Tâches pour déterminer les valeurs dans divers systèmes numériques et leurs bases
Exercice 1. Pour coder les caractères @, $, &, %, des nombres binaires séquentiels à deux chiffres sont utilisés. Le premier caractère correspond au nombre 00. A l'aide de ces caractères, la séquence suivante a été codée : $%&&@$. Décodez cette séquence et convertissez le résultat en système de nombres hexadécimaux.
Solution.
1. Comparons les nombres binaires aux caractères qu'ils codent :
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %
3. Convertissez le nombre binaire en système numérique hexadécimal :
0111 1010 0001 = 7A1
Répondre. 7A1 16.
Tâche 2. Le jardin dispose de 100 x arbres fruitiers, dont 33 x pommiers, 22 x ...
– poires, 16 x – prunes, 17 x – cerises. Quelle est la base du système numérique (x).
Solution.
1. Notez que tous les termes sont chiffres à deux chiffres. Dans n'importe quel système numérique, ils peuvent être représentés comme suit :
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, où a et b sont les chiffres des chiffres correspondants du nombre.
Pour un numéro à trois chiffres, cela ressemblerait à ceci :
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = hache 2 + bx + c
2. La condition du problème est la suivante :
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Remplaçons les nombres dans les formules :
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2
3. Résolvez l'équation quadratique :
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Racine carrée de D est 11.
Racines équation quadratique:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 ou x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9
4. Un nombre négatif ne peut pas être la base d'un système numérique. Donc x ne peut être que égal à 9.
Répondre. La base requise du système numérique est 9.
Tâche 3. Dans un système numérique avec une certaine base, le nombre décimal 12 s'écrit 110. Trouvez cette base.
Solution.
Tout d'abord, nous écrirons le nombre 110 à l'aide de la formule d'écriture des nombres dans les systèmes de numération positionnelle pour trouver la valeur dans le système de numération décimal, puis nous trouverons la base par force brute.
110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x
Nous devons obtenir 12. Essayons 2 : 2 2 + 2 = 6. Essayez 3 : 3 2 + 3 = 12.
Cela signifie que la base du système numérique est 3.
Répondre. La base requise du système numérique est 3.
Systèmes de nombres hexadécimaux et octaux
Exercice 1. Quel nombre dans le système numérique hexadécimal correspond au nombre 11000101 ?
Solution.
Lors de la conversion d'un nombre binaire en hexadécimal, le premier est divisé en groupes de quatre chiffres, en commençant par la fin. Si le nombre de chiffres n'est pas divisible par quatre, alors les quatre premiers sont précédés de zéros. Chaque quatre a une correspondance unique avec un chiffre dans le système numérique hexadécimal.
11000101 = 1100 0101 = C5 16
Il n’est pas nécessaire d’avoir une table de correspondance sous les yeux. Le comptage binaire des 15 premiers nombres peut être effectué dans votre tête ou écrit séquentiellement. Il ne faut pas oublier que 10 dans le système décimal correspond à A en hexadécimal, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.
Répondre. 11000101 = C516
Tâche 2. Calculez la somme des nombres binaires x et y, avec x = 10100 et y = 10101. Exprimez les résultats sous forme de nombre octal.
Solution.
Additionnons deux nombres. Les règles de l'arithmétique binaire et décimale sont les mêmes :
Lors de la conversion d'un nombre binaire en octal, le premier est divisé en groupes de trois chiffres, en commençant par la fin. Si le nombre de chiffres n'est pas divisible par trois, alors les trois premiers sont précédés de zéros :
Répondre. La somme des nombres binaires 10100 et 10101, représentés dans le système de nombres octaux, est 51.
Conversion au système de nombres binaires
Exercice 1. A quoi est égal le nombre 37 ? système binaire Dead Reckoning?
Solution.
Vous pouvez convertir en divisant par 2 et en combinant les restes dans l'ordre inverse.
Une autre façon consiste à décomposer le nombre en somme de puissances de deux, en commençant par le plus élevé, dont le résultat calculé est inférieur numéro donné. Lors de la conversion, les puissances manquantes d'un nombre doivent être remplacées par des zéros :
37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101
Répondre. 37 10 = 100101 2 .
Tâche 2. Combien y a-t-il de zéros significatifs en notation binaire ? nombre décimal 73?
Solution.
Décomposons le nombre 73 en somme de puissances de deux, en commençant par la plus élevée et en multipliant ensuite les puissances manquantes par des zéros, et celles existantes par un :
73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001
Répondre. La représentation binaire du nombre décimal 73 comporte quatre zéros significatifs.
Tâche 3. Calculez la somme des nombres x et y pour x = D2 16, y = 37 8. Présentez le résultat dans le système de nombres binaires.
Solution.
Rappelons que chaque chiffre d'un nombre hexadécimal est formé de quatre chiffres binaires, chaque chiffre d'un nombre octal de trois :
D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111
Additionnons les nombres résultants :
Répondre. La somme des nombres D2 16 et y = 37 8, représentés dans le système de nombres binaires, est 11110001.
Tâche 4. Donné: un= D7 16, b= 331 8 . Quel numéro c, écrit dans le système de nombres binaires, remplit la condition un< c < b ?
- 11011001
- 11011100
- 11010111
- 11011000
Solution.
Convertissons les nombres au système de nombres binaires :
D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001
Les quatre premiers chiffres de tous les nombres sont les mêmes (1101). Par conséquent, la comparaison est simplifiée et consiste à comparer les quatre chiffres inférieurs.
Le premier nombre de la liste est égal au nombre b, ne convient donc pas.
Le deuxième nombre est supérieur à b. Le troisième numéro est un.
Seul le quatrième numéro convient : 0111< 1000 < 1001.
Répondre. La quatrième option (11011000) remplit la condition un< c < b .
Conversion au système de nombres décimaux
Exercice 1.À quel nombre correspond 24 16 dans le système décimal ?
Solution.
24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36
Répondre. 24 16 = 36 10
Tâche 2. On sait que X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Quelle est la valeur de X dans le système de nombres décimaux ?
Solution.
12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Trouvez le nombre : X = 6 + 4 + 5 = 15
Répondre. X = 15 10
Tâche 3. Calculez la valeur de la somme 10 2 + 45 8 + 10 16 en notation décimale.
Solution.
Convertissons chaque terme au système de nombres décimaux :
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
La somme est : 2 + 37 + 16 = 55
Répondre. 55 10
Opérations arithmétiques dans le système de nombres binaires
Systèmes numériques
Numéro du sujet :
Dans le système de nombres binaires, les opérations arithmétiques sont effectuées selon les mêmes règles que dans le système de nombres décimaux, car ils sont tous deux positionnels (avec octal, hexadécimal, etc.).
Ajout
L'addition de nombres binaires à un chiffre s'effectue selon les règles suivantes :
Dans ce dernier cas, lors de l’ajout de deux uns, le chiffre de poids faible déborde et le 1 est transféré au chiffre de poids fort. Un débordement se produit si la somme est égale à la base du système numérique (dans ce cas, il s'agit du nombre 2) ou supérieure à celle-ci (pour le système numérique binaire, cela n'est pas pertinent).
Par exemple, ajoutons deux nombres binaires :
Soustraction
La soustraction de nombres binaires à un chiffre est effectuée selon les règles suivantes :
0 - 1 = (prêt d'un rang élevé) 1
Multiplication
La multiplication de nombres binaires à un chiffre est effectuée selon les règles suivantes :
Division
La division s'effectue de la même manière que dans le système de nombres décimaux :
Objet de la prestation. La calculatrice en ligne est conçue pour ajouter des nombres binaires dans les codes directs, inverses et complémentaires.Les éléments suivants sont également utilisés avec cette calculatrice :
Conversion de nombres en systèmes de nombres binaires, hexadécimaux, décimaux et octaux
Multiplier des nombres binaires
Format à virgule flottante
Exemple n°1. Représente le nombre 133,54 sous forme de virgule flottante.
Solution. Représentons le nombre 133,54 sous forme exponentielle normalisée :
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Le nombre 1,3354*exp 10 2 se compose de deux parties : la mantisse M=1,3354 et l'exposant exp 10 =2
Si la mantisse est comprise entre 1 ≤ M Représenter un nombre sous forme exponentielle dénormalisée.
Si la mantisse est comprise entre 0,1 ≤ M Représentons le nombre sous forme exponentielle dénormalisée : 0,13354*exp 10 3
Exemple n°2. Représente le nombre binaire 101.10 2 sous forme normalisée, écrit selon la norme IEEE754 32 bits.
Table de vérité
Calcul des limites
Arithmétique dans le système de nombres binaires
Les opérations arithmétiques dans le système binaire sont effectuées de la même manière que dans le système décimal. Mais, si dans le système de nombres décimaux, le transfert et l'emprunt sont effectués par dix unités, alors dans le système de nombres binaires - par deux unités. Le tableau montre les règles d'addition et de soustraction dans le système de nombres binaires.- Lors de l'ajout de deux unités dans un système de nombres binaires, ce bit sera 0 et l'unité sera transférée vers le bit le plus significatif.
- En soustrayant un de zéro, un est emprunté au chiffre le plus élevé, où il y a 1. Une unité occupée dans ce chiffre donne deux unités dans le chiffre où l'action est calculée, ainsi qu'une dans tous les chiffres intermédiaires.
Ajouter des nombres en tenant compte de leurs signes sur une machine est une séquence des actions suivantes :
- convertir les numéros d'origine en code spécifié ;
- ajout de codes au niveau du bit ;
- analyse du résultat obtenu.
Lors de l'exécution d'une opération dans le code de complément à deux (complément à deux modifié), si une unité de retenue apparaît dans le bit de signe à la suite d'une addition, elle est ignorée.
L'opération de soustraction dans un ordinateur s'effectue par addition selon la règle : X-Y=X+(-Y). Les autres actions sont effectuées de la même manière que pour l'opération d'addition.
Exemple n°1.
Étant donné : x=0,110001 ; y = -0,001001, ajouter le code modifié inversé.
Étant donné : x=0,101001 ; y = -0,001101, ajoutez du code modifié supplémentaire. 
Exemple n°2. Résolvez des exemples de soustraction de nombres binaires en utilisant la méthode du complément à 1 et du report cyclique.
a) 11 - 10.
Solution.
Imaginons les nombres 11 2 et -10 2 en code inversé.
Le nombre binaire 0000011 a un code réciproque de 0,0000011.
Additionnons les nombres 00000011 et 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 2ème chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 3ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
En conséquence nous obtenons :
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Un report du bit de signe s'est produit. Ajoutons-le (c'est-à-dire 1) au nombre obtenu (effectuant ainsi la procédure de transfert cyclique).
En conséquence nous obtenons :
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Le résultat de l'addition : 00000001. Convertissons-le en représentation décimale. Pour traduire une partie entière, vous devez multiplier le chiffre d'un nombre par le degré de chiffre correspondant.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Résultat de l'addition (notation décimale) : 1
b) 111-010 Imaginons les nombres 111 2 et -010 2 en code inverse.
Le code inverse pour un nombre positif est le même que le code direct. Pour nombre négatif tous les chiffres du nombre sont remplacés par leurs opposés (1 par 0, 0 par 1), et une unité est inscrite dans le chiffre du signe.
Le nombre binaire 0000111 a un code réciproque de 0,0000111.
Le nombre binaire 0000010 a un code réciproque de 1,1111101.
Additionnons les nombres 00000111 et 11111101
Un débordement s'est produit au niveau du 0ème chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 1er chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
Un débordement s'est produit dans le 1er chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 vers le 2ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 2ème chiffre (1 + 1 + 1 = 11). Par conséquent, nous écrivons 1 et déplaçons 1 au 3ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 3ème chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 4ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 4ème bit (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 jusqu’au 5ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 5ème chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 6ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 6ème bit (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 7ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 7ème bit (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 8ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
En conséquence nous obtenons :
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Un report du bit de signe s'est produit. Ajoutons-le (c'est-à-dire 1) au nombre obtenu (effectuant ainsi la procédure de transfert cyclique).
En conséquence nous obtenons :
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Résultat de l'addition : 00000101
Nous avons obtenu le nombre 00000101. Pour convertir la partie entière, vous devez multiplier le chiffre du nombre par le degré de chiffre correspondant.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Résultat de l'addition (notation décimale) : 5
Ajout de nombres réels binaires à virgule flottante
Sur un ordinateur, n'importe quel nombre peut être représenté au format virgule flottante. Le format à virgule flottante est illustré dans la figure :
Par exemple, le nombre 10101 au format virgule flottante peut s'écrire ainsi :
Les ordinateurs utilisent une forme normalisée d'écriture des nombres dans laquelle la position de la virgule décimale est toujours indiquée avant chiffre significatif mantisses, c'est-à-dire la condition est remplie :
b-1 ≤|M| Nombre normalisé - Il s'agit d'un nombre qui comporte un chiffre significatif après la virgule décimale (c'est-à-dire 1 dans le système de numération binaire). Exemple de normalisation :
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Lors de l'ajout de nombres à virgule flottante, l'alignement des ordres est effectué vers un ordre supérieur : 
Algorithme d'ajout de nombres à virgule flottante :
- Alignement des commandes ;
- Ajout de mantisses dans le code additionnel modifié ;
- Normalisation du résultat.
Exemple n°4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Alignement des commandes ;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Ajout de mantisses dans le code supplémentaire modifié ;
MA mod supplémentaire. =00.01011
Mod supplémentaire Mo. =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalisation du résultat.
A+B=0,1101*2 10
Exemple n°3. Écrivez un nombre décimal dans le système de nombres binaires et ajoutez deux nombres dans le système de nombres binaires.
Exemple 1. Trouver X si Pour transformer le membre gauche de l'égalité, on utilise successivement la loi de De Morgan pour l'addition logique et la loi de la double négation : D'après la loi distributive pour l'addition logique : D'après la loi d'exclusion du tiers et la loi d'exclusion des constantes : On assimile le côté gauche résultant au droit : X = B On obtient finalement : X = B. Exemple 2. Simplifier l'expression logique Vérifier l'exactitude de la simplification à l'aide des tables de vérité de l'original et du résultat expression logique. Selon la loi d'inversion générale pour l'addition logique (première loi de de Morgan) et la loi de double négation : Selon la loi distributive pour l'addition logique : Selon la loi de contradiction : Selon la loi d'idempotence Nous substituons les valeurs et, en utilisant la loi commutative et en regroupant les termes, on obtient : D'après la loi d'exclusion (collage) Remplacer les valeurs et obtenir : D'après la loi d'exclusion des constantes pour l'addition logique et la loi d'idempotence : Remplacer les valeurs et obtenir : D'après la loi distributive de multiplication logique : D'après la loi d'exclusion du tiers : Remplacer les valeurs et obtenir finalement : 2 Fondements logiques d'un ordinateur Un convertisseur discret, qui, après traitement des signaux binaires d'entrée, produit un signal de sortie qui est la valeur de l'une des opérations logiques, est appelé un élément logique. Vous trouverez ci-dessous les symboles (circuits) des éléments logiques de base qui mettent en œuvre la multiplication logique (conjoncteur), l'addition logique (disjoncteur) et la négation (inverseur). Riz. 3.1. Conjoncteur, disjoncteur et inverseur Les dispositifs informatiques (additionneurs dans le processeur, cellules mémoire dans la RAM, etc.) sont construits sur la base d'éléments logiques de base. Exemple 3. Pour une fonction logique donnée F(A, B) = =B&АÚB&A, construisez un circuit logique. La construction doit commencer par une opération logique, qui doit être exécutée en dernier. Dans ce cas, une telle opération est une addition logique, il doit donc y avoir un disjoncteur à la sortie du circuit logique. Les signaux lui sont fournis à partir de deux connecteurs, qui à leur tour sont alimentés par un signal d'entrée normal et un signal d'entrée inversé (provenant d'onduleurs). Exemple 4. Un circuit logique a deux entrées X et Y. Déterminez les fonctions logiques F1(X,Y) et F2(X,Y), qui sont implémentées sur ses deux sorties. La fonction F1(X,Y) est implémentée à la sortie du premier conjoncteur, soit F1(X,Y) = X&Y. Dans le même temps, le signal du connecteur est envoyé à l'entrée de l'onduleur, à la sortie duquel est réalisé le signal X&Y, qui, à son tour, est envoyé à l'une des entrées du deuxième connecteur. Le signal Xv Y du disjoncteur est fourni à l'autre entrée du deuxième conjoncteur, donc la fonction F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Considérons un schéma permettant d'ajouter deux nombres binaires à n bits. Lors de l'ajout des chiffres du chiffre i-ro, ai et bi sont ajoutés, ainsi que Pi-1 - le transfert du chiffre i-1. Le résultat sera st - la somme et Pi - le transfert vers le chiffre le plus significatif. Ainsi, un additionneur binaire à un bit est un appareil à trois entrées et deux sorties. Exemple 3.15. Construisez une table de vérité pour un additionneur binaire à un bit en utilisant la table d'addition de nombres binaires. Déclenchement. Les déclencheurs sont utilisés pour stocker des informations dans la RAM de l'ordinateur, ainsi que dans les registres internes du processeur. Le déclencheur peut être dans l'un des deux états stables, ce qui vous permet de mémoriser, de stocker et de lire 1 bit d'information. Le déclencheur le plus simple est le déclencheur .RS. Il se compose de deux portes NON-OU qui implémentent la fonction logique F9 (voir Tableau 3.1). Les entrées et sorties des éléments sont reliées par un anneau : la sortie du premier est reliée à l'entrée du second et la sortie du second est reliée à l'entrée du premier. Le déclencheur possède deux entrées S (de l'anglais set - installation) et I (de l'anglais reset - reset) et deux sorties Q (direct) et Q (inverse). Riz. 2 Circuit logique d'une bascule RS Exemple 3.16. Construisez un tableau décrivant l’état des entrées et sorties de la bascule RS. Si les entrées reçoivent les signaux R = 0 et S = 0, alors la bascule est en mode stockage ; les valeurs précédemment définies sont stockées aux sorties Q et Q. Si un signal 1 est reçu à l'entrée de réglage S pendant une courte période, alors la bascule passe à l'état 1 et une fois que le signal à l'entrée S devient 0, la bascule maintiendra cet état, c'est-à-dire qu'elle stocker 1. Lorsque 1 est appliqué à l'entrée R, la bascule passera à l'état 0. L'application d'un état logique aux deux entrées S et R peut conduire à un résultat ambigu, donc une telle combinaison de signaux d'entrée est interdite. Tâches pour une réalisation indépendante 1. Il existe 16 fonctions logiques de deux variables (voir tableau 3.1). Construisez leurs circuits logiques en utilisant des portes logiques de base : conjoncteur, disjoncteur et inverseur. 2. Prouver que le circuit logique considéré dans l'exemple 3.10 est un demi-additionneur binaire d'un bit (la retenue du bit de poids faible n'est pas prise en compte). 3. Prouver en construisant une table de vérité que la fonction logique P = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) détermine le transfert vers le chiffre le plus significatif lors de l'addition de nombres binaires (A et B sont des termes, Po est un transfert à partir du chiffre le moins significatif). 4. Prouver en construisant une table de vérité que la fonction logique S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) détermine la somme lors de l'addition de nombres binaires (A et B sont des termes, Po est un report du chiffre de poids faible). 5. Construisez un circuit logique d’un additionneur binaire à un bit. Combien de portes logiques de base sont nécessaires pour implémenter un additionneur de nombres binaires de 64 bits ? 6. Combien d'éléments logiques de base constituent la RAM d'un ordinateur moderne d'une capacité de 64 Mo ? 1. Notez les nombres sous forme développée : a) A8=143511 ; d)A10=143,511; 6)A2=100111; e)A8=0,143511; c)A16=143511; e)A1e=1AZ,5C1. 2. Notez les nombres suivants sous forme réduite : a) A10=9-101+1*10+5"10-1+3-10~2; b)A16=A-161+1-16°+7- 16"1+5-16~2. 3. Les nombres sont-ils écrits correctement dans les systèmes numériques correspondants : a) A10 = A,234 ; c) A16=456,46; b)A8=-5678 ; d)A2=22,2 ? 4. Quelle base minimale a le système numérique si les nombres 127, 222, 111 y sont écrits ? Déterminez l’équivalent décimal de ces nombres dans le système numérique trouvé. 5. Quel est l'équivalent décimal des nombres 101012, 101018 et 1010116 ? 6. Un nombre décimal à trois chiffres se termine par le chiffre 3. Si ce chiffre est déplacé de deux chiffres vers la gauche, c'est-à-dire que l'enregistrement d'un nouveau nombre commence par lui, alors ce nouveau nombre sera un de plus du triple de l'original. nombre. Trouvez le numéro d'origine. 2.22. Un nombre décimal à six chiffres commence à gauche par le chiffre 1. Si ce chiffre est déplacé de la première place à gauche à la dernière place à droite, alors la valeur du nombre résultant sera trois fois supérieure à celui d'origine. Trouvez le numéro d'origine. 2.23 Lequel des nombres 1100112, 1114, 358 et 1B16 est : a) le plus grand ; b) le plus petit ? 2.27. Existe-t-il un triangle dont les longueurs des côtés sont exprimées par les nombres 12g, 1116 et 110112 ? 2.28.Quel est le plus grand nombre décimal pouvant être écrit sur trois chiffres dans les systèmes numériques binaires, octaux et hexadécimaux ? 2.29. Questions « frivoles ». Quand 2x2=100 ? Quand 6x6=44 ? Quand 4x4=20 ? 14h30. Notez les nombres décimaux entiers appartenant aux intervalles numériques suivants : a) ; b) ; V) . 2.31. La classe compte 11 112 filles et 11 002 garçons. Combien d’élèves y a-t-il dans la classe ? 2.32. La classe compte 36 élèves, dont 21 filles et 15 garçons. Dans quel système numérique les étudiants étaient-ils comptés ? 2. 33. Il y a 100q d'arbres fruitiers dans le jardin, dont 33q de pommiers, 22q de poires, 16q de prunes et 5q de cerises. Dans quel système numérique les arbres sont-ils comptés ? 2.34 Il y avait 100 q de pommes. Après que chacun d’eux ait été coupé en deux, il y avait 1000 q moitiés. Dans le système numérique, sur quelle base étaient-ils comptés ? 2.35.J'ai 100 frères. Le plus jeune a 1000 ans et le plus âgé 1111 ans. L'aîné est en classe 1001. Est-ce que cela pourrait être possible ? 2.36 Il était une fois un étang au centre duquel poussait une feuille de nénuphar. Chaque jour, le nombre de ces feuilles doublait et le dixième jour, toute la surface de l'étang était déjà remplie de feuilles de lys. Combien de jours a-t-il fallu pour remplir la moitié de l’étang de feuilles ? Combien y avait-il de feuilles après le neuvième jour ? 2.37.En sélectionnant les puissances du nombre 2, qui totalisent un nombre donné, convertissez les nombres suivants dans le système de nombres binaires : a) 5 ; à 12; f) 32 ; b) 7 ; d) 25 ; f) 33. Vérifiez l'exactitude de la traduction à l'aide du programme Advanced Converter. 2.3. Conversion de nombres d'un système numérique à un autre 2.3.1. Traduction d'entiers d'un système numérique à un autre Vous pouvez formuler un algorithme pour convertir des entiers d'un système de base p en un système de base q : 1. Exprimez la base du nouveau système numérique en chiffres du système numérique d'origine et effectuez toutes les opérations ultérieures. actions dans le système numérique d’origine. 2. Divisez systématiquement le nombre donné et les quotients entiers résultants par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que nous obtenions un quotient plus petit que le diviseur. 3. Les restes résultants, qui sont des chiffres de nombres dans le nouveau système numérique, sont mis en conformité avec l'alphabet du nouveau système numérique. 4. Composez un nombre dans le nouveau système de numérotation, en l'écrivant en commençant par le dernier reste. Exemple 2.12. Convertissez le nombre décimal 17310 en système numérique octal : ■ Nous obtenons : 17310=2558. Exemple 2.13. Convertissez le nombre décimal 17310 en système numérique hexadécimal : - Nous obtenons : 17310=AD16. Exemple 2.14. Convertissez le nombre décimal 1110 en système de nombres binaires. On obtient : 111O=10112. Exemple 2.15. Parfois, il est plus pratique d'écrire l'algorithme de traduction sous la forme d'un tableau. Convertissons le nombre décimal 36310 en binaire. 2.3.2. Conversion de nombres fractionnaires d'un système numérique à un autre Vous pouvez formuler un algorithme pour convertir une fraction propre de base p en une fraction de base q : 1. Exprimez la base du nouveau système numérique en chiffres du système numérique d'origine et effectuez toutes les opérations ultérieures. actions dans le système numérique d’origine. 2. Multipliez systématiquement le nombre donné et les parties fractionnaires résultantes des produits par la base du nouveau système jusqu'à ce que la partie fractionnaire du produit devienne égale à zéro ou que la précision requise de la représentation numérique soit atteinte. 3. Les parties entières résultantes des produits, qui sont les chiffres du numéro dans le nouveau système de numérotation, sont mises en conformité avec l'alphabet du nouveau système de numérotation. 4. Composez la partie fractionnaire du nombre dans le nouveau système numérique, en commençant par la partie entière du premier produit. Exemple 2.16. Convertissez le nombre 0,6562510 en système numérique octal. Exemple 2.17. Convertissez le nombre 0,6562510 en système numérique hexadécimal. Exemple 2.18. Convertissez la fraction décimale 0,562510 en système de nombres binaires. Exemple 2.19. Convertissez la fraction décimale 0,710 en système de nombres binaires. Évidemment, ce processus peut se poursuivre indéfiniment, donnant de plus en plus de nouveaux signes à l'image de l'équivalent binaire du nombre 0,710. Ainsi, en quatre étapes, nous obtenons le nombre 0,10112, et en sept étapes le nombre 0,10110012, qui est une représentation plus précise du nombre 0,710 en binaire, et ainsi de suite. Un tel processus sans fin se termine à une certaine étape, lorsque l'on estime que la précision requise de la représentation numérique a été obtenue. 2.3.3. Traduction de nombres arbitraires La traduction de nombres arbitraires, c'est-à-dire de nombres contenant un entier et une partie fractionnaire, s'effectue en deux étapes. La partie entière est traduite séparément et la partie fractionnaire séparément. Lors de l'enregistrement final du nombre obtenu, la partie entière est séparée de la partie fractionnaire. Exemple 2.20. Convertissez le nombre 17,2510 en système de nombres binaires. Traduire la partie entière : Traduire la partie fractionnaire : Exemple 2.21. Convertissez le nombre 124,2510 en octal. 2.3.4. Conversion des nombres d'un système numérique avec base 2 en un système numérique avec base 2n et inversement Conversion d'entiers - Si la base du système numérique q-aire est une puissance de 2, alors convertir les nombres du système numérique q-aire en binaire et le retour peut être effectué en utilisant des règles de méthodes plus simples. Pour écrire un nombre binaire entier dans le système numérique avec la base q = 2", vous devez : 1. Diviser le nombre binaire de droite à gauche en groupes de n chiffres chacun. 2. Si le dernier groupe de gauche a moins de n chiffres, il faut alors ajouter des zéros à gauche au nombre de chiffres requis. 3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire de n bits et écrivez-le avec le chiffre correspondant dans le système numérique de base q = 2p. Exemple 2.22. Le nombre 1011000010001100102 sera converti au système numérique octal. On divise le nombre de droite à gauche en triades et sous chacune d'elles on écrit le chiffre octal correspondant : On obtient la représentation octale du nombre original : 5410628. Exemple 2.23. Convertissons le nombre 10000000001111100001112 au système numérique hexadécimal. On divise le nombre de droite à gauche en tétrades et sous chacune d'elles on écrit le chiffre hexadécimal correspondant : On obtient une représentation hexadécimale du nombre d'origine : 200F8716. Conversion de nombres fractionnaires. Pour écrire un nombre binaire fractionnaire dans un système numérique de base q = 2", vous devez : 1. Diviser le nombre binaire de gauche à droite en groupes de n chiffres chacun. 2. Si le dernier groupe de droite a moins de n chiffres, alors il doit être complété à droite par des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis. 3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire de n bits et écrivez-le avec le chiffre correspondant dans le système numérique de base q = 2p. Exemple 2.24 . Nous convertissons le nombre 0,101100012 dans le système numérique octal. Nous divisons le nombre de gauche à droite en triades et sous chacune d'elles nous écrivons le chiffre octal correspondant : Nous obtenons une représentation octale du nombre original : 0,5428. Exemple 2.25 . On convertit le nombre 0,1000000000112 dans le système numérique hexadécimal. On divise le nombre de gauche à droite en tétrades et on écrit sous chacune d'elles le chiffre hexadécimal correspondant : On obtient une représentation hexadécimale du nombre original : 0,80316 Traduction de nombres arbitraires Afin pour écrire un nombre binaire arbitraire dans le système numérique de base q - 2n, vous avez besoin de : [ 1. Divisez la partie entière d'un nombre binaire donné de droite à gauche et fractionnaire - de gauche à droite en groupes de n chiffres chacun. 2. Si les derniers groupes de gauche et/ou de droite contiennent moins de n chiffres, alors ils doivent être complétés à gauche et/ou à droite par des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis. 3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire de n bits et écrivez-le avec le chiffre correspondant dans le système numérique avec la base q = 2n. Exemple 2.26. Convertissons le nombre 111100101.01112 en système numérique octal. Nous divisons les parties entières et fractionnaires du nombre en triades et sous chacune d'elles écrivons le chiffre octal correspondant : Nous obtenons la représentation octale du nombre d'origine : 745,34S. Exemple 2.27. Convertissons le nombre 11101001000.110100102 au système numérique hexadécimal. Nous divisons les parties entières et fractionnaires du nombre en tétrades et sous chacune d'elles écrivons le chiffre hexadécimal correspondant : Nous obtenons une représentation hexadécimale du nombre d'origine : 748,D216. Conversion de nombres à partir de systèmes numériques de base q = 2 en système binaire. Afin de convertir un nombre arbitraire écrit dans un système numérique de base q = 2 en système numérique binaire, vous devez remplacer chaque chiffre de ce nombre par son n. équivalent à 1 chiffre dans le système de nombres binaires. Exemple 2.28. Convertissons le nombre hexadécimal 4AC351b en système de nombres binaires. Conformément à l'algorithme : i Nous obtenons : 10010101100001101012. Tâches d'achèvement indépendant 2.38. Remplissez le tableau dans chaque ligne duquel le même entier doit être écrit dans des systèmes numériques différents. 2.39. Remplissez le tableau dans chaque ligne duquel le même nombre fractionnaire doit être écrit dans différents systèmes numériques. 2h40. Remplissez le tableau, dans chaque ligne duquel le même nombre arbitraire (le nombre peut contenir à la fois un nombre entier et une partie fractionnaire) doit être écrit dans différents systèmes numériques. 2.4. Opérations arithmétiques dans les systèmes de numérotation positionnelle
Opérations arithmétiques dans le système de nombres binaires.
Exemple 2.29. Regardons quelques exemples d'ajout de nombres binaires :
Soustraction. Lors d'une opération de soustraction, le plus petit nombre est toujours soustrait du plus grand nombre en valeur absolue et le signe correspondant est placé. Dans la table de soustraction, un 1 avec une barre signifie un prêt au rang le plus élevé.
Exemple 2.31. Regardons quelques exemples de multiplication de nombres binaires :
Vous voyez que la multiplication se résume à des déplacements du multiplicande et à des additions.
Division. L'opération de division est effectuée à l'aide d'un algorithme similaire à l'algorithme permettant d'effectuer l'opération de division dans le système de nombres décimaux.
Ajout dans d'autres systèmes de numérotation. Vous trouverez ci-dessous un tableau d'addition dans le système de nombres octaux :
2.42. Disposez les signes des opérations arithmétiques de manière à ce que les égalités suivantes soient vraies dans le système binaire :
Écrivez la réponse pour chaque nombre dans les systèmes numériques indiqués et décimaux. 2.44. Quel numéro précède chacun des éléments suivants :
2h45. Notez les entiers appartenant aux intervalles numériques suivants :
a) dans le système binaire ;
b) dans le système octal ;
c) en système hexadécimal.
Écrivez la réponse pour chaque nombre dans les systèmes numériques indiqués et décimaux.
2.47. Trouvez la moyenne arithmétique des nombres suivants :
2.48.Somme des nombres octaux 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 converti en système numérique hexadécimal.
Trouvez le cinquième chiffre en partant de la gauche dans le nombre égal à ce montant.
 |
Récupérez les numéros inconnus indiqués par un point d'interrogation dans
les exemples suivants sur l'addition et la soustraction, après avoir déterminé
Le, dans quel système les nombres sont représentés.
Sujet de la leçon : Opérations arithmétiques dans les systèmes de numérotation positionnelle.
9e année
Objectifs de la leçon:
Didactique: familiariser les élèves avec l'addition, la soustraction, la multiplication et la division dans le système de nombres binaires et procéder au développement initial des compétences nécessaires pour effectuer ces actions.
Éducatif: développer l'intérêt des élèves pour l'apprentissage de nouvelles choses, montrer la possibilité d'une approche non standard des calculs.
Du développement: développer l’attention, la rigueur de la pensée et les capacités de raisonnement.
Structure de la leçon.
Moment organisationnel –1 minute.
Vérifier ses devoirs à l’aide d’un examen oral –15 minutes.
Devoirs -2 minutes.
Résoudre des problèmes avec analyse simultanée et développement indépendant du matériel -25 minutes.
Résumer la leçon -2 minutes.
PENDANT LES COURS
Moment d’organisation.
Contrôle des devoirs (examen oral) .
L'enseignant lit les questions dans l'ordre. Les élèves écoutent attentivement la question sans l'écrire. Seule la réponse est enregistrée, et très brièvement. (Si vous pouvez répondre en un mot, alors seul ce mot est écrit).
Qu'est-ce qu'un système numérique ? (-est un système de signes dans lequel les nombres sont écrits selon certaines règles en utilisant des signes d'un certain alphabet appelés nombres )
Quels systèmes numériques connaissez-vous ?( non positionnel et positionnel )
Quel système est appelé non positionnel ? (Un nombre est dit non positionnel si l'équivalent quantitatif (valeur quantitative) d'un chiffre dans un nombre ne dépend pas de sa position dans la notation du nombre ).
Quelle est la base du MSS positionnel ? (égal au nombre de chiffres qui composent son alphabet )
Quelle opération mathématique faut-il utiliser pour convertir un nombre entier d’un nombre décimal en un autre ? (Par division )
Que faut-il faire pour convertir un nombre décimal en binaire ? (Diviser séquentiellement par 2 )
Combien de fois le nombre 11,1 diminuera-t-il ? 2 en déplaçant la virgule d'un endroit vers la gauche ? (2 fois )
Écoutons maintenant le poème sur une fille extraordinaire et répondons aux questions. (Le vers sonne )
FILLE EXTRAORDINAIRE
Elle avait mille et cent ans
Elle est allée en centième année,
Elle transportait une centaine de livres dans sa mallette.
Tout cela est vrai, pas absurde.
Quand, époussetant d'une douzaine de pieds,
Elle marchait le long de la route.
Le chiot courait toujours après elle
Avec une queue, mais cent pattes.
Elle a capté chaque son
Avec tes dix oreilles,
Et dix mains bronzées
Ils tenaient la mallette et la laisse.
Et dix yeux bleu foncé
Nous avons regardé le monde comme d'habitude,
Mais tout deviendra tout à fait normal,
Quand comprendras-tu mon histoire ?
/ N. Starikov /
Et quel âge avait la fille ? (12 ans ) Dans quelle classe est-elle allée ? (5ème année ) Combien de bras et de jambes avait-elle ? (2 bras, 2 jambes ) Comment un chiot a-t-il 100 pattes ? (4 pattes )
Après avoir terminé le test, les réponses sont lues à haute voix par les étudiants eux-mêmes, un auto-test est effectué et les étudiants se donnent des notes.
Critère:
10 bonnes réponses (peut-être une petite erreur) – « 5 » ;
9 ou 8 – « 4 » ;
7, 6 – “3”;
le reste est « 2 ».
II. Devoir (2 minutes)
10111
2
- 1011
2
= ?
(
1100
2
)
10111
2
+ 1011
2
= ?
(
100010
2
)
10111
2
* 1011
2
= ?
(
11111101
2
))
III. Travailler avec du nouveau matériel
Opérations arithmétiques dans le système de nombres binaires.
L'arithmétique du système de nombres binaires est basée sur l'utilisation de tableaux pour additionner, soustraire et multiplier des chiffres. Les opérandes arithmétiques sont situés dans la ligne supérieure et la première colonne des tableaux, et les résultats sont à l'intersection des colonnes et des lignes :
0
1
1
1
Ajout.
La table d'addition binaire est extrêmement simple. Dans un seul cas, lorsqu'une addition 1+1 est effectuée, un transfert vers le chiffre le plus significatif se produit.
1001 + 1010 = 10011
1101 + 1011 = 11000
11111 + 1 = 100000
1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101
10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )
Soustraction.
Lors d'une opération de soustraction, le plus petit nombre est toujours soustrait du plus grand nombre en valeur absolue et le signe correspondant est placé. Dans la table de soustraction, un 1 avec une barre signifie un prêt au rang le plus élevé. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0
101011111 – 110101101 = – 1001110
100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )
Multiplication
L'opération de multiplication est effectuée à l'aide d'une table de multiplication selon le schéma habituel utilisé dans le système de nombres décimaux avec multiplication séquentielle du multiplicande par le chiffre suivant du multiplicateur. 11001 * 1101 = 101000101
11001,01 * 11,01 = 1010010,0001
La multiplication se résume à des déplacements du multiplicande et à des additions.
111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )
V. Résumer la leçon
Carte pour les travaux supplémentaires des étudiants.
Effectuer des opérations arithmétiques :
A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );
10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );
101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );
B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );
Ajout. La base pour ajouter des nombres dans le système de nombres binaires est le tableau d'addition de nombres binaires à un chiffre (tableau 6).
Il est important de faire attention au fait que lors de l'addition de deux unités, un transfert est effectué vers le chiffre le plus significatif. Cela se produit lorsque la grandeur d'un nombre devient égale ou supérieure à la base du système numérique.
L'addition de nombres binaires multi-bits est effectuée conformément au tableau d'addition ci-dessus, en tenant compte des transferts possibles des chiffres de poids faible vers les chiffres de poids fort. A titre d'exemple, ajoutons des nombres binaires dans une colonne :
Vérifions l'exactitude des calculs en ajoutant le système de nombres décimaux. Convertissons les nombres binaires au système de nombres décimaux et ajoutons-les :
Soustraction. La base de soustraction de nombres binaires est le tableau de soustraction de nombres binaires à un chiffre (tableau 7).
Lors de la soustraction d'un nombre plus grand (1) d'un nombre plus petit (0), un prêt est effectué à partir du chiffre le plus élevé. Dans le tableau, le prêt est désigné 1 par une ligne.
La soustraction des nombres binaires multi-bits est mise en œuvre conformément à ce tableau, en tenant compte des emprunts possibles dans les bits de poids fort.
Par exemple, soustrayons des nombres binaires :
Multiplication. La multiplication est basée sur la table de multiplication des nombres binaires à un chiffre (tableau 8).
La multiplication des nombres binaires à plusieurs chiffres est effectuée conformément à cette table de multiplication selon le schéma habituel utilisé dans le système de nombres décimaux, avec multiplication séquentielle du multiplicande par le chiffre suivant du multiplicateur. Regardons un exemple de multiplication de nombres binaires 
