Système d'inégalités.
Exemple 1. Trouver le domaine d'une expression
Solution. Sous le signe racine carrée doit être nombre non négatif, ce qui signifie que deux inégalités doivent être satisfaites simultanément : Dans de tels cas, ils disent que le problème se réduit à résoudre un système d’inégalités.

Mais avec ça modèle mathématique(système d’inégalités) que nous n’avons pas encore rencontré. Cela signifie que nous ne sommes pas encore en mesure de compléter la solution de l'exemple.

Les inégalités qui forment un système sont combinées avec une accolade (il en va de même dans les systèmes d’équations). Par exemple, enregistrez

signifie que les inégalités 2x - 1 > 3 et 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Parfois, un système d'inégalités s'écrit sous la forme d'une double inégalité. Par exemple, un système d'inégalités

peut s'écrire sous la forme d'une double inégalité 3<2х-1<11.

Dans le cours d'algèbre de 9e année, nous considérerons uniquement les systèmes de deux inégalités.

Considérons le système des inégalités

Vous pouvez sélectionner plusieurs de ses solutions particulières, par exemple x = 3, x = 4, x = 3,5. En fait, pour x = 3 la première inégalité prend la forme 5 > 3, et la seconde prend la forme 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

En même temps, la valeur x = 5 n'est pas une solution au système d'inégalités. Pour x = 5, la première inégalité prend la forme 9 > 3 - vrai inégalité numérique, et la seconde est la vue 13< 11- неверное числовое неравенство .
Résoudre un système d’inégalités signifie trouver toutes ses solutions particulières. Il est clair que les hypothèses présentées ci-dessus ne constituent pas une méthode permettant de résoudre un système d’inégalités. Dans l’exemple suivant, nous montrerons comment les gens raisonnent habituellement lorsqu’ils résolvent un système d’inégalités.

Exemple 3. Résoudre le système d'inégalités :

Solution.

UN) En résolvant la première inégalité du système, on trouve 2x > 4, x > 2 ; en résolvant la deuxième inégalité du système, on trouve 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) En résolvant la première inégalité du système, on trouve x > 2 ; en résolvant la deuxième inégalité du système, on trouve Marquons ces intervalles sur une ligne de coordonnées, en utilisant des hachures supérieures pour le premier intervalle et des hachures inférieures pour le second (Fig. 23). La solution du système d’inégalités sera l’intersection des solutions des inégalités du système, c’est-à-dire l'intervalle où les deux hachures coïncident. Dans l'exemple considéré on obtient une poutre

V) En résolvant la première inégalité du système, on trouve x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Généralisons le raisonnement effectué dans l'exemple considéré. Supposons que nous devions résoudre le système d'inégalités

Soit, par exemple, l'intervalle (a, b) une solution de l'inégalité fx 2 > g(x), et l'intervalle (c, d) une solution de l'inégalité f 2 (x) > s 2 (x ). Marquons ces intervalles sur une ligne de coordonnées, en utilisant des hachures supérieures pour le premier intervalle et des hachures inférieures pour le second (Fig. 25). La solution d’un système d’inégalités est l’intersection des solutions aux inégalités du système, c’est-à-dire l'intervalle où les deux hachures coïncident. En figue. 25 est l'intervalle (c, b).

Nous pouvons maintenant facilement résoudre le système d’inégalités que nous avons obtenu ci-dessus dans l’exemple 1 :

En résolvant la première inégalité du système, on trouve x > 2 ; en résolvant la deuxième inégalité du système, on trouve x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Bien entendu, le système d’inégalités ne doit pas nécessairement consister en inégalités linéaires, comme c'était le cas jusqu'à présent ; Toutes les inégalités rationnelles (et pas seulement rationnelles) peuvent survenir. Techniquement, travailler avec un système d'inégalités rationnelles non linéaires est, bien sûr, plus compliqué, mais il n'y a rien de fondamentalement nouveau (par rapport aux systèmes d'inégalités linéaires).

Exemple 4. Résoudre le système d’inégalités

Solution.

1) Résoudre l’inégalité que nous avons
Marquons les points -3 et 3 sur la droite numérique (Fig. 27). Ils divisent la ligne en trois intervalles, et sur chaque intervalle l'expression p(x) = (x- 3)(x + 3) conserve un signe constant - ces signes sont indiqués sur la Fig. 27. Nous nous intéressons aux intervalles auxquels l'inégalité p(x) > 0 est vérifiée (ils sont ombrés sur la figure 27), et aux points auxquels l'égalité p(x) = 0 est vérifiée, c'est-à-dire points x = -3, x = 3 (ils sont marqués sur la Fig. 2 7 par des cernes). Ainsi, sur la Fig. La figure 27 présente un modèle géométrique pour résoudre la première inéquation.

2) Résoudre l'inégalité que nous avons
Marquons les points 0 et 5 sur la droite numérique (Fig. 28). Ils divisent la ligne en trois intervalles, et sur chaque intervalle l'expression<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (ombré sur la Fig. 28), et les points auxquels l'égalité g (x) - O est satisfaite, c'est-à-dire points x = 0, x = 5 (ils sont marqués sur la Fig. 28 par des cernes). Ainsi, sur la Fig. La figure 28 présente un modèle géométrique pour résoudre la deuxième inégalité du système.

3) Marquons les solutions trouvées aux première et deuxième inégalités du système sur la même ligne de coordonnées, en utilisant des hachures supérieures pour les solutions de la première inégalité et des hachures inférieures pour les solutions de la seconde (Fig. 29). La solution du système d’inégalités sera l’intersection des solutions des inégalités du système, c’est-à-dire l'intervalle où les deux hachures coïncident. Un tel intervalle est un segment.

Exemple 5. Résoudre le système d'inégalités :

Solution:

UN) A partir de la première inégalité, nous trouvons x >2. Considérons la deuxième inégalité. Trinôme carré x 2 + x + 2 n'a pas vraies racines, et son coefficient directeur (coefficient à x 2) est positif. Cela signifie que pour tout x l'inégalité x 2 + x + 2>0 est vraie, et donc la deuxième inégalité du système n'a pas de solution. Qu’est-ce que cela signifie pour le système des inégalités ? Cela signifie que le système n'a pas de solutions.

b) A partir de la première inégalité, nous trouvons x > 2, et la deuxième inégalité est satisfaite pour toute valeur de x. Qu’est-ce que cela signifie pour le système des inégalités ? Cela signifie que sa solution a la forme x>2, c'est-à-dire coïncide avec la solution de la première inégalité.

Répondre:

a) aucune solution ; b) x >2.

Cet exemple est une illustration des éléments utiles suivants

1. Si dans un système de plusieurs inégalités à une variable, une inégalité n'a pas de solutions, alors le système n'a pas de solutions.

2. Si dans un système de deux inégalités avec une variable, une inégalité est satisfaite pour toutes les valeurs de la variable, alors la solution du système est la solution de la deuxième inégalité du système.

Pour conclure cette section, revenons au problème du nombre prévu donné au début et résolvons-le, comme on dit, selon toutes les règles.

Exemple 2(voir p. 29). Destiné entier naturel. On sait que si vous ajoutez 13 au carré du nombre prévu, alors la somme sera supérieure au produit du nombre prévu et du nombre 14. Si vous ajoutez 45 au carré du nombre prévu, alors la somme sera être moins de produit le numéro prévu et le numéro 18. Quel numéro est prévu ?

Solution.

Première étape. Elaboration d'un modèle mathématique.
Le nombre visé x, comme nous l'avons vu plus haut, doit satisfaire le système d'inégalités

Seconde phase. Travailler avec le modèle mathématique compilé. Transformons la première inégalité du système sous la forme
x2- 14x+ 13 > 0.

Trouvons les racines du trinôme x 2 - 14x + 13 : x 2 = 1, x 2 = 13. En utilisant la parabole y = x 2 - 14x + 13 (Fig. 30) nous concluons que l'inégalité qui nous intéresse est satisfait à x< 1 или x > 13.

Transformons la deuxième inégalité du système sous la forme x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Par exemple:

\(\begin(cas)5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\fin(cas)\)

\(\begin(cas)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\fin(cas)\)

\(\begin(cases)(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Résoudre le système d’inégalités

À résoudre le système d'inégalités vous devez trouver les valeurs de x qui correspondent à toutes les inégalités du système - cela signifie qu'elles sont exécutées simultanément.

Exemple. Résolvons le système \(\begin(cases)x>4\\x\leq7\end(cases)\)
Solution: La première inégalité devient vraie si x est supérieur à \(4\). Autrement dit, les solutions à la première inégalité sont toutes les valeurs x de \((4;\infty)\), ou sur l'axe des nombres :

La deuxième inégalité convient aux valeurs de x inférieures à 7, c'est-à-dire tout x de l'intervalle \((-\infty;7]\) ou sur l'axe des nombres :

Quelles valeurs sont appropriées pour les deux inégalités ? Ceux qui appartiennent aux deux lacunes, c'est-à-dire là où les lacunes se croisent.

Répondre: \((4;7]\)

Comme vous l’avez peut-être remarqué, il est pratique d’utiliser les axes numériques pour croiser les solutions aux inégalités dans un système.

Principe général de résolution des systèmes d'inégalités : vous devez trouver une solution à chaque inégalité, puis croiser ces solutions à l'aide d'une droite numérique.

Exemple:(Tâche de l'OGE) Résoudre le système \(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Solution:

\(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Résolvons chaque inégalité séparément des autres.
	Inversons l’inégalité qui en résulte.
	Divisons l'inégalité entière par \(2\).
	Écrivons la réponse à la première inégalité.
\(x∈(-∞;4)\)	Résolvons maintenant la deuxième inégalité.
2) \((x-5)(x+8)<0\)	L’inégalité est déjà sous une forme idéale d’application.
	Écrivons la réponse pour la deuxième inégalité.
	Combinons les deux solutions en utilisant les axes numériques.
	Écrivons en réponse l'intervalle sur lequel il existe une solution aux deux inégalités - la première et la seconde.

Répondre: \((-8;4)\)

Exemple:(Tâche de l'OGE) Résoudre le système \(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(cases)\)

Solution:

\(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(cases)\)	Encore une fois, nous résoudrons les inégalités séparément.
1)\(\frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)\) \(≥0\)	Si le dénominateur vous a fait peur, n’ayez pas peur, nous allons le supprimer maintenant. Le fait est que \(3+(5-2x)^2\) est toujours une expression positive. Jugez par vous-même : \((5-2x)^2 \)en raison du carré, il est soit positif, soit égal à zéro. \((5-2x)^2+3\) – exactement positif. Cela signifie que nous pouvons multiplier l'inégalité en toute sécurité par \(3+(5-2x)^2\)
	Devant nous se trouve l'habituel - exprimons \(x\). Pour ce faire, déplacez \(10\) vers la droite.
	Divisons l'inégalité par \(-2\). Puisque le nombre est négatif, on change le signe de l’inégalité.
	Marquons la solution sur la droite numérique.
	Écrivons la réponse à la première inégalité.
\(x∈(-∞;5]\)	A ce stade, l’essentiel est de ne pas oublier qu’il existe une deuxième inégalité.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Encore une inégalité linéaire - encore une fois nous exprimons \(x\).
\(-7x+3x≤14-2\)	Nous présentons des termes similaires.
	Nous divisons l'inégalité entière par \(-4\), en inversant le signe.
	Traçons la solution sur la droite numérique et notons la réponse à cette inégalité.
\(x∈[-3;∞)\)	Combinons maintenant les solutions.
	Écrivons la réponse.

Répondre: \([-3;5]\)

Exemple: Résoudre le système \(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\fin(cas)\)

Solution:

\(\begin(cas)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\fin(cas)\)

Résoudre une inégalité à deux variables, et encore plus systèmes d'inégalités à deux variables, semble être une tâche assez difficile. Cependant, il existe un algorithme simple qui permet de résoudre facilement et sans trop d’effort des problèmes apparemment très complexes de ce type. Essayons de le comprendre.

Disons une inégalité à deux variables d'un des types suivants :

y > f(x); y ≥ f(x); oui< f(x); y ≤ f(x).

Décrire l’ensemble des solutions à une telle inégalité sur avion coordonné procédez comme suit:

1. Nous construisons un graphique de la fonction y = f(x), qui divise le plan en deux régions.

2. Nous sélectionnons l'une des zones résultantes et y considérons un point arbitraire. Nous vérifions la faisabilité de l’inégalité originale sur ce point. Si le test aboutit à une inégalité numérique correcte, alors nous concluons que l'inégalité d'origine est satisfaite dans toute la région à laquelle appartient le point sélectionné. Ainsi, l’ensemble des solutions à l’inégalité est la région à laquelle appartient le point sélectionné. Si le résultat de la vérification est une inégalité numérique incorrecte, alors l'ensemble des solutions à l'inégalité sera la deuxième région à laquelle le point sélectionné n'appartient pas.

3. Si l'inégalité est stricte, alors les limites de la région, c'est-à-dire les points du graphique de la fonction y = f(x), ne sont pas inclus dans l'ensemble des solutions et la limite est représentée par une ligne pointillée. Si l'inégalité n'est pas stricte, alors les limites de la région, c'est-à-dire les points du graphique de la fonction y = f(x), sont incluses dans l'ensemble des solutions à cette inégalité et la frontière dans ce cas est représentée comme une ligne continue.
Examinons maintenant plusieurs problèmes sur ce sujet.

Tache 1.

Quel ensemble de points est donné par l'inégalité x · y ≤ 4 ?

Solution.

1) On construit un graphique de l'équation x · y = 4. Pour ce faire, on le transforme d'abord. Évidemment, x dans ce cas ne devient pas 0, car sinon nous aurions 0 · y = 4, ce qui est incorrect. Cela signifie que nous pouvons diviser notre équation par x. On obtient : y = 4/x. Le graphique de cette fonction est une hyperbole. Il divise l'ensemble du plan en deux régions : celle située entre les deux branches de l'hyperbole et celle située à l'extérieur de celles-ci.

2) Sélectionnons un point arbitraire de la première région, que ce soit le point (4 ; 2).
Vérifions l'inégalité : 4 · 2 ≤ 4 – faux.

Cela signifie que les points de cette région ne satisfont pas l'inégalité d'origine. On peut alors conclure que l’ensemble des solutions à l’inégalité sera la deuxième région à laquelle le point sélectionné n’appartient pas.

3) Comme l'inégalité n'est pas stricte, on trace les points limites, c'est-à-dire les points du graphique de la fonction y = 4/x, avec un trait plein.

Peignons en jaune l'ensemble des points qui définissent l'inégalité d'origine (Fig. 1).

Tâche 2.

Dessinez la zone définie sur le plan de coordonnées par le système
( y > x 2 + 2 ;
(y + x > 1 ;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Solution.

Pour commencer, nous construisons des graphiques des fonctions suivantes (Fig.2):

y = x 2 + 2 – parabole,

y + x = 1 – droite

x 2 + y 2 = 9 – cercle.

1) y > x 2 + 2.

On prend le point (0 ; 5), qui se situe au dessus du graphique de la fonction.
Vérifions l'inégalité : 5 > 0 2 + 2 – vrai.

Par conséquent, tous les points situés au-dessus de la parabole donnée y = x 2 + 2 satisfont la première inégalité du système. Peignons-les en jaune.

2) y + x > 1.

On prend le point (0 ; 3), qui se situe au dessus du graphique de la fonction.
Vérifions l'inégalité : 3 + 0 > 1 – vrai.

Par conséquent, tous les points situés au-dessus de la droite y + x = 1 satisfont à la deuxième inégalité du système. Peignons-les avec des nuances vertes.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Prenons le point (0; -4), qui se trouve à l'extérieur du cercle x 2 + y 2 = 9.
Vérifions l'inégalité : 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – incorrect.

Par conséquent, tous les points situés à l'extérieur du cercle x 2 + y 2 = 9, ne satisfont pas la troisième inégalité du système. Nous pouvons alors conclure que tous les points situés à l'intérieur du cercle x 2 + y 2 = 9 satisfont à la troisième inégalité du système. Peignons-les avec des nuances violettes.

N'oubliez pas que si l'inégalité est stricte, alors la ligne de démarcation correspondante doit être tracée en pointillé. On obtient l'image suivante (Fig.3).

(Fig.4).

Tâche 3.

Dessinez la zone définie sur le plan de coordonnées par le système :
(x 2 + y 2 ≤ 16 ;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Solution.

Pour commencer, nous construisons des graphiques des fonctions suivantes :

x 2 + y 2 = 16 – cercle,

x = -y – ligne droite

x 2 + y 2 = 4 – cercle (Fig.5).

Examinons maintenant chaque inégalité séparément.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Prenons le point (0 ; 0) qui se trouve à l'intérieur du cercle x 2 + y 2 = 16.
Vérifions l'inégalité : 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – vrai.

Par conséquent, tous les points situés à l'intérieur du cercle x 2 + y 2 = 16 satisfont à la première inégalité du système.
Peignons-les avec des nuances rouges.

On prend le point (1 ; 1), qui se situe au dessus du graphique de la fonction.
Vérifions l'inégalité : 1 ≥ -1 – vrai.

Par conséquent, tous les points situés au-dessus de la droite x = -y satisfont à la deuxième inégalité du système. Peignons-les avec des nuances de bleu.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Prenons le point (0 ; 5) qui se trouve à l'extérieur du cercle x 2 + y 2 = 4.
Vérifions l'inégalité : 0 2 + 5 2 ≥ 4 – vrai.

Par conséquent, tous les points situés à l'extérieur du cercle x 2 + y 2 = 4 satisfont à la troisième inégalité du système. Peignons-les en bleu.

Dans ce problème, toutes les inégalités ne sont pas strictes, ce qui signifie que nous traçons toutes les frontières avec une ligne continue. On obtient l'image suivante (Fig.6).

La zone de recherche est la zone où les trois zones colorées se croisent (Figure 7).

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Dans cette leçon, nous commencerons à étudier les systèmes d'inégalités. Tout d’abord, nous considérerons les systèmes d’inégalités linéaires. Au début de la leçon, nous examinerons où et pourquoi apparaissent les systèmes d'inégalités. Ensuite, nous étudierons ce que signifie résoudre un système et nous rappellerons l’union et l’intersection des ensembles. À la fin, nous résoudrons des exemples spécifiques de systèmes d’inégalités linéaires.

Sujet: Régimetoutes les inégalités et leurs systèmes

Leçon:Principalconcepts, résolution de systèmes d'inégalités linéaires

Jusqu'à présent, nous avons résolu les inégalités individuelles et leur avons appliqué la méthode des intervalles. inégalités linéaires, à la fois carré et rationnel. Passons maintenant à la résolution des systèmes d'inégalités - d'abord systèmes linéaires. Regardons un exemple d'où vient la nécessité de considérer les systèmes d'inégalités.

Trouver le domaine d'une fonction

Trouver le domaine d'une fonction

Une fonction existe lorsque les deux racines carrées existent, c'est-à-dire

Comment résoudre un tel système ? Il est nécessaire de trouver tous les x qui satisfont à la fois à la première et à la deuxième inégalités.

Représentons sur l'axe du bœuf l'ensemble des solutions aux première et deuxième inégalités.

L'intervalle d'intersection de deux rayons est notre solution.

Cette méthode de représentation de la solution à un système d’inégalités est parfois appelée méthode du toit.

La solution du système est l’intersection de deux ensembles.

Représentons cela graphiquement. Nous avons un ensemble A de nature arbitraire et un ensemble B de nature arbitraire, qui se croisent.

Définition : L'intersection de deux ensembles A et B est le troisième ensemble composé de tous les éléments inclus dans A et B.

Regardons exemples spécifiques solutions aux systèmes linéaires d'inégalités, comment trouver des intersections d'ensembles de solutions aux inégalités individuelles incluses dans le système.

Résoudre le système d'inégalités :

Réponse : (7 ; 10].

4. Résolvez le système

D’où peut venir la deuxième inégalité du système ? Par exemple, à partir de l'inégalité

Désignons graphiquement les solutions de chaque inégalité et trouvons l'intervalle de leur intersection.

Ainsi, si nous avons un système dans lequel l’une des inégalités satisfait n’importe quelle valeur de x, alors elle peut être éliminée.

Réponse : le système est contradictoire.

Nous avons regardé typique tâches de support, à laquelle se réduit la solution de tout système linéaire d'inégalités.

Considérons le système suivant.

7.

Parfois, un système linéaire est donné par une double inégalité ; considérons ce cas.

8.

Nous avons examiné des systèmes d'inégalités linéaires, compris d'où elles viennent, examiné des systèmes standards auxquels tous systèmes linéaires, et j'en ai résolu certains.

1. Mordkovitch A.G. et autres Algèbre 9e année : manuel. Pour l'enseignement général Institutions.- 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-192 p. : ill.

2. Mordkovitch A.G. et autres Algèbre 9e année : Cahier de problèmes pour les étudiants les établissements d'enseignement/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et autres - 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill.

3. Makarychev Yu. N. Algèbre. 9e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algèbre. 9e année. 16e éd. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A.G. Algèbre. 9e année. En 2 parties Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12e éd., effacé. - M. : 2010. - 224 p. : ill.

6. Algèbre. 9e année. En 2 parties Partie 2. Cahier de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina et autres ; Éd. A. G. Mordkovitch. — 12e éd., rév. - M. : 2010.-223 p. : ill.

1. Portail Sciences naturelles ().

2. Électronique complexe de formation et de méthodologie pour préparer les classes 10-11 pour Examen d'admission en informatique, mathématiques, langue russe ().

4. Centre éducatif « Enseignement de la technologie » ().

5. Section College.ru sur les mathématiques ().

1. Mordkovitch A.G. et autres Algèbre 9e année : Cahier de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill. N° 53 ; 54 ; 56 ; 57.

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Système d'inégalités

Les gars, avez-vous étudié le linéaire et inégalités quadratiques, a appris à résoudre des problèmes sur ces sujets. Passons maintenant à un nouveau concept en mathématiques : le système d'inégalités. Un système d'inégalités est similaire à un système d'équations. Vous souvenez-vous des systèmes d’équations ? Vous avez étudié des systèmes d'équations en septième année, essayez de vous rappeler comment vous les avez résolus.

Introduisons la définition d'un système d'inégalités.
Plusieurs inégalités avec une variable x forment un système d'inégalités si vous avez besoin de trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles chacune des inégalités forme un vrai expression numérique.

Toute valeur de x pour laquelle chaque inégalité prend l'expression numérique correcte est une solution à l'inégalité. Peut également être appelé une solution privée.
Qu'est-ce qu'une solution privée ? Par exemple, dans la réponse, nous avons reçu l'expression x>7. Alors x=8, ou x=123, ou tout autre nombre supérieur à sept est une solution particulière, et l'expression x>7 est une solution générale. La solution générale est formée de nombreuses solutions privées.

Comment avons-nous combiné le système d’équations ? C'est vrai, une accolade, et donc ils font la même chose avec les inégalités. Regardons un exemple de système d'inégalités : $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Si le système d'inégalités est constitué d'expressions identiques, par exemple $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Alors, qu’est-ce que cela signifie : trouver une solution à un système d’inégalités ?
Une solution à une inégalité est un ensemble de solutions partielles à une inégalité qui satisfont à la fois les deux inégalités du système.

Nous écrivons la forme générale du système d'inégalités sous la forme $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Notons $Х_1$ comme la solution générale de l'inégalité f(x)>0.
$X_2$ est la solution générale de l'inégalité g(x)>0.
$X_1$ et $X_2$ sont un ensemble de solutions particulières.
La solution au système d'inégalités sera des nombres appartenant à la fois à $X_1$ et à $X_2$.
Rappelons les opérations sur les décors. Comment trouver les éléments d’un ensemble qui appartiennent aux deux ensembles à la fois ? C'est vrai, il existe une opération d'intersection pour cela. Ainsi, la solution de notre inégalité sera l'ensemble $A= X_1∩ X_2$.

Exemples de solutions aux systèmes d’inégalités

Regardons des exemples de résolution de systèmes d'inégalités.

Résoudre le système d'inégalités.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Solution.
a) Résolvez chaque inéquation séparément.
$3x-1>2 ; \; 3x>3 ; \; x>1$.
$5x-10
Marquons nos intervalles sur une ligne de coordonnées.

La solution du système sera le segment d'intersection de nos intervalles. L'inégalité est stricte, alors le segment sera ouvert.
Réponse : (1 ; 3).

B) Nous résoudrons également chaque inéquation séparément.
2x-4≤6 $ ; 2x≤ 10 ; x ≤ 5 $.
$-x-4 -5$.


La solution du système sera le segment d'intersection de nos intervalles. La deuxième inégalité est stricte, alors le segment sera ouvert à gauche.
Réponse : (-5 ; 5].

Résumons ce que nous avons appris.
Disons qu'il faut résoudre le système d'inégalités : $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Alors, l'intervalle ($x_1 ; x_2$) est la solution de la première inégalité.
L'intervalle ($y_1; y_2$) est la solution de la deuxième inégalité.
La solution d’un système d’inégalités est l’intersection des solutions de chaque inégalité.

Les systèmes d'inégalités peuvent comprendre non seulement des inégalités de premier ordre, mais également tout autre type d'inégalités.

Règles importantes pour résoudre les systèmes d'inégalités.
Si l’une des inégalités du système n’a pas de solution, alors le système tout entier n’a pas de solution.
Si l'une des inégalités est satisfaite pour n'importe quelle valeur de la variable, alors la solution du système sera la solution de l'autre inégalité.

Exemples.
Résoudre le système d'inégalités :$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Solution.
Résolvons chaque inégalité séparément.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Résolvons la deuxième inégalité.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

La solution de l'inégalité est l'intervalle.
Traçons les deux intervalles sur la même ligne et trouvons l'intersection.
L'intersection des intervalles est le segment (4 ; 6).
Réponse : (4;6].

Résoudre le système d'inégalités.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

Solution.
a) La première inégalité a une solution x>1.
Trouvons le discriminant de la deuxième inégalité.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Rappelons la règle : lorsqu'une des inégalités n'a pas de solution, alors tout le système n'a pas de solution.
Réponse : Il n’y a pas de solutions.

B) La première inégalité a une solution x>1.
La deuxième inégalité est supérieure à zéro pour tout x. Alors la solution du système coïncide avec la solution de la première inégalité.
Réponse : x>1.

Problèmes sur les systèmes d'inégalités pour une solution indépendante

Résoudre des systèmes d’inégalités :
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(cas)x^2+36