Notre « Reshebnik » contient des réponses à toutes les tâches et exercices de « Matériel didactique en algèbre 8e année" ; Les méthodes et les moyens de les résoudre sont discutés en détail. Le « Reshebnik » s'adresse exclusivement aux parents d'élèves pour vérifier les devoirs et aider à résoudre les problèmes.
Derrière un bref délais les parents peuvent devenir des tuteurs à domicile très efficaces.
Option 1 4
en polynôme (répétition) 4
S-2. Factorisation (répétition) 5
S-3. Entier et expressions fractionnaires 6
S-4. La propriété principale d'une fraction. Réduire les fractions. 7
S-5 ; Fractions réductrices (suite) 9
Avec mêmes dénominateurs 10
Avec différents dénominateurs 12
dénominateurs (suite) 14
S-9. Multiplier des fractions 16
S-10. Division des fractions 17
S-11. Toutes les opérations avec des fractions 18
S-12. Fonction 19
S-13. Nombres rationnels et irrationnels 22
S-14. Racine carrée arithmétique 23
S-15. Résoudre des équations de la forme x2=a 27
S-16. Trouver des valeurs approximatives
S-17. Fonction y=d/x 30
Produit de racines 31
Quotient des racines 33
S-20. Racine carrée de puissance 34
S-21. Retirer le multiplicateur sous le signe racine Insérer le multiplicateur sous le signe racine 37
S-23. Les équations et leurs racines 42
Équations quadratiques incomplètes 43
S-25. Solution équations du second degré 45
(suite) 47
S-27. Théorème de Vieta 49
S-28. Résoudre des problèmes en utilisant
équations quadratiques 50
multiplicateurs Équations biquadratiques 51
S-30. Fractionnaire équations rationnelles 53
S-31. Résoudre des problèmes en utilisant
équations rationnelles 58
S-32. Comparer des nombres (répétition) 59
S-33. Propriétés des inégalités numériques 60
S-34. Addition et multiplication des inégalités 62
S-35. Preuve des inégalités 63
S-36. Évaluer la valeur d'une expression 65
S-37. Estimation de l’erreur d’approximation 66
S-38. Arrondir les nombres 67
S-39. Erreur relative 68
S-40. Intersection et union d'ensembles 68
S-41. Intervalles numériques 69
S-42. Résoudre les inégalités 74
S-43. Résoudre les inégalités (suite) 76
S-44. Résoudre les systèmes d’inégalités 78
S-45. Résoudre les inégalités 81
variable sous le signe du module 83
S-47. Degré avec exposant entier 87
degrés avec un exposant entier 88
S-49. Vue standard du nombre 91
S-50. Enregistrement des valeurs approximatives 92
S-51. Éléments de statistiques 93
(répétition) 95
S-53. Définition fonction quadratique 99
S-54. Fonction y=ax2 100
S-55. Graphique de la fonction y=ax2+bx+c 101
S-56. Solution inégalités quadratiques 102
S-57. Méthode d'intervalle 105
Option 2 108
S-1. Conversion d'une expression entière
en polynôme (répétition) 108
S-2. Factorisation (répétition) 109
S-3. Expressions entières et fractionnaires 110
S-4. La propriété principale d'une fraction.
Réduire les fractions 111
S-5. Fractions réductrices (suite) 112
S-6. Additionner et soustraire des fractions
avec les mêmes dénominateurs 114
S-7. Additionner et soustraire des fractions
e différents dénominateurs 116
S-8. Additionner et soustraire des fractions avec différents
dénominateurs (suite) 117
S-9. Multiplier des fractions, 118
S-10. Division de fractions 119
S-11. Toutes les opérations avec des fractions 120
S-12. Fonction 121
S-13. Nombres rationnels et irrationnels 123
S-14. Racine carrée arithmétique 124
S-15. Résolution d'équations de la forme x2-a 127
S-16. Trouver des valeurs approximatives de racine carrée 129
S-17. Fonction y=\/x " 130
S-18. Racine carrée du produit.
Produit de racines 131
S-19. Racine carrée d'une fraction.
Quotient des racines 133
S-20. Racine carrée de puissance 134
S-21. Supprimer le multiplicateur sous le signe racine
Saisir un multiplicateur sous le signe racine 137
S-22. Conversion d'expressions
S-23. Les équations et leurs racines 141
S-24. Définition d'une équation quadratique.
Équations quadratiques incomplètes 142
S-25. Résolution d'équations quadratiques 144
S-26. Résoudre des équations quadratiques
(suite) 146
S-27. Théorème de Vieta 148
S-28. Résoudre des problèmes en utilisant
équations quadratiques 149
S-29. Décomposition trinôme quadratique sur
multiplicateurs Équations biquadratiques 150
S-30. Équations rationnelles fractionnaires 152
S-31. Résoudre des problèmes en utilisant
équations rationnelles 157
S-32. Comparer des nombres (répétition) 158
S-33. Propriétés des inégalités numériques 160
S-34. Addition et multiplication des inégalités 161
S-35. Preuve des inégalités 162
S-36. Évaluer la valeur d'une expression 163
S-37. Estimation de l'erreur d'approximation 165
S-38. Arrondir les nombres 165
S-39. Erreur relative 166
S-40. Intersection et union d'ensembles 166
S-41. Intervalles numériques 167
S-42. Résoudre les inégalités 172
S-43. Résoudre les inégalités (suite) 174
S-44. Résoudre les systèmes d'inégalités 176
S-45. Résoudre les inégalités 179
S-46. Équations et inégalités contenant
variable sous le signe du module 181
S-47. Diplôme avec un indice entier de 185
S-48. Conversion d'expressions contenant
degrés avec un exposant entier 187
S-49. Forme standard du numéro 189
S-50. Enregistrement des valeurs approximatives 190
S-51. Éléments de statistiques 192
S-52. La notion de fonction. Graphique d'une fonction
(répétition) 193
S-53. Définition d'une fonction quadratique 197
S-54. Fonction y=ax2 199
S-55. Graphique de la fonction y=ax24-bx+c 200
S-56. Résoudre les inégalités quadratiques 201
S-57. Méthode d'intervalle 203
Épreuves 206
Option 1 206
K-10 (finale) 232
Option 2 236
K-2A 238
K-ZA 242
K-9A (total) 257
Revue finale par thème 263
Jeux olympiques d'automne 274
Jeux olympiques de printemps 275
ALGÈBRE
Leçons pour la 9e année
LEÇON #5
Sujet. Addition et multiplication terminologiques des inégalités. Utiliser les propriétés des inégalités numériques pour évaluer les valeurs des expressions
L'objectif du cours : s'assurer que les étudiants maîtrisent le contenu des notions d'« additionner les inégalités terme à terme » et de « multiplier les inégalités terme par terme », ainsi que le contenu des propriétés des inégalités numériques exprimées par des théorèmes sur les termes- addition par terme et multiplication terme par terme des inégalités numériques et de leurs conséquences. Développer la capacité de reproduire les propriétés nommées des inégalités numériques et d'utiliser ces propriétés pour évaluer les valeurs des expressions, ainsi que continuer à travailler sur le développement des compétences permettant de prouver les inégalités, de comparer des expressions en utilisant la définition et les propriétés des inégalités numériques.
Type de cours : acquisition de connaissances, développement de compétences primaires.
Visualisation et équipement : note support n°5.
Pendant les cours
I. Étape organisationnelle
L'enseignant vérifie l'état de préparation des élèves pour le cours et les prépare au travail.
II. Vérification des devoirs
Les étudiants performent tâches de test suivi d'une vérification.
III. Formulation du but et des objectifs de la leçon.
Motivation Activités éducativesétudiants
Pour une participation consciente des élèves à la formulation du but de la leçon, vous pouvez leur proposer des problèmes pratiques de contenu géométrique (par exemple, estimer le périmètre et l'aire d'un rectangle dont les longueurs des côtés adjacents sont estimées sous la forme de doubles inégalités). Au cours de la conversation, l'enseignant doit orienter la réflexion des élèves sur le fait que bien que les problèmes soient similaires à ceux qui ont été résolus dans la leçon précédente (voir leçon n°4, évaluer le sens des expressions), cependant, contrairement à ceux mentionnés, ils ne peuvent pas être résolus par les mêmes moyens, puisqu'il est nécessaire d'évaluer la signification d'expressions contenant deux (et à l'avenir plus) lettres. De cette façon, les élèves se rendent compte qu'il existe une contradiction entre les connaissances acquises jusqu'à présent et la nécessité de résoudre un certain problème.
Le résultat du travail effectué est la formulation de l'objectif de la leçon : étudier la question de telles propriétés des inégalités qui peuvent être appliquées dans des cas similaires à ceux décrits dans la tâche proposée aux étudiants ; pourquoi il est nécessaire de formuler clairement langage mathématique et sous forme verbale, puis expliquer les propriétés correspondantes des inégalités numériques et apprendre à les utiliser en combinaison avec les propriétés des inégalités numériques précédemment étudiées pour résoudre des problèmes standards.
IV. Actualiser les connaissances et compétences de base des étudiants
Exercices oraux
1. Comparez les nombres a et bif :
1) a - b = -0,2 ;
2) a - b = 0,002 ;
3) une = b - 3 ;
4) a - b = m 2 ;
5) une = b - m 2.
3. Comparez les valeurs des expressions a + b et ab, si a = 3, b = 2. Justifiez votre réponse. La relation résultante sera satisfaite si :
1) une = -3, b = -2 ;
2) une = -3, b = 2 ?
V. Génération de connaissances
Plan pour apprendre du nouveau matériel
1. Propriété sur l'addition d'inégalités numériques (avec réglage fin).
2. Propriété sur la multiplication terme à terme des inégalités numériques (avec réglage fin).
3. Conséquence. Propriété sur la multiplication terme à terme des inégalités numériques (avec ajustement).
4. Exemples d'application de propriétés éprouvées.
Note explicative n° 5
Théorème (propriété) sur l'addition terme à terme des inégalités numériques |
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Si a b et c d, alors a + c b + d. |
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Finition
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Théorème (propriété) sur la multiplication terme à terme des inégalités numériques |
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Si 0 a b et 0 c d, alors ac bd. Finition
Conséquence. Si 0 a b, alors un bn, où n est un nombre naturel. |
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Finition |
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(d'après le théorème terme à terme, multiplication des inégalités numériques). |
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Exemple 1. On sait que 3 une 4; 2 b 3. Estimons la valeur de l'expression : 1) une + b; 2) un-b; 3) b ; 4) . |
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2) une - b = une + (-b) 2 b 31 ∙ (-1) 2 > -b > -3
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(0) 2 b 3
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|||||
Exemple 2. Montrons l'inégalité (m + n)(mn + 1) > 4mn, si m > 0, n > 0. |
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Finition Utiliser l'inégalité |
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m + n ≥ 2, (1) mn + 1 ≥ 2. (2) |
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En utilisant le théorème de la multiplication terme à terme des inégalités, on multiplie les inégalités (1) et (2) terme par terme. Ensuite nous avons: (m + n )(mn + 1) ≥ 2∙ 2, (m + n )(mn + 1) ≥ 4, donc, (m + n)(mn + 1) ≥ 4mn, où m ≥ 0, n ≥ 0. |
||||||
.
.
Commentaire méthodique
Pour une perception consciente du nouveau matériel, l'enseignant peut, au stade de la mise à jour des connaissances et compétences de base des élèves, proposer des solutions à des exercices oraux avec reproduction, respectivement, de la définition de la comparaison des nombres et des propriétés des inégalités numériques étudiées en leçons précédentes (voir ci-dessus), ainsi que la réflexion sur la question des propriétés correspondantes des inégalités numériques.
En règle générale, les étudiants maîtrisent bien le contenu des théorèmes sur l'addition et la multiplication terme par terme des inégalités numériques, mais l'expérience professionnelle indique que les étudiants sont enclins à certaines fausses généralisations. Ainsi, afin d’éviter les erreurs lors du développement des connaissances des élèves sur cette question en démontrant des exemples et des contre-exemples, l’enseignant doit souligner les points suivants :
· l'application consciente des propriétés des inégalités numériques est impossible sans la capacité d'écrire ces propriétés à la fois dans un langage mathématique et sous forme verbale ;
· les théorèmes d'addition et de multiplication terme à terme des inégalités numériques ne sont satisfaits que pour les irrégularités de mêmes signes ;
· l'addition terme par terme des inégalités numériques est satisfaite sous une certaine condition (voir ci-dessus) pour tous les nombres, et le théorème de multiplication terme par terme (sous la forme indiquée dans résumé de référence N° 5) uniquement pour les nombres positifs ;
· les théorèmes de soustraction terme à terme et de division terme à terme des inégalités numériques ne sont pas étudiés, donc, dans les cas où il est nécessaire d'estimer la différence ou la proportion d'expressions, ces expressions sont présentées comme une somme ou un produit, respectivement, puis, sous certaines conditions, les propriétés d'addition et de multiplication terme par terme des inégalités numériques sont utilisées.
VI. Formation de compétences
Exercices oraux
1. Ajoutez l’inégalité terme par terme :
1) une > 2, b > 3 ;
2) c -2, ré 4.
Ou bien les mêmes inégalités peuvent-elles être multipliées terme à terme ? Justifiez votre réponse.
2. Multipliez les inégalités terme par terme :
1) une > 2, b > 0,3 ;
2) c > 2, d > 4.
Ou peut-on ajouter les mêmes irrégularités ? Justifiez votre réponse.
3. Déterminez et justifiez si l'énoncé est correct selon lequel si 2 a 3, 1 b 2, alors :
1) 3 a + b 5 ;
2) 2 ab 6 ;
3) 2 - 1 a - b 3 - 2 ;
Exercices d'écriture
Pour réaliser l'objectif didactique de la leçon, vous devez résoudre des exercices avec le contenu suivant :
1) additionner et multiplier ces inégalités numériques terme par terme ;
2) estimer la valeur de la somme, de la différence, du produit et du quotient de deux expressions sur la base des estimations données de chacun de ces nombres ;
3) évaluer le sens des expressions contenant ces lettres, selon les estimations données de chacune de ces lettres ;
4) prouver l'inégalité en utilisant des théorèmes d'addition et de multiplication terme par terme des inégalités numériques et en utilisant des inégalités classiques ;
5) répéter les propriétés des inégalités numériques étudiées dans les leçons précédentes.
Commentaire méthodique
Les exercices écrits proposés en solution à ce stade de la leçon doivent contribuer au développement de compétences stables en complément et à la multiplication des inégalités dans des cas simples. (Parallèlement, un point très important est élaboré : vérifier la correspondance de l'écriture des inégalités dans les conditions du théorème et l'écriture correcte de la somme et du produit des côtés gauche et droit des inégalités. Travail préparatoire réalisés lors d'exercices oraux.) Pour une meilleure assimilation de la matière, l'étudiant devrait être amené à reproduire les théorèmes appris en commentant des actions.
Une fois que les élèves ont travaillé avec succès sur des théorèmes dans des cas simples, ils peuvent progressivement passer à des cas plus avancés. cas complexes(pour estimer la différence et le quotient de deux expressions et expressions plus complexes). À ce stade du travail, l'enseignant doit veiller attentivement à ce que les élèves ne permettent pas erreurs typiques, en essayant de faire la différence et d'estimer la part de vos propres fausses règles.
Également pendant le cours (bien sûr, si le temps et le niveau de maîtrise du contenu de la matière le permettent), il convient de prêter attention aux exercices d'application des théorèmes étudiés pour prouver des inégalités plus complexes.
VII. Résumé de la leçon
Tâche de test
On sait que 4 une 5 ; 6 b 8. Trouver les inégalités incorrectes et corriger les erreurs. Justifiez votre réponse.
1) 10 a + b 13 ;
2) -4 a - b -1 ;
3) 24 ab 13 ;
4) ;
5) ;
7) 100 a2 + b 2 169 ?
VIII. Devoirs
1. Étudier les théorèmes d'addition et de multiplication terme par terme des inégalités numériques (avec raffinement).
2. Effectuez des exercices de reproduction similaires aux exercices en classe.
3. Pour la répétition : exercices pour appliquer la définition de la comparaison des nombres (pour finir les irrégularités et pour comparer les expressions).
35 relie les attributs des nombres 3 et 5. Trois résonne avec les vibrations de l'inspiration et de la joie, de l'enthousiasme et de l'expression de soi. C'est la trinité du passé, du présent et du futur ; corps, esprit et âme. Une personne sous le signe trois est énergique, talentueuse, honnête, fière et indépendante.
Cinq ajoute une part d’émotivité et de libre choix à la vibration globale. Parmi les inconvénients figurent une sensibilité excessive et des sautes d'humeur fréquentes, dont les effets négatifs sont compensés par l'optimisme de la troïka. 35v de façon générale personnifie l'énergie créatrice, les opportunités favorables et le désir de changer de place.
Le lien entre les nombres et les caractères
Que signifie le nombre 35 dans le destin d’une personne s’il est déterminé par sa date de naissance ? Cela lui donne un charisme particulier qui attire à lui des amis et des adeptes. Ces personnes sont toujours entourées de fans qui les choisissent pour le rôle personnalité publique ou leader informel.
Le côté négatif de cette combinaison de chiffres est que la personne utilise son autorité pour son enrichissement personnel. Les représentants du 35 ont une sphère spirituelle peu développée. Infectés par le pragmatisme et la vanité, ils sont capables, quels que soient les visages, de « passer par-dessus leur tête » vers le but visé.
Propriétés magiques
La signification mystique du 35 est due au fait qu'il prédit une rencontre avec une tentation mortelle. Vous ne pouvez éviter les erreurs graves d’un tel test qu’en restant calme et prudent.
Des comparaisons sacrées du nombre peuvent être trouvées dans la Bible, où il est mentionné 5 fois. C'est le trente-cinquième jour de jeûne au désert que Lucifer s'approcha de Jésus pour le tenter.
Que signifie le chiffre 35 s'il apparaît souvent ?
Si vos anges gardiens vous font voir 35 tout le temps, ils montrent que vous n’atteignez pas vos objectifs. Vous êtes honnête et appliqué, mais la chance vous échappe.
Vous faites face à d’innombrables obstacles et êtes perplexe quant à votre avenir. Le maître du nombre 35, la planète Saturne, a une telle influence sur votre vie. Son action cachée se manifeste à travers le chiffre 8, qui s'obtient en additionnant 3 et 5. Peut-être échappez-vous à votre destin et jouez-vous le rôle de quelqu'un d'autre. Pour trouver votre véritable vocation, écoutez ce que votre âme demande et suivez son appel tacite.
Dans cet article, nous examinerons, d'une part, ce que l'on entend par évaluer les valeurs d'une expression ou d'une fonction, et, d'autre part, comment les valeurs des expressions et des fonctions sont évaluées. Tout d’abord, nous introduisons les définitions et les concepts nécessaires. Nous décrirons ensuite en détail les principales méthodes permettant d'obtenir des estimations. En chemin, nous donnerons des solutions à des exemples typiques.
Que signifie évaluer le sens d’une expression ?
Nous n'avons pas pu trouver dans les manuels scolaires une réponse explicite à la question de savoir ce que signifie évaluer le sens d'une expression. Essayons de comprendre cela nous-mêmes, en partant des informations sur ce sujet qui sont encore contenues dans les manuels et les recueils de problèmes de préparation à l'examen d'État unifié et d'admission dans les universités.
Voyons ce que l'on peut trouver sur le sujet qui nous intéresse dans les livres. Voici quelques citations :
Les deux premiers exemples impliquent des évaluations de nombres et d’expressions numériques. Nous avons ici affaire à l’évaluation d’une seule valeur d’une expression. Les exemples restants impliquent des évaluations liées à des expressions avec des variables. Chaque valeur d'une variable de l'ODZ pour l'expression ou d'un ensemble X qui nous intéresse (qui, bien sûr, est un sous-ensemble du domaine valeurs acceptables) correspond à sa valeur d'expression. Autrement dit, si l'ODZ (ou l'ensemble X) ne consiste pas en singulier, alors une expression avec une variable correspond à un ensemble de valeurs d'expression. Dans ce cas, nous devons parler de l'évaluation non pas d'une seule valeur, mais de l'évaluation de toutes les valeurs de l'expression sur l'ODZ (ou ensemble X). Une telle estimation a lieu pour toute valeur de l'expression correspondant à une valeur d'une variable de l'ODZ (ou ensemble X).
Au cours de notre discussion, nous avons pris une petite pause dans la recherche d'une réponse à la question de savoir ce que signifie évaluer le sens d'une expression. Les exemples ci-dessus nous avancent en la matière, et nous permettent d'accepter les deux définitions suivantes :
Définition
Évaluer la valeur d'une expression numérique– cela signifie indiquer un ensemble numérique contenant la valeur évaluée. Dans ce cas, l'ensemble numérique spécifié sera une estimation de la valeur de l'expression numérique.
Définition
Évaluer les valeurs d'une expression avec une variable sur l'ODZ (ou sur l'ensemble X) - cela signifie indiquer un ensemble numérique contenant toutes les valeurs que prend l'expression sur l'ODZ (ou sur l'ensemble X). Dans ce cas, l'ensemble spécifié sera une estimation des valeurs de l'expression.
Il est facile de voir que plusieurs estimations peuvent être spécifiées pour une même expression. Par exemple, expression numérique peut être estimé comme , ou 
, ou 
, ou , etc. La même chose s'applique aux expressions avec des variables. Par exemple, l'expression 
sur ODZ peut être estimé comme 
, ou 
, ou 
, etc. À cet égard, il convient d'ajouter aux définitions écrites une précision concernant l'ensemble numérique indiqué, qui est une évaluation : l'évaluation ne doit être d'aucune sorte, elle doit correspondre aux finalités pour lesquelles elle est trouvée. Par exemple, pour résoudre l'équation 
évaluation appropriée 
. Mais cette estimation n'est plus adaptée pour résoudre l'équation 
, voici le sens de l'expression 
vous devez l'évaluer différemment, par exemple comme ceci : 
.
Il convient de noter séparément que une des estimations des valeurs de l'expression f(x) est la plage de valeurs de la fonction correspondante y=f(x).
Pour conclure sur ce point, prêtons attention au formulaire d'enregistrement des notes. En règle générale, les estimations sont rédigées en utilisant des inégalités. Vous l'avez probablement déjà remarqué.
Évaluation des valeurs d'expression et évaluation des valeurs de fonction
Par analogie avec l'estimation des valeurs d'une expression, on peut parler d'estimation des valeurs d'une fonction. Cela semble tout à fait naturel, surtout si l'on garde à l'esprit les fonctions définies par des formules, car estimer les valeurs de l'expression f(x) et estimer les valeurs de la fonction y=f(x) sont essentiellement la même chose, ce qui est évident. De plus, il est souvent pratique de décrire le processus d'obtention d'estimations en termes d'estimation des valeurs de la fonction. En particulier, dans certains cas, l'obtention d'une estimation d'une expression s'effectue en trouvant les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction correspondante.
À propos de l'exactitude des estimations
Dans le premier paragraphe de cet article, nous avons dit qu'une expression peut avoir plusieurs évaluations de sa signification. Certains d’entre eux sont-ils meilleurs que d’autres ? Cela dépend du problème à résoudre. Expliquons avec un exemple.
Par exemple, en utilisant les méthodes d'estimation des valeurs d'expression, décrites dans les paragraphes suivants, vous pouvez obtenir deux évaluations des valeurs d'expression 
: le premier est 
, la seconde est 
. L'effort requis pour obtenir ces estimations varie considérablement. Le premier d’entre eux est pratiquement évident, et l’obtention de la seconde estimation implique de trouver valeur la plus basse expression radicale et utilisation ultérieure de la propriété de monotonie de la fonction racine carrée. Dans certains cas, n'importe quelle estimation peut résoudre le problème. Par exemple, n’importe laquelle de nos estimations nous permet de résoudre l’équation 
. Il est clair que dans ce cas nous nous limiterions à trouver la première estimation évidente et, bien entendu, nous ne prendrions pas la peine de trouver la deuxième estimation. Mais dans d'autres cas, il peut s'avérer que l'une des estimations ne soit pas adaptée pour résoudre le problème. Par exemple, notre première estimation ne permet pas de résoudre l'équation 
, et l'estimation vous permet de le faire. Autrement dit, dans ce cas, la première estimation évidente ne nous suffirait pas et nous devrions trouver une deuxième estimation.
Cela nous amène à la question de l’exactitude des estimations. Il est possible de définir en détail ce que l’on entend par précision d’estimation. Mais pour nos besoins, cela n'a pas de besoin particulier, une idée simplifiée de l'exactitude du devis nous suffira. Acceptons de percevoir l'exactitude de l'évaluation comme une sorte d'analogue précision de l'approximation. Autrement dit, considérons celle qui est « la plus proche » de la plage de valeurs de la fonction y=f(x) comme étant la plus précise sur deux estimations des valeurs d'une expression f(x). En ce sens, l'évaluation est la plus précise de toutes les estimations possibles des valeurs de l'expression , puisqu'il coïncide avec la plage de valeurs de la fonction correspondante 
. Il est clair que l'évaluation des estimations plus précises . En d'autres termes, l'évaluation estimations plus approximatives .
Est-il utile de toujours rechercher les estimations les plus précises ? Non. Et le point ici est que des estimations relativement approximatives suffisent souvent à résoudre les problèmes. Et le principal avantage de ces estimations par rapport aux estimations précises est qu’elles sont souvent beaucoup plus faciles à obtenir.
Méthodes de base pour obtenir des estimations
Estimations des valeurs des fonctions élémentaires de base
Estimation des valeurs de fonction y=|x|
En plus du principal fonctions élémentaires, bien étudié et utile pour obtenir des estimations est fonction y=|x|. On connaît la plage de valeurs de cette fonction : ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
