Il restait 3 secondes avant la fin du match final du tournoi de basket-ball des Jeux olympiques de Munich de 1972. Les Américains – l’équipe américaine – célébraient déjà leur victoire ! Notre équipe - l'équipe nationale d'URSS - a gagné par environ 10 points contre la grande équipe de rêve...
Quelques minutes avant la fin du match. Mais, ayant finalement perdu tout l'avantage, elle perdait déjà un point 49:50. Puis l’incroyable s’est produit ! Ivan Edeshko lance le ballon derrière la ligne de fond sur tout le terrain sous le ring américain, où notre centre Alexander Belov reçoit le ballon, entouré de deux adversaires, et le met dans le panier. 51h50 – nous sommes champions olympiques !!!
Quand j'étais enfant, j'ai vécu les émotions les plus fortes - d'abord la déception et le ressentiment, puis la joie folle ! Le souvenir émotionnel de cet épisode est gravé dans ma conscience pour le reste de ma vie ! Regardez la vidéo sur Internet à la demande du « Lancer d’or d’Alexandre Belov », vous ne le regretterez pas.
Les Américains n'admettent alors pas leur défaite et refusent de recevoir des médailles d'argent. Est-il possible de faire en trois secondes ce que nos joueurs ont fait ? Souvenons-nous de la physique !
Dans cet article, nous considérerons le mouvement d'un corps projeté selon un angle par rapport à l'horizontale, nous créerons un programme dans Excel pour résoudre ce problème lorsque diverses combinaisons données sources et essayez de répondre à la question posée ci-dessus.
C'est un problème assez connu en physique. Dans notre cas, le corps projeté incliné par rapport à l’horizontale est un ballon de basket. Nous calculerons la vitesse initiale, le temps et la trajectoire d'une balle lancée sur tout le terrain par Ivan Edeshko et tombant entre les mains d'Alexandre Belov.
Mathématiques et physique du vol de basket.
Les formules et calculs présentés ci-dessous sontexceller sont universels pour un large éventail de problèmes concernant les corps projetés inclinés par rapport à l'horizon et volant le long d'une trajectoire parabolique sans tenir compte de l'influence du frottement de l'air.
Le schéma de calcul est présenté dans la figure ci-dessous. Lancez MS Excel ou OOo Calc.
Donnée initiale:
1. Puisque nous sommes sur la planète Terre et que nous étudions un problème balistique - le mouvement des corps dans le champ gravitationnel de la Terre, la première chose que nous ferons est d'écrire la caractéristique principale champ gravitationnel– accélération chute libre g en m/s 2
à la cellule D3 : 9,81
2. Les dimensions du terrain de basket sont de 28 mètres de long et 15 mètres de large. La distance horizontale de la balle depuis presque tout le terrain jusqu'à l'anneau depuis la ligne de fond opposée Xécrire en mètres
à la cellule D4 : 27,000
3. Si nous supposons qu'Edeshko a effectué le lancer d'une hauteur d'environ deux mètres et que Belov a attrapé le ballon juste quelque part au niveau du cerceau, alors avec un panier de basket d'une hauteur de 3,05 mètres, la distance verticale entre les points de départ et d'arrivée du ballon sera de 1 mètre. Écrivons le déplacement vertical oui en mètres
à la cellule D5 : 1,000
4. D'après mes mesures sur la vidéo, l'angle de décollage de la balle est α 0 des mains d’Edeshko ne dépassait pas 20°. Entrons cette valeur
à la cellule D6 : 20,000
Résultats du calcul :
Équations de base décrivant le mouvement d'un corps projeté incliné par rapport à l'horizon sans tenir compte de la résistance de l'air :
X =v0* parce que α 0 *t
oui =v0*péché α 0 *t -g *t 2 /2
5. Exprimons le temps tà partir de la première équation, remplacez-la par la seconde et calculez la vitesse initiale de la balle v 0 en m/s
dans la cellule D8 : =(D3*D4^2/2/COS (RADIANS(D6))^2/(D4*TAN (RADIANS(D6)) -D5))^0,5 =21,418
v0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(x *tgα 0 -y )) 0,5
6. Temps de vol du ballon des mains d'Edeshko aux mains de Belov t Calculons en secondes, sachant maintenant v 0 , de la première équation
dans la cellule D9 : =D4/D8/COS (RADIANS(D6)) =1,342
t = X /(v 0 * parce queα 0 )
7. Trouvons l'angle de direction de la vitesse de vol de la balle α je au point de trajectoire qui nous intéresse. Pour ce faire, on écrit le couple d’équations initial sous la forme suivante :
oui =x *tgα 0 -g *x 2 /(2*v0 2*(carα 0 ) 2)
C'est l'équation d'une parabole – une trajectoire de vol.
Nous devons trouver l'angle d'inclinaison de la tangente à la parabole au point qui nous intéresse - ce sera l'angle α je. Pour ce faire, prenons la dérivée, qui est la tangente de l'angle tangent :
vous =tgα 0 -g *x /(v0 2*(carα 0 ) 2)
Calculons l'angle d'arrivée du ballon dans les mains de Belov α je en degrés
dans la cellule D10 : =ATAN (TAN (RADIANS(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (RADIANS(D6))^2)/PI()*180 =-16,167
α je = arctgoui ’ = arctg(tgα 0 — g * X /(v 0 2 *(parce queα 0 ) 2))
Le calcul dans Excel est pratiquement terminé.
Autres options de paiement :
À l'aide du programme écrit, vous pouvez effectuer rapidement et facilement des calculs avec d'autres combinaisons de données initiales.
Laissez donné horizontal X = 27 mètres , verticale oui = Portée de vol de 1 mètre et vitesse initiale v 0 = 25 m/s.
Nous devons trouver l'heure du vol t et angles de départ α 0 et arrivée α je
Utilisons le service MS Excel « Sélection des paramètres ». J'ai expliqué à plusieurs reprises en détail comment l'utiliser dans plusieurs articles de blog. Vous pouvez en savoir plus sur l'utilisation de ce service.
Nous définissons la valeur de la cellule D8 à 25 000 en modifiant la valeur de la cellule D6 en la sélectionnant. Le résultat est dans l'image ci-dessous.
Les données sources dans cette version du calcul dans Excel (ainsi que dans la précédente) sont surlignées dans des cadres bleus, et les résultats sont soulignés dans des cadres rectangulaires rouges !
Mise en tableExceller une valeur intéressante dans l'une des cellules avec un remplissage jaune clair en sélectionnant une valeur modifiée dans l'une des cellules avec un remplissage turquoise clair peut être obtenue dans cas général dix diverses options résoudre le problème du mouvement d'un corps projeté incliné par rapport à l'horizon avec dix ensembles différents de données initiales !!!
Réponse à la question :
Répondons à la question posée au début de l'article. Le ballon envoyé par Ivan Edeshko a atteint Belov en 1,342 seconde, selon nos calculs. Alexander Belov a attrapé le ballon, a atterri, a sauté et a lancé. Il a eu beaucoup de temps pour tout cela - 1,658 secondes ! C'est vraiment suffisamment de temps à perdre ! Un examen détaillé des séquences vidéo confirme ce qui précède. Nos joueurs ont eu trois secondes pour lancer le ballon depuis leur ligne de fond jusqu'au panneau adverse et le lancer dans le cerceau, écrivant ainsi leurs noms en or dans l'histoire du basket-ball !
je t'en supplie respectueux travail de l'auteur télécharger un fichier après souscription pour les annonces d'articles !
Si un corps est projeté incliné par rapport à l'horizon, alors en vol, il est soumis à l'action de la force de gravité et de la force de résistance de l'air. Si l’on néglige la force de résistance, la seule force qui reste est la gravité. Par conséquent, en raison de la deuxième loi de Newton, le corps se déplace avec une accélération égale à l’accélération de la gravité ; projections de l'accélération sur les axes de coordonnées ax = 0, ay = - g.
Figure 1. Caractéristiques cinématiques d'un corps projeté incliné par rapport à l'horizontale
N'importe lequel mouvement complexe un point matériel peut être représenté comme une superposition de mouvements indépendants le long des axes de coordonnées, et dans la direction de différents axes, le type de mouvement peut différer. Dans notre cas, le mouvement d'un corps volant peut être représenté comme la superposition de deux mouvements indépendants : un mouvement uniforme le long de l'axe horizontal (axe X) et un mouvement uniformément accéléré le long de l'axe vertical (axe Y) (Fig. 1). .
Les projections de vitesse du corps changent donc avec le temps comme suit :
où $v_0$ est la vitesse initiale, $(\mathbf \alpha )$ est l'angle de lancer.
Avec notre choix d'origine, les coordonnées initiales (Fig. 1) sont $x_0=y_0=0$. On obtient alors :
(1)
Analysons les formules (1). Déterminons le temps de mouvement du corps lancé. Pour ce faire, définissons la coordonnée y égale à zéro, car au moment de l'atterrissage, la hauteur du corps est nulle. De là, nous obtenons pour le temps de vol :
La deuxième valeur temporelle pour laquelle la hauteur est nulle est zéro, ce qui correspond au moment du lancer, c'est-à-dire cette valeur a également une signification physique.
Nous obtenons la distance de vol à partir de la première formule (1). La distance de vol est la valeur de la coordonnée x à la fin du vol, c'est-à-dire à un temps égal à $t_0$. En remplaçant la valeur (2) dans la première formule (1), nous obtenons :
De cette formule, on peut voir que la plus grande portée de vol est obtenue avec un angle de lancement de 45 degrés.
La hauteur de levage maximale du corps lancé peut être obtenue à partir de la deuxième formule (1). Pour ce faire, vous devez substituer dans cette formule une valeur de temps égale à la moitié du temps de vol (2), car C'est à mi-trajectoire que l'altitude de vol est maximale. En effectuant des calculs, on obtient
A partir des équations (1), on peut obtenir l’équation de la trajectoire du corps, c’est-à-dire une équation reliant les coordonnées x et y d'un corps pendant le mouvement. Pour ce faire, vous devez exprimer le temps à partir de la première équation (1) :
et remplacez-le dans la deuxième équation. On obtient alors :
Cette équation est l’équation de la trajectoire du mouvement. On voit qu’il s’agit de l’équation d’une parabole avec ses branches vers le bas, comme l’indique le signe « - » devant le terme quadratique. Il convient de garder à l'esprit que l'angle de lancement $\alpha $ et ses fonctions sont ici simplement des constantes, c'est-à-dire nombres constants.
Un corps est projeté avec une vitesse v0 selon un angle $(\mathbf \alpha )$ par rapport à l'horizon. Temps de vol $t = 2 s$. Jusqu’à quelle hauteur Hmax le corps s’élèvera-t-il ?
$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$
La loi du mouvement du corps a la forme :
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $
Le vecteur vitesse initial forme un angle $(\mathbf \alpha )$ avec l'axe OX. Ainsi,
\ \ \
Une pierre est lancée du sommet d'une montagne selon un angle = 30$()^\circ$ par rapport à l'horizon avec une vitesse initiale de $v_0 = 6 m/s$. Angle du plan incliné = 30$()^\circ$. À quelle distance du point de lancement la pierre tombera-t-elle ?
$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$
Plaçons l'origine des coordonnées au point de lancement, OX - le long du plan incliné vers le bas, OY - perpendiculairement au plan incliné vers le haut. Caractéristiques cinématiques du mouvement :
Loi du mouvement :
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \
En substituant la valeur résultante $t_В$, nous trouvons $S$ :
Que le corps soit projeté de biais α vers l'horizon avec une vitesse \(~\vec \upsilon_0\). Comme dans les cas précédents, on négligera la résistance de l’air. Pour décrire le mouvement, il est nécessaire de sélectionner deux axes de coordonnées - Bœuf Et Oy(Fig. 1). Le point de référence est compatible avec la position initiale du corps. Projections de vitesse initiale sur l'axe Oy Et Bœuf\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Projections d'accélération : g x = 0 ; g y = - g.
Ensuite, le mouvement du corps sera décrit par les équations :
\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \ alpha t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)
De ces formules, il s'ensuit que dans la direction horizontale, le corps se déplace uniformément avec une vitesse \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\), et dans la direction verticale - uniformément accéléré.
La trajectoire du corps sera une parabole. Considérant qu'au sommet de la parabole υ y = 0, vous pouvez trouver l'heure t 1 body lift jusqu'au point haut de la parabole :
\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Rightarrow t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)\)
Remplacement de la valeur t 1 dans l'équation (3), on retrouve la hauteur de levage maximale de la caisse :
\(~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alpha)(g^2),\) \(~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)\) - hauteur de levage maximale du corps.
Nous trouvons le temps de vol du corps à partir de la condition qu'à t = t 2ème coordonnée oui 2 = 0. Par conséquent, \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0\). Par conséquent, \(~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)\) est le temps de vol du corps. En comparant cette formule avec la formule (5), on voit que t 2 = 2 t 1 . Temps de mouvement du corps depuis la hauteur maximale t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Par conséquent, le temps qu’il faut à un corps pour atteindre sa hauteur maximale est le même temps qu’il lui faut pour descendre de cette hauteur. Remplacement des coordonnées dans l'équation X(1) valeur temporelle t 2, on trouve :
\(~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)\) - portée de vol du corps .
La vitesse instantanée en tout point de la trajectoire est dirigée tangentiellement à la trajectoire (voir Fig. 1). Le module de vitesse est déterminé par la formule
\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .\)
Ainsi, le mouvement d'un corps projeté incliné par rapport à l'horizon ou dans une direction horizontale peut être considéré comme le résultat de deux mouvements indépendants - horizontal uniforme et vertical uniformément accéléré (chute libre sans vitesse initiale ou mouvement d'un corps lancé verticalement vers le haut).
Littérature
Aksenovich L. A. Physique à lycée: Théorie. Tâches. Tests : Manuel. allocation pour les établissements dispensant un enseignement général. environnement, éducation / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino ; Éd. KS Farino. - Mn. : Adukatsiya i viakhavanne, 2004. - P. 16-17.
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Le principe pour résoudre ces problèmes est de décomposer la vitesse d'un corps en chute libre en deux composantes - horizontale et verticale. La composante horizontale de la vitesse est constante, le mouvement vertical se produit avec l'accélération de la chute libre g=9,8 m/s 2 . La loi de conservation peut également s'appliquer énergie mécanique, selon lequel la somme de l'énergie potentielle et cinétique du corps dans ce cas est constante.
Un point matériel est projeté incliné par rapport à l'horizon avec une vitesse initiale de 15 m/s. L'énergie cinétique initiale est 3 fois supérieure à l'énergie cinétique du point situé au sommet de la trajectoire. Jusqu’où le point est-il monté ?
Un corps est projeté à un angle de 40 degrés par rapport à l’horizontale avec une vitesse initiale de 10 m/s. Trouvez la distance que le corps parcourra avant de tomber, la hauteur de montée au point haut de la trajectoire et le temps de vol.
Un corps est projeté d’une tour de hauteur H, selon un angle α par rapport à l’horizontale, avec une vitesse initiale v. Trouvez la distance entre la tour et l'endroit où le corps est tombé.
Un corps d’une masse de 0,5 kg est projeté depuis la surface de la Terre selon un angle de 30 degrés par rapport à l’horizontale, avec une vitesse initiale de 10 m/s. Trouvez les énergies potentielles et cinétiques du corps après 0,4 s.
Un point matériel est projeté vers le haut depuis la surface de la Terre selon un angle par rapport à l'horizon avec une vitesse initiale de 10 m/s. Déterminer la vitesse d'un point à une hauteur de 3 m.
Un corps est projeté vers le haut depuis la surface de la Terre selon un angle de 60 degrés avec une vitesse initiale de 10 m/s. Trouvez la distance jusqu'au point d'impact, la vitesse du corps au point d'impact et le temps de vol.
Un corps est projeté vers le haut selon un angle par rapport à l’horizontale avec une vitesse initiale de 20 m/s. La distance jusqu'au point de chute est 4 fois la hauteur de levage maximale. Trouvez l'angle sous lequel le corps est projeté.
Un corps est projeté d'une hauteur de 5 m selon un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale avec une vitesse initiale de 22 m/s. Trouvez la plage de vol du corps et le temps de vol du corps.
Un corps est projeté depuis la surface de la Terre selon un angle par rapport à l'horizon avec une vitesse initiale de 30 m/s. Trouver tangentiel et accélération normale corps 1 seconde après le lancer.
Un corps est projeté depuis la surface de Zesli selon un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale avec une vitesse initiale de 14,7 m/s. Trouvez les accélérations tangentielles et normales du corps 1,25 s après le lancer.
Un corps est projeté à un angle de 60 degrés par rapport à l’horizontale avec une vitesse initiale de 20 m/s. Au bout de quel temps l'angle entre la vitesse et l'horizon deviendra-t-il 45 degrés ?
Balle lancée dans la salle de sport inclinée par rapport à l'horizon,avec une vitesse initiale de 20 m/s, au point haut de la trajectoire, il a touché le plafond à une hauteur de 8 m et est tombé à une certaine distance du lieu du lancer. Trouvez cette distance et l'angle sous lequel le corps est projeté.
Un corps projeté de la surface de la Terre selon un angle par rapport à l'horizon est tombé au bout de 2,2 s. Trouvez la hauteur de levage maximale du corps.
Une pierre est lancée à un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale. La pierre a atteint une certaine hauteur à deux reprises - 1 s et 3 s après avoir été lancée. Trouvez cette hauteur et la vitesse initiale de la pierre.
Une pierre est lancée à un angle de 30 degrés par rapport à l’horizontale avec une vitesse initiale de 10 m/s. Trouvez la distance entre le point de lancement et la pierre après 4 s.
Le projectile est tiré au moment où l'avion survole le canon, incliné par rapport à l'horizon avec une vitesse initiale de 500 m/s. L'obus a touché l'avion à une altitude de 3,5 km, 10 secondes après son tir. Quelle est la vitesse de l'avion ?
Un boulet de canon d'une masse de 5 kg est lancé depuis la surface de la Terre à un angle de 60 degrés par rapport à l'horizontale. L'énergie dépensée pour accélérer le poids est de 500 J. Déterminez la distance de vol et le temps de vol.
Un corps est projeté d'une hauteur de 100 m selon un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale avec une vitesse initiale de 5 m/s. Trouvez la plage de vol du corps.
Un corps d'une masse de 200 g, projeté de la surface de la Terre sous un angle par rapport à l'horizon, est tombé à une distance de 5 m après un temps de 1,2 s. Trouvez un travail de lancer de corps.
Cinématique - c'est simple !
Après le lancer, en vol, la force de gravité agit sur le corps Pi et force de résistance de l'air Fc.
Si le corps se déplace à basse vitesse, la force de résistance de l'air n'est généralement pas prise en compte lors du calcul.
On peut donc supposer que seule la force de gravité agit sur le corps, ce qui signifie que le mouvement du corps lancé est chute libre.
S'il s'agit d'une chute libre, alors l'accélération du corps lancé est égale à l'accélération de la chute libre g.
À basse altitude par rapport à la surface de la Terre, la force de gravité Ft ne change pratiquement pas, de sorte que le corps se déplace avec une accélération constante.
Ainsi, le mouvement d'un corps projeté incliné par rapport à l'horizon est une variante de la chute libre, c'est-à-dire mouvement avec une accélération constante et une trajectoire courbe(puisque les vecteurs vitesse et accélération ne coïncident pas en direction).
Formules pour ce mouvement sous forme vectorielle : Pour calculer le mouvement du corps, un système de coordonnées XOY rectangulaire est choisi, car la trajectoire du corps est une parabole située dans le plan passant par les vecteurs Ft et Vo.
L'origine des coordonnées est généralement choisie comme étant le point auquel le corps lancé commence à se déplacer.
À tout moment, le changement de vitesse de mouvement du corps en direction coïncide avec l'accélération.
Le vecteur vitesse d'un corps en tout point de la trajectoire peut être décomposé en 2 composantes : le vecteur V x et le vecteur V y.
A tout instant, la vitesse du corps sera déterminée comme la somme géométrique de ces vecteurs :
D'après la figure, les projections du vecteur vitesse sur les axes de coordonnées OX et OY ressemblent à ceci :
Calcul de la vitesse du corps à tout moment :
Calcul des mouvements du corps à tout moment :
Chaque point de la trajectoire du mouvement du corps correspond à des coordonnées X et Y :
Formules de calcul des coordonnées d'un corps projeté à tout moment :
À partir de l'équation du mouvement, des formules peuvent être dérivées pour calculer la distance de vol maximale L :
et altitude maximale de vol H :
P.S.
1. A vitesses initiales égales Vo, plage de vol :
- augmente si l'angle de lancement initial passe de 0 o à 45 o,
- diminue si l'angle de lancement initial passe de 45 o à 90 o.
2. À angles de lancement initiaux égaux, la portée de vol L augmente avec l'augmentation de la vitesse initiale Vo. 
3. Un cas particulier du mouvement d'un corps projeté incliné par rapport à l'horizontale est mouvement d'un corps projeté horizontalement, alors que l'angle de lancement initial est nul.
