laisser Il est évident que Puis depuis

Introduisons l'angle Parce que Que

De même donc Et

Donc,

Exemple 8

Construisons un graphique de la fonction y = cos(arcsinus x).

Notons a = arcsin x, alors Prenons en compte que x = sin a et y = cos a, soit x 2 + y2 = 1, et restrictions sur x (x∈ [-1; 1]) et y (y ≥ 0). Alors le graphique de la fonction y = cos(arcsinus x) est un demi-cercle.

Exemple 9

Construisons un graphique de la fonction y = arccos (cos x ).

Puisque la fonction cos x change sur l'intervalle [-1 ; 1], alors la fonction y est définie sur tout l'axe numérique et varie sur le segment . Gardons à l'esprit que y = arccos(cosx) = x sur le segment ; la fonction y est paire et périodique de période 2π. Considérant que la fonction a ces propriétés parce que x Il est désormais facile de créer un graphique.

Notons quelques égalités utiles :

Exemple 10

Trouvons le plus petit et valeur la plus élevée les fonctions Notons Alors Obtenons la fonction Cette fonction a un minimum au point z = π/4, et il est égal à La plus grande valeur de la fonction est atteinte au point z = -π/2, et il est égal Ainsi, et

Exemple 11

Résolvons l'équation

Prenons en compte cela L’équation ressemble alors à :ou où Par définition de l’arctangente on obtient :

2. Résolution d'équations trigonométriques simples

Semblable à l'exemple 1, vous pouvez obtenir des solutions aux équations trigonométriques les plus simples.

L'équation	Solution
tgx = un
ctg x = a

Exemple 12

Résolvons l'équation

Puisque la fonction sinusoïdale est impaire, nous écrivons l’équation sous la formeSolutions à cette équation :on le trouve d'où ?

Exemple 13

Résolvons l'équation

En utilisant la formule donnée, nous écrivons les solutions de l'équation :et nous trouverons

Notez que dans des cas particuliers (a = 0 ; ±1) lors de la résolution des équations péché x = a et cos x = mais c'est plus facile et plus pratique de ne pas utiliser formules générales, et notez les solutions basées sur le cercle unité :

pour l'équation sin x = 1 solution

pour l'équation sin x = 0 solutions x = π k ;

pour l'équation sin x = -1 solution

pour l'équation du cos x = 1 solutions x = 2π k ;

pour l'équation cos x = 0 solutions

pour l'équation cos x = -1 solution

Exemple 14

Résolvons l'équation

Puisque dans cet exemple il y a cas particulieréquations, puis en utilisant la formule correspondante on écrit la solution :d'où peut-on le trouver ?

III. Questions de contrôle (enquête frontale)

1. Définir et lister les principales propriétés des fonctions trigonométriques inverses.

2. Donner des graphiques de fonctions trigonométriques inverses.

3. Résoudre des équations trigonométriques simples.

IV. Devoir de cours

§ 15, n° 3 (a, b) ; 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12b); 13(a); 15c); 16(a); 18 (a, b); 19c); 21 ;

§ 16, n° 4 (a, b) ; 7(a); 8b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, n° 3 (a, b) ; 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9b); 10 (a, c).

V. Devoirs

§ 15, n° 3 (c, d) ; 4 (a, b); 7(c); 8b); 12(a); 13b); 15 (g); 16b); 18 (c, d); 19 (g); 22 ;

§ 16, n° 4 (c, d) ; 7b); 8(a); 16 (c, d); 18b); 19 (a, b);

§ 17, n° 3 (c, d) ; 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9(d); 10 (b, d).

VI. Tâches créatives

1. Trouvez le domaine de la fonction :

Réponses:

2. Recherchez la plage de la fonction :

Réponses:

3. Tracez un graphique de la fonction :

VII. Résumer les leçons

Préparation à l'examen d'État unifié de mathématiques

Expérience

Leçon 9 Fonctions trigonométriques inverses.

Pratique

Résumé de la leçon

Nous aurons principalement besoin de la capacité de travailler avec des fonctions d'arc lors de la résolution d'équations trigonométriques et d'inégalités.

Les tâches que nous allons maintenant considérer sont divisées en deux types : calculer les valeurs des fonctions trigonométriques inverses et leurs transformations à l'aide de propriétés de base.

Calcul des valeurs des fonctions d'arc

Commençons par calculer les valeurs des fonctions d'arc.

Tâche n°1. Calculer.

Comme on le voit, tous les arguments des fonctions arc sont positifs et tabulaires, ce qui signifie que l'on peut restituer la valeur des angles de la première partie du tableau des valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles de à . Cette plage d'angles est incluse dans la plage de valeurs de chacune des fonctions d'arc, nous utilisons donc simplement le tableau, y trouvons la valeur de la fonction trigonométrique et restituons à quel angle elle correspond.

UN)

b)

V)

G)

Répondre. .

Tâche n°2. Calculer

.

Dans cet exemple, nous voyons déjà des arguments négatifs. Erreur commune dans ce cas, il s'agit simplement de supprimer le moins sous la fonction et de simplement réduire la tâche à la précédente. Toutefois, cela ne peut pas être fait dans tous les cas. Rappelons comment, dans la partie théorique de la leçon, nous avons discuté de la parité de toutes les fonctions d'arc. Les impairs sont l'arc sinus et l'arc tangente, c'est-à-dire que le moins en est retiré, et l'arc cosinus et l'arc cotangente sont des fonctions vue générale, pour simplifier le moins dans l'argumentation, ils ont des formules spéciales. Après calcul, pour éviter les erreurs, on vérifie que le résultat est dans la plage de valeurs.

Lorsque les arguments de la fonction sont simplifiés sous forme positive, nous écrivons les valeurs d'angle correspondantes dans le tableau.

La question peut se poser : pourquoi ne pas noter la valeur de l'angle correspondant, par exemple, directement à partir du tableau ? Premièrement, parce que le tableau précédent est plus difficile à retenir qu'avant, et deuxièmement, parce qu'il ne contient aucune valeur sinusoïdale négative, et valeurs négatives la tangente donnera le mauvais angle selon le tableau. Il est préférable d’avoir une approche universelle pour trouver une solution plutôt que de se perdre dans de nombreuses approches différentes.

Tâche n°3. Calculer.

a) Une erreur typique dans ce cas est de commencer à supprimer un moins et de simplifier quelque chose. La première chose à remarquer est que l’argument arc sinus n’entre pas dans le cadre de

Par conséquent, cette entrée n’a aucune signification et l’arc sinus ne peut pas être calculé.

b) L'erreur standard dans ce cas est qu'ils confondent les valeurs de l'argument et de la fonction et donnent la réponse. Ce n'est pas vrai! Bien sûr, on pense que dans le tableau le cosinus correspond à la valeur , mais dans ce cas, ce qui est confus, c'est que les fonctions d'arc ne sont pas calculées à partir d'angles, mais à partir des valeurs des fonctions trigonométriques. Ce n'est pas .

De plus, puisque nous avons découvert quel est exactement l'argument de l'arc cosinus, il faut vérifier qu'il est inclus dans le domaine de définition. Pour ce faire, rappelons que , c'est-à-dire ce qui signifie que l'arccosinus n'a pas de sens et ne peut pas être calculé.

À propos, par exemple, l'expression a du sens, car , mais comme la valeur du cosinus égal n'est pas tabulaire, il est impossible de calculer l'arc cosinus à l'aide du tableau.

Répondre. Les expressions n'ont pas de sens.

Dans cet exemple, nous ne considérons pas l'arctangente et l'arccotangente, car leur domaine de définition n'est pas limité et les valeurs de la fonction le seront pour tous les arguments.

Tâche n°4. Calculer .

Essentiellement, la tâche se résume à la toute première, il nous suffit de calculer séparément les valeurs des deux fonctions, puis de les remplacer dans l'expression originale.

L'argument arctangente est tabulaire et le résultat appartient à la plage de valeurs.

L'argument arccosinus n'est pas tabulaire, mais cela ne devrait pas nous effrayer, car peu importe à quoi l'arccosinus est égal, sa valeur multipliée par zéro donnera zéro. Il reste une remarque importante : il faut vérifier si l'argument arccosinus appartient au domaine de définition, car si ce n'est pas le cas, alors l'expression entière n'aura pas de sens, indépendamment du fait qu'elle contienne une multiplication par zéro. . Mais, par conséquent, nous pouvons dire que cela a du sens et nous obtenons zéro dans la réponse.

Donnons un autre exemple dans lequel il faut pouvoir calculer une fonction arc, connaissant la valeur d'une autre.

Problème n°5. Calculez si l'on sait que .

Il peut sembler qu'il soit nécessaire de calculer d'abord la valeur de x à partir de l'équation indiquée, puis de la substituer dans l'expression souhaitée, c'est-à-dire dans la tangente inverse, mais ce n'est pas nécessaire.

Rappelons la formule par laquelle ces fonctions sont liées entre elles :

Et exprimons-en ce dont nous avons besoin :

Pour être sûr, vous pouvez vérifier que le résultat se situe dans la plage cotangente de l’arc.

Transformations de fonctions d'arc en utilisant leurs propriétés de base

Passons maintenant à une série de tâches dans lesquelles nous devrons utiliser des transformations de fonctions arc en utilisant leurs propriétés de base.

Problème n°6. Calculer .

Pour résoudre, nous utiliserons les propriétés de base des fonctions d'arc indiquées, en veillant uniquement à vérifier les restrictions correspondantes.

UN)

b) .

Répondre. UN) ; b) .

Problème n°7. Calculer.

Une erreur typique dans ce cas est d'écrire immédiatement en réponse 4. Comme nous l'avons indiqué dans l'exemple précédent, pour utiliser les propriétés de base des fonctions arc, il est nécessaire de vérifier les restrictions correspondantes sur leur argument. Nous nous occupons de la propriété :

à

Mais . L'essentiel à ce stade de la décision est de ne pas penser que l'expression spécifiée n'a pas de sens et ne peut être calculée. Après tout, on peut réduire le quatre, qui est l'argument de la tangente, en soustrayant la période de la tangente, et cela n'affectera pas la valeur de l'expression. Après avoir effectué ces étapes, nous aurons la possibilité de réduire l'argument afin qu'il se situe dans la plage spécifiée.

Parce que puisque donc, , parce que .

Problème n°8. Calculer.

Dans l’exemple ci-dessus, nous avons affaire à une expression similaire à la propriété de base de l’arc sinus, mais seulement elle contient des cofonctions. Il doit être réduit à la forme sinus à partir de l'arc sinus ou cosinus à partir de l'arc cosinus. Puisqu’il est plus facile de convertir des fonctions trigonométriques directes que des fonctions inverses, passons du sinus au cosinus en utilisant la formule « unité trigonométrique ».

Comme nous le savons déjà :

Dans notre cas, dans le rôle. Calculons d'abord pour plus de commodité .

Avant de le substituer dans la formule, découvrons son signe, c’est-à-dire le signe du sinus originel. Il faut calculer le sinus à partir de la valeur de l'arc cosinus, quelle que soit cette valeur, on sait qu'elle se situe dans l'intervalle. Cette plage correspond aux angles du premier et du deuxième quart, dans lesquels le sinus est positif (vérifiez-le vous-même à l'aide d'un cercle trigonométrique).

Aujourd'hui leçon pratique nous avons examiné le calcul et la transformation d'expressions contenant des fonctions trigonométriques inverses

Renforcer le matériel avec un équipement d'exercice

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Le travail final sur le thème "Fonctions trigonométriques inverses. Problèmes contenant des fonctions trigonométriques inverses" a été réalisé dans le cadre de cours de perfectionnement.

Contient un bref matériel théorique, des exemples détaillés et des tâches pour une solution indépendante pour chaque section.

L'ouvrage s'adresse aux lycéens et aux enseignants.

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TRAVAIL DE DIPLÔME

SUJET:

« FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES.

PROBLÈMES CONTENANT DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES"

Effectué :

professeur de mathématiques

Établissement d'enseignement municipal école secondaire n° 5, Lermontov

GORBAchenko V.I.

Piatigorsk 2011

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES.

PROBLÈMES CONTENANT DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES

1. BRÈVES INFORMATIONS THÉORIQUES

1.1. Solutions des équations les plus simples contenant des fonctions trigonométriques inverses :

Tableau 1.

L'équation	Solution

1.2. Résoudre des inégalités simples impliquant des fonctions trigonométriques inverses

Tableau 2.

Inégalité	Solution

1.3. Quelques identités pour les fonctions trigonométriques inverses

De la définition des fonctions trigonométriques inverses, les identités découlent

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

De plus, les identités

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Identités liées contrairement aux fonctions trigonométriques inverses

(9)

(10)

2. ÉQUATIONS CONTENANT DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES

2.1. Équations de la forme etc.

De telles équations se réduisent à équations rationnelles substitution.

Exemple.

Solution.

Remplacement ( ) réduit l'équation à une équation quadratique dont les racines.

La racine 3 ne satisfait pas à la condition.

On obtient alors la substitution inverse

Répondre .

Tâches.

2.2. Équations de la forme, Où - fonction rationnelle.

Pour résoudre des équations de ce type il faut poser, résolvez l'équation de la forme la plus simpleet faites la substitution inverse.

Exemple.

Solution .

Laisser . Alors

Répondre . .

Tâches .

2.3. Équations contenant soit des fonctions d'arc différentes, soit des fonctions d'arc de différents arguments.

Si l'équation comprend des expressions contenant différentes fonctions d'arc, ou si ces fonctions d'arc dépendent de différents arguments, alors la réduction de ces équations à leur conséquence algébrique est généralement effectuée en calculant une fonction trigonométrique des deux côtés de l'équation. Les racines étrangères résultantes sont séparées par inspection. Si la tangente ou la cotangente est choisie comme fonction directe, alors les solutions incluses dans le domaine de définition de ces fonctions peuvent être perdues. Par conséquent, avant de calculer la valeur de la tangente ou de la cotangente des deux côtés de l'équation, vous devez vous assurer qu'il n'y a pas de racines de l'équation d'origine parmi les points non inclus dans le domaine de définition de ces fonctions.

Exemple.

Solution .

Reprogrammons vers la droite et calculez la valeur du sinus des deux côtés de l'équation

À la suite de transformations, nous obtenons

Les racines de cette équation

Allons vérifier

Quand nous avons

Ainsi, est la racine de l’équation.

Remplacement , notez que le côté gauche de la relation résultante est positif et le côté droit est négatif. Ainsi,- racine étrangère de l'équation.

Répondre. .

Tâches.

2.4. Équations contenant des fonctions trigonométriques inverses d'un argument.

De telles équations peuvent être réduites au plus simple en utilisant les identités de base (1) – (10).

Exemple.

Solution.

Répondre.

Tâches.

3. INÉGALITÉS CONTENANT DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES INVERSES

3.1. Les inégalités les plus simples.

La solution aux inégalités les plus simples repose sur l'application des formules du tableau 2.

Exemple.

Solution.

Parce que , alors la solution de l'inégalité est l'intervalle.

Répondre .

Tâches.

3.2. Inégalités de forme, - une fonction rationnelle.

Inégalités de forme, est une fonction rationnelle, et- l'une des fonctions trigonométriques inverses est résolue en deux étapes - d'abord, l'inégalité par rapport à l'inconnue est résolue, puis l'inégalité la plus simple contenant la fonction trigonométrique inverse.

Exemple.

Solution.

Qu'il en soit alors

Des solutions aux inégalités

En revenant à l’inconnue originelle, nous constatons que l’inégalité originelle peut être réduite à deux inégalités les plus simples

En combinant ces solutions, nous obtenons des solutions à l'inégalité originale

Répondre .

Tâches.

3.3. Inégalités contenant soit des fonctions d'arc opposées, soit des fonctions d'arc d'arguments différents.

Il est pratique de résoudre les inégalités reliant les valeurs de diverses fonctions trigonométriques inverses ou les valeurs d'une fonction trigonométrique calculées à partir de différents arguments en calculant les valeurs d'une fonction trigonométrique des deux côtés des inégalités. Il ne faut pas oublier que l'inégalité résultante ne sera équivalente à celle d'origine que si l'ensemble des valeurs des côtés droit et gauche de l'inégalité d'origine appartiennent au même intervalle de monotonie de cette fonction trigonométrique.

Exemple.

Solution.

Un tas de valeurs acceptables inclus dans l'inégalité :. À . Par conséquent, les valeursne sont pas des solutions aux inégalités.

À le côté droit et le côté gauche de l'inégalité ont des valeurs, appartenant à l'intervalle . Parce que entrela fonction sinusoïdale augmente de façon monotone, puis lorsquel'inégalité d'origine est équivalente

Résoudre la dernière inégalité

Traversée avec un écart, nous obtenons une solution

Répondre.

Commentaire. Peut être résolu en utilisant

Tâches.

3.4. Inégalité de forme, Où - une des fonctions trigonométriques inverses,- fonction rationnelle.

De telles inégalités sont résolues en utilisant la substitutionet réduction à l’inégalité la plus simple dans le tableau 2.

Exemple.

Solution.

Qu'il en soit alors

Faisons la substitution inverse et obtenons le système

Répondre .

Tâches.

Agence fédérale pour l'éducation de la Fédération de Russie

Établissement d'enseignement public d'enseignement professionnel supérieur « Université d'État de Mari »

Département de Mathématiques et MPM

Travaux de cours

Fonctions trigonométriques inverses

Effectué :

étudiant

33 groupes du FNJ

Yashmetova L.N.

Conseiller scientifique:

doctorat maître assistant

Borodine M.V.

Iochkar-Ola

Introduction………………………………………………………………………………………...3

Chapitre I. Définition des fonctions trigonométriques inverses.

1.1. Fonction y =arcsin X……………………………………………………........4

1.2. Fonction y =arccos X…………………………………………………….......5

1.3. Fonction y =arctg X………………………………………………………….6

1.4. Fonction y =arcctg X…………………………………………………….......7

Chapitre II. Résoudre des équations avec des fonctions trigonométriques inverses.

Relations de base pour les fonctions trigonométriques inverses....8

Résolution d'équations contenant des fonctions trigonométriques inverses………………………………………………………………………………..11

Calcul des valeurs des fonctions trigonométriques inverses............21

Conclusion………………………………………………………………………………….25

Liste des références……………………………………………………………...26

Introduction

Dans de nombreux problèmes, il est nécessaire de trouver non seulement les valeurs des fonctions trigonométriques sous un angle donné, mais aussi, à l'inverse, un angle ou un arc depuis valeur définie une fonction trigonométrique.

Les problèmes liés aux fonctions trigonométriques inverses sont contenus dans les tâches de l'examen d'État unifié (en particulier dans les parties B et C). Par exemple, dans la partie B de l'examen d'État unifié, il était nécessaire d'utiliser la valeur du sinus (cosinus) pour trouver la valeur correspondante de la tangente ou pour calculer la valeur d'une expression contenant des valeurs tabulées de fonctions trigonométriques inverses. Concernant ce type de tâches, on constate que de telles tâches dans les manuels scolaires ne suffisent pas à développer une forte compétence dans leur mise en œuvre.

Que. but travail de cours consiste à considérer les fonctions trigonométriques inverses et leurs propriétés, et à apprendre à résoudre des problèmes avec des fonctions trigonométriques inverses.

Pour atteindre l'objectif, nous devrons résoudre les tâches suivantes :

Explorer base théorique fonctions trigonométriques inverses,

Montrer l'application des connaissances théoriques dans la pratique.

Chapitreje. Définition des fonctions trigonométriques inverses

1.1. Fonction y =arcsinX

Considérez la fonction,
. (1)

Dans cet intervalle la fonction est monotone (augmente de -1 à 1), il existe donc une fonction inverse

,
. (2)

Chaque valeur donnée à(valeur sinusoïdale) de l'intervalle [-1,1] correspond à une valeur bien définie X(ampleur de l'arc) à partir de l'intervalle
. Passant à la notation généralement acceptée, on obtient

Où
. (3)

Il s'agit de la spécification analytique de la fonction inverse de la fonction (1). La fonction (3) est appelée arc sinus argument . Le graphique de cette fonction est une courbe symétrique au graphique de la fonction, où , par rapport à la bissectrice des angles de coordonnées I et III.

Présentons les propriétés de la fonction, où .

Propriété 1. Zone de changement de valeur de fonction : .

Propriété 2. La fonction est étrange, c'est-à-dire

Propriété 3. La fonction, où , a une seule racine
.

Propriété 4. Si donc
; Si , Que.

Propriété 5. La fonction est monotone : à mesure que l'argument augmente de -1 à 1, la valeur de la fonction augmente de
avant
.

1.2. Fonctionoui = arAvecparce queX

Considérez la fonction
, . (4)

Dans cet intervalle, la fonction est monotone (diminue de +1 à -1), ce qui signifie qu'il existe une fonction inverse pour elle

, , (5)

ceux. chaque valeur (valeurs cosinus) de l'intervalle [-1,1] correspond à une valeur bien définie (valeurs d'arc) de l'intervalle . Passant à la notation généralement acceptée, on obtient

, . (6)

Il s'agit de la spécification analytique de la fonction inverse de la fonction (4). La fonction (6) est appelée arc cosinus argument X. Le graphique de cette fonction peut être construit sur la base des propriétés de graphiques de fonctions mutuellement inverses.

La fonction , où , a les propriétés suivantes.

Propriété 1. Zone de changement de valeur de fonction :
.

Propriété 2. Quantités
Et
lié par la relation

Propriété 3. La fonction a une seule racine
.

Propriété 4. La fonction n'accepte pas les valeurs négatives.

Propriété 5. La fonction est monotone : à mesure que l'argument augmente de -1 à +1, les valeurs de la fonction diminuent de à 0.

1.3. Fonctionoui = arctgx

Considérez la fonction
,
. (7)

Notez que cette fonction est définie pour toutes les valeurs situées strictement dans l'intervalle de à ; aux extrémités de cet intervalle il n'existe pas, puisque les valeurs

- points de rupture tangents.

Dans l'intervalle
la fonction est monotone (augmente de -
avant
), donc pour la fonction (1) il existe une fonction inverse :

,
, (8)

ceux. chaque valeur donnée (valeur tangente) de l'intervalle
correspond à une valeur bien spécifique (taille de l'arc) de l'intervalle .

Passant à la notation généralement acceptée, on obtient

,
. (9)

Il s'agit de la spécification analytique de la fonction inverse (7). La fonction (9) est appelée arctangente argument X. Notez que lorsque
valeur de la fonction
, et quand

, c'est à dire. le graphique de la fonction a deux asymptotes :
Et.

La fonction , , a les propriétés suivantes.

Propriété 1. Plage de changement des valeurs de fonction
.

Propriété 2. La fonction est étrange, c'est-à-dire .

Propriété 3. La fonction a une seule racine.

Propriété 4. Si
, Que

; Si , Que
.

Propriété 5. La fonction est monotone : à mesure que l'argument augmente de à, la valeur de la fonction augmente de à +.

1.4. Fonctionoui = arcctgx

Considérez la fonction
,
. (10)

Cette fonction est définie pour toutes les valeurs comprises entre 0 et ; aux extrémités de cet intervalle il n'existe pas, puisque les valeurs et sont les points d'arrêt de la cotangente. Dans l'intervalle (0,) la fonction est monotone (diminue de à), donc pour la fonction (1) il existe une fonction inverse

, (11)

ceux. à chaque valeur donnée (valeur cotangente) de l'intervalle (
) correspond à une valeur bien définie (taille de l'arc) de l'intervalle (0,). En passant aux notations généralement admises, on obtient la relation suivante : Résumé >> Mathématiques trigonométriques les fonctions. À inverse trigonométrique les fonctions généralement appelé six les fonctions: arc sinus...

Dialectique du développement de concepts les fonctions dans un cours de mathématiques à l'école

Thèse >> Pédagogie

... . Inverse trigonométrique les fonctions. L'objectif principal est d'étudier les propriétés trigonométrique les fonctions, apprenez aux élèves à construire leurs graphiques. D'abord trigonométrique fonction ...

Comment le concept est né et s'est développé les fonctions

Résumé >> Mathématiques

Comment s’articule cette équation ? inverse trigonométrique fonction, la cycloïde n'est pas algébrique... et aussi la notation trigonométrique) inverse trigonométrique, exponentiel et logarithmique les fonctions. Tel les fonctions dit élémentaire. Bientôt...