Définition. Bord latéral- il s'agit d'un triangle dont un angle se situe au sommet de la pyramide et le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).
Définition. Côtes latérales- ce sont les côtés communs des faces latérales. Une pyramide a autant d’arêtes que d’angles d’un polygone.
Définition. Hauteur de la pyramide- c'est une perpendiculaire abaissée du haut à la base de la pyramide.
Définition. Apothème- il s'agit d'une perpendiculaire à la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide jusqu'au côté de la base.
Définition. Coupe diagonale- il s'agit d'une section d'une pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.
Définition. Pyramide correcte est une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur descend jusqu'au centre de la base.
Volume et superficie de la pyramide
Formule. Volume de la pyramideà travers la surface de base et la hauteur :
Propriétés de la pyramide
Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être tracé autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, une perpendiculaire tombant du haut passe par le centre de la base (cercle).
Si tous les bords latéraux sont égaux, ils sont alors inclinés par rapport au plan de base selon les mêmes angles.
Les bords latéraux sont égaux lorsqu'ils forment des angles égaux avec le plan de la base ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.
Si les faces latérales sont inclinées du même angle par rapport au plan de la base, alors les apothèmes des faces latérales sont égaux.
Propriétés d'une pyramide régulière
1. Le sommet de la pyramide est à égale distance de tous les coins de la base.
2. Tous les bords latéraux sont égaux.
3. Toutes les nervures latérales sont inclinées à des angles égaux par rapport à la base.
4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.
5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.
6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).
7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère circonscrite sera le point d’intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.
8. Vous pouvez insérer une sphère dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices issues de l'angle entre le bord et la base.
9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme des angles plans au sommet est égale à π ou vice versa, un angle est égal à π/n, où n est le nombre des angles à la base de la pyramide.
Le lien entre la pyramide et la sphère
Une sphère peut être décrite autour d'une pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (nécessaire et condition suffisante). Le centre de la sphère sera le point d’intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.
Il est toujours possible de décrire une sphère autour de n'importe quelle pyramide triangulaire ou régulière.
Une sphère peut être inscrite dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.
Connexion d'une pyramide avec un cône
Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.
Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.
Un cône peut être décrit autour d’une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Relation entre une pyramide et un cylindre
Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre et que la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.
Un cylindre peut être décrit autour d’une pyramide si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Un tétraèdre a quatre faces, quatre sommets et six arêtes, deux arêtes n'ayant pas de sommets communs mais ne se touchant pas.
Chaque sommet est constitué de trois faces et arêtes qui forment angle triangulaire.
Le segment reliant le sommet d'un tétraèdre au centre de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre(GM).
Bimédian appelé segment reliant les milieux des bords opposés qui ne se touchent pas (KL).
Toutes les bimédianes et médianes d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes sont divisées dans un rapport de 3 : 1 en partant du haut.
Définition. Pyramide à angle aigu- une pyramide dans laquelle l'apothème fait plus de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Pyramide obtuse- une pyramide dont l'apothème fait moins de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. Tétraèdre régulier- un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq polygones réguliers. Dans un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres (entre les faces) et les angles trièdres (au sommet) sont égaux.
Définition. Tétraèdre rectangulaire s'appelle un tétraèdre dans lequel il y a un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Trois visages se forment angle triangulaire rectangulaire et les faces sont des triangles rectangles, et la base est un triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.
Définition. Tétraèdre isoédrique s'appelle un tétraèdre dont les faces latérales sont égales les unes aux autres et dont la base est un triangle régulier. Un tel tétraèdre a des faces qui sont des triangles isocèles.
Définition. Tétraèdre orthocentrique s'appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui s'abaissent du haut vers la face opposée se coupent en un point.
Définition. Pyramide étoilée appelé polyèdre dont la base est une étoile.
Vous trouverez ici des informations de base sur les pyramides et les formules et concepts associés. Tous sont étudiés avec un tuteur en mathématiques en préparation à l'examen d'État unifié.
Considérons un plan, un polygone 
, se trouvant dedans et un point S, ne se trouvant pas dedans. Relions S à tous les sommets du polygone. Le polyèdre résultant s’appelle une pyramide. Les segments sont appelés côtes latérales. 
Le polygone s'appelle la base et le point S est le sommet de la pyramide. Selon le nombre n, la pyramide est appelée triangulaire (n=3), quadrangulaire (n=4), pentagonale (n=5) et ainsi de suite. Titre alternatif pyramide triangulaire – tétraèdre. La hauteur d'une pyramide est la perpendiculaire descendant de son sommet jusqu'au plan de la base. 
Une pyramide est dite régulière si un polygone régulier, et la base de l'altitude de la pyramide (la base de la perpendiculaire) est son centre.
Commentaire du tuteur:
Ne confondez pas les notions de « pyramide régulière » et de « tétraèdre régulier ». Dans une pyramide régulière, les arêtes latérales ne sont pas nécessairement égales aux arêtes de la base, mais dans un tétraèdre régulier, les 6 arêtes sont égales. C'est sa définition. Il est facile de prouver que l’égalité implique que le centre P du polygone coïncide avec une hauteur de base, donc un tétraèdre régulier est une pyramide régulière.
Qu'est-ce qu'un apothème ?
L'apothème d'une pyramide est la hauteur de sa face latérale. Si la pyramide est régulière, alors tous ses apothèmes sont égaux. L’inverse n’est pas vrai. 
Un professeur de mathématiques à propos de sa terminologie : 80 % du travail avec des pyramides est construit à travers deux types de triangles :
1) Contenant l'apothème SK et la hauteur SP
2) Contenant le bord latéral SA et sa projection PA 
Pour simplifier les références à ces triangles, il est plus pratique pour un professeur de mathématiques d'appeler le premier d'entre eux apothémique, et deuxieme costal. Malheureusement, vous ne trouverez cette terminologie dans aucun manuel scolaire et l'enseignant doit l'introduire unilatéralement.
Formule pour le volume d'une pyramide:
1) 
, où est l'aire de la base de la pyramide et est la hauteur de la pyramide
2) , où est le rayon de la sphère inscrite, et est l'aire toute la surface pyramides.
3) 
, où MN est la distance entre deux arêtes qui se croisent, et est l'aire du parallélogramme formé par les milieux des quatre arêtes restantes.
Propriété de la base de la hauteur d'une pyramide :
Le point P (voir figure) coïncide avec le centre du cercle inscrit à la base de la pyramide si l'une des conditions suivantes est remplie :
1) Tous les apothèmes sont égaux
2) Toutes les faces latérales sont également inclinées par rapport à la base
3) Tous les apothèmes sont également inclinés par rapport à la hauteur de la pyramide
4) La hauteur de la pyramide est également inclinée sur toutes les faces latérales
Commentaire du professeur de mathématiques: Veuillez noter que tous les points ont une chose en commun propriété générale: d'une manière ou d'une autre, les faces latérales interviennent partout (les apothèmes sont leurs éléments). L'enseignant peut donc proposer une formulation moins précise, mais plus pratique pour l'apprentissage : le point P coïncide avec le centre du cercle inscrit, la base de la pyramide, s'il existe des informations égales sur ses faces latérales. Pour le prouver, il suffit de montrer que tous les triangles apothèmes sont égaux.
Le point P coïncide avec le centre d'un cercle circonscrit près de la base de la pyramide si l'une des trois conditions suivantes est vraie :
1) Tous les bords latéraux sont égaux
2) Toutes les nervures latérales sont également inclinées par rapport à la base
3) Toutes les nervures latérales sont également inclinées par rapport à la hauteur
Pour solution réussie Les problèmes de géométrie nécessitent une compréhension claire des termes utilisés par cette science. Par exemple, ce sont « droit », « plan », « polyèdre », « pyramide » et bien d'autres. Dans cet article, nous répondrons à la question de savoir ce qu'est un apothème.
Double usage du terme « apothème »
En géométrie, la signification du mot « apothème » ou « apothème », comme on l'appelle aussi, dépend de l'objet auquel il s'applique. Il existe deux classes de figures fondamentalement différentes dans lesquelles c'est l'une de leurs caractéristiques.
Tout d’abord, ce sont des polygones plats. Qu'est-ce qu'un apothème pour un polygone ? Il s'agit de la hauteur tirée du centre géométrique de la figure jusqu'à l'un de ses côtés.
Pour rendre plus clair ce que nous voulons dire nous parlons de, considérer exemple spécifique. Supposons que nous ayons un hexagone régulier comme le montre la figure ci-dessous.
Le symbole l désigne la longueur de son côté et la lettre a désigne l'apothème. Pour un triangle marqué, ce n'est pas seulement la hauteur, mais aussi la bissectrice et la médiane. Il est facile de montrer que par le côté l il peut être calculé comme suit :
L'apothème est défini de la même manière pour tout n-gon.
Deuxièmement, ce sont des pyramides. Quel est l’apothème d’un tel personnage ? Cette question nécessite un examen plus détaillé.
Sur ce sujet: Comment rendre ses cils longs et épais en seulement un mois ?
Pyramides et leurs apothèmes
Tout d’abord, définissons une pyramide d’un point de vue géométrique. Ce chiffre représente corps volumétrique, formé d'un n-gon (base) et de n triangles (côtés). Ces derniers sont reliés en un point, appelé sommet. La distance entre celui-ci et la base correspond à la hauteur de la figure. Si elle tombe sur le centre géométrique du n-gone, alors la pyramide est appelée une ligne droite. Si, de plus, le n-gon a des angles et des côtés égaux, alors la figure est dite régulière. Ci-dessous, un exemple de pyramide.
Quel est l’apothème d’un tel personnage ? C'est la perpendiculaire qui relie les côtés du n-gon au sommet de la figure. Évidemment, cela représente la hauteur du triangle, qui est le côté de la pyramide.
Apothème est pratique à utiliser lors de la résolution problèmes géométriques avec des pyramides correctes. Le fait est que pour eux toutes les faces latérales sont égales les unes aux autres triangles isocèles. Dernier fait signifie que tous les n apothèmes sont égaux, donc pour une pyramide régulière, nous pouvons parler d'une et une seule de ces lignes droites.
Apothème d'une pyramide quadrangulaire régulière
Peut-être le plus un exemple clair Cette figure sera la célèbre première merveille du monde – la Pyramide de Khéops. Elle est située en Egypte.
Pour une telle figure avec une base n-gonale régulière, nous pouvons donner des formules qui nous permettent de déterminer son apothème à travers la longueur a du côté du polygone, à travers le bord latéral b et la hauteur h. Ici, nous écrivons les formules correspondantes pour une pyramide droite à base carrée. L'apothème h b pour cela sera égal à :
Sur ce sujet: Drapeau de la Bachkirie - description, symbolisme et histoire
h b = √(b 2 - une 2 /4) ;
h b = √(h 2 + une 2 /4)
La première de ces expressions est valable pour toute pyramide régulière, la seconde - uniquement pour une pyramide quadrangulaire.
Montrons comment ces formules peuvent être utilisées pour résoudre le problème.
Problème géométrique
Soit une pyramide droite à base carrée. Il est nécessaire de calculer sa superficie de base. L'apothème de la pyramide mesure 16 cm et sa hauteur est 2 fois le côté de la base.
Tout écolier le sait : pour trouver l'aire du carré, qui constitue la base de la pyramide en question, il faut connaître son côté a. Pour le trouver, nous utiliserons la formule suivante pour l'apothème :
h b = √(h 2 + une 2 /4)
La signification de l'apothème est connue à partir des conditions du problème. Puisque la hauteur h est deux fois la longueur du côté a, cette expression peut être transformée comme suit :
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
une = 2*h b /√17
L'aire d'un carré est égale au produit de ses côtés. En substituant l'expression résultante à a, nous avons :
S = a 2 = 4/17*h b 2
Il reste à substituer la valeur de l'apothème des conditions du problème dans la formule et à écrire la réponse : S ≈ 60,2 cm 2.
Lire aussi :
Note. Cela fait partie d'une leçon avec des problèmes de géométrie (stéréométrie des sections, problèmes sur la pyramide). Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le sur le forum. Dans les tâches, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() est utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Pour les expressions radicales simples, le signe "√" peut être utilisé.Pour le matériel théorique et les formules, voir le chapitre « Pyramide correcte ».
Tâche
L'apothème d'une pyramide triangulaire régulière mesure 4 cm, et angle dièdreà la base est de 60 degrés. Trouvez le volume de la pyramide.Solution.
Puisque la pyramide est régulière, considérez ce qui suit :
- La hauteur de la pyramide est projetée sur le centre de la base
- D’après le problème, le centre de la base d’une pyramide régulière est un triangle équilatéral
- Centre triangle équilatéral est à la fois le centre du cercle inscrit et circonscrit
- La hauteur de la pyramide forme un angle droit avec le plan de la base
V = 1/3 SH
Puisque l’apothème d’une pyramide régulière forme un triangle rectangle avec la hauteur de la pyramide, nous utilisons le théorème des sinus pour trouver la hauteur. De plus, prenons en compte :
- La première étape du sujet triangle rectangle est la hauteur, la deuxième branche est le rayon du cercle inscrit (dans un triangle régulier, le centre est à la fois le centre du cercle inscrit et circonscrit), l'hypoténuse est l'apothème de la pyramide
- Le troisième angle d'un triangle rectangle est égal à 30 degrés (la somme des angles d'un triangle est de 180 degrés, l'angle de 60 degrés est donné par condition, le deuxième angle est une droite selon les propriétés de la pyramide, le troisième est 180-90-60 = 30)
- le sinus de 30 degrés est égal à 1/2
- le sinus de 60 degrés est égal à la racine de trois sur deux
- le sinus de 90 degrés est 1
4 / péché(90) = h / péché(60) = r / péché(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
où
r = 2
h = 2√3
A la base de la pyramide se trouve un triangle régulier dont l'aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
S triangle régulier = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.
Trouvons maintenant le volume de la pyramide :
V = 1/3 SH
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm3.
Répondre: 24 cm3 .
Tâche
La hauteur et le côté de la base sont corrects pyramide quadrangulaire respectivement égaux à 24 et 14. trouver l'apothème de la pyramide.Solution .
Puisque la pyramide est régulière, à sa base se trouve un quadrilatère régulier - un carré. De plus, la hauteur de la pyramide est projetée au centre de la place. Ainsi, la jambe d'un triangle rectangle, qui est formée par l'apothème de la pyramide, la hauteur et le segment qui les relie, est égale à la moitié de la longueur de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière.
Où, selon le théorème de Pythagore, la longueur de l'apothème sera trouvée à partir de l'équation :
7 2 + 24 2 = x 2
x2 = 625
x = 25
Réponse : 25 cm
