Méthode d'intervalle. Inégalités quadratiques. Méthode des intervalles Erreurs typiques des étudiants lors de la résolution d'équations quadratiques

Sections: Mathématiques

Classe: 9

Un acquis d'apprentissage obligatoire est la capacité à résoudre des inégalités de la forme :

hache 2 + bx+ c ><0

basé sur un diagramme schématique fonction quadratique.

Le plus souvent, les élèves commettent des erreurs lorsqu'ils résolvent des inégalités quadratiques avec un premier coefficient négatif. Dans de tels cas, le manuel propose de remplacer l'inégalité par une inégalité équivalente avec un coefficient positif en x 2 (exemple n°3). Il est important que les élèves comprennent qu'ils doivent « oublier » l'inégalité d'origine ; pour résoudre le problème , ils doivent dessiner une parabole avec des branches pointant vers le haut. On peut argumenter différemment.

Disons que nous devons résoudre l'inégalité :

–x 2 + 2x –5<0

Voyons d'abord si le graphique de la fonction y=-x 2 +2x-5 coupe l'axe OX. Pour ce faire, résolvons l'équation :

L'équation n'a pas de racines, donc le graphique de la fonction y=-x 2 +2x-5 est entièrement situé en dessous de l'axe X et l'inégalité -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.

La capacité de résolution est développée aux n°111 et n°119. Il est impératif de considérer les inégalités suivantes x 2 +5>0, -x 2 -3≤0 ; 3x 2 >0 etc.

Bien sûr, pour résoudre de telles inégalités, vous pouvez utiliser une parabole. Cependant, les élèves forts devraient donner des réponses immédiatement sans recourir au dessin. Dans ce cas, il faut exiger des explications, par exemple : x 2 ≥0 et x 2 +7>0 pour toute valeur de x. Selon le niveau de préparation de la classe, vous pouvez vous limiter à ces nombres ou utiliser le n° 120 n° 121. Dans ceux-ci, il est nécessaire d'effectuer des transformations simples et identiques, donc ici la matière abordée sera répétée. Ces salles sont conçues pour les étudiants forts. Si un bon résultat est obtenu et que la résolution des inégalités quadratiques ne pose aucun problème, vous pouvez alors demander aux élèves de résoudre un système d'inégalités dans lequel une ou les deux inégalités sont quadratiques (exercices 193, 194).

Il est intéressant non seulement de résoudre des inégalités quadratiques, mais aussi de savoir où d'autre cette solution peut être appliquée : pour trouver le domaine de définition de la fonction d'étude d'une équation quadratique avec paramètres (exercice 122-124). peut considérer des inégalités quadratiques avec des paramètres de la forme :

Axe 2 +Bx+C>0 (≥0)

Hache 2 +Bx+C<0 (≤0)

Où A,B,C sont des expressions dépendant des paramètres, A≠0,x sont inconnus.

Inégalité Axe 2 +Bx+C>0

Il est étudié selon les schémas suivants :

1)Si A=0, alors on a l'inégalité linéaire Bx+C>0

2) Si A≠0 et discriminant D>0, alors on peut factoriser le trinôme carré et obtenir l'inégalité

A(x-x1) (x-x2)>0

x 1 et x 2 sont les racines de l'équation Ax 2 +Bx+C=0

3)Si A≠0 et D<0 то если A>0 la solution sera l’ensemble des nombres réels R ; à<0 решений нет.

Les inégalités restantes peuvent être étudiées de la même manière.

Peut être utilisé pour résoudre des inégalités quadratiques, d'où la propriété du trinôme quadratique

1)Si A>0 et D<0 то Ax2+Bx+C>0- pour tout x.

2)Si un<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.

Lors de la résolution d'une inégalité quadratique, il est plus pratique d'utiliser une représentation schématique du graphique de la fonction y=Ax2+Bx+C

Exemple : Pour toutes les valeurs de paramètres, résolvez l'inégalité

X2 +2(b+1)x+b2 >0

D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2

1)D<0 т.е. 2b+1<0

Le coefficient devant x 2 est 1>0, alors l'inégalité est satisfaite pour tout x, c'est-à-dire Xє R

2) D=0 => 2b+1=0

Alors x 2 +x+¼>0

x є(-∞;-½) U (-½;∞)

3) D>0 =>2b+1>0

Les racines d’un trinôme carré sont :

X 1 =-b-1-√2b+1

X 2 =-b-1+√2b+1

L'inégalité prend la forme

(x-x 1) (x-x 2)>0

En utilisant la méthode des intervalles, nous obtenons

x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)

Pour une solution indépendante, donnez l'inégalité suivante

À la suite de la résolution des inégalités, l'étudiant doit comprendre que pour résoudre les inégalités du deuxième degré, il est proposé d'abandonner les détails excessifs dans la méthode de construction d'un graphe, depuis la recherche des coordonnées des sommets de la parabole, en observant les échelle, et on peut se limiter à dessiner une esquisse du graphique d'une fonction quadratique.

Au niveau supérieur, la résolution des inégalités quadratiques n'est pratiquement pas une tâche indépendante, mais agit comme un élément de la résolution d'une autre équation ou inégalité (logarithmique, exponentielle, trigonométrique). Il est donc nécessaire d’apprendre aux étudiants à résoudre couramment les inégalités quadratiques. Vous pouvez vous référer à trois théorèmes empruntés au manuel des A.A. Kiseleva.

Théorème 1. Soit un trinôme carré axe 2 +bx+c, où a>0, ayant 2 racines réelles différentes (D>0).

Alors : 1) Pour toutes les valeurs de la variable x inférieures à la racine inférieure et supérieures à la racine supérieure, le trinôme carré est positif

2) Pour les valeurs de x entre les racines carrées, le trinôme est négatif.

Théorème 2. Soit un trinôme carré axe 2 +bx+c, où a>0 ayant 2 racines réelles identiques (D=0). Alors pour toutes valeurs de x différentes des racines du trinôme carré, le trinôme carré est positif .

Théorème 3. Soit un trinôme carré axe 2 +bx+c où a>0 n'ayant pas vraies racines(D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.

Par exemple : l’inégalité doit être résolue :

D=1+288=289>0

La solution est

X≤-4/3 et x≥3/2

Réponse (-∞; -4/3] U 7. (-∞; 2) U (3; ∞) 7. [-4; 0] 8. [-2; 1] 8. Ø 9. [-2; 0] 9. (-∞; -4) U (-4; ∞)

Les réponses sont placées au verso et peuvent être consultées une fois le temps imparti écoulé. Il est plus pratique d'effectuer ce travail au début du cours sur signal du professeur. (Attention, préparez-vous, commençons). La commande « Stop » interrompt le travail.

Les horaires de travail sont déterminés en fonction du niveau de préparation du cours. L’augmentation de la vitesse est un indicateur du travail de l’élève.

La capacité de résoudre des inégalités quadratiques sera également utile aux étudiants lors de l'examen d'État unifié. Dans les problèmes du groupe B, on rencontre de plus en plus de tâches liées à la capacité à résoudre des inégalités quadratiques.

Par exemple:

Une pierre est lancée verticalement vers le haut. Jusqu'à ce que la pierre tombe, la hauteur à laquelle elle se trouve est décrite par la formule

(h - hauteur en mètres, t - temps en secondes écoulé depuis le moment du lancer).

Trouvez combien de secondes la pierre s'est trouvée à une hauteur d'au moins 9 mètres.

Pour résoudre il faut créer une inégalité :

5t 2 +18t-9≥0

Réponse : 2,4 s

Commençant à donner aux étudiants des exemples de l'examen d'État unifié dès la 9e année au stade de l'étude de la matière, nous préparons déjà l'examen ; la résolution d'inégalités quadratiques contenant un paramètre permet de résoudre des problèmes du groupe C.

Une approche non formelle de l'étude du sujet en 9e année facilite la maîtrise de la matière du cours « Algèbre et débuts de l'analyse » sur des sujets tels que « Application de la dérivée » « Résolution des inégalités par la méthode des intervalles » « Résoudre les inégalités logarithmiques et exponentielles » « Résoudre les inégalités irrationnelles ».

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé "inégalité quadratique" ? Pas de question !) Si vous prenez n'importe lequeléquation quadratique et remplacez le signe dedans "=" (égal) à tout signe d'inégalité ( > ≥ < ≤ ≠ ), on obtient une inégalité quadratique. Par exemple:

1. x2-8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Eh bien, vous comprenez...)

Ce n’est pas pour rien que j’ai lié ici équations et inégalités. Le fait est que la première étape pour résoudre n'importe lequel inégalité quadratique - résoudre l’équation à partir de laquelle est faite cette inégalité. Pour cette raison, l’incapacité à résoudre des équations quadratiques conduit automatiquement à un échec complet des inégalités. L'indice est-il clair ?) Si quelque chose se produit, regardez comment résoudre les équations quadratiques. Tout y est décrit en détail. Et dans cette leçon, nous traiterons des inégalités.

L'inégalité prête à être résolue a la forme : gauche - trinôme quadratique hache 2 +bx+c, à droite - zéro. Le signe d'inégalité peut être absolument n'importe quoi. Les deux premiers exemples sont ici sont déjà prêts à prendre une décision. Le troisième exemple reste à préparer.

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Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Pour comprendre comment résoudre des équations quadratiques, nous devons comprendre ce qu’est une fonction quadratique et quelles sont ses propriétés.

Vous vous êtes probablement demandé pourquoi une fonction quadratique est nécessaire ? Où peut-on appliquer son graphique (parabole) ? Oui, il suffit de regarder autour de vous et vous remarquerez que chaque jour Vie courante vous la rencontrez. Avez-vous remarqué comment une balle lancée vole en éducation physique ? "Le long de l'arc" ? La réponse la plus correcte serait « parabole » ! Et sur quelle trajectoire se déplace le jet dans la fontaine ? Oui, également en parabole ! Comment vole une balle ou un obus ? C'est vrai, également dans une parabole ! Ainsi, connaissant les propriétés d'une fonction quadratique, il sera possible de résoudre de nombreux problèmes pratiques. Par exemple, sous quel angle faut-il lancer une balle pour assurer la plus grande distance ? Ou, où finira le projectile si vous le lancez sous un certain angle ? etc.

Fonction quadratique

Alors, découvrons-le.

Par exemple, . Quels sont les égaux ici, et ? Oui bien sur!

Et si, c'est-à-dire moins que zéro? Eh bien, bien sûr, nous sommes « tristes », ce qui signifie que les branches seront dirigées vers le bas ! Regardons le graphique.

Cette figure montre le graphique de la fonction. Depuis, c'est-à-dire inférieur à zéro, les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. De plus, vous avez probablement déjà remarqué que les branches de cette parabole coupent l'axe, ce qui signifie que l'équation a 2 racines, et que la fonction prend à la fois des valeurs positives et négatives !

Au tout début, lorsque nous avons donné la définition d'une fonction quadratique, il a été dit que ce sont quelques nombres. Peuvent-ils être égaux à zéro ? Eh bien, bien sûr, ils le peuvent ! Je vais même révéler un secret encore plus grand (qui n’est pas du tout un secret, mais qui mérite d’être mentionné) : il n’y a aucune restriction imposée sur ces chiffres (et) du tout !

Eh bien, voyons ce qui arrive aux graphiques si et sont égaux à zéro.

Comme vous pouvez le constater, les graphiques des fonctions (et) considérées se sont décalés de sorte que leurs sommets se trouvent désormais au point de coordonnées, c'est-à-dire à l'intersection des axes et cela n'a aucun effet sur la direction des branches. . Ainsi, nous pouvons conclure qu'ils sont responsables du « mouvement » du graphe parabolique le long du système de coordonnées.

Le graphique d'une fonction touche l'axe en un point. Cela signifie que l’équation a une racine. Ainsi, la fonction prend des valeurs supérieures ou égales à zéro.

On suit la même logique avec le graphique de la fonction. Il touche l'axe des x en un point. Cela signifie que l’équation a une racine. Ainsi, la fonction prend des valeurs inférieures ou égales à zéro, c'est-à-dire.

Ainsi, pour déterminer le signe d’une expression, la première chose à faire est de trouver les racines de l’équation. Cela nous sera très utile.

Inégalité quadratique

Inégalité quadratique est une inégalité constituée d’une seule fonction quadratique. Ainsi, toutes les inégalités quadratiques se réduisent aux quatre types suivants :

Pour résoudre de telles inégalités, nous aurons besoin de pouvoir déterminer où une fonction quadratique est supérieure, inférieure ou égale à zéro. C'est-à-dire:

si nous avons une inégalité de forme, alors en fait la tâche revient à déterminer l'intervalle numérique de valeurs pour lequel la parabole se situe au-dessus de l'axe.
si nous avons une inégalité de la forme, alors en fait la tâche revient à déterminer l'intervalle numérique de valeurs x pour lequel la parabole se situe en dessous de l'axe.

Si les inégalités ne sont pas strictes, alors les racines (les coordonnées de l'intersection de la parabole avec l'axe) sont incluses dans l'intervalle numérique souhaité ; dans le cas d'inégalités strictes, elles sont exclues.

Tout cela est assez formalisé, mais ne désespérez pas et n’ayez pas peur ! Regardons maintenant les exemples, et tout se mettra en place.

Lors de la résolution d'inégalités quadratiques, nous adhérerons à l'algorithme donné, et un succès inévitable nous attend !

Algorithme	Exemple:
1) Écrivons l’équation quadratique correspondant à l’inégalité (il suffit de changer le signe de l’inégalité par le signe égal « = »).
2) Trouvons les racines de cette équation.
3) Marquer les racines sur l'axe et montrer schématiquement l'orientation des branches de la parabole (« haut » ou « bas »)
4) Plaçons les signes sur l'axe correspondant au signe de la fonction quadratique : là où la parabole est au dessus de l'axe, on met " ", et où en dessous - " ".
5) Écrivez le ou les intervalles correspondant à « » ou « », selon le signe de l'inégalité. Si l’inégalité n’est pas stricte, les racines sont incluses dans l’intervalle ; si elle est stricte, elles ne le sont pas.

J'ai compris? Alors n'hésitez plus et sécurisez-le !

Eh bien, est-ce que ça a marché ? Si vous rencontrez des difficultés, cherchez des solutions.

Solution:

Notons les intervalles correspondant au signe " ", puisque le signe d'inégalité est " ". L'inégalité n'est pas stricte, donc les racines sont incluses dans les intervalles :

Écrivons l'équation quadratique correspondante :

Trouvons les racines de cette équation quadratique :

Marquons schématiquement les racines obtenues sur l'axe et disposons les signes :

Notons les intervalles correspondant au signe " ", puisque le signe d'inégalité est " ". L'inégalité est stricte, donc les racines ne sont pas incluses dans les intervalles :

Écrivons l'équation quadratique correspondante :

Trouvons les racines de cette équation quadratique :

cette équation a une racine

Marquons schématiquement les racines obtenues sur l'axe et disposons les signes :

Notons les intervalles correspondant au signe " ", puisque le signe d'inégalité est " ". Pour tout, la fonction prend des valeurs non négatives. Puisque l’inégalité n’est pas stricte, la réponse sera.

Écrivons l'équation quadratique correspondante :

Trouvons les racines de cette équation quadratique :

Traçons schématiquement le graphique d'une parabole et organisons les signes :

Notons les intervalles correspondant au signe " ", puisque le signe d'inégalité est " ". Pour tout, la fonction prend des valeurs positives, donc la solution de l'inégalité sera l'intervalle :

INÉGALITÉS CARRÉES. NIVEAU MOYEN

Fonction quadratique.

Avant d’aborder le sujet « inégalités quadratiques », rappelons ce qu’est une fonction quadratique et quel est son graphique.

Une fonction quadratique est une fonction de la forme,

En d'autres termes, ceci polynôme du deuxième degré.

Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole (vous vous souvenez de ce que c’est ?). Ses branches sont dirigées vers le haut si "a) la fonction ne prend que des valeurs positives pour tous, et dans la seconde () - uniquement des valeurs négatives :

Dans le cas où l'équation () a exactement une racine (par exemple, si le discriminant est nul), cela signifie que le graphique touche l'axe :

Alors, comme dans le cas précédent, for est une fonction qui est non négative pour tous, et for est non positive.

Ainsi, nous avons récemment appris à déterminer où une fonction quadratique est supérieure à zéro et où elle est inférieure :

Si l’inégalité quadratique n’est pas stricte, alors les racines sont incluses dans l’intervalle numérique ; si elle est stricte, elles ne le sont pas.

S’il n’y a qu’une seule racine, ce n’est pas grave, le même signe sera partout. S'il n'y a pas de racines, tout dépend uniquement du coefficient : si, alors l'expression entière est supérieure à 0, et vice versa.

Exemples (décidez vous-même) :

Réponses:

Il n’y a pas de racines, donc toute l’expression du côté gauche prend le signe du coefficient dominant : pour tous. Cela signifie qu’il n’y a pas de solutions aux inégalités.

Si la fonction quadratique du côté gauche est « incomplète », plus il est facile de trouver les racines :

INÉGALITÉS CARRÉES. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Fonction quadratique est une fonction de la forme : ,

Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Ses branches sont dirigées vers le haut si, et vers le bas si :

Si vous souhaitez trouver un intervalle numérique sur lequel le trinôme quadratique est supérieur à zéro, alors il s'agit de l'intervalle numérique où la parabole se trouve au-dessus de l'axe.
Si vous souhaitez trouver un intervalle numérique sur lequel le trinôme quadratique est inférieur à zéro, alors il s'agit de l'intervalle numérique où la parabole se trouve en dessous de l'axe.

Types d'inégalités quadratiques :

Toutes les inégalités quadratiques se réduisent aux quatre types suivants :

Algorithme de solution :

Algorithme	Exemple:
1) Écrivons l'équation quadratique correspondant à l'inégalité (changeons simplement le signe de l'inégalité par le signe égal "").
2) Trouvons les racines de cette équation.
3) Marquer les racines sur l'axe et montrer schématiquement l'orientation des branches de la parabole (« haut » ou « bas »)
4) Plaçons sur l'axe les signes correspondant au signe de la fonction quadratique : là où la parabole est au dessus de l'axe, on met " ", et là où en dessous - " ".
5) Notez le(s) intervalle(s) correspondant à « » ou « », selon le signe de l'inégalité. Si l’inégalité n’est pas stricte, les racines sont incluses dans l’intervalle ; si elle est stricte, elles ne le sont pas.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

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Avant de le comprendre, comment résoudre l'inégalité quadratique, regardons quel type d'inégalité est appelé quadratique.

Souviens-toi!

L'inégalité s'appelle carré, si le degré le plus élevé (le plus grand) de l’inconnu « x » est égal à deux.

Pratiquons-nous à identifier le type d'inégalité à l'aide d'exemples.

Comment résoudre l'inégalité quadratique

Dans les leçons précédentes, nous avons vu comment résoudre des inégalités linéaires. Mais contrairement à inégalités linéaires les carrés sont résolus d’une manière complètement différente.

Important!

Il est impossible de résoudre une inégalité quadratique de la même manière qu’une inégalité linéaire !

Pour résoudre l'inégalité quadratique, une méthode spéciale est utilisée, appelée méthode d'intervalle.

Quelle est la méthode des intervalles

Méthode d'intervalle est une méthode spéciale pour résoudre les inégalités quadratiques. Ci-dessous, nous expliquerons comment utiliser cette méthode et pourquoi elle tire son nom.

Souviens-toi!

Pour résoudre une inégalité quadratique à l’aide de la méthode des intervalles :

Nous comprenons que les règles décrites ci-dessus sont difficiles à comprendre uniquement en théorie, nous considérerons donc immédiatement un exemple de résolution d'une inégalité quadratique à l'aide de l'algorithme ci-dessus.

Nous devons résoudre une inégalité quadratique.

Maintenant, comme indiqué dans, dessinons des « arcs » sur les intervalles entre les points marqués.

Mettons des panneaux à l'intérieur des intervalles. En alternant de droite à gauche, en commençant par « + », on marque les signes.

Tout ce que nous avons à faire est d'exécuter, c'est-à-dire de sélectionner les intervalles requis et de les noter comme réponse. Revenons à nos inégalités.

Puisque dans nos inégalités » x 2 + x − 12 ", ce qui signifie que nous avons besoin d'intervalles négatifs. Grisons toutes les zones négatives de la droite numérique et notons-les comme réponse.

Il n'y avait qu'un seul intervalle négatif, situé entre les nombres « −3 » et « 4 », nous l'écrirons donc dans la réponse comme une double inégalité
"−3".

Écrivons la réponse résultante de l’inégalité quadratique.

Réponse : −3

D'ailleurs, c'est précisément parce que lors de la résolution d'une inégalité quadratique, nous considérons les intervalles entre les nombres que la méthode des intervalles tire son nom.

Après avoir reçu la réponse, il est logique de la vérifier pour s'assurer que la décision est correcte.

Choisissons n'importe quel nombre qui se trouve dans la zone ombrée de la réponse reçue " −3" et remplacez-le à la place de "x" dans l'inégalité d'origine. Si nous obtenons une inégalité correcte, alors nous avons trouvé correctement la réponse à l’inégalité quadratique.

Prenons, par exemple, le nombre « 0 » de l'intervalle. Remplaçons-le par l'inégalité originale « x 2 + x − 12 ».

X 2 + x − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (correct)

Nous avons obtenu l’inégalité correcte en remplaçant un nombre de la zone de solution, ce qui signifie que la réponse a été trouvée correctement.

Bref enregistrement de la solution en utilisant la méthode des intervalles

Une forme abrégée de la solution à l'inégalité quadratique " x 2 + x − 12 "par la méthode des intervalles ressemblera à ceci :

X 2 + x − 12
x 2 + x − 12 = 0

x1 =

1+ 7

x2 =

1 − 7

x1 =

x2 =

x1 =

1+ 1

x2 =

1 − 1

x1 =

x2 =

x1 =

x2 = 0

Réponse : x ≤ 0 ; x ≥

Prenons un exemple où il y a un coefficient négatif devant « x 2 » dans l'inégalité quadratique.

2. Dalinger V.A. Erreurs courantes en mathématiques à Examen d'admission et comment les prévenir. – Omsk : Maison d'édition d'Omsk IUU, 1991.

3. Dalinger V.A. Tout pour assurer la réussite aux examens finaux et d’entrée en mathématiques. Numéro 5. Équations exponentielles, logarithmiques, inégalités et leurs systèmes : Didacticiel. – Omsk : Maison d'édition de l'Université pédagogique d'État d'Omsk, 1996.

4. Dalinger V.A. Les débuts de l'analyse mathématique : Erreurs typiques, leurs causes et moyens de les éviter : Manuel. – Omsk : « Editeur-Plygraphiste », 2002.

5. Dalinger V.A., Zoubkov A.N. Un guide pour réussir l'examen de mathématiques : Analyse des erreurs des candidats en mathématiques et moyens de les éviter. – Omsk : Maison d'édition de l'Université pédagogique d'État d'Omsk, 1991.

6. Koutassov A.D. Equations exponentielles et logarithmiques, inégalités, systèmes : Manuel pédagogique et méthodologique N7. – Maison d'édition de l'Université ouverte de Russie, 1992.

Les erreurs commises par les étudiants lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités sont très diverses : du formatage incorrect de la solution aux erreurs de nature logique. Ces erreurs et d’autres seront abordées dans cet article.

1. L'erreur la plus courante est que les étudiants, lorsqu'ils résolvent des équations et des inégalités sans explication supplémentaire, utilisent des transformations qui violent l'équivalence, ce qui entraîne la perte de racines et l'apparition de chevaux étrangers.

Regardons exemples spécifiques erreurs de ce genre, mais nous attirons d’abord l’attention du lecteur sur la pensée suivante : n’ayez pas peur d’acquérir des racines étrangères, elles peuvent être écartées en vérifiant, ayez peur de perdre des racines.

a) Résolvez l'équation :

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

Les élèves résolvent souvent cette équation comme suit.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4 ; x2 = 8.

Les élèves écrivent souvent les deux nombres comme réponse sans autre raisonnement. Mais comme le montre une vérification, le nombre x = 8 n’est pas la racine de l’équation originale, puisqu’à x = 8 les côtés gauche et droit de l’équation n’ont plus de sens. La vérification montre que le nombre x = -4 est la racine de l'équation donnée.

b) Résoudre l'équation

Le domaine de définition de l'équation d'origine est spécifié par le système

Pour résoudre l'équation donnée, passons au logarithme de base x, on obtient

On voit que les côtés gauche et droit de cette dernière équation en x = 1 ne sont pas définis, mais ce nombre est la racine de l'équation d'origine (vous pouvez le vérifier par substitution directe). Ainsi, la transition formelle vers une nouvelle base a entraîné la perte de la racine. Pour éviter de perdre la racine x = 1, vous devez spécifier que la nouvelle base doit être un nombre positif différent de un, et considérer le cas x = 1 séparément.

2. Tout un groupe d'erreurs, ou plutôt de lacunes, réside dans le fait que les étudiants ne prêtent pas l'attention voulue à la recherche du domaine de définition des équations, même si dans certains cas c'est précisément celui-ci qui est la clé de la solution. Regardons un exemple à cet égard.

Résous l'équation

Trouvons le domaine de définition de cette équation, pour lequel on résout le système d'inégalités :

D'où on a x = 0. Vérifions par substitution directe si le nombre x = 0 est la racine de l'équation originale

Réponse : x = 0.

3. Une erreur typique des étudiants est qu'ils n'ont pas le niveau requis de connaissance des définitions de concepts, des formules, des énoncés de théorèmes et des algorithmes. Confirmons cela avec l'exemple suivant.

Résous l'équation

Voici une solution erronée à cette équation :

La vérification montre que x = -2 n'est pas une racine de l'équation d'origine.

La conclusion est que équation donnée n'a pas de racines.

Cependant, ce n’est pas le cas. En substituant x = -4 dans l'équation donnée, nous pouvons vérifier qu'il s'agit d'une racine.

Analysons pourquoi la perte des racines s'est produite.

Dans l’équation originale, les expressions x et x + 3 peuvent être à la fois négatives ou positives en même temps, mais lorsqu’on passe à l’équation, ces mêmes expressions ne peuvent être que positives. Par conséquent, il y a eu un rétrécissement de la zone de définition, ce qui a entraîné une perte de racines.

Pour éviter de perdre la racine, on peut procéder comme suit : dans l'équation originale on passe du logarithme de la somme au logarithme du produit. Dans ce cas, l'apparition de racines étrangères est possible, mais vous pouvez vous en débarrasser par substitution.

4. De nombreuses erreurs commises lors de la résolution d'équations et d'inégalités sont une conséquence du fait que les élèves essaient très souvent de résoudre des problèmes selon un modèle, c'est-à-dire de la manière habituelle. Montrons cela avec un exemple.

Résoudre les inégalités

Essayer de résoudre cette inégalité en utilisant des méthodes algorithmiques familières ne mènera pas à une réponse. La solution doit ici consister à estimer les valeurs de chaque terme du côté gauche de l'inégalité sur le domaine de définition de l'inégalité.

Trouvons le domaine de définition de l'inégalité :

Pour tout x de l'intervalle (9;10] l'expression a des valeurs positives (valeurs fonction exponentielle toujours positif).

Pour tout x de l'intervalle (9;10], l'expression x - 9 a des valeurs positives, et l'expression lg(x - 9) a des valeurs négatives ou nulles, puis l'expression (- (x - 9) lg(x - 9) est positif ou égal à zéro.

On a finalement x∈ (9;10]. Notez que pour de telles valeurs de la variable, chaque terme du côté gauche de l'inégalité est positif (le deuxième terme peut être égal à zéro), ce qui signifie que leur somme est toujours supérieur à zéro. Par conséquent, la solution à l’inégalité initiale est l’écart (9 ; 10].

5. L'une des erreurs est liée à la solution graphique des équations.

Résous l'équation

Notre expérience montre que les élèves, résolvant graphiquement cette équation (notez qu'elle ne peut être résolue par d'autres méthodes élémentaires), ne reçoivent qu'une seule racine (c'est l'abscisse d'un point situé sur la droite y = x), car les graphiques des fonctions

Ce sont des graphiques de fonctions mutuellement inverses.

En fait, l'équation originale a trois racines : l'une d'elles est l'abscisse du point situé sur la bissectrice du premier angle de coordonnée y = x, l'autre racine et la troisième racine. Vous pouvez vérifier la validité de ce qui a été dit en substituant directement des nombres dans l'équation donnée.

Notez que les équations de la forme logax = ax à 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Cet exemple illustre bien la conclusion suivante : solution graphique l'équation f(x) = g(x) est « parfaite » si les deux fonctions sont différentes-monotones (l'une est croissante et l'autre décroissante), et pas assez mathématiquement correcte dans le cas de fonctions monotones (les deux sont soit en diminution simultanée, soit en augmentation simultanée).

6. Un certain nombre d'erreurs typiques sont associées au fait que les élèves ne résolvent pas entièrement correctement les équations et les inégalités sur la base de l'approche fonctionnelle. Montrons les erreurs typiques de ce type.

a) Résolvez l’équation xx = x.

La fonction du côté gauche de l'équation est exponentielle et si c'est le cas, alors les restrictions suivantes doivent être imposées en fonction du degré : x > 0, x ≠ 1. Prenons le logarithme des deux côtés de l'équation donnée :

D'où on a x = 1.

La logarithmisation n'a pas conduit à un rétrécissement du domaine de définition de l'équation originale. Mais néanmoins, nous avons perdu deux racines de l’équation ; par observation immédiate, nous constatons que x = 1 et x = -1 sont les racines de l'équation originale.

b) Résoudre l'équation

Comme dans le cas précédent, nous avons une fonction exponentielle, ce qui signifie x > 0, x ≠ 1.

Pour résoudre l'équation originale, nous prenons le logarithme des deux côtés sur n'importe quelle base, par exemple en base 10 :

Considérant que le produit de deux facteurs est égal à zéro lorsqu'au moins l'un d'eux est égal à zéro et que l'autre a du sens, nous avons une combinaison de deux systèmes :

Le premier système n’a pas de solution ; à partir du deuxième système, nous obtenons x = 1. Compte tenu des restrictions imposées précédemment, le nombre x = 1 ne devrait pas être la racine de l'équation originale, bien que par substitution directe nous soyons convaincus que ce n'est pas le cas.

7. Regardons quelques erreurs associées au concept fonction complexe gentil . Montrons l'erreur en utilisant cet exemple.

Déterminez le type de monotonie de la fonction.

Notre pratique montre que la grande majorité des étudiants déterminent la monotonie dans ce cas uniquement par la base du logarithme, et puisque 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Non! Cette fonction est croissante.

Classiquement, pour une fonction de la forme on peut écrire :

Croissant (Décroissant) = Descendant ;

Augmentation (Augmentation) = Augmentation ;

Décroissant (Décroissant) = Augmentant ;

Décroissant (Augmentant) = Décroissant ;

8. Résolvez l'équation

Cette tâche est tirée de la troisième partie de l'examen d'État unifié, qui est évaluée par des points ( note maximale - 4).

Nous présentons une solution qui contient des erreurs, ce qui signifie qu'elle ne recevra pas le score maximum.

On réduit les logarithmes à la base 3. L'équation prend la forme

En potentialisant, on obtient

x1 = 1, x2 = 3.

Vérifions l'identification d'éventuelles racines étrangères.

, 1 = 1,

cela signifie que x = 1 est la racine de l'équation originale.

Cela signifie que x = 3 n'est pas une racine de l'équation d'origine.

Expliquons pourquoi cette solution contient des erreurs. L'essence de l'erreur est que l'enregistrement contient deux erreurs grossières. Première erreur : l’enregistrement n’a aucun sens. Deuxième erreur : il n’est pas vrai que le produit de deux facteurs, dont l’un est nul, sera nécessairement nul. Il sera nul si et seulement si un facteur est 0 et que le deuxième facteur a du sens. Mais ici, le deuxième facteur n’a aucun sens.

9. Revenons à l'erreur déjà commentée plus haut, mais en même temps nous donnerons un nouveau raisonnement.

Lorsque vous résolvez des équations logarithmiques, accédez à l'équation. Chaque racine de la première équation est aussi une racine de la deuxième équation. L'inverse, d'une manière générale, n'est pas vrai, donc, en passant d'équation en équation, il faut finalement vérifier les racines de cette dernière en les substituant dans l'équation d'origine. Au lieu de vérifier les racines, il est conseillé de remplacer l'équation par un système équivalent

Si au moment de décider équation logarithmique expressions

où n - nombre pair, sont transformés selon les formules , , , alors, puisque dans de nombreux cas cela rétrécit le domaine de définition de l'équation, la perte de certaines de ses racines est possible. Il est donc conseillé d'utiliser ces formules sous la forme suivante :

n est un nombre pair.

A l'inverse, si, lors de la résolution d'une équation logarithmique, les expressions , , , où n est un nombre pair, sont respectivement transformées en expressions

alors le domaine de définition de l'équation peut s'étendre, grâce à quoi des racines étrangères peuvent être acquises. Dans cette optique, dans de telles situations, il est nécessaire de surveiller l’équivalence des transformations et, si le domaine de définition de l’équation s’élargit, de vérifier les racines résultantes.

10. Au moment de décider inégalités logarithmiquesÀ l'aide de la substitution, nous résolvons toujours d'abord une nouvelle inégalité par rapport à une nouvelle variable, et ce n'est qu'en la résolvant que nous passons à l'ancienne variable.

Les écoliers font très souvent par erreur la transition inverse plus tôt, au stade de la recherche des racines fonction rationnelle, obtenu du côté gauche de l’inégalité. Cela ne devrait pas être fait.

11. Donnons un exemple d'une autre erreur liée à la résolution des inégalités.

Résoudre l'inégalité