La formule de Fibonacci ressemble à ceci : Nombres de Fibonacci : faits mathématiques amusants. Léonard de Pise, alias Fibonacci

Le monde qui nous entoure, depuis les plus petites particules invisibles jusqu'aux galaxies lointaines de l'espace sans fin, regorge de nombreux mystères non résolus. Cependant, le voile du mystère a déjà été levé sur certaines d’entre elles grâce à l’esprit curieux de nombreux scientifiques.

Un tel exemple est "nombre d'or" et nombres de Fibonacci , qui en constituent la base. Ce modèle s'est reflété sous forme mathématique et se retrouve souvent dans la nature qui entoure les humains, excluant une fois de plus la possibilité qu'il soit le résultat du hasard.

Les nombres de Fibonacci et leur séquence

Suite de nombres de Fibonacci est une série de nombres dont chacun est la somme des deux précédents :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

La particularité de cette séquence réside dans les valeurs numériques obtenues en divisant les nombres de cette série les uns par les autres.

La série de nombres de Fibonacci a ses propres modèles intéressants :

Dans la série de nombres de Fibonacci, chaque nombre divisé par le suivant affichera une valeur tendant vers 0,618 . Plus les chiffres sont éloignés du début de la série, plus le ratio sera précis. Par exemple, les nombres pris en début de ligne 5 Et 8 montrera 0,625 (5/8=0,625 ). Si on prend les chiffres 144 Et 233 , alors ils montreront le rapport 0.618 .
À son tour, si dans une série de nombres de Fibonacci nous divisons un nombre par le précédent, alors le résultat de la division aura tendance à 1,618 . Pour l’exemple, les mêmes nombres ont été utilisés comme indiqué ci-dessus : 8/5=1,6 Et 233/144=1,618 .
Un nombre divisé par le suivant affichera une valeur proche de 0,382 . Et plus les nombres sont éloignés du début de la série, plus la valeur du rapport est précise : 5/13=0,385 Et 144/377=0,382 . Diviser les nombres dans l'ordre inverse donnera le résultat 2,618 : 13/5=2,6 Et 377/144=2,618 .

En utilisant les méthodes de calcul décrites ci-dessus et en augmentant les écarts entre les nombres, vous pouvez dériver la série de valeurs suivante : 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236, qui est largement utilisée dans les outils de Fibonacci sur le marché Forex.

Nombre d'or ou proportion divine

L’analogie avec un segment représente très clairement le « nombre d’or » et les nombres de Fibonacci. Si le segment AB est divisé par le point C dans un rapport tel que la condition est remplie :

AC/BC=BC/AB, alors ce sera le « nombre d’or »

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Étonnamment, c’est précisément la relation que l’on peut retracer dans la série de Fibonacci. En prenant quelques nombres d’une série, vous pouvez vérifier par calcul qu’il en est bien ainsi. Par exemple, cette séquence de nombres de Fibonacci... 55, 89, 144 ... Soit le nombre 144 le segment entier AB mentionné ci-dessus. Puisque 144 est la somme des deux nombres précédents, alors 55+89=AC+BC=144.

La division des segments affichera les résultats suivants :

CA/BC=55/89=0,618

C.-B./AB=89/144=0,618

Si l'on prend le segment AB dans son ensemble, ou comme une unité, alors AC=55 sera 0,382 de ce tout, et BC=89 sera égal à 0,618.

Où apparaissent les nombres de Fibonacci ?

Les Grecs et les Égyptiens connaissaient la séquence régulière des nombres de Fibonacci bien avant Leonardo Fibonacci lui-même. Cette série de nombres a acquis ce nom après que le célèbre mathématicien ait assuré la large diffusion de ce phénomène mathématique parmi les scientifiques.

Il est important de noter que les nombres d’or de Fibonacci ne sont pas seulement scientifiques, mais une représentation mathématique du monde qui nous entoure. De nombreux phénomènes naturels, représentants de la flore et de la faune, ont le « nombre d'or » dans leurs proportions. Ce sont les boucles en spirale de la coquille et la disposition des graines de tournesol, des cactus et des ananas.

La spirale, dont les proportions des branches sont soumises aux lois du « nombre d'or », est à la base de la formation d'un ouragan, du tissage d'une toile par une araignée, de la forme de nombreuses galaxies, de l'entrelacement de molécules d'ADN et bien d'autres phénomènes.

La longueur de la queue du lézard par rapport à son corps a un rapport de 62 à 38. La pousse de chicorée fait une éjection avant de libérer une feuille. Après la libération de la première feuille, une deuxième éjection a lieu avant la libération de la deuxième feuille, avec une force égale à 0,62 de l'unité conventionnelle de force de la première éjection. La troisième valeur aberrante est de 0,38 et la quatrième de 0,24.

Pour un trader, il est également très important que l'évolution des prix sur le marché Forex soit souvent soumise à la configuration des nombres dorés de Fibonacci. Sur la base de cette séquence, un certain nombre d'outils ont été créés qu'un trader peut utiliser dans son arsenal.

L'outil « », souvent utilisé par les traders, peut afficher avec une grande précision les objectifs de mouvement des prix, ainsi que ses niveaux de correction.

Il existe encore de nombreux mystères non résolus dans l’univers, dont certains ont déjà été identifiés et décrits par les scientifiques. Les nombres de Fibonacci et le nombre d'or constituent la base pour démêler le monde qui nous entoure, construire sa forme et sa perception visuelle optimale par une personne, à l'aide de laquelle elle peut ressentir la beauté et l'harmonie.

nombre d'or

Le principe de détermination des dimensions du nombre d'or est à la base de la perfection du monde entier et de ses parties dans sa structure et ses fonctions, sa manifestation peut être vue dans la nature, l'art et la technologie. La doctrine de la proportion d’or a été fondée à la suite de recherches menées par d’anciens scientifiques sur la nature des nombres.

Il est basé sur la théorie des proportions et des rapports de divisions de segments, élaborée par l'ancien philosophe et mathématicien Pythagore. Il a prouvé qu'en divisant un segment en deux parties : X (le plus petit) et Y (le plus grand), le rapport du plus grand au plus petit sera égal au rapport de leur somme (le segment entier) :

Le résultat est une équation : x2 - x-1=0, qui est résolu comme x=(1±√5)/2.

Si l’on considère le rapport 1/x, alors il est égal à 1,618…

La preuve de l’utilisation du nombre d’or par les penseurs anciens est donnée dans le livre d’Euclide « Éléments », écrit au IIIe siècle. BC, qui a appliqué cette règle pour construire des pentagones réguliers. Chez les Pythagoriciens, cette figure est considérée comme sacrée car elle est à la fois symétrique et asymétrique. Le pentagramme symbolisait la vie et la santé.

Numéros de Fibonacci

Le célèbre livre Liber abaci du mathématicien italien Léonard de Pise, plus tard connu sous le nom de Fibonacci, a été publié en 1202. Dans ce document, le scientifique cite pour la première fois le modèle de nombres, dans une série dont chaque nombre est la somme de 2 chiffres précédents. La suite de nombres de Fibonacci est la suivante :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc.

Le scientifique a également cité un certain nombre de modèles :

Tout nombre de la série divisé par le suivant sera égal à une valeur tendant vers 0,618. De plus, les premiers nombres de Fibonacci ne donnent pas un tel nombre, mais à mesure que l'on s'éloigne du début de la séquence, ce rapport deviendra de plus en plus précis.
Si vous divisez le nombre de la série par le précédent, le résultat atteindra 1,618.
Un nombre divisé par le suivant par un affichera une valeur tendant vers 0,382.

L'application de la connexion et des modèles du nombre d'or, le nombre de Fibonacci (0,618), se retrouve non seulement dans les mathématiques, mais aussi dans la nature, l'histoire, l'architecture et la construction, ainsi que dans de nombreuses autres sciences.

Spirale d'Archimède et rectangle doré

Les spirales, très courantes dans la nature, ont été étudiées par Archimède, qui en a même dérivé l'équation. La forme de la spirale est basée sur les lois du nombre d’or. En le déroulant, on obtient une longueur à laquelle peuvent être appliqués des proportions et des nombres de Fibonacci ; le pas augmente uniformément.

Le parallèle entre les nombres de Fibonacci et le nombre d’or peut être vu en construisant un « rectangle d’or » dont les côtés sont proportionnels à 1,618 : 1. Il est construit en passant d'un rectangle plus grand à des rectangles plus petits afin que les longueurs des côtés soient égales aux nombres de la série. Il peut également être construit dans l’ordre inverse, en commençant par la case « 1 ». Lorsque les coins de ce rectangle sont reliés par des lignes au centre de leur intersection, on obtient une spirale de Fibonacci ou logarithmique.

Histoire de l'utilisation des proportions dorées

De nombreux monuments architecturaux anciens de l'Égypte ont été construits en utilisant des proportions dorées : les célèbres pyramides de Khéops, etc. Les architectes de la Grèce antique les ont largement utilisés dans la construction d'objets architecturaux tels que des temples, des amphithéâtres et des stades. Par exemple, de telles proportions ont été utilisées dans la construction de l’ancien temple du Parthénon (Athènes) et d’autres objets qui sont devenus des chefs-d’œuvre de l’architecture ancienne, démontrant une harmonie basée sur des modèles mathématiques.

Au cours des siècles suivants, l'intérêt pour le nombre d'or s'est atténué et les motifs ont été oubliés, mais il a repris à la Renaissance avec le livre du moine franciscain L. Pacioli di Borgo « La Divine Proportion » (1509). Il contenait des illustrations de Léonard de Vinci, qui a créé le nouveau nom « nombre d'or ». 12 propriétés du nombre d'or ont également été scientifiquement prouvées, et l'auteur a expliqué comment il se manifeste dans la nature, dans l'art et l'a appelé « le principe de construction du monde et de la nature ».

L'Homme de Vitruve Léonard

Le dessin, que Léonard de Vinci a utilisé pour illustrer le livre de Vitruve en 1492, représente une figure humaine dans 2 positions, les bras écartés sur les côtés. La figure est inscrite dans un cercle et un carré. Ce dessin est considéré comme les proportions canoniques du corps humain (masculin), décrites par Léonard sur la base de leur étude dans les traités de l'architecte romain Vitruve.

Le centre du corps comme point équidistant de l'extrémité des bras et des jambes est le nombril, la longueur des bras est égale à la taille de la personne, la largeur maximale des épaules = 1/8 de la hauteur, la distance du haut de la poitrine aux cheveux = 1/7, du haut de la poitrine au sommet de la tête = 1/6 etc.

Depuis, le dessin est utilisé comme symbole montrant la symétrie interne du corps humain.

Léonard a utilisé le terme « nombre d’or » pour désigner les relations proportionnelles dans la figure humaine. Par exemple, la distance de la taille aux pieds est liée à la même distance du nombril au sommet de la tête de la même manière que la hauteur l'est à la première longueur (de la taille vers le bas). Ce calcul s'effectue de la même manière que le rapport des segments lors du calcul de la proportion d'or et tend vers 1,618.

Toutes ces proportions harmonieuses sont souvent utilisées par les artistes pour créer des œuvres magnifiques et impressionnantes.

Recherches sur le nombre d'or du XVIe au XIXe siècle

À l’aide du nombre d’or et des nombres de Fibonacci, les recherches sur la question des proportions se poursuivent depuis des siècles. Parallèlement à Léonard de Vinci, l'artiste allemand Albrecht Dürer a également travaillé à l'élaboration de la théorie des proportions correctes du corps humain. À cet effet, il a même créé une boussole spéciale.

Au 16ème siècle La question du lien entre le nombre de Fibonacci et le nombre d'or a été consacrée aux travaux de l'astronome I. Kepler, qui a été le premier à appliquer ces règles à la botanique.

Une nouvelle « découverte » attendait le nombre d’or au XIXe siècle. avec la publication de l'« Recherche esthétique » du scientifique allemand Professeur Zeisig. Il élève ces proportions à l'absolu et déclare qu'elles sont universelles pour tous les phénomènes naturels. Il a mené des études sur un grand nombre de personnes, ou plutôt sur leurs proportions corporelles (environ 2 000), sur la base desquelles des conclusions ont été tirées sur des modèles statistiquement confirmés dans les rapports des différentes parties du corps : la longueur des épaules, avant-bras, mains, doigts, etc.

Les objets d'art (vases, structures architecturales), les tonalités musicales et les tailles lors de l'écriture de poèmes ont également été étudiés - Zeisig a montré tout cela à travers la longueur des segments et des nombres, et il a également introduit le terme « esthétique mathématique ». Après avoir reçu les résultats, il s’est avéré que la série de Fibonacci avait été obtenue.

Nombre de Fibonacci et nombre d'or dans la nature

Dans le monde végétal et animal, il existe une tendance à la morphologie sous forme de symétrie, qui s'observe dans le sens de la croissance et du mouvement. Division en parties symétriques dans lesquelles des proportions dorées sont observées - ce motif est inhérent à de nombreuses plantes et animaux.

La nature qui nous entoure peut être décrite à l'aide des nombres de Fibonacci, par exemple :

la disposition des feuilles ou des branches de toute plante, ainsi que les distances, correspondent à une série de nombres donnés 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et ainsi de suite ;
graines de tournesol (écailles sur cônes, cellules d'ananas), disposées en deux rangées le long de spirales torsadées dans des directions différentes ;
le rapport entre la longueur de la queue et l'ensemble du corps du lézard ;
la forme d'un œuf, si vous tracez une ligne à travers sa partie large ;
rapport de la taille des doigts sur la main d'une personne.

Et bien sûr, les formes les plus intéressantes incluent les coquilles d'escargot en spirale, les motifs sur les toiles d'araignées, le mouvement du vent à l'intérieur d'un ouragan, la double hélice de l'ADN et la structure des galaxies - qui impliquent tous la séquence de Fibonacci.

Utilisation du nombre d'or dans l'art

Les chercheurs à la recherche d'exemples d'utilisation du nombre d'or dans l'art étudient en détail divers objets architecturaux et œuvres d'art. Il existe des œuvres sculpturales célèbres dont les créateurs ont adhéré aux proportions dorées - les statues de Zeus Olympien, d'Apollon du Belvédère et

L'une des créations de Léonard de Vinci, "Portrait de la Joconde", fait l'objet de recherches scientifiques depuis de nombreuses années. Ils ont découvert que la composition de l’œuvre est entièrement constituée de « triangles d’or » réunis en une étoile-pentagone régulière. Toutes les œuvres de Léonard de Vinci témoignent de la profondeur de sa connaissance de la structure et des proportions du corps humain, grâce à laquelle il a pu capturer le sourire incroyablement mystérieux de Mona Lisa.

Le nombre d’or en architecture

A titre d'exemple, les scientifiques ont examiné des chefs-d'œuvre architecturaux créés selon les règles du « nombre d'or » : pyramides égyptiennes, Panthéon, Parthénon, cathédrale Notre-Dame de Paris, cathédrale Saint-Basile, etc.

Le Parthénon - l'un des plus beaux bâtiments de la Grèce antique (Ve siècle avant JC) - possède 8 colonnes et 17 sur des côtés différents, le rapport entre sa hauteur et la longueur des côtés est de 0,618. Les saillies de ses façades sont réalisées selon le « nombre d'or » (photo ci-dessous).

L'un des scientifiques qui ont imaginé et appliqué avec succès une amélioration du système modulaire de proportions pour les objets architecturaux (le soi-disant « modulor ») était l'architecte français Le Corbusier. Le modulateur est basé sur un système de mesure associé à la division conditionnelle en parties du corps humain.

L'architecte russe M. Kazakov, qui a construit plusieurs bâtiments résidentiels à Moscou, ainsi que le bâtiment du Sénat au Kremlin et l'hôpital Golitsyn (aujourd'hui la 1ère clinique du nom de N. I. Pirogov), était l'un des architectes qui ont utilisé les lois dans la conception et construction sur le nombre d’or.

Appliquer des proportions dans la conception

Dans la conception de vêtements, tous les créateurs de mode créent de nouvelles images et de nouveaux modèles en tenant compte des proportions du corps humain et des règles du nombre d'or, même si, par nature, tout le monde n'a pas des proportions idéales.

Lors de la planification de l'aménagement paysager et de la création de compositions de parc tridimensionnelles à l'aide de plantes (arbres et arbustes), de fontaines et de petits objets architecturaux, les lois des « proportions divines » peuvent également être appliquées. Après tout, la composition du parc doit viser à créer une impression sur le visiteur, qui pourra y naviguer librement et trouver le centre de composition.

Tous les éléments du parc sont dans des proportions telles qu'ils créent une impression d'harmonie et de perfection grâce à la structure géométrique, à la position relative, à l'éclairage et à la lumière.

Application du nombre d'or en cybernétique et technologie

Les lois du nombre d'or et des nombres de Fibonacci apparaissent également dans les transitions énergétiques, dans les processus se produisant avec les particules élémentaires qui composent les composés chimiques, dans les systèmes spatiaux et dans la structure génétique de l'ADN.

Des processus similaires se produisent dans le corps humain, se manifestant dans les biorythmes de sa vie, dans l'action d'organes, par exemple le cerveau ou la vision.

Les algorithmes et les modèles aux proportions dorées sont largement utilisés dans la cybernétique et l’informatique modernes. L'une des tâches simples que les programmeurs débutants doivent résoudre est d'écrire une formule et de déterminer la somme des nombres de Fibonacci jusqu'à un certain nombre à l'aide de langages de programmation.

Recherche moderne sur la théorie du nombre d'or

Depuis le milieu du XXe siècle, l'intérêt pour les problèmes et l'influence des lois des proportions d'or sur la vie humaine a fortement augmenté, et de la part de nombreux scientifiques de diverses professions : mathématiciens, chercheurs ethniques, biologistes, philosophes, médecins, économistes, musiciens, etc.

Aux États-Unis, le magazine The Fibonacci Quarterly a commencé à paraître dans les années 1970, où des travaux sur ce sujet ont été publiés. Des ouvrages paraissent dans la presse dans lesquels les règles généralisées du nombre d'or et de la série de Fibonacci sont utilisées dans divers domaines de la connaissance. Par exemple, pour le codage d'informations, la recherche chimique, la recherche biologique, etc.

Tout cela confirme les conclusions des scientifiques anciens et modernes selon lesquelles la proportion d'or est liée de manière multilatérale aux questions fondamentales de la science et se manifeste dans la symétrie de nombreuses créations et phénomènes du monde qui nous entoure.

Suite de nombres de Fibonacci. Est-ce la première fois que vous entendez parler de cela et que vous ne savez même pas de quel domaine de connaissances il s’agit ? Il s'avère que la régularité des phénomènes naturels, la structure et la diversité des organismes vivants sur notre planète, tout ce qui nous entoure, frappant l'imagination par son harmonie et son ordre, les lois de l'univers, le mouvement de la pensée humaine et les réalisations de science - tout cela s'explique par la sommation Séquence de Fibonacci.

Le désir éternel de l’homme de se comprendre lui-même et de comprendre le monde qui l’entoure a fait progresser la science.

L’une des réalisations les plus importantes en mathématiques est l’introduction des chiffres arabes à la place des chiffres romains. Elle appartient à l'un des savants les plus remarquables du XIIe siècle, Fibonacci (1175). Une autre découverte qu'il a faite porte son nom - la séquence de sommation : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Ce sont ce qu'on appelle Numéros de Fibonacci.

Ce modèle mathématique intéressait un autre scientifique médiéval, Thomas d’Aquin. Poussé par le désir de « mesurer l’harmonie avec l’algèbre », le scientifique a conclu qu’il existe un lien direct entre les mathématiques et la beauté. Thomas d'Aquin a expliqué les sentiments esthétiques qui surgissent lorsqu'on contemple des objets harmonieux créés proportionnellement par la nature par le même principe de séquence sommative.

Ce principe explique qu'à partir de 1.1, le nombre suivant sera la somme des deux nombres précédents. Ce modèle est d'une grande importance. Cette séquence est de plus en plus lente - asymptotiquement - se rapprochant d'un certain rapport constant. Cependant, cette relation est irrationnelle, c’est-à-dire qu’elle comporte une séquence infinie et imprévisible de nombres dans la partie fractionnaire. Son expression exacte est impossible. En divisant n'importe quel terme de la séquence de Fibonacci par le terme qui le précède, on obtient une valeur qui fluctue autour de la valeur 1,61803398875... (irrationnelle), qui ne l'atteindra pas ou ne la dépassera pas à chaque fois. Même l’Éternité ne suffit pas à déterminer avec précision ce rapport. Par souci de concision, nous l'utiliserons comme 1,618.

Le mathématicien médiéval Luca Pacioli appelait ce rapport la Proportion Divine. Kepler a qualifié la séquence de sommation de « l’un des trésors de la géométrie ». Dans la science moderne, résumé Séquence de Fibonacci porte plusieurs noms, non moins poétiques : Rapport des carrés tournants, Moyenne dorée, Nombre d'or. En mathématiques, il est désigné par la lettre grecque phi (Ф=1,618).

Le caractère asymptotique de la séquence, ses oscillations autour du nombre irrationnel de Fibonacci, qui ont tendance à s'estomper, deviendront plus claires si l'on considère les relations des premiers termes de cette séquence. Dans l'exemple ci-dessous, nous examinerons les nombres de Fibonacci et donnerons le rapport du deuxième au premier terme, du troisième au deuxième, et ainsi de suite :
1:1 = 1,0000, c'est moins que phi de 0,6180
2:1 = 2,0000, soit 0,3820 de plus que phi
3:2 = 1,5000, c'est moins que phi de 0,1180
5:3 = 1,6667, soit 0,0486 de plus que phi
8:5 = 1,6000, c'est moins que phi de 0,0180
En progressant dans la séquence de Fibonacci, chaque nouveau terme divisera le suivant, se rapprochant de plus en plus du nombre inaccessible F.

Par la suite nous verrons que certains Numéros de Fibonacci, constituant sa séquence de sommation, sont visibles dans la dynamique des prix de divers biens ; parmi les méthodes d'analyse technique Forex sont utilisées Niveaux de Fibonacci. Des fluctuations de ratios proches de 1,615 d'un montant ou d'un autre peuvent être détectées dans lesquelles elles apparaissent dans la règle d'alternance. Inconsciemment, chaque personne recherche la fameuse proportion divine, nécessaire pour satisfaire le désir de confort.

Si nous divisons n'importe quel terme de la séquence de Fibonacci par le terme qui le suit, nous obtenons l'inverse de 1,618, soit 1 : 1,618. Il s’agit là aussi d’un phénomène plutôt inhabituel, peut-être même remarquable. Le rapport initial est une fraction infinie, ce rapport doit donc également être infini.

Un autre fait important est le suivant. Le carré de tout terme de la séquence de Fibonacci est égal au nombre qui le précède dans la séquence multiplié par le nombre qui le suit, plus ou moins.
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
Le plus et le moins alternent toujours, et cela fait partie de la théorie des vagues d’Elliott appelée règle d’alternance. Cette règle dit : des vagues complexes de nature corrective alternent avec des vagues simples, des vagues fortes de nature impulsive alternent avec des vagues faibles de nature corrective, et ainsi de suite.

Manifestations de proportion divine dans la nature

La séquence mathématique découverte permet de calculer un nombre infini de constantes. Les membres de cette séquence apparaîtront toujours dans un nombre infini de combinaisons.
À l'aide d'un modèle établi, une interprétation mathématique des phénomènes naturels est donnée. À cet égard, la découverte d’une séquence mathématique occupe l’une des places les plus significatives de la connaissance historique.
Nous pouvons nous référer à un certain nombre de théories intéressantes dérivées de la séquence mathématique.

Pyramide de Gizeh

La conception de la pyramide est basée sur la proportion Ф=1,618. Cette découverte a été faite après de nombreuses tentatives pour percer les secrets de cette pyramide. La pyramide de Gizeh elle-même semble être une sorte de message adressé aux descendants afin de transmettre certaines connaissances sur les lois de la séquence mathématique. Au moment de la construction de la pyramide, ses constructeurs n'avaient pas suffisamment d'opportunités pour exprimer les lois qu'ils connaissaient. A cette époque, l’écriture n’existait pas et les hiéroglyphes n’étaient pas utilisés. Cependant, les créateurs de la pyramide ont réussi, grâce à la proportion géométrique de leur création, à transférer leur connaissance des modèles mathématiques aux générations futures.

Les prêtres du temple ont révélé à Hérodote le secret de la pyramide de Gizeh. Il est construit de telle manière que l'aire de chaque face soit égale au carré de la hauteur de cette face.
Aire du triangle : 356 x 440 / 2 = 78320
Superficie carrée : 280 x 280 = 78 400
La face de la pyramide de Gizeh mesure 783,3 pieds (238,7 m) de long et sa hauteur est de 484,4 pieds (147,6 m). En divisant la longueur du visage par la hauteur, on arrive au rapport Ф=1,618. La hauteur de 484,4 pieds correspond à 5813 pouces (5-8-13), ce qui n'est rien de plus que les numéros de séquence de Fibonacci. Toutes ces observations nous amènent à la conclusion que toute la conception de la pyramide est basée sur la proportion Ф = 1,618.
Ce sont des nombres de la séquence de Fibonacci. Ces observations intéressantes suggèrent que la conception de la pyramide est basée sur la proportion Ф=1,618.
Ces informations donnent à penser que les connaissances dans les domaines des mathématiques et de l’astrologie étaient très développées à cette époque. Cette plus grande création non seulement de mains humaines, mais aussi de son esprit, a été construite en stricte conformité avec le nombre 1.618. Les proportions très internes et externes de la pyramide, observées dans le strict respect de la loi du nombre d'or, sont un message pour nous, descendants, du plus profond des siècles de la plus grande connaissance.

Pyramides mexicaines

Il est étonnant que les pyramides du Mexique aient été construites sur le même principe. On ne peut s'empêcher de supposer que les pyramides mexicaines ont été construites en même temps que les pyramides égyptiennes ; de plus, les constructeurs connaissaient la loi mathématique du nombre d'or.
Une coupe transversale de la pyramide révèle la forme d'un escalier. Son premier niveau comporte 16 marches, le deuxième contient 42 marches et le troisième 68 marches. Les nombres sont basés sur la séquence de Fibnacci comme suit :
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
Le nombre Ф = 1,618 sous-tend les proportions de la pyramide mexicaine. (

Les nombres de Fibonacci... dans la nature et la vie

Leonardo Fibonacci est l'un des plus grands mathématiciens du Moyen Âge. Dans l'un de ses ouvrages, « Le Livre des Calculs », Fibonacci décrit le système de calcul indo-arabe et les avantages de son utilisation par rapport au système romain.

Définition
Les nombres de Fibonacci ou séquence de Fibonacci sont une séquence de nombres qui possède un certain nombre de propriétés. Par exemple, la somme de deux nombres adjacents dans une séquence donne la valeur du suivant (par exemple, 1+1=2 ; 2+3=5, etc.), ce qui confirme l'existence des coefficients dits de Fibonacci. , c'est à dire. rapports constants.

La suite de Fibonacci commence ainsi : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Définition complète des nombres de Fibonacci

3.

Propriétés de la séquence de Fibonacci

1. Le rapport de chaque numéro au suivant tend de plus en plus vers 0,618 à mesure que le numéro de série augmente. Le rapport de chaque nombre au précédent tend vers 1,618 (l’inverse de 0,618). Le nombre 0,618 s'appelle (FI).

2. En divisant chaque nombre par celui qui le suit, le nombre après un est 0,382 ; au contraire – respectivement 2,618.

3. En sélectionnant les ratios de cette manière, nous obtenons l'ensemble principal des ratios de Fibonacci : ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.

Le lien entre la séquence de Fibonacci et le « nombre d’or »

La séquence de Fibonacci tend asymptotiquement (s'approchant de plus en plus lentement) à une relation constante. Cependant, ce rapport est irrationnel, c'est-à-dire qu'il représente un nombre avec une séquence infinie et imprévisible de chiffres décimaux dans la partie fractionnaire. Il est impossible de l'exprimer avec précision.

Si un membre de la séquence de Fibonacci est divisé par son prédécesseur (par exemple 13:8), le résultat sera une valeur qui fluctue autour de la valeur irrationnelle 1,61803398875... et parfois la dépasse, parfois ne l'atteint pas. Mais même après avoir passé l’éternité là-dessus, il est impossible de connaître le rapport exactement, jusqu’au dernier chiffre décimal. Par souci de concision, nous le présenterons sous la forme 1.618. Des noms spéciaux ont commencé à être donnés à ce rapport avant même que Luca Pacioli (un mathématicien médiéval) ne l'appelle la proportion divine. Parmi ses noms modernes figurent le nombre d'or, la moyenne dorée et le rapport des carrés tournants. Kepler a qualifié cette relation de « trésor de la géométrie ». En algèbre, il est généralement admis qu'il est désigné par la lettre grecque phi

Imaginons le nombre d'or en utilisant l'exemple d'un segment.

Considérons un segment avec les extrémités A et B. Laissez le point C diviser le segment AB de telle sorte que,

AC/CB = CB/AB ou

AB/CB = CB/AC.

Vous pouvez l'imaginer comme ceci : A-–C--–B

Le nombre d'or est une telle division proportionnelle d'un segment en parties inégales, dans laquelle le segment entier est lié à la plus grande partie comme la plus grande partie elle-même est liée à la plus petite ; ou en d’autres termes, le plus petit segment est au plus grand comme le plus grand l’est au tout.

Les segments de la proportion d'or sont exprimés comme une fraction irrationnelle infinie 0,618..., si AB est pris comme un, AC = 0,382.. Comme nous le savons déjà, les nombres 0,618 et 0,382 sont les coefficients de la séquence de Fibonacci.

Proportions de Fibonacci et nombre d'or dans la nature et l'histoire

10.

Il est important de noter que Fibonacci semble rappeler à l’humanité sa séquence. Il était connu des anciens Grecs et Égyptiens. Et en effet, depuis lors, des modèles décrits par les rapports de Fibonacci ont été retrouvés dans la nature, l’architecture, les beaux-arts, les mathématiques, la physique, l’astronomie, la biologie et bien d’autres domaines. Il est étonnant de constater combien de constantes peuvent être calculées à l'aide de la séquence de Fibonacci et comment ses termes apparaissent dans un grand nombre de combinaisons. Cependant, il n’est pas exagéré de dire qu’il ne s’agit pas simplement d’un jeu avec des chiffres, mais de l’expression mathématique la plus importante de phénomènes naturels jamais découverte.

11.

Les exemples ci-dessous montrent quelques applications intéressantes de cette séquence mathématique.

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1. L’évier est tordu en spirale. Si vous le dépliez, vous obtenez une longueur légèrement plus courte que la longueur du serpent. La petite coquille de dix centimètres a une spirale de 35 cm de long. La forme de la coquille enroulée en spirale a attiré l'attention d'Archimède. Le fait est que le rapport des dimensions des boucles de la coque est constant et égal à 1,618. Archimède a étudié la spirale des coquilles et en a dérivé l'équation. La spirale dessinée selon cette équation porte son nom. L'augmentation de son pas est toujours uniforme. Actuellement, la spirale d'Archimède est largement utilisée en technologie.

2. Plantes et animaux. Goethe a également souligné la tendance de la nature à la spirale. La disposition hélicoïdale et spirale des feuilles sur les branches des arbres a été remarquée il y a longtemps. La spirale a été vue dans la disposition des graines de tournesol, des pommes de pin, des ananas, des cactus, etc. Les travaux conjoints de botanistes et de mathématiciens ont mis en lumière ces phénomènes naturels étonnants. Il s'est avéré que dans la disposition des feuilles sur une branche de graines de tournesol et de pommes de pin, la série de Fibonacci se manifeste et, par conséquent, la loi du nombre d'or se manifeste. L'araignée tisse sa toile en forme de spirale. Un ouragan tourne comme une spirale. Un troupeau de rennes effrayé se disperse en spirale. La molécule d'ADN est tordue en double hélice. Goethe appelait la spirale la « courbe de la vie ».

Parmi les herbes en bordure de route pousse une plante banale : la chicorée. Regardons-le de plus près. Une pousse s'est formée à partir de la tige principale. La première feuille se trouvait juste là. La pousse fait une forte éjection dans l'espace, s'arrête, libère une feuille, mais cette fois plus courte que la première, fait à nouveau une éjection dans l'espace, mais avec moins de force, libère une feuille encore plus petite et est à nouveau éjectée. . Si la première émission est considérée comme égale à 100 unités, alors la seconde est égale à 62 unités, la troisième à 38, la quatrième à 24, etc. La longueur des pétales dépend également de la proportion d’or. En grandissant et en conquérant l’espace, la plante a conservé certaines proportions. Les impulsions de sa croissance ont progressivement diminué proportionnellement au nombre d'or.

Le lézard est vivipare. À première vue, le lézard a des proportions agréables à nos yeux - la longueur de sa queue est liée à la longueur du reste du corps, comme 62 à 38.

Dans le monde végétal comme dans le monde animal, la tendance formatrice de la nature se manifeste de manière persistante : la symétrie dans la direction de la croissance et du mouvement. Ici, le nombre d'or apparaît dans les proportions des parties perpendiculaires à la direction de croissance. La nature a procédé à une division en parties symétriques et en proportions dorées. Les parties révèlent une répétition de la structure de l’ensemble.

Pierre Curie a formulé au début de ce siècle un certain nombre d'idées profondes sur la symétrie. Il a soutenu qu’on ne peut considérer la symétrie d’un corps sans prendre en compte la symétrie de l’environnement. Les lois de la symétrie dorée se manifestent dans les transitions énergétiques des particules élémentaires, dans la structure de certains composés chimiques, dans les systèmes planétaires et cosmiques, dans les structures génétiques des organismes vivants. Ces modèles, comme indiqué ci-dessus, existent dans la structure des organes humains individuels et du corps dans son ensemble, et se manifestent également dans les biorythmes et le fonctionnement du cerveau et dans la perception visuelle.

3. Espace. De l'histoire de l'astronomie, on sait que I. Titius, un astronome allemand du XVIIIe siècle, à l'aide de cette série (Fibonacci), a trouvé un modèle et un ordre dans les distances entre les planètes du système solaire.

Cependant, un cas semble contredire la loi : il n’y a pas de planète entre Mars et Jupiter. L'observation ciblée de cette partie du ciel a conduit à la découverte de la ceinture d'astéroïdes. Cela s'est produit après la mort de Titius au début du XIXe siècle.

La série de Fibonacci est largement utilisée : elle est utilisée pour représenter l'architecture des êtres vivants, les structures artificielles et la structure des galaxies. Ces faits témoignent de l'indépendance de la série de nombres par rapport aux conditions de sa manifestation, ce qui est l'un des signes de son universalité.

4. Pyramides. Beaucoup ont tenté de percer les secrets de la pyramide de Gizeh. Contrairement aux autres pyramides égyptiennes, il ne s’agit pas d’un tombeau, mais plutôt d’un puzzle insoluble de combinaisons de nombres. L'ingéniosité, l'habileté, le temps et le travail remarquables que les architectes de la pyramide ont employés pour construire le symbole éternel indiquent l'extrême importance du message qu'ils souhaitaient transmettre aux générations futures. Leur époque était pré-alphabétisée, préhiéroglyphique, et les symboles étaient le seul moyen d'enregistrer les découvertes. La clé du secret géométrique et mathématique de la pyramide de Gizeh, qui était depuis si longtemps un mystère pour l'humanité, fut en réalité donnée à Hérodote par les prêtres du temple, qui l'informèrent que la pyramide avait été construite de telle sorte que la superficie de Chacune de ses faces était égale au carré de sa hauteur.

Aire d'un triangle

356 x 440 / 2 = 78320

Surface carrée

280x280 = 78400

La longueur du bord de la base de la pyramide de Gizeh est de 783,3 pieds (238,7 m), la hauteur de la pyramide est de 484,4 pieds (147,6 m). La longueur du bord de base divisée par la hauteur donne le rapport Ф=1,618. La hauteur de 484,4 pieds correspond à 5813 pouces (5-8-13) - ce sont les nombres de la séquence de Fibonacci. Ces observations intéressantes suggèrent que la conception de la pyramide est basée sur la proportion Ф=1,618. Certains érudits modernes sont enclins à interpréter que les anciens Égyptiens l'ont construit dans le seul but de transmettre des connaissances qu'ils souhaitaient préserver pour les générations futures. Des études approfondies de la pyramide de Gizeh ont montré l'étendue des connaissances en mathématiques et en astrologie à cette époque. Dans toutes les proportions internes et externes de la pyramide, le nombre 1.618 joue un rôle central.

Pyramides au Mexique. Non seulement les pyramides égyptiennes ont été construites selon les proportions parfaites du nombre d’or, mais le même phénomène a été constaté dans les pyramides mexicaines. L'idée surgit que les pyramides égyptiennes et mexicaines ont été érigées à peu près au même moment par des personnes d'origine commune.

La séquence de Fibonacci est définie comme suit :

Quelques-uns de ses premiers membres :

Histoire

Ces nombres ont été introduits en 1202 par Leonardo Fibonacci (également connu sous le nom de Leonardo Pisano). Cependant, c’est grâce au mathématicien Lucas du XIXe siècle que le nom « nombres de Fibonacci » est devenu couramment utilisé.

Cependant, les mathématiciens indiens ont mentionné les numéros de cette séquence encore plus tôt : Gopala jusqu'en 1135, Hemachandra - en 1150.

Nombres de Fibonacci dans la nature

Fibonacci lui-même a mentionné ces chiffres en relation avec le problème suivant : "Un homme a mis un couple de lapins dans un enclos entouré de tous côtés par un mur. Combien de couples de lapins ce couple peut-il produire en un an, si l'on sait que chaque mois, à partir du deuxième, chaque couple produit-il un couple de lapins ?" La solution à ce problème résidera dans les numéros de la séquence désormais nommée en son honneur. Cependant, la situation décrite par Fibonacci relève davantage d’un jeu de l’esprit que de la nature réelle.

Les mathématiciens indiens Gopala et Hemachandra ont mentionné les numéros de cette séquence en relation avec le nombre de motifs rythmiques résultant de l'alternance de syllabes longues et courtes dans la poésie ou de battements forts et faibles dans la musique. Le nombre de ces tirages, totalisant des actions, est égal à .

Les nombres de Fibonacci apparaissent également dans l'ouvrage de Kepler de 1611 sur les nombres trouvés dans la nature (Sur les flocons de neige hexagonaux).

Un exemple intéressant de plante est l’achillée millefeuille, dont le nombre de tiges (et donc de fleurs) est toujours le nombre de Fibonacci. La raison en est simple : après avoir initialement une seule tige, cette tige se divise ensuite en deux, puis une autre branche se ramifie à partir de la tige principale, puis les deux premières tiges se ramifient à nouveau, puis toutes les branches sauf les deux dernières se bifurquent, et ainsi de suite. sur. Ainsi, chaque tige, après son apparition, « saute » une branche, puis commence à se diviser à chaque niveau de ramification, ce qui donne lieu aux nombres de Fibonacci.

D'une manière générale, pour de nombreuses fleurs (par exemple les lys), le nombre de pétales est l'un ou l'autre nombre de Fibonacci.

Le phénomène de « phyllotaxie » est également connu en botanique. Un exemple est la disposition des graines de tournesol : si vous regardez leur disposition d'en haut, vous pouvez voir simultanément deux séries de spirales (comme superposées) : certaines sont tordues dans le sens des aiguilles d'une montre, d'autres dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Il s'avère que le nombre de ces spirales est approximativement le même que deux nombres de Fibonacci successifs : 34 et 55 ou 89 et 144. Des faits similaires sont vrais pour certaines autres fleurs, ainsi que pour les pommes de pin, les brocolis, les ananas, etc.

Pour de nombreuses plantes (selon certaines sources, pour 90 % d’entre elles), ce fait intéressant est vrai. Considérons une feuille et nous en descendrons jusqu'à atteindre une feuille située sur la tige exactement de la même manière (c'est-à-dire dirigée exactement dans la même direction). En chemin, nous compterons toutes les feuilles qui nous sont parvenues (c'est-à-dire situées en hauteur entre la feuille de départ et la feuille finale), mais situées différemment. En les numérotant, on fera progressivement des tours autour de la tige (puisque les feuilles sont situées sur la tige en spirale). Selon que vous effectuez des tours dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse, vous obtiendrez un nombre de tours différent. Mais il s’avère que le nombre de tours que nous avons effectués dans le sens des aiguilles d’une montre, le nombre de tours que nous avons effectués dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et le nombre de feuilles que nous avons rencontrées forment 3 nombres de Fibonacci consécutifs.

Cependant, il convient de noter qu'il existe également des plantes pour lesquelles les calculs ci-dessus donneront des nombres issus de séquences complètement différentes, on ne peut donc pas dire que le phénomène de phyllotaxie est une loi - c'est plutôt une tendance intéressante.

Propriétés

Les nombres de Fibonacci possèdent de nombreuses propriétés mathématiques intéressantes.

Voici quelques-uns d'entre eux:

Système de nombres de Fibonacci

Théorème de Zeckendorff déclare que tout nombre naturel peut être représenté de manière unique comme une somme de nombres de Fibonacci :

où , , , (c'est-à-dire que deux nombres de Fibonacci adjacents ne peuvent pas être utilisés dans l'entrée).

Il s’ensuit que n’importe quel nombre peut être écrit de manière unique dans Système de numérotation de Fibonacci, Par exemple:

De plus, aucun nombre ne peut avoir deux uns à la suite.

Il n'est pas difficile d'obtenir la règle pour ajouter un à un nombre dans le système numérique de Fibonacci : si le chiffre le plus bas est 0, alors on le remplace par 1, et s'il est égal à 1 (c'est-à-dire qu'à la fin il y a 01) , puis 01 est remplacé par 10. Ensuite, nous « corrigeons » l'enregistrement, en corrigeant séquentiellement 011 partout par 100. En conséquence, en temps linéaire, un enregistrement d'un nouveau nombre sera obtenu.

La conversion d'un nombre au système numérique de Fibonacci s'effectue par un simple algorithme « gourmand » : on trie simplement les nombres de Fibonacci du grand au petit et, s'il y en a, alors il est inclus dans la notation du nombre, et on soustrait de et continuez la recherche.

Formule pour le nième nombre de Fibonacci

Formule via les radicaux

Il existe une formule merveilleuse qui porte le nom du mathématicien français Binet, bien qu'elle soit connue avant lui de Moivre :

Cette formule est facile à prouver par récurrence, mais elle peut être dérivée en utilisant le concept de fonctions génératrices ou en résolvant une équation fonctionnelle.

On remarque tout de suite que le deuxième terme est toujours inférieur à 1 en module, et de plus, il diminue très vite (de façon exponentielle). Il s'ensuit que la valeur du premier terme donne « presque » la valeur . Cela peut s’écrire sous forme stricte :

où les crochets indiquent l’arrondi à l’entier le plus proche.

Cependant, ces formules ne sont pas très adaptées à une utilisation pratique dans les calculs, car elles nécessitent une très grande précision lorsqu'on travaille avec des nombres fractionnaires.