Mouvement thermique

Toute substance est constituée de minuscules particules - des molécules. Molécule- c'est la plus petite particule d'une substance donnée qui conserve toutes ses propriétés chimiques. Les molécules sont situées discrètement dans l'espace, c'est-à-dire à certaines distances les unes des autres, et sont dans un état de mouvement désordonné (chaotique) .

Étant donné que les corps sont constitués d'un grand nombre de molécules et que le mouvement des molécules est aléatoire, il est impossible de dire exactement combien d'impacts telle ou telle molécule subira de la part des autres. Par conséquent, ils disent que la position de la molécule et sa vitesse à chaque instant sont aléatoires. Cela ne veut pas dire pour autant que le mouvement des molécules n’obéit pas à certaines lois. En particulier, bien que les vitesses des molécules soient différentes à un moment donné, la plupart d'entre elles ont des valeurs de vitesse proches d'une valeur spécifique. Habituellement, lorsqu'on parle de vitesse de déplacement des molécules, on entend vitesse moyenne (v$cp).

Il est impossible de distinguer une direction spécifique dans laquelle toutes les molécules se déplacent. Le mouvement des molécules ne s'arrête jamais. On peut dire que c'est continu. Un tel mouvement chaotique continu d'atomes et de molécules est appelé -. Ce nom est dû au fait que la vitesse de déplacement des molécules dépend de la température corporelle. Le plus vitesse moyenne mouvement des molécules du corps, plus sa température est élevée. À l’inverse, plus la température corporelle est élevée, plus la vitesse moyenne du mouvement moléculaire est élevée.

mouvement brownien

Le mouvement des molécules liquides a été découvert en observant le mouvement brownien - le mouvement de très petites particules en suspension solide. Chaque particule effectue continuellement des mouvements brusques dans des directions arbitraires, décrivant des trajectoires sous la forme d'une ligne brisée. Ce comportement des particules peut s'expliquer en considérant qu'elles subissent simultanément les impacts des molécules liquides différents côtés. La différence dans le nombre de ces impacts provenant de directions opposées conduit au mouvement de la particule, puisque sa masse est proportionnelle aux masses des molécules elles-mêmes. Le mouvement de ces particules a été découvert pour la première fois en 1827 par le botaniste anglais Brown, observant au microscope des particules de pollen dans l'eau, c'est pourquoi on l'a appelé - mouvement brownien.

En observant au microscope une suspension de pollen de fleurs dans l’eau, Brown a observé un mouvement chaotique de particules résultant « non du mouvement du liquide ni de son évaporation ». Les particules en suspension de 1 µm ou moins, visibles uniquement au microscope, effectuaient des mouvements indépendants désordonnés, décrivant des trajectoires complexes en zigzag. Le mouvement brownien ne s'affaiblit pas avec le temps et ne dépend pas de propriétés chimiques environnement, son intensité augmente avec l'augmentation de la température de l'environnement et avec une diminution de sa viscosité et de sa taille de particules. Même une explication qualitative des causes du mouvement brownien n'a été possible que 50 ans plus tard, lorsque la cause du mouvement brownien a commencé à être associée aux impacts de molécules liquides sur la surface d'une particule en suspension.

La première théorie quantitative du mouvement brownien a été donnée par A. Einstein et M. Smoluchowski en 1905-06. basé sur la théorie de la cinétique moléculaire. Il a été démontré que les marches aléatoires des particules browniennes sont associées à leur participation au mouvement thermique avec les molécules du milieu dans lequel elles sont en suspension. Les particules ont en moyenne la même énergie cinétique, mais en raison de leur plus grande masse, elles ont une vitesse plus faible. La théorie du mouvement brownien explique les mouvements aléatoires d'une particule par l'action de forces aléatoires provenant de molécules et de forces de frottement. Selon cette théorie, les molécules d’un liquide ou d’un gaz sont en mouvement thermique constant et les impulsions des différentes molécules ne sont pas les mêmes en ampleur et en direction. Si la surface d’une particule placée dans un tel milieu est petite, comme c’est le cas d’une particule brownienne, alors les impacts subis par la particule de la part des molécules qui l’entourent ne seront pas exactement compensés. Par conséquent, à la suite du « bombardement » par des molécules, la particule brownienne entre dans un mouvement aléatoire, changeant l'ampleur et la direction de sa vitesse environ 10 à 14 fois par seconde. De cette théorie il résulte qu'en mesurant le déplacement d'une particule sur un certain temps et en connaissant son rayon et la viscosité du liquide, on peut calculer le nombre d'Avogadro.

Lors de l'observation du mouvement brownien, la position de la particule est enregistrée à intervalles réguliers. Plus les intervalles de temps sont courts, plus la trajectoire de la particule paraîtra brisée.

Les lois du mouvement brownien confirment clairement les principes fondamentaux de la théorie de la cinétique moléculaire. Il a finalement été établi que la forme thermique du mouvement de la matière est due au mouvement chaotique des atomes ou des molécules qui composent les corps macroscopiques.

La théorie du mouvement brownien a joué un rôle important dans la justification de la mécanique statistique ; elle est basée sur théorie cinétique coagulation solutions aqueuses. De plus, elle a aussi importance pratique en métrologie, puisque le mouvement brownien est considéré comme le principal facteur limitant la précision instruments de mesure. Par exemple, la limite de précision des lectures d'un galvanomètre à miroir est déterminée par la vibration du miroir, comme une particule brownienne bombardée par des molécules d'air. Les lois du mouvement brownien déterminent le mouvement aléatoire des électrons, provoquant du bruit dans circuits électriques. Les pertes diélectriques dans les diélectriques s'expliquent par les mouvements aléatoires des molécules dipolaires qui composent le diélectrique. Les mouvements aléatoires des ions dans les solutions électrolytiques augmentent leur résistance électrique.

mouvement brownien

Élèves de la classe 10 "B"

Onishchuk Ekaterina

Le concept de mouvement brownien

Modèles de mouvement brownien et application en science

Le concept de mouvement brownien du point de vue de la théorie du chaos

Mouvement de la boule de billard

Intégration des fractales déterministes et du chaos

Le concept de mouvement brownien

Mouvement brownien, plus exactement mouvement brownien, mouvement thermique de particules de matière (plusieurs tailles µm et moins) de particules en suspension dans un liquide ou un gaz. La cause du mouvement brownien est une série d'impulsions non compensées qu'une particule brownienne reçoit des molécules liquides ou gazeuses qui l'entourent. Découverte par R. Brown (1773 - 1858) en 1827. Les particules en suspension, visibles uniquement au microscope, se déplacent indépendamment les unes des autres et décrivent des trajectoires complexes en zigzag. Le mouvement brownien ne s'affaiblit pas avec le temps et ne dépend pas des propriétés chimiques du milieu. L'intensité du mouvement brownien augmente avec l'augmentation de la température du milieu et avec la diminution de sa viscosité et de sa taille de particules.

Une explication cohérente du mouvement brownien a été donnée par A. Einstein et M. Smoluchowski en 1905-06 sur la base de la théorie de la cinétique moléculaire. Selon cette théorie, les molécules d'un liquide ou d'un gaz sont en mouvement thermique constant et les impulsions des différentes molécules sont inégales en ampleur et en direction. Si la surface d’une particule placée dans un tel milieu est petite, comme c’est le cas d’une particule brownienne, alors les impacts subis par la particule de la part des molécules qui l’entourent ne seront pas exactement compensés. Par conséquent, à la suite du « bombardement » par des molécules, la particule brownienne entre dans un mouvement aléatoire, changeant l'ampleur et la direction de sa vitesse environ 10 à 14 fois par seconde. Lors de l'observation du mouvement brownien, il est fixe (voir Fig. . 1) la position de la particule à intervalles réguliers. Bien entendu, entre les observations, la particule ne se déplace pas de manière rectiligne, mais relier les positions successives par des lignes droites donne une image conventionnelle du mouvement.

Mouvement brownien d'une particule de gomme-gomme dans l'eau (Fig. 1)

Modèles de mouvement brownien

Les lois du mouvement brownien confirment clairement les principes fondamentaux de la théorie de la cinétique moléculaire. L'image générale du mouvement brownien est décrite par la loi d'Einstein pour le déplacement carré moyen d'une particule

dans n’importe quelle direction x. Si cela se produit suffisamment entre deux mesures grand nombre collisions de particules avec des molécules, alors proportionnelles à ce temps t : = 2D

Ici D- le coefficient de diffusion, qui est déterminé par la résistance exercée par un milieu visqueux à une particule qui s'y déplace. Pour les particules sphériques de rayon, et il est égal à :

D = kT/6pha, (2)

où k est la constante de Boltzmann, T- température absolue, h - viscosité dynamique du milieu. La théorie du mouvement brownien explique les mouvements aléatoires d'une particule par l'action de forces aléatoires provenant de molécules et de forces de friction. Le caractère aléatoire de la force fait que son action pendant l'intervalle de temps t 1 est totalement indépendante de l'action pendant l'intervalle t 2 si ces intervalles ne se chevauchent pas. La force moyenne sur un temps suffisamment long est nulle, et le déplacement moyen de la particule brownienne Dc s'avère également nul. Les conclusions de la théorie du mouvement brownien sont en excellent accord avec l'expérience : les formules (1) et (2) ont été confirmées par les mesures de J. Perrin et T. Svedberg (1906). Sur la base de ces relations, nous avons déterminé expérimentalement Constante de Boltzmann et le nombre d'Avogadro sont en accord avec leurs valeurs obtenues par d'autres méthodes. La théorie du mouvement brownien a joué un rôle important dans la fondation de la mécanique statistique. En outre, cela a également une signification pratique. Tout d’abord, le mouvement brownien limite la précision des instruments de mesure. Par exemple, la limite de précision des lectures d'un galvanomètre à miroir est déterminée par la vibration du miroir, comme une particule brownienne bombardée par des molécules d'air. Les lois du mouvement brownien déterminent le mouvement aléatoire des électrons, provoquant du bruit dans les circuits électriques. Les pertes diélectriques dans les diélectriques s'expliquent par les mouvements aléatoires des molécules dipolaires qui composent le diélectrique. Les mouvements aléatoires des ions dans les solutions électrolytiques augmentent leur résistance électrique.

Le concept de mouvement brownien du point de vue de la théorie du chaos

Le mouvement brownien est, par exemple, le mouvement aléatoire et chaotique de particules de poussière en suspension dans l’eau. Ce type de mouvement est peut-être l’aspect de la géométrie fractale qui a l’utilité la plus pratique. Le mouvement brownien aléatoire produit un modèle de fréquence qui peut être utilisé pour prédire des choses impliquant de grandes quantités de données et de statistiques. Un bon exemple est le prix de la laine, que Mandelbrot a prédit en utilisant le mouvement brownien.

Les diagrammes de fréquence créés en traçant des nombres browniens peuvent également être convertis en musique. Bien entendu, ce type de musique fractale n’est pas du tout musical et peut vraiment ennuyer l’auditeur.

En traçant aléatoirement des nombres browniens sur un graphique, vous pouvez obtenir une fractale de poussière comme celle présentée ici à titre d'exemple. En plus d'utiliser le mouvement brownien pour produire des fractales à partir de fractales, il peut également être utilisé pour créer des paysages. De nombreux films de science-fiction, tels que Star Trek, ont utilisé la technique du mouvement brownien pour créer des paysages extraterrestres tels que des collines et des modèles topologiques de hauts plateaux montagneux.

Ces techniques sont très efficaces et se retrouvent dans le livre de Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature. Mandelbrot a utilisé des lignes browniennes pour créer des côtes fractales et des cartes d'îles (qui n'étaient en réalité que des points dessinés au hasard) à vol d'oiseau.

MOUVEMENT DE LA BALLE DE BILLARD

Quiconque a déjà touché une queue de billard sait que la précision est la clé du jeu. La moindre erreur dans l'angle d'impact initial peut rapidement entraîner une énorme erreur dans la position de la balle après seulement quelques impacts. Cette sensibilité aux conditions initiales, appelée chaos, constitue une barrière insurmontable pour quiconque espère prédire ou contrôler la trajectoire de la balle après plus de six ou sept collisions. Et ne pensez pas que le problème vient de la poussière sur la table ou d’une main instable. En fait, si vous utilisez votre ordinateur pour construire un modèle contenant une table de billard sans friction, sans contrôle inhumain sur la précision du positionnement des repères, vous ne pourrez toujours pas prédire la trajectoire de la balle assez longtemps !

Combien de temps? Cela dépend en partie de la précision de votre ordinateur, mais davantage de la forme de la table. Pour une table parfaitement ronde, jusqu'à environ 500 positions de collision peuvent être calculées avec une erreur d'environ 0,1 pour cent. Mais si vous modifiez la forme de la table pour qu'elle devienne au moins un peu irrégulière (ovale), l'imprévisibilité de la trajectoire peut dépasser 90 degrés après seulement 10 collisions ! La seule façon d’avoir une idée du comportement général d’une boule de billard rebondissant sur une table propre est de décrire l’angle de rebond ou la longueur de l’arc correspondant à chaque coup. Voici deux grossissements successifs d’une telle image spatiale de phase.

Chaque boucle individuelle ou région de dispersion représente le comportement de la balle résultant d'un ensemble de conditions initiales. La zone de l'image qui affiche les résultats d'une expérience particulière est appelée zone d'attracteur pour un ensemble donné de conditions initiales. Comme on peut le voir, la forme du tableau utilisé pour ces expériences représente la partie principale des régions attractives, qui sont répétées séquentiellement sur une échelle décroissante. Théoriquement, une telle autosimilarité devrait perdurer éternellement et si nous agrandissons de plus en plus le dessin, nous obtiendrons toutes les mêmes formes. C'est ce qu'on appelle un mot très populaire aujourd'hui, fractal.

INTÉGRATION DE FRACTALES DÉTERMINISTES ET DE CHAOS

À partir des exemples de fractales déterministes évoqués ci-dessus, vous pouvez voir qu’elles ne présentent aucun comportement chaotique et qu’elles sont en fait très prévisibles. Comme vous le savez, la théorie du chaos utilise une fractale pour recréer ou trouver des modèles afin de prédire le comportement de nombreux systèmes dans la nature, comme par exemple le problème de la migration des oiseaux.

Voyons maintenant comment cela se produit réellement. En utilisant une fractale appelée l'arbre de Pythagore, non abordée ici (qui d'ailleurs n'a pas été inventée par Pythagore et n'a rien à voir avec le théorème de Pythagore) et le mouvement brownien (qui est chaotique), essayons de faire une imitation d'un véritable arbre. L'ordre des feuilles et des branches sur un arbre est assez complexe et aléatoire et n'est probablement pas quelque chose d'assez simple pour qu'un court programme de 12 lignes puisse l'émuler.

Vous devez d’abord générer un arbre de Pythagore (à gauche). Il est nécessaire de rendre le tronc plus épais. A ce stade, le mouvement brownien n’est pas utilisé. Au lieu de cela, chaque segment de ligne est désormais devenu une ligne de symétrie entre le rectangle qui devient le tronc et les branches extérieures.

« Physique - 10e année"

Rappelons le phénomène de diffusion dès le cours de physique de base à l'école.
Comment expliquer ce phénomène ?

Auparavant, vous avez appris ce que c'est la diffusion, c'est-à-dire la pénétration de molécules d'une substance dans l'espace intermoléculaire d'une autre substance. Ce phénomène est déterminé par le mouvement aléatoire des molécules. Cela peut expliquer, par exemple, le fait que le volume d'un mélange d'eau et d'alcool est inférieur au volume de ses composants constitutifs.

Mais la preuve la plus évidente du mouvement des molécules peut être obtenue en observant au microscope les plus petites particules de toute substance solide en suspension dans l’eau. Ces particules subissent un mouvement aléatoire, appelé Brownien.

mouvement brownien est le mouvement thermique des particules en suspension dans un liquide (ou un gaz).

Observation du mouvement brownien.

Le botaniste anglais R. Brown (1773-1858) a observé ce phénomène pour la première fois en 1827, en examinant au microscope les spores de mousse en suspension dans l'eau.

Plus tard, il a examiné d'autres petites particules, notamment des particules de pierre provenant de Pyramides égyptiennes. De nos jours, pour observer le mouvement brownien, ils utilisent des particules de peinture gomme-gomme, insoluble dans l’eau. Ces particules se déplacent de manière aléatoire. Ce qui est le plus étonnant et le plus inhabituel pour nous, c’est que ce mouvement ne s’arrête jamais. Nous sommes habitués au fait que tout corps en mouvement s'arrête tôt ou tard. Brown a d'abord pensé que les spores de mousse montraient des signes de vie.

Le mouvement brownien est un mouvement thermique et il ne peut pas s’arrêter. À mesure que la température augmente, son intensité augmente.

La figure 8.3 montre les trajectoires des particules browniennes. Les positions des particules, repérées par des points, sont déterminées à intervalles réguliers de 30 s. Ces points sont reliés par des lignes droites. En réalité, la trajectoire des particules est bien plus complexe.

Explication du mouvement brownien.

Le mouvement brownien ne peut être expliqué que sur la base de la théorie de la cinétique moléculaire.

« Peu de phénomènes peuvent captiver autant un observateur que le mouvement brownien. Ici, l'observateur est autorisé à regarder dans les coulisses de ce qui se passe dans la nature. Il s'ouvre devant lui nouveau monde- agitation incessante d'un grand nombre de particules. Les plus petites particules traversent rapidement le champ de vision du microscope, changeant presque instantanément la direction du mouvement. Les particules plus grosses se déplacent plus lentement, mais elles changent également constamment la direction du mouvement. Les grosses particules sont pratiquement écrasées sur place. Leurs saillies montrent clairement la rotation des particules autour de leur axe, qui change constamment de direction dans l'espace. Il n’y a aucune trace de système ou d’ordre nulle part. La domination du hasard aveugle : telle est l’impression forte et écrasante que cette image produit sur l’observateur. R. Paul (1884-1976).

La raison du mouvement brownien d’une particule est que les impacts des molécules liquides sur la particule ne s’annulent pas.

La figure 8.4 montre schématiquement la position d'une particule brownienne et les molécules les plus proches.

Lorsque les molécules se déplacent de manière aléatoire, les impulsions qu’elles transmettent à la particule brownienne, par exemple vers la gauche et vers la droite, ne sont pas les mêmes. Par conséquent, la force de pression résultante des molécules liquides sur une particule brownienne est non nulle. Cette force provoque une modification du mouvement de la particule.

La théorie cinétique moléculaire du mouvement brownien a été créée en 1905 par A. Einstein (1879-1955). La construction de la théorie du mouvement brownien et sa confirmation expérimentale par le physicien français J. Perrin ont finalement achevé la victoire de la théorie de la cinétique moléculaire. En 1926 J. Perrin reçut prix Nobel pour étudier la structure de la matière.

Les expériences de Perrin.

L'idée des expériences de Perrin est la suivante. On sait que la concentration des molécules de gaz dans l’atmosphère diminue avec l’altitude. S’il n’y avait pas de mouvement thermique, toutes les molécules tomberaient sur Terre et l’atmosphère disparaîtrait. Cependant, s'il n'y avait pas d'attraction vers la Terre, les molécules quitteraient la Terre en raison du mouvement thermique, car le gaz est capable d'une expansion illimitée. Sous l'action de ces facteurs opposés, une certaine répartition des molécules en hauteur s'établit, c'est-à-dire que la concentration de molécules diminue assez rapidement avec la hauteur. De plus, plus la masse des molécules est grande, plus leur concentration diminue rapidement avec la hauteur.

Les particules browniennes participent au mouvement thermique. Leur interaction étant négligeable, la collecte de ces particules dans un gaz ou un liquide peut être considérée comme gaz parfait constitué de molécules très lourdes. Par conséquent, la concentration de particules browniennes dans un gaz ou un liquide dans le champ gravitationnel terrestre devrait diminuer selon la même loi que la concentration des molécules de gaz. Cette loi est connue.

Perrin, à l'aide d'un microscope à fort grossissement et à faible profondeur de champ (faible profondeur de champ), a observé des particules browniennes dans de très fines couches de liquide. En calculant la concentration des particules à différentes hauteurs, il a constaté que cette concentration diminue avec la hauteur selon la même loi que la concentration des molécules de gaz. La différence est qu’en raison de la grande masse de particules browniennes, la diminution se produit très rapidement.

Tous ces faits indiquent l'exactitude de la théorie du mouvement brownien et le fait que les particules browniennes participent au mouvement thermique des molécules.

Le comptage des particules browniennes à différentes altitudes a permis à Perrin de déterminer la constante d'Avogadro en utilisant une méthode complètement nouvelle. La valeur de cette constante coïncidait avec celle connue précédemment.

mouvement brownien - mouvement aléatoire de particules microscopiques visibles d'une substance solide en suspension dans un liquide ou un gaz, provoqué par le mouvement thermique des particules du liquide ou du gaz. Le mouvement brownien ne s'arrête jamais. Le mouvement brownien est lié au mouvement thermique, mais il ne faut pas confondre ces concepts. Le mouvement brownien est une conséquence et une preuve de l’existence du mouvement thermique.

Le mouvement brownien est la confirmation expérimentale la plus claire des concepts de la théorie de la cinétique moléculaire sur le mouvement thermique chaotique des atomes et des molécules. Si la période d'observation est suffisamment grande pour que les forces agissant sur la particule provenant des molécules du milieu changent plusieurs fois de direction, alors le carré moyen de la projection de son déplacement sur n'importe quel axe (en l'absence d'autres forces externes) est proportionnel au temps.
Lors de l'élaboration de la loi d'Einstein, on suppose que les déplacements des particules dans n'importe quelle direction sont également probables et que l'inertie d'une particule brownienne peut être négligée par rapport à l'influence des forces de frottement (cela est acceptable pendant des temps suffisamment longs). La formule du coefficient D est basée sur l'application de la loi de Stokes pour la résistance hydrodynamique au mouvement d'une sphère de rayon a dans un fluide visqueux. Les relations pour et D ont été confirmées expérimentalement par des mesures de J. Perrin et T. Svedberg. A partir de ces mesures, la constante k de Boltzmann et la constante NA d'Avogadro ont été déterminées expérimentalement. En plus du mouvement brownien de translation, il existe également un mouvement brownien de rotation - la rotation aléatoire d'une particule brownienne sous l'influence des impacts des molécules du milieu. Pour le mouvement brownien de rotation, le déplacement angulaire quadratique moyen de la particule est proportionnel au temps d'observation. Ces relations ont également été confirmées par les expériences de Perrin, bien que cet effet soit beaucoup plus difficile à observer que le mouvement brownien de translation.

L'essence du phénomène

Le mouvement brownien est dû au fait que tous les liquides et gaz sont constitués d'atomes ou de molécules - de minuscules particules qui sont en mouvement thermique chaotique constant et poussent donc continuellement la particule brownienne dans différentes directions. Il a été constaté que les grosses particules d'une taille supérieure à 5 µm ne participent pratiquement pas au mouvement brownien (elles sont stationnaires ou sédimentaires), les particules plus petites (moins de 3 µm) avancent le long de trajectoires très complexes ou tournent. Lorsqu'un grand corps est immergé dans un milieu, les chocs qui se produisent dans un nombre énorme, sont moyennés et forment une pression constante. Si un grand corps est entouré de tous côtés par l'environnement, alors la pression est pratiquement équilibrée, seule la force de levage d'Archimède reste - un tel corps flotte ou coule en douceur. Si le corps est petit, comme une particule brownienne, alors les fluctuations de pression deviennent perceptibles, ce qui crée une force variable notable de manière aléatoire, conduisant à des oscillations de la particule. Les particules browniennes ne coulent généralement pas ou ne flottent pas, mais sont en suspension dans le milieu.

Théorie du mouvement brownien

En 1905, Albert Einstein a créé la théorie de la cinétique moléculaire pour décrire quantitativement le mouvement brownien. En particulier, il a dérivé une formule pour le coefficient de diffusion des particules browniennes sphériques :

Où D- coefficient de diffusion, R.- Constante du gaz universel, T- température absolue, N / A- la constante d'Avogadro, UN- rayon des particules, ξ - viscosité dynamique.

Mouvement brownien comme non markovien
processus aléatoire

La théorie du mouvement brownien, bien développée au cours du siècle dernier, est une théorie approximative. Et bien que dans la plupart des cas pratiques, la théorie existante donne des résultats satisfaisants, dans certains cas, elle peut nécessiter des éclaircissements. Ainsi, les travaux expérimentaux menés dans début XXI des siècles à l'Université Polytechnique de Lausanne, à l'Université du Texas et au Laboratoire européen de biologie moléculaire d'Heidelberg (sous la direction de S. Jeney) ont montré la différence dans le comportement d'une particule brownienne par rapport à celui théoriquement prédit par la théorie d'Einstein-Smoluchowski, ce qui était particulièrement visible avec l’augmentation de la taille des particules. Les études ont également porté sur l'analyse du mouvement des particules environnantes du milieu et ont montré une influence mutuelle significative du mouvement de la particule brownienne et du mouvement des particules du milieu provoquées par elle les unes sur les autres, c'est-à-dire la présence de la « mémoire » de la particule brownienne, ou, en d'autres termes, la dépendance de ses caractéristiques statistiques dans le futur sur l'ensemble de la préhistoire et de son comportement passé. Ce fait n'a pas été prise en compte dans la théorie d'Einstein-Smoluchowski.
Le processus de mouvement brownien d'une particule dans un milieu visqueux appartient, d'une manière générale, à la classe des processus non markoviens, et pour une description plus précise, il est nécessaire d'utiliser des équations stochastiques intégrales.