Où sont les jambes d'un triangle rectangle. Solution du triangle rectangle. Rapports trigonométriques pour trouver la jambe d'un triangle rectangle

Après avoir étudié un sujet sur les triangles rectangles, les élèves oublient souvent toutes les informations les concernant. Y compris comment trouver l’hypoténuse, sans oublier de quoi il s’agit.

Et en vain. Parce qu'à l'avenir, la diagonale du rectangle s'avère être cette même hypoténuse, et il faut la trouver. Ou bien le diamètre d'un cercle coïncide avec le plus grand côté d'un triangle dont l'un des angles est droit. Et il est impossible de le trouver sans cette connaissance.

Il existe plusieurs options pour trouver l'hypoténuse d'un triangle. Le choix de la méthode dépend des données initiales posées dans le problème des quantités.

Méthode numéro 1 : les deux côtés sont donnés

C’est la méthode la plus mémorable car elle utilise le théorème de Pythagore. Parfois seulement, les élèves oublient que cette formule est utilisée pour trouver le carré de l'hypoténuse. Cela signifie que pour trouver le côté lui-même, vous devrez prendre la racine carrée. Par conséquent, la formule de l'hypoténuse, qui est généralement désignée par la lettre « c », ressemblera à ceci :

c = √ (une 2 + b 2), où les lettres « a » et « b » représentent les deux branches d’un triangle rectangle.

Méthode numéro 2 : la jambe et l'angle qui lui est adjacent sont connus

Afin de savoir comment trouver l'hypoténuse, vous devrez vous rappeler fonctions trigonométriques. À savoir le cosinus. Pour plus de commodité, nous supposerons que la branche « a » et l’angle α qui lui est adjacent sont donnés.

Nous devons maintenant nous rappeler que le cosinus de l'angle d'un triangle rectangle égal au rapport deux côtés. Le numérateur contiendra la valeur de la jambe et le dénominateur contiendra l'hypoténuse. Il en résulte que cette dernière peut être calculée à l'aide de la formule :

c = a / cos α.

Méthode numéro 3 : étant donné une jambe et un angle qui lui fait face

Afin de ne pas nous tromper dans les formules, introduisons la désignation de cet angle - β, et laissons le même côté "a". Dans ce cas, vous aurez besoin d'une autre fonction trigonométrique - le sinus.

Comme dans l’exemple précédent, le sinus est égal au rapport de la jambe à l’hypoténuse. La formule de cette méthode ressemble à ceci :

c = a / péché β.

Afin de ne pas vous tromper dans les fonctions trigonométriques, vous pouvez retenir un mnémonique simple : si dans un problème nous parlons de o pr Ô angle opposé, alors vous devez l'utiliser avec Et eh bien, si - oh pr Et allongé, puis à Ô sinus. Faites attention aux premières voyelles de mots clés. Ils forment des couples o-je ou Et à propos.

Méthode numéro 4 : le long du rayon du cercle circonscrit

Maintenant, pour savoir comment trouver l’hypoténuse, vous devrez vous rappeler la propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle. Il se lit comme suit. Le centre du cercle coïncide avec le milieu de l'hypoténuse. Autrement dit, le côté le plus long d’un triangle rectangle est égal à la diagonale du cercle. C'est-à-dire doubler le rayon. La formule de ce problème ressemblera à ceci :

c = 2 * r, où la lettre r désigne le rayon connu.

C'est tout moyens possibles comment trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Pour chaque tâche spécifique, vous devez utiliser la méthode la plus adaptée à l'ensemble de données.

Exemple de tâche n°1

Etat : en triangle rectangle les médianes ont été tracées des deux côtés. La longueur de celui dessiné vers le plus grand côté est √52. L'autre médiane a une longueur √73. Vous devez calculer l'hypoténuse.

Puisque les médianes sont dessinées en triangle, elles divisent les jambes en deux segments égaux. Pour faciliter le raisonnement et rechercher comment trouver l'hypoténuse, vous devez introduire plusieurs notations. Que les deux moitiés de la plus grande jambe soient désignées par la lettre « x » et l'autre par « y ».

Nous devons maintenant considérer deux triangles rectangles dont les hypoténuses sont les médianes connues. Pour eux, vous devez écrire deux fois la formule du théorème de Pythagore :

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Ces deux équations forment un système à deux inconnues. Après les avoir résolus, il sera facile de retrouver les jambes du triangle d'origine et à partir d'elles son hypoténuse.

Vous devez d’abord tout élever à la puissance seconde. Il s'avère:

4 ans 2 + x 2 = 52

oui 2 + 4x 2 = 73.

D'après la deuxième équation, il est clair que y 2 = 73 - 4x 2. Cette expression doit être substituée à la première et calculer « x » :

4(73 - 4x2) + x2 = 52.

Après transformation :

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 ou 15x 2 = 240.

D'après la dernière expression x = √16 = 4.

Vous pouvez maintenant calculer « y » :

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Selon les conditions, il s'avère que les membres du triangle d'origine sont égaux à 6 et 8. Cela signifie que vous pouvez utiliser la formule de la première méthode et trouver l'hypoténuse :

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Répondre: l'hypoténuse est égale à 10.

Exemple de tâche n°2

Condition : calculer la diagonale tracée dans un rectangle dont le côté le plus court est égal à 41. Si l'on sait qu'elle divise l'angle en ceux qui sont liés comme 2 à 1.

Dans ce problème, la diagonale d’un rectangle est le côté le plus long d’un triangle de 90º. Tout se résume donc à la façon de trouver l’hypoténuse.

Le problème concerne les angles. Cela signifie que vous devrez utiliser l'une des formules contenant des fonctions trigonométriques. Vous devez d’abord déterminer la taille de l’un des angles aigus.

Soit le plus petit des angles discutés dans la condition soit désigné α. Alors l’angle droit divisé par la diagonale sera égal à 3α. La notation mathématique pour cela ressemble à ceci :

A partir de cette équation, il est facile de déterminer α. Ce sera égal à 30º. De plus, il se trouvera en face du petit côté du rectangle. Par conséquent, vous aurez besoin de la formule décrite dans la méthode n°3.

L'hypoténuse est égale au rapport de la jambe au sinus de l'angle opposé, soit :

41 / péché 30º = 41 / (0,5) = 82.

Réponse : L'hypoténuse est 82.

Dans la vie, nous devrons souvent faire face à Problèmes mathématiques: à l'école, à l'université, puis en aidant votre enfant à terminer devoirs. Les personnes exerçant certaines professions seront quotidiennement confrontées aux mathématiques. Il est donc utile de mémoriser ou de rappeler des règles mathématiques. Dans cet article, nous examinerons l’un d’eux : trouver la jambe d’un triangle rectangle.

Qu'est-ce qu'un triangle rectangle

Tout d’abord, rappelons ce qu’est un triangle rectangle. Un triangle rectangle est figure géométrique de trois segments qui relient des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite, et l'un des angles de cette figure est de 90 degrés. Les côtés formant un angle droit sont appelés jambes, et le côté opposé angle droit– l'hypoténuse.

Trouver la jambe d'un triangle rectangle

Il existe plusieurs façons de connaître la longueur de la jambe. J'aimerais les examiner plus en détail.

Théorème de Pythagore pour trouver le côté d'un triangle rectangle

Si nous connaissons l’hypoténuse et la jambe, nous pouvons alors trouver la longueur de la jambe inconnue en utilisant le théorème de Pythagore. Cela ressemble à ceci : « Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes. » Formule : c²=a²+b², où c est l'hypoténuse, a et b sont les jambes. On transforme la formule et on obtient : a²=c²-b².

Exemple. L'hypoténuse fait 5 cm, et la jambe fait 3 cm. On transforme la formule : c²=a²+b² → a²=c²-b². Ensuite nous résolvons : a²=5²-3² ; a²=25-9; a²=16; une=√16 ; a=4 (cm).

Rapports trigonométriques pour trouver la jambe d'un triangle rectangle

Il est également possible de trouver un côté inconnu si un autre côté et n'importe quel angle vif triangle rectangle. Il existe quatre options pour trouver une jambe à l'aide de fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente, cotangente. Pour résoudre les problèmes, le tableau ci-dessous nous aidera. Considérons ces options.

Trouver la jambe d'un triangle rectangle en utilisant le sinus

Le sinus d'un angle (sin) est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Formule : sin=a/c, où a est la jambe opposée à l'angle donné et c est l'hypoténuse. Ensuite, nous transformons la formule et obtenons : a=sin*c.

Exemple. L'hypoténuse mesure 10 cm et l'angle A est de 30 degrés. A l'aide du tableau, on calcule le sinus de l'angle A, il est égal à 1/2. Ensuite, en utilisant la formule transformée, nous résolvons : a=sin∠A*c ; a=1/2*10 ; a=5 (cm).

Trouver la jambe d'un triangle rectangle en utilisant le cosinus

Le cosinus d'un angle (cos) est le rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse. Formule : cos=b/c, où b est la jambe adjacente à un angle donné et c est l'hypoténuse. Transformons la formule et obtenons : b=cos*c.

Exemple. L'angle A est égal à 60 degrés, l'hypoténuse est égale à 10 cm. A l'aide du tableau, on calcule le cosinus de l'angle A, il est égal à 1/2. Ensuite, nous résolvons : b=cos∠A*c ; b=1/2*10, b=5 (cm).

Trouver la jambe d'un triangle rectangle en utilisant la tangente

La tangente d'un angle (tg) est le rapport du côté opposé au côté adjacent. Formule : tg=a/b, où a est le côté opposé à l'angle et b est le côté adjacent. Transformons la formule et obtenons : a=tg*b.

Exemple. L'angle A est égal à 45 degrés, l'hypoténuse est égale à 10 cm. A l'aide du tableau, on calcule la tangente de l'angle A, elle est égale à Résoudre : a=tg∠A*b ; une=1*10 ; a=10 (cm).

Trouver la jambe d'un triangle rectangle en utilisant la cotangente

L'angle cotangent (ctg) est le rapport du côté adjacent au côté opposé. Formule : ctg=b/a, où b est la branche adjacente à l'angle et la branche opposée. En d’autres termes, la cotangente est une « tangente inversée ». On obtient : b=ctg*a.

Exemple. L'angle A est de 30 degrés, la jambe opposée mesure 5 cm. D'après le tableau, la tangente de l'angle A est √3. On calcule : b=ctg∠A*a ; b=√3*5 ; b=5√3 (cm).

Alors maintenant, vous savez comment trouver une jambe dans un triangle rectangle. Comme vous pouvez le constater, ce n’est pas si difficile, l’essentiel est de mémoriser les formules.

Connaissant l'une des jambes d'un triangle rectangle, vous pouvez trouver la deuxième jambe et l'hypoténuse à l'aide de rapports trigonométriques - sinus et tangente d'un angle connu. Puisque le rapport de la jambe opposée à l'angle à l'hypoténuse est égal au sinus de cet angle, donc, pour trouver l'hypoténuse, vous devez diviser la jambe par le sinus de l'angle. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

La deuxième branche peut être trouvée à partir de la tangente d'un angle connu, comme le rapport de la branche connue à la tangente. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Pour calculer l’angle inconnu dans un triangle rectangle, vous devez soustraire la valeur de l’angle α de 90 degrés. β=90°-α

Le périmètre et l'aire d'un triangle rectangle peuvent être exprimés en termes de jambe et d'angle opposé en substituant dans les formules les expressions obtenues précédemment pour la deuxième jambe et l'hypoténuse. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 bronzage⁡α)

Vous pouvez également calculer la hauteur à l'aide de rapports trigonométriques, mais dans le triangle rectangle interne de côté a qu'il forme. Pour ce faire, il faut multiplier le côté a, comme l'hypoténuse d'un tel triangle, par le sinus de l'angle β ou le cosinus α, puisque selon identités trigonométriques ils sont équivalents. (Fig. 79.2) h=a cos⁡α

La médiane de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ou de la jambe connue a divisée par deux sinus α. Pour trouver les médianes des jambes, on réduit les formules à la forme correspondante pour les côtés et angles connus. (Fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 péché^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α péché⁡α)

Puisque la bissectrice d'un angle droit dans un triangle est le produit de deux côtés et la racine de deux, divisé par la somme de ces côtés, en remplaçant alors l'une des branches par le rapport de la branche connue à la tangente, on obtient le expression suivante. De même, en remplaçant le rapport dans les deuxième et troisième formules, vous pouvez calculer les bissectrices des angles α et β. (Fig.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

La ligne médiane est parallèle à l'un des côtés du triangle, tout en formant un autre triangle rectangle similaire avec les mêmes angles, dans lequel tous les côtés font la moitié de la taille de celui d'origine. Sur cette base, les lignes médianes peuvent être trouvées en les formules suivantes, ne connaissant que la jambe et l'angle qui lui fait face. (Fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Le rayon du cercle inscrit est égal à la différence entre les jambes et l'hypoténuse divisée par deux, et pour trouver le rayon du cercle inscrit, vous devez diviser l'hypoténuse par deux. Nous remplaçons la deuxième jambe et l'hypoténuse par le rapport de la jambe a au sinus et à la tangente, respectivement. (Fig. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

A l'aide d'une calculatrice, extrayez Racine carrée de la différence de l'hypoténuse au carré et de la jambe connue, également au carré. La jambe est le côté d’un triangle rectangle adjacent à l’angle droit. Cette expression est dérivée du théorème de Pythagore, qui stipule que le carré de l'hypoténuse d'un triangle est égal à la somme des carrés des jambes.

Avant d’examiner les différentes manières de trouver une jambe dans un triangle rectangle, adoptons quelques notations. Vérifiez lequel des cas répertoriés correspond à l'état de votre tâche et, en fonction de cela, suivez le paragraphe approprié. Découvrez quelles quantités vous connaissez dans le triangle en question. Utilisez l'expression suivante pour calculer la jambe : a=sqrt(c^2-b^2), si vous connaissez les valeurs de l'hypoténuse et de l'autre jambe.

Les relations entre les côtés et les angles de cette figure géométrique sont discutées en détail dans discipline mathématique trigonométrie. Pour appliquer cette équation, vous devez connaître la longueur de deux côtés d’un triangle rectangle.

Calculez la longueur d'une des jambes si les dimensions de l'hypoténuse et de l'autre jambe sont connues. Si le problème concerne l'hypoténuse et l'un des angles aigus qui lui sont adjacents, utilisez les tables de Bradis.

Le triangle intérieur sera similaire au triangle extérieur, puisque les lignes médianes sont parallèles aux jambes et à l'hypoténuse et sont respectivement égales à leurs moitiés. Puisque l'hypoténuse est inconnue, pour trouver la ligne médiane M_c, vous devez remplacer le radical du théorème de Pythagore.

L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle. Il se trouve face à un angle droit. La longueur de l'hypoténuse peut être trouvée différentes façons. Si la longueur des deux jambes est connue, alors sa taille est calculée à l'aide du théorème de Pythagore : la somme des carrés des deux jambes est égale au carré de l'hypoténuse. Sachant que la somme de tous les angles est de 180°, soustrayez l’angle droit et celui déjà connu.

Lors du calcul des paramètres d'un triangle rectangle, il est important de faire attention à valeurs connues et résolvez le problème en utilisant la formule la plus simple. Tout d’abord, rappelons ce qu’est un triangle rectangle. Un triangle rectangle est une figure géométrique de trois segments qui relient des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite, et l'un des angles de cette figure est de 90 degrés. Il existe plusieurs façons de connaître la longueur de la jambe.

Formule : c²=a²+b², où c est l'hypoténuse, a et b sont les jambes

Si nous connaissons l’hypoténuse et la jambe, nous pouvons alors trouver la longueur de la jambe inconnue en utilisant le théorème de Pythagore. Cela ressemble à ceci : « Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes. » Il existe quatre options pour trouver une jambe à l'aide de fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente, cotangente. Le sinus d'un angle (sin) est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. Formule : sin=a/c, où a est la jambe opposée à l'angle donné et c est l'hypoténuse.

Les propriétés inhabituelles des triangles rectangles ont été découvertes par l'ancien scientifique grec Pythagore, qui a découvert que le carré de l'hypoténuse dans de tels triangles est égal à la somme des carrés des jambes.

L'altitude est la perpendiculaire s'étendant de n'importe quel sommet du triangle jusqu'au côté opposé (ou son prolongement, pour un triangle à angle obtus). Les altitudes d’un triangle se coupent en un point appelé orthocentre. S’il s’agit d’un triangle rectangle arbitraire, alors il n’y a pas suffisamment de données.

Il est également utile de connaître les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles les plus courants de 30, 45, 60, 90, 180 degrés. Si les conditions précisent les dimensions des jambes, trouvez la longueur de l'hypoténuse. Dans la vie, nous serons souvent confrontés à des problèmes mathématiques : à l'école, à l'université, puis en aidant notre enfant à faire ses devoirs.

Ensuite, nous transformons la formule et obtenons : a=sin*c

Pour résoudre les problèmes, le tableau ci-dessous nous aidera. Considérons ces options. Intéressant cas particulier, lorsque l'un des angles aigus est de 30 degrés.

Les personnes exerçant certaines professions seront quotidiennement confrontées aux mathématiques.

Vous pouvez également trouver une jambe inconnue si un autre côté et un angle aigu d'un triangle rectangle sont connus. Trouvez le côté d'un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore. De plus, les côtés d'un triangle rectangle peuvent être trouvés à l'aide de diverses formules en fonction du nombre de variables connues.

Un triangle rectangle contient un grand nombre de dépendances. Cela en fait un objet attrayant pour toutes sortes de problèmes géométriques. L’un des problèmes les plus courants consiste à trouver l’hypoténuse.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui contient un angle droit, c'est-à-dire Angle de 90 degrés. Ce n'est que dans un triangle rectangle que les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en termes de côtés. Dans un triangle arbitraire, des constructions supplémentaires devront être réalisées.
Dans un triangle rectangle, deux des trois hauteurs coïncident avec les côtés sont appelées jambes. Le troisième côté s’appelle l’hypoténuse. La hauteur tracée jusqu'à l'hypoténuse est la seule dans ce type de triangle qui nécessite une construction supplémentaire.

Riz. 1. Types de triangles.

Un triangle rectangle ne peut pas avoir d'angles obtus. De même que l’existence d’un deuxième angle droit est impossible. Dans ce cas, l'identité de la somme des angles d'un triangle est violée, qui est toujours égale à 180 degrés.

Hypoténuse

Passons directement à l'hypoténuse du triangle. L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle. L'hypoténuse est toujours plus grande que n'importe laquelle des jambes, mais elle est toujours inférieure à la somme des jambes. C'est un corollaire du théorème d'inégalité triangulaire.

Le théorème stipule que dans un triangle, aucun côté ne peut être plus grand que la somme des deux autres. Il existe une deuxième formulation ou deuxième partie du théorème : dans un triangle, en face du plus grand côté se trouve le plus grand angle et vice versa.

Riz. 2. Triangle rectangle.

Dans un triangle rectangle, l'angle majeur est l'angle droit, puisqu'il ne peut y avoir de deuxième angle droit ni d'angle obtus pour les raisons déjà évoquées. Cela signifie que le plus grand côté se trouve toujours à l'opposé de l'angle droit.

On ne sait pas vraiment pourquoi un triangle rectangle mérite un nom distinct pour chacun de ses côtés. En fait, dans triangle isocèle les côtés ont aussi leurs propres noms : côtés et base. Mais c'est précisément pour les jambes et les hypoténuses que les professeurs aiment particulièrement donner des égalités. Pourquoi? D'une part, il s'agit d'un hommage à la mémoire des Grecs de l'Antiquité, inventeurs des mathématiques. Ce sont eux qui ont étudié les triangles rectangles et, avec ces connaissances, ont laissé toute une couche d'informations sur laquelle s'appuyer. science moderne. En revanche, l'existence de ces noms simplifie grandement la formulation des théorèmes et des identités trigonométriques.

théorème de Pythagore

Si un enseignant demande la formule de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, il y a 90 % de chances qu’il parle du théorème de Pythagore. Le théorème énonce : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égal à la somme carrés de jambes.

Riz. 3. Hypoténuse d'un triangle rectangle.

Remarquez avec quelle clarté et succincte le théorème est formulé. Une telle simplicité ne peut être obtenue sans utiliser les concepts d’hypoténuse et de jambe.

Le théorème a la formule suivante :

$c^2=b^2+a^2$ – où c est l'hypoténuse, a et b sont les jambes d'un triangle rectangle.

Qu'avons-nous appris ?

Nous avons parlé de ce qu'est un triangle rectangle. Nous avons découvert pourquoi les noms des jambes et de l'hypoténuse ont été inventés en premier lieu. Nous avons découvert certaines propriétés de l'hypoténuse et donné la formule de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle en utilisant le théorème de Pythagore.