Test sur les équations exponentielles et logarithmiques. Test de mathématiques sur le thème « Équations logarithmiques et inégalités

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Description de la présentation par diapositives individuelles :

Diapositive n°1

Manuel scientifique d'algèbre Thème : « Équations et inégalités logarithmiques et exponentielles » Complété par : Manuilova L.N. - professeur de mathématiques MBOU École secondaire n° 76, Ijevsk Oudmourtie

Diapositive n°2

Contenu : Chapitre 1. 1.1. La notion de logarithme 1.2. Propriétés du logarithme 1.3. Équations logarithmiques UN. Partie théorique B. Exemples 1.4. Inégalités logarithmiques A. Partie théorique B. Exemples Chapitre 2. 2.1. La puissance d'un nombre positif est 2,2. Fonction exponentielle 2.3. Équations exponentielles A. Partie théorique B. Exemples 2.4. Inégalités exponentielles A. Partie théorique B. Exemples Chapitre 3. 3.1. Test sur le thème « Équations logarithmiques et inégalités » I niveau de complexité II niveau de complexité III niveau de complexité 3.2. Test sur le thème « Équations et inégalités exponentielles » I niveau de complexité II niveau de complexité III niveau de complexité

Diapositive n°3

1.1 La notion de logarithme y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) est un nombre n tel que b = an Le logarithme d'un nombre positif b en base a (a > 0,a ≠ 1) est noté comme suit : n = loga b D'après la définition du logarithme, il est évident il s'ensuit que pour a > 0 , a ≠ 1, b > 0 : a loga b = b

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Fonction logarithmique y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x La fonction y = loga x est appelée fonction logarithmique. Propriétés de la fonction y = loga x, pour a > 0 : Continue et croissante sur l'intervalle (0;+∞) ; Si x→+∞, alors y→+∞ ; si x→0, alors y→ -∞. Puisque loga1=0, alors de la propriété 1 il résulte : si x > 1, alors y > 0 ; si 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, alors oui< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

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Soient a, M et N des nombres positifs, avec a ≠ 1, et k est un nombre réel. Alors les égalités sont vraies : 1. loga (M N) = loga M + loga N - Logarithme du produit des nombres positifs égal à la somme logarithmes de ces nombres. 2. loga M = loga M – loga N - Le logarithme du quotient des nombres positifs N est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur. 3. loga Mk = k · loga M - Le logarithme de la puissance d'un nombre positif est égal au produit de l'exposant et du logarithme de ce nombre. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Formule pour convertir des logarithmes d'une base logb a logb a à une autre. Cas individuels : 1. log10 b = log b - Le logarithme d'un nombre positif b en base 10 est appelé logarithme décimal les chiffres B. 2. loge b = ln b - Le logarithme d'un nombre positif b en base e est appelé un algorithme naturel nombres b 1.2 Propriétés des logarithmes

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1. Soit a un nombre positif donné non égal à 1, b un nombre réel donné. Ensuite, l'équation loga x = b est appelée l'équation logarithmique la plus simple. Par exemple, les équations a) log3 x = 3 ; (1) b) log⅓ x = -2 ; (2) c) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) sont les équations logarithmiques les plus simples. Par la définition d'un logarithme, si un nombre x0 satisfait l'égalité numérique loga x = b, alors le nombre x0 est ab, et ce nombre x0 = ab est le seul. Ainsi, pour tout nombre réel b, l’équation loga x = b a une racine unique x0 = ab. 2. Des équations qui, après avoir remplacé l'inconnue, se transforment en équations logarithmiques les plus simples : a) log5 (4x – 3) = 2 ; (4) b) 2 + 1 = -1 ; (5) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) 1.3 Équations (Partie théorique)

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1.3 Exemples log3 x = 3 Réécrivons l'équation sous la forme : log3 x = log3 27 Alors il est évident que cette équation a une racine unique x0 = 27. Réponse : 27. b) log1/3 x = -2 Cette équation a une racine unique x0 = ( ⅓)-2 =9 Réponse : 9. c) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) En réduisant tous les logarithmes à la même base, on réécrit le équation comme : 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Puisque chaque terme de la somme entre parenthèses est positif, la somme n'est pas égale à zéro. Par conséquent, l’équation (1), et donc l’équation (2), sont équivalentes à l’équation log25 x = 0, qui a une seule racine x0 = 1. Par conséquent, l’équation (1) a une seule racine x0 = 1. Réponse : 1 . a, b – les équations les plus simples ; c est une équation qui, après transformations, se transforme en log le plus simple. l'équation

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1.3 Exemples a) log5 (4x – 3) = 2 (1) En introduisant le nouveau connu t = 4x – 3, nous réécrivons l'équation sous la forme : log5 t = 2. Cette équation a une racine unique t1 = 52 =25. Pour trouver la racine de l’équation (1), vous devez résoudre l’équation : 4x – 3 = 25. (2) Elle a une seule racine x1 =7. Par conséquent, l’équation (1) a également une racine unique x1=7. Réponse : 7. b) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) Introduction d'une nouvelle inconnue t = log (3x + 1) et prise en compte de ce log 0.01 = -2, on réécrit l'équation (1) sous la forme : 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Après avoir résolu l'équation rationnelle (2), on trouve qu'elle a deux racines t1 = -2 et t2 = 1. Pour trouver toutes les racines de l'équation (1), il faut combiner les racines des deux équations log(3x + 1) = -2 et log(3x + 1) = 1. La première équation est équivalente à l'équation 3x + 1 = 10-2, qui a une seule racine x1 = -0,33. La deuxième équation est équivalente à l'équation 3x + 1 = 10, qui a également une racine unique x2 = 3. Réponse : -0,33 ; 3. a, b – équations réduites au plus simple en remplaçant l’inconnue

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1.4 Inégalités (Partie théorique) Soit a un nombre positif donné non égal à 1, b un nombre réel donné. Alors les inégalités : logа x > b (1) logа x< b (2) являются простейшими логарифмическими неравенствами. Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде: loga x >log x0 (3) log x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, alors la fonction y = loga x augmente sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire sur l'intervalle (0;+∞). Par conséquent, pour tout nombre x > x0, c'est vrai inégalité numérique loga x > loga x0 , et pour tout nombre x de l'intervalle 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 et tout nombre réel b, l'ensemble de toutes les solutions de l'inégalité (3) est l'intervalle (x0 ;+ ∞), et l'ensemble de toutes les solutions de l'inégalité (4) est l'intervalle (0 ; x0). Si 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 le loga d'inégalité numérique x est vrai< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >log x0 . De plus, l'égalité loga x = loga x0 n'est valable que pour x = x0. Ainsi, à 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

Diapositive n°10

1.4 Inégalités (Partie théorique) avion coordonné xOy considérons les graphiques de la fonction y = loga x et y = b. La droite y = b coupe le graphique de la fonction y = loga x en un seul point x0 = ab. Si a > 1, alors pour chaque x > x0 le point correspondant sur le graphique de la fonction y = loga x est situé au-dessus de la droite y = b, c'est-à-dire pour chaque x > x0 l'ordonnée correspondante y = ax est supérieure à l'ordonnée ax0, et pour chaque x de l'intervalle 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 le point correspondant sur le graphique de la fonction y = loga x est en dessous de la droite y = b, et pour chaque x des intervalles 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = loga x (0< a < 1) х0

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1.4 Exemples Résolvons l'inégalité log1/3 x > -2. (1) Puisque -2 = log⅓ 9, alors l'inégalité (1) peut être réécrite comme log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Puisque ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Puisque ½ = log4 2, alors l'inégalité (3) peut être réécrite comme log4 x > log4 2 (4) Puisque 4 > 1, alors la fonction y = log4 x est croissante. Par conséquent, l’ensemble de toutes les solutions de l’inégalité (4), et donc de l’inégalité (3), est l’intervalle (2;+∞). Réponse : (2;+∞). (voir Fig. 1) x y 1 2 3 4 1 -1 0 Fig. 1 y = ½ y = log4 x

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1.4 Exemples Résolvons l'inégalité log3 x – 3log9 x – log81 x > 1.5. (5) Puisque log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), alors l'inégalité (5) peut être réécrite comme : (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 ou comme log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, alors la fonction y = log3 x est croissante. Par conséquent, l’ensemble de toutes les solutions de l’inégalité (6), et donc de l’inégalité (5), est l’intervalle 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

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2.1 Puissance d'un nombre positif Puissance de c indicateur rationnel Soit a un nombre positif et p/q soit nombre rationnel(q ≥ 2). Par définition, le nombre a à la puissance p/q est la racine arithmétique de la puissance q de a à la puissance p, c'est-à-dire une p/q = q√ap . THÉORÈME. Soit a un nombre positif, p un entier, k et q entiers, q ≥ 2, k ≥ 2. Alors les égalités suivantes sont vraies : a) ap/q = (a1/p)p ; b) ap/q = a pk /qk ; c) ap = un pq /q ; Propriétés d'un degré avec un exposant rationnel THÉORÈME 1. Un nombre positif a à un degré avec tout exposant rationnel r est positif : ar > 0 THÉORÈME 2. Soit a un nombre positif, et r1, r2 et r sont des nombres rationnels. Alors les propriétés suivantes sont vraies : 1. En multipliant des puissances avec des exposants rationnels du même nombre positif, les exposants s'additionnent : ar1 ∙ ar2 = ar1 + r2. 2. Lors de la division de puissances avec des exposants rationnels du même nombre positif, les exposants sont soustraits : ar1 : ar2 = ar1 – r2. 3. Lors de l'élévation d'une puissance avec un exposant rationnel d'un nombre positif dans degré rationnel les exposants sont multipliés : (a r1) r2 = a r1∙ r2. THÉORÈME 3. Soient a et b des nombres positifs et r un nombre rationnel. Alors les propriétés suivantes d'un degré avec un exposant rationnel sont valides : Un degré avec un exposant rationnel du produit de nombres positifs est égal au produit des mêmes puissances des facteurs : (ab)r = ar ∙ br . La puissance avec un exposant rationnel du quotient des nombres positifs est égale au quotient des mêmes puissances du dividende et du diviseur : (a / b)r = ar / br. THÉORÈME 4. Soit le nombre a > 1 et r un nombre rationnel. Alors ar > 1 pour r > 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, et les nombres rationnels r1 et r2 satisfont l'inégalité r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

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2.2 Fonction exponentielle Considérons la fonction y = a (1) , où a > 0 et a ≠ 0, sur l'ensemble des nombres rationnels. Pour tout nombre rationnel r, un nombre ar est défini. C’est ainsi que la fonction (1) est définie pour l’instant sur l’ensemble des nombres rationnels. Le graphique de cette fonction dans le système de coordonnées x0y est une collection de points (x ; ax), où x est n'importe quel nombre rationnel. Pour a > 1, ce graphique est schématisé sur la figure (1), et pour 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют fonction exponentielle avec base a.

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2.3 Equations exponentielles (Partie théorique) 1. Soit a un nombre positif donné non égal à 1, b un nombre réel donné. Alors l'équation ax = b (1) est appelée l'équation exponentielle la plus simple. Par exemple, les équations 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 sont les équations exponentielles les plus simples. La racine (ou solution) d'une équation avec un x inconnu est le nombre x0, en le remplaçant dans l'équation au lieu de x, l'égalité numérique correcte est obtenue. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses racines ou montrer qu’il n’y en a pas. Puisque ax0 > 0 pour tout nombre réel x0 pour lequel l'égalité numérique ax0 = b serait vraie satisfait singulier x0 = loga b. Ainsi, l'équation (1) : Pour b ≤ 0 n'a pas de racines ; Pour b > 0, il a une seule racine x0 = loga b. 2. Des équations qui, après avoir remplacé l'inconnue, se transforment en équations exponentielles les plus simples.

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2.3 Exemples Résolvons l'équation (1/2)x = 2 (2) Puisque 2 > 1, cette équation a une racine unique x0 = log½ 2 = -1. Réponse 1. Résolvons l'équation 3x = 5 (3) Puisque 5 > 0, cette équation a une seule racine x0 = log3 5. Réponse : log3 5. Résolvez l'équation 25x = -25 Depuis -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0, cette équation s'écrit souvent sous la forme ax = aα, où α = loga b. Il est alors évident que la seule racine de cette équation, et donc de l’équation (1), est le nombre α. Puisque l’équation (2) peut être écrite sous la forme (1/2)x = (1/2)-1, alors sa seule racine est x0 = -1. Puisque l’équation (3) peut s’écrire 3x = 3log 35, sa seule racine est x0 = log3 5.

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2.3 Exemples Examinons maintenant les équations qui, après de simples transformations, se transforment en équations exponentielles simples. Résolvons l'équation 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) Puisque 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x, alors l'équation (4) peut être réécrite comme 5x ( 25 - 2 – 15) = 200 ou sous la forme 5x = 52 (5) Il est évident que l'équation (5), et donc l'équation (4), ont une racine unique x0 = 2. Réponse : 2. Résolvez l'équation 4 3x - 9 2x = 0 (6) Puisque 2x ≠ 0 pour tout nombre réel, alors en divisant l'équation (6) par 2x, on obtient l'équation 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) équivalente à l'équation (6 ). L'équation (7) peut être réécrite sous la forme (3/2)x = (3/2)2. (8) Puisque l’équation (8) a une racine unique x0 = 2, alors l’équation équivalente (6) a une racine unique x0 = 2. Réponse : 2.

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2.3 Exemples Résolvons l'équation 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0. (9) Après avoir réécrit l'équation (9) sous la forme 34x2 – 8x + 3 = 1, nous introduisons une nouvelle inconnue t = 4x2 – 8x + 3. Ensuite, l'équation (9) peut être réécrite sous la forme 3t = 1. (10 ) Puisque l'équation (10 ) a une seule racine t1 = 0, alors pour trouver les racines de l'équation (9), il faut résoudre l'équation 4x2 – 8x + 3 = 0. Cette équation a deux racines x1 = 1 /2, x2 = 3/2, donc l'équation (9) a les mêmes racines. Réponse : 1/2 ; 3/2. Envisagez maintenant de résoudre des équations qui, après avoir introduit une nouvelle inconnue t, se transforment en équations quadratiques ou rationnelles avec t inconnue. Résolvons l'équation 4x - 3 2x + 2 = 0. (11) Puisque 4x = (2x)2, alors l'équation (11) peut être réécrite comme (2x)2 - 3 2x + 2 = 0. En introduisant une nouvelle inconnue t = 2x, on obtient une équation quadratique t2 - 3t + 2 = 0, qui a deux racines t1 = 1, t2 = 2. Par conséquent, pour trouver toutes les racines de l'équation (11), il faut combiner toutes les racines de les deux équations 2x = 1 et 2x = 2 Après avoir résolu ces équations exponentielles les plus simples, nous constatons que toutes les racines de l'équation (11) sont x1 = 0 ; x2 = 1. Réponse : 0 ; 1 .

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2.4 Inégalités exponentielles (Partie théorique) Soit a un nombre positif donné non égal à 1, b un nombre réel donné. Alors les inégalités ax > b (1) et ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 pour tout nombre réel x0, alors pour b ≤ 0 l'inégalité a x0 > b est vraie pour tout nombre réel x0, mais il n'y a pas un seul nombre réel x0 pour lequel l'inégalité numérique a x0 serait vraie< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, alors l'inégalité (1) et (2) peut être réécrite comme ax > ax0 (1) et ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Puisque pour un tel la fonction y = ax est croissante, alors pour tout nombre x > > ax0, et pour tout nombre x > x0 l'inégalité numérique ax est vraie< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

Diapositive n°20

2.4 Inégalités exponentielles (Partie théorique) Ainsi, pour b > 0 et a > 1, l'ensemble de toutes les solutions de l'inégalité (3) est l'intervalle (x0 ;+∞), et l'ensemble de toutes les solutions de l'inégalité (4) est l'intervalle (-∞; x0) , où x0 = loga b. Laissez maintenant 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 l'axe d'inégalité numérique est vrai< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 et 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b et il n'y a pas de x pour lequel l'inégalité hache< b . При b >0 la droite y = b coupe le graphique de la fonction y = aх en un seul point x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = hache (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

Diapositive n°22

2.4 Exemples Résoudre l'inégalité 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, alors l'inégalité (1) peut être réécrite comme 2x< 23. (2) Так как 2 >1, alors la fonction y = 2x est croissante. Par conséquent, les solutions à l’inégalité (2), et donc à l’inégalité (1), sont toutes x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, alors cette inégalité (3) peut être réécrite comme (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >log⅓5. Réponse : (log⅓ 5 ; +∞). Considérons une inégalité qui, après avoir remplacé l'inconnue, se transforme en la plus simple inégalité exponentielle. Résolvons l'inégalité 5 3x2 - 2x – 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, alors toutes les solutions à cette inégalité sont toutes t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив inégalité quadratique(6), on trouve toutes ses solutions : -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de solution Concentration de l'attention : La concentration de l'attention est égale à N. N = (nombre de bonnes réponses) x 0,125 x 100 %. Écris le cas particulier formules de transition vers le logarithme d'une autre base Écrire la formule de transition vers le logarithme d'une autre base À quoi est égal le logarithme d'une puissance d'un nombre et d'une base ? Quel est le logarithme de la base ? Quel est le logarithme d'une puissance d'un nombre ? Quel est le logarithme du quotient ? Quel est le logarithme du produit ? Formuler la définition du logarithme Répondre à cette question

Considérons arrangement mutuel graphique de la fonction y = log a x (a > 0, a ≠ 1) et de la droite y = b. y = log a x (a>1) y x 0 y = log a x (0

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de résolution CONCLUSION : Le graphique de la fonction y = log a x (a > 0, a ≠ 1) et la droite y = b se coupent en un seul point, c'est-à-dire l'équation log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 a une solution unique x 0 = a b.

DÉFINITION : L'équation log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 est appelée l'équation logarithmique la plus simple. Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de solution Exemple :

Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. DÉFINITION : Les équations logarithmiques sont celles contenant une inconnue sous le signe du logarithme ou à la base du logarithme (ou les deux). Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de solution

Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. ADDENDUM : Lors de la résolution d'équations logarithmiques, il est nécessaire de prendre en compte : la plage des valeurs admissibles du logarithme : seules les valeurs positives peuvent être sous le signe du logarithme ; à la base des logarithmes il n'y a que des quantités positives différentes de l'unité ; propriétés des logarithmes ; action de potentialisation. Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de solution

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de résolution Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. 1) Les équations logarithmiques les plus simples. Exemple n°1 Réponse : Solution :

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de résolution Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. 2) Équations logarithmiques, réduites aux équations logarithmiques les plus simples. Exemple n°1 Réponse : Solution :

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de résolution Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. 3) Équations logarithmiques se réduisant aux équations quadratiques. Exemple n°2 Réponse : Solution : Dans la plage trouvée de valeurs admissibles de la variable x, nous transformons l'équation en utilisant les propriétés des logarithmes. Compte tenu de la plage de valeurs acceptables, on obtient : 10 ; 100

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de résolution Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. 4) Équations logarithmiques, se réduisant à équations rationnelles. Exemple n°1 Réponse : Solution : Revenons à la variable x

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de résolution Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. 4) Équations logarithmiques, réduites à des équations rationnelles. Exemple n°2 Réponse : Solution : Dans la plage trouvée des valeurs admissibles de la variable x, on transforme équation donnée et on obtient : Revenons à la variable x :

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de résolution Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. 5) Équations logarithmiques avec une variable en base et sous le signe du logarithme. Exemple n°1 Réponse : Solution : Dans la plage trouvée de valeurs admissibles de la variable x, on transforme l'équation et on obtient : Compte tenu de la plage de valeurs admissibles de la variable x, on obtient :

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de résolution Types et méthodes de résolution d'équations logarithmiques. 5) Équations logarithmiques avec une variable en base et sous le signe du logarithme. Exemple n°2 Réponse : Solution : Dans la plage trouvée de valeurs admissibles de la variable x, l'équation est équivalente à l'ensemble : Compte tenu de la plage de valeurs admissibles de la variable x, on obtient : 5 ; 6.

Équations logarithmiques, leurs types et méthodes de solution

Lors de la résolution d'équations et d'inégalités logarithmiques, utilisez les propriétés des logarithmes, ainsi que les propriétés de la fonction logarithmique

y=log a x, a > 0, a 1 :

1) Domaine de définition : x > 0 ;

2) Plage : oui R. ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) Pour a>1 la fonction y=log a x augmente, pour 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, c'est-à-dire

a >1 et log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 journal a x 2 x 1< x 2 ;

Lors du passage d'équations logarithmiques (inégalités) à des équations (inégalités) qui ne contiennent pas de signe logarithmique, il convient de prendre en compte la plage de valeurs admissibles (APV) de l'équation d'origine (inégalité).

Problèmes et tests sur le thème "Équations logarithmiques"

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Lors de la résolution d'équations logarithmiques, il est souvent nécessaire d'utiliser les propriétés du logarithme d'un produit, d'un quotient ou d'un degré. Dans les cas où dans une équation logarithmique il existe des logarithmes avec des bases différentes, l'utilisation propriétés spécifiées possible seulement après le passage aux logarithmes à bases égales.

De plus, la résolution de l'équation logarithmique doit commencer par trouver la plage de valeurs admissibles (O.D.Z.) équation donnée, parce que Pendant le processus de dissolution, des racines étrangères peuvent apparaître. Lorsque vous complétez la solution, n'oubliez pas de vérifier les racines trouvées pour appartenir à O.D.Z.

Vous pouvez résoudre des équations logarithmiques sans utiliser O.D.Z. Dans ce cas, la vérification est un élément obligatoire de la solution.

Exemples.

Résoudre des équations :

a) log 3 (5x – 1) = 2.

Solution:

ODZ : 5x – 1 > 0 ; x > 1/5.
log 3 (5x– 1) = 2,
journal 3 (5x – 1) = journal 3 3 2,
5x - 1 =9,
x = 2.

L'objectif principal lorsque vous travaillez avec les billets proposés :

apprendre aux élèves à voir les points communs dans la résolution des équations et inégalités correspondantes et les différences lors de la rédaction des réponses ;
gagner du temps;
capacité à naviguer dans le contenu de ce matériel.

Si le premier objectif ne pose pas question, alors le gain de temps ne se fait pas immédiatement ressentir. Même si c'est le manque de temps qui a affecté la structure des tickets. Ils sont compilés selon le même principe. Les équations et les inégalités sont disposées de manière à ce qu'il soit plus facile d'établir une correspondance entre elles.

Et malgré la recommandation de l'enseignant : résoudre l'équation et la faire suivre immédiatement d'une solution à l'inégalité correspondante, la moitié des élèves ont préféré résoudre d'abord toutes les équations de la première colonne, puis commencer à résoudre les inégalités. Lorsque vous notez la réponse, faites attention au fait qu’en raison de l’absence de racines dans l’équation, cela ne signifie pas que l’inégalité n’aura pas de solution.

Lors de la réussite du deuxième test, aucun problème de ce type ne s'est posé, car beaucoup avaient développé la capacité de « voir » et développé certaines compétences.

Dans chaque ticket, le matériel est sélectionné de telle sorte qu'en plus des équations (inégalités) résolues par définition et propriétés, il y ait des équations (inégalités) résolues par factorisation ; changer les variables. Et bien sûr, la décision est répétée équations du second degré et les inégalités du deuxième degré.

Il n'y a que 26 tâches dans les tickets. Par conséquent, les étudiants se sont vu proposer les normes suivantes : « 5 » – 26 ass. , « 4 » – 19-25 culs. , « 3 » – 14-18 culs. , « 2 » – moins de 14 culs.

Un élève postulant pour une note de « 5 » doit avoir le temps de résoudre toutes les équations et inégalités pendant le cours. Les quatorze premières tâches constituent le minimum requis. Bien entendu, le test peut être repassé. Mais il est conseillé de le faire dans les délais impartis.

Lors de la préparation à l'examen d'État unifié, lorsque les compétences de résolution d'équations (inégalités) sont déjà développées, les tâches peuvent être remplacées. Par exemple, ceux-ci :

indiquer la somme (produit) des racines de l'équation ;
indiquer la plus petite (la plus grande) racine de l'équation ;
trouver la plus petite (la plus grande) solution entière de l'inégalité ;
trouver la somme (le produit) des solutions entières de l'inégalité.

Bien entendu, chaque enseignant peut compléter lui-même cette liste. Selon les classes, il devient nécessaire d’accorder plus d’attention à certaines tâches et moins à d’autres.

Les billets peuvent être utilisés aussi bien pour des tests que pour un travail indépendant. Chaque ticket se compose de deux blocs : un niveau de base de(1er niveau) et surélevé (2ème niveau). Le bloc se compose de deux parties : les équations et les inégalités, qui sont divisées en deux colonnes pour permettre à l'étudiant d'établir plus facilement la correspondance entre elles.

Vous trouverez ci-dessous six options de billets pour chaque sujet. Des réponses leur ont été apportées.

Annexe 1.Équations logarithmiques et inégalités.

Annexe 2. Équations exponentielles et inégalités.

Annexe 3. Réponses aux tickets sur l'algèbre et débuts de l'analyse.

1 possibilité

Option 2

Clé

	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	B1	B2	C1
1 possibilité	2	1	3	4	1	3	1	4	3	2
Option 2	2	2	4	2	4	3	2	3	4	2

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