FizMat : Fonction quadratique. Sélection d'un carré complet. Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique, conditions de leur existence et nombres. Théorèmes de Vieta directs et inverses. Décomposition d'un trinôme quadratique en facteurs linéaires. Comment prouver le théorème de Vieta

Le théorème de Vieta est souvent utilisé pour vérifier les racines déjà trouvées. Si vous avez trouvé les racines, vous pouvez utiliser les formules \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) pour calculer les valeurs de \(p \) et \(q\ ). Et s’ils s’avèrent être les mêmes que dans l’équation originale, alors les racines sont trouvées correctement.

Par exemple, en utilisant , résolvons l'équation \(x^2+x-56=0\) et obtenons les racines : \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Vérifions si nous avons commis une erreur dans le processus de résolution. Dans notre cas, \(p=1\), et \(q=-56\). D'après le théorème de Vieta, nous avons :

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Les deux affirmations ont convergé, ce qui signifie que nous avons résolu l’équation correctement.

Cette vérification peut être effectuée oralement. Cela prendra 5 secondes et vous évitera des erreurs stupides.

Théorème inverse de Vieta

Si \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), alors \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de l'équation quadratique \ (x^ 2+px+q=0\).

Ou de manière simple : si vous avez une équation de la forme \(x^2+px+q=0\), alors résoudre le système \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) vous trouverez ses racines.

Grâce à ce théorème, on peut trouver rapidement les racines équation quadratique, surtout si ces racines le sont . Cette compétence est importante car elle permet de gagner beaucoup de temps.

Exemple . Résolvez l'équation \(x^2-5x+6=0\).

Solution : En utilisant le théorème inverse de Vieta, nous constatons que les racines satisfont aux conditions : \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Regardez la deuxième équation du système \(x_1 \cdot x_2=6\). En quels deux le nombre \(6\) peut-il être décomposé ? Sur \(2\) et \(3\), \(6\) et \(1\) ou \(-2\) et \(-3\), et \(-6\) et \(- 1\). La première équation du système vous indiquera quelle paire choisir : \(x_1+x_2=5\). \(2\) et \(3\) sont similaires, puisque \(2+3=5\).
Répondre : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exemples . En utilisant l'inverse du théorème de Vieta, trouvez les racines de l'équation quadratique :
une) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Solution :
a) \(x^2-15x+14=0\) – en quels facteurs \(14\) se décompose-t-il ? \(2\) et \(7\), \(-2\) et \(-7\), \(-1\) et \(-14\), \(1\) et \(14\ ). Quelles paires de nombres totalisent \(15\) ? Réponse : \(1\) et \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – en quels facteurs \(-4\) se décompose-t-il ? \(-2\) et \(2\), \(4\) et \(-1\), \(1\) et \(-4\). Quelles paires de nombres totalisent \(-3\) ? Réponse : \(1\) et \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – en quels facteurs \(20\) se décompose-t-il ? \(4\) et \(5\), \(-4\) et \(-5\), \(2\) et \(10\), \(-2\) et \(-10\ ), \(-20\) et \(-1\), \(20\) et \(1\). Quelles paires de nombres totalisent \(-9\) ? Réponse : \(-4\) et \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – en quels facteurs \(780\) se décompose-t-il ? \(390\) et \(2\). Vont-ils totaliser \(88\) ? Non. Quels autres multiplicateurs possède \(780\) ? \(78\) et \(10\). Vont-ils totaliser \(88\) ? Oui. Réponse : \(78\) et \(10\).

Il n’est pas nécessaire d’étendre le dernier terme à tous les facteurs possibles (comme dans le dernier exemple). Vous pouvez immédiatement vérifier si leur somme donne \(-p\).

Important! Le théorème de Vieta et théorème inverse ne fonctionne qu'avec , c'est-à-dire celui dont le coefficient devant \(x^2\) égal à un. Si on nous donnait initialement une équation non réduite, alors nous pouvons la réduire en divisant simplement par le coefficient devant \(x^2\).

Par exemple, donnons l’équation \(2x^2-4x-6=0\) et nous voulons utiliser l’un des théorèmes de Vieta. Mais nous ne pouvons pas, puisque le coefficient de \(x^2\) est égal à \(2\). Débarrassons-nous-en en divisant l'équation entière par \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Prêt. Vous pouvez maintenant utiliser les deux théorèmes.

Réponses aux questions fréquemment posées

Question: En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez résoudre n'importe quel ?
Répondre: Malheureusement non. Si l’équation ne contient pas d’entiers ou si l’équation n’a aucune racine, alors le théorème de Vieta ne sera d’aucune aide. Dans ce cas, vous devez utiliser discriminant . Heureusement, 80 % des équations de cours scolaire les mathématiques ont des solutions entières.

Fonction quadratique.

Une fonction donnée par la formule y = ax2 + bx + c, où x et y sont des variables et a, b, c reçoivent des nombres, et a n'est pas égal à 0.
appelé fonction quadratique

Sélection carré complet.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique, conditions de leur existence et nombres.

– discriminant d'une équation quadratique.

Théorèmes de Vieta directs et inverses.

Décomposition trinôme quadratique aux facteurs linéaires.

Théorème. Laisser

X 1 et X 2 - racines d'un trinôme carréX 2 + px + q. Ensuite ce trinôme se décompose en facteurs linéaires comme suit :X 2 + px + q = (X - X 1) (X - X 2).

Preuve. Remplaçons plutôt

p Et qleurs expressions à traversX 1 et X 2 et utilisez la méthode de regroupement :

x2 + px + q = X 2 - (X 1 + X 2 ) X + X 1 X 2 = X 2 - X 1 X - X 2 X + X 1 X 2 = X (X - X 1 ) - X 2 (X - X 1 ) = = (X - X 1 ) (X - X 2 ). Le théorème a été prouvé.

Équation quadratique. Graphique d'un trinôme quadratique

Équation de la forme

appelée équation quadratique. Le nombre D = b 2 - 4ac est le discriminant de cette équation.
Si

puis les chiffres

sont les racines (ou solutions) d’une équation quadratique. Si D = 0, alors les racines sont les mêmes :

Si D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Formules valides :

— Formules Vieta; UN
hache 2 + bx + c = une(x - x 1)(x - x 2) -
formule de factorisation.
Le graphique de la fonction quadratique (trinôme quadratique) y = ax 2 + bx + c est une parabole. L'emplacement de la parabole en fonction des signes du coefficient a et du discriminant D est représenté sur la Fig.

Les nombres x 1 et x 2 sur l'axe des abscisses sont les racines de l'équation quadratique ax 2 + bx + + c = 0 ; coordonnées du sommet de la parabole (point A) dans tous les cas

le point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées a les coordonnées (0 ; c).
Comme une ligne droite et un cercle, une parabole divise un plan en deux parties. Dans l'une de ces parties, les coordonnées de tous les points satisfont à l'inégalité y > ax 2 + bx + c, et dans l'autre, l'inverse. Nous déterminons le signe de l'inégalité dans la partie sélectionnée du plan en le trouvant en tout point de cette partie du plan.
Considérons le concept de tangente à une parabole (ou cercle). On appellera la droite y - kx + 1 tangente à une parabole (ou cercle) si elle a un point commun avec cette courbe.

Au point de contact M(x; y), pour une parabole l'égalité kx +1 = ax 2 + bx + c est vraie (pour un cercle - l'égalité (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0 ) 2 - R2). En assimilant le discriminant de l'équation quadratique résultante à zéro (puisque l'équation doit avoir une solution unique), nous arrivons aux conditions de calcul des coefficients tangents.

Il existe un certain nombre de relations dans les équations quadratiques. Les principaux sont les relations entre racines et coefficients. Dans les équations quadratiques également, il existe un certain nombre de relations données par le théorème de Vieta.

Dans ce sujet, nous présenterons le théorème de Vieta lui-même et sa preuve pour une équation quadratique, le théorème inverse du théorème de Vieta, et analyserons un certain nombre d'exemples de résolution de problèmes. Dans ce document, nous accorderons une attention particulière à la prise en compte des formules de Vieta, qui définissent la relation entre les racines réelles équation algébrique degrés n et ses coefficients.

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Formulation et preuve du théorème de Vieta

Formule pour les racines d'une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0 de la forme x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, où ré = b 2 − 4 une c, établit des relations x 1 + x 2 = - b une, x 1 x 2 = c une. Ceci est confirmé par le théorème de Vieta.

Théorème 1

Dans une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, Où x1 Et x2– racines, la somme des racines sera égale au rapport des coefficients b Et un, qui a été pris avec le signe opposé, et le produit des racines sera égal au rapport des coefficients c Et un, c'est à dire. x 1 + x 2 = - b une, x 1 x 2 = c une.

Preuve 1

Nous vous proposons le schéma suivant pour réaliser la preuve : prendre la formule des racines, composer la somme et le produit des racines de l'équation quadratique puis transformer les expressions résultantes afin de s'assurer qu'elles sont égales - ba Et Californie respectivement.

Faisons la somme des racines x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Réduisons les fractions à dénominateur commun- b + D 2 · une + - b - D 2 · une = - b + D + - b - D 2 · une . Ouvrons les parenthèses au numérateur de la fraction résultante et présentons des termes similaires : - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Réduisons la fraction de : 2 - b a = - b a.

C’est ainsi que nous avons démontré la première relation du théorème de Vieta, qui concerne la somme des racines d’une équation quadratique.

Passons maintenant à la deuxième relation.

Pour ce faire, nous devons composer le produit des racines de l'équation quadratique : x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Rappelons la règle de multiplication des fractions et écrivons le dernier produit comme suit : - b + D · - b - D 4 · a 2.

Multiplions une parenthèse par une parenthèse au numérateur de la fraction, ou utilisons la formule de différence des carrés pour transformer ce produit plus rapidement : - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Utilisons la définition racine carrée afin d'effectuer la transition suivante : - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Formule ré = b 2 − 4 une c correspond au discriminant d'une équation quadratique donc en fraction au lieu de D peut être remplacé b 2 − 4 une c :

b 2 - D 4 une 2 = b 2 - (b 2 - 4 une c) 4 une 2

Ouvrons les parenthèses, ajoutons des termes similaires et obtenons : 4 · a · c 4 · a 2 . Si nous le raccourcissons à 4 une, alors ce qui reste est c a . C’est ainsi que nous avons démontré la deuxième relation du théorème de Vieta pour le produit des racines.

La preuve du théorème de Vieta peut s'écrire sous une forme très laconique si l'on omet les explications :

x 1 + x 2 = - b + D 2 une + - b - D 2 une = - b + D + - b - D 2 une = - 2 b 2 une = - b une , x 1 x 2 = - b + D 2 · une · - b - D 2 · une = - b + D · - b - D 4 · une 2 = - b 2 - D 2 4 · une 2 = b 2 - D 4 · une 2 = = D = b 2 - 4 · une · c = b 2 - b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 = 4 · une · c 4 · une 2 = c une .

Lorsque le discriminant d’une équation quadratique est égal à zéro, l’équation n’aura qu’une seule racine. Pour pouvoir appliquer le théorème de Vieta à une telle équation, on peut supposer que l'équation, de discriminant égal à zéro, a deux racines identiques. En effet, quand D=0 la racine de l'équation quadratique est : - b 2 · a, alors x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a et x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , et puisque D = 0, c'est-à-dire b 2 - 4 · a · c = 0, d'où b 2 = 4 · a · c, alors b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Le plus souvent en pratique, le théorème de Vieta est appliqué à l'équation quadratique réduite de la forme x 2 + p x + q = 0, où le coefficient dominant a est égal à 1. À cet égard, le théorème de Vieta est formulé spécifiquement pour des équations de ce type. Cela ne limite pas la généralité du fait que toute équation quadratique peut être remplacée par une équation équivalente. Pour ce faire, vous devez diviser ses deux parties par un nombre différent de zéro.

Donnons une autre formulation du théorème de Vieta.

Théorème 2

Somme des racines dans l'équation quadratique donnée x 2 + p x + q = 0 sera égal au coefficient de x, qui est pris avec le signe opposé, le produit des racines sera égal au terme libre, c'est-à-dire x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Théorème inverse du théorème de Vieta

Si vous regardez attentivement la deuxième formulation du théorème de Vieta, vous pouvez voir que pour les racines x1 Et x2équation quadratique réduite x 2 + p x + q = 0 les relations suivantes seront valides : x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. De ces relations x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q il s'ensuit que x1 Et x2 sont les racines de l'équation quadratique x 2 + p x + q = 0. Nous arrivons donc à une affirmation qui est l’inverse du théorème de Vieta.

Nous proposons maintenant de formaliser cet énoncé sous forme de théorème et d'en réaliser la preuve.

Théorème 3

Si les chiffres x1 Et x2 sont tels que X 1 + X 2 = − p Et x 1 x 2 = q, Que x1 Et x2 sont les racines de l'équation quadratique réduite x 2 + p x + q = 0.

Preuve 2

Remplacer les cotes p Et qà leur expression à travers x1 Et x2 permet de transformer l'équation x 2 + p x + q = 0 en un équivalent .

Si nous substituons le nombre dans l'équation résultante x1 au lieu de X, alors on obtient l'égalité x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. C'est l'égalité pour tous x1 Et x2 se transforme en une véritable égalité numérique 0 = 0 , parce que x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Cela signifie que x1- racine de l'équation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Et alors x1 est aussi la racine de l'équation équivalente x 2 + p x + q = 0.

Substitution dans l'équation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 Nombres x2 au lieu de x nous permet d'obtenir l'égalité x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Cette égalité peut être considérée comme vraie, puisque x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Il se trouve que x2 est la racine de l'équation x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, et donc les équations x 2 + p x + q = 0.

La réciproque du théorème de Vieta a été prouvée.

Exemples d'utilisation du théorème de Vieta

Commençons maintenant par analyser les exemples les plus typiques sur le sujet. Commençons par analyser les problèmes qui nécessitent l'application du théorème inverse du théorème de Vieta. Il peut être utilisé pour vérifier les nombres produits par des calculs afin de voir s'ils sont les racines d'une équation quadratique donnée. Pour ce faire, vous devez calculer leur somme et leur différence, puis vérifier la validité des relations x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Le respect des deux relations indique que les nombres obtenus lors des calculs sont les racines de l'équation. Si nous constatons qu'au moins une des conditions n'est pas remplie, alors ces nombres ne peuvent pas être les racines de l'équation quadratique donnée dans l'énoncé du problème.

Exemple 1

Laquelle des paires de nombres 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, ou 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ou 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 est une paire de racines d'une équation quadratique 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Solution

Trouvons les coefficients de l'équation quadratique 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. C'est a = 4, b = − 16, c = 9. Selon le théorème de Vieta, la somme des racines d'une équation quadratique doit être égale à - ba, c'est, 16 4 = 4 , et le produit des racines doit être égal Californie, c'est, 9 4 .

Vérifions les nombres obtenus en calculant la somme et le produit des nombres de trois paires données et en les comparant avec les valeurs obtenues.

Dans le premier cas x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Cette valeur est différente de 4, il n'est donc pas nécessaire de poursuivre le contrôle. D'après le théorème inverse du théorème de Vieta, on peut immédiatement conclure que la première paire de nombres ne sont pas les racines de cette équation quadratique.

Dans le deuxième cas, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. On voit que la première condition est remplie. Mais la deuxième condition n'est pas : x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. La valeur que nous avons obtenue est différente de 9 4 . Cela signifie que la deuxième paire de nombres ne sont pas les racines de l’équation quadratique.

Passons à la troisième paire. Ici x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 et x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que x1 Et x2 sont les racines d’une équation quadratique donnée.

Répondre: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

Nous pouvons également utiliser l'inverse du théorème de Vieta pour trouver les racines d'une équation quadratique. Le moyen le plus simple consiste à sélectionner des racines entières des équations quadratiques données avec des coefficients entiers. D'autres options peuvent être envisagées. Mais cela peut considérablement compliquer les calculs.

Pour sélectionner des racines, on utilise le fait que si la somme de deux nombres est égale au deuxième coefficient d'une équation quadratique, pris avec le signe moins, et que le produit de ces nombres est égal au terme libre, alors ces nombres sont les racines de cette équation quadratique.

Exemple 2

A titre d'exemple, nous utilisons l'équation quadratique x 2 − 5 x + 6 = 0. Nombres x1 Et x2 peuvent être les racines de cette équation si deux égalités sont satisfaites x1 + x2 = 5 Et x1x2 = 6. Sélectionnons ces numéros. Ce sont les numéros 2 et 3, puisque 2 + 3 = 5 Et 2 3 = 6. Il s’avère que 2 et 3 sont les racines de cette équation quadratique.

L'inverse du théorème de Vieta peut être utilisée pour trouver la deuxième racine lorsque la première est connue ou évidente. Pour ce faire, on peut utiliser les relations x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Exemple 3

Considérons l'équation quadratique 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Il faut trouver des racines équation donnée.

Solution

La première racine de l’équation est 1, puisque la somme des coefficients de cette équation quadratique est nulle. Il se trouve que x1 = 1.

Trouvons maintenant la deuxième racine. Pour cela, vous pouvez utiliser la relation x 1 x 2 = c une. Il se trouve que 1 x 2 = − 3 512, où x2 = - 3 512.

Répondre: racines de l'équation quadratique spécifiée dans l'énoncé du problème 1 Et - 3 512 .

Il n’est possible de sélectionner des racines en utilisant le théorème inverse du théorème de Vieta que dans des cas simples. Dans d'autres cas, il est préférable de rechercher à l'aide de la formule les racines d'une équation quadratique via un discriminant.

Grâce à l'inverse du théorème de Vieta, on peut aussi construire des équations quadratiques en utilisant les racines existantes x1 Et x2. Pour ce faire, il faut calculer la somme des racines, ce qui donne le coefficient pour X avec le signe opposé de l'équation quadratique donnée, et le produit des racines, qui donne le terme libre.

Exemple 4

Écrire une équation quadratique dont les racines sont des nombres − 11 Et 23 .

Solution

Supposons que x 1 = − 11 Et x2 = 23. La somme et le produit de ces nombres seront égaux : x1 + x2 = 12 Et x 1 x 2 = − 253. Cela signifie que le deuxième coefficient est 12, le terme libre − 253.

Faisons une équation : x 2 − 12 x − 253 = 0.

Répondre: X 2 − 12 X − 253 = 0 .

Nous pouvons utiliser le théorème de Vieta pour résoudre des problèmes impliquant les signes des racines des équations quadratiques. Le lien entre le théorème de Vieta est lié aux signes des racines de l'équation quadratique réduite x 2 + p x + q = 0 de la manière suivante :

si l'équation quadratique a des racines réelles et si le terme d'origine q est un nombre positif, alors ces racines auront le même signe « + » ou « - » ;
si l'équation quadratique a des racines et si le terme d'origine q est un nombre négatif, alors une racine sera « + » et la seconde « - ».

Ces deux affirmations sont une conséquence de la formule x 1 x 2 = q et des règles pour multiplier le positif et nombres négatifs, ainsi que des chiffres avec des signes différents.

Exemple 5

Sont les racines d'une équation quadratique x 2 − 64 x − 21 = 0 positif?

Solution

Selon le théorème de Vieta, les racines de cette équation ne peuvent pas être toutes les deux positives, puisqu’elles doivent satisfaire l’égalité x 1 x 2 = − 21. C'est impossible avec du positif x1 Et x2.

Répondre: Non

Exemple 6

À quelles valeurs de paramètre réquation quadratique x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 en aura deux vraies racines avec des signes différents.

Solution

Commençons par trouver les valeurs dont r, pour laquelle l'équation aura deux racines. Trouvons le discriminant et voyons à quoi r il faudra des valeurs positives. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Valeur de l'expression r 2 + 8 positif pour tout réel r, par conséquent, le discriminant sera supérieur à zéro pour tout réel r. Cela signifie que l'équation quadratique originale aura deux racines pour toute valeur réelle du paramètre r.

Voyons maintenant quand les racines prendront racine différents signes. Ceci est possible si leur produit est négatif. Selon le théorème de Vieta, le produit des racines de l'équation quadratique réduite est égal au terme libre. Cela signifie que la bonne solution sera ces valeurs r, pour lequel le terme libre r − 1 est négatif. Décidons inégalité linéaire r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Répondre:à r< 1 .

Formules Vieta

Il existe un certain nombre de formules applicables pour effectuer des opérations avec les racines et les coefficients d'équations non seulement quadratiques, mais également cubiques et autres. On les appelle les formules de Vieta.

Pour une équation algébrique de degré n de la forme a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 l'équation est considérée comme ayant n vraies racines x 1 , x 2 , … , x n, parmi lesquels peuvent être les mêmes :
x1 + x2 + x3 + . . . + x n = - une 1 une 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = une 2 une 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - une 3 une 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Définition 1

Les formules de Vieta nous aident à obtenir :

théorème sur la décomposition d'un polynôme en facteurs linéaires ;
détermination de polynômes égaux par l'égalité de tous leurs coefficients correspondants.

Ainsi, le polynôme a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n et son développement en facteurs linéaires de la forme a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sont égaux.

Si nous développons les parenthèses dans dernier travail et égalisons les coefficients correspondants, nous obtenons les formules de Vieta. En prenant n = 2, nous pouvons obtenir la formule de Vieta pour l'équation quadratique : x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Définition 2

La formule de Vieta pour l'équation cubique :
x 1 + x 2 + x 3 = - une 1 une 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = une 2 une 0 , x 1 x 2 x 3 = - une 3 une 0

Le côté gauche de la formule Vieta contient les polynômes symétriques dits élémentaires.

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L’essence de cette technique est de trouver des racines sans l’aide d’un discriminant. Pour une équation de la forme x2 + bx + c = 0, où il existe deux racines réelles différentes, deux affirmations sont vraies.

La première affirmation indique que la somme des racines de cette équation est égale à la valeur du coefficient de la variable x (dans ce cas c'est b), mais avec le signe opposé. Visuellement, cela ressemble à ceci : x1 + x2 = −b.

La deuxième affirmation ne se rapporte plus à la somme, mais au produit de ces deux mêmes racines. Ce produit est assimilé au coefficient libre, c'est-à-dire c. Ou, x1 * x2 = c. Ces deux exemples sont résolus dans le système.

Le théorème de Vieta simplifie grandement la solution, mais présente une limite. Une équation quadratique dont les racines peuvent être trouvées grâce à cette technique doit être réduite. Dans l’équation ci-dessus, le coefficient a, celui devant x2, est égal à un. N'importe quelle équation peut être amenée à une forme similaire en divisant l'expression par le premier coefficient, mais cette opération n'est pas toujours rationnelle.

Preuve du théorème

Pour commencer, rappelons qu’il est traditionnellement d’usage de rechercher les racines d’une équation quadratique. On trouve les première et deuxième racines, à savoir : x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. En général il est divisible par 2a, mais, comme déjà mentionné, le théorème ne peut s’appliquer que lorsque a=1.

Du théorème de Vieta, on sait que la somme des racines est égale au deuxième coefficient avec un signe moins. Cela signifie que x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Il en va de même pour le produit de racines inconnues : x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. À son tour, D = b2-4c (encore une fois avec a=1). Il s’avère que le résultat est : x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

De la simple démonstration donnée, une seule conclusion peut être tirée : le théorème de Vieta est complètement confirmé.

Deuxième formulation et preuve

Le théorème de Vieta a une autre interprétation. Pour être plus précis, il ne s’agit pas d’une interprétation, mais d’une formulation. Le fait est que si les mêmes conditions sont remplies que dans le premier cas : il existe deux racines réelles différentes, alors le théorème peut être écrit par une autre formule.

Cette égalité ressemble à ceci : x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Si la fonction P(x) se coupe en deux points x1 et x2, alors elle peut s'écrire sous la forme P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Dans le cas où P a un deuxième degré, et c’est exactement à cela que ressemble l’expression originale, alors R est nombre premier, à savoir 1. Cette affirmation est vraie car sinon l’égalité ne serait pas valable. Le coefficient x2 lors de l'ouverture des parenthèses ne doit pas être plus d'un, et l'expression doit rester carrée.

L'une des méthodes pour résoudre une équation quadratique consiste à utiliser Les formules VIET, qui porte le nom de FRANCOIS VIETTE.

C'était un célèbre avocat qui fut au service du roi de France au XVIe siècle. DANS temps libreétudié l'astronomie et les mathématiques. Il a établi un lien entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique.

Avantages de la formule :

1 . En appliquant la formule, vous pouvez rapidement trouver une solution. Parce qu'il n'est pas nécessaire d'entrer le deuxième coefficient dans le carré, puis d'en soustraire 4ac, de trouver le discriminant et de substituer sa valeur dans la formule pour trouver les racines.

2 . Sans solution, vous pouvez déterminer les signes des racines et sélectionner les valeurs des racines.

3 . Après avoir résolu un système à deux enregistrements, il n'est pas difficile de trouver les racines elles-mêmes. Dans l’équation quadratique ci-dessus, la somme des racines est égale à la valeur du deuxième coefficient avec un signe moins. Le produit des racines dans l’équation quadratique ci-dessus est égal à la valeur du troisième coefficient.

4 . À l'aide de ces racines, écrivez une équation quadratique, c'est-à-dire résolvez le problème inverse. Par exemple, cette méthode est utilisée pour résoudre des problèmes de mécanique théorique.

5 . Il est pratique d'utiliser la formule lorsque le coefficient dominant est égal à un.

Défauts:

1 . La formule n'est pas universelle.