Cette section est destinée à ceux qui ont bien compris la leçon Intégrales incorrectes. Exemples de solutions, ou du moins j’en ai compris l’essentiel.
Nous parlerons d'intégrales impropres premier type avec limite inférieure infinie :
Exemple 7
En quoi cette intégrale diffère-t-elle de l’intégrale impropre « ordinaire » avec une limite supérieure infinie ? Il n’existe pratiquement rien en termes de solutions technologiques. Vous devez également trouver la primitive (intégrale indéfinie) et vous devez également utiliser la limite lors du calcul de l'intégrale. La différence est qu'il faut orienter la limite inférieure d'intégration vers « moins l'infini » :
De ce qui précède, une formule évidente pour calculer une telle intégrale impropre suit :
.
Dans cet exemple, l'intégrande est continue sur et :
c'est-à-dire que l'intégrale impropre diverge.
Ici, l'essentiel est soyez prudent avec les panneaux et ne l'oubliez pas. Vous devez bien comprendre ce qui se passe où.
Exemple 8
Calculer une intégrale impropre ou établir sa divergence
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.
Méthode de résolution d'une intégrale impropre avec des limites d'intégration infinies
Un cas très intéressant. Intégrale incorrecte premier type avec deux limites infinies d'intégration a la forme suivante :
Comment le résoudre? Il doit être représenté comme la somme de deux intégrales impropres :
.
Remarque : Zéro peut être n’importe quel nombre, mais zéro est généralement le plus pratique.
Si les deux les intégrales du côté droit convergent, puis l'intégrale elle-même converge
Si au moins un des intégrales du côté droit divergent, alors l'intégrale diverge également
Exemple 9
Nous avons spécifiquement sélectionné un exemple simple pour illustrer un autre point important dans l’application de la méthode.
L'intégrande est continue sur toute la droite numérique.
Selon la règle, l'intégrale doit être présentée comme une somme d'intégrales :
L’intégrale convergera si les deux intégrales du côté droit convergent. Nous vérifions:
– converge.
– converge.
Les deux intégrales convergent, ce qui signifie que l’intégrale entière converge :
Tournons maintenant notre attention vers la fonction intégrande. Il se trouve qu'elle est même.
Dans les intégrales impropres avec (deux) limites infinies et, par conséquent, des intervalles d'intégration symétriques, la parité PEUT être utilisée. Semblable à une intégrale définie, l’intervalle d’intégration peut être divisé et le résultat peut être doublé. Autrement dit, la solution peut s’écrire brièvement :
Pourquoi est-ce possible ?
Le graphique de l'intégrande d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe OY. Par conséquent, si la moitié de l’aire est finie (l’intégrale converge), alors la moitié symétrique de l’aire est également finie.
Si la moitié de l’aire est infinie (l’intégrale diverge), la moitié symétrique divergera également.
Exemple 10
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
L'intégrande est continue sur toute la droite numérique. Selon la règle, l'intégrale doit être représentée comme la somme de deux intégrales :
On vérifie la convergence des intégrales du côté droit :
La première intégrale diverge. Le signe moins indique que le trapèze incurvé infini est situé en dessous de l'axe des x.
Il n'est pas nécessaire de vérifier la convergence de la deuxième intégrale du membre de droite, car pour que l'intégrale
convergé, il faut qu'ils convergent les deux intégrale du côté droit.
Répondre: intégrale impropre
diverge.
Et maintenant un point très important : la fonction intégrande
est impair.
Dans les intégrales impropres avec des limites infinies (c'est-à-dire des intervalles d'intégration symétriques), la parité impaire NE DEVRAIT PAS être utilisée !!!
C'est la différence avec une intégrale définie. Là Toujours vous pouvez l'écrire en toute sécurité.
Intégrale incorrecte avec limite d'intégration infinie
Parfois, une telle intégrale impropre est également appelée intégrale impropre du premier type..gif" width="49" height="19 src=">.
Les intégrales avec une limite inférieure infinie ou avec deux limites infinies sont moins courantes : .
Nous considérerons le cas le plus populaire https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? Non, pas toujours. Intégrandehttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">
Représentons dans le dessin le graphique de la fonction intégrande. Un graphique typique et un trapèze incurvé pour ce cas ressemblent à ceci :
Intégrale incorrectehttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">", en d'autres termes, la zone est également infinie. C'est peut-être le cas. Dans ce cas, ils disent que l'intégrale impropre diverge.
2) Mais. Aussi paradoxal que cela puisse paraître, l’aire d’une figure infinie peut être égale à… un nombre fini ! Par exemple : .. Dans le deuxième cas, l'intégrale impropre converge.
Que se passe-t-il si un trapèze courbé infini se trouve sous l'axe ?.gif" width="217" height="51 src=">.
: 
.
Exemple 1
La fonction intégrande https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, ce qui signifie que tout va bien et que l'intégrale impropre peut être calculée à l'aide de " méthode standard ».
Application de notre formule https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">
C'est-à-dire que l'intégrale impropre diverge et que l'aire du trapèze incurvé ombré est égale à l'infini.
Lors de la résolution d'intégrales impropres, il est très important de savoir à quoi ressemblent les graphiques des fonctions élémentaires de base !
Exemple 2
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Faisons le dessin : 
Tout d'abord, on remarque ce qui suit : l'intégrande est continue sur le demi-intervalle. Bien..gif" width="327" height="53">
(1) On prend l'intégrale la plus simple d'une fonction puissance (ce cas particulier se retrouve dans de nombreux tableaux). Il est préférable de déplacer immédiatement le signe moins au-delà du signe limite afin qu'il ne gêne pas les calculs ultérieurs.
(2) Nous substituons les limites supérieure et inférieure en utilisant la formule de Newton-Leibniz.
(3) Nous soulignons que https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (Messieurs, cela a longtemps dû être compris ) et simplifiez la réponse.
Ici l'aire d'un trapèze courbe infini est un nombre fini ! Incroyable mais vrai.
Exemple 3
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
L'intégrande est continue sur .
Essayons d’abord de trouver la fonction primitive (intégrale indéfinie).
À laquelle des intégrales de table l’intégrande est-elle similaire ? Cela me fait penser à une arctangente : 
. Ces considérations suggèrent qu’il serait bien d’avoir un carré au dénominateur. Cela se fait par remplacement.
Remplaçons :
Il est toujours utile d'effectuer une vérification, c'est-à-dire de différencier le résultat obtenu :
Nous trouvons maintenant l'intégrale impropre :
(1) On écrit la solution selon la formule 
. Il est préférable de déplacer immédiatement la constante au-delà du signe limite afin qu'elle n'interfère pas avec les calculs ultérieurs.
(2) Nous remplaçons les limites supérieure et inférieure conformément à la formule de Newton-Leibniz..gif" width="56" height="19 src=">? Voir le graphique arctangent dans l'article déjà recommandé à plusieurs reprises.
(3) Nous obtenons la réponse finale. Un fait qu’il est utile de connaître par cœur.
Les étudiants avancés ne peuvent pas trouver l'intégrale indéfinie séparément et ne pas utiliser la méthode de remplacement, mais plutôt utiliser la méthode de substitution de la fonction sous le signe différentiel et résoudre « immédiatement » l'intégrale impropre. Dans ce cas, la solution devrait ressembler à ceci :
“
La fonction intégrande est continue sur https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“
Exemple 4
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
! Ceci est un exemple typique, et des intégrales similaires se retrouvent très souvent. Travaillez bien ! La fonction primitive se retrouve ici en utilisant la méthode d'isolement d'un carré complet.
Exemple 5
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Cette intégrale peut être résolue en détail, c'est-à-dire trouver d'abord l'intégrale indéfinie en effectuant un changement de variable. Ou vous pouvez le résoudre « immédiatement » - en regroupant la fonction sous le signe différentiel.
Intégrales incorrectes de fonctions illimitées
Parfois, ces intégrales impropres sont appelées intégrales impropres du deuxième type. Les intégrales impropres du deuxième type sont insidieusement « chiffrées » sous l'intégrale définie habituelle et se ressemblent exactement : ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) ou au point , 3) ou sur les deux points à la fois, 4) ou même sur le segment d'intégration Nous considérerons les deux premiers cas ; pour les cas 3-4 il y a un lien vers une leçon supplémentaire en fin d'article.
Juste un exemple pour que ce soit clair : https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, alors notre dénominateur passe à zéro, c'est-à-dire que l'intégrande n'existe tout simplement pas à ce stade !
En général, lors de l'analyse d'une intégrale impropre vous devez toujours remplacer les deux limites d'intégration dans l'intégrande..jpg" alt="(!LANG : Intégrale inappropriée, point de discontinuité à la limite inférieure d'intégration" width="323" height="380">!}
Ici, tout est à peu près pareil que dans l'intégrale du premier type.
Notre intégrale est numériquement égale à l'aire du trapèze courbe ombré, qui n'est pas délimitée par le haut. Dans ce cas, il peut y avoir deux options : l'intégrale impropre diverge (l'aire est infinie) ou l'intégrale impropre est égale à un nombre fini (c'est-à-dire que l'aire d'une figure infinie est finie !).
Il ne reste plus qu'à modifier la formule de Newton-Leibniz. On la modifie aussi à l'aide d'une limite, mais la limite ne tend plus vers l'infini, mais évaluerhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> sur la droite.
Exemple 6
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
L'intégrande présente une discontinuité infinie en un point (n'oubliez pas de vérifier verbalement ou sur un brouillon que tout va bien avec la limite supérieure !)
Tout d’abord, calculons l’intégrale indéfinie : 
Remplacement: 
Calculons l'intégrale impropre :
(1) Quoi de neuf ici ? Il n’existe pratiquement rien en termes de solutions technologiques. La seule chose qui a changé est l'entrée sous l'icône de limite : . L'addition signifie que nous recherchons la valeur de droite (ce qui est logique - voir le graphique). Une telle limite dans la théorie des limites est appelée limite unilatérale. Dans ce cas, nous avons une limite à droite.
(2) Nous substituons les limites supérieure et inférieure en utilisant la formule de Newton-Leibniz.
(3) Comprenons https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. Comment déterminer où doit aller l'expression ? En gros , il vous suffit de remplacer la valeur, de remplacer les trois quarts et d'indiquer que peignez la réponse.
Dans ce cas, l’intégrale impropre est égale à un nombre négatif.
Exemple 7
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Exemple 8
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Si l'intégrande n'existe pas au point
Un trapèze courbé infini pour une telle intégrale impropre ressemble fondamentalement à ceci :
Ici, tout est absolument pareil, sauf que notre limite tend à évaluerhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> il faut s'approcher infiniment près du point de rupture gauche.
Intégrales impropres du premier type. Essentiellement, il s'agit de la même intégrale définie, mais dans les cas où les intégrales ont des limites d'intégration supérieures ou inférieures infinies, ou où les deux limites d'intégration sont infinies.
Intégrales impropres du deuxième type. Essentiellement, il s'agit de la même intégrale définie, mais dans les cas où l'intégrale est extraite de fonctions illimitées, l'intégrande en un nombre fini de points n'a pas de segment fini d'intégration, se tournant vers l'infini.
En comparaison. Lors de l'introduction du concept d'intégrale définie, il a été supposé que la fonction F(X) est continue sur l'intervalle [ un, b], et le segment d'intégration est fini, c'est-à-dire qu'il est limité par des nombres et non par l'infini. Certaines tâches conduisent à la nécessité d'abandonner ces restrictions. C'est ainsi qu'apparaissent les intégrales impropres.
Signification géométrique de l'intégrale impropre Cela s'avère tout simplement. Dans le cas où le graphique d'une fonction oui = F(X) est au dessus de l'axe Bœuf, l'intégrale définie exprime l'aire d'un trapèze curviligne délimité par une courbe oui = F(X) , axe des x et ordonnées X = un , X = b. À son tour, l'intégrale impropre exprime l'aire d'un trapèze curviligne illimité (infini) enfermé entre les lignes oui = F(X) (dans l'image ci-dessous - rouge), X = un et l'axe des abscisses.
Les intégrales impropres sont définies de la même manière pour d'autres intervalles infinis :
L'aire d'un trapèze courbe infini peut être un nombre fini, auquel cas l'intégrale impropre est dite convergente. L'aire peut aussi être infinie, et dans ce cas l'intégrale impropre est appelée divergente.
Utiliser la limite d'une intégrale au lieu de l'intégrale impropre elle-même. Afin d'évaluer l'intégrale impropre, vous devez utiliser la limite de l'intégrale définie. Si cette limite existe et est finie (non égale à l'infini), alors l'intégrale impropre est appelée convergente, et sinon, divergente. La tendance d'une variable sous le signe limite dépend du fait qu'il s'agit d'une intégrale impropre du premier type ou du deuxième type. Découvrons-le maintenant.
Intégrales impropres du premier type - avec des limites infinies et leur convergence
Intégrales incorrectes avec limite supérieure infinie
Ainsi, l’écriture d’une intégrale impropre diffère de l’intégrale définie habituelle en ce sens que la limite supérieure d’intégration est infinie.
Définition. Une intégrale impropre avec une limite supérieure infinie d'intégration d'une fonction continue F(X) dans l'intervalle de un avant ∞ est appelée la limite de l'intégrale de cette fonction avec la limite supérieure d'intégration b et la limite inférieure d'intégration un à condition que la limite supérieure d'intégration croisse sans limite, c'est à dire.
.
Si cette limite existe et est égale à un nombre plutôt qu’à l’infini, alors une intégrale impropre est dite convergente, et le nombre auquel la limite est égale est pris comme valeur. Sinon une intégrale impropre est appelée divergente et aucun sens ne lui est attribué.
Exemple 1. Calculer l'intégrale impropre(s'il converge).
Solution. Sur la base de la définition de l’intégrale impropre, nous trouvons
Puisque la limite existe et est égale à 1, alors ceci l'intégrale impropre converge et est égal à 1.
Dans l'exemple suivant, l'intégrande est presque le même que dans l'exemple 1, seul le degré x n'est pas deux, mais la lettre alpha, et la tâche consiste à étudier l'intégrale impropre pour la convergence. C'est-à-dire que la question reste sans réponse : à quelles valeurs d'alpha cette intégrale impropre converge-t-elle, et à quelles valeurs diverge-t-elle ?
Exemple 2. Examiner l'intégrale impropre pour la convergence(la limite inférieure d'intégration est supérieure à zéro).
Solution. Supposons d'abord que, puis
Dans l’expression résultante, on passe à la limite en :
Il est facile de voir que la limite du côté droit existe et est égale à zéro quand, c'est-à-dire, et n'existe pas quand, c'est-à-dire.
Dans le premier cas, c'est-à-dire quand . Si donc 
et n'existe pas.
La conclusion de notre étude est la suivante : l'intégrale impropre convergeà et divergeà .
Application de la formule de Newton-Leibniz au type d'intégrale impropre étudiée 
, vous pouvez en déduire la formule suivante, qui lui est très similaire :
.
Il s'agit d'une formule de Newton-Leibniz généralisée.
Exemple 3. Calculer l'intégrale impropre(s'il converge).
La limite de cette intégrale existe :
La deuxième intégrale, constituant la somme exprimant l'intégrale d'origine :
La limite de cette intégrale existe aussi :
.
On retrouve la somme de deux intégrales, qui est aussi la valeur de l'intégrale impropre originale avec deux limites infinies :
Intégrales impropres du deuxième type - à partir de fonctions illimitées et de leur convergence
Laissez la fonction F(X) donné sur le segment de un avant b et il est illimité là-dessus. Supposons que la fonction tende vers l'infini au point b , alors qu'en tous les autres points du segment, il est continu.
Définition. Une intégrale impropre d'une fonction F(X) sur le segment de un avant b est appelée la limite de l'intégrale de cette fonction avec la limite supérieure d'intégration c , si en s'efforçant c À b la fonction augmente sans limite, et au point X = b fonction non définie, c'est à dire.
.
Si cette limite existe, alors l'intégrale impropre de seconde espèce est dite convergente, sinon elle est dite divergente.
En utilisant la formule de Newton-Leibniz, nous obtenons.
Es-tu là maintenant? =) Non, je ne cherchais à intimider personne, c'est juste que le sujet des intégrales impropres est une très bonne illustration de l'importance de ne pas négliger les mathématiques supérieures et les autres sciences exactes. Tout ce dont vous avez besoin pour apprendre la leçon se trouve sur le site Internet - sous une forme détaillée et accessible, si vous le souhaitez...
Alors, commençons par. Au sens figuré, une intégrale impropre est une intégrale définie « avancée », et en fait, elles ne posent pas tant de difficultés, et de plus, l'intégrale impropre a une très bonne signification géométrique.
Que signifie évaluer une intégrale impropre ?
Calculer une intégrale impropre - cela signifie trouver le NUMÉRO(exactement le même que dans l'intégrale définie), ou prouver qu'il diverge(c'est-à-dire que vous vous retrouvez avec l'infini au lieu d'un nombre).
Il existe deux types d'intégrales impropres.
Intégrale impropre avec limite(s) infinie(s) d'intégration
Parfois, une telle intégrale impropre est appelée intégrale impropre du premier type. En général, une intégrale impropre de limite infinie ressemble le plus souvent à ceci : . En quoi est-elle différente d’une intégrale définie ? À la limite supérieure. C'est sans fin : .
Les intégrales avec une limite inférieure infinie ou avec deux limites infinies sont moins courantes : , et nous les examinerons plus tard - quand vous aurez compris :)
Eh bien, regardons maintenant le cas le plus populaire. Dans la grande majorité des exemples, la fonction intégrande continu entre les deux, et celui-ci un fait important doit être vérifié en premier ! Car s’il y a des lacunes, il y a des nuances supplémentaires. Pour être précis, supposons que même dans ce cas, le type trapèze courbé ressemblera à ceci :
Notez qu'il est infini (non limité à droite), et intégrale impropre numériquement égal à son aire. Les options suivantes sont possibles :
1) La première pensée qui me vient à l'esprit : « puisque le chiffre est infini, alors 
", en d'autres termes, la zone est également infinie. C'est peut-être le cas. Dans ce cas, ils disent que l'intégrale impropre diverge.
2) Mais. Aussi paradoxal que cela puisse paraître, l’aire d’une figure infinie peut être égale à… un nombre fini ! Par exemple: . Cela pourrait-il être vrai ? Facilement. Dans le deuxième cas, l'intégrale impropre converge.
3) Nous reviendrons sur la troisième option un peu plus tard.
Dans quels cas une intégrale impropre diverge-t-elle et dans quels cas converge-t-elle ? Cela dépend de l'intégrande, et nous examinerons des exemples spécifiques très prochainement.
Que se passe-t-il si un trapèze courbé infini se trouve en dessous de l'axe ? Dans ce cas, l’intégrale impropre 
(diverge) ou est égal à un nombre fini négatif.
Ainsi, une intégrale impropre peut être négative.
Important! Lorsqu'on vous donne TOUTE intégrale impropre à résoudre, alors, d'une manière générale, On ne parle d'aucune zone et il n'est pas nécessaire de construire un dessin. J'ai expliqué la signification géométrique de l'intégrale impropre uniquement pour faciliter la compréhension du matériau.
Puisque l'intégrale impropre est très similaire à l'intégrale définie, rappelons la formule de Newton-Leibniz : 
. En fait, la formule est également applicable aux intégrales impropres, mais elle doit être légèrement modifiée. Quelle est la différence? A la limite supérieure infinie d'intégration : . Probablement, beaucoup ont deviné que cela sent déjà l'application de la théorie des limites, et la formule s'écrira ainsi : 
.
Quelle est la différence avec une intégrale définie ? Rien de spécial! Comme dans l'intégrale définie, vous devez être capable de trouver la fonction primitive (intégrale indéfinie) et d'être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz. La seule chose qui a été ajoutée est le calcul de la limite. Celui qui passe un mauvais moment avec eux, apprends une leçon Limites de fonction. Exemples de solutions, parce qu'il vaut mieux tard que dans l'armée.
Regardons deux exemples classiques :
Exemple 1
Pour plus de clarté, je vais faire un dessin, même si, je le souligne encore une fois, sur la pratique Il n'est pas nécessaire de créer des dessins dans cette tâche.
La fonction intégrande est continue sur le demi-intervalle, ce qui signifie que tout va bien et que l'intégrale impropre peut être calculée par la méthode « standard ».
Application de notre formule 
et la solution au problème ressemble à ceci :
C'est-à-dire que l'intégrale impropre diverge et que l'aire du trapèze incurvé ombré est égale à l'infini.
Dans l'exemple considéré, nous avons l'intégrale de table la plus simple et la même technique d'application de la formule de Newton-Leibniz que dans l'intégrale définie. Mais cette formule s'appliquera sous le signe de la limite. Au lieu de la lettre habituelle d'une variable « dynamique », la lettre « be » apparaît. Cela ne devrait pas prêter à confusion ni dérouter, car aucune lettre n'est pas pire que le « X » standard.
Si vous ne comprenez pas pourquoi à , alors c'est très mauvais, soit vous ne comprenez pas les limites les plus simples (et ne comprenez généralement pas ce qu'est une limite), soit vous ne savez pas à quoi ressemble le graphique d'une fonction logarithmique. Dans le deuxième cas, assister à un cours Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires.
Lors de la résolution d'intégrales impropres, il est très important de savoir à quoi ressemblent les graphiques des fonctions élémentaires de base !
La tâche terminée devrait ressembler à ceci :
“
! Lors de la préparation d'un exemple, nous interrompons toujours la solution et indiquons ce qui arrive à l'intégrande – est-ce continu sur l'intervalle d'intégration ou non ?. Avec cela, nous identifions le type d’intégrale impropre et justifions d’autres actions.
Exemple 2
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Faisons le dessin : 
Tout d'abord, on remarque ce qui suit : l'intégrande est continue sur le demi-intervalle. Capot. Nous résolvons en utilisant la formule 
:
(1) On prend l'intégrale la plus simple d'une fonction puissance (ce cas particulier se retrouve dans de nombreux tableaux). Il est préférable de déplacer immédiatement le signe moins au-delà du signe limite afin qu'il ne gêne pas les calculs ultérieurs.
(2) Nous substituons les limites supérieure et inférieure en utilisant la formule de Newton-Leibniz.
(3) Nous indiquons qu'à (Messieurs, cela aurait dû être compris depuis longtemps) et simplifions la réponse.
Ici l'aire d'un trapèze courbe infini est un nombre fini ! Incroyable mais vrai.
L'exemple final devrait ressembler à ceci :
“
La fonction intégrande est continue sur
“
Que faire si vous rencontrez une intégrale comme - avec point de rupture sur l'intervalle d'intégration ? Cela signifie qu'il y a une faute de frappe dans l'exemple. (Le plus probable), ou sur un niveau de formation avancé. Dans ce dernier cas, en raison de propriétés d'additivité, nous devrions considérer deux intégrales impropres sur des intervalles puis traiter la somme.
Parfois, en raison d'une faute de frappe ou d'une intention, une intégrale inappropriée peut n'existe pas du tout, ainsi, par exemple, si vous mettez la racine carrée de « x » au dénominateur de l'intégrale ci-dessus, alors une partie de l'intervalle d'intégration ne sera pas du tout incluse dans le domaine de définition de l'intégrande.
De plus, l’intégrale impropre peut ne pas exister même avec tout le « bien-être apparent ». Exemple classique : . Malgré le caractère précis et la continuité du cosinus, une telle intégrale impropre n'existe pas ! Pourquoi? C'est très simple car :
- n'existe pas limite appropriée.
Et de tels exemples, bien que rares, existent dans la pratique ! Ainsi, en plus de la convergence et de la divergence, il existe également un troisième résultat de la solution avec une réponse valable : « il n’y a pas d’intégrale impropre ».
Il convient également de noter que la définition stricte d'une intégrale impropre est donnée précisément à travers la limite, et ceux qui le souhaitent peuvent se familiariser avec elle dans la littérature pédagogique. Eh bien, nous continuons la leçon pratique et passons à des tâches plus significatives :
Exemple 3
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Essayons d’abord de trouver la fonction primitive (intégrale indéfinie). Si nous n’y parvenons pas, nous ne pourrons naturellement pas non plus résoudre l’intégrale impropre.
À laquelle des intégrales de table l’intégrande est-elle similaire ? Cela me fait penser à une arctangente : 
. Ces considérations suggèrent qu’il serait bien d’avoir un carré au dénominateur. Cela se fait par remplacement.
Remplaçons :
L'intégrale indéfinie a été trouvée ; dans ce cas, cela n'a aucun sens d'ajouter une constante.
Il est toujours utile de vérifier l'ébauche, c'est-à-dire de différencier le résultat obtenu :
L'intégrande d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale indéfinie a été trouvée correctement.
Nous trouvons maintenant l'intégrale impropre :
(1) On écrit la solution selon la formule 
. Il est préférable de déplacer immédiatement la constante au-delà du signe limite afin qu'elle n'interfère pas avec les calculs ultérieurs.
(2) Nous substituons les limites supérieure et inférieure conformément à la formule de Newton-Leibniz. Pourquoi 
à ? Voir le graphique arctangente dans l'article déjà recommandé.
(3) Nous obtenons la réponse finale. Un fait qu’il est utile de connaître par cœur.
Les étudiants avancés ne peuvent pas trouver l'intégrale indéfinie séparément et ne pas utiliser la méthode de remplacement, mais plutôt utiliser la méthode de substitution de la fonction sous le signe différentiel et résoudre « immédiatement » l'intégrale impropre. Dans ce cas, la solution devrait ressembler à ceci :
“
L'intégrande est continue sur . 
“
Exemple 4
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
! Ceci est un exemple typique, et des intégrales similaires se retrouvent très souvent. Travaillez bien ! La fonction primitive ici est trouvée en utilisant la méthode de sélection d'un carré complet. Plus de détails sur la méthode peuvent être trouvés dans la leçon ; Intégrer certaines fractions.
Exemple 5
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Cette intégrale peut être résolue en détail, c'est-à-dire trouver d'abord l'intégrale indéfinie en effectuant un changement de variable. Ou vous pouvez le résoudre « immédiatement » - en plaçant la fonction sous le signe différentiel. Qui a une formation en mathématiques ?
Solutions complètes et réponses à la fin de la leçon.
Des exemples de solutions aux intégrales impropres avec une limite inférieure d'intégration infinie peuvent être trouvés sur la page Méthodes efficaces pour résoudre des intégrales impropres. Nous y avons également analysé le cas où les deux limites de l'intégration sont infinies.
Intégrales incorrectes de fonctions illimitées
Ou intégrales impropres du deuxième type. Les intégrales impropres du deuxième type sont insidieusement « chiffrées » sous l'intégrale définie habituelle et se ressemblent exactement : Mais, contrairement à l'intégrale définie, l'intégrande souffre d'une discontinuité infinie (n'existe pas) : 1) au point , 2) ou au point , 3) ou aux deux points à la fois, 4) ou même sur le segment d'intégration. Nous examinerons les deux premiers cas ; pour les cas 3 et 4, à la fin de l'article, il y a un lien vers une leçon supplémentaire.
Juste un exemple pour que ce soit clair : . Cela semble être une intégrale définitive. Mais en fait, il s'agit d'une intégrale impropre du deuxième type ; si nous substituons la valeur de la limite inférieure dans l'intégrande, alors notre dénominateur passe à zéro, c'est-à-dire que l'intégrande n'existe tout simplement pas à ce stade !
En général, lors de l'analyse d'une intégrale impropre vous devez toujours remplacer les deux limites d'intégration dans l'intégrande. À cet égard, vérifions la limite supérieure : 
. Tout va bien ici.
Le trapèze curviligne pour le type d'intégrale impropre considéré ressemble fondamentalement à ceci :
Ici, tout est à peu près pareil que dans l'intégrale du premier type.
Notre intégrale est numériquement égale à l'aire du trapèze courbe ombré, qui n'est pas délimitée par le haut. Dans ce cas, il peut y avoir deux options* : l'intégrale impropre diverge (l'aire est infinie) ou l'intégrale impropre est égale à un nombre fini (c'est-à-dire que l'aire d'une figure infinie est finie !).
* par défaut, nous supposons généralement que l'intégrale impropre existe
Il ne reste plus qu'à modifier la formule de Newton-Leibniz. On la modifie aussi à l'aide d'une limite, mais la limite ne tend plus vers l'infini, mais à la valeur de droite. C'est facile à suivre d'après le dessin : le long de l'axe il faut s'approcher du point de rupture à l'infini sur la droite.
Voyons comment cela est mis en œuvre dans la pratique.
Exemple 6
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
L'intégrande présente une discontinuité infinie en un point (n'oubliez pas de vérifier verbalement ou sur un brouillon que tout va bien avec la limite supérieure !)
Tout d’abord, calculons l’intégrale indéfinie : 
Remplacement: 
Si vous rencontrez des difficultés avec le remplacement, veuillez vous référer à la leçon Méthode de substitution en intégrale indéfinie.
Calculons l'intégrale impropre :
(1) Quoi de neuf ici ? Il n’existe pratiquement rien en termes de solutions technologiques. La seule chose qui a changé est l'entrée sous l'icône de limite : . L'addition signifie que nous recherchons la valeur de droite (ce qui est logique - voir le graphique). Une telle limite dans la théorie des limites est appelée limite unilatérale. Dans ce cas nous avons limite à droite.
(2) Nous substituons les limites supérieure et inférieure en utilisant la formule de Newton-Leibniz.
(3) Parlons de . Comment déterminer où va une expression ? En gros, il vous suffit d'y substituer la valeur, de remplacer les trois quarts et d'indiquer que . Passons au peigne fin la réponse.
Dans ce cas, l’intégrale impropre est égale à un nombre négatif. Il n'y a pas de crime là-dedans, seul le trapèze incurvé correspondant est situé sous l'axe.
Et maintenant deux exemples de solutions indépendantes.
Exemple 7
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Exemple 8
Calculez l'intégrale impropre ou établissez sa divergence.
Si l'intégrande n'existe pas au point
Un trapèze courbé infini pour une intégrale aussi impropre ressemble fondamentalement à ceci.
2Intégrales impropres du premier type sont appelées intégrales de la forme L'intégrande est supposée continue sur toute la section d'intégration.
2 Si la limite existe et est finie, alors on dit que l'intégrale impropre converge et est égale à
Les intégrales et sont définies de la même manière :
(8.21)
Où UN– n’importe quel nombre réel. De plus, ils disent de la dernière intégrale qu’elle converge si et seulement si ses deux intégrales constitutives convergent.
Problème 8.10.
Solution.
L’intégrale diverge donc.
Problème 8.11. Calculez l’intégrale impropre.
Solution.
Cette intégrale converge.
2 Intégrales impropres du deuxième type sont appelées intégrales de la forme : , où l'intégrande est F(X) a des discontinuités infinies sur le segment fini [ un; b]. Les intégrales impropres du deuxième type sont définies différemment, selon la localisation des points de discontinuité sur l'intervalle [ un; b].
1) Supposons que la fonction F(X) a une discontinuité infinie en un point interne du domaine d'intégration ( cÎ( un; b)) Aux autres points du segment [ un; b] la fonction est supposée continue.
Alors, si les limites et existent et sont finies, alors on dit que l'intégrale converge et est égale à
. (8.22)
2) Soit le seul point de discontinuité de la fonction F(X) coïncide avec le point UN
. (8.23)
3) Soit le seul point de discontinuité de la fonction F(X) coïncide avec le point b. Alors, si la limite existe et est finie, alors on dit que l'intégrale converge et est égale à
. (8.24)
On suppose partout que e > 0 et d > 0.
Problème 8.12. Calculez l’intégrale impropre.
Solution. X= 2. Par conséquent,
Problème 8.13. Calculez l’intégrale impropre.
Solution. L'intégrande a une discontinuité du deuxième type au point X= 0 (dans la région d'intégration). Ainsi,
La première limite existe et est finie, mais la deuxième limite est égale à l'infini (at). Cette intégrale diverge donc.
Chapitre 9. Fonctions de plusieurs variables
§9.1. Définition n-Espace euclidien dimensionnel Rn.
Avant de passer à l’étude des fonctions de nombreuses variables, il est utile d’introduire le concept n-espace dimensionnel pour tout n = 1, 2, 3,… .
2 points xn-l'espace dimensionnel (vecteur) est une collection ordonnée n nombres réels.
Le numéro est appelé jeème coordonnée du vecteur.
2 Distance entre deux points n-espace dimensionnel et est déterminé par la formule :
Distance d'un point à un autre X appelé module du vecteur X et est désigné . De la formule (9.1) il résulte que .
DANS n-espace dimensionnel, la notion de produit scalaire est naturellement introduite :
Angle entre les vecteurs X Et oui peut être déterminé par la formule :
Comme auparavant, les vecteurs X Et oui sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul.
2Ensemble de tous les points n-espace dimensionnel dans lequel la distance est définie selon la formule (9.1) et le produit scalaire est appelé n-espace vectoriel euclidien dimensionnel et est noté .
Quand n= 1 l'espace coïncide avec la ligne, dans le cas n= 2 – avec un avion, et dans le cas n= 3 – avec espace.
2 Soit et . L’ensemble de tous les points tels que , est appelé n-balle mesurée avec le centre au point X ou e-quartier du point X dans l'espace et est noté .
Sous forme de coordonnées, cette définition ressemble à ceci :
Dans le cas d'une ligne directe, c'est-à-dire à n= 1, le voisinage du point est un intervalle centré au point du rayon e. Dans le cas d'un avion, c'est-à-dire à n= 2, le voisinage du point est un cercle ouvert dont le centre est au rayon du point e. Dans le cas de l'espace, c'est-à-dire à n= 3 le voisinage du point est une boule ouverte centrée au point du rayon e.
§9.2. Le domaine de définition d'une fonction de plusieurs variables. Continuité
2 Fonction n variables est une règle (loi) selon laquelle chaque ensemble constitué de n variables tirées d'une certaine zone Dn-espace dimensionnel, est attribué à un seul nombre z. Dans le cas le plus simple.
2 Une fonction de 2 variables est une règle (loi) selon laquelle chaque point M(X; oui), appartenant à une zone D avion xOy, correspond au nombre singulier z.
De nombreux points dans l'espace avec des coordonnées forment une certaine surface (Fig. 9.1), s'élevant au-dessus de la zone D(signification géométrique d'une fonction de deux variables).
2 Zone D, pour lequel la correspondance ci-dessus est construite, est appelé le domaine de définition de la fonction.
Problème 9.1. Trouver le domaine d'une fonction
Solution. Le domaine de définition requis est un ensemble de points sur le plan xOy, satisfaisant le système d’inégalités. Inégalités et changent de signe à l'opposé (respectivement) lorsque les droites suivantes se croisent : X = oui Et X = 0, oui= 0. Ces lignes divisent le plan xOy pour 6 régions. De manière cohérente, en substituant des points arbitraires de chaque domaine dans le système, nous sommes convaincus que l'union des domaines (1) et (3) est le domaine de définition de la fonction originale. En plus c'est direct X = oui, à l'exception du point (0 ; 0), est inclus dans le domaine de définition, et les droites X= 0, et oui= 0 – non inclus (Fig. 9.2).
2 La fermeture d'une région est un ensemble de points dans l'espace, dont tout voisinage de chacun contient des points de la région D.
Laissez, par exemple, D– une zone ouverte (la bordure n'est pas incluse) dans l'avion xOy. Alors la fermeture de la région sera obtenue si à la région D attacher sa bordure g .
2 Laisser entrer dans une zone D avion xOy la fonction est donnée, et soit un point de fermeture de la région D(). Nombre UN est appelée la limite de la fonction au point M 0 si pour n'importe quel nombre e> 0 il existe un tel nombre δ > 0, qui pour tous les points autres que le point M 0 et à moins d'une distance de celui-ci δ , l'inégalité est satisfaite.
2 Une fonction est dite continue en un point si elle est définie en ce point () et que l'égalité est vérifiée.
§9.3. Lignes de niveau d'une fonction de deux variables
2 lignes dans un avion xOy, donné par les équations , où AVEC– une constante arbitraire, appelée lignes de niveau de fonction.
Les lignes de niveau sont les lignes d'intersection d'une surface, d'une fonction donnée et d'un plan. z = C, parallèle au plan xOy. À l'aide de lignes de niveau, vous pouvez étudier la forme de la surface spécifiée par la fonction.
Exemple 9.2. Trouvez les lignes de niveau et déterminez la forme de la surface donnée par l'équation.
Les équations des lignes de niveau dans ce cas ont la forme . En C< 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy). À C= 0 un seul point satisfait l'équation de la ligne de niveau X = 0, oui= 0 (avec avion xOy la surface ne se coupe qu'à l'origine des coordonnées). À C> Les lignes de niveau 0 sont des ellipses, avec des demi-axes et . Lignes de niveau correspondant à différentes valeurs AVEC, montré sur la fig. 9.3. La surface définie par l'équation est appelée un paraboloïde elliptique (Fig. 9.4).
§9.4. Dérivées partielles du premier ordre
Laisser entrer dans une zone D avion xOy la fonction est donnée et correspond à un certain point dans la région D.
X
, (9.2)
2 Dérivée partielle d'une fonction en un point par rapport à une variable oui(noté par ou ) appelé
, (9.3)
si cette limite existe et est finie.
2 Fonction dérivée partielle n variables à un point par variable x je appelé
, (9.4)
si cette limite existe et est finie.
Comme le montrent les formules (9.2) – (9.4), les dérivées partielles sont déterminées de la même manière que la dérivée d'une fonction d'une variable a été déterminée. Lors du calcul de la limite, une seule des variables reçoit un incrément ; les variables restantes ne reçoivent pas d'incréments et restent constantes. Par conséquent, les dérivées partielles peuvent être calculées en utilisant les mêmes règles que les dérivées ordinaires, en traitant toutes les variables libres (sauf celle par laquelle la différenciation est effectuée) comme des constantes.
Problème 9.3. Trouver les dérivées partielles d'une fonction
Solution. .
Problème 9.4. Trouver les dérivées partielles d'une fonction.
Solution. Lors de la différenciation d'une fonction donnée par rapport à une variable X nous utilisons la règle pour différencier une fonction puissance et pour trouver la dérivée partielle par rapport à une variable oui– la règle de différenciation de la fonction exponentielle :
Problème 9.5. Calculez les dérivées partielles de la fonction en ce point.
Solution. En appliquant la règle de différenciation d'une fonction complexe, on trouve les dérivées partielles
Substitution des coordonnées du point en dérivées partielles M, on a
§9.5. Dégradé d'une fonction de plusieurs variables.
Dérivée directionnelle
2 Le gradient d'une fonction en un point est un vecteur composé des dérivées partielles d'une fonction donnée calculées en un point donné :
2 La dérivée d'une fonction en un point dans la direction du vecteur est la projection du vecteur gradient de cette fonction calculé en ce point M 0 , dans cette direction
En calculant la projection d'un vecteur sur un vecteur selon la formule (2.6), on obtient
. (9.7)
Remarquant que là où un– l'angle que fait le vecteur avec l'axe BŒUF, on obtient une autre formule pour calculer la dérivée par rapport à la direction du vecteur
Problème 9.6. Trouver le gradient d'une fonction en un point M 0 (4 ; 2) et la dérivée par rapport à la direction du vecteur
Solution. Trouvons les dérivées partielles
Calculons les valeurs des dérivées partielles au point M 0:
Dégradé d'une fonction en un point M 0 sera trouvé en utilisant la formule (9.5) :
Problème 9.7.À ce point M 0 (0 ; 1) calculer la dérivée de la fonction dans la direction de la bissectrice du deuxième angle de coordonnées.
Solution. Trouvons les dérivées partielles de la fonction :
Calculons les valeurs des dérivées partielles et le gradient de la fonction au point M 0:
Dérivée d'une fonction en un point M 0 dans la direction de la bissectrice du deuxième angle de coordonnées (cette direction est avec l'axe BŒUF coin un= 135°) peut être trouvé à l'aide de la formule (9.8) :
§9.6. Différentielle d'une fonction de plusieurs variables
et son application aux calculs approximatifs
1 Si en un point une fonction a des dérivées partielles continues et , alors son incrément total lors du déplacement du point M 0 en un point peut être représenté comme suit :
, (9.9)
où à , .
2 L'expression est appelée différentielle totale de la fonction en ce point.
De la formule (9.9), il s'ensuit que la différentielle de la fonction est la partie linéaire principale de l'incrément total de la fonction. Pour un D suffisamment petit X et D oui l'expression est nettement inférieure au différentiel et peut être négligée. On arrive ainsi à la formule approximative suivante :
. (9.10)
Commentaire. La formule (9.10) peut être utilisée pour calculer approximativement les valeurs des fonctions uniquement à des points suffisamment proches du point . Plus la valeur est petite, plus la valeur trouvée à l'aide de la formule (9.9) est précise.
Exemple 9.8. Calculez approximativement en utilisant le différentiel.
Considérons la fonction. Besoin de calculer la valeur z 1 de cette fonction au point ( X 1 ; oui 1) = (0,09 ; 6,95). Utilisons la formule approchée (9.9), en choisissant le point (0 ; 7) comme point. Puis D X = X 1 – X 0 = 0,09 – 0 = 0,09, D oui =oui 1 – oui 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.
Ainsi,
§9.7. Dérivées partielles d'ordre supérieur
Laisser entrer dans la région D on donne une fonction qui a des dérivées partielles continues et dans ce domaine. Ainsi, dans la zone D nous avons obtenu deux nouvelles fonctions continues de deux variables et . Si à un moment donné dans la région D fonctions et ont des dérivées partielles à la fois par rapport à la variable X, et par changement oui, alors ces dérivées sont appelées dérivées du second ordre de la fonction. Ils sont désignés comme suit :
1 Si à un moment donné dans la zone D la fonction a des dérivées mixtes continues et , alors au point ces dérivées sont égales : . D, les conditions suivantes doivent être remplies : D = 32 – 9 = 23.
Puisque le discriminant est supérieur à zéro, alors au point M la fonction a un extremum. A savoir un minimum local, puisque UN Et AVEC Au dessus de zéro. Où
