Les propriétés de base du logarithme naturel, du graphique, du domaine de définition, de l'ensemble de valeurs, des formules de base, de la dérivée, de l'intégrale, du développement en série entière et de la représentation de la fonction ln x à l'aide de nombres complexes sont données.

Contenu

Fonction inverse

L'inverse du logarithme népérien est l'exposant.

Si donc

Si donc.

Dérivée ln x

Dérivée du logarithme népérien :
.
Dérivée du logarithme népérien du module x :
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >

Intégral

L'intégrale est calculée par intégration par parties :
.
Donc,

Expressions utilisant des nombres complexes

Considérons la fonction de la variable complexe z :
.
Exprimons la variable complexe z par module r et argumentation φ :
.
En utilisant les propriétés du logarithme, on a :
.
Ou
.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. Si tu mets
, où n est un nombre entier,
ce sera le même numéro pour différents n.

Par conséquent, le logarithme népérien, en fonction d’une variable complexe, n’est pas une fonction à valeur unique.

Extension de la série de puissance

Lorsque l’agrandissement a lieu :

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Voir également:

Logarithme du nombre b (b > 0) en base a (a > 0, a ≠ 1)– exposant auquel il faut élever le nombre a pour obtenir b.

Le logarithme en base 10 de b peut s’écrire journal(b), et le logarithme en base e (logarithme népérien) est ln(b).

Souvent utilisé pour résoudre des problèmes avec des logarithmes :

Propriétés des logarithmes

Il y a quatre principaux propriétés des logarithmes.

Soit a > 0, a ≠ 1, x > 0 et y > 0.

Propriété 1. Logarithme du produit

Logarithme du produitégal à la somme des logarithmes :

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Propriété 2. Logarithme du quotient

Logarithme du quotientégal à la différence des logarithmes :

log a (x / y) = log a x – log a y

Propriété 3. Logarithme de puissance

Logarithme de degréégal au produit de la puissance et du logarithme :

Si la base du logarithme est au pouvoir, alors une autre formule s'applique :

Propriété 4. Logarithme de la racine

Cette propriété peut être obtenue à partir de la propriété du logarithme d'une puissance, puisque la racine nième de la puissance est égale à la puissance de 1/n :

Formule pour convertir un logarithme dans une base en un logarithme dans une autre base

Cette formule est également souvent utilisée lors de la résolution de diverses tâches sur les logarithmes :

Cas particulier:

Comparaison de logarithmes (inégalités)

Ayons 2 fonctions f(x) et g(x) sous logarithmes de mêmes bases et entre elles il y a un signe d'inégalité :

Pour les comparer, il faut d'abord regarder la base des logarithmes a :

• Si a > 0, alors f(x) > g(x) > 0
• Si 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Comment résoudre des problèmes avec les logarithmes : exemples

Problèmes avec les logarithmes inclus dans l'examen d'État unifié en mathématiques pour la 11e année dans les tâches 5 et 7, vous pouvez trouver des tâches avec des solutions sur notre site Web dans les sections appropriées. De plus, des tâches comportant des logarithmes se trouvent dans la banque de tâches mathématiques. Vous pouvez trouver tous les exemples en effectuant une recherche sur le site.

Qu'est-ce qu'un logarithme

Les logarithmes ont toujours été considérés comme un sujet difficile dans les cours de mathématiques à l'école. Il existe de nombreuses définitions différentes du logarithme, mais pour une raison quelconque, la plupart des manuels utilisent les plus complexes et les plus infructueuses d'entre elles.

Nous définirons le logarithme simplement et clairement. Pour ce faire, créons un tableau :

Nous avons donc des puissances de deux.

Logarithmes - propriétés, formules, comment résoudre

Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devrez relancer deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatrième. Et pour obtenir 64, il faut élever deux à la puissance sixième. Cela peut être vu sur le tableau.

Et maintenant - en fait, la définition du logarithme :

la base a de l'argument x est la puissance à laquelle le nombre a doit être élevé pour obtenir le nombre x.

Désignation : log a x = b, où a est la base, x est l'argument, b est ce à quoi le logarithme est réellement égal.

Par exemple, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Avec le même succès, log 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.

L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre selon une base donnée est appelée. Alors, ajoutons une nouvelle ligne à notre tableau :

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
journal 2 2 = 1	journal 2 4 = 2	journal 2 8 = 3	journal 2 16 = 4	journal 2 32 = 5	journal 2 64 = 6

Malheureusement, tous les logarithmes ne se calculent pas aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le log 2 5. Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur l'intervalle. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits à l'infini et ils ne sont jamais répétés. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Il est important de comprendre qu’un logarithme est une expression à deux variables (la base et l’argument). Au début, beaucoup de gens confondent où se trouve la base et où se trouve l’argument. Pour éviter des malentendus gênants, il suffit de regarder l'image :

Nous n’avons devant nous rien d’autre que la définition d’un logarithme. Souviens-toi: le logarithme est une puissance, dans lequel la base doit être construite pour obtenir un argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - elle est surlignée en rouge sur la photo. Il s'avère que la base est toujours en bas ! J'enseigne cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et aucune confusion ne surgit.

Comment compter les logarithmes

Nous avons trouvé la définition - il ne reste plus qu'à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du panneau « journal ». Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :

1. L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition d'un degré par un exposant rationnel, à laquelle se réduit la définition d'un logarithme.
2. La base doit être différente de l'unité, puisque l'unité reste une à quelque degré que ce soit. De ce fait, la question « à quel pouvoir faut-il être élevé pour en avoir deux » n’a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !

De telles restrictions sont appelées plage de valeurs acceptables(ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Notez qu'il n'y a aucune restriction sur le nombre b (la valeur du logarithme). Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1.

Cependant, nous ne considérons maintenant que des expressions numériques, pour lesquelles il n'est pas nécessaire de connaître la VA du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les auteurs des tâches. Mais lorsque les équations logarithmiques et les inégalités entreront en jeu, les exigences DL deviendront obligatoires. Après tout, la base et l’argumentation peuvent contenir des constructions très fortes qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.

Examinons maintenant le schéma général de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :

1. Exprimez la base a et l'argument x sous la forme d'une puissance avec la base minimale possible supérieure à un. En chemin, il vaut mieux se débarrasser des décimales ;
2. Résolvez l'équation de la variable b : x = a b ;
3. Le nombre résultant b sera la réponse.

C'est tout! Si le logarithme s’avère irrationnel, cela sera visible dès la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très importante : cela réduit le risque d'erreur et simplifie grandement les calculs. C’est la même chose avec les fractions décimales : si vous les convertissez immédiatement en fractions ordinaires, il y aura beaucoup moins d’erreurs.

Voyons comment ce schéma fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :

Tâche. Calculez le logarithme : log 5 25

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Créons et résolvons l'équation :
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Nous avons reçu la réponse : 2.

Tâche. Calculez le logarithme :

Tâche. Calculez le logarithme : log 4 64

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 3.

Tâche. Calculez le logarithme : log 16 1

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 0.

Tâche. Calculez le logarithme : log 7 14

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 ne peut pas être représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme ne compte pas ;
3. La réponse est aucun changement : log 7 14.

Une petite note sur le dernier exemple. Comment être sûr qu’un nombre n’est pas la puissance exacte d’un autre nombre ? C'est très simple : il suffit de le prendre en compte en facteurs premiers. Si l’expansion comporte au moins deux facteurs différents, le nombre n’est pas une puissance exacte.

Tâche. Découvrez si les nombres sont des puissances exactes : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas une puissance exacte, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois, ce n'est pas une puissance exacte ;
14 = 7 · 2 - encore une fois, ce n'est pas un degré exact ;

Notez également que les nombres premiers eux-mêmes sont toujours des puissances exactes d'eux-mêmes.

Logarithme décimal

Certains logarithmes sont si courants qu’ils portent un nom et un symbole spéciaux.

de l'argument x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire La puissance à laquelle il faut élever le nombre 10 pour obtenir le nombre x. Désignation : LG X.

Par exemple, log 10 = 1 ; LG 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.

Désormais, lorsqu'une phrase telle que « Find lg 0.01 » apparaît dans un manuel, sachez qu'il ne s'agit pas d'une faute de frappe. Il s'agit d'un logarithme décimal. Cependant, si vous n’êtes pas familier avec cette notation, vous pouvez toujours la réécrire :
journal x = journal 10 x

Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires l’est également pour les logarithmes décimaux.

Un algorithme naturel

Il existe un autre logarithme qui a sa propre désignation. À certains égards, c'est encore plus important que le nombre décimal. Nous parlons du logarithme népérien.

de l'argument x est le logarithme en base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre e doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : ln x.

Beaucoup de gens se demanderont : quel est le nombre e ? Il s’agit d’un nombre irrationnel ; sa valeur exacte ne peut être trouvée ni écrite. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459…

Nous n'entrerons pas dans les détails de ce qu'est ce numéro et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme népérien :
ln x = log e x

Ainsi ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. En revanche, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel est irrationnel. Sauf bien sûr un : ln 1 = 0.

Pour les logarithmes naturels, toutes les règles valables pour les logarithmes ordinaires sont valables.

Voir également:

Logarithme. Propriétés du logarithme (puissance du logarithme).

Comment représenter un nombre sous forme de logarithme ?

Nous utilisons la définition du logarithme.

Un logarithme est un exposant auquel il faut élever la base pour obtenir le nombre sous le signe du logarithme.

Ainsi, pour représenter un certain nombre c sous forme de logarithme en base a, il faut mettre une puissance de même base que la base du logarithme sous le signe du logarithme, et écrire ce nombre c comme exposant :

Absolument n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de logarithme - positif, négatif, entier, fractionnaire, rationnel, irrationnel :

Afin de ne pas confondre a et c dans les conditions stressantes d'un test ou d'un examen, vous pouvez utiliser la règle de mémorisation suivante :

ce qui est en bas descend, ce qui est en haut monte.

Par exemple, vous devez représenter le nombre 2 sous forme de logarithme en base 3.

Nous avons deux nombres - 2 et 3. Ces nombres sont la base et l'exposant, que nous écrirons sous le signe du logarithme. Reste à déterminer lequel de ces nombres doit être écrit, à la base du degré, et lequel – à l'exposant.

La base 3 dans la notation d'un logarithme est en bas, ce qui signifie que lorsque nous représentons deux sous forme de logarithme en base 3, nous écrirons également 3 en base.

2 est supérieur à trois. Et en notation du degré deux, nous écrivons au-dessus des trois, c'est-à-dire en exposant :

Logarithmes. Premier niveau.

Logarithmes

Logarithme nombre positif b basé sur un, Où une > 0, une ≠ 1, est appelé l'exposant auquel le nombre doit être élevé un, Obtenir b.

Définition du logarithme peut s'écrire brièvement ainsi :

Cette égalité est valable pour b > 0, une > 0, une ≠ 1. On l'appelle généralement identité logarithmique.
L’action de trouver le logarithme d’un nombre s’appelle par logarithme.

Propriétés des logarithmes :

Logarithme du produit :

Logarithme du quotient :

Remplacement de la base du logarithme :

Logarithme du degré :

Logarithme de la racine :

Logarithme avec base de puissance :

Logarithmes décimaux et naturels.

Logarithme décimal les nombres appellent le logarithme de ce nombre en base 10 et écrivent   lg b
Un algorithme naturel les nombres sont appelés le logarithme de ce nombre à la base e, Où e- un nombre irrationnel approximativement égal à 2,7. En même temps, ils écrivent dans b.

Autres notes sur l'algèbre et la géométrie

Propriétés de base des logarithmes

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique grave ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : log a x et log a y. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Journal 6 4 + journal 6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 2 48 − log 2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48 : 3) = log 2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 3 135 − log 3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135 : 5) = log 3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être retiré du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 7 49 6 .

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nous avons:

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log 2 7. Puisque log 2 7 ≠ 0, on peut réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme log a x. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 5 16 log 2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Sortons les indicateurs : log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ; journal 2 25 = journal 2 5 2 = 2 journal 2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log 9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée.

Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que log 25 64 = log 5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

1. log a a = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
2. log a 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

À mesure que la société se développait et que la production devenait plus complexe, les mathématiques se développèrent également. Passage du simple au complexe. De la comptabilité ordinaire utilisant la méthode d'addition et de soustraction, avec leur répétition répétée, nous sommes arrivés au concept de multiplication et de division. Réduire l’opération répétée de multiplication est devenu le concept d’exponentiation. Les premiers tableaux de la dépendance des nombres à la base et du nombre d'exponentiation ont été compilés au VIIIe siècle par le mathématicien indien Varasena. À partir d'eux, vous pouvez compter l'heure d'apparition des logarithmes.

Esquisse historique

Le renouveau de l’Europe au XVIe siècle stimule également le développement de la mécanique. T a nécessité une grande quantité de calcul liés à la multiplication et à la division de nombres à plusieurs chiffres. Les tables anciennes rendaient de grands services. Ils ont permis de remplacer des opérations complexes par des opérations plus simples : addition et soustraction. Un grand pas en avant fut le travail du mathématicien Michael Stiefel, publié en 1544, dans lequel il réalisa l'idée de​​de nombreux mathématiciens. Cela a permis d'utiliser des tableaux non seulement pour les puissances sous forme de nombres premiers, mais aussi pour les puissances arbitraires et rationnelles.

En 1614, l’Écossais John Napier, développant ces idées, introduisit pour la première fois le nouveau terme « logarithme d’un nombre ». De nouveaux tableaux complexes ont été compilés pour calculer les logarithmes des sinus et des cosinus, ainsi que les tangentes. Cela réduisit considérablement le travail des astronomes.

De nouvelles tables ont commencé à apparaître, utilisées avec succès par les scientifiques pendant trois siècles. Beaucoup de temps s'est écoulé avant que la nouvelle opération en algèbre n'acquière sa forme définitive. La définition du logarithme a été donnée et ses propriétés ont été étudiées.

Ce n'est qu'au XXe siècle, avec l'avènement de la calculatrice et de l'ordinateur, que l'humanité a abandonné les anciennes tables qui avaient fonctionné avec succès tout au long du XIIIe siècle.

Aujourd’hui, nous appelons le logarithme de b pour baser a le nombre x qui est la puissance de a pour faire b. Ceci s'écrit sous la forme d'une formule : x = log a(b).

Par exemple, log 3(9) serait égal à 2. Cela est évident si vous suivez la définition. Si on élève 3 à la puissance 2, on obtient 9.

Ainsi, la définition formulée ne pose qu'une seule restriction : les nombres a et b doivent être réels.

Types de logarithmes

La définition classique s'appelle le logarithme réel et est en fait la solution de l'équation a x = b. L’option a = 1 est limite et ne présente aucun intérêt. Attention : 1 à n’importe quelle puissance est égal à 1.

Valeur réelle du logarithme défini uniquement lorsque la base et l'argument sont supérieurs à 0 et que la base ne doit pas être égale à 1.

Place particulière dans le domaine des mathématiques jouer à des logarithmes, qui seront nommés en fonction de la taille de leur base :

Règles et restrictions

La propriété fondamentale des logarithmes est la règle : le logarithme d'un produit est égal à la somme logarithmique. log abp = log a(b) + log a(p).

En variante de cet énoncé on aura : log c(b/p) = log c(b) - log c(p), la fonction quotient est égale à la différence des fonctions.

À partir des deux règles précédentes, il est facile de voir que : log a(b p) = p * log a(b).

Les autres propriétés incluent :

Commentaire. Il n’est pas nécessaire de commettre une erreur courante : le logarithme d’une somme n’est pas égal à la somme des logarithmes.

Pendant de nombreux siècles, la recherche d’un logarithme était une tâche plutôt fastidieuse. Les mathématiciens ont utilisé la formule bien connue de la théorie logarithmique du développement polynomial :

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), où n est un nombre naturel supérieur à 1, qui détermine la précision du calcul.

Les logarithmes avec d'autres bases ont été calculés à l'aide du théorème sur le passage d'une base à une autre et la propriété du logarithme du produit.

Étant donné que cette méthode demande beaucoup de travail et lors de la résolution de problèmes pratiques difficile à mettre en œuvre, nous avons utilisé des tableaux de logarithmes pré-compilés, ce qui a considérablement accéléré tout le travail.

Dans certains cas, des graphiques de logarithmes spécialement compilés ont été utilisés, ce qui a donné moins de précision, mais a considérablement accéléré la recherche de la valeur souhaitée. La courbe de la fonction y = log a(x), construite sur plusieurs points, permet d'utiliser une règle régulière pour trouver la valeur de la fonction en tout autre point. Pendant longtemps, les ingénieurs ont utilisé ce qu’on appelle du papier millimétré à ces fins.

Au XVIIe siècle, les premières conditions informatiques auxiliaires analogiques sont apparues, qui au XIXe siècle ont acquis une forme complète. L'appareil le plus performant s'appelait la règle à calcul. Malgré la simplicité de l'appareil, son apparition a considérablement accéléré le processus de tous les calculs techniques, ce qui est difficile à surestimer. Actuellement, peu de gens connaissent cet appareil.

L’avènement des calculatrices et des ordinateurs a rendu inutile l’utilisation de tout autre appareil.

Équations et inégalités

Pour résoudre diverses équations et inégalités à l'aide de logarithmes, les formules suivantes sont utilisées :

• Passage d'une base à une autre : log a(b) = log c(b) / log c(a) ;
• Conséquence de l’option précédente : log a(b) = 1 / log b(a).

Pour résoudre les inégalités, il est utile de savoir :

• La valeur du logarithme ne sera positive que si la base et l'argument sont tous deux supérieurs ou inférieurs à un ; si au moins une condition n'est pas respectée, la valeur du logarithme sera négative.
• Si la fonction logarithme est appliquée aux côtés droit et gauche d'une inégalité et que la base du logarithme est supérieure à un, alors le signe de l'inégalité est conservé ; sinon ça change.

Exemples de problèmes

Considérons plusieurs options d'utilisation des logarithmes et de leurs propriétés. Exemples de résolution d'équations :

Considérons la possibilité de placer le logarithme dans une puissance :

• Problème 3. Calculez 25^log 5(3). Solution : dans les conditions du problème, l'entrée est similaire à ce qui suit (5^2)^log5(3) ou 5^(2 * log 5(3)). Écrivons-le différemment : 5^log 5(3*2), ou le carré d'un nombre comme argument de fonction peut être écrit comme le carré de la fonction elle-même (5^log 5(3))^2. En utilisant les propriétés des logarithmes, cette expression est égale à 3^2. Réponse : à la suite du calcul, nous obtenons 9.

Utilisation pratique

Étant un outil purement mathématique, il semble bien éloigné de la réalité que le logarithme ait soudainement acquis une grande importance pour décrire des objets du monde réel. Il est difficile de trouver une science où elle n’est pas utilisée. Cela s'applique pleinement non seulement aux domaines de la connaissance naturelle, mais aussi humanitaire.

Dépendances logarithmiques

Voici quelques exemples de dépendances numériques :

Mécanique et physique

Historiquement, la mécanique et la physique se sont toujours développées à l'aide de méthodes de recherche mathématiques et ont en même temps servi d'incitation au développement des mathématiques, notamment des logarithmes. La théorie de la plupart des lois de la physique est écrite dans le langage mathématique. Donnons seulement deux exemples de description de lois physiques à l'aide du logarithme.

Le problème du calcul d'une quantité aussi complexe que la vitesse d'une fusée peut être résolu en utilisant la formule de Tsiolkovsky, qui a jeté les bases de la théorie de l'exploration spatiale :

V = I * ln (M1/M2), où

• V est la vitesse finale de l'avion.
• I – impulsion spécifique du moteur.
• M 1 – masse initiale de la fusée.
• M 2 – masse finale.

Un autre exemple important- ceci est utilisé dans la formule d'un autre grand scientifique Max Planck, qui sert à évaluer l'état d'équilibre en thermodynamique.

S = k * ln (Ω), où

• S – propriété thermodynamique.
• k – Constante de Boltzmann.
• Ω est le poids statistique des différents états.

Chimie

Moins évidente est l’utilisation en chimie de formules contenant le rapport des logarithmes. Donnons juste deux exemples :

• Équation de Nernst, la condition du potentiel rédox du milieu par rapport à l'activité des substances et la constante d'équilibre.
• Le calcul de constantes telles que l'indice d'autolyse et l'acidité de la solution ne peut pas non plus se faire sans notre fonction.

Psychologie et biologie

Et on ne sait pas du tout ce que la psychologie a à voir là-dedans. Il s'avère que la force de la sensation est bien décrite par cette fonction comme le rapport inverse de la valeur d'intensité du stimulus à la valeur d'intensité inférieure.

Après les exemples ci-dessus, il n’est plus surprenant que le thème des logarithmes soit largement utilisé en biologie. Des volumes entiers pourraient être écrits sur les formes biologiques correspondant aux spirales logarithmiques.

Autres endroits

Il semble que l’existence du monde soit impossible sans lien avec cette fonction, et elle régit toutes les lois. Surtout quand les lois de la nature sont associées à une progression géométrique. Cela vaut la peine de se tourner vers le site MatProfi, et les exemples de ce type sont nombreux dans les domaines d'activité suivants :

La liste peut être interminable. Après avoir maîtrisé les principes de base de cette fonction, vous pourrez plonger dans le monde de la sagesse infinie.

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Qu'est-ce qu'un logarithme ? Comment résoudre des logarithmes ? Ces questions déroutent de nombreux diplômés. Traditionnellement, le sujet des logarithmes est considéré comme complexe, incompréhensible et effrayant. Surtout les équations avec des logarithmes.

Ce n'est absolument pas vrai! Absolument! Vous ne me croyez pas ? Bien. Maintenant, en seulement 10 à 20 minutes, vous :

1. Vous comprendrez qu'est-ce qu'un logarithme.

2. Apprenez à résoudre toute une classe d’équations exponentielles. Même si vous n’en avez pas entendu parler.

3. Apprenez à calculer des logarithmes simples.

De plus, pour cela il vous suffira de connaître la table de multiplication et comment élever un nombre à une puissance...

J'ai l'impression que vous avez des doutes... Bon, ok, marquez le pas ! Aller!

Tout d’abord, résolvez cette équation dans votre tête :

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Expressions logarithmiques, résolution d'exemples. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés à la résolution de logarithmes. Les tâches posent la question de trouver le sens d'une expression. Il convient de noter que le concept de logarithme est utilisé dans de nombreuses tâches et qu’il est extrêmement important d’en comprendre la signification. Quant à l'examen d'État unifié, le logarithme est utilisé lors de la résolution d'équations, dans des problèmes appliqués, ainsi que dans des tâches liées à l'étude des fonctions.

Donnons des exemples pour comprendre le sens même du logarithme :

Identité logarithmique de base :

Propriétés des logarithmes qu'il faut toujours retenir :

*Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

* * *

*Le logarithme d'un quotient (fraction) est égal à la différence entre les logarithmes des facteurs.

* * *

*Le logarithme d'un exposant est égal au produit de l'exposant par le logarithme de sa base.

* * *

*Transition vers une nouvelle fondation

* * *

Plus de propriétés :

* * *

Le calcul des logarithmes est étroitement lié à l'utilisation des propriétés des exposants.

Citons-en quelques-uns :

L'essence de cette propriété est que lorsque le numérateur est transféré au dénominateur et vice versa, le signe de l'exposant change à l'opposé. Par exemple:

Un corollaire de cette propriété :

* * *

Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, la base reste la même, mais les exposants sont multipliés.

* * *

Comme vous l’avez vu, le concept de logarithme en lui-même est simple. L'essentiel est que vous ayez besoin d'une bonne pratique, qui vous confère une certaine compétence. Bien entendu, la connaissance des formules est requise. Si les compétences nécessaires à la conversion de logarithmes élémentaires n'ont pas été développées, vous pouvez facilement commettre une erreur lors de la résolution de tâches simples.

Entraînez-vous, résolvez d'abord les exemples les plus simples du cours de mathématiques, puis passez aux exemples plus complexes. À l'avenir, je montrerai certainement comment les logarithmes « effrayants » sont résolus ; ils n'apparaîtront pas à l'examen d'État unifié, mais ils sont intéressants, ne les manquez pas !

C'est tout! Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.