Définition. Une fonction F (x) est appelée primitive pour une fonction f (x) sur un intervalle donné si pour tout x d'un intervalle donné F"(x)= f (x).
La propriété principale des primitives.
Si F (x) est une primitive de la fonction f (x), alors la fonction F (x)+ C, où C est une constante arbitraire, est également une primitive de la fonction f (x) (c'est-à-dire toutes les primitives de les fonctions f(x) s'écrivent sous la forme F(x) + C).
Interprétation géométrique.
Les graphiques de toutes les primitives d'une fonction donnée f (x) sont obtenus à partir du graphique de n'importe quelle primitive par des traductions parallèles le long de l'axe Oy.
Tableau des primitives.
Règles pour trouver des primitives .
Soit F(x) et G(x) des primitives des fonctions f(x) et g(x), respectivement. Alors:
1. F ( X) ± G ( X) – primitive pour F(X) ± g(X);
2. UN F ( X) – primitive pour UNF(X);
3. – primitive pour UNF(kx +b).
Tâches et tests sur le thème "Antidérivoïde"
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Ayant étudié ce sujet, Vous devez savoir ce qu'on appelle une primitive, sa propriété principale, son interprétation géométrique, les règles de recherche des primitives ; être capable de trouver toutes les primitives des fonctions à l'aide d'un tableau et de règles de recherche de primitives, ainsi que d'une primitive passant par un point donné. Voyons résoudre des problèmes sur ce sujet à l'aide d'exemples. Faites attention au formatage des décisions.
Exemples.
1. Découvrez si la fonction F ( X) = X 3 – 3X+ 1 primitive pour la fonction F(X) = 3(X 2 – 1).
Solution: F"( X) = (X 3 – 3X+ 1)′ = 3 X 2 – 3 = 3(X 2 – 1) = F(X), c'est à dire. F"( X) = F(X), donc F(x) est une primitive de la fonction f(x).
2. Trouver toutes les primitives de la fonction f(x) :
UN) F(X) = X 4 + 3X 2 + 5
Solution: En utilisant le tableau et les règles de recherche des primitives, on obtient :
Répondre:
b) F(X) = péché(3 X – 2)
Solution:
Résoudre des intégrales est une tâche facile, mais seulement pour quelques privilégiés. Cet article s’adresse à ceux qui veulent apprendre à comprendre les intégrales, mais qui n’y connaissent rien ou presque. Intégral... Pourquoi est-ce nécessaire ? Comment le calculer ? Que sont les intégrales définies et indéfinies ? Si la seule utilisation que vous connaissez d'une intégrale est d'utiliser un crochet en forme d'icône intégrale pour obtenir quelque chose d'utile dans des endroits difficiles d'accès, alors bienvenue ! Découvrez comment résoudre des intégrales et pourquoi vous ne pouvez pas vous en passer.
Nous étudions la notion d'"intégrale"
L'intégration était connue dès le début L'Egypte ancienne. Bien sûr pas dans forme moderne, mais reste. Depuis, les mathématiciens ont écrit de nombreux ouvrages sur ce sujet. Se sont particulièrement distingués Newton Et Leibniz , mais l'essence des choses n'a pas changé. Comment comprendre les intégrales à partir de zéro ? Certainement pas! Pour comprendre ce sujet, vous aurez toujours besoin d’une connaissance de base des bases de l’analyse mathématique. Nous avons déjà des informations sur , nécessaires à la compréhension des intégrales, sur notre blog.
Intégrale indéfinie
Ayons une fonction f(x) .
Fonction intégrale indéfinie f(x) cette fonction s'appelle F(x) , dont la dérivée est égale à la fonction f(x) .
En d’autres termes, l’intégrale est une dérivée inverse ou primitive. À propos, découvrez comment procéder dans notre article.
Une primitive existe pour toutes les fonctions continues. De plus, un signe constant est souvent ajouté à la primitive, car les dérivées de fonctions qui diffèrent par une constante coïncident. Le processus de recherche de l’intégrale est appelé intégration.
Exemple simple :
Afin de ne pas calculer constamment des primitives fonctions élémentaires, il est pratique de les résumer dans un tableau et d'utiliser des valeurs toutes faites.
Tableau complet des intégrales pour les étudiants
Intégrale définie
Lorsqu'on traite du concept d'intégrale, nous avons affaire à des quantités infinitésimales. L'intégrale permettra de calculer l'aire de la figure, la masse du corps inhomogène, la distance parcourue à mouvement irrégulier chemin et bien plus encore. Il ne faut pas oublier qu'une intégrale est une somme infinie grande quantité termes infinitésimaux.
À titre d'exemple, imaginez un graphique d'une fonction. Comment trouver l'aire d'une figure délimitée par le graphique d'une fonction ?
Utiliser une intégrale ! Divisons le trapèze curviligne, limité par les axes de coordonnées et le graphique de la fonction, en segments infinitésimaux. De cette façon, la figure sera divisée en fines colonnes. La somme des aires des colonnes sera l'aire du trapèze. Mais rappelez-vous qu'un tel calcul donnera un résultat approximatif. Cependant, plus les segments sont petits et étroits, plus le calcul sera précis. Si nous les réduisons à un point tel que la longueur tend vers zéro, alors la somme des aires des segments tendra vers l'aire de la figure. Il s’agit d’une intégrale définie, qui s’écrit ainsi :
Les points a et b sont appelés limites d'intégration.
Bari Alibasov et le groupe "Integral" D'ailleurs! Pour nos lecteurs, il y a désormais une réduction de 10% sur
Règles de calcul des intégrales pour les nuls
Propriétés de l'intégrale indéfinie
Comment résoudre une intégrale indéfinie ? Ici, nous examinerons les propriétés de l'intégrale indéfinie, qui seront utiles lors de la résolution d'exemples.
- La dérivée de l'intégrale est égale à l'intégrande :
- La constante peut être retirée sous le signe intégral :
- Intégrale de la somme égal à la somme intégrales. Cela est également vrai pour la différence :
Propriétés d'une intégrale définie
- Linéarité :
- Le signe de l'intégrale change si les limites d'intégration sont inversées :
- À n'importe lequel points un, b Et Avec:
Nous avons déjà découvert qu'une intégrale définie est la limite d'une somme. Mais comment obtenir une valeur spécifique lors de la résolution d’un exemple ? Pour cela il existe la formule de Newton-Leibniz :
Exemples de résolution d'intégrales
Ci-dessous, nous examinerons plusieurs exemples de recherche d'intégrales indéfinies. Nous vous suggérons de découvrir vous-même les subtilités de la solution et si quelque chose n'est pas clair, posez des questions dans les commentaires.
Pour renforcer le matériel, regardez une vidéo sur la façon dont les intégrales sont résolues dans la pratique. Ne désespérez pas si l'intégrale n'est pas donnée immédiatement. Contactez un service professionnel pour étudiants, et toute intégrale triple ou courbe sur surface fermée sera à votre portée.
Fonction primitive f(x) entre (un B) cette fonction s'appelle F(x), que l'égalité vaut pour tout Xà partir d'un intervalle donné.
Si l'on prend en compte le fait que la dérivée d'une constante AVEC est égal à zéro, alors l’égalité est vraie. Donc la fonction f(x) a de nombreuses primitives F(x)+C, pour une constante arbitraire AVEC, et ces primitives diffèrent les unes des autres par une valeur constante arbitraire.
Définition d'une intégrale indéfinie.
L'ensemble des fonctions primitives f(x) est appelée l'intégrale indéfinie de cette fonction et est notée 
.
L'expression s'appelle intégrande, UN f(x) – fonction intégrande. L'intégrande représente la différentielle de la fonction f(x).
L’action de trouver une fonction inconnue étant donné sa différentielle s’appelle incertain l'intégration, car le résultat de l'intégration est plus d'une fonction F(x), et l'ensemble de ses primitives F(x)+C.
Signification géométrique de l'intégrale indéfinie. Le graphique de la primitive D(x) est appelé courbe intégrale. Dans le système de coordonnées x0y, les graphiques de toutes les primitives d'une fonction donnée représentent une famille de courbes qui dépendent de la valeur de la constante C et sont obtenues les unes des autres par un décalage parallèle le long de l'axe 0y. Pour l’exemple évoqué ci-dessus, nous avons :
J 2 x^x = x2 + C.
La famille des primitives (x + C) est interprétée géométriquement par un ensemble de paraboles.
Si vous avez besoin d'en trouver une dans une famille de primitives, des conditions supplémentaires sont définies qui vous permettent de déterminer la constante C. Habituellement, à cet effet, des conditions initiales sont définies : lorsque l'argument x = x0, la fonction a la valeur D (x0) = y0.
Exemple. Il faut trouver qu'une des primitives de la fonction y = 2 x qui prend la valeur 3 en x0 = 1.
La primitive requise : D(x) = x2 + 2.
Solution. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3 ; C = 2.
2. Propriétés de base de l'intégrale indéfinie
1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à la fonction intégrale :
2. La différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'expression de l'intégrande :
3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction elle-même et d'une constante arbitraire :
4. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :
5. L'intégrale de la somme (différence) est égale à la somme (différence) des intégrales :
6. La propriété est une combinaison des propriétés 4 et 5 :
7. Propriété d'invariance de l'intégrale indéfinie :
Si 
, Que
8. Propriété :
Si 
, Que
En fait, cette propriété est un cas particulier d’intégration utilisant la méthode du changement de variable, qui est discutée plus en détail dans la section suivante.
Regardons un exemple :
3. Méthode d'intégration dans lequel une intégrale donnée est réduite à une ou plusieurs intégrales de table au moyen de transformations identiques de l'intégrande (ou de l'expression) et de l'application des propriétés de l'intégrale indéfinie, est appelé intégration directe. Lors de la réduction de cette intégrale à une intégrale tabulaire, les transformations différentielles suivantes sont souvent utilisées (opération " souscrire au signe différentiel»):
Du tout, f’(u)du = d(f(u)). Cette (formule est très souvent utilisée lors du calcul des intégrales.
Trouver l'intégrale
Solution. Utilisons les propriétés de l'intégrale et réduisons cette intégrale à plusieurs intégrales tabulaires.
4. Méthode d'intégration par substitution.
L'essence de la méthode est que nous introduisons une nouvelle variable, exprimons l'intégrande à travers cette variable et, par conséquent, nous arrivons à une forme tabulaire (ou plus simple) de l'intégrale.
Très souvent, la méthode de substitution vient à la rescousse lors de l'intégration de fonctions trigonométriques et de fonctions avec radicaux.
Exemple.
Trouver l'intégrale indéfinie 
.
Solution.
Introduisons une nouvelle variable. Exprimons Xà travers z:
Nous substituons les expressions résultantes dans l'intégrale d'origine : 
Du tableau des primitives nous avons 
.
Reste à revenir à la variable d'origine X:
Répondre:
Cours et présentation sur le thème : "Une fonction primitive. Graphique d'une fonction"
Matériaux additionnels
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Fonction primitive. Introduction
Les gars, vous savez comment trouver des dérivées de fonctions en utilisant diverses formules et règles. Aujourd'hui, nous allons étudier le fonctionnement, inverse du calcul dérivé. La notion de dérivée est souvent utilisée dans vrai vie. Permettez-moi de vous rappeler : la dérivée est le taux de variation d'une fonction à un point précis. Les processus impliquant le mouvement et la vitesse sont bien décrits en ces termes.Regardons ce problème : « La vitesse d'un objet se déplaçant en ligne droite est décrite par la formule $V=gt$. Nous devons restaurer la loi du mouvement.
Solution.
On connaît bien la formule : $S"=v(t)$, où S est la loi du mouvement.
Notre tâche revient à trouver une fonction $S=S(t)$ dont la dérivée est égale à $gt$. En regardant attentivement, vous pouvez deviner que $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Vérifions l'exactitude de la solution à ce problème : $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Connaissant la dérivée de la fonction, nous avons trouvé la fonction elle-même, c'est-à-dire que nous avons effectué l'opération inverse.
Mais cela vaut la peine de prêter attention à ce moment. La solution à notre problème nécessite des éclaircissements ; si nous ajoutons un nombre (constant) à la fonction trouvée, alors la valeur de la dérivée ne changera pas : $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
Les gars, veuillez noter : notre tâche est ensemble infini solutions!
Si le problème ne spécifie pas de condition initiale ou autre, n'oubliez pas d'ajouter une constante à la solution. Par exemple, notre tâche peut préciser la position de notre corps au tout début du mouvement. Ensuite, il n'est pas difficile de calculer la constante ; en substituant zéro dans l'équation résultante, nous obtenons la valeur de la constante.
Comment s’appelle cette opération ?
L’opération inverse de différenciation est appelée intégration.
Trouver une fonction à partir d'une dérivée donnée – intégration.
La fonction elle-même sera appelée primitive, c'est-à-dire l'image à partir de laquelle la dérivée de la fonction a été obtenue.
Il est d'usage d'écrire la primitive avec une lettre majuscule $y=F"(x)=f(x)$.
Définition. La fonction $y=F(x)$ est appelée la primitive de la fonction $у=f(x)$ sur l'intervalle X si pour tout $хϵХ$ l'égalité $F'(x)=f(x)$ est vraie .
Faisons un tableau des primitives pour diverses fonctions. Il doit être imprimé à titre de rappel et mémorisé.
Dans notre tableau, aucune condition initiale n'a été spécifiée. Cela signifie qu'une constante doit être ajoutée à chaque expression du côté droit du tableau. Nous clarifierons cette règle plus tard.
Règles pour trouver des primitives
Écrivons quelques règles qui nous aideront à trouver des primitives. Elles sont toutes semblables aux règles de différenciation.Règle 1. La primitive d’une somme est égale à la somme des primitives. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
Exemple.
Trouvez la primitive de la fonction $y=4x^3+cos(x)$.
Solution.
La primitive de la somme est égale à la somme des primitives, il faut alors trouver la primitive pour chacune des fonctions présentées.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Alors la primitive de la fonction d'origine sera : $y=x^4+sin(x)$ ou toute fonction de la forme $y=x^4+sin(x)+C$.
Règle 2. Si $F(x)$ est une primitive de $f(x)$, alors $k*F(x)$ est une primitive de la fonction $k*f(x)$.(On peut facilement prendre le coefficient en fonction).
Exemple.
Trouver des primitives de fonctions :
une) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Solution.
a) La primitive de $sin(x)$ est moins $cos(x)$. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=-8cos(x)$.
B) La primitive de $cos(x)$ est $sin(x)$. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.
C) La primitive de $x^2$ est $\frac(x^3)(3)$. La primitive de x est $\frac(x^2)(2)$. La primitive de 1 est x. Alors la primitive de la fonction d'origine prendra la forme : $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .
Règle 3. Si $у=F(x)$ est une primitive de la fonction $y=f(x)$, alors la primitive de la fonction $y=f(kx+m)$ est la fonction $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.
Exemple.
Trouvez les primitives des fonctions suivantes :
une) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Solution.
a) La primitive de $cos(x)$ est $sin(x)$. Alors la primitive de la fonction $y=cos(7x)$ sera la fonction $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.
B) La primitive de $sin(x)$ est moins $cos(x)$. Alors la primitive de la fonction $y=sin(\frac(x)(2))$ sera la fonction $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
C) La primitive de $x^3$ est $\frac(x^4)(4)$, puis la primitive de la fonction d'origine $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.
D) Simplifiez légèrement l'expression à la puissance $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
La primitive de la fonction exponentielle est elle-même fonction exponentielle. La primitive de la fonction d'origine sera $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
Théorème. Si $y=F(x)$ est une primitive de la fonction $y=f(x)$ sur l'intervalle X, alors la fonction $y=f(x)$ a une infinité de primitives, et toutes ont la forme $y=F( x)+С$.
Si dans tous les exemples considérés ci-dessus il était nécessaire de trouver l'ensemble de toutes les primitives, alors la constante C devrait être ajoutée partout.
Pour la fonction $y=cos(7x)$ toutes les primitives ont la forme : $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Pour la fonction $y=(-2x+3)^3$ toutes les primitives ont la forme : $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.
Exemple.
Étant donné la loi du changement de vitesse d'un corps au fil du temps $v=-3sin(4t)$, trouvez la loi du mouvement $S=S(t)$ si à l'instant initial le corps avait une coordonnée égale à 1,75.
Solution.
Puisque $v=S’(t)$, nous devons trouver la primitive pour une vitesse donnée.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Dans ce problème, il est donné condition supplémentaire- moment initial du temps. Cela signifie que $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Alors la loi du mouvement est décrite par la formule : $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.
Problèmes à résoudre de manière autonome
1. Trouver les primitives des fonctions :une) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Trouvez les primitives des fonctions suivantes :
une) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. D'après la loi donnée du changement de vitesse d'un corps au fil du temps $v=4cos(6t)$, trouvez la loi du mouvement $S=S(t)$ si au moment initial le corps avait un coordonnée égale à 2.
Pour chaque action mathématique, il existe une action inverse. Pour l'action de différenciation (trouver des dérivées de fonctions), il existe également une action inverse - l'intégration. Grâce à l'intégration, une fonction est trouvée (reconstruite) à partir de sa dérivée ou différentielle donnée. La fonction trouvée s'appelle primitive.
Définition. Fonction différenciable F(x) est appelée la primitive de la fonction f(x) sur un intervalle donné, si pour tout Xà partir de cet intervalle, l'égalité suivante est vérifiée : F′(x)=f (x).
Exemples. Trouvez les primitives des fonctions : 1) f (x)=2x ; 2) f(x)=3cos3x.
1) Puisque (x²)′=2x, alors, par définition, la fonction F (x)=x² sera une primitive de la fonction f (x)=2x.
2) (sin3x)′ = 3cos3x. Si on note f (x)=3cos3x et F (x)=sin3x, alors, par définition d'une primitive, on a : F′(x)=f (x), et donc F (x)=sin3x est une primitive pour f ( x)=3cos3x.
Notez que (sin3x +5 )′= 3cos3x, et (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... sous forme générale on peut écrire : (sin3x +C)′= 3cos3x, Où AVEC- quelques constante. Ces exemples indiquent l'ambiguïté de l'action d'intégration, contrairement à l'action de différenciation, lorsqu'une fonction différentiable a une seule dérivée.
Définition. Si la fonction F(x) est une primitive de la fonction f(x) sur un certain intervalle, alors l'ensemble de toutes les primitives de cette fonction a la forme :
F(x)+C, où C est un nombre réel.
L'ensemble de toutes les primitives F (x)+C de la fonction f (x) sur l'intervalle considéré est appelé l'intégrale indéfinie et est désigné par le symbole ∫ (signe intégral). Écrire: ∫f (x) dx=F (x)+C.
Expression ∫f(x)dx lire : « ef intégral de x à de x ».
f(x)dx- expression intégrande,
f(x)- fonction intégrande,
X est la variable d'intégration.
F(x)- primitive d'une fonction f(x),
AVEC- une valeur constante.
Maintenant, les exemples considérés peuvent s'écrire comme suit :
1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.
Que signifie le signe d ?
d- signe différentiel - a un double objectif : d'une part, ce signe sépare l'intégrande de la variable d'intégration ; deuxièmement, tout ce qui vient après ce signe est différencié par défaut et multiplié par l'intégrande.
Exemples. Trouvez les intégrales : 3) ∫ 2pxdx ; 4) ∫ 2pxdp.
3) Après l'icône différentielle d frais XX, UN R.
∫ 2хрdx=рх²+С. Comparez avec l'exemple 1).
Faisons une vérification. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).
4) Après l'icône différentielle d frais R.. Cela signifie que la variable d'intégration R., et le multiplicateur X doit être considérée comme une valeur constante.
∫ 2хрдр=р²х+С. Comparez avec des exemples 1) Et 3).
Faisons une vérification. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).
