Comment représenter graphiquement la fonction y=sin x ? Tout d’abord, regardons le graphique sinusoïdal de l’intervalle.

Nous prenons un seul segment de 2 cellules de long dans le cahier. Sur l'axe Oy, nous en marquons un.

Pour plus de commodité, nous arrondissons le nombre π/2 à 1,5 (et non à 1,6, comme l'exigent les règles d'arrondi). Dans ce cas, un segment de longueur π/2 correspond à 3 cellules.

Sur l'axe Ox, nous marquons non pas des segments isolés, mais des segments de longueur π/2 (toutes les 3 cellules). En conséquence, un segment de longueur π correspond à 6 cellules, et un segment de longueur π/6 correspond à 1 cellule.

Avec ce choix de segment unitaire, le graphique représenté sur une feuille de cahier dans un encadré correspond autant que possible au graphique de la fonction y=sin x.

Faisons un tableau des valeurs sinusoïdales sur l'intervalle :

Nous marquons les points résultants sur le plan de coordonnées :

Puisque y=sin x est une fonction impaire, le graphique sinusoïdal est symétrique par rapport au point origine O(0;0). En tenant compte de ce fait, continuons à tracer le graphique vers la gauche, puis les points -π :

La fonction y=sin x est périodique de période T=2π. Ainsi, le graphique d'une fonction prise sur l'intervalle [-π;π] est répété un nombre infini de fois à droite et à gauche.

GRAPHIQUES DES FONCTIONS

Fonction sinusoïdale

- un tas de R. tous des nombres réels.

Valeurs de fonctions multiples— segment [-1 ; 1], c'est-à-dire fonction sinusoïdale - limité.

Fonction étrange : sin(−x)=−sin x pour tout x ∈ R..

La fonction est périodique

sin(x+2π k) = sin x, où k ∈ Z pour tout x ∈ R..

péché x = 0 pour x = π·k, k ∈ Z.

péché x > 0(positif) pour tout x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

péché x< 0 (négatif) pour tout x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Fonction cosinus

Domaine de fonction- un tas de R. tous des nombres réels.

Valeurs de fonctions multiples— segment [-1 ; 1], c'est-à-dire fonction cosinus - limité.

Même fonction : cos(−x)=cos x pour tout x ∈ R..

La fonction est périodique avec la plus petite période positive 2π :

cos(x+2π k) = cos x, où k ∈ Z pour tout x ∈ R..

cosx = 0à
cosx > 0 pour tous
parce que x< 0 pour tous
La fonction augmente de −1 à 1 sur intervalles :
La fonction diminue de −1 à 1 sur intervalles :
La plus grande valeur de la fonction sin x = 1 aux points :
La plus petite valeur de la fonction sin x = −1 aux points :

Fonction tangente

Valeurs de fonctions multiples— la droite numérique entière, c'est-à-dire tangente - fonction illimité.

Fonction étrange : tg(−x)=−tgx
Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe OY.

La fonction est périodique avec la plus petite période positive π, c'est-à-dire tg(x+π k) = bronzage x, k ∈ Z pour tout x du domaine de définition.

Fonction cotangente

Valeurs de fonctions multiples— la droite numérique entière, c'est-à-dire cotangente - fonction illimité.

Fonction étrange : ctg(−x)=−ctg x pour tout x du domaine de définition.
Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe OY.

La fonction est périodique avec la plus petite période positive π, c'est-à-dire cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z pour tout x du domaine de définition.

Fonction arc sinus

Domaine de fonction— segment [-1 ; 1]

Valeurs de fonctions multiples- segment -π /2 arcsin x π /2, c'est-à-dire arc sinus - fonction limité.

Fonction étrange : arcsin(−x)=−arcsin x pour tout x ∈ R..
Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine.

Dans toute la zone de définition.

Fonction arc cosinus

Domaine de fonction— segment [-1 ; 1]

Valeurs de fonctions multiples— segment 0 arccos x π, c'est-à-dire arccosinus - fonction limité.

La fonction augmente sur toute la zone de définition.

Fonction arctangente

Domaine de fonction- un tas de R. tous des nombres réels.

Valeurs de fonctions multiples— segment 0 π, c'est-à-dire arctangente - fonction limité.

Fonction étrange : arctg(−x)=−arctg x pour tout x ∈ R..
Le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine.

La fonction augmente sur toute la zone de définition.

Fonction arc tangente

Domaine de fonction- un tas de R. tous des nombres réels.

Valeurs de fonctions multiples— segment 0 π, c'est-à-dire arccotangente - fonction limité.

La fonction n'est ni paire ni impaire.
Le graphique de la fonction n'est asymétrique ni par rapport à l'origine ni par rapport à l'axe Oy.

La fonction diminue sur toute la zone de définition.

Centré en un point UN.
α - angle exprimé en radians.

Définition
Sinus (sin α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la jambe triangle rectangle, égal au rapport longueur du côté opposé |BC| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Cosinus (cos α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Notations acceptées

;
;
.

;
;
.

Graphique de la fonction sinus, y = sin x

Graphique de la fonction cosinus, y = cos x

Propriétés du sinus et du cosinus

Périodicité

Fonctions y = péché x et y = parce que x périodique avec période 2π.

Parité

La fonction sinusoïdale est étrange. La fonction cosinus est paire.

Domaine de définition et valeurs, extrema, augmentation, diminution

Les fonctions sinus et cosinus sont continues dans leur domaine de définition, c'est-à-dire pour tout x (voir preuve de continuité). Leurs principales propriétés sont présentées dans le tableau (n - entier).

	y = péché x	y = parce que x
Portée et continuité	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
En augmentant
Descendant
Maxima, y ​​​​= 1
Minima, y ​​​​= - 1
Des zéros, y = 0
Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0	y = 0	y = 1

Formules de base

Somme des carrés du sinus et du cosinus

Formules pour le sinus et le cosinus à partir de la somme et de la différence

;
;

Formules pour le produit des sinus et des cosinus

Formules de somme et de différence

Exprimer le sinus par le cosinus

;
;
;
.

Exprimer le cosinus par le sinus

;
;
;
.

Expression par tangente

; .

Quand nous avons:
; .

À :
; .

Tableau des sinus et cosinus, tangentes et cotangentes

Ce tableau montre les valeurs des sinus et des cosinus pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions via des variables complexes

;

La formule d'Euler

Expressions via des fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; . Formules dérivées > > >

Dérivées du nième ordre :
{ -∞ < x < +∞ }

Sécant, cosécant

Fonctions inverses

Fonctions inverses au sinus et au cosinus sont respectivement l'arc sinus et l'arc cosinus.

Arc sinus, arc sinus

Arccosinus, arccos

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

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Le fer rouille sans trouver aucune utilité,
eau plate pourrit ou gèle au froid,
et l’esprit d’une personne, ne trouvant aucune utilité, languit.
Léonard de Vinci

Technologies utilisées : apprentissage par problèmes, pensée critique, communication communicative.

Objectifs:

• Développement intérêt cognitifà l'apprentissage.
• Étudier les propriétés de la fonction y = sin x.
• Formation de compétences pratiques dans la construction d'un graphique de la fonction y = sin x sur la base du matériel théorique étudié.

Tâches:

1. Utiliser le potentiel existant de connaissances sur les propriétés de la fonction y = sin x dans des situations spécifiques.

2. Appliquer l'établissement conscient de liens entre les modèles analytiques et géométriques de la fonction y = sin x.

Développer l’initiative, une certaine volonté et intérêt à trouver une solution ; la capacité de prendre des décisions, de ne pas s'arrêter là et de défendre son point de vue.

Favoriser chez les élèves l'activité cognitive, le sens des responsabilités, le respect mutuel, la compréhension mutuelle, le soutien mutuel et la confiance en soi ; culture de la communication.

Pendant les cours

Étape 1. Mettre à jour les connaissances de base, motiver l'apprentissage de nouveaux matériaux

"Entrer dans la leçon."

Il y a 3 déclarations écrites au tableau :

1. L'équation trigonométrique sin t = a a toujours des solutions.
2. Calendrier fonction impaire peut être construit en utilisant une transformation de symétrie autour de l'axe Oy.
3. Une fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant une demi-onde principale.

Les élèves discutent en binôme : les affirmations sont-elles vraies ? (1 minute). Les résultats de la première discussion (oui, non) sont ensuite inscrits dans le tableau de la colonne « Avant ».

L'enseignant fixe les buts et objectifs de la leçon.

2. Actualisation des connaissances (frontalement sur un modèle de cercle trigonométrique).

Nous avons déjà fait connaissance avec la fonction s = sin t.

1) Quelles valeurs la variable t peut-elle prendre. Quelle est la portée de cette fonction ?

2) Dans quel intervalle les valeurs de l'expression sin t sont-elles contenues ? Trouvez les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction s = sin t.

3) Résolvez l’équation sin t = 0.

4) Qu'arrive-t-il à l'ordonnée d'un point lorsqu'il se déplace le long du premier quart ? (l'ordonnée augmente). Qu’arrive-t-il à l’ordonnée d’un point lorsqu’il se déplace le long du deuxième quart ? (l'ordonnée diminue progressivement). Quel est le rapport avec la monotonie de la fonction ? (la fonction s = sin t augmente sur le segment et diminue sur le segment ).

5) Écrivons la fonction s = sin t sous la forme qui nous est familière y = sin x (nous la construirons dans le système de coordonnées xOy habituel) et compilons un tableau des valeurs de cette fonction.

X	0
à	0			1			0

Étape 2. Perception, compréhension, consolidation primaire, mémorisation involontaire

Étape 4. Systématisation primaire connaissances et méthodes d'activité, leur transfert et leur application dans des situations nouvelles

6. N° 10.18 (b, c)

Étape 5. Contrôle final, correction, évaluation et auto-évaluation

7. Nous revenons aux énoncés (début de la leçon), discutons de l'utilisation des propriétés de la fonction trigonométrique y = sin x et remplissons la colonne « Après » du tableau.

8. D/z : clause 10, n° 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Nous avons constaté ce comportement fonctions trigonométriques, et fonctions y = péché x en particulier, sur toute la droite numérique (ou pour toutes les valeurs de l'argument X) est entièrement déterminé par son comportement dans l'intervalle 0 < X < π / 2 .

Nous allons donc tout d’abord tracer la fonction y = péché x exactement dans cet intervalle.

Faisons le tableau suivant des valeurs de notre fonction ;

En marquant les points correspondants sur le plan de coordonnées et en les reliant par une ligne lisse, on obtient la courbe représentée sur la figure

La courbe résultante pourrait également être construite géométriquement, sans établir de tableau de valeurs de fonction. y = péché x .

1. Divisez le premier quart d'un cercle de rayon 1 en 8 parties égales. Les ordonnées des points de division du cercle sont les sinus des angles correspondants.

2.Le premier quart du cercle correspond aux angles de 0 à π / 2 . Donc sur l’axe X Prenons un segment et divisons-le en 8 parties égales.

3. Traçons des lignes droites parallèles aux axes X, et à partir des points de division, nous construisons des perpendiculaires jusqu'à ce qu'elles croisent des lignes horizontales.

4. Reliez les points d'intersection avec une ligne lisse.

Regardons maintenant l'intervalle π / 2 < X < π .
Chaque valeur d'argument X de cet intervalle peut être représenté comme

X = π / 2 + φ

Où 0 < φ < π / 2 . Selon les formules de réduction

péché ( π / 2 + φ ) = cos φ = péché( π / 2 - φ ).

Points d'axe X avec abscisses π / 2 + φ Et π / 2 - φ symétriques l'un par rapport à l'autre par rapport au point de l'axe X en abscisse π / 2 , et les sinus en ces points sont les mêmes. Cela nous permet d'obtenir un graphique de la fonction y = péché x dans l'intervalle [ π / 2 , π ] en affichant simplement symétriquement le graphique de cette fonction dans l'intervalle par rapport à la droite X = π / 2 .

J'utilise maintenant la propriété fonction de parité impaire y = péché x,

péché(- X) = - péché X,

il est facile de tracer cette fonction dans l'intervalle [- π , 0].

La fonction y = sin x est périodique de période 2π ;. Par conséquent, pour construire l'intégralité du graphique de cette fonction, il suffit de continuer périodiquement la courbe montrée sur la figure à gauche et à droite avec un point 2π .

La courbe résultante est appelée sinusoïde . Il représente le graphique de la fonction y = péché x.

La figure illustre bien toutes les propriétés de la fonction y = péché x , ce que nous avons déjà prouvé. Rappelons ces propriétés.

1) Fonction y = péché x défini pour toutes les valeurs X , donc son domaine est l'ensemble de tous les nombres réels.

2) Fonction y = péché x limité. Toutes les valeurs qu'il accepte sont comprises entre -1 et 1, y compris ces deux nombres. Par conséquent, la plage de variation de cette fonction est déterminée par l'inégalité -1 < à < 1. Quand X = π / 2 + 2k π la fonction prend valeurs les plus élevées, égal à 1, et pour x = - π / 2 + 2k π - plus petites valeurs, égal à - 1.

3) Fonction y = péché x est étrange (la sinusoïde est symétrique par rapport à l'origine).

4) Fonction y = péché x périodique avec période 2 π .

5) À 2n intervalles π < X < π + 2n π (n est n'importe quel nombre entier) il est positif, et par intervalles π + 2k π < X < 2π + 2k π (k est n'importe quel entier), il est négatif. À x = k π la fonction passe à zéro. Par conséquent, ces valeurs de l'argument x (0 ; ± π ; ±2 π ; ...) sont appelés zéros de fonction y = péché x

6) À intervalles - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π fonction y = péché X augmente de façon monotone et par intervalles π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π il diminue de façon monotone.

Vous devez accorder une attention particulière au comportement de la fonction y = péché x près du point X = 0 .

Par exemple, sin 0,012 ≈ 0,012 ; péché(-0,05) ≈ -0,05;

péché 2° = péché π 2 / 180 = péché π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Dans le même temps, il convient de noter que pour toute valeur de x

| péché X| < | X | . (1)

En effet, soit le rayon du cercle représenté sur la figure égal à 1,
un / AOB = X.

Alors le péché X= CA. Mais ca< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. La longueur de cet arc est évidemment égale à X, puisque le rayon du cercle est 1. Donc, à 0< X < π / 2

péché x< х.

Par conséquent, en raison de l’étrangeté de la fonction y = péché x il est facile de montrer que lorsque - π / 2 < X < 0

| péché X| < | X | .

Enfin, quand X = 0

| péché x | = | x |.

Ainsi, pour | X | < π / 2 l’inégalité (1) a été prouvée. En fait, cette inégalité est également vraie pour | X | > π / 2 en raison du fait que | péché X | < 1, un π / 2 > 1

Des exercices

1.Selon le graphique de la fonction y = péché x déterminer : a) péché 2 ; b) péché 4 ; c) péché (-3).

2.Selon le graphique de fonction y = péché x déterminer quel nombre de l'intervalle
[ - π / 2 , π / 2 ] a un sinus égal à : a) 0,6 ; b) -0,8.

3. Selon le graphique de la fonction y = péché x déterminer quels nombres ont un sinus,
égal à 1/2.

4. Trouver approximativement (sans utiliser de tableaux) : a) sin 1° ; b) péché 0,03 ;
c) péché (-0,015) ; d) péché (-2°30").