DÉFINITION

Logarithme décimal appelé le logarithme en base 10 :

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Ce logarithme est la solution équation exponentielle. Parfois (en particulier dans la littérature étrangère), le logarithme décimal est également désigné par , bien que les deux premières désignations soient également inhérentes au logarithme naturel.

Premiers tableaux logarithmes décimaux ont été publiés par le mathématicien anglais Henry Briggs (1561-1630) en 1617 (c'est pourquoi les scientifiques étrangers appellent souvent encore les logarithmes décimaux Briggs), mais ces tableaux contenaient des erreurs. Basé sur les tables (1783) du mathématicien slovène et autrichien Georg Barthalomew Vega (Juri Veha ou Vehovec, 1754-1802), l'astronome et géomètre allemand Karl Bremiker (1804-1877) publia en 1857 la première édition sans erreur. Avec la participation du mathématicien et professeur russe Léonty Filippovitch Magnitski (Telyatin ou Telyashin, 1669-1739), les premiers tableaux de logarithmes furent publiés en Russie en 1703. Les logarithmes décimaux étaient largement utilisés pour les calculs.

Propriétés des logarithmes décimaux

Ce logarithme possède toutes les propriétés inhérentes à un logarithme à base arbitraire :

1. Identité logarithmique de base :

5. .

7. Transition vers une nouvelle base :

La fonction logarithme décimal est une fonction. Le graphique de cette courbe est souvent appelé logarithmique.

Propriétés de la fonction y=lg x

1) Portée de la définition : .

2) Significations multiples : .

3) Fonction générale.

4) La fonction est non périodique.

5) Le graphique de la fonction coupe l'axe des x au point .

6) Intervalles de constance du signe : title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} que pour .

Nous avons donc des puissances de deux. Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devrez relancer deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatrième. Et pour obtenir 64, il faut élever deux à la puissance sixième. Cela peut être vu sur le tableau.

Et maintenant, en fait, la définition du logarithme :

La base a du logarithme de x est la puissance à laquelle a doit être élevé pour obtenir x.

Notation : log a x = b, où a est la base, x est l'argument, b est ce à quoi le logarithme est réellement égal.

Par exemple, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Avec le même succès, log 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.

L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre selon une base donnée est appelée logarithmisation. Alors, ajoutons une nouvelle ligne à notre tableau :

Malheureusement, tous les logarithmes ne se calculent pas aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le log 2 5. Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur l'intervalle. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits à l'infini et ils ne sont jamais répétés. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Il est important de comprendre qu’un logarithme est une expression à deux variables (la base et l’argument). Beaucoup de gens confondent au début où se trouve la base et où se trouve l’argument. Éviter des malentendus gênants, il suffit de regarder la photo :

[Légende de la photo]

Nous n’avons devant nous rien d’autre que la définition d’un logarithme. Souviens-toi: le logarithme est une puissance, dans lequel la base doit être construite pour obtenir un argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - elle est surlignée en rouge sur la photo. Il s'avère que la base est toujours en bas ! J'enseigne cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et aucune confusion ne surgit.

Nous avons trouvé la définition - il ne reste plus qu'à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du panneau « journal ». Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :

1. L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition du diplôme indicateur rationnel, auquel se résume la définition d'un logarithme.
2. La base doit être différente de l'unité, puisque l'unité reste une à quelque degré que ce soit. De ce fait, la question « à quel pouvoir faut-il être élevé pour en obtenir deux » n’a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !

De telles restrictions sont appelées région valeurs acceptables (ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Notez qu'il n'y a aucune restriction sur le nombre b (la valeur du logarithme). Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1.

Cependant, nous considérons maintenant uniquement expressions numériques, où il n'est pas nécessaire de connaître le CVD du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les auteurs des tâches. Mais quand ils partent équations logarithmiques et les inégalités, les exigences du DHS deviendront obligatoires. Après tout, la base et l’argumentation peuvent contenir des constructions très fortes qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.

Examinons maintenant le schéma général de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :

1. Exprimez la base a et l'argument x sous la forme d'une puissance avec la base minimale possible supérieure à un. En chemin, il vaut mieux se débarrasser des décimales ;
2. Résolvez l'équation de la variable b : x = a b ;
3. Le nombre résultant b sera la réponse.

C'est tout! Si le logarithme s’avère irrationnel, cela sera visible dès la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très importante : cela réduit le risque d'erreur et simplifie grandement les calculs. C’est la même chose avec les fractions décimales : si vous les convertissez immédiatement en fractions ordinaires, il y aura beaucoup moins d’erreurs.

Voyons comment ce schéma fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :

Tâche. Calculez le logarithme : log 5 25

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 2.

Tâche. Calculez le logarithme :

[Légende de la photo]

Tâche. Calculez le logarithme : log 4 64

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 3.

Tâche. Calculez le logarithme : log 16 1

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 0.

Tâche. Calculez le logarithme : log 7 14

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 ne peut pas être représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme ne compte pas ;
3. La réponse est aucun changement : log 7 14.

Une petite note sur le dernier exemple. Comment être sûr qu’un nombre n’est pas la puissance exacte d’un autre nombre ? C'est très simple : il suffit de le prendre en compte en facteurs premiers. Et si de tels facteurs ne peuvent pas être regroupés en puissances ayant les mêmes exposants, alors le nombre d’origine n’est pas une puissance exacte.

Tâche. Découvrez si les nombres sont des puissances exactes : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas une puissance exacte, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois, ce n'est pas une puissance exacte ;
14 = 7 · 2 - encore une fois, ce n'est pas un degré exact ;

Notons également que nous-mêmes nombres premiers sont toujours des degrés exacts d'eux-mêmes.

Logarithme décimal

Certains logarithmes sont si courants qu’ils portent un nom et un symbole spéciaux.

Le logarithme décimal de x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire La puissance à laquelle il faut élever le nombre 10 pour obtenir le nombre x. Désignation : LG X.

Par exemple, log 10 = 1 ; journal 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.

Désormais, lorsqu'une phrase telle que « Find lg 0.01 » apparaît dans un manuel, sachez qu'il ne s'agit pas d'une faute de frappe. Il s'agit d'un logarithme décimal. Cependant, si vous n’êtes pas familier avec cette notation, vous pouvez toujours la réécrire :
journal x = journal 10 x

Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires l’est également pour les logarithmes décimaux.

Un algorithme naturel

Il existe un autre logarithme qui a sa propre désignation. À certains égards, c'est encore plus important que le nombre décimal. Il s'agit deà propos du logarithme népérien.

Le logarithme népérien de x est le logarithme en base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre e doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : ln x .

Beaucoup se demanderont : quel est le nombre e ? Il s’agit d’un nombre irrationnel ; sa valeur exacte ne peut être trouvée ni écrite. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459...

Nous n’entrerons pas dans les détails de ce qu’est ce numéro et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme népérien :
ln x = log e x

Ainsi ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. En revanche, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel irrationnel. Sauf bien sûr un : ln 1 = 0.

Pour logarithmes naturels toutes les règles vraies pour les logarithmes ordinaires sont valables.

Ils prennent souvent le chiffre dix. Les logarithmes de nombres basés sur dix sont appelés décimal. Lors de calculs avec le logarithme décimal, il est courant d'opérer avec le signe LG, mais non enregistrer; dans ce cas, le nombre dix, qui définit la base, n'est pas indiqué. Alors remplaçons journal 10 105 simplifier lg105; UN journal 10 2 sur lg2.

Pour logarithmes décimaux les mêmes caractéristiques que les logarithmes avec une base supérieure à un sont typiques. À savoir, les logarithmes décimaux sont caractérisés exclusivement pour les nombres positifs. Les logarithmes décimaux des nombres supérieurs à un sont positifs, et ceux des nombres inférieurs à un sont négatifs ; de deux nombres non négatifs, le plus grand équivaut au plus grand logarithme décimal, etc. De plus, les logarithmes décimaux ont caractéristiques distinctives et des caractéristiques particulières qui expliquent pourquoi il est confortable de préférer le nombre dix comme base des logarithmes.

Avant d’examiner ces propriétés, familiarisons-nous avec les formulations suivantes.

Partie entière du logarithme décimal d'un nombre UN est appelé caractéristique, et le fractionnaire est mantisse ce logarithme.

Caractéristiques du logarithme décimal d'un nombre UN est indiqué par , et la mantisse par (lg UN}.

Prenons, disons, log 2 ≈ 0,3010. Par conséquent = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

De même pour log 543,1 ≈2,7349. En conséquence, = 2, (log 543,1)≈ 0,7349.

Le calcul de logarithmes décimaux de nombres positifs à partir de tableaux est largement utilisé.

Caractéristiques caractéristiques des logarithmes décimaux.

Le premier signe du logarithme décimal. pas un tout nombre négatif, représenté par un un suivi de zéros, est un entier positif égal au nombre de zéros dans l'entrée du nombre sélectionné .

Prenons log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

D'une manière générale, si

Que UN= 10n , d'où on obtient

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P..

Deuxième signe. Le logarithme de dix d'une décimale positive, représenté par un un avec des zéros non significatifs, est - P., Où P.- le nombre de zéros dans la représentation de ce nombre, en tenant compte des entiers nuls.

Considérons , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.

D'une manière générale, si

,

Que un= 10-n et il s'avère

lga = lg 10n =-n journal 10 =-n

Troisième signe. Caractéristique du logarithme décimal d'un nombre non négatif, supérieur à un, est égal au nombre de chiffres de la partie entière de ce nombre sauf un.

Analysons cette caractéristique : 1) La caractéristique du logarithme lg 75.631 est égale à 1.

En effet, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

LG 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Cela implique,

log 75,631 = 1 +b,

Virgule décalée en décimalà droite ou à gauche équivaut à l'opération consistant à multiplier cette fraction par une puissance de dix avec un exposant entier P.(positif ou négatif). Et par conséquent, lorsque la virgule décimale d'une fraction décimale positive est décalée vers la gauche ou la droite, la mantisse du logarithme décimal de cette fraction ne change pas.

Donc, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).