Logarithmes

Histoire des logarithmes

Le nom a été introduit par Napier et vient des mots grecs logoz et ariumoz – il signifie littéralement « nombre de relations ». Les logarithmes ont été inventés par Napier. Napier a inventé les logarithmes au plus tard en 1594. Logarithmes avec base un présenté par le professeur de mathématiques Speidel. Le mot base a été emprunté à la théorie des puissances et transféré à la théorie des logarithmes par Euler. Le verbe « logarithme » apparaît au XIXème siècle chez Coppe. Cauchy fut le premier à proposer l'introduction de différents signes pour les décimales et logarithmes naturels. Des notations proches des notations modernes ont été introduites par le mathématicien allemand Pringsheim en 1893. C'est lui qui a noté le logarithme entier naturelà travers dans. La définition d'un logarithme comme exposant d'une base donnée peut être trouvée dans Wallis (1665), Bernoulli (1694).

Définition du logarithme

Logarithme le nombre b>0 à la base a>0, a ≠ 1, est appelé l'exposant auquel il faut élever le nombre a pour obtenir le nombre b.

Le logarithme d'un nombre b en base a est noté : log a b

Identité logarithmique de base

Cette égalité est simplement une autre forme de définition du logarithme. On l'appelle souvent identité logarithmique de base.

Exemple

1. 3=log 2 8, puisque 2³=8

2. ½=log 3 √3, puisque 3= √3

3. 3 bûches 3 1/5 =1/5

4. 2=log √5 5, puisque (√5)²=5

Naturel et logarithmes décimaux

Naturel s'appelle un logarithme dont la base est égale à e. Noté ln b, c'est-à-dire

Décimal s'appelle un logarithme dont la base est 10. Il est noté lg b, c'est-à-dire

Propriétés de base des logarithmes

Soit : a > 0, a ≠ 1. Alors :

1. enregistrez un x*y=logax+logay (x>0, y>0)

2. enregistrer un y/x=logax−logay (x>0, y>0)

3. log a x p =p*logax (x>0)

4. log a p x=1/p*logax (x>0)

Exemple

1) log 8 16+log 8 4= log 8 (16 4)= log 8 64= 2 ;

2) log 5 375– log 5 3= log 5 375/3=log 5 125= 3 ;

3) ½log 3 36+ log 3 2- log 3 √6- ½ log 3 8=log 3 √36+ log 3 2-(log 3 √6+log 3 √8) =log 3 12/4 √3=log 3 √3= ½.

Formes de transition d'un logarithme dans une base à un logarithme dans une autre base

1.log a b=log c b/log c a

2.log a b=1/log b a

Équations logarithmiques

1) Les équations contenant une variable sous le signe du logarithme (log) sont dites logarithmiques. L'exemple le plus simple d'équation logarithmique est une équation de la forme : log a x=b, où a>0 et a=1.

2) La solution d'une équation logarithmique de la forme : log a f(x)=log a g(x) (1) repose sur le fait qu'elle est équivalente à une équation de la forme f(x) = g(x) (2) avec conditions additionnelles f(x)>0 et g(x)>0.

3) Lors du passage de l'équation (1) à l'équation (2), des racines étrangères peuvent apparaître, leur identification nécessite donc une vérification ;

4) Lors de la résolution d'équations logarithmiques, la méthode de substitution est souvent utilisée.

Conclusion

Logarithme un nombre qui peut être utilisé pour simplifier de nombreuses opérations arithmétiques complexes. L'utilisation de logarithmes au lieu de nombres dans les calculs vous permet de remplacer la multiplication par l'opération plus simple d'addition, la division par soustraction, l'exponentiation par multiplication et l'extraction de racines par division.

La seule façon de mettre en œuvre longs voyages il y avait la navigation, qui est toujours associée à l'exécution de grands volumes de calculs de navigation. Il est désormais difficile d’imaginer le processus de calculs épuisants lors de la multiplication et de la division « à la main » de nombres à cinq ou six chiffres. Le théologien, de par la nature de son activité principale, effectuant des calculs trigonométriques pendant son temps libre, a imaginé de remplacer la procédure de multiplication à forte intensité de main-d'œuvre par une simple addition. Il a lui-même déclaré que son objectif était « de se libérer de la difficulté et de l’ennui des calculs qui découragent beaucoup d’étudier les mathématiques ». Les efforts ont été couronnés de succès: un appareil mathématique a été créé, appelé système de logarithmes.

Alors, qu'est-ce qu'un logarithme ? La base des calculs logarithmiques est une représentation différente du nombre : au lieu du système de position habituel, comme nous en avons l'habitude, le nombre A est représenté comme une expression de puissance, où un nombre arbitraire N, appelé base de la puissance, est élevé à une puissance n telle que le résultat soit le nombre A. Ainsi, n est le logarithme du nombre A en base N. Le choix de la base des logarithmes détermine le nom du système. Pour des calculs simples, il est utilisé système décimal logarithmes, et en science et technologie, le système des logarithmes naturels est largement utilisé, où la base est le nombre irrationnel e = 2,718. L'expression définissant le logarithme du nombre A s'écrit en langage mathématique comme suit :

n=log(N)A, où N est la base.

Les logarithmes décimaux et naturels ont leur propre forme abrégée spécifique - respectivement lgA et lnA.

Dans un système de calcul utilisant des logarithmes, l'élément principal est la conversion du nombre en regard calme en utilisant une table de logarithmes en base, par exemple 10. Cette manipulation ne présente aucune difficulté. Ensuite, nous utilisons la propriété des nombres puissances, à savoir que lorsqu’on les multiplie, leurs puissances s’additionnent. En pratique, cela signifie que la multiplication des nombres avec une représentation logarithmique est remplacée par l'addition de leurs puissances. Par conséquent, la question « qu'est-ce qu'un logarithme », si elle se poursuit par « pourquoi en avons-nous besoin », a une réponse simple - pour simplifier la procédure de multiplication et de division de nombres à plusieurs chiffres - après tout, l'addition de colonnes est beaucoup plus simple que la multiplication de colonnes. Quiconque n’y croit pas devrait essayer d’additionner et de multiplier deux nombres à huit chiffres.

Les premiers tableaux de logarithmes (basés sur c) ont été publiés par John Napier en 1614, et une version totalement sans erreur, comprenant des tableaux de logarithmes décimaux, est apparue en 1857 et est connue sous le nom de tableaux de Bremiker L'utilisation de logarithmes avec base dans le. forme est due au fait que le nombre e est assez simple à parcourir dans la série de Taylor ayant large application en intégrale et

L'essence de ce système informatique est contenue dans la réponse à la question « qu'est-ce qu'un logarithme » et découle des principes de base identité logarithmique: N(logarithme base) n, égal au logarithme du nombre A(logA), est égal à ce nombre A. Dans ce cas, A>0, soit le logarithme est défini uniquement pour les nombres positifs, et la base du logarithme est toujours supérieure à 0 et non égale à 1. Sur la base de ce qui précède, les propriétés du logarithme népérien peuvent être formulées comme suit :

1. Le domaine de définition du logarithme naturel est l'ensemble de l'axe numérique de 0 à l'infini.
2. ln x = 0 - une conséquence de la relation bien connue - tout nombre à la puissance zéro est égal à 1.
3. ln (X*Y) = ln X + lnY - la propriété la plus importante pour les manipulations informatiques est le logarithme du produit de deux nombres ramen et la somme des logarithmes de chacun d'eux.
4. ln (X/Y) = ln X - lnY - le logarithme du quotient de deux nombres est égal à la différence des logarithmes de ces nombres.
5. ln (X)n =n*ln X .
6. Le logarithme népérien est une fonction dérivable, convexe vers le haut, avec ln' X = 1 / X
7. log (N)A =K* ln A - le logarithme de toute base positive différente du nombre e ne diffère du nombre naturel que par le coefficient.

Désormais, chaque écolier sait ce qu'est un logarithme, mais grâce aux progrès dans le domaine des applications appliquées la technologie informatique Les problèmes informatiques appartiennent au passé. Cependant, les logarithmes, déjà comme outil mathématique, sont utilisés lors de la résolution d'équations avec des inconnues dans l'exposant, dans des expressions pour trouver le temps

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Qu'est-ce qu'un logarithme ? Comment résoudre des logarithmes ? Ces questions déroutent de nombreux diplômés. Traditionnellement, le sujet des logarithmes est considéré comme complexe, incompréhensible et effrayant. Surtout les équations avec des logarithmes.

Ce n'est absolument pas vrai! Absolument! Vous ne me croyez pas ? Bien. Maintenant, en seulement 10 à 20 minutes, vous :

1. Vous comprendrez qu'est-ce qu'un logarithme.

2. Apprenez à résoudre une classe entière équations exponentielles. Même si vous n’en avez pas entendu parler.

3. Apprenez à calculer des logarithmes simples.

De plus, pour cela il vous suffira de connaître la table de multiplication et comment élever un nombre à une puissance...

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Nous avons donc des puissances de deux. Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devrez relancer deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatrième. Et pour obtenir 64, il faut élever deux à la puissance sixième. Cela peut être vu sur le tableau.

Et maintenant, en fait, la définition du logarithme :

La base a du logarithme de x est la puissance à laquelle a doit être élevé pour obtenir x.

Notation : log a x = b, où a est la base, x est l'argument, b est ce à quoi le logarithme est réellement égal.

Par exemple, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Avec le même succès, log 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.

L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre selon une base donnée est appelée logarithmisation. Alors, ajoutons une nouvelle ligne à notre tableau :

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
journal 2 2 = 1	journal 2 4 = 2	journal 2 8 = 3	journal 2 16 = 4	journal 2 32 = 5	journal 2 64 = 6

Malheureusement, tous les logarithmes ne se calculent pas aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le log 2 5. Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur l'intervalle. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits à l'infini et ils ne sont jamais répétés. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Il est important de comprendre qu’un logarithme est une expression à deux variables (la base et l’argument). Beaucoup de gens confondent au début où se trouve la base et où se trouve l’argument. Éviter des malentendus gênants, il suffit de regarder la photo :

Nous n’avons devant nous rien d’autre que la définition d’un logarithme. Souviens-toi: le logarithme est une puissance, dans lequel la base doit être construite pour obtenir un argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - elle est surlignée en rouge sur la photo. Il s'avère que la base est toujours en bas ! J'enseigne cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et aucune confusion ne surgit.

Nous avons trouvé la définition - il ne reste plus qu'à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du panneau « journal ». Pour commencer, notons que deux faits importants découlent de la définition :

1. L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition du diplôme indicateur rationnel, auquel se résume la définition d'un logarithme.
2. La base doit être différente de l'unité, puisque l'unité reste une à quelque degré que ce soit. De ce fait, la question « à quel pouvoir faut-il être élevé pour en avoir deux » n’a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !

De telles restrictions sont appelées plage de valeurs acceptables(ODZ). Il s'avère que l'ODZ du logarithme ressemble à ceci : log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Notez qu'il n'y a aucune restriction sur le nombre b (la valeur du logarithme). Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1.

Cependant, nous considérons maintenant uniquement expressions numériques, où il n'est pas nécessaire de connaître le CVD du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les auteurs des problèmes. Mais quand ils partent équations logarithmiques et les inégalités, les exigences du DHS deviendront obligatoires. Après tout, la base et l’argumentation peuvent contenir des constructions très fortes qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.

Examinons maintenant le schéma général de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :

1. Exprimez la base a et l'argument x sous la forme d'une puissance avec la base minimale possible supérieure à un. En chemin, il vaut mieux se débarrasser des décimales ;
2. Résolvez l'équation de la variable b : x = a b ;
3. Le nombre résultant b sera la réponse.

C'est tout! Si le logarithme s’avère irrationnel, cela sera visible dès la première étape. L'exigence que la base soit plus d'un, est très pertinent : il réduit le risque d’erreur et simplifie grandement les calculs. Même avec décimales: si vous les convertissez immédiatement en standards, il y aura beaucoup moins d'erreurs.

Voyons comment ce schéma fonctionne à l'aide d'exemples spécifiques :

Tâche. Calculez le logarithme : log 5 25

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 2.

Tâche. Calculez le logarithme :

Tâche. Calculez le logarithme : log 4 64

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 3.

Tâche. Calculez le logarithme : log 16 1

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Créons et résolvons l'équation :
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Nous avons reçu la réponse : 0.

Tâche. Calculez le logarithme : log 7 14

1. Imaginons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 ne peut pas être représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme ne compte pas ;
3. La réponse est aucun changement : log 7 14.

Une petite note sur le dernier exemple. Comment être sûr qu’un nombre n’est pas la puissance exacte d’un autre nombre ? C'est très simple : il suffit de le prendre en compte en facteurs premiers. Et si de tels facteurs ne peuvent pas être regroupés en puissances ayant les mêmes exposants, alors le nombre d’origine n’est pas une puissance exacte.

Tâche. Découvrez si les nombres sont des puissances exactes : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas une puissance exacte, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois, ce n'est pas une puissance exacte ;
14 = 7 · 2 - encore une fois, ce n'est pas un degré exact ;

Notons également que nous-mêmes nombres premiers sont toujours des degrés exacts d'eux-mêmes.

Logarithme décimal

Certains logarithmes sont si courants qu’ils portent un nom et un symbole spéciaux.

Le logarithme décimal de x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire La puissance à laquelle il faut élever le nombre 10 pour obtenir le nombre x. Désignation : LG X.

Par exemple, log 10 = 1 ; LG 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.

Désormais, lorsqu'une phrase telle que « Find lg 0.01 » apparaît dans un manuel, sachez qu'il ne s'agit pas d'une faute de frappe. Il s'agit d'un logarithme décimal. Cependant, si vous n’êtes pas familier avec cette notation, vous pouvez toujours la réécrire :
journal x = journal 10 x

Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires l’est également pour les logarithmes décimaux.

Un algorithme naturel

Il existe un autre logarithme qui a sa propre désignation. À certains égards, c'est encore plus important que le nombre décimal. Il s'agit deà propos du logarithme népérien.

Le logarithme népérien de x est le logarithme en base e, c'est-à-dire la puissance à laquelle le nombre e doit être élevé pour obtenir le nombre x. Désignation : ln x .

Beaucoup se demanderont : quel est le nombre e ? C'est un nombre irrationnel, c'est valeur exacte impossible à trouver et à enregistrer. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459...

Nous n'entrerons pas dans les détails de ce qu'est ce numéro et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e est la base du logarithme népérien :
ln x = log e x

Ainsi ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. En revanche, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel irrationnel. Sauf bien sûr un : ln 1 = 0.

Pour les logarithmes naturels, toutes les règles valables pour les logarithmes ordinaires sont valables.

Au XVIe siècle, la navigation se développe rapidement. Par conséquent, les observations de corps célestes. Pour simplifier les calculs astronomiques, à la fin du XVIe et au début du XVIIe siècle, calculs logarithmiques.

L’intérêt de la méthode logarithmique réside dans le fait qu’elle réduit la multiplication et la division des nombres à l’addition et à la soustraction. Actions moins exigeantes en main d’œuvre. Surtout si vous devez travailler avec des nombres à plusieurs chiffres.

Méthode Burgi

Les premières tables logarithmiques ont été compilées par le mathématicien suisse Joost Bürgi en 1590. L'essence de sa méthode était la suivante.

Pour multiplier, par exemple, 10 000 par 1 000, il suffit de compter le nombre de zéros dans le multiplicande et le multiplicateur, de les additionner (4 + 3) et d'écrire le produit 10 000 000 (7 zéros). Les facteurs sont des puissances entières du nombre 10. Lors de la multiplication, les exposants des puissances sont ajoutés. La division est également effectuée. Il est remplacé par la soustraction des exposants.

Ainsi, tous les nombres ne peuvent pas être divisés et multipliés. Mais il y en aura plus si vous prenez comme base un nombre proche de 1, par exemple 1,000001.

C’est ce qu’a fait le mathématicien Jost Bürgi il y a quatre cents ans. Il est vrai qu’il n’a publié son ouvrage « Tables d’arithmétique et de géométrie, accompagnées d’instructions approfondies… » qu’en 1620.

Jost Bürgi est né le 28 février 1552 au Liechtenstein. De 1579 à 1604, il fut astronome à la cour du landgrave de Hesse-Kassel, Guillaume IV. Plus tard avec l'empereur Rodolphe II à Prague. Un an avant sa mort, en 1631, à Kassel. Bürgi est également connu comme l'inventeur de la première horloge à pendule.

Les tables de Napier

En 1614, apparaissent les tableaux de John Napier. Ce scientifique a également pris comme base un nombre proche de un. Mais c'était moins d'un.

Le baron écossais John Napier (1550-1617) a étudié dans son pays natal. J'adorais voyager. Visité l'Allemagne, la France et l'Espagne. À l'âge de 21 ans, il retourna dans le domaine familial près d'Édimbourg et y vécut jusqu'à sa mort. Il a étudié la théologie et les mathématiques. Il a étudié cette dernière à partir des œuvres d'Euclide, d'Archimède et de Copernic.

Logarithmes décimaux

Napier et l'Anglais Brigg ont eu l'idée de dresser un tableau de logarithmes décimaux. Ils ont commencé à recalculer ensemble les tables Napier précédemment compilées. Après la mort de Napier, Brigg a continué. Il publia l'ouvrage en 1624. Par conséquent, les décimales sont également appelées briggian.

La compilation de tableaux logarithmiques a nécessité de nombreuses années de travail intensif de la part des scientifiques. Mais la productivité de milliers de calculatrices qui utilisaient les tableaux qu'ils compilaient a été multipliée par plusieurs.