Trouver les coordonnées d'un vecteur est une condition assez courante pour de nombreux problèmes mathématiques. La capacité de trouver des coordonnées vectorielles vous aidera dans d'autres problèmes plus complexes avec sujets similaires. Dans cet article, nous examinerons la formule permettant de trouver des coordonnées vectorielles et plusieurs problèmes.

Trouver les coordonnées d'un vecteur dans un plan

Qu'est-ce qu'un avion ? Un plan est considéré comme un espace à deux dimensions, un espace à deux dimensions (la dimension x et la dimension y). Par exemple, le papier est plat. La surface de la table est plate. Toute figure non volumétrique (carré, triangle, trapèze) est aussi un plan. Ainsi, si dans l'énoncé du problème vous devez trouver les coordonnées d'un vecteur qui se trouve sur un plan, nous nous souvenons immédiatement de x et y. Vous pouvez trouver les coordonnées d'un tel vecteur comme suit : Coordonnées AB du vecteur = (xB – xA ; yB – xA). La formule montre que vous devez soustraire les coordonnées du point de départ des coordonnées du point final.

Exemple:

• Le vecteur CD a des coordonnées initiales (5 ; 6) et finales (7 ; 8).
• Trouvez les coordonnées du vecteur lui-même.
• En utilisant la formule ci-dessus, nous obtenons l'expression suivante : CD = (7-5 ​​; 8-6) = (2 ; 2).
• Ainsi, les coordonnées du vecteur CD = (2 ; 2).
• En conséquence, la coordonnée x est égale à deux, la coordonnée y est également deux.

Trouver les coordonnées d'un vecteur dans l'espace

Qu'est-ce que l'espace ? L'espace est déjà une dimension tridimensionnelle, où 3 coordonnées sont données : x, y, z. Si vous avez besoin de trouver un vecteur situé dans l'espace, la formule ne change pratiquement pas. Une seule coordonnée est ajoutée. Pour trouver un vecteur, vous devez soustraire les coordonnées du début des coordonnées de fin. AB = (xB – xA ; yB – yA ; zB – zA)

Exemple:

• Le vecteur DF a une initiale (2 ; 3 ; 1) et une finale (1 ; 5 ; 2).
• En appliquant la formule ci-dessus, nous obtenons : Coordonnées vectorielles DF = (1-2 ; 5-3 ; 2-1) = (-1 ; 2 ; 1).
• N'oubliez pas que la valeur des coordonnées peut être négative, il n'y a pas de problème.

Comment trouver des coordonnées vectorielles en ligne ?

Si, pour une raison quelconque, vous ne souhaitez pas trouver les coordonnées vous-même, vous pouvez utiliser un calculateur en ligne. Pour commencer, sélectionnez la dimension vectorielle. La dimension d'un vecteur est responsable de ses dimensions. La dimension 3 signifie que le vecteur est dans l'espace, la dimension 2 signifie qu'il est dans le plan. Ensuite, insérez les coordonnées des points dans les champs appropriés et le programme déterminera pour vous les coordonnées du vecteur lui-même. Tout est très simple.

En cliquant sur le bouton, la page défilera automatiquement vers le bas et vous donnera la bonne réponse ainsi que les étapes de la solution.

Il est recommandé de bien étudier ce sujet, car la notion de vecteur se retrouve non seulement en mathématiques, mais aussi en physique. Étudiants du corps professoral Technologies de l'information Ils étudient également le thème des vecteurs, mais à un niveau plus complexe.

Les axes des abscisses et des ordonnées sont appelés coordonnées vecteur. Les coordonnées vectorielles sont généralement indiquées sous la forme (x, y), et le vecteur lui-même comme : =(x, y).

Formule pour déterminer les coordonnées vectorielles pour des problèmes bidimensionnels.

Dans le cas d’un problème bidimensionnel, un vecteur de coordonnées des points UNE(x 1;y 1) Et B(X 2 ; oui 2 ) peut être calculé :

= (x 2 - x 1 ; oui 2 - et 1).

Formule pour déterminer les coordonnées vectorielles pour les problèmes spatiaux.

Dans le cas d'un problème spatial, un vecteur de coordonnées des points UN (x 1;y 1;z 1 ) et B (X 2 ; oui 2 ; z 2 ) peut être calculé à l'aide de la formule :

= (X 2 - X 1 ; oui 2 - oui 1 ; z 2 - z 1 ).

Les coordonnées fournissent une description complète du vecteur, puisqu'il est possible de construire le vecteur lui-même à l'aide des coordonnées. Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer et longueur du vecteur. (Propriété 3 ci-dessous).

Propriétés des coordonnées vectorielles.

1. N'importe lequel vecteurs égaux dans un seul système de coordonnées ont coordonnées égales.

2. Coordonnées vecteurs colinéaires proportionnel. À condition qu’aucun des vecteurs ne soit nul.

3. Carré de la longueur de n'importe quel vecteur égal à la somme mettre au carré coordonnées.

4.Pendant l'intervention chirurgicale multiplication vectorielle sur nombre réel chacune de ses coordonnées est multipliée par ce nombre.

5. Lors de l'ajout de vecteurs, nous calculons la somme des coordonnées vectorielles.

6. Produit scalaire deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs coordonnées correspondantes.

J'ai enfin mis la main sur ce sujet vaste et tant attendu. géométrie analytique . Tout d'abord, un peu sur cette section des mathématiques supérieures... Vous vous souvenez sûrement maintenant d'un cours de géométrie scolaire avec de nombreux théorèmes, leurs preuves, dessins, etc. Que cacher, un sujet mal-aimé et souvent obscur pour une partie importante des étudiants. Curieusement, la géométrie analytique peut sembler plus intéressante et plus accessible. Que signifie l’adjectif « analytique » ? Deux expressions mathématiques clichées me viennent immédiatement à l’esprit : « méthode de solution graphique » et « méthode de solution analytique ». Méthode graphique , bien sûr, est associé à la construction de graphiques et de dessins. Analytique même méthode implique de résoudre des problèmes principalementà travers opérations algébriques. À cet égard, l'algorithme permettant de résoudre presque tous les problèmes de géométrie analytique est simple et transparent : il suffit souvent d'appliquer soigneusement les formules nécessaires - et la réponse est prête ! Non, bien sûr, nous ne pourrons pas faire cela sans dessins du tout, et d'ailleurs, pour une meilleure compréhension de la matière, j'essaierai de les citer au-delà de la nécessité.

Le cours de géométrie nouvellement ouvert ne prétend pas être théoriquement complet, il est axé sur la résolution de problèmes pratiques. J'inclurai dans mes cours uniquement ce qui, de mon point de vue, est important en termes pratiques. Si vous avez besoin d'une aide plus complète sur une sous-section, je recommande la littérature suivante assez accessible :

1) Une chose que, sans blague, plusieurs générations connaissent bien : Manuel scolaire de géométrie, auteurs - L.S. Atanasyan et compagnie. Ce cintre de vestiaire scolaire a déjà fait l'objet de 20 (!) réimpressions, ce qui, bien sûr, n'est pas la limite.

2) Géométrie en 2 volumes. Auteurs L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. C'est de la littérature pour lycée, Tu auras besoin de premier tome. Des tâches rarement rencontrées peuvent tomber hors de ma vue, et Didacticiel apportera une aide précieuse.

Les deux livres peuvent être téléchargés gratuitement en ligne. De plus, vous pouvez utiliser mes archives avec solutions prêtes à l'emploi, que l'on peut trouver sur la page Télécharger des exemples en mathématiques supérieures.

Parmi les outils, je propose à nouveau mon propre développement - progiciel en géométrie analytique, ce qui simplifiera grandement la vie et fera gagner beaucoup de temps.

On suppose que le lecteur connaît les bases concepts géométriques et figures : point, droite, plan, triangle, parallélogramme, parallélépipède, cube, etc. Il convient de rappeler certains théorèmes, au moins le théorème de Pythagore, bonjour les répétiteurs)

Et maintenant, nous allons considérer séquentiellement : la notion de vecteur, les actions avec des vecteurs, les coordonnées vectorielles. Je recommande de lire plus loin l'article le plus important Produit scalaire des vecteurs, et aussi Vecteur et produit mixte de vecteurs. Une tâche locale - la division d'un segment à cet égard - ne sera pas non plus superflue. Sur la base des informations ci-dessus, vous pouvez maîtriser équation d'une droite dans un plan Avec exemples de solutions les plus simples, ce qui permettra apprendre à résoudre des problèmes de géométrie. Les articles suivants sont également utiles : Équation d'un avion dans l'espace, Équations d'une droite dans l'espace, Problèmes de base sur une droite et un plan, autres sections de géométrie analytique. Naturellement, des tâches standards seront prises en compte en cours de route.

Notion de vecteur. Vecteur libre

Tout d’abord, répétons la définition scolaire d’un vecteur. Vecteur appelé dirigé un segment pour lequel son début et sa fin sont indiqués :

Dans ce cas, le début du segment est le point, la fin du segment est le point. Le vecteur lui-même est noté . Direction est essentiel, si vous déplacez la flèche à l'autre extrémité du segment, vous obtenez un vecteur, et c'est déjà vecteur complètement différent. Il est commode d'identifier la notion de vecteur avec le mouvement d'un corps physique : il faut en convenir, entrer dans les portes d'un institut ou sortir des portes d'un institut sont des choses complètement différentes.

Il est pratique de considérer les points individuels d'un plan ou d'un espace comme ce qu'on appelle vecteur zéro. Pour un tel vecteur, la fin et le début coïncident.

!!! Note: Ici et plus loin, vous pouvez supposer que les vecteurs se trouvent dans le même plan ou vous pouvez supposer qu'ils sont situés dans l'espace - l'essence du matériau présenté est valable à la fois pour le plan et pour l'espace.

Désignations : Beaucoup ont immédiatement remarqué le bâton sans flèche dans la désignation et ont dit : il y a aussi une flèche en haut ! C'est vrai, on peut l'écrire avec une flèche : , mais c'est aussi possible l'entrée que j'utiliserai à l'avenir. Pourquoi? Apparemment, cette habitude s'est développée pour des raisons pratiques : mes tireurs à l'école et à l'université se sont révélés trop différents et hirsutes. DANS littérature pédagogique parfois, ils ne s'embarrassent pas du tout de l'écriture cunéiforme, mais mettent en évidence les lettres en gras : , ce qui implique qu'il s'agit d'un vecteur.

C'était de la stylistique, et maintenant des façons d'écrire des vecteurs :

1) Les vecteurs peuvent être écrits en deux lettres latines majuscules :
et ainsi de suite. Dans ce cas, la première lettre Nécessairement désigne le point de début du vecteur et la deuxième lettre désigne le point final du vecteur.

2) Les vecteurs s'écrivent aussi en petites lettres latines :
En particulier, par souci de concision, notre vecteur peut être redésigné comme petit Lettre latine.

Longueur ou module un vecteur non nul est appelé la longueur du segment. La longueur du vecteur zéro est nulle. Logique.

La longueur du vecteur est indiquée par le signe du module : ,

Nous apprendrons comment trouver la longueur d'un vecteur (ou nous le répéterons, selon qui) un peu plus tard.

Il s’agissait d’informations de base sur les vecteurs, familières à tous les écoliers. En géométrie analytique, ce qu'on appelle vecteur libre.

Pour le dire simplement - le vecteur peut être tracé à partir de n'importe quel point:

Nous avons l'habitude d'appeler de tels vecteurs égaux (la définition des vecteurs égaux sera donnée ci-dessous), mais d'un point de vue purement mathématique, ce sont le MÊME VECTEUR ou vecteur libre. Pourquoi gratuit ? Car au cours de la résolution de problèmes, vous pouvez « attacher » tel ou tel vecteur « scolaire » à N'IMPORTE QUEL point du plan ou de l'espace dont vous avez besoin. C'est une fonctionnalité très intéressante ! Imaginez un segment dirigé de longueur et de direction arbitraires - il peut être « cloné » un nombre infini de fois et à n'importe quel point de l'espace, en fait, il existe PARTOUT. Il y a un tel étudiant qui dit : Tous les professeurs se soucient du vecteur. Après tout, ce n'est pas seulement une rime pleine d'esprit, tout est presque correct - un segment dirigé peut également y être ajouté. Mais ne vous précipitez pas pour vous réjouir, ce sont souvent les étudiants eux-mêmes qui en souffrent =)

Donc, vecteur libre- Ce un tas de segments orientés identiques. La définition scolaire d'un vecteur, donnée au début du paragraphe : « Un segment orienté est appelé vecteur... » implique spécifique un segment dirigé tiré d'un ensemble donné, qui est lié à un point spécifique du plan ou de l'espace.

Il convient de noter que du point de vue de la physique, la notion de vecteur libre dans cas général est incorrect et le point d’application compte. En effet, un coup direct de la même force sur le nez ou le front, suffisant pour développer mon stupide exemple, entraîne des conséquences différentes. Cependant, non libre des vecteurs se trouvent également au cours de vyshmat (n'y allez pas :)).

Actions avec des vecteurs. Colinéarité des vecteurs

DANS cours scolaire géométrie, un certain nombre d'actions et de règles avec des vecteurs sont considérées : addition selon la règle du triangle, addition selon la règle du parallélogramme, règle de différence vectorielle, multiplication d'un vecteur par un nombre, produit scalaire vecteurs, etc. Pour commencer, répétons deux règles particulièrement pertinentes pour résoudre des problèmes de géométrie analytique.

La règle pour ajouter des vecteurs à l'aide de la règle du triangle

Considérons deux vecteurs arbitraires non nuls et :

Vous devez trouver la somme de ces vecteurs. Etant donné que tous les vecteurs sont considérés comme libres, nous mettrons de côté le vecteur de fin vecteur:

La somme des vecteurs est le vecteur. Pour une meilleure compréhension de la règle, il est conseillé d'inclure signification physique: laissez un corps voyager le long d'un vecteur, puis le long d'un vecteur. Ensuite, la somme des vecteurs est le vecteur du chemin résultant avec le début au point de départ et la fin au point d'arrivée. Une règle similaire est formulée pour la somme d’un nombre quelconque de vecteurs. Comme on dit, le corps peut parcourir son chemin très penché en zigzag, ou peut-être en pilote automatique - le long du vecteur résultant de la somme.

D'ailleurs, si le vecteur est reporté de commencé vecteur, alors on obtient l'équivalent règle du parallélogramme ajout de vecteurs.

Premièrement, à propos de la colinéarité des vecteurs. Les deux vecteurs sont appelés colinéaire, s'ils se trouvent sur la même ligne ou sur des lignes parallèles. En gros, nous parlons de vecteurs parallèles. Mais à leur égard, l'adjectif « colinéaire » est toujours utilisé.

Imaginez deux vecteur colinéaire. Si les flèches de ces vecteurs sont dirigées dans la même direction, alors ces vecteurs sont appelés co-dirigé. Si les flèches pointent vers différents côtés, alors les vecteurs seront directions opposées.

Désignations : la colinéarité des vecteurs s'écrit avec le symbole de parallélisme habituel : , tandis que le détail est possible : (les vecteurs sont co-dirigés) ou (les vecteurs sont dirigés de manière opposée).

Le travail un vecteur non nul sur un nombre est un vecteur dont la longueur est égale à , et les vecteurs et sont co-dirigés vers et dirigés de manière opposée vers .

La règle pour multiplier un vecteur par un nombre est plus facile à comprendre à l'aide d'une image :

Regardons cela plus en détail :

1 direction. Si le multiplicateur est négatif, alors le vecteur change de direction au contraire.

2) Longueur. Si le multiplicateur est contenu dans ou , alors la longueur du vecteur diminue. Ainsi, la longueur du vecteur est la moitié de la longueur du vecteur. Si le multiplicateur modulo plus d'un, puis la longueur du vecteur augmenteà l'heure.

3) Veuillez noter que tous les vecteurs sont colinéaires, tandis qu'un vecteur est exprimé à travers un autre, par exemple . L'inverse est également vrai: si un vecteur peut être exprimé par un autre, alors ces vecteurs sont nécessairement colinéaires. Ainsi: si on multiplie un vecteur par un nombre, on obtient colinéaire(par rapport à l'original) vecteur.

4) Les vecteurs sont co-dirigés. Les vecteurs et sont également co-dirigés. Tout vecteur du premier groupe est dirigé de manière opposée par rapport à tout vecteur du deuxième groupe.

Quels vecteurs sont égaux ?

Deux vecteurs sont égaux s’ils vont dans la même direction et ont la même longueur. Notez que la codirectionnalité implique la colinéarité des vecteurs. La définition serait inexacte (redondante) si l’on disait : « Deux vecteurs sont égaux s’ils sont colinéaires, codirectionnels et ont la même longueur. »

Du point de vue du concept de vecteur libre, les vecteurs égaux sont le même vecteur, comme indiqué dans le paragraphe précédent.

Coordonnées vectorielles dans le plan et dans l'espace

Le premier point est de considérer les vecteurs sur le plan. Représentons un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes et traçons-le à partir de l'origine des coordonnées célibataire vecteurs et :

Vecteurs et orthogonal. Orthogonal = Perpendiculaire. Je vous recommande de vous habituer petit à petit aux termes : au lieu de parallélisme et perpendiculaire, on utilise respectivement les mots colinéarité Et orthogonalité.

Désignation: L'orthogonalité des vecteurs s'écrit avec le symbole habituel de perpendiculaire, par exemple : .

Les vecteurs considérés sont appelés vecteurs de coordonnées ou orts. Ces vecteurs forment base en surface. Ce qu'est une base, je pense, est intuitivement clair pour beaucoup ; des informations plus détaillées peuvent être trouvées dans l'article Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs En termes simples, la base et l'origine des coordonnées définissent l'ensemble du système - c'est une sorte de fondement sur lequel bout une vie géométrique pleine et riche.

Parfois, la base construite est appelée orthonormé base du plan : « ortho » - parce que les vecteurs de coordonnées sont orthogonaux, l'adjectif « normalisé » signifie unité, c'est-à-dire les longueurs des vecteurs de base sont égales à un.

Désignation: la base est généralement écrite entre parenthèses, à l'intérieur desquelles dans un ordre strict les vecteurs de base sont répertoriés, par exemple : . Coordonner les vecteurs c'est interdit réarranger.

N'importe lequel vecteur d'avion Le seul moyen exprimé comme suit :
, Où - Nombres qui sont appelés coordonnées vectorielles dans cette base. Et l'expression elle-même appelé décomposition vectoriellepar base .

Dîner servi :

Commençons par la première lettre de l'alphabet : . Le dessin montre clairement que lors de la décomposition d'un vecteur en base, ceux qui viennent d'être discutés sont utilisés :
1) la règle pour multiplier un vecteur par un nombre : et ;
2) addition de vecteurs selon la règle du triangle : .

Tracez maintenant mentalement le vecteur à partir de n’importe quel autre point du plan. Il est bien évident que sa déchéance « le suivra sans relâche ». La voici, la liberté du vecteur - le vecteur « porte tout avec lui ». Bien entendu, cette propriété est vraie pour tout vecteur. C'est drôle que les vecteurs de base (libres) eux-mêmes n'aient pas besoin d'être tracés à partir de l'origine ; on peut en dessiner un par exemple en bas à gauche, et l'autre en haut à droite, et rien ne changera ! Certes, vous n’avez pas besoin de le faire, puisque le professeur fera également preuve d’originalité et vous tirera un « crédit » dans un endroit inattendu.

Les vecteurs illustrent exactement la règle de multiplication d'un vecteur par un nombre, le vecteur est codirectionnel avec le vecteur de base, le vecteur est dirigé à l'opposé du vecteur de base. Pour ces vecteurs, une des coordonnées est égale à zéro ; vous pouvez l'écrire minutieusement ainsi :


Et les vecteurs de base, d'ailleurs, sont comme ceci : (en fait, ils s'expriment par eux-mêmes).

Et enfin: , . Au fait, qu’est-ce que la soustraction vectorielle et pourquoi n’ai-je pas parlé de la règle de soustraction ? Quelque part en algèbre linéaire, je ne sais plus où, j'ai remarqué que la soustraction est cas particulier ajout. Ainsi, les développements des vecteurs « de » et « e » s'écrivent facilement sous la forme d'une somme : , . Suivez le dessin pour voir avec quelle clarté la bonne vieille addition de vecteurs selon la règle du triangle fonctionne dans ces situations.

La décomposition considérée de la forme parfois appelé décomposition vectorielle dans le système ort(c'est-à-dire dans un système de vecteurs unitaires). Mais ce n'est pas la seule façon d'écrire un vecteur ; l'option suivante est courante :

Ou avec un signe égal :

Les vecteurs de base eux-mêmes s'écrivent comme suit : et

C'est-à-dire que les coordonnées du vecteur sont indiquées entre parenthèses. Dans les problèmes pratiques, les trois options de notation sont utilisées.

Je doutais de parler, mais je le dis quand même : les coordonnées vectorielles ne peuvent pas être réorganisées. Strictement en première place on note la coordonnée qui correspond au vecteur unitaire, strictement en deuxième position on note la coordonnée qui correspond au vecteur unitaire. En effet, et ce sont deux vecteurs différents.

Nous avons trouvé les coordonnées dans l'avion. Regardons maintenant les vecteurs dans l'espace tridimensionnel, presque tout est pareil ici ! Cela ajoutera simplement une coordonnée supplémentaire. Il est difficile de réaliser des dessins en trois dimensions, je me limiterai donc à un seul vecteur, que par simplicité je mettrai de côté de l'origine :

N'importe lequel vecteur espace tridimensionnel Peut Le seul moyen développer sur une base orthonormée :
, où sont les coordonnées du vecteur (nombre) dans cette base.

Exemple tiré de l'image : . Voyons comment fonctionnent les règles vectorielles ici. Tout d’abord, multipliez le vecteur par un nombre : (flèche rouge), (flèche verte) et (flèche framboise). Deuxièmement, voici un exemple d'ajout de plusieurs vecteurs, en l'occurrence trois : . Le vecteur somme commence au point de départ initial (début du vecteur) et se termine au point d'arrivée final (fin du vecteur).

Naturellement, tous les vecteurs de l'espace tridimensionnel sont également libres ; essayez de séparer mentalement le vecteur de tout autre point, et vous comprendrez que sa décomposition « restera avec lui ».

Semblable au boîtier plat, en plus d'écrire les versions avec parenthèses sont largement utilisées : soit .

S'il manque un (ou deux) vecteurs de coordonnées dans le développement, alors des zéros sont mis à leur place. Exemples:
vecteur (méticuleusement ) - écrivons ;
vecteur (méticuleusement ) - écrivons ;
vecteur (méticuleusement ) - écrivons .

Les vecteurs de base s'écrivent comme suit :

C'est probablement tout le minimum connaissance théorique, nécessaire à la résolution de problèmes de géométrie analytique. Il peut y avoir beaucoup de termes et de définitions, je recommande donc aux nuls de relire et de comprendre cette information encore. Et il sera utile à tout lecteur de se référer de temps en temps à la leçon de base pour mieux assimiler la matière. Colinéarité, orthogonalité, base orthonormée, décomposition vectorielle - ces concepts et d'autres seront souvent utilisés à l'avenir. Je constate que les matériaux présents sur le site ne suffisent pas pour réussir un test théorique ou un colloque de géométrie, puisque je crypte soigneusement tous les théorèmes (et sans preuves) - au détriment du style scientifique de présentation, mais un plus pour votre compréhension de l'objet. Pour recevoir des informations théoriques détaillées, veuillez vous incliner devant le professeur Atanasyan.

Et on passe à la partie pratique :

Les problèmes les plus simples de géométrie analytique.
Actions avec des vecteurs en coordonnées

Il est fortement conseillé d'apprendre à résoudre les tâches qui seront prises en compte de manière entièrement automatique, ainsi que les formules mémoriser, vous n'avez même pas besoin de vous en souvenir exprès, ils s'en souviendront eux-mêmes =) C'est très important, car d'autres problèmes de géométrie analytique sont basés sur les exemples élémentaires les plus simples, et ce sera ennuyeux de passer du temps supplémentaire à manger des pions . Il n'est pas nécessaire de fermer les boutons du haut de votre chemise, beaucoup de choses vous sont familières depuis l'école.

La présentation du matériel suivra un parcours parallèle - tant pour l'avion que pour l'espace. Parce que toutes les formules... vous le constaterez par vous-même.

Comment trouver un vecteur à partir de deux points ?

Si deux points du plan et sont donnés, alors le vecteur a les coordonnées suivantes :

Si deux points dans l'espace et sont donnés, alors le vecteur a les coordonnées suivantes :

C'est, à partir des coordonnées de la fin du vecteur vous devez soustraire les coordonnées correspondantes début du vecteur.

Exercice: Pour les mêmes points, notez les formules pour trouver les coordonnées du vecteur. Formules en fin de cours.

Exemple 1

Étant donné deux points du plan et . Trouver des coordonnées vectorielles

Solution: selon la formule appropriée :

Alternativement, l'entrée suivante pourrait être utilisée :

Les esthètes en décideront :

Personnellement, je suis habitué à la première version de l'enregistrement.

Répondre:

Selon la condition, il n'était pas nécessaire de construire un dessin (ce qui est typique des problèmes de géométrie analytique), mais afin de clarifier certains points pour les nuls, je ne serai pas paresseux :

Tu dois absolument comprendre différence entre les coordonnées du point et les coordonnées vectorielles:

Coordonnées des points– ce sont des coordonnées ordinaires dans un système de coordonnées rectangulaires. Mettre des points avion coordonné Je pense que tout le monde peut le faire de la 5e à la 6e année. Chaque point a une place stricte dans l'avion et ne peut être déplacé nulle part.

Les coordonnées du vecteur– c'est son expansion selon la base, dans ce cas. Tout vecteur est libre, donc si nous le souhaitons ou si nécessaire, nous pouvons facilement l'éloigner d'un autre point du plan. Il est intéressant de noter que pour les vecteurs, vous n’avez pas du tout besoin de construire des axes ou un système de coordonnées rectangulaires ; vous avez seulement besoin d’une base, en l’occurrence une base orthonormée du plan.

Les enregistrements de coordonnées de points et de coordonnées de vecteurs semblent être similaires : , et signification des coordonnées absolument différent, et vous devriez être bien conscient de cette différence. Bien entendu, cette différence s’applique également à l’espace.

Mesdames et messieurs, remplissons nos mains :

Exemple 2

a) Les points et sont attribués. Trouvez des vecteurs et .
b) Les points sont attribués Et . Trouvez des vecteurs et .
c) Les points et sont attribués. Trouvez des vecteurs et .
d) Des points sont attribués. Trouver des vecteurs .

C'est peut-être suffisant. Ce sont des exemples à vous de décider par vous-même, essayez de ne pas les négliger, cela sera payant ;-). Il n'est pas nécessaire de faire des dessins. Solutions et réponses à la fin de la leçon.

Qu'est-ce qui est important lors de la résolution de problèmes de géométrie analytique ? Il est important d’être EXTRÊMEMENT PRUDENT pour éviter de commettre l’erreur magistrale « deux plus deux égale zéro ». Je m'excuse tout de suite si j'ai fait une erreur quelque part =)

Comment trouver la longueur d'un segment ?

La longueur, comme déjà noté, est indiquée par le signe du module.

Si deux points du plan sont donnés et , alors la longueur du segment peut être calculée à l'aide de la formule

Si deux points dans l'espace et sont donnés, alors la longueur du segment peut être calculée à l'aide de la formule

Note: Les formules resteront correctes si les coordonnées correspondantes sont inversées : et , mais la première option est plus standard

Exemple 3

Solution: selon la formule appropriée :

Répondre:

Pour plus de clarté, je vais faire un dessin

Segment de ligne - ce n'est pas un vecteur, et bien sûr, vous ne pouvez le déplacer nulle part. De plus, si vous dessinez à l'échelle : 1 unité. = 1 cm (deux cellules de cahier), alors la réponse obtenue peut être vérifiée avec une règle ordinaire en mesurant directement la longueur du segment.

Oui, la solution est courte, mais elle contient quelques points plus importants que je voudrais clarifier :

Tout d'abord, dans la réponse nous mettons la dimension : « unités ». La condition ne dit pas de quoi il s’agit, en millimètres, centimètres, mètres ou kilomètres. Par conséquent, une solution mathématiquement correcte serait la formulation générale : « unités » – abrégé en « unités ».

Deuxièmement, répétons matériel scolaire, ce qui est utile non seulement pour le problème considéré :

faire attention à important technique technique – retirer le multiplicateur sous la racine. À la suite des calculs, nous obtenons un résultat et un bon style mathématique consiste à supprimer le facteur sous la racine (si possible). Plus en détail, le processus ressemble à ceci : . Bien sûr, laisser la réponse telle quelle ne serait pas une erreur – mais ce serait certainement une lacune et un argument de poids pour ergoter de la part de l’enseignant.

Voici d'autres cas courants :

Il y en a souvent assez à la racine grand nombre, Par exemple . Que faire dans de tels cas ? A l'aide de la calculatrice, on vérifie si le nombre est divisible par 4 : . Oui, il était complètement divisé, ainsi : . Ou peut-être que le nombre peut à nouveau être divisé par 4 ? . Ainsi: . Le dernier chiffre du nombre est impair, donc diviser par 4 une troisième fois ne fonctionnera évidemment pas. Essayons de diviser par neuf : . Par conséquent:
Prêt.

Conclusion: si sous la racine nous obtenons un nombre qui ne peut pas être extrait dans son ensemble, alors nous essayons de supprimer le facteur sous la racine - à l'aide d'une calculatrice, nous vérifions si le nombre est divisible par : 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

Lors de la résolution de divers problèmes, des racines sont souvent rencontrées ; essayez toujours d'extraire les facteurs sous la racine afin d'éviter une note inférieure et des problèmes inutiles lors de la finalisation de vos solutions sur la base des commentaires de l'enseignant.

Répétons également la quadrature des racines et autres puissances :

Règles pour les actions avec diplômes en vue générale peut être trouvé dans un manuel scolaire d'algèbre, mais je pense qu'à partir des exemples donnés, tout ou presque est déjà clair.

Tâche de solution indépendante avec un segment dans l'espace :

Exemple 4

Les points et sont donnés. Trouvez la longueur du segment.

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Comment trouver la longueur d'un vecteur ?

Si un vecteur plan est donné, alors sa longueur est calculée par la formule.

Si un vecteur spatial est donné, alors sa longueur est calculée par la formule .