Trouver la base et la dimension des sous-espaces. Espaces linéaires. Sous-espaces. Dimension et base. Décomposition d'un vecteur selon la base de l'espace vectoriel

Systèmes d'équations homogènes linéaires

Formulation du problème. Trouver une base et déterminer la dimension de l'espace de solution linéaire du système

Plan de solutions.

1. Notez la matrice du système :

et en utilisant des transformations élémentaires nous transformons la matrice en vue triangulaire, c'est à dire. à une telle forme lorsque tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro. Le rang de la matrice système est égal au nombre de lignes linéairement indépendantes, c'est-à-dire, dans notre cas, le nombre de lignes dans lesquelles subsistent des éléments non nuls :

La dimension de l'espace des solutions est . Si , alors le système homogène a un unique solution zéro, si , alors le système a un nombre infini de solutions.

2. Sélectionnez les variables de base et libres. Les variables libres sont désignées par . Ensuite, nous exprimons les variables de base en termes de variables libres, obtenant ainsi décision commune système homogène équations linéaires.

3. Nous écrivons la base de l'espace de solution du système en définissant séquentiellement l'une des variables libres égal à un, et le reste à zéro. La dimension de l’espace de solution linéaire du système est égale au nombre de vecteurs de base.

Note. Les transformations matricielles élémentaires comprennent :

1. multiplier (diviser) une chaîne par un facteur non nul ;

2. ajouter à n'importe quelle ligne une autre ligne, multipliée par n'importe quel nombre ;

3. réarrangement des lignes ;

4. transformations 1 à 3 pour les colonnes (dans le cas de la résolution de systèmes d'équations linéaires, les transformations élémentaires des colonnes ne sont pas utilisées).

Tâche 3. Trouvez une base et déterminez la dimension de l'espace de solution linéaire du système.

On écrit la matrice du système et, à l'aide de transformations élémentaires, on la réduit à une forme triangulaire :

Nous supposons alors

Lorsque nous avons examiné les concepts d'un vecteur à n dimensions et introduit des opérations sur les vecteurs, nous avons découvert que l'ensemble de tous les vecteurs à n dimensions génère un espace linéaire. Dans cet article, nous parlerons des concepts connexes les plus importants : la dimension et la base d'un espace vectoriel. Nous considérerons également le théorème sur le développement d'un vecteur arbitraire en une base et la connexion entre différentes bases d'un espace à n dimensions. Examinons en détail les solutions à des exemples typiques.

Navigation dans les pages.

Le concept de dimension de l'espace vectoriel et de la base.

Les notions de dimension et de base d'un espace vectoriel sont directement liées à la notion de système de vecteurs linéairement indépendant, donc si nécessaire, nous vous recommandons de vous référer à l'article dépendance linéaire d'un système de vecteurs, propriétés de dépendance linéaire et d'indépendance .

Définition.

Dimension de l'espace vectoriel est un nombre égal au nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants dans cet espace.

Définition.

Base de l'espace vectoriel est un ensemble ordonné de vecteurs linéairement indépendants de cet espace, dont le nombre est égal à la dimension de l'espace.

Donnons quelques raisonnements basés sur ces définitions.

Considérons l'espace des vecteurs à n dimensions.

Montrons que la dimension de cet espace est n.

Prenons un système de n vecteurs unitaires de la forme

Prenons ces vecteurs comme lignes de la matrice A. Dans ce cas, la matrice A sera une matrice identité de dimension n par n. Le rang de cette matrice est n (voir article si nécessaire). Donc le système de vecteurs est linéairement indépendant, et aucun vecteur ne peut être ajouté à ce système sans violer son indépendance linéaire. Puisque le nombre de vecteurs dans le système est égal à n, alors la dimension de l'espace des vecteurs à n dimensions est n, et les vecteurs unitaires sont la base de cet espace.

De la dernière déclaration et définition de la base, nous pouvons conclure que tout système de vecteurs à n dimensions, dont le nombre de vecteurs est inférieur à n, n'est pas une base.

Échangeons maintenant le premier et le deuxième vecteurs du système . Il est facile de montrer que le système de vecteurs résultant est également la base d'un espace vectoriel à n dimensions. Créons une matrice en prenant les vecteurs de ce système comme lignes. Cette matrice peut être obtenue à partir de la matrice identité en intervertissant les première et deuxième lignes, son rang sera donc n. Ainsi, un système de n vecteurs est linéairement indépendant et constitue la base d’un espace vectoriel à n dimensions.

Si l'on réorganise les autres vecteurs du système , alors nous obtenons une autre base.

Si nous prenons un système linéairement indépendant de vecteurs non unitaires, alors c'est aussi la base d'un espace vectoriel à n dimensions.

Ainsi, un espace vectoriel de dimension n a autant de bases qu'il existe de systèmes linéairement indépendants de n vecteurs à n dimensions.

Si nous parlons d'un espace vectoriel bidimensionnel (c'est-à-dire d'un plan), alors sa base est constituée de deux quelconques non vecteur colinéaire. Base espace tridimensionnel sont trois vecteurs non coplanaires quelconques.

Regardons quelques exemples.

Exemple.

Les vecteurs sont-ils la base de l’espace vectoriel tridimensionnel ?

Solution.

Examinons ce système de vecteurs pour la dépendance linéaire. Pour cela, créons une matrice dont les lignes seront les coordonnées des vecteurs, et trouvons son rang :

Ainsi, les vecteurs a, b et c sont linéairement indépendants et leur nombre est égal à la dimension de l'espace vectoriel, ils constituent donc la base de cet espace.

Répondre:

Oui, ils sont.

Exemple.

Un système de vecteurs peut-il être la base d’un espace vectoriel ?

Solution.

Ce système de vecteurs est linéairement dépendant, puisque le nombre maximum de vecteurs tridimensionnels linéairement indépendants est de trois. Par conséquent, ce système de vecteurs ne peut pas être la base d'un espace vectoriel tridimensionnel (bien qu'un sous-système du système de vecteurs original soit une base).

Répondre:

Non il ne peut pas.

Exemple.

Assurez-vous que les vecteurs

peut être la base d’un espace vectoriel à quatre dimensions.

Solution.

Créons une matrice en prenant les vecteurs d'origine comme lignes :

Allons trouver:

Ainsi, le système de vecteurs a, b, c, d est linéairement indépendant et leur nombre est égal à la dimension de l'espace vectoriel, donc a, b, c, d en sont la base.

Répondre:

Les vecteurs originaux sont en effet la base de l'espace à quatre dimensions.

Exemple.

Les vecteurs forment-ils la base d’un espace vectoriel de dimension 4 ?

Solution.

Même si le système de vecteurs d'origine est linéairement indépendant, le nombre de vecteurs qu'il contient n'est pas suffisant pour constituer la base d'un espace à quatre dimensions (la base d'un tel espace est constituée de 4 vecteurs).

Répondre:

Non, ce n'est pas le cas.

Décomposition d'un vecteur selon la base de l'espace vectoriel.

Laissez les vecteurs arbitraires sont la base d'un espace vectoriel à n dimensions. Si nous leur ajoutons un vecteur x à n dimensions, alors le système de vecteurs résultant sera linéairement dépendant. Grâce aux propriétés de dépendance linéaire, nous savons qu'au moins un vecteur d'un système linéairement dépendant est exprimé linéairement à travers les autres. En d’autres termes, au moins un des vecteurs d’un système linéairement dépendant est étendu aux vecteurs restants.

Cela nous amène à un théorème très important.

Théorème.

Tout vecteur d'un espace vectoriel à n dimensions peut être décomposé de manière unique en une base.

Preuve.

Laisser - base d'un espace vectoriel à n dimensions. Ajoutons un vecteur x à n dimensions à ces vecteurs. Ensuite, le système de vecteurs résultant sera linéairement dépendant et le vecteur x peut être exprimé linéairement en termes de vecteurs : , où sont quelques chiffres. C'est ainsi qu'on a obtenu le développement du vecteur x par rapport à la base. Reste à prouver que cette décomposition est unique.

Supposons qu'il existe une autre décomposition, où - quelques chiffres. Soustrayons des côtés gauche et droit de la dernière égalité les côtés gauche et droit de l'égalité, respectivement :

Puisque le système de vecteurs de base est linéairement indépendant, alors par la définition de l'indépendance linéaire d'un système de vecteurs, l'égalité résultante n'est possible que lorsque tous les coefficients sont égaux à zéro. Donc , ce qui prouve l’unicité de la décomposition vectorielle par rapport à la base.

Définition.

Les coefficients sont appelés coordonnées du vecteur x dans la base .

Après nous être familiarisés avec le théorème de la décomposition d'un vecteur en une base, nous commençons à comprendre l'essence de l'expression « on nous donne un vecteur à n dimensions " Cette expression signifie que nous considérons un vecteur d'espace vectoriel de dimension x n, dont les coordonnées sont spécifiées sur une base quelconque. En même temps, nous comprenons que le même vecteur x dans une autre base de l'espace vectoriel à n dimensions aura des coordonnées différentes de .

Considérons le problème suivant.

Donnons-nous un système de n vecteurs linéairement indépendants dans une base d'espace vectoriel à n dimensions

et vecteur . Alors les vecteurs sont aussi la base de cet espace vectoriel.

Il faut trouver les coordonnées du vecteur x dans la base . Notons ces coordonnées comme .

Vecteur x en base a une idée. Écrivons cette égalité sous forme de coordonnées :

Cette égalité équivaut à un système de n linéaire équations algébriques avec n variables inconnues :

La matrice principale de ce système a la forme

Notons-le par la lettre A. Les colonnes de la matrice A représentent les vecteurs d'un système de vecteurs linéairement indépendant , donc le rang de cette matrice est n, donc son déterminant est non nul. Ce fait indique que le système d'équations a une solution unique qui peut être trouvée par n'importe quelle méthode, par exemple ou.

De cette façon, les coordonnées requises seront trouvées vecteur x dans la base .

Examinons la théorie à l'aide d'exemples.

Exemple.

Dans une certaine base d'espace vectoriel tridimensionnel, les vecteurs

Assurez-vous que le système de vecteurs est également une base de cet espace et trouvez les coordonnées du vecteur x dans cette base.

Solution.

Pour qu’un système de vecteurs constitue la base d’un espace vectoriel tridimensionnel, il doit être linéairement indépendant. Découvrons cela en déterminant le rang de la matrice A dont les lignes sont des vecteurs. Trouvons le rang en utilisant la méthode gaussienne

donc Rank(A) = 3, ce qui montre indépendance linéaire systèmes vectoriels.

Les vecteurs sont donc la base. Laissez le vecteur x avoir des coordonnées dans cette base. Alors, comme nous l'avons montré plus haut, la relation entre les coordonnées de ce vecteur est donnée par le système d'équations

En y substituant les valeurs connues de la condition, on obtient

Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer :

Ainsi, le vecteur x dans la base a pour coordonnées .

Répondre:

Exemple.

Sur une certaine base d'un espace vectoriel à quatre dimensions, un système de vecteurs linéairement indépendant est donné

Il est connu que . Trouver les coordonnées du vecteur x dans la base .

Solution.

Puisque le système de vecteurs linéairement indépendant par condition, alors c'est une base d'espace à quatre dimensions. Puis l'égalité signifie que le vecteur x dans la base a des coordonnées. Notons les coordonnées du vecteur x dans la base Comment .

Système d'équations définissant la relation entre les coordonnées du vecteur x dans les bases Et ressemble à

Nous le remplaçons valeurs connues et trouvez les coordonnées recherchées :

Répondre:

Relation entre les bases.

Soit deux systèmes de vecteurs linéairement indépendants dans une base d'un espace vectoriel à n dimensions

Et

c'est-à-dire qu'ils sont aussi les bases de cet espace.

Si - coordonnées du vecteur dans la base , alors la connexion de coordonnées Et est donnée par un système d'équations linéaires (nous en avons parlé dans le paragraphe précédent) :

, qui sous forme matricielle peut s’écrire

De même pour un vecteur on peut écrire

Les égalités matricielles précédentes peuvent être combinées en une seule, qui définit essentiellement la relation entre les vecteurs de deux bases différentes

De même, nous pouvons exprimer tous les vecteurs de base à travers la base :

Définition.

Matrice appelé matrice de transition à partir de la base à la base , alors l'égalité est vraie

En multipliant les deux côtés de cette égalité depuis la droite par

on a

Trouvons la matrice de transition, mais nous ne nous attarderons pas en détail sur la recherche de la matrice inverse et des matrices multiplicatrices (voir articles et si nécessaire) :

Reste à connaître la relation entre les coordonnées du vecteur x dans les bases données.

Laissez le vecteur x avoir des coordonnées dans la base, alors

et dans la base le vecteur x a des coordonnées , alors

Puisque les côtés gauches des deux dernières égalités sont les mêmes, nous pouvons assimiler les côtés droits :

Si on multiplie les deux côtés de droite par

alors nous obtenons

D'un autre côté

(trouvez vous-même la matrice inverse).
Les deux dernières égalités nous donnent la relation recherchée entre les coordonnées du vecteur x dans les bases et .

Répondre:

La matrice de transition de base en base a la forme
;
coordonnées du vecteur x en bases et sont liées par les relations

ou
.

Nous avons examiné les concepts de dimension et de base d'un espace vectoriel, appris à décomposer un vecteur en base et découvert la connexion entre les différentes bases de l'espace vectoriel à n dimensions à travers la matrice de transition.

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Le sous-espace, sa base et sa dimension.

Laisser L– espace linéaire sur le terrain P. Et UN- sous-ensemble de L. Si UN constitue lui-même un espace linéaire sur le champ P. concernant les mêmes opérations que L, Que UN appelé un sous-espace de l'espace L.

D’après la définition de l’espace linéaire, de sorte que UNétait un sous-espace, il faut en vérifier la faisabilité UN opérations :

1) :
;

2)
:
;

et vérifiez que les opérations sont en UN sont soumis à huit axiomes. Cependant, ce dernier sera redondant (du fait que ces axiomes sont valables dans L), c'est-à-dire ce qui suit est vrai

Théorème. Soit L un espace linéaire sur un corps P et
. Un ensemble A est un sous-espace de L si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. :
;

2.
:
.

Déclaration. Si L – n-espace linéaire dimensionnel et UN son sous-espace, alors UN est également un espace linéaire de dimension finie et sa dimension ne dépasse pas n.

P. Exemple 1. Un sous-espace de l'espace des vecteurs segments V 2 est-il l'ensemble S de tous les vecteurs plans dont chacun se trouve sur l'un des axes de coordonnées 0x ou 0y ?

Solution: Laisser
,
Et
,
. Alors
. Donc S n'est pas un sous-espace .

Exemple 2. V 2 il existe de nombreux vecteurs de segments plans S tous les vecteurs plans dont le début et la fin se trouvent sur une ligne donnée je cet avion?

Solution.

E vecteur sli
multiplier par un nombre réel k, alors on obtient le vecteur
, appartenant également à S. Si Et sont deux vecteurs de S, alors
(selon la règle d'addition de vecteurs sur une ligne droite). Donc S est un sous-espace .

Exemple 3. Est un sous-espace linéaire d'un espace linéaire V 2 un tas de UN tous les vecteurs plans dont les extrémités se trouvent sur une ligne donnée je, (supposons que l'origine de tout vecteur coïncide avec l'origine des coordonnées) ?

R. décision.

Dans le cas où la droite je l'ensemble ne passe pas par l'origine UN sous-espace linéaire de l'espace V 2 ce n'est pas le cas, parce que
.

Dans le cas où la droite je passe par l'origine, ensemble UN est un sous-espace linéaire de l'espace V 2 , parce que
et en multipliant n'importe quel vecteur
à un nombre réel α du terrain R. on a
. Ainsi, les besoins en espace linéaire pour un ensemble UN complété.

Exemple 4. Soit un système de vecteurs
à partir de l'espace linéaire L sur le terrain P.. Montrer que l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles
avec des chances
depuis P. est un sous-espace L(c'est un sous-espace UN est appelé le sous-espace généré par le système de vecteurs
ou coque linéaire ce système vectoriel, et noté comme suit :
ou
).

Solution. En effet, puisque , alors pour tout élément X, ouiUN nous avons:
,
, Où
,
. Alors

Parce que
, Que
, C'est pourquoi
.

Vérifions si la deuxième condition du théorème est satisfaite. Si X– n'importe quel vecteur de UN Et t– n'importe quel numéro de P., Que . Parce que le
Et
,
, Que
,
, C'est pourquoi
. Ainsi, d’après le théorème, l’ensemble UN– sous-espace de l'espace linéaire L.

Pour les espaces linéaires de dimension finie, l’inverse est également vrai.

Théorème. N'importe quel sous-espace UN espace linéaire L sur le terrain est l'étendue linéaire d'un système de vecteurs.

Lors de la résolution du problème de la recherche de la base et de la dimension d'une coque linéaire, le théorème suivant est utilisé.

Théorème. Base de coque linéaire
coïncide avec la base du système vectoriel
. Cote de coque linéaire
coïncide avec le rang du système vectoriel
.

Exemple 4. Trouver la base et la dimension du sous-espace
espace linéaire R. 3 [ X] , Si
,
,
,
.

Solution. On sait que les vecteurs et leurs lignes de coordonnées (colonnes) ont les mêmes propriétés (par rapport à dépendance linéaire). Faire une matrice UN=
à partir de colonnes de coordonnées de vecteurs
dans la base
.

Trouvons le rang de la matrice UN.

. M 3 =
.
.

Par conséquent, le rang r(UN)= 3. Donc, le rang du système vectoriel
est égal à 3. Cela signifie que la dimension du sous-espace S est égale à 3, et sa base est constituée de trois vecteurs
(puisque dans la mineure de base
inclut les coordonnées de ces seuls vecteurs)., . Ce système de vecteurs est linéairement indépendant. En effet, qu’il en soit ainsi.

ET
.

Vous pouvez vous assurer que le système
linéairement dépendant de tout vecteur X depuis H. Cela prouve que
système maximal linéairement indépendant de vecteurs de sous-espace H, c'est à dire.
– base en H et faible H=n 2 .

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Un sous-ensemble d'un espace linéaire forme un sous-espace s'il est fermé par addition de vecteurs et multiplication par scalaires.

Exemple 6.1. Un sous-espace dans un plan forme-t-il un ensemble de vecteurs dont les extrémités se situent : a) dans le premier quart ; b) sur une droite passant par l'origine ? (les origines des vecteurs se situent à l'origine des coordonnées)

Solution.

a) non, puisque l'ensemble n'est pas fermé sous multiplication par un scalaire : lorsqu'il est multiplié par un nombre négatif la fin du vecteur tombe au troisième trimestre.

b) oui, car lorsqu'on additionne des vecteurs et qu'on les multiplie par n'importe quel nombre, leurs extrémités restent sur la même ligne droite.

Exercice 6.1. Les sous-ensembles suivants des espaces linéaires correspondants forment-ils un sous-espace :

a) un ensemble de vecteurs plans dont les extrémités se situent dans le premier ou le troisième quart ;

b) un ensemble de vecteurs plans dont les extrémités se trouvent sur une droite qui ne passe pas par l'origine ;

c) un ensemble de lignes de coordonnées ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0) ;

d) ensemble de lignes de coordonnées ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1) ;

e) un ensemble de lignes de coordonnées ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).

La dimension d'un espace linéaire L est le nombre dim L de vecteurs inclus dans l'une de ses bases.

Les dimensions de la somme et l'intersection des sous-espaces sont liées par la relation

faible (U + V) = faible U + faible V – faible (U Ç V).

Exemple 6.2. Trouvez la base et la dimension de la somme et de l'intersection des sous-espaces engendrés par les systèmes de vecteurs suivants :

Solution : Chacun des systèmes de vecteurs générant les sous-espaces U et V est linéairement indépendant, ce qui signifie qu'il constitue une base du sous-espace correspondant. Construisons une matrice à partir des coordonnées de ces vecteurs, en les disposant en colonnes et en séparant un système d'un autre par une ligne. Réduisons la matrice résultante sous forme pas à pas.

~ ~ ~ .

La base U + V est formée par les vecteurs , , , auxquels correspondent les éléments principaux de la matrice d'étapes. Donc dim (U + V) = 3. Alors

faible (UÇV) = faible U + faible V – faible (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

L'intersection des sous-espaces forme un ensemble de vecteurs qui satisfont l'équation (à gauche et bonnes pièces cette équation). Nous obtenons la base d’intersection en utilisant système fondamental solutions à un système d’équations linéaires correspondant à cette équation vectorielle. La matrice de ce système a déjà été réduite à une forme pas à pas. Sur cette base, nous concluons que y 2 est une variable libre et nous définissons y 2 = c. Alors 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. et l'intersection des sous-espaces forme un ensemble de vecteurs de la forme = c (3, 6, 3, 4). Par conséquent, la base UÇV forme le vecteur (3, 6, 3, 4).

Remarques. 1. Si nous continuons à résoudre le système en trouvant les valeurs des variables x, nous obtenons x 2 = c, x 1 = c, et sur le côté gauche de l'équation vectorielle nous obtenons un vecteur égal à celui obtenu ci-dessus .

2. En utilisant la méthode indiquée, vous pouvez obtenir la base de la somme, que les systèmes générateurs de vecteurs soient ou non linéairement indépendants. Mais la base d’intersection ne sera obtenue correctement que si au moins le système générant le deuxième sous-espace est linéairement indépendant.

3. S'il est déterminé que la dimension de l'intersection est 0, alors l'intersection n'a aucune base et il n'est pas nécessaire de la rechercher.

Exercice 6.2. Trouvez la base et la dimension de la somme et de l'intersection des sous-espaces engendrés par les systèmes de vecteurs suivants :

UN)

Espace euclidien

L'espace euclidien est un espace linéaire sur un corps R., dans lequel une multiplication scalaire est définie qui attribue à chaque paire de vecteurs , un scalaire , et les conditions suivantes sont remplies :

2) (une + b) = une() + b();

3) ¹Þ > 0.

Standard produit scalaire calculé par des formules

(une 1 , … , une n) (b 1 , … , b n) = une 1 b 1 + … + une n b n.

Les vecteurs et sont dits orthogonaux, notés ^ si leur produit scalaire est égal à 0.

Un système de vecteurs est dit orthogonal si les vecteurs qu’il contient sont orthogonaux par paires.

Un système orthogonal de vecteurs est linéairement indépendant.

Le processus d'orthogonalisation d'un système de vecteurs , ... , consiste en la transition vers un système orthogonal équivalent , ... , effectuée selon les formules :

, où , k = 2, … , n.

Exemple 7.1. Orthogonaliser un système de vecteurs

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Solution Nous avons = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

Exercice 7.1. Orthogonaliser les systèmes vectoriels :

a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1) ;

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

Exemple 7.2. Système complet de vecteurs = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), à la base orthogonale de l'espace.

Solution : Le système d’origine est orthogonal, le problème est donc logique. Puisque les vecteurs sont donnés dans un espace à quatre dimensions, nous devons trouver deux vecteurs supplémentaires. Le troisième vecteur = (x 1, x 2, x 3, x 4) est déterminé à partir des conditions = 0, = 0. Ces conditions donnent un système d'équations dont la matrice est formée des lignes de coordonnées des vecteurs et . On résout le système :

~ ~ .

Les variables libres x 3 et x 4 peuvent recevoir n'importe quel ensemble de valeurs autres que zéro. Nous supposons, par exemple, x 3 = 0, x 4 = 1. Alors x 2 = 0, x 1 = 1 et = (1, 0, 0, 1).

De même, on trouve = (y 1, y 2, y 3, y 4). Pour ce faire, nous ajoutons une nouvelle ligne de coordonnées à la matrice pas à pas obtenue ci-dessus et la réduisons sous forme pas à pas :

~ ~ .

Pour la variable libre y 3, nous définissons y 3 = 1. Alors y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 et = (0, 1, 1, 0).

La norme d'un vecteur dans l'espace euclidien est un nombre réel non négatif.

Un vecteur est dit normalisé si sa norme est 1.

Pour normaliser un vecteur, il faut le diviser par sa norme.

Un système orthogonal de vecteurs normalisés est appelé orthonormé.

Exercice 7.2. Compléter le système de vecteurs à une base orthonormée de l'espace :

une) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2) ;

b) = (1/3, -2/3, 2/3).

Mappages linéaires

Soient U et V des espaces linéaires sur le corps F. Une application f : U ® V est dite linéaire si et .

Exemple 8.1. Les transformations de l'espace tridimensionnel sont-elles linéaires :

une) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);

b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Solution.

a) Nous avons f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2y 1, y 1 - oui 3 , 0) =

F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =

Lf(x 1, x 2, x 3).

La transformation est donc linéaire.

b) On a f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ;

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

La transformation n’est donc pas linéaire.

L'image d'une application linéaire f : U ® V est l'ensemble des images de vecteurs de U, soit

Je suis (f) = (f() ï О U). + … + un m1

Exercice 8.1. Trouver le rang, le défaut, les bases de l'image et le noyau de l'application linéaire f donnée par la matrice :

une) UNE = ; b) UNE = ; c) UNE = .

P. Et UN- sous-ensemble de L. Si UN constitue lui-même un espace linéaire sur le champ P. concernant les mêmes opérations que L, Que UN appelé un sous-espace de l'espace L.

D’après la définition de l’espace linéaire, de sorte que UNétait un sous-espace, il faut en vérifier la faisabilité UN opérations :

1) :
;

2)
:
;

et vérifiez que les opérations sont en UN sont soumis à huit axiomes. Cependant, ce dernier sera redondant (du fait que ces axiomes sont valables dans L), c'est-à-dire ce qui suit est vrai

Théorème. Soit L un espace linéaire sur un corps P et
. Un ensemble A est un sous-espace de L si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :

Déclaration. Si L – n-espace linéaire dimensionnel et UN son sous-espace, alors UN est également un espace linéaire de dimension finie et sa dimension ne dépasse pas n.

P. Exemple 1. Un sous-espace de l'espace des vecteurs segments V 2 est-il l'ensemble S de tous les vecteurs plans dont chacun se trouve sur l'un des axes de coordonnées 0x ou 0y ?

Solution: Laisser
,
Et
,
. Alors
. Donc S n'est pas un sous-espace .

Exemple 2. Est un sous-espace linéaire d'un espace linéaire V 2 il existe de nombreux vecteurs de segments plans S tous les vecteurs plans dont le début et la fin se trouvent sur une ligne donnée je cet avion?

Solution.

R. décision.

Dans le cas où la droite je l'ensemble ne passe pas par l'origine UN sous-espace linéaire de l'espace V 2 ce n'est pas le cas, parce que
.

Exemple 4. Soit un système de vecteurs
à partir de l'espace linéaire L sur le terrain P.. Montrer que l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles
avec des chances
depuis P. est un sous-espace L(c'est un sous-espace UN est appelé le sous-espace généré par un système de vecteurs ou coque linéaire ce système vectoriel, et noté comme suit :
ou
).

Solution. En effet, puisque , alors pour tout élément X, ouiUN nous avons:
,
, Où
,
. Alors

Depuis lors
, C'est pourquoi
.

Vérifions si la deuxième condition du théorème est satisfaite. Si X– n'importe quel vecteur de UN Et t– n'importe quel numéro de P., Que . Parce que le
Et
,, Que
, , C'est pourquoi
. Ainsi, d’après le théorème, l’ensemble UN– sous-espace de l'espace linéaire L.

Pour les espaces linéaires de dimension finie, l’inverse est également vrai.

Théorème. N'importe quel sous-espace UN espace linéaire L sur le terrain est l'étendue linéaire d'un système de vecteurs.

Lors de la résolution du problème de la recherche de la base et de la dimension d'une coque linéaire, le théorème suivant est utilisé.

Théorème. Base de coque linéaire
coïncide avec la base du système vectoriel. La dimension de la coque linéaire coïncide avec le rang du système de vecteurs.

Exemple 4. Trouver la base et la dimension du sous-espace
espace linéaire R. 3 [ X] , Si
,
,
,
.

Solution. On sait que les vecteurs et leurs lignes de coordonnées (colonnes) ont les mêmes propriétés (en ce qui concerne la dépendance linéaire). Faire une matrice UN=
à partir de colonnes de coordonnées de vecteurs
dans la base
.

Trouvons le rang de la matrice UN.

. M 3 =
.
.

Par conséquent, le rang r(UN)= 3. Ainsi, le rang du système de vecteurs est 3. Cela signifie que la dimension du sous-espace S est 3 et que sa base est constituée de trois vecteurs
(puisque dans la mineure de base
les coordonnées de ces seuls vecteurs sont incluses).

Exemple 5. Prouver que l'ensemble H vecteurs spatiaux arithmétiques
, dont les première et dernière coordonnées sont 0, constitue un sous-espace linéaire. Trouvez sa base et sa dimension.

Solution. Laisser
.

Puis, et. Ainsi,
pour toute . Si
,
, Que . Ainsi, d’après le théorème du sous-espace linéaire, l’ensemble H est un sous-espace linéaire de l'espace. Trouvons la base H. Considérons les vecteurs suivants de H:
,
, . Ce système de vecteurs est linéairement indépendant. En effet, qu’il en soit ainsi.