La construction de graphiques de fonctions contenant des modules pose généralement des difficultés considérables aux écoliers. Cependant, tout n'est pas si mal. Il suffit de mémoriser quelques algorithmes pour résoudre de tels problèmes et vous pouvez facilement créer un graphique de la fonction, même la plus apparemment complexe. Voyons de quel type d'algorithmes il s'agit.
1. Tracer un graphique de la fonction y = |f(x)|
Notez que l'ensemble des valeurs de fonction y = |f(x)| : y ≥ 0. Ainsi, les graphiques de telles fonctions sont toujours entièrement situés dans le demi-plan supérieur.
Tracer un graphique de la fonction y = |f(x)| se compose des quatre étapes simples suivantes.
1) Construisez soigneusement et soigneusement un graphique de la fonction y = f(x).
2) Laissez inchangés tous les points du graphique qui se trouvent au-dessus ou sur l'axe 0x.
3) Affichez la partie du graphique qui se trouve sous l'axe 0x symétriquement par rapport à l'axe 0x.
Exemple 1. Tracez un graphique de la fonction y = |x 2 – 4x + 3|
1) On construit un graphe de la fonction y = x 2 – 4x + 3. Évidemment, le graphe de cette fonction est une parabole. Trouvons les coordonnées de tous les points d'intersection de la parabole avec les axes de coordonnées et les coordonnées du sommet de la parabole.
x2 – 4x + 3 = 0.
x1 = 3, x2 = 1.
Par conséquent, la parabole coupe l'axe 0x aux points (3, 0) et (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Par conséquent, la parabole coupe l’axe 0y au point (0, 3).
Coordonnées du sommet de la parabole :
x dans = -(-4/2) = 2, y dans = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Le point (2, -1) est donc le sommet de cette parabole.
Dessinez une parabole en utilisant les données obtenues (Fig. 1)
2) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à l'axe 0x.
3) On obtient un graphique de la fonction originale ( riz. 2, représenté en pointillé).
2. Représenter graphiquement la fonction y = f(|x|)
Notez que les fonctions de la forme y = f(|x|) sont paires :
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont symétriques par rapport à l’axe 0y.
Tracer un graphique de la fonction y = f(|x|) consiste en la chaîne d'actions simple suivante.
1) Représentez graphiquement la fonction y = f(x).
2) Laissez la partie du graphique pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphique située dans le demi-plan droit.
3) Afficher la partie du graphique spécifiée au point (2) symétriquement à l'axe 0y.
4) Comme graphique final, sélectionnez l'union des courbes obtenues aux points (2) et (3).
Exemple 2. Tracez un graphique de la fonction y = x 2 – 4 · |x| + 3
Puisque x 2 = |x| 2, alors la fonction originale peut être réécrite sous la forme suivante : y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Nous pouvons maintenant appliquer l'algorithme proposé ci-dessus.
1) Nous construisons soigneusement et soigneusement un graphique de la fonction y = x 2 – 4 x + 3 (voir aussi riz. 1).
2) On laisse la partie du graphe pour laquelle x ≥ 0, c'est-à-dire la partie du graphe située dans le demi-plan droit.
3) Affichage côté droit les graphiques sont symétriques à l’axe 0y.
(Fig.3).
Exemple 3. Tracez un graphique de la fonction y = log 2 |x|
Nous appliquons le schéma donné ci-dessus.
1) Construire un graphique de la fonction y = log 2 x (Fig.4).
3. Tracer la fonction y = |f(|x|)|
Notez que les fonctions de la forme y = |f(|x|)| sont également pairs. En effet, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), et par conséquent, leurs graphiques sont symétriques par rapport à l'axe 0y. L'ensemble des valeurs de telles fonctions : y ≥ 0. Cela signifie que les graphiques de ces fonctions sont entièrement situés dans le demi-plan supérieur.
Pour tracer la fonction y = |f(|x|)|, vous devez :
1) Construisez soigneusement un graphique de la fonction y = f(|x|).
2) Laissez inchangée la partie du graphique qui se trouve au-dessus ou sur l'axe 0x.
3) Afficher la partie du graphique située sous l'axe 0x symétriquement par rapport à l'axe 0x.
4) Comme graphique final, sélectionnez l'union des courbes obtenues aux points (2) et (3).
Exemple 4. Tracez un graphique de la fonction y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Notez que x 2 = |x| 2. Cela signifie qu'au lieu de la fonction originale y = -x 2 + 2|x| - 1
vous pouvez utiliser la fonction y = -|x| 2 + 2|x| – 1, puisque leurs graphiques coïncident.
On construit un graphe y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Pour cela nous utilisons l’algorithme 2.
a) Représentez graphiquement la fonction y = -x 2 + 2x – 1 (Fig.6).
b) On laisse la partie du graphique qui se situe dans le demi-plan droit.
c) Nous affichons la partie résultante du graphique symétriquement à l'axe 0y.
d) Le graphique résultant est représenté par la ligne pointillée sur la figure (Fig.7).
2) Il n'y a aucun point au-dessus de l'axe 0x ; nous laissons les points sur l'axe 0x inchangés.
3) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x est affichée symétriquement par rapport à 0x.
4) Le graphique résultant est représenté sur la figure avec une ligne pointillée (Fig.8).
Exemple 5. Représentez graphiquement la fonction y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Vous devez d’abord tracer la fonction y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Pour ce faire, nous revenons à l'algorithme 2.
a) Tracez soigneusement la fonction y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig.9).
Notez que cette fonction est linéaire fractionnaire et que son graphique est une hyperbole. Pour tracer une courbe, vous devez d’abord trouver les asymptotes du graphique. Horizontal – y = 2/1 (le rapport des coefficients de x au numérateur et au dénominateur de la fraction), vertical – x = -3.
2) Nous laisserons inchangée la partie du graphique qui se trouve au-dessus de l’axe 0x ou sur celui-ci.
3) La partie du graphique située en dessous de l'axe 0x sera affichée symétriquement par rapport à 0x.
4) Le graphique final est présenté dans la figure (Fig.11).
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1. Fonction linéaire fractionnaire et son graphique
Une fonction de la forme y = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes, est appelée fonction rationnelle fractionnaire.
Avec la notion nombres rationnels vous vous connaissez probablement déjà. De même fonctions rationnelles sont des fonctions qui peuvent être représentées comme le quotient de deux polynômes.
Si une fonction rationnelle fractionnaire est le quotient de deux fonctions linéaires– les polynômes du premier degré, c'est-à-dire fonction du formulaire
y = (ax + b) / (cx + d), alors on l'appelle fractionnaire linéaire.
Notons que dans la fonction y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (sinon la fonction devient linéaire y = ax/d + b/d) et que a/c ≠ b/d (sinon la la fonction est constante). La fonction fractionnaire linéaire est définie pour tous les nombres réels sauf x = -d/c. Les graphiques de fonctions linéaires fractionnaires ne diffèrent pas par leur forme du graphique y = 1/x que vous connaissez. Une courbe qui est un graphique de la fonction y = 1/x est appelée hyperbole. Avec une augmentation illimitée de x valeur absolue la fonction y = 1/x décroît indéfiniment en valeur absolue et les deux branches du graphique se rapprochent de l'axe des x : celle de droite s'approche par le haut, et la gauche par le bas. Les lignes auxquelles s'approchent les branches d'une hyperbole sont appelées ses asymptote.
Exemple 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Solution.
Sélectionnons la partie entière : (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Or il est facile de voir que le graphique de cette fonction est obtenu à partir du graphique de la fonction y = 1/x par les transformations suivantes : décalage de 3 segments unitaires vers la droite, étirement le long de l'axe Oy 7 fois et décalage de 2 segments unitaires vers le haut.
Toute fraction y = (ax + b) / (cx + d) peut s'écrire de la même manière, en mettant en évidence la « partie entière ». Par conséquent, les graphiques de toutes les fonctions linéaires fractionnaires sont des hyperboles, décalées de diverses manières le long des axes de coordonnées et étirées le long de l'axe Oy.
Pour construire un graphique de n'importe quelle fonction linéaire fractionnaire arbitraire, il n'est pas du tout nécessaire de transformer la fraction définissant cette fonction. Puisque l'on sait que le graphe est une hyperbole, il suffira de trouver les droites auxquelles se rapprochent ses branches - les asymptotes de l'hyperbole x = -d/c et y = a/c.
Exemple 2.
Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction y = (3x + 5)/(2x + 2).
Solution.
La fonction n'est pas définie, à x = -1. Cela signifie que la droite x = -1 sert d'asymptote verticale. Pour trouver l’asymptote horizontale, découvrons à quoi se rapprochent les valeurs de la fonction y(x) lorsque l’argument x augmente en valeur absolue.
Pour ce faire, divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par x :
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Lorsque x → ∞ la fraction tendra vers 3/2. Cela signifie que l'asymptote horizontale est la droite y = 3/2.
Exemple 3.
Représentez graphiquement la fonction y = (2x + 1)/(x + 1).
Solution.
Sélectionnons la « partie entière » de la fraction :
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Or il est facile de voir que le graphique de cette fonction est obtenu à partir du graphique de la fonction y = 1/x par les transformations suivantes : un décalage de 1 unité vers la gauche, un affichage symétrique par rapport à Ox et un décalage de 2 segments unitaires vers le haut le long de l'axe Oy.
Domaine D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Plage de valeurs E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Points d'intersection avec axes : c Oy : (0 ; 1) ; c Buffle : (-1/2 ; 0). La fonction augmente à chaque intervalle du domaine de définition.
Réponse : Figure 1.
2. Fonction rationnelle fractionnaire
Considérons une fonction rationnelle fractionnaire de la forme y = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes de degré supérieur au premier.
Exemples de telles fonctions rationnelles :
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ou y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Si la fonction y = P(x) / Q(x) représente le quotient de deux polynômes de degré supérieur au premier, alors son graphique sera, en règle générale, plus complexe, et il peut parfois être difficile de le construire avec précision , avec tous les détails. Cependant, il suffit souvent d’utiliser des techniques similaires à celles que nous avons déjà présentées ci-dessus.
Soit la fraction une fraction propre (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом Le seul moyen, comme une somme nombre fini fractions élémentaires, dont la forme est déterminée en décomposant le dénominateur de la fraction Q(x) en produit de facteurs réels :
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +pt x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +pt x + q t).
Évidemment, le graphique d'une fonction rationnelle fractionnaire peut être obtenu comme la somme de graphiques de fractions élémentaires.
Tracer des graphiques de fonctions rationnelles fractionnaires
Considérons plusieurs façons de construire des graphiques d'une fonction rationnelle fractionnaire.
Exemple 4.
Tracez un graphique de la fonction y = 1/x 2 .
Solution.
Nous utilisons le graphique de la fonction y = x 2 pour construire un graphique de y = 1/x 2 et utilisons la technique de « division » des graphiques.
Domaine D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Plage de valeurs E(y) = (0; +∞).
Il n'y a pas de points d'intersection avec les axes. La fonction est même. Augmente pour tout x à partir de l'intervalle (-∞; 0), diminue pour x de 0 à +∞.
Réponse : Figure 2.
Exemple 5.
Représentez graphiquement la fonction y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Solution.
Domaine D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Ici, nous avons utilisé la technique de factorisation, de réduction et de réduction à une fonction linéaire.
Réponse : Figure 3.
Exemple 6.
Représentez graphiquement la fonction y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Solution.
Le domaine de définition est D(y) = R. Puisque la fonction est paire, le graphique est symétrique par rapport à l'ordonnée. Avant de construire un graphique, transformons à nouveau l’expression en mettant en évidence toute la partie :
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Notez qu'isoler la partie entière dans la formule d'une fonction rationnelle fractionnaire est l'un des principaux lors de la construction de graphiques.
Si x → ±∞, alors y → 1, c'est-à-dire la droite y = 1 est une asymptote horizontale.
Réponse : Figure 4.
Exemple 7.
Considérons la fonction y = x/(x 2 + 1) et essayons de trouver avec précision sa plus grande valeur, c'est-à-dire le plus point haut moitié droite du graphique. Pour construire ce graphique avec précision, les connaissances actuelles ne suffisent pas. Évidemment, notre courbe ne peut pas « monter » très haut, car le dénominateur commence rapidement à « dépasser » le numérateur. Voyons si la valeur de la fonction peut être égale à 1. Pour ce faire, nous devons résoudre l'équation x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Cette équation n'a pas vraies racines. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte. Pour trouver le plus grande importance fonction, vous devez découvrir à quel plus grand A l'équation A = x/(x 2 + 1) aura une solution. Remplaçons l'équation originale par une équation quadratique : Аx 2 – x + А = 0. Cette équation a une solution lorsque 1 – 4А 2 ≥ 0. De là, nous trouvons valeur la plus élevée A = 1/2. 
Réponse : Figure 5, max y(x) = ½.
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