Pour sections simples moments statiques et moments d'inertie sont trouvés à l'aide des formules (2.1) - (2.4) en utilisant l'intégration. Considérons, par exemple, le calcul du moment d'inertie axial Jx pour une section arbitraire illustrée à la Fig. 2.9. Considérant que dans un système de coordonnées rectangulaires, l'élément surface dF=dxdy, on a

oùx^(y) et x dans (y) - coordonnées des points de contour à une valeur fixe toi.

En effectuant l'intégration sur x, nous trouvons

Ordre de grandeur par) représente la largeur de section au niveau à(voir Fig. 2.9) et le produit b(y)dy = dF - aire de la bande élémentaire ombrée parallèle à l'axe Oh. En tenant compte de cela, la formule pour / est transformée sous la forme

Une expression similaire peut être obtenue pour le moment d'inertie Jy.

Rectangle. Trouvons les moments d'inertie autour des axes centraux principaux, qui, conformément à la propriété 2 (§ 2.5), coïncident avec les axes de symétrie du rectangle (Fig. 2.10). Puisque la largeur de la section est constante, alors en utilisant la formule (2.14) on obtient

Moment d'inertie autour de l'axe Ah xxx on détermine par la première des formules (2.6) :

Moments d'inertie / et J. se retrouvent de la même manière. Écrivons les formules des moments d'inertie axiaux d'un rectangle :

Triangle arbitraire. Tout d'abord, trouvons le moment d'inertie autour de l'axe 0 (xv passant par la base du triangle (Fig. 2.11). Largeur de section par()) au niveau oui ( se trouve à partir de la similitude des triangles :

En substituant cette quantité dans la formule (2.14) et en effectuant l'intégration, nous obtenons

Moments sur les axes Oh Et 0 2 x 2, parallèlement à la base et passant respectivement par le centre de gravité et par le sommet du triangle, on trouve à l'aide des formules (2.6) :

Dans ces formules b ( =h/ 3 et b 2 = -2h/3 - respectivement, les ordonnées du centre de gravité du triangle À PROPOS dans le système de coordonnées O x x 1 et 1 Et 0 2 x 2 oui t

1° 2 r Г* аУ 1

TL P *2

g >4™_ °2 1

D__V_!_*_ / ^ *3

V XV* ;-7^Лт^

U_ У-_XI - UZ__у

À PROPOS DE,| b *, 0 b/b 2 %*1

Riz. 2.11 Riz. 2.12

Écrivons les formules des moments d'inertie axiaux du triangle par rapport aux axes parallèles à la base :

Triangles rectangles et isocèles. Pour un triangle rectangle (Fig. 2.12), on détermine le moment d'inertie centrifuge J. par rapport aux axes centraux Oh Et OU, parallèle aux jambes. Cela peut être fait en utilisant la formule (2.3). Cependant, la solution au problème peut être simplifiée en appliquant la technique suivante. Utiliser la médiane 0 { 0 3 diviser le triangle donné en deux triangles isocèles 0 ( 0 3 UNE Et Ofi 3 B. Axes 0 3 x 3 et 0 3 ans et 3 ans sont les axes de symétrie de ces triangles et, d'après la propriété 2 (§ 2.5), seront les axes principaux de chacun d'eux séparément, et donc du triangle entier O x AB. Par conséquent, le moment d’inertie centrifuge J.=0. Centrifuger

moment du triangle autour des axes Oh Et UO on trouve en utilisant la dernière des formules (2.6) :

Écrivons les formules des moments d'inertie d'un triangle rectangle :

Moment d'inertie triangle isocèle par rapport à l'axe de symétrie UO(Fig. 2.13) on définit, à l'aide de la quatrième des formules (2.17), comme le moment d'inertie doublé d'un triangle rectangle de base h et la hauteur b/ 2:

Ainsi, les moments d'inertie d'un triangle isocèle autour des principaux axes centraux Oh Et UO déterminé par des formules

Cercle. Premièrement, il est pratique de calculer le moment d'inertie polaire d'un cercle à l'aide de la formule (2.4), en utilisant le système de coordonnées polaires (Fig. 2.14).

Étant donné que dF-rdrdQ, nous trouverons

Puisque le moment polaire selon (2.4) égal à la somme deux moments axiaux, on obtient

Anneau. Les moments d'inertie de l'anneau (Fig. 2.15) sont la différence entre les moments d'inertie de deux cercles de rayons Je 2 Et R ( :

Demi-cercle(riz. 2.16). Sélectionnons un élément d'aire dans le plan du demi-cercle dF avec coordonnées polaires G, 0 et Coordonnées cartésiennes x v y v pour lequel, conformément à la Fig. 2.16 nous avons:

A l'aide des formules (2.1) et (2.5), on trouve respectivement le moment statique du demi-cercle par rapport à l'axe 0 ( x ( et ordonnée à 0 centre de gravité À PROPOS dans le système de coordonnées 0 ( x ( Uy

Par rapport aux axes 0, x et 0 ( yv qui sont les axes principaux du demi-cercle, les moments d'inertie axiaux sont égaux à la moitié des moments d'inertie du cercle :

Le moment d'inertie autour de l'axe central principal est déterminé à l'aide de la première formule (2.6) :

Ellipse. Calculer le moment d'inertie axial d'une ellipse à demi-axes UN Et b par rapport à l'axe Oh(Fig. 2.17) nous procédons comme suit. Traçons un cercle autour de l'ellipse et sélectionnons deux bandes élémentaires de largeur dx et la hauteur 2ук pour le cercle et 2 euh pour une ellipse. Les moments d'inertie de ces deux bandes peuvent être déterminés par la première des formules (2.15) pour un rectangle :

Intégrant ces expressions allant de -UN avant UN, on a

Riz. 2.16

Riz. 2.17

A partir des équations d'un cercle et d'une ellipse, nous avons

Avec ça en tête

Une expression similaire peut être obtenue pour le moment d'inertie autour de l'axe OU. En conséquence, pour l’ellipse nous aurons formules suivantes pour les moments axiaux :

Tiges roulées. Les caractéristiques géométriques des sections des tiges laminées (poutres en I, profilés, cornières) sont données dans les tableaux d'assortiment des aciers laminés (voir annexe).

En considérant dans les sections précédentes les types de déformations les plus simples - traction et compression axiales, écrasement, effritement - nous avons découvert que leur résistance force agissante proportionnel uniquement aux dimensions de la section transversale de l'élément sur lequel la force agit. Ainsi, avec la même section transversale, le même matériau et la même force agissant sur chacune des tiges représentées sur la Fig. 9.14, des contraintes égales y apparaîtront.
Passer à d'autres études espèce complexe déformations (torsion, flexion, compression excentrique etc.) nous verrons que dans ces cas la résistance d'un élément structurel aux efforts extérieurs dépend non seulement de son aire de section transversale, mais aussi de la répartition de cette aire dans le plan de coupe, c'est-à-dire de la forme de la section. .
D'après l'expérience quotidienne, il est clair que plier la tige 4 dans la direction verticale est plus difficile que la tige 5 et que la tige 6 a une rigidité encore plus grande, bien que les sections transversales de toutes ces tiges soient les mêmes (Fig. 9.14).

Paramètres caractérisant propriétés géométriques Différentes figures planes, en plus de l'aire, sont : les moments statiques, les moments d'inertie, les moments de résistance et les rayons d'inertie.
Moment statique de la zone. Imaginons une poutre avec une forme de section arbitraire avec une aire F, dans le plan duquel l'axe est tracé X(Fig. 9.15). Sélectionnez l'élément de zone dF, situé à distance à de l'axe X.. Le moment statique d'une plateforme élémentaire, par rapport à l'axe des x, est le produit de cette plateforme et sa distance à l'axe :

Moment statique de toute la zone F par rapport à l'axe Xégal à la somme des moments statiques de toutes les zones élémentaires repérables sur la zone considérée :

Depuis mécanique théorique On sait que les coordonnées du centre de gravité de l'aire d'une figure sont déterminées par les formules :

C'est pourquoi

Par conséquent, le moment statique d’une figure d’aire F par rapport à n'importe quel axe est égal au produit de l'aire et de la distance du centre de gravité de la figure à cet axe. La dimension du moment statique est l'unité de longueur au cube (,).
Les axes passant par le centre de gravité de la section sont dits centraux. Si une figure a un axe de symétrie, alors ce dernier passe toujours par le centre de gravité de la figure, c'est-à-dire les axes de symétrie sont aussi des axes centraux.
Nous garderons également à l'esprit que le moment statique d'une figure complexe par rapport à un axe est égal à la somme des moments statiques par rapport au même axe de figures simples en lesquels la figure complexe originale peut être divisée :
Riz. 9.16. Schéma pour déterminer les coordonnées du centre de gravité d'une figure complexe.

Pour résoudre ce problème, nous choisissons deux axes de coordonnées X Et à, coïncidant avec les côtés de la figure. Divisons la figure, dont toutes les dimensions doivent être connues, en parties élémentaires - rectangles - dont les coordonnées des centres de gravité sont évidentes, puisque ces parties sont symétriques. Composons maintenant des expressions pour calculer le moment statique de toute la zone, par exemple par rapport à l'axe à. Ceci peut être fait de deux façons:
a) prendre la somme des moments statiques des zones individuelles
Dans ces expressions F- l'aire de la figure entière ; - coordonnée de son centre de gravité ; - les aires des différentes parties de la figure, et - les coordonnées de leurs centres de gravité.
En assimilant les formules écrites ci-dessus, nous obtenons une équation à une inconnue :
De même, la distance du centre de gravité de la figure à l'axe X peut s'exprimer ainsi :

En compilant une intégrale dans laquelle l'intégrande est le produit de l'élément d'aire et du carré de la distance à l'origine (Fig. 9.17), on obtient moment d'inertie polaire:
Notons encore une caractéristique dans laquelle le site dF multiplié par le produit des coordonnées
Cette quantité est appelée moment d'inertie centrifuge. Les moments d'inertie donnés sont mesurés en unités de longueur prises à la puissance quatre (,).
Les moments d'inertie axiaux et polaires d'une figure sont des quantités positives et ne peuvent pas être égaux à zéro. Le moment d'inertie centrifuge, selon la position des axes, peut être positif ou négatif, ainsi qu'égal à zéro. Deux axes mutuellement perpendiculaires autour desquels le moment d'inertie centrifuge est nul sont appelés principaux axes d'inertie et sont désignés. Pour une figure symétrique, l'axe de symétrie est aussi l'axe principal.
Les moments d'inertie axiaux, définis par rapport aux axes principaux, ont des valeurs maximales et minimales.
Tout comme pour le moment statique, le moment d'inertie d'une figure complexe est égal à la somme des moments d'inertie des figures qui la composent. Nous soulignons que ce qui précède est vrai dans le cas où tous les moments d'inertie sont calculés par rapport au même axe.
Pour les moments d’inertie, il existe une autre règle souvent utilisée dans les calculs. Par rapport aux moments axiaux, il se formule comme suit : moment d'inertie d'une figure par rapport à un axe parallèle à l'axe central, est égal au moment d'inertie par rapport à l'axe central plus le produit de l'aire de la figure par le carré de la distance entre les axes (Fig. 9.18) :
Pour les moments d'inertie centrifuges, la règle correspondante sous forme analytique ressemble à ceci :
Pour obtenir la valeur du moment d'inertie d'une figure particulière, il est en principe nécessaire de résoudre l'intégrale correspondante sur l'aire de cette figure. Cependant, afin de faciliter les calculs techniques, de telles intégrales pour les formes transversales les plus courantes d'éléments de construction ont déjà été résolues et les résultats des solutions sous forme de formules sont présentés dans des tableaux, dont l'un est placé en annexe 3. .
De plus, les normes GOST pour tous les profilés laminés standards produits dans notre pays (angles, poutres en I, etc.) donnent les valeurs des moments d'inertie axiaux et d'autres caractéristiques géométriques pour chaque taille standard de produit laminé (voir annexe 4).
Enfin, pour les sections de formes complexes, les moments d'inertie sont déterminés à l'aide des deux règles décrites ci-dessus : l'addition des moments d'inertie et la conversion des moments d'inertie autour d'un axe vers d'autres axes.
Moment de résistance. Moment de résistance axial silhouette plate par rapport à tout axe situé dans le plan de la figure, le quotient de la division du moment d'inertie par rapport au même axe par la distance au point le plus éloigné de la figure est appelé (voir Fig. 9.17) :
Les moments de résistance ont la dimension de la longueur au cube (,).
Les formules de calcul des moments résistants axiaux des figures les plus fréquentes sont données à l'annexe 3, et les valeurs spécifiques de cette caractéristique pour les profilés en acier laminé sont données dans GOST (annexe 4). Notez que contrairement aux moments d’inertie, les moments de résistance ne peuvent pas être ajoutés.
Rayon d'inertie. Le rayon de giration est la valeur obtenue à partir de la formule
et pour un cercle de diamètre d le rayon de giration par rapport à l'axe passant par le centre du cercle est égal à
Le champ d'application des caractéristiques géométriques des sections évoquées ci-dessus sera révélé lors de l'étude des types de déformations, qui sont abordés dans les sous-sections suivantes de ce chapitre.

Statique est une section de mécanique théorique qui expose la doctrine générale des forces et étudie les conditions d'équilibre des corps sous l'influence des forces.

La statique est basée sur quelques principes de base ( axiomes), qui sont une généralisation de l'expérience industrielle séculaire de l'humanité et de la recherche théorique.

Axiome 1. Si deux forces agissent sur un corps libre absolument rigide, alors le corps peut être en équilibre si et seulement si ces forces sont de même ampleur et dirigées le long de la même ligne droite dans des directions opposées (Fig. 1.2).

Figure 1.2

Axiome 2. L'action d'un système de forces donné sur un corps absolument rigide ne changera pas si un système de forces équilibré y est ajouté ou soustrait. Si donc. Conséquence: l'action d'une force sur un corps absolument rigide ne changera pas si le point d'application de la force est déplacé le long de sa ligne d'action vers n'importe quel autre point du corps. Laissez le corps être soumis à une force appliquée en un point UN forcer . Choisissons un point arbitraire sur la ligne d'action de cette force DANS, et lui appliquer des forces équilibrées et, de plus, . Puisque les forces forment un système de forces équilibré, selon le deuxième axiome de la statique, elles peuvent être écartées. En conséquence, une seule force agira sur le corps, égale mais appliquée au point DANS(Fig. 1.3).

Figure 1.3

Axiome 3. Deux forces appliquées à corps solide en un point, avoir une résultante appliquée en ce même point et représentée par la diagonale d'un parallélogramme construit sur ces forces comme sur les côtés. Vecteur égal à la diagonale d'un parallélogramme construit sur des vecteurs et est appelé la somme géométrique des vecteurs et (Fig. 1.4).

Axiome 4. La loi de l'égalité d'action et de réaction. Avec toute action d'un corps sur un autre, il y a une réaction de même ampleur, mais de direction opposée (Fig. 1.5).

Figure 1.5

Axiome 5. Le principe du durcissement. L'équilibre d'un corps changeant (déformable) sous l'influence d'un système de forces donné ne sera pas perturbé si le corps est considéré comme durci, c'est-à-dire absolument solide.

4. Caractéristiques géométriques des figures. Moment statique. Moment d'inertie centrifuge, moment d'inertie polaire (concepts de base).

Le résultat des calculs ne dépend pas seulement de la surface de la section transversale. Par conséquent, lors de la résolution de problèmes de résistance des matériaux, on ne peut se passer de déterminer caractéristiques géométriques des figures: moments d'inertie statiques, axiaux, polaires et centrifuges. Il est impératif de pouvoir déterminer la position du centre de gravité du tronçon (les caractéristiques géométriques répertoriées dépendent de la position du centre de gravité). En plus des caractéristiques géométriques des figures simples : rectangle, carré, isocèle et triangles rectangles, cercle, demi-cercle. Le centre de gravité et la position des axes centraux principaux sont indiqués, et les caractéristiques géométriques les concernant sont déterminées, à condition que le matériau de la poutre soit homogène.

Caractéristiques géométriques du rectangle et du carré

Moments d'inertie axiaux d'un rectangle (carré)

CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D'UN TRIANGLE RECTANGULAIRE

Moments d'inertie axiaux d'un triangle rectangle

CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D'UN TRIANGLE ISOSceles

Moments d'inertie axiaux d'un triangle isocèle

CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES DU CERCLE

Moments d'inertie axiaux d'un cercle

CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES DU DEMI-CERCLE

Moments d'inertie axiaux d'un demi-cercle

Moment statique

Considérons la section transversale de la tige d'aire F. Traçons les axes de coordonnées x et y passant par un point arbitraire O. Sélectionnons un élément de zone avec les coordonnées x et y (Fig. 4.1).

Introduisons le concept de moment d'inertie statique autour d'un axe - une valeur égale au produit de l'élément de surface () par la distance (indiquée par la lettre y) à l'axe des x :

De même, le moment d’inertie statique autour de l’axe y est :

Après avoir résumé ces produits sur la zone F, nous obtenons le moment d'inertie statique de la figure entière par rapport aux axes x et y :

.

Moment d'inertie statique le chiffre relatif à l’axe est mesuré en unités de longueur au cube (cm3) et peut être positif, négatif et égal à zéro.

Soit les coordonnées du centre de gravité de la figure. En poursuivant l'analogie avec le moment de force, on peut écrire les expressions suivantes :

Ainsi, le moment (moment statique) de l'aire d'une figure par rapport à un axe est le produit de l'aire et de la distance de son centre de gravité à l'axe.

Moments centrifuges inertie du corps par rapport aux axes rectangulaires système de coordonnées cartésiennes les quantités suivantes sont appelées :

Où X, oui Et z- coordonnées d'un petit élément du corps volume dV, densité ρ Et masse dm.

L'axe OX s'appelle axe principal d'inertie du corps, si les moments d'inertie centrifuges J. xy Et J. xz sont simultanément égaux à zéro. Trois axes principaux d'inertie peuvent être tracés à travers chaque point du corps. Ces axes sont perpendiculaires entre eux. Moments d'inertie du corps par rapport aux trois axes principaux d'inertie tracés en un point arbitraire Ô les corps sont appelés principaux moments d'inertie du corps.

Les principaux axes d'inertie traversant le centre de masse les corps sont appelés principaux axes centraux d'inertie du corps, et les moments d'inertie autour de ces axes sont ses principaux moments centraux d'inertie. Axe de symétrie d’un corps homogène est toujours l’un de ses principaux axes centraux d’inertie.

Moment d'inertie polaire- la somme intégrale des produits des zones de plateformes élémentaires dA par carré de leur distance au pôle - ρ 2 (dans le système de coordonnées polaires), repris sur toute la surface de la section transversale. C'est-à-dire:

Cette valeur est utilisée pour prédire la capacité d'un objet à résister à la torsion. Il a la dimension des unités de longueur à la puissance quatrième ( m 4 , cm 4 ) et ne peut être que positif.

Pour une section transversale en forme de cercle avec un rayon r le moment d'inertie polaire est :

Si l'on combine l'origine du système de coordonnées rectangulaires cartésiennes 0 avec le pôle du système polaire (voir figure), alors

parce que .

Comme indiqué ci-dessus, les figures planes simples comprennent trois figures : un rectangle, un triangle et un cercle. Ces figures sont considérées comme simples car la position du centre de gravité de ces figures est connue à l'avance. Toutes les autres figures peuvent être composées de ces figures simples et sont considérées comme complexes. Calculons les moments d'inertie axiaux de figures simples par rapport à leurs axes centraux.

1. Rectangle. Considérons la section transversale d'un profil rectangulaire coté (Fig. 4.6). Sélectionnons un élément de section avec deux sections infiniment proches et espacées de l'axe central
.

Calculons le moment d'inertie d'une section rectangulaire par rapport à l'axe :

. (4.10)

Moment d'inertie d'une section rectangulaire autour de l'axe
nous trouverons de même. La conclusion n’est pas donnée ici.

. (4.11)

Et
est égal à zéro, puisque les axes
Et
sont des axes de symétrie, et donc des axes principaux.

2. Triangle isocèle. Considérons une section d'un profil triangulaire avec des dimensions
(Fig.4.7). Sélectionnons un élément de section avec deux sections infiniment proches et espacées de l'axe central
. Le centre de gravité du triangle est à distance
de la base. Le triangle est supposé isocèle, donc l’axe
la section est l’axe de symétrie.

Calculons le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe
:

. (4.12)

Taille on détermine à partir de la similarité des triangles :

; où
.

Remplacer les expressions par en (4.12) et en intégrant, on obtient :

. (4.13)

Moment d'inertie pour un triangle isocèle autour de l'axe
se trouve de manière similaire et est égal à :

(4.14)

Moment d'inertie centrifuge autour des axes
Et
est égal à zéro, puisque l'axe
est l'axe de symétrie de la section.

3. Cercle. Considérons la section transversale d'un profil circulaire de diamètre (Fig.4.8). Soulignons l'élément de section avec deux cercles concentriques infiniment proches situés à distance du centre de gravité du cercle .

Calculons le moment d'inertie polaire du cercle à l'aide de l'expression (4.5) :

. (4.15)

En utilisant la condition d'invariance pour la somme des moments d'inertie axiaux autour de deux axes perpendiculaires entre eux (4.6) et en tenant compte de celle pour un cercle, due à la symétrie
, on détermine la valeur des moments d'inertie axiaux :

. (4.16)

. (4.17)

Moment d'inertie centrifuge autour des axes Et est égal à zéro, puisque les axes
Et
sont les axes de symétrie de la section.

4.4. Dépendances entre moments d'inertie par rapport aux axes parallèles

Lors du calcul des moments d'inertie pour des figures complexes, une règle doit être rappelée : les valeurs des moments d'inertie peuvent être additionnées, s'ils sont calculés par rapport au même axe. Pour les figures complexes, le plus souvent les centres de gravité des figures simples individuelles et de la figure entière ne coïncident pas. En conséquence, les axes centraux des figures simples individuelles et de la figure entière ne coïncident pas. À cet égard, il existe des techniques permettant de ramener les moments d'inertie sur un axe, par exemple l'axe central de la figure entière. Cela peut être dû à une translation parallèle des axes d'inertie et à des calculs supplémentaires.

Considérons la détermination des moments d'inertie par rapport aux axes d'inertie parallèles représentés sur la Fig. 4.9.

Soit les moments d'inertie axiaux et centrifuges illustrés sur la Fig. 4.9. chiffres relatifs à des axes arbitrairement choisis
Et
avec l'origine au point connu. Il est nécessaire de calculer les moments d'inertie axiaux et centrifuges d'une figure par rapport à des axes parallèles arbitraires
Et
avec l'origine au point . Essieux
Et
effectué à distance Et respectivement des axes
Et
.

Utilisons les expressions pour les moments d'inertie axiaux (4.4) et pour le moment d'inertie centrifuge (4.7). Remplaçons ces expressions au lieu des coordonnées actuelles
Et
élément avec une zone de coordonnées infinitésimale
Et
dans le nouveau système de coordonnées. On a:

En analysant les expressions obtenues, nous arrivons à la conclusion que lors du calcul des moments d'inertie par rapport aux axes parallèles, des additifs sous forme de termes supplémentaires doivent être ajoutés aux moments d'inertie calculés par rapport aux axes d'inertie d'origine, qui peuvent être beaucoup plus grands que les valeurs des moments d'inertie par rapport aux axes d'origine. Ces conditions supplémentaires ne doivent donc en aucun cas être négligées.

Le cas considéré est le plus cas général transfert parallèle d'axes, lorsque des axes d'inertie arbitraires ont été pris comme axes initiaux. Dans la plupart des calculs, il existe des cas particuliers de détermination des moments d'inertie.

D'abord cas particulier . Les axes d'origine sont les axes centraux d'inertie de la figure. Ensuite, en utilisant la propriété principale du moment statique de l'aire, nous pouvons exclure des équations (4.18) – (4.20) les termes des équations qui incluent le moment statique de l'aire de la figure. En conséquence nous obtenons :

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Voici les axes
Et
-axes centraux d'inertie.

Deuxième cas particulier. Les axes de référence sont les axes principaux d'inertie. Ensuite, en tenant compte du fait que par rapport aux axes principaux d'inertie le moment d'inertie centrifuge est égal à zéro, on obtient :

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Voici les axes
Et
axes principaux d'inertie.

Utilisons les expressions obtenues et considérons plusieurs exemples de calcul des moments d'inertie pour des figures planes.

Exemple 4.2. Déterminez les moments d'inertie axiaux de la figure montrée à la Fig. 4.10, par rapport aux axes centraux Et .

Dans l'exemple 4.1 précédent, pour la figure représentée sur la figure 4.10, la position du centre de gravité C a été déterminée. La coordonnée du centre de gravité a été tracée à partir de l'axe et compilé
. Calculons les distances Et entre les axes Et et des axes Et . Ces distances étaient respectivement
Et
. Depuis les axes d'origine Et sont les axes centraux des figures simples en forme de rectangles, pour déterminer le moment d'inertie de la figure par rapport à l'axe Utilisons les conclusions pour le premier cas particulier, en particulier la formule (4.21).

Moment d'inertie autour de l'axe on obtient en additionnant les moments d'inertie de figures simples par rapport à un même axe, puisque l'axe est l'axe central commun aux figures simples et à la figure entière.

cm 4.

Moment d'inertie centrifuge autour des axes Et est égal à zéro, puisque l'axe d'inertie est l'axe principal (axe de symétrie de la figure).

Exemple 4.3. Quelle est la taille? b(en cm) la figure montrée sur la Fig. 4.11, si le moment d'inertie de la figure par rapport à l'axe égal à 1000 cm 4 ?

Exprimons le moment d'inertie autour de l'axe à travers une taille de section inconnue , en utilisant la formule (4.21), en tenant compte du fait que la distance entre les axes Et équivaut à 7 cm :

cm 4. (UN)

Résolution de l'expression (a) par rapport à la taille de la section , on a:

cm.

Exemple 4.4. Laquelle des figures représentées sur la Fig. 4.12 a un plus grand moment d'inertie par rapport à l'axe si les deux figures ont la même aire
cm2 ?

1. Exprimons les aires des figures en fonction de leurs tailles et déterminons :

a) diamètre de section pour une section ronde :

cm2; Où
cm.

b) taille du côté carré :

; Où
cm.

2. Calculez le moment d'inertie pour une section circulaire :

cm 4.

3. Calculez le moment d'inertie pour une section carrée :

cm 4.

En comparant les résultats obtenus, nous arrivons à la conclusion qu'une section carrée aura le moment d'inertie le plus élevé par rapport à une section circulaire de même surface.

Exemple 4.5. Déterminer le moment d'inertie polaire (en cm 4) d'une section rectangulaire par rapport à son centre de gravité, si la largeur de la section
cm, hauteur de section
cm.

1. Trouver les moments d'inertie de la section par rapport à l'horizontale et vertical axes centraux d'inertie :

cm 4;
cm 4.

2. On détermine le moment d'inertie polaire de la section comme la somme des moments d'inertie axiaux :

cm 4.

Exemple 4.6. Déterminer le moment d'inertie de la figure triangulaire représentée sur la Fig. 4.13, par rapport à l'axe central , si le moment d'inertie de la figure par rapport à l'axe égal à 2400 cm 4.

Moment d'inertie d'une section triangulaire par rapport à l'axe d'inertie principal sera moindre par rapport au moment d'inertie autour de l'axe par le montant
. Par conséquent, quand
cm moment d'inertie de la section par rapport à l'axe nous le trouvons comme suit.