même, si pour tout \(x\) de son domaine de définition ce qui suit est vrai : \(f(-x)=f(x)\) .

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe \(y\) :

Exemple : la fonction \(f(x)=x^2+\cos x\) est paire, car \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) La fonction \(f(x)\) est appelée impair, si pour tout \(x\) de son domaine de définition ce qui suit est vrai : \(f(-x)=-f(x)\) .

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine :

Exemple : la fonction \(f(x)=x^3+x\) est impaire car \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Les fonctions qui ne sont ni paires ni impaires sont appelées fonctions de forme générale. Une telle fonction peut toujours être représentée de manière unique comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Par exemple, la fonction \(f(x)=x^2-x\) est la somme de la fonction paire \(f_1=x^2\) et de l'impair \(f_2=-x\) .

\(\trianglenoirdroit\) Quelques propriétés :

1) Le produit et le quotient de deux fonctions de même parité est une fonction paire.

2) Le produit et le quotient de deux fonctions de parités différentes est une fonction étrange.

3) Somme et différence de fonctions paires - fonction paire.

4) Somme et différence des fonctions impaires - fonction impaire.

5) Si \(f(x)\) est une fonction paire, alors l'équation \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) a une racine unique si et seulement quand \( x =0\) .

6) Si \(f(x)\) est une fonction paire ou impaire, et que l'équation \(f(x)=0\) a une racine \(x=b\), alors cette équation aura nécessairement une seconde racine \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) La fonction \(f(x)\) est appelée périodique sur \(X\) si pour un certain nombre \(T\ne 0\) ce qui suit est vrai : \(f(x)=f( x+T) \) , où \(x, x+T\in X\) . Le plus petit \(T\) pour lequel cette égalité est satisfaite est appelé la période principale (principale) de la fonction.

Une fonction périodique a n'importe quel nombre de la forme \(nT\) , où \(n\in \mathbb(Z)\) sera également un point.

Exemple : toute fonction trigonométrique est périodique ;
pour les fonctions \(f(x)=\sin x\) et \(f(x)=\cos x\) la période principale est égale à \(2\pi\), pour les fonctions \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) et \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) la période principale est égale à \(\pi\) .

Afin de construire un graphique d'une fonction périodique, vous pouvez tracer son graphique sur n'importe quel segment de longueur \(T\) (période principale) ; puis le graphique de l'ensemble de la fonction est complété en décalant la partie construite d'un nombre entier de périodes vers la droite et la gauche :

\(\blacktriangleright\) Le domaine \(D(f)\) de la fonction \(f(x)\) est un ensemble constitué de toutes les valeurs de l'argument \(x\) pour lesquelles la fonction a un sens (est défini).

Exemple : la fonction \(f(x)=\sqrt x+1\) a un domaine de définition : \(x\in

Tâche 1 #6364

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

A quelles valeurs du paramètre \(a\) l'équation

a une seule solution ?

Notez que puisque \(x^2\) et \(\cos x\) sont des fonctions paires, si l'équation a une racine \(x_0\) , elle aura également une racine \(-x_0\) .
En effet, soit \(x_0\) une racine, c'est-à-dire l'égalité \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) droite. Remplaçons \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Ainsi, si \(x_0\ne 0\) , alors l'équation aura déjà au moins deux racines. Par conséquent, \(x_0=0\) . Alors:

Nous avons reçu deux valeurs pour le paramètre \(a\) . Notez que nous avons utilisé le fait que \(x=0\) est exactement la racine de l’équation d’origine. Mais nous n’avons jamais utilisé le fait qu’il est le seul. Par conséquent, vous devez remplacer les valeurs résultantes du paramètre \(a\) dans l'équation d'origine et vérifier pour quel \(a\) spécifique la racine \(x=0\) sera vraiment unique.

1) Si \(a=0\) , alors l'équation prendra la forme \(2x^2=0\) . Évidemment, cette équation n’a qu’une seule racine \(x=0\) . La valeur \(a=0\) nous convient donc.

2) Si \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , alors l'équation prendra la forme \ Réécrivons l'équation sous la forme \ Parce que \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Que \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Par conséquent, les valeurs du côté droit de l'équation (*) appartiennent au segment \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Puisque \(x^2\geqslant 0\) , alors le côté gauche de l'équation (*) est supérieur ou égal à \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Ainsi, l'égalité (*) ne peut être vraie que lorsque les deux côtés de l'équation sont égaux à \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Et cela signifie que \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] La valeur \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nous convient donc.

Répondre:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tâche 2 #3923

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles le graphique de la fonction \

symétrique par rapport à l'origine.

Si le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine, alors une telle fonction est impaire, c'est-à-dire que \(f(-x)=-f(x)\) est valable pour tout \(x\) du domaine de définition de la fonction. Ainsi, il est nécessaire de trouver les valeurs de paramètres pour lesquelles \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligné)\]

La dernière équation doit être satisfaite pour tout \(x\) du domaine de \(f(x)\), donc, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Répondre:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tâche 3 #3069

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \ a 4 solutions, où \(f\) est une fonction périodique paire de période \(T=\dfrac(16)3\) défini sur toute la droite numérique, et \(f(x)=ax^2\) pour \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tâche des abonnés)

Puisque \(f(x)\) est une fonction paire, son graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc lorsque \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Ainsi, quand \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), et c'est un segment de longueur \(\dfrac(16)3\) , fonction \(f(x)=ax^2\) .

1) Soit \(a>0\) . Alors le graphique de la fonction \(f(x)\) ressemblera à ceci :


Ensuite, pour que l'équation ait 4 solutions, il faut que le graphe \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) passe par le point \(A\) :


Ainsi, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aligné)\end(rassemblé)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligné) \end( rassemblé)\droite.\] Puisque \(a>0\) , alors \(a=\dfrac(18)(23)\) convient.

2) Soit \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Il faut que le graphe \(g(x)\) passe par le point \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligné) \end(rassemblé)\right.\] Depuis un<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Le cas où \(a=0\) ne convient pas, puisque alors \(f(x)=0\) pour tout \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) et le l'équation n'aura qu'une seule racine.

Répondre:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Tâche 4 #3072

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs de \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a au moins une racine.

(Tâche des abonnés)

Réécrivons l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) et \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
La fonction \(g(x)\) est paire et a un point minimum \(x=0\) (et \(g(0)=49\) ).
La fonction \(f(x)\) pour \(x>0\) est décroissante, et pour \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
En effet, lorsque \(x>0\) le deuxième module s'ouvrira positivement (\(|x|=x\) ), donc, quelle que soit la façon dont le premier module s'ouvrira, \(f(x)\) sera égal à \( kx+A\) , où \(A\) est l'expression de \(a\) et \(k\) est égal à \(-9\) ou \(-3\) . Quand \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Trouvons la valeur de \(f\) au point maximum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, il faut que les graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) aient au moins un point d'intersection. Il vous faut donc : \ \\]

Répondre:

\(a\in \(-7\)\cup\)

Tâche 5 #3912

Niveau de tâche : Égal à l'examen d'État unifié

Trouver toutes les valeurs du paramètre \(a\) , pour chacune desquelles l'équation \

a six solutions différentes.

Faisons le remplacement \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . L’équation prendra alors la forme \ Nous écrirons progressivement les conditions dans lesquelles l'équation originale aura six solutions.
Notez que l'équation quadratique \((*)\) peut avoir un maximum de deux solutions. Toute équation cubique \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne peut pas avoir plus de trois solutions. Donc, si l'équation \((*)\) a deux solutions différentes (positives !, puisque \(t\) doit être supérieur à zéro) \(t_1\) et \(t_2\) , alors, en faisant l'inverse substitution, on obtient : \[\left[\begin(rassemblé)\begin(aligné) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligné)\end(rassemblé)\right.\] Puisque tout nombre positif peut être représenté par \(\sqrt2\) dans une certaine mesure, par exemple, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), alors la première équation de l'ensemble sera réécrite sous la forme \ Comme nous l'avons déjà dit, toute équation cubique n'a pas plus de trois solutions, par conséquent, chaque équation de l'ensemble n'aura pas plus de trois solutions. Cela signifie que l'ensemble complet n'aura pas plus de six solutions.
Cela signifie que pour que l'équation originale ait six solutions, l'équation quadratique \((*)\) doit avoir deux solutions différentes, et chaque équation cubique résultante (de l'ensemble) doit avoir trois solutions différentes (et non une seule solution de une équation doit coïncider avec n'importe laquelle - par la décision de la seconde !)
Évidemment, si l’équation quadratique \((*)\) a une solution, alors nous n’obtiendrons pas six solutions à l’équation d’origine.

Ainsi, le plan de solution devient clair. Notons point par point les conditions à remplir.

1) Pour que l'équation \((*)\) ait deux solutions différentes, il faut que son discriminant soit positif : \

2) Il faut aussi que les deux racines soient positives (puisque \(t>0\) ). Si le produit de deux racines est positif et que leur somme est positive, alors les racines elles-mêmes seront positives. Il vous faut donc : \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Ainsi, nous nous sommes déjà dotés de deux racines positives différentes \(t_1\) et \(t_2\) .

3) Regardons cette équation \ Pour quoi \(t\) aura-t-il trois solutions différentes ?
Considérons la fonction \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Peut être factorisé : \ Par conséquent, ses zéros sont : \(x=-1;2\) .
Si nous trouvons la dérivée \(f"(x)=3x^2-6x\) , alors nous obtenons deux points extremum \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Le graphique ressemble donc à ceci :


On voit que toute ligne horizontale \(y=k\) , où \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) avait trois solutions différentes, il faut que \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Ainsi, il vous faut : \[\begin(cas) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notons aussi immédiatement que si les nombres \(t_1\) et \(t_2\) sont différents, alors les nombres \(\log_(\sqrt2)t_1\) et \(\log_(\sqrt2)t_2\) seront différent, ce qui signifie que les équations \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Et \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) aura des racines différentes.
Le système \((**)\) peut être réécrit comme suit : \[\begin(cas) 1

Ainsi, nous avons déterminé que les deux racines de l’équation \((*)\) doivent se situer dans l’intervalle \((1;4)\) . Comment écrire cette condition ?
Nous n’écrirons pas explicitement les racines.
Considérons la fonction \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Son graphique est une parabole à branches ascendantes, qui possède deux points d'intersection avec l'axe des x (nous avons noté cette condition au paragraphe 1)). À quoi doit ressembler son graphique pour que les points d'intersection avec l'axe des x soient dans l'intervalle \((1;4)\) ? Donc:


Premièrement, les valeurs \(g(1)\) et \(g(4)\) de la fonction aux points \(1\) et \(4\) doivent être positives, et deuxièmement, le sommet de la la parabole \(t_0\ ) doit également être dans l'intervalle \((1;4)\) . On peut donc écrire le système : \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) a toujours au moins une racine \(x=0\) . Cela signifie que pour remplir les conditions du problème, il faut que l’équation \

avait quatre racines différentes, différentes de zéro, représentant, avec \(x=0\), une progression arithmétique.

Notez que la fonction \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) est paire, ce qui signifie que si \(x_0\) est la racine de l'équation \( (*)\ ) , alors \(-x_0\) sera également sa racine. Il faut alors que les racines de cette équation soient des nombres ordonnés par ordre croissant : \(-2d, -d, d, 2d\) (donc \(d>0\)). C'est alors que ces cinq nombres formeront une progression arithmétique (avec la différence \(d\)).

Pour que ces racines soient les nombres \(-2d, -d, d, 2d\) , il faut que les nombres \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) soient les racines de l'équation \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Alors, d’après le théorème de Vieta :

Réécrivons l'équation sous la forme \ et considérons deux fonctions : \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) et \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
La fonction \(g(x)\) a un point maximum \(x=0\) (et \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Dérivée nulle : \(x=0\) . Quand \(x<0\) имеем: \(g">0\) , pour \(x>0\) : \(g"<0\) .
La fonction \(f(x)\) pour \(x>0\) est croissante, et pour \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
En effet, lorsque \(x>0\) le premier module s'ouvrira positivement (\(|x|=x\)), donc, quelle que soit la manière dont le deuxième module s'ouvrira, \(f(x)\) sera égal à \( kx+A\) , où \(A\) est l'expression de \(a\) et \(k\) est égal à \(13-10=3\) ou \(13+10 =23\) . Quand \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Trouvons la valeur de \(f\) au point minimum : \

Pour que l'équation ait au moins une solution, il faut que les graphiques des fonctions \(f\) et \(g\) aient au moins un point d'intersection. Il vous faut donc : \ En résolvant cet ensemble de systèmes, nous obtenons la réponse : \\]

Répondre:

\(a\in \(-2\)\cup\)

La régularité et l'impair d'une fonction sont l'une de ses principales propriétés, et la parité occupe une part impressionnante du cours de mathématiques à l'école. Il détermine en grande partie le comportement de la fonction et facilite grandement la construction du graphe correspondant.

Déterminons la parité de la fonction. D'une manière générale, la fonction étudiée est considérée même si pour des valeurs opposées de la variable indépendante (x) située dans son domaine de définition, les valeurs correspondantes de y (fonction) s'avèrent égales.

Donnons une définition plus stricte. Considérons une fonction f (x), qui est définie dans le domaine D. Ce sera même si pour tout point x situé dans le domaine de définition :

• -x (point opposé) entre également dans cette portée,

• f(-x) = f(x).

De la définition ci-dessus découle la condition nécessaire au domaine de définition d'une telle fonction, à savoir la symétrie par rapport au point O, qui est l'origine des coordonnées, car si un point b est contenu dans le domaine de définition d'un pair fonction, alors le point correspondant b se trouve également dans ce domaine. De ce qui précède découle donc la conclusion : la fonction paire a une forme symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy).

Comment déterminer la parité d’une fonction en pratique ?

Soit spécifié en utilisant la formule h(x)=11^x+11^(-x). En suivant l'algorithme qui découle directement de la définition, nous examinons d'abord son domaine de définition. Évidemment, il est défini pour toutes les valeurs de l'argument, c'est-à-dire que la première condition est satisfaite.

L'étape suivante consiste à remplacer l'argument (x) par la valeur opposée (-x).
On a:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Puisque l'addition satisfait la loi commutative (commutative), il est évident que h(-x) = h(x) et la dépendance fonctionnelle donnée est paire.

Vérifions la parité de la fonction h(x)=11^x-11^(-x). En suivant le même algorithme, nous obtenons que h(-x) = 11^(-x) -11^x. En enlevant le moins, au final nous avons
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Donc h(x) est impair.

D'ailleurs, il convient de rappeler qu'il existe des fonctions qui ne peuvent être classées selon ces critères : elles ne sont dites ni paires ni impaires.

Même les fonctions ont un certain nombre de propriétés intéressantes :

• suite à l'ajout de fonctions similaires, ils en obtiennent une paire ;
• en soustrayant de telles fonctions, on obtient une fonction paire ;
• même, aussi même;
• en multipliant deux de ces fonctions, on en obtient une paire ;
• en multipliant les fonctions impaires et paires, on obtient une fonction impaire ;
• en divisant les fonctions impaires et paires, on obtient une fonction impaire ;
• la dérivée d'une telle fonction est impaire ;
• Si vous mettez au carré une fonction impaire, vous obtenez une fonction paire.

La parité d'une fonction peut être utilisée pour résoudre des équations.

Pour résoudre une équation comme g(x) = 0, où le côté gauche de l'équation est une fonction paire, il suffira amplement de trouver ses solutions pour des valeurs non négatives de la variable. Les racines résultantes de l'équation doivent être combinées avec les nombres opposés. L'un d'eux est soumis à vérification.

Ceci est également utilisé avec succès pour résoudre des problèmes non standard avec un paramètre.

Par exemple, existe-t-il une valeur du paramètre a pour laquelle l'équation 2x^6-x^4-ax^2=1 aura trois racines ?

Si nous prenons en compte le fait que la variable entre dans l'équation avec des puissances paires, alors il est clair que remplacer x par - x ne changera pas l'équation donnée. Il s’ensuit que si un certain nombre est sa racine, alors le nombre opposé est également la racine. La conclusion est évidente : les racines d'une équation différentes de zéro sont incluses dans l'ensemble de ses solutions par « paires ».

Il est clair que le nombre lui-même n'est pas 0, c'est-à-dire que le nombre de racines d'une telle équation ne peut être que pair et, bien entendu, pour toute valeur du paramètre, il ne peut pas y avoir trois racines.

Mais le nombre de racines de l'équation 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 peut être impair, et pour n'importe quelle valeur du paramètre. En effet, il est facile de vérifier que l’ensemble des racines de cette équation contient des solutions « par paires ». Vérifions si 0 est une racine. Lorsque nous le substituons dans l’équation, nous obtenons 2=2. Ainsi, en plus des « paires », 0 est aussi une racine, ce qui prouve leur nombre impair.

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Méthodes de spécification d'une fonction

Soit la fonction donnée par la formule : y=2x^(2)-3. En attribuant des valeurs à la variable indépendante x, vous pouvez calculer, à l'aide de cette formule, les valeurs correspondantes de la variable dépendante y. Par exemple, si x=-0,5, alors, en utilisant la formule, nous constatons que la valeur correspondante de y est y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

En prenant n'importe quelle valeur prise par l'argument x dans la formule y=2x^(2)-3, vous ne pouvez calculer qu'une seule valeur de la fonction qui lui correspond. La fonction peut être représentée sous forme de tableau :

X	−2	−1	0	1	2	3
oui	−4	−3	−2	−1	0	1

En utilisant ce tableau, vous pouvez voir qu'à la valeur de l'argument −1 la valeur de la fonction −3 correspondra ; et la valeur x=2 correspondra à y=0, etc. Il est également important de savoir que chaque valeur d’argument du tableau correspond à une seule valeur de fonction.

Plus de fonctions peuvent être spécifiées à l'aide de graphiques. À l'aide d'un graphique, il est établi quelle valeur de la fonction est en corrélation avec une certaine valeur x. Le plus souvent, il s'agira d'une valeur approximative de la fonction.

Fonction paire et impaire

La fonction est même fonction, quand f(-x)=f(x) pour tout x du domaine de définition. Une telle fonction sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

La fonction est fonction impaire, quand f(-x)=-f(x) pour tout x du domaine de définition. Une telle fonction sera symétrique par rapport à l'origine O (0;0) .

La fonction est pas même, ni bizarre et s'appelle fonction générale, lorsqu'il n'a pas de symétrie par rapport à l'axe ou à l'origine.

Examinons la fonction de parité suivante :

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) avec un domaine de définition symétrique par rapport à l'origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Cela signifie que la fonction f(x)=3x^(3)-7x^(7) est impaire.

Fonction périodique

La fonction y=f(x) , dans le domaine dont l'égalité f(x+T)=f(x-T)=f(x) est vraie pour tout x, est appelée fonction périodique de période T \neq 0 .

Répéter le graphique d'une fonction sur n'importe quel segment de l'axe des x de longueur T.

Les intervalles où la fonction est positive, c'est-à-dire f(x) > 0, sont des segments de l'axe des abscisses qui correspondent aux points du graphe de fonctions situés au-dessus de l'axe des abscisses.

f(x) > 0 sur (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalles où la fonction est négative, c'est-à-dire f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Fonction limitée

Délimité par le bas Il est d'usage d'appeler une fonction y=f(x), x \in X lorsqu'il existe un nombre A pour lequel l'inégalité f(x) \geq A est valable pour tout x \in X .

Un exemple de fonction délimitée par le bas : y=\sqrt(1+x^(2)) puisque y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pour tout x .

Délimité par le haut une fonction y=f(x), x \in X est appelée lorsqu'il existe un nombre B pour lequel l'inégalité f(x) \neq B est vraie pour tout x \in X .

Un exemple de fonction délimitée ci-dessous : y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] puisque y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pour tout x \in [-1;1] .

Limité Il est d'usage d'appeler une fonction y=f(x), x \in X lorsqu'il existe un nombre K > 0 pour lequel l'inégalité \left | f(x)\droite | \neq K pour tout x \in X .

Un exemple de fonction limitée : y=\sin x est limitée sur tout l'axe des nombres, puisque \gauche | \péché x \droit | \neq 1.

Fonction croissante et décroissante

Il est d'usage de parler d'une fonction qui augmente sur l'intervalle considéré comme fonction croissante puis, lorsqu'une plus grande valeur de x correspond à une plus grande valeur de la fonction y=f(x) . Il s'ensuit qu'en prenant deux valeurs arbitraires de l'argument x_(1) et x_(2) de l'intervalle considéré, avec x_(1) > x_(2) , le résultat sera y(x_(1)) > y(x_(2)).

Une fonction qui décroît sur l'intervalle considéré est appelée fonction décroissante lorsqu'une plus grande valeur de x correspond à une plus petite valeur de la fonction y(x) . Il s'ensuit qu'en prenant dans l'intervalle considéré deux valeurs arbitraires de l'argument x_(1) et x_(2) , et x_(1) > x_(2) , le résultat sera y(x_(1))< y(x_{2}) .

Racines de fonction Il est d'usage d'appeler les points auxquels la fonction F=y(x) coupe l'axe des abscisses (ils sont obtenus en résolvant l'équation y(x)=0).

a) Si pour x > 0 une fonction paire augmente, alors elle diminue pour x< 0

b) Lorsqu'une fonction paire décroît à x > 0, alors elle augmente à x< 0

c) Lorsqu'une fonction impaire augmente à x > 0, alors elle augmente également à x< 0

d) Lorsqu'une fonction impaire diminue pour x > 0, alors elle diminuera également pour x< 0

Extréma de la fonction

Point minimum de la fonction y=f(x) est généralement appelé un point x=x_(0) dont le voisinage aura d'autres points (sauf le point x=x_(0)), et pour eux l'inégalité f(x) > f sera alors satisfait (x_(0)) . y_(min) - désignation de la fonction au point min.

Point maximum de la fonction y=f(x) est généralement appelé un point x=x_(0) dont le voisinage aura d'autres points (sauf le point x=x_(0)), et pour eux l'inégalité f(x) sera alors satisfaite< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Prérequis

D'après le théorème de Fermat : f"(x)=0 lorsque la fonction f(x) qui est différentiable au point x_(0) aura un extremum en ce point.

Condition suffisante

1. Lorsque la dérivée change de signe de plus à moins, alors x_(0) sera le point minimum ;
2. x_(0) - sera un point maximum uniquement lorsque la dérivée change de signe de moins à plus en passant par le point stationnaire x_(0) .

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle

Étapes de calcul :

1. La dérivée f"(x) est recherchée ;
2. Les points stationnaires et critiques de la fonction sont trouvés et ceux appartenant au segment sont sélectionnés ;
3. Les valeurs de la fonction f(x) se trouvent aux points et extrémités stationnaires et critiques du segment. Le plus petit des résultats obtenus sera la plus petite valeur de la fonction, et plus - le plus large.

Etude de fonction.

1) D(y) – Domaine de définition : l'ensemble de toutes ces valeurs de la variable x. pour lequel les expressions algébriques f(x) et g(x) ont un sens.

Si une fonction est donnée par une formule, alors le domaine de définition comprend toutes les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles la formule a un sens.

2) Propriétés de la fonction : paire/impaire, périodicité :

Impair Et même on appelle des fonctions dont les graphiques sont symétriques par rapport aux changements de signe de l'argument.

Fonction étrange- une fonction qui change la valeur à l'opposé lorsque le signe de la variable indépendante change (symétrique par rapport au centre des coordonnées).

Même fonction- une fonction qui ne change pas de valeur lorsque le signe de la variable indépendante change (symétrique par rapport à l'ordonnée).

Fonction ni paire ni impaire (fonction générale)- une fonction qui n'a pas de symétrie. Cette catégorie comprend des fonctions qui ne relèvent pas des 2 catégories précédentes.

Les fonctions qui n'appartiennent à aucune des catégories ci-dessus sont appelées ni pair ni impair(ou fonctions générales).

Fonctions étranges

Puissance étrange où est un entier arbitraire.

Même les fonctions

Même la puissance où est un entier arbitraire.

Fonction périodique- une fonction qui répète ses valeurs à un intervalle d'argument régulier, c'est-à-dire qu'elle ne change pas sa valeur lors de l'ajout d'un nombre fixe non nul à l'argument ( période fonctions) sur tout le domaine de définition.

3) Les zéros (racines) d'une fonction sont les points où elle devient nulle.

Trouver le point d'intersection du graphique avec l'axe Oy. Pour ce faire, vous devez calculer la valeur F(0). Trouver aussi les points d'intersection du graphique avec l'axe Bœuf, pourquoi trouver les racines de l'équation F(X) = 0 (ou assurez-vous qu'il n'y a pas de racines).

Les points auxquels le graphique coupe l'axe sont appelés fonction zéros. Pour trouver les zéros d’une fonction, vous devez résoudre l’équation, c’est-à-dire trouver ces significations de "x", auquel la fonction devient nulle.

4) Intervalles de constance des signes, signes en eux.

Intervalles où la fonction f(x) maintient son signe.

L'intervalle de constance du signe est l'intervalle en chaque point dont la fonction est positive ou négative.

AU-DESSUS de l’axe des x.

SOUS l'essieu.

5) Continuité (points de discontinuité, nature de la discontinuité, asymptotes).

Fonction continue- une fonction sans « sauts », c'est-à-dire dans laquelle de petits changements dans l'argument entraînent de petits changements dans la valeur de la fonction.

Points de rupture amovibles

Si la limite de la fonction existe, mais la fonction n'est pas définie à ce stade, ou la limite ne coïncide pas avec la valeur de la fonction à ce stade :

,

alors le point s'appelle point de rupture amovible fonctions (en analyse complexe, un point singulier amovible).

Si l’on « corrige » la fonction au point de discontinuité amovible et mettons , alors nous obtenons une fonction continue en un point donné. Cette opération sur une fonction est appelée étendre la fonction au continu ou redéfinition de la fonction par continuité, ce qui justifie le nom du point comme point amovible rupture.

Points de discontinuité du premier et du deuxième type

Si une fonction a une discontinuité en un point donné (c'est-à-dire que la limite de la fonction en un point donné est absente ou ne coïncide pas avec la valeur de la fonction en un point donné), alors pour les fonctions numériques, il existe deux options possibles associé à l'existence de fonctions numériques limites unilatérales:

si les deux limites unilatérales existent et sont finies, alors un tel point est appelé point de discontinuité du premier type. Les points de discontinuité amovibles sont des points de discontinuité de première espèce ;

si au moins une des limites unilatérales n'existe pas ou n'est pas une valeur finie, alors un tel point est appelé point de discontinuité du deuxième type.

Asymptote - droit, qui a la propriété que la distance d'un point de la courbe à ce droit tend vers zéro à mesure que le point s'éloigne le long de la branche vers l'infini.

Verticale

Asymptote verticale - ligne limite .

En règle générale, lors de la détermination de l'asymptote verticale, ils recherchent non pas une limite, mais deux limites unilatérales (gauche et droite). Ceci est fait afin de déterminer comment la fonction se comporte lorsqu'elle s'approche de l'asymptote verticale depuis différentes directions. Par exemple:

Horizontal

Asymptote horizontale - droit espèce, sous réserve de l'existence limite

.

Incliné

Asymptote oblique - droit espèce, sous réserve de l'existence limites

Remarque : une fonction ne peut pas avoir plus de deux asymptotes obliques (horizontales).

Remarque : si au moins une des deux limites mentionnées ci-dessus n'existe pas (ou est égale à ), alors l'asymptote oblique en (ou ) n'existe pas.

si au point 2.), alors , et la limite est trouvée à l'aide de la formule de l'asymptote horizontale, .

6) Trouver des intervalles de monotonie. Trouver les intervalles de monotonie d'une fonction F(X)(c'est-à-dire des intervalles d'augmentation et de diminution). Cela se fait en examinant le signe de la dérivée F(X). Pour ce faire, trouvez la dérivée F(X) et résoudre l'inégalité F(X)0. Sur les intervalles où cette inégalité est vraie, la fonction F(X)augmente. Là où l’inégalité inverse se maintient F(X)0, fonction F(X) décroît.

Trouver un extremum local. Après avoir trouvé les intervalles de monotonie, nous pouvons immédiatement déterminer les points extrêmes locaux où une augmentation est remplacée par une diminution, se situent les maxima locaux, et là où une diminution est remplacée par une augmentation, se situent les minima locaux. Calculez la valeur de la fonction à ces points. Si une fonction présente des points critiques qui ne sont pas des points extrêmes locaux, il est alors utile de calculer également la valeur de la fonction à ces points.

Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction y = f(x) sur un segment(continuation)

1. Trouvez la dérivée de la fonction : F(X). 2. Trouvez les points auxquels la dérivée est nulle : F(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Déterminer l'affiliation des points X 1 ,X 2 , … segment [ un; b]: laisser X 1un;b, UN X 2un;b . 4. Trouver les valeurs de la fonction aux points sélectionnés et aux extrémités du segment : F(X 1), F(X 2),..., F(X un),F(X b), 5. Sélection des valeurs de fonction les plus grandes et les plus petites parmi celles trouvées. Commentaire. Si sur le segment [ un; b] il y a des points de discontinuité, il faut alors y calculer des limites unilatérales, puis prendre en compte leurs valeurs dans le choix des valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction.

7) Trouver des intervalles de convexité et de concavité. Cela se fait en examinant le signe de la dérivée seconde F(X). Trouvez les points d'inflexion aux jonctions des intervalles convexes et concaves. Calculez la valeur de la fonction aux points d'inflexion. Si une fonction a d'autres points de continuité (à l'exception des points d'inflexion) auxquels la dérivée seconde est 0 ou n'existe pas, alors il est également utile de calculer la valeur de la fonction en ces points. Ayant trouvé F(X), on résout l'inégalité F(X)0. Sur chacun des intervalles de solution, la fonction sera convexe vers le bas. Résoudre l'inégalité inverse F(X)0, nous trouvons les intervalles auxquels la fonction est convexe vers le haut (c'est-à-dire concave). Nous définissons les points d'inflexion comme les points auxquels la fonction change de direction de convexité (et est continue).

Point d'inflexion d'une fonction- c'est le point où la fonction est continue et au passage par lequel la fonction change de direction de convexité.

Conditions d'existence

Une condition nécessaire à l’existence d’un point d’inflexion : si la fonction est deux fois différentiable dans un voisinage perforé du point, alors ou .

Fonction est l'un des concepts mathématiques les plus importants. Fonction - dépendance variable àà partir d'une variable X, si chaque valeur X correspond à une seule valeur à. Variable X appelé variable indépendante ou argument. Variable à appelée variable dépendante. Toutes les valeurs de la variable indépendante (variable X) forment le domaine de définition de la fonction. Toutes les valeurs que prend la variable dépendante (variable oui), forment la plage de valeurs de la fonction.

Graphique de fonction appeler l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les abscisses sont égales aux valeurs de l'argument et les ordonnées sont égales aux valeurs correspondantes de la fonction, c'est-à-dire les valeurs de la les variables sont portées le long de l'axe des abscisses X, et les valeurs de la variable sont tracées le long de l'axe des ordonnées oui. Pour représenter graphiquement une fonction, vous devez connaître les propriétés de la fonction. Les principales propriétés de la fonction seront discutées ci-dessous !

Pour construire un graphique d'une fonction, nous vous recommandons d'utiliser notre programme - Fonctions graphiques en ligne. Si vous avez des questions en étudiant le contenu de cette page, vous pouvez toujours les poser sur notre forum. Également sur le forum, ils vous aideront à résoudre des problèmes de mathématiques, de chimie, de géométrie, de théorie des probabilités et bien d'autres sujets !

Propriétés de base des fonctions.

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé.
L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.

2) Zéros de fonction.

Valeurs X, auquel y=0, appelé fonction zéros. Ce sont les abscisses des points d'intersection du graphe de fonctions avec l'axe Ox.

3) Intervalles de signe constant d'une fonction.

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont de tels intervalles de valeurs X, sur lequel la fonction valeurs oui soit seuls les positifs, soit uniquement les négatifs sont appelés intervalles de signe constant de la fonction.

4) Monotonie de la fonction.

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

5) Fonction paire (impaire).

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X f(-x) = f(x). Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x). Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Même fonction
1) Le domaine de définition est symétrique par rapport au point (0 ; 0), c'est-à-dire si le point un appartient au domaine de la définition, alors le point -un appartient également au domaine de la définition.
2) Pour n'importe quelle valeur X f(-x)=f(x)
3) Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Oy.

Fonction étrange a les propriétés suivantes :
1) Le domaine de définition est symétrique par rapport au point (0 ; 0).
2) pour n'importe quelle valeur X, appartenant au domaine de définition, l'égalité f(-x)=-f(x)
3) Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine (0 ; 0).

Toutes les fonctions ne sont pas paires ou impaires. Les fonctions vue générale ne sont ni pairs ni impairs.

6) Fonctions limitées et illimitées.

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction.

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

Fonction F est appelé périodique s'il existe un nombre tel que pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(x)=f(x-T)=f(x+T). T est la période de la fonction.

Chaque fonction périodique a un nombre infini de périodes. En pratique, on considère généralement la plus petite période positive.

Les valeurs d'une fonction périodique se répètent après un intervalle égal à la période. Ceci est utilisé lors de la construction de graphiques.