Ils ont les mêmes degrés, mais les exposants des degrés ne sont pas les mêmes, 2² * 2³, alors le résultat sera la base du degré avec la même base identique des termes du produit des degrés, élevée à un exposant égal à la somme des exposants de tous les degrés multipliés.
2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32
Si les termes d'un produit de puissances ont des bases de puissances différentes, et que les exposants sont les mêmes, par exemple 2³ * 5³, alors le résultat sera le produit des bases de ces puissances élevées à un exposant égal à ce même exposant .
2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000
Si les puissances multipliées sont égales entre elles, par exemple 5³ * 5³, alors le résultat sera une puissance de base égale à ces bases de puissances identiques, élevée à un exposant égal à l'exposant des puissances, multiplié par le nombre de ces puissances identiques.
5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625
Ou un autre exemple avec le même résultat :
5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625
Sources :
- Qu'est-ce qu'un degré avec un exposant naturel ?
- produit de puissances
Les opérations mathématiques avec puissances ne peuvent être effectuées que lorsque les bases des exposants sont les mêmes et lorsqu'il existe des signes de multiplication ou de division entre eux. La base d’un exposant est le nombre élevé à une puissance.
Instructions
Si les nombres sont divisibles les uns par les autres (cm 1), alors y (dans cet exemple, il s'agit du nombre 3) apparaît comme une puissance formée en soustrayant les exposants. De plus, cette action s'effectue directement : le second est soustrait du premier indicateur. Exemple 1. Introduisons : (a)b, où entre parenthèses – a est la base, en dehors des parenthèses – dans – l'exposant. (6)5 : (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Si la réponse produit un nombre à une puissance négative, alors ce nombre est converti en fraction commune, au numérateur dont il y a un, et au dénominateur la base avec l'exposant obtenu à partir de la différence, uniquement sous forme positive (avec un signe plus). Exemple 2. (2) 4 : (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. La répartition des pouvoirs peut s'écrire sous une forme différente, par le signe fraction, et non comme indiqué dans cette étape par le signe « : ». Cela ne change pas le principe de la solution, tout se fait exactement de la même manière, seule la saisie se fera avec un signe de fraction horizontal (ou oblique), au lieu d'un deux-points Exemple 3. (2) 4 / (2)6. = (2) 4-6 = (2 ) -2 = 1/(2)2 = ¼.
En multipliant des bases identiques possédant des pouvoirs, les pouvoirs s'ajoutent. Exemple 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Si les exposants ont différents signes, puis leur addition est effectuée selon les lois mathématiques Exemple 5. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. .
Si les bases des exposants diffèrent, ils peuvent très probablement être amenés à la même forme par transformation mathématique. Exemple 6. Supposons que nous devions trouver la valeur de l'expression : (4)2 : (2)3. Sachant que le nombre quatre peut être représenté par deux au carré, cet exemple se résout comme suit : (4)2 : (2)3 = (2*2)2 : (2)3. Ensuite, en élevant un nombre à une puissance. Ayant déjà un diplôme, les indices de diplôme sont multipliés les uns par les autres : ((2)2)2 : (2)3 = (2)4 : (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .
N'oubliez pas que si une base donnée semble différente de la deuxième base, recherchez une solution mathématique. Différents chiffres ne sont pas simplement donnés. À moins que le compositeur ait fait une faute de frappe dans le manuel.
Le format puissant d'écriture d'un nombre est une forme abrégée d'écriture de l'opération de multiplication d'une base par elle-même. Avec un nombre présenté sous cette forme, vous pouvez effectuer les mêmes opérations qu'avec n'importe quel autre nombre, y compris l'élever à une puissance. Par exemple, vous pouvez élever le carré d'un nombre à une puissance arbitraire et obtenir le résultat au niveau actuel de développement technologique ne posera aucune difficulté.
Vous aurez besoin
- Accès Internet ou calculatrice Windows.
Instructions
Pour élever un carré à une puissance, utilisez règle généraleélever à un pouvoir qui a déjà exposant de puissance. Avec cette opération, les indicateurs sont multipliés, mais la base reste la même. Si la base est désignée par x et que les indicateurs initiaux et supplémentaires sont désignés par a et b, écrivez cette règle dans vue générale vous pouvez faire ceci : (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.
Comment multiplier les pouvoirs ? Quels pouvoirs peuvent être multipliés et lesquels ne le peuvent pas ? Comment multiplier un nombre par une puissance ?
En algèbre, on peut trouver un produit de puissances dans deux cas :
1) si les diplômes ont les mêmes bases ;
2) si les diplômes ont les mêmes indicateurs.
Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, la base doit rester la même et les exposants doivent être ajoutés :
En multipliant les degrés avec les mêmes indicateurs, l'indicateur global peut être retiré entre parenthèses :
Voyons comment multiplier les puissances à l'aide d'exemples spécifiques.
L'unité ne s'écrit pas en exposant, mais lors de la multiplication des puissances, elles prennent en compte :
Lors d’une multiplication, il peut y avoir n’importe quel nombre de puissances. Rappelons qu’il n’est pas nécessaire d’écrire le signe de multiplication devant la lettre :
Dans les expressions, l'exponentiation se fait en premier.
Si vous devez multiplier un nombre par une puissance, vous devez d'abord effectuer l'exponentiation, puis ensuite seulement la multiplication :
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Addition, soustraction, multiplication et division des puissances
Addition et soustraction de puissances
Il est évident que les nombres avec puissances peuvent s’additionner comme les autres quantités , en les ajoutant les uns après les autres avec leurs signes.
Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2.
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4.
Chances puissances égales de variables identiques peuvent être ajoutés ou soustraits.
Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est égale à 5a 2.
Il est également évident que si vous prenez deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.
Mais les diplômes diverses variables Et divers diplômes variables identiques, doivent être composés en les ajoutant avec leurs signes.
Ainsi, la somme de 2 et de 3 est la somme de 2 + 3.
Il est évident que le carré de a et le cube de a ne sont pas égaux au double du carré de a, mais au double du cube de a.
La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6.
Soustraction les puissances s'effectuent de la même manière que l'addition, sauf que les signes des sous-tranches doivent être modifiés en conséquence.
Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(une - h) 6 - 2(une - h) 6 = 3(une - h) 6
Des pouvoirs multiplicateurs
Les nombres avec puissances peuvent être multipliés, comme les autres quantités, en les écrivant les uns après les autres, avec ou sans signe de multiplication entre eux.
Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.
Ou:
x -3 ⋅ une m = une m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
une 2 b 3 oui 2 ⋅ une 3 b 2 oui = une 2 b 3 oui 2 une 3 b 2 oui
Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant des variables identiques.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3.
En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, alors le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à montant degrés de termes.
Donc, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, qui est égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.
Donc, a n .a m = a m+n .
Pour a n , a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n ;
Et a m est pris comme facteur autant de fois que le degré m est égal ;
C'est pourquoi, les puissances avec les mêmes bases peuvent être multipliées en ajoutant les exposants des puissances.
Donc, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Et x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 oui 3 ⋅ b 4 oui = b 6 oui 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multipliez (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multipliez (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont négatif.
1. Donc, a -2 .a -3 = a -5 . Cela peut s'écrire (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Si a + b sont multipliés par a - b, le résultat sera a 2 - b 2 : c'est-à-dire
Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres égal à la somme ou la différence de leurs carrés.
Si vous multipliez la somme et la différence de deux nombres pour obtenir carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans quatrième degrés.
Donc, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(une 2 - oui 2)⋅(une 2 + oui 2) = une 4 - oui 4.
(une 4 - oui 4)⋅(une 4 + oui 4) = une 8 - oui 8.
Division des diplômes
Les nombres dotés de puissances peuvent être divisés comme les autres nombres, en soustrayant du dividende ou en les plaçant sous forme de fraction.
Ainsi, a 3 b 2 divisé par b 2 est égal à a 3.
Écrire un 5 divisé par un 3 ressemble à $\frac $. Mais cela équivaut à un 2 . Dans une série de chiffres
une +4 , une +3 , une +2 , une +1 , une 0 , une -1 , une -2 , une -3 , une -4 .
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence indicateurs de nombres divisibles.
Lors de la division de degrés ayant la même base, leurs exposants sont soustraits..
Donc, y 3 : y 2 = y 3-2 = y 1. Autrement dit, $\frac = y$.
Et a n+1:a = a n+1-1 = a n . Autrement dit, $\frac = a^n$.
Ou:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
La règle est également vraie pour les nombres avec négatif valeurs des degrés.
Le résultat de la division d’un -5 par un -3 est un -2.
Aussi, $\frac : \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2 :\frac = h^2.\frac = h^3$
Il faut très bien maîtriser la multiplication et la division des puissances, puisque de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.
Exemples de résolution d'exemples avec des fractions contenant des nombres avec des puissances
1. Diminuez les exposants de $\frac $ Réponse : $\frac $.
2. Diminuez les exposants de $\frac$. Réponse : $\frac$ ou 2x.
3. Réduisez les exposants a 2 /a 3 et a -3 /a -4 et conduisez à dénominateur commun.
a 2 .a -4 est a -2 le premier numérateur.
a 3 .a -3 est a 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est a -1 , le numérateur commun.
Après simplification : a -2 /a -1 et 1/a -1 .
4. Réduisez les exposants 2a 4 /5a 3 et 2 /a 4 et ramenez-les à un dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 /5a 7 et 5a 5 /5a 7 ou 2a 3 /5a 2 et 5/5a 2.
5. Multipliez (a 3 + b)/b 4 par (a - b)/3.
6. Multipliez (a 5 + 1)/x 2 par (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multipliez b 4 /a -2 par h -3 /x et a n /y -3 .
8. Divisez un 4 /y 3 par un 3 /y 2 . Réponse : a/o.
Propriétés du diplôme
Nous vous rappelons que dans cette leçon nous comprendrons propriétés des diplômes avec des indicateurs naturels et zéro. Les puissances avec des exposants rationnels et leurs propriétés seront abordées dans les cours de 8e année.
Un diplôme avec un indicateur naturel a plusieurs propriétés importantes, qui permettent de simplifier les calculs dans des exemples avec des puissances.
Propriété n°1
Produit de pouvoirs
Lors de la multiplication de puissances avec les mêmes bases, la base reste inchangée et les exposants des puissances sont ajoutés.
a m · a n = a m + n, où « a » est n'importe quel nombre, et « m », « n » sont n'importe quel nombre nombres naturels.
Cette propriété des puissances s'applique également au produit de trois puissances ou plus.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Attention, dans la propriété spécifiée, nous parlions uniquement de multiplication de puissances avec les mêmes bases. Cela ne s'applique pas à leur ajout.
Vous ne pouvez pas remplacer la somme (3 3 + 3 2) par 3 5. Cela est compréhensible si
compte (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 et 3 5 = 243
Propriété n°2
Diplômes partiels
Lors de la division de puissances avec les mêmes bases, la base reste inchangée et l'exposant du diviseur est soustrait de l'exposant du dividende.
(2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Exemple. Résolvez l’équation. Nous utilisons la propriété des quotients de puissance.
3 8 : t = 3 4
Réponse : t = 3 4 = 81
Grâce aux propriétés n°1 et n°2, vous pouvez facilement simplifier les expressions et effectuer des calculs.
- Exemple. Simplifiez l'expression.
4 5m + 6 4 m + 2 : 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2 : 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
Exemple. Trouvez la valeur d'une expression en utilisant les propriétés des exposants.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Attention, dans la Propriété 2, nous parlions uniquement de partage de pouvoirs avec les mêmes bases.
Vous ne pouvez pas remplacer la différence (4 3 −4 2) par 4 1. Ceci est compréhensible si vous calculez (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 et 4 1 = 4
Propriété n°3
Élever un diplôme à un pouvoir
Lorsqu'on élève un degré à une puissance, la base du degré reste inchangée et les exposants sont multipliés.
(a n) m = a n · m, où « a » est n'importe quel nombre, et « m », « n » sont n'importe quels nombres naturels.
Veuillez noter que la propriété n°4, comme les autres propriétés des diplômes, s'applique également dans l'ordre inverse.
(une n b n)= (une b) n
Autrement dit, pour multiplier des puissances avec les mêmes exposants, vous pouvez multiplier les bases, mais laisser l'exposant inchangé.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
En plus exemples complexes Il peut y avoir des cas où la multiplication et la division doivent être effectuées sur des pouvoirs ayant des bases et des fondements différents. différents indicateurs. Dans ce cas, nous vous conseillons de procéder comme suit.
Par exemple, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Un exemple d'élévation d'une décimale à une puissance.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Propriétés 5
Puissance d'un quotient (fraction)
Pour élever un quotient à une puissance, vous pouvez élever séparément le dividende et le diviseur à cette puissance, et diviser le premier résultat par le second.
(a : b) n = a n : b n, où « a », « b » sont quelconques nombres rationnels, b ≠ 0, n - n'importe quel nombre naturel.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Nous vous rappelons qu'un quotient peut être représenté comme une fraction. Par conséquent, nous nous attarderons plus en détail sur le sujet de l'élévation d'une fraction à une puissance à la page suivante.
Pouvoirs et racines
Opérations avec pouvoirs et racines. Diplôme avec négatif ,
zéro et fractionnaire indicateur. Des expressions qui n’ont aucun sens.
Opérations avec diplômes.
1. Lors de la multiplication de puissances avec la même base, leurs exposants sont ajoutés :
suis · une n = une m + n .
2. Lors de la division de degrés ayant la même base, leurs exposants sont déduits .
3. Le degré du produit de deux ou plusieurs facteurs est égal au produit des degrés de ces facteurs.
4. Le degré d'un rapport (fraction) est égal au rapport des degrés du dividende (numérateur) et du diviseur (dénominateur) :
(un/b) n = une n / b n .
5. Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, leurs exposants sont multipliés :
Toutes les formules ci-dessus sont lues et exécutées dans les deux sens de gauche à droite et vice versa.
EXEMPLE (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Opérations avec racines. Dans toutes les formules ci-dessous, le symbole signifie racine arithmétique(l'expression radicale est positive).
1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :
2. Racine de l'attitude égal au rapport racines du dividende et du diviseur :
3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever à cette puissance nombre radical :
4. Si vous augmentez le degré de la racine de m fois et en même temps augmentez le nombre radical à la puissance m, alors la valeur de la racine ne changera pas :
5. Si vous réduisez le degré de la racine de m fois et extrayez simultanément la mième racine du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :
Élargir la notion de diplôme. Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les degrés à exposants naturels ; mais les opérations avec des pouvoirs et des racines peuvent aussi conduire à négatif, zéro Et fractionnaire indicateurs. Tous ces exposants nécessitent une définition supplémentaire.
Degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant négatif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant négatif :
Maintenant la formule suis : un = un m - n peut être utilisé non seulement pour m, plus que n, mais aussi avec m, moins que n .
EXEMPLE un 4: un 7 =un 4 — 7 =un — 3 .
Si nous voulons la formule suis : un = suis — nétait juste quand m = n, nous avons besoin d’une définition du degré zéro.
Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre non nul d’exposant zéro est 1.
EXEMPLES. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Degré avec un exposant fractionnaire. Afin d'élever un nombre réel a à la puissance m/n, il faut extraire la nième racine de la mième puissance de ce nombre a :
Des expressions qui n’ont aucun sens. Il existe plusieurs expressions de ce type.
Où un ≠ 0 , n'existe pas.
En fait, si l'on suppose que x est un certain nombre, alors conformément à la définition de l'opération de division on a : un = 0· x, c'est-à-dire un= 0, ce qui contredit la condition : un ≠ 0
— n'importe quel numéro.
En fait, si l’on suppose que cette expression est égale à un certain nombre x, alors d'après la définition de l'opération de division on a : 0 = 0 · x. Mais cette égalité a lieu lorsque n'importe quel nombre x, c'était ce qui devait être prouvé.
0 0 — n'importe quel numéro.
Solution. Considérons trois cas principaux :
1) x = 0 – cette valeur ne satisfait pas cette équation
2) quand x> 0 on obtient : x/x= 1, c'est-à-dire 1 = 1, ce qui signifie
Quoi x– n'importe quel nombre ; mais en tenant compte du fait que dans
dans notre cas x> 0, la réponse est x > 0 ;
Règles de multiplication des pouvoirs avec des bases différentes
DIPLÔME AVEC INDICATEUR RATIONNEL,
FONCTION DE PUISSANCE IV
§ 69. Multiplication et division des pouvoirs avec les mêmes bases
Théorème 1. Pour multiplier des puissances de mêmes bases, il suffit d'ajouter les exposants et de laisser la base la même, c'est-à-dire
Preuve. Par définition du diplôme
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Nous avons examiné le produit de deux puissances. En fait, la propriété prouvée est vraie pour tout nombre de puissances ayant les mêmes bases.
Théorème 2. Pour diviser des puissances avec les mêmes bases, lorsque l'indice du dividende est supérieur à l'indice du diviseur, il suffit de soustraire l'indice du diviseur à l'indice du dividende, et de laisser la base la même, c'est-à-dire à t > p
(un =/= 0)
Preuve. Rappelons que le quotient de la division d'un nombre par un autre est le nombre qui, multiplié par le diviseur, donne le dividende. Démontrez donc la formule où un =/= 0, c'est la même chose que prouver la formule
Si t > p , puis le numéro t-p sera naturel; donc, d'après le théorème 1
Le théorème 2 est prouvé.
Il convient de noter que la formule
nous l'avons prouvé seulement sous l'hypothèse que t > p . Par conséquent, de ce qui a été prouvé, il n’est pas encore possible de tirer, par exemple, les conclusions suivantes :
De plus, nous n’avons pas encore considéré les degrés à exposant négatif et nous ne savons pas encore quel sens peut-on donner à l’expression 3 - 2 .
Théorème 3. Pour élever un degré à une puissance, il suffit de multiplier les exposants en laissant la même base du degré, c'est
Preuve. En utilisant la définition du degré et le théorème 1 de cette section, on obtient :
Q.E.D.
Par exemple, (2 3) 2 = 2 6 = 64 ;
518 (Oral) Déterminer X à partir des équations :
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Numéro de jeu) Simplifier :
520. (Numéro de jeu) Simplifier :
521. Présentez ces expressions sous forme de diplômes avec les mêmes bases :
1) 32 et 64 ; 3) 8 5 et 16 3 ; 5) 4 100 et 32 50 ;
2) -1000 et 100 ; 4) -27 et -243 ; 6) 81 75 8 200 et 3 600 4 150.
Propriétés de base des diplômes
"Propriétés des diplômes" est une requête assez populaire dans les moteurs de recherche, qui montre un grand intérêt pour les propriétés du diplôme. Nous avons rassemblé pour vous toutes les propriétés d'un degré (propriétés d'un degré à exposant naturel, propriétés d'un degré à indicateur rationnel, propriétés d'un degré avec un exposant entier) en un seul endroit. Vous pouvez télécharger une version courte de l'aide-mémoire "Propriétés des diplômes" au format .pdf afin que, si nécessaire, vous puissiez facilement vous en souvenir ou vous familiariser avec eux propriétés des diplômes directement sur le site. Plus de détails propriétés des puissances avec exemples discuté ci-dessous.
Téléchargez l'aide-mémoire "Propriétés des diplômes" (format.pdf)
Propriétés des diplômes (brièvement)
un 0=1 si un≠0
un 1=un
(−un)n=un, Si n- même
(−un)n=−un, Si n- impair
(un⋅b)n=un⋅milliard
(un ab)n=anbn
un−n=1un
(un ab)−n=(ba)n
un⋅suis=un+m
anam=un−m
(un)m=un⋅m
Propriétés des diplômes (avec exemples)
Propriété du 1er degré Tout nombre autre que zéro à la puissance zéro est égal à un. un 0=1 si un≠0 Par exemple: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1
Propriété du 2ème degré Tout nombre à la puissance premier est égal au nombre lui-même. un 1=un Par exemple: 231=23, (−9,3)1=−9,3
Propriété du 3ème degré Tout nombre à une puissance paire est positif. un=un, Si n- pair (divisible par 2) entier (− un)n=un, Si n- nombre entier pair (divisible par 2) Par exemple: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1
Propriété du 4ème degré Tout nombre à une puissance impaire conserve son signe. un=un, Si n- entier impair (non divisible par 2) (− un)n=−un, Si n- nombre entier impair (non divisible par 2) Par exemple: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1
propriété du 5ème degré Produit des nombres élevés Ohà une puissance, peut être représenté comme le produit de nombres élevés s V ce diplôme (et vice versa). ( un⋅b)n=un⋅milliard, alors que un, b, n Par exemple: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5
Propriété du 6ème degré Le quotient (division) des nombres élevés Ohà une puissance, peut être représenté comme le quotient de nombres élevés s V ce diplôme (et vice versa). ( un ab)n=anbn, alors que un, b, n- tout nombre valide (pas nécessairement entier) Par exemple: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1
Propriété du 7ème degré Tout nombre à une puissance négative est égal à son nombre réciproque à cette puissance. (L'inverse est le nombre par lequel le nombre donné doit être multiplié pour obtenir un.) un−n=1un, alors que un Et n- tout nombre valide (pas nécessairement entier) Par exemple: 7−2=172=149
Propriété du 8ème degré Toute fraction à une puissance négative est égale à la fraction réciproque à cette puissance. ( un ab)−n=(ba)n, alors que un, b, n- tout nombre valide (pas nécessairement entier) Par exemple: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64
propriété du 9ème degré Lors de la multiplication de puissances ayant la même base, les exposants sont ajoutés, mais la base reste la même. un⋅suis=un+m, alors que un, n, m- tout nombre valide (pas nécessairement entier) Par exemple: 23⋅25=23+5=28, notons que cette propriété du degré est conservée pour les valeurs négatives des degrés 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44
Propriété du 10ème degré Lors de la division de puissances ayant la même base, les exposants sont soustraits, mais la base reste la même. anam=un−m, alors que un, n, m- tout nombre valide (pas nécessairement entier) Par exemple:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, notez comment cette propriété de puissance s'applique aux puissances négatives3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410
Propriété du 11ème degré Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, les puissances sont multipliées. ( un)m=un⋅m Par exemple : (23)2=23⋅2=26=64
Tableau des puissances jusqu'à 10
Peu de gens parviennent à se souvenir de l'intégralité du tableau des diplômes, et qui en a besoin quand il est si facile à trouver ? Notre table de puissance comprend à la fois les tables populaires de carrés et de cubes (de 1 à 10), ainsi que des tables d'autres puissances moins courantes. Les colonnes du tableau des puissances indiquent les bases du degré (le nombre qui doit être élevé à une puissance), les lignes indiquent les exposants (la puissance à laquelle le nombre doit être élevé), et à l'intersection des colonne souhaitée et la ligne souhaitée est le résultat de l’augmentation du nombre souhaité à une puissance donnée. Il existe plusieurs types de problèmes qui peuvent être résolus à l’aide de tables de puissance. La tâche immédiate est de calculer n la puissance d'un nombre. Le problème inverse, qui peut également être résolu à l’aide d’une table de puissances, peut ressembler à ceci : « à quelle puissance faut-il élever le nombre ? un pour obtenir le numéro b ?" ou "Quel numéro à la puissance n donne un numéro b ?".
Tableau des puissances jusqu'à 10
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1 n |
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Comment utiliser le tableau des degrés
Regardons quelques exemples d'utilisation de la table de puissance.
Exemple 1. Quel nombre résulte de l’élévation du nombre 6 à la puissance 8 ? Dans le tableau des degrés on cherche la colonne 6 n, puisque selon les conditions du problème le nombre 6 est élevé à une puissance. Ensuite, dans le tableau des puissances, nous recherchons la ligne 8, puisque le nombre donné doit être élevé à la puissance 8. A l'intersection, nous regardons la réponse : 1679616.
Exemple 2. A quelle puissance faut-il élever le nombre 9 pour obtenir 729 ? Dans le tableau des degrés on cherche la colonne 9 n et nous descendons jusqu'au nombre 729 (la troisième ligne de notre table des degrés). Le numéro de ligne est le diplôme requis, c'est-à-dire la réponse : 3.
Exemple 3. Quel nombre faut-il élever à la puissance 7 pour obtenir 2187 ? Dans le tableau des degrés, nous recherchons la ligne 7, puis la suivons vers la droite jusqu'au nombre 2187. A partir du nombre trouvé, nous remontons et découvrons que l'en-tête de cette colonne est 3 n, ce qui signifie que la réponse est : 3.
Exemple 4. A quelle puissance faut-il élever le chiffre 2 pour obtenir 63 ? Dans le tableau des degrés on retrouve la colonne 2 n et nous le descendons jusqu'à rencontrer 63... Mais cela n'arrivera pas. Nous ne verrons jamais le nombre 63 dans cette colonne ni dans aucune autre colonne du tableau des puissances, ce qui signifie qu'aucun nombre entier de 1 à 10 ne donne le nombre 63 lorsqu'il est élevé à une puissance entière de 1 à 10. Ainsi, il n'y a pas répondre .
Pourquoi faut-il des diplômes ?
Où en aurez-vous besoin ?
Pourquoi prendre le temps de les étudier ?
Pour tout savoir sur les diplômes, lisez cet article.
Et, bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera de la réussite de l'examen d'État unifié.
Et à l'admission à l'université de vos rêves !
Allons-y... (Allons-y !)
NIVEAU D'ENTRÉE
L'exponentiation est une opération mathématique au même titre que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.
Maintenant, je vais tout expliquer en langage humain de manière très exemples simples. Sois prudent. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.
Commençons par l'addition.
Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Tout le monde a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.
Maintenant la multiplication.
Le même exemple avec le cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d’abord certaines régularités, puis trouvent un moyen de les « compter » plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes possédait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, c'est considéré comme plus facile et plus rapide que.
Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus difficilement et avec des erreurs ! Mais…
Voici la table de multiplication. Répéter.
Et un autre, plus beau :
Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils inventées ? Droite - élever un nombre à une puissance.
Élever un nombre à une puissance
Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez augmenter ce nombre à la puissance cinq. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la puissance cinq valent... Et ils résolvent ces problèmes dans leur tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.
Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.
Au fait, pourquoi s’appelle-t-on le deuxième degré ? carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question. Vous aurez maintenant à la fois des carrés et des cubes.
Exemple réel n°1
Commençons par le carré ou la puissance deux du nombre.
Imaginez une piscine carrée mesurant un mètre sur un mètre. La piscine est à votre datcha. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... la piscine n'a pas de fond ! Vous devez recouvrir le fond de la piscine de carrelage. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de le déterminer, vous devez connaître la surface inférieure de la piscine.
Vous pouvez simplement calculer en pointant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez des carreaux d'un mètre sur un mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où avez-vous vu de tels carreaux ? Le carreau mesurera très probablement cm par cm. Et puis vous serez torturé en « comptant avec votre doigt ». Ensuite il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine nous placerons des tuiles (morceaux) et de l'autre aussi des tuiles. Multipliez par et vous obtenez des tuiles ().
Avez-vous remarqué que pour déterminer la surface du fond de la piscine, nous multiplions le même nombre par lui-même ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque nous multiplions le même nombre, nous pouvons utiliser la technique de « l’exponentiation ». (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors les élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs dans les calculs. . Pour l'examen d'État unifié, c'est très important).
Ainsi, trente à la puissance deux seront (). Ou nous pouvons dire que trente carrés le seront. En d’autres termes, la puissance seconde d’un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c’est TOUJOURS la deuxième puissance d’un nombre. Un carré est l’image de la puissance deux d’un nombre.
Exemple réel n°2
Voici une tâche pour vous : comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour calculer leur nombre, vous devez multiplier huit par huit ou... si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez en former un carré de huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?
Exemple concret n°3
Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir quelle quantité d’eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Au fait, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes. Inattendu, n'est-ce pas ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre de taille et un mètre de profondeur, et essayez de calculer combien de cubes mesurant un mètre par un mètre seront s'intègre dans votre piscine.
Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien en avez-vous eu ? Pas perdu ? Est-ce difficile de compter avec son doigt ? C'est ça! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, il faut multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur entre elles. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus simple, non ?
Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens seraient paresseux et rusés s’ils simplifiaient également cela. Nous avons tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois au cube sont égaux. C'est écrit ainsi : .
Il ne reste plus que souviens-toi du tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.
Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des lâcheurs et des gens rusés pour résoudre leurs propres problèmes. problèmes de vie, et pour ne pas vous créer de problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.
Exemple réel n°4
Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous gagnez un autre million. Autrement dit, chaque million dont vous disposez double au début de chaque année. De combien d’argent aurez-vous dans quelques années ? Si vous êtes assis maintenant et que vous « comptez avec votre doigt », alors vous êtes une personne très travailleuse et... stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Donc, la première année - deux multiplié par deux... la deuxième année - que s'est-il passé, par deux de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même. Donc deux puissance cinq font un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui sait compter le plus rapidement obtiendra ces millions... Cela vaut la peine de se rappeler le pouvoir des nombres, n'est-ce pas ?
Exemple concret n°5
Vous en avez un million. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous en gagnez deux de plus. Génial, n'est-ce pas ? Chaque million est triplé. De combien d’argent aurez-vous dans un an ? Comptons. La première année - multiplier par, puis le résultat par un autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois est multiplié par lui-même. Donc à la puissance quatre, cela est égal à un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre vaut ou.
Vous savez maintenant qu’en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons plus en détail ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.
Termes et concepts... pour ne pas se tromper
Alors, commençons par définir les concepts. Pensez-vous qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple : c'est le nombre qui est « au sommet » de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...
Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple, c'est le numéro qui se trouve en bas, à la base.
Voici un dessin pour faire bonne mesure.
Eh bien, de manière générale, afin de généraliser et de mieux mémoriser... Un degré avec une base « » et un exposant « » se lit comme « au degré » et s'écrit comme suit :
Puissance d'un nombre avec exposant naturel
Vous l’avez probablement déjà deviné : parce que l’exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que c'est nombre naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont les nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste des objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro virgule cinq ». Ce ne sont pas des nombres naturels. À votre avis, de quels chiffres s'agit-il ?
Les nombres comme « moins cinq », « moins six », « moins sept » font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et les nombres. Zéro est facile à comprendre : c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs (« moins ») ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer les dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.
Toutes les fractions sont des nombres rationnels. Comment sont-ils apparus, à votre avis ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d’années, nos ancêtres ont découvert qu’il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils ont inventé nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?
Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref, sans fin décimal. Par exemple, si vous divisez la circonférence d’un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.
CV:
Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).
- Tout nombre à la puissance premier est égal à lui-même :
- Mettre un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même :
- Cuber un nombre signifie le multiplier par lui-même trois fois :
Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.
Propriétés des diplômes
D’où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.
Voyons : qu'est-ce que c'est Et ?
Par définition :
Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?
C’est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux facteurs, et le résultat est des multiplicateurs.
Mais par définition, il s'agit d'une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , ce qu'il fallait prouver.
Exemple: Simplifiez l'expression.
Solution:
Exemple: Simplifiez l'expression.
Solution: Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons !
On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :
seulement pour le produit des puissances !
En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.
2. c'est tout la puissance d'un nombre
Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :
Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :
Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total :
Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?
Mais ce n’est pas vrai, après tout.
Puissance à base négative
Jusqu’à présent, nous avons seulement discuté de ce que devrait être l’exposant.
Mais quelle devrait être la base ?
Dans les pouvoirs de indicateur naturel la base peut être n'importe quel numéro. En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même.
Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?
Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.
Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.
Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Avez-vous réussi ?
Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.
Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.
Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).
L'exemple 6) n'est plus si simple !
6 exemples à pratiquer
Analyse de la solution 6 exemples
Entier on appelle les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe " ") et le nombre.
entier positif, et ce n'est pas différent du naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.
Examinons maintenant de nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.
Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:
Comme toujours, demandons-nous : pourquoi en est-il ainsi ?
Considérons un certain degré avec une base. Prenons par exemple et multipliez par :
Nous avons donc multiplié le nombre par et nous avons obtenu la même chose - . Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, continuez. Moyens.
On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :
Répétons la règle :
Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.
Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).
D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d’un autre côté, comme tout nombre à la puissance zéro, il doit être égal. Alors, dans quelle mesure cela est-il vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s’impliquer et ont refusé d’élever zéro à la puissance zéro. Autrement dit, nous ne pouvons plus seulement diviser par zéro, mais également l'élever à la puissance zéro.
Passons à autre chose. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent également les nombres négatifs. Pour comprendre ce qu’est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multipliez un nombre normal par le même nombre pour obtenir une puissance négative :
À partir de là, il est facile d’exprimer ce que vous recherchez :
Étendons maintenant la règle résultante à un degré arbitraire :
Alors, formulons une règle :
Un nombre de puissance négative est l’inverse du même nombre de puissance positive. Mais en même temps La base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).
Résumons :
Tâches pour une solution indépendante :
Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solutions indépendantes :
Analyse des problèmes pour une solution indépendante :
Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen d'État unifié, il faut se préparer à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leurs solutions si vous ne parvenez pas à les résoudre et vous apprendrez à les gérer facilement lors de l'examen !
Continuons à élargir la gamme de nombres « appropriés » comme exposant.
Considérons maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?
Réponse : tout ce qui peut être représenté sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers, et.
Pour comprendre ce que c'est "degré fractionnaire", considérons la fraction :
Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :
Rappelons maintenant la règle concernant "degré à diplôme":
Quel nombre faut-il élever à une puissance pour obtenir ?
Cette formulation est la définition de la racine du ième degré.
Je vous le rappelle : la racine de la puissance ième d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.
C'est-à-dire que la racine de la puissance ième est l'opération inverse d'élévation à une puissance : .
Il s'avère que cela. Évidemment, ceci cas particulier peut être étendu : .
Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir en utilisant la règle puissance-puissance :
Mais la base peut-elle être n’importe quel nombre ? Après tout, la racine de tous les nombres ne peut pas être extraite.
Aucun!
Rappelez-vous la règle : tout nombre élevé à même degré- le nombre est positif. Autrement dit, il est impossible d’extraire ne serait-ce que les racines de nombres négatifs !
Cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a aucun sens.
Et l'expression ?
Mais ici un problème se pose.
Le nombre peut être représenté sous la forme d'autres fractions réductibles, par exemple, ou.
Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.
Ou un autre exemple : une fois, vous pouvez alors l'écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur différemment, nous aurons à nouveau des ennuis : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).
Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons uniquement un exposant de base positif avec un exposant fractionnaire.
Alors si :
- — nombre naturel ;
- - entier ;
Exemples :
Les exposants rationnels sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :
5 exemples à mettre en pratique
Analyse de 5 exemples pour la formation
Eh bien, vient maintenant la partie la plus difficile. Maintenant, nous allons le découvrir degré avec exposant irrationnel.
Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception
Après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés par une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).
Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers.
Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;
...nombre à la puissance zéro- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain "nombre vierge" , à savoir un nombre ;
...degré entier négatif- c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.
À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel.
Mais à l’école, nous ne pensons pas à de telles difficultés ; vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.
OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))
Par exemple:
Décidez vous-même :
Analyse des solutions :
1. Commençons par la règle habituelle pour élever une puissance à une puissance :
NIVEAU AVANCÉ
Détermination du diplôme
Un diplôme est une expression de la forme : , où :
- — base de diplômes;
- - exposant.
Diplôme avec indicateur naturel (n = 1, 2, 3,...)
Élever un nombre à la puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :
Degré avec un exposant entier (0, ±1, ±2,...)
Si l'exposant est entier positif nombre:
Construction au degré zéro:
L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, n'importe quel nombre au ème degré est ceci.
Si l'exposant est entier négatif nombre:
(parce que vous ne pouvez pas diviser par).
Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si, alors.
Exemples :
Puissance avec exposant rationnel
- — nombre naturel ;
- - entier ;
Exemples :
Propriétés des diplômes
Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d’où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.
Voyons : qu'est-ce que c'est et ?
Par définition :
Ainsi, à droite de cette expression, nous obtenons le produit suivant :
Mais par définition c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :
Q.E.D.
Exemple : Simplifiez l'expression.
Solution : .
Exemple : Simplifiez l'expression.
Solution : Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons. On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :
Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour le produit des puissances!
En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.
Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :
Regroupons ce travail comme ceci :
Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :
Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pourrez jamais faire cela au total : !
Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n’est pas vrai, après tout.
Puissance avec une base négative.
Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de ce à quoi cela devrait ressembler indicateur degrés. Mais quelle devrait être la base ? Dans les pouvoirs de naturel indicateur la base peut être n'importe quel numéro .
En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même. Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?
Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ?
Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.
Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par (), on obtient - .
Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Les règles simples suivantes peuvent être formulées :
- même diplôme, - nombre positif.
- Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
- Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
- Zéro à n’importe quelle puissance est égal à zéro.
Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Avez-vous réussi ? Voici les réponses :
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.
Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).
L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir ce qui est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, cela devient clair, ce qui signifie que la base est inférieure à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.
Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :
Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des diplômes et les divisons les uns par les autres, les divisons en paires et obtenons :
Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.
Calculez les expressions :
Solutions :
Revenons à l'exemple :
Et encore la formule :
Alors maintenant la dernière règle :
Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d’habitude : développons la notion de diplôme et simplifions-la :
Eh bien, ouvrons maintenant les parenthèses. Combien y a-t-il de lettres au total ? fois par multiplicateurs - qu'est-ce que cela vous rappelle ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: Il n'y avait là que des multiplicateurs. Autrement dit, il s'agit, par définition, d'une puissance d'un nombre avec un exposant :
Exemple:
Diplôme avec exposant irrationnel
En plus des informations sur les diplômes pour le niveau moyen, nous analyserons le diplôme avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).
Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers. Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre à la puissance zéro est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain « numéro vierge », à savoir un numéro ; un degré avec un exposant entier négatif - c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.
Il est extrêmement difficile d’imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d’imaginer un espace à 4 dimensions). Il s’agit plutôt d’un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre la notion de degré à tout l’espace des nombres.
À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l’école, nous ne pensons pas à de telles difficultés ; vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.
Alors, que faisons-nous si nous voyons un exposant irrationnel ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser :)
Par exemple:
Décidez vous-même :
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Réponses :
RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULES DE BASE
Degré appelé une expression de la forme : , où :
Diplôme avec un exposant entier
un degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).
Puissance avec exposant rationnel
degré dont l'exposant est constitué de nombres négatifs et fractionnaires.
Diplôme avec exposant irrationnel
un degré dont l'exposant est une fraction décimale infinie ou une racine.
Propriétés des diplômes
Caractéristiques des diplômes.
- Nombre négatif porté à même diplôme, - nombre positif.
- Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
- Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
- Zéro est égal à n’importe quelle puissance.
- Tout nombre à la puissance zéro est égal.
MAINTENANT VOUS AVEZ LE MOT...
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Une fois la puissance d'un nombre déterminée, il est logique de parler de propriétés du diplôme. Dans cet article, nous donnerons les propriétés de base de la puissance d'un nombre, en abordant tous les exposants possibles. Ici, nous fournirons des preuves de toutes les propriétés des degrés et montrerons également comment ces propriétés sont utilisées lors de la résolution d'exemples.
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Propriétés des degrés avec exposants naturels
Par définition d'une puissance à exposant naturel, la puissance a n est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Sur la base de cette définition, et en utilisant également propriétés de multiplication de nombres réels, nous pouvons obtenir et justifier ce qui suit propriétés du degré avec exposant naturel:
- la propriété principale du degré a m ·a n =a m+n, sa généralisation ;
- propriété des puissances quotientes de bases identiques a m:a n =a m−n ;
- propriété de puissance du produit (a·b) n =a n ·b n , son extension ;
- propriété du quotient au degré naturel (a:b) n =a n:b n ;
- élever un degré à une puissance (a m) n = a m·n, sa généralisation (((un n 1) n 2) …) n k =un n 1 ·n 2 ·…·n k;
- comparaison du degré avec zéro :
- si a>0, alors a n>0 pour tout nombre naturel n ;
- si a=0, alors a n =0 ;
- si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- si a et b sont des nombres positifs et a
- si m et n sont des nombres naturels tels que m>n , alors à 0
- si m et n sont des nombres naturels tels que m>n , alors à 0
Notons immédiatement que toutes les égalités écrites sont identique sous réserve des conditions spécifiées, leurs parties droite et gauche peuvent être échangées. Par exemple, la propriété principale de la fraction a m ·a n =a m+n avec simplification des expressions souvent utilisé sous la forme a m+n =a m ·a n .
Examinons maintenant chacun d'eux en détail.
Commençons par la propriété du produit de deux puissances de mêmes bases, qui s'appelle la propriété principale du diplôme: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, l'égalité a m ·a n =a m+n est vraie.
Montrons la propriété principale du degré. Par la définition d'une puissance avec un exposant naturel, le produit de puissances ayant les mêmes bases de la forme a m ·a n peut s'écrire comme un produit. En raison des propriétés de multiplication, l’expression résultante peut s’écrire 
, et ce produit est une puissance du nombre a avec un exposant naturel m+n, c'est-à-dire a m+n. Ceci termine la preuve.
Donnons un exemple confirmant la propriété principale du diplôme. Prenons des degrés de mêmes bases 2 et puissances naturelles 2 et 3, en utilisant la propriété fondamentale des degrés on peut écrire l'égalité 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Vérifions sa validité en calculant les valeurs des expressions 2 2 · 2 3 et 2 5 . En effectuant une exponentiation, nous avons 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 et 2 5 =2·2·2·2·2=32, puisque des valeurs égales sont obtenues, alors l'égalité 2 2 ·2 3 =2 5 est correcte et confirme la propriété principale du degré.
La propriété fondamentale d’un degré, basée sur les propriétés de multiplication, peut être généralisée au produit de trois puissances ou plus ayant les mêmes bases et exposants naturels. Donc pour tout nombre k d'entiers naturels n 1, n 2, …, n k l'égalité est vraie une n 1 ·une n 2 ·…·une n k =une n 1 +n 2 +…+n k.
Par exemple, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Nous pouvons passer à la propriété suivante des puissances avec un exposant naturel : propriété des quotients de puissances de mêmes bases: pour tout nombre réel non nul a et nombres naturels arbitraires m et n satisfaisant la condition m>n, l'égalité a m:a n = a m−n est vraie.
Avant de présenter la preuve de cette propriété, discutons de la signification des conditions supplémentaires dans la formulation. La condition a≠0 est nécessaire pour éviter la division par zéro, puisque 0 n =0, et quand nous avons pris connaissance de la division, nous avons convenu qu'on ne pouvait pas diviser par zéro. La condition m>n est introduite pour qu’on ne dépasse pas les exposants naturels. En effet, pour m>n l'exposant a m−n est un nombre naturel, sinon il sera soit zéro (ce qui arrive pour m−n) soit un nombre négatif (ce qui arrive pour m Preuve. La propriété principale d'une fraction permet d'écrire l'égalité une m−n ·une n =une (m−n)+n =une m. De l'égalité résultante a m−n ·a n = a m et il s'ensuit que a m−n est un quotient des puissances a m et a n . Cela prouve la propriété des puissances quotientes de bases identiques. Donnons un exemple. Prenons deux degrés de mêmes bases π et d'exposants naturels 5 et 2, l'égalité π 5 :π 2 =π 5−3 =π 3 correspond à la propriété considérée du degré. Considérons maintenant propriété de puissance du produit: la puissance naturelle n du produit de deux nombres réels quelconques a et b est égale au produit des puissances a n et b n , c'est-à-dire (a·b) n = a n ·b n . En effet, par la définition d'un degré à exposant naturel on a Voici un exemple : Cette propriété s’étend à la puissance du produit de trois facteurs ou plus. Autrement dit, la propriété de degré naturel n du produit de k facteurs s'écrit (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Pour plus de clarté, nous montrerons cette propriété avec un exemple. Pour le produit de trois facteurs à la puissance 7, nous avons . La propriété suivante est propriété d'un quotient en nature: le quotient des nombres réels a et b, b≠0 à la puissance naturelle n est égal au quotient des puissances a n et b n, c'est-à-dire (a:b) n = a n:b n. La preuve peut être effectuée en utilisant la propriété précédente. Donc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, et de l'égalité (a:b) n ·b n = a n il s'ensuit que (a:b) n est le quotient de a n divisé par b n . Écrivons cette propriété en utilisant des nombres spécifiques comme exemple : Maintenant, exprimons-le propriété d'élever une puissance à une puissance: pour tout nombre réel a et tout nombre naturel m et n, la puissance de a m à la puissance n est égale à la puissance du nombre a d'exposant m·n, c'est-à-dire (a m) n = a m·n. Par exemple, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. La preuve de la propriété de puissance en degré est la chaîne d’égalités suivante : La propriété considérée peut être étendue de degré en degré, etc. Par exemple, pour tout nombre naturel p, q, r et s, l'égalité Il reste à s'attarder sur les propriétés de comparaison des degrés avec un exposant naturel. Commençons par prouver la propriété de comparer zéro et la puissance avec un exposant naturel. Tout d’abord, prouvons que a n >0 pour tout a>0. Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif, comme cela ressort de la définition de la multiplication. Ce fait et les propriétés de la multiplication suggèrent que le résultat de la multiplication d’un nombre quelconque de nombres positifs sera également un nombre positif. Et la puissance d'un nombre a d'exposant naturel n, par définition, est le produit de n facteurs dont chacun est égal à a. Ces arguments permettent d’affirmer que pour toute base positive a, le degré a n est un nombre positif. En raison de la propriété prouvée 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 et Il est bien évident que pour tout entier positif n avec a=0 le degré de a n est nul. En effet, 0 n =0·0·…·0=0 . Par exemple, 0 3 =0 et 0 762 =0. Passons aux bases de degré négatives. Commençons par le cas où l'exposant est un nombre pair, notons-le 2·m, où m est un nombre naturel. Alors Enfin, lorsque la base a est un nombre négatif et l’exposant est un nombre impair 2 m−1, alors Passons à la propriété de comparer des puissances de mêmes exposants naturels, qui a la formulation suivante : de deux puissances de mêmes exposants naturels, n est inférieur à celle dont la base est plus petite, et plus grand est celle dont la base est plus grande. . Prouvons-le. Inégalité et n propriétés des inégalités une inégalité prouvable de la forme a n est également vraie (2.2) 7 et Il reste à prouver la dernière des propriétés énumérées des degrés à exposants naturels. Formulons-le. De deux puissances dont les exposants naturels et les bases positives identiques sont inférieures à une, celle dont l'exposant est le plus petit est la plus grande ; et de deux puissances à exposants naturels et à bases identiques supérieures à un, celle dont l'exposant est le plus grand est la plus grande. Passons à la preuve de cette propriété. Montrons que pour m>n et 0 Reste à prouver la deuxième partie de la propriété. Montrons que pour m>n et a>1 a m >a n est vrai. La différence a m −a n après avoir retiré a n des parenthèses prend la forme a n ·(a m−n −1) . Ce produit est positif, puisque pour a>1 le degré a n est un nombre positif, et la différence a m−n −1 est un nombre positif, puisque m−n>0 du fait de la condition initiale, et pour a>1 le degré a m−n est supérieur à un . Par conséquent, a m −a n >0 et a m >a n , ce qui restait à prouver. Cette propriété est illustrée par l'inégalité 3 7 >3 2.
. Sur la base des propriétés de multiplication, le dernier produit peut être réécrit comme 
, qui est égal à a n · b n .
.
.
.
. Pour plus de clarté, voici un exemple avec des chiffres précis : (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Car chacun des produits de la forme a·a est égal au produit des modules des nombres a et a, ce qui signifie que c'est un nombre positif. Par conséquent, le produit sera également positif 
et degré a 2·m. Donnons des exemples : (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 et .
. Tous les produits a·a sont des nombres positifs, le produit de ces nombres positifs est également positif, et sa multiplication par le nombre négatif restant a donne un nombre négatif. Grâce à cette propriété (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Propriétés des puissances à exposants entiers
Puisque les entiers positifs sont des nombres naturels, alors toutes les propriétés des puissances avec des exposants entiers positifs coïncident exactement avec les propriétés des puissances avec des exposants naturels répertoriées et prouvées dans le paragraphe précédent.
Nous avons défini un degré à exposant négatif entier, ainsi qu'un degré à exposant nul, de telle sorte que toutes les propriétés des degrés à exposant naturel, exprimées par des égalités, restent valables. Par conséquent, toutes ces propriétés sont valables aussi bien pour les exposants nuls que pour les exposants négatifs, même si, bien entendu, les bases des puissances sont différentes de zéro.
Ainsi, pour tout nombre réel et non nul a et b, ainsi que pour tout entier m et n, les éléments suivants sont vrais : propriétés des puissances à exposants entiers:
- une m ·une n =une m+n ;
- une m:une n =une m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (une m) n =une m·n ;
- si n est un entier positif, a et b sont des nombres positifs, et a b−n ;
- si m et n sont des entiers, et m>n , alors à 0
Lorsque a = 0, les puissances a m et a n n'ont de sens que lorsque m et n sont tous deux des entiers positifs, c'est-à-dire des nombres naturels. Ainsi, les propriétés qui viennent d’être écrites sont également valables pour les cas où a=0 et les nombres m et n sont des entiers positifs.
Prouver chacune de ces propriétés n'est pas difficile ; pour ce faire, il suffit d'utiliser les définitions des degrés à exposants naturels et entiers, ainsi que les propriétés des opérations avec des nombres réels. À titre d’exemple, prouvons que la propriété puissance-puissance est valable à la fois pour les entiers positifs et pour les entiers non positifs. Pour ce faire, vous devez montrer que si p est zéro ou un nombre naturel et q est zéro ou un nombre naturel, alors les égalités (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) et (une −p) −q =une (−p)·(−q). Faisons ça.
Pour p et q positifs, l'égalité (a p) q = a p·q a été prouvée dans le paragraphe précédent. Si p=0, alors nous avons (a 0) q =1 q =1 et a 0·q =a 0 =1, d'où (a 0) q =a 0·q. De même, si q=0, alors (a p) 0 =1 et a p·0 =a 0 =1, d'où (a p) 0 =a p·0. Si p=0 et q=0, alors (a 0) 0 =1 0 =1 et a 0·0 =a 0 =1, d'où (a 0) 0 =a 0·0.
Nous prouvons maintenant que (a −p) q =a (−p)·q . Par définition d'une puissance avec un exposant entier négatif, alors 
. Par la propriété des quotients aux puissances on a 
. Puisque 1 p =1·1·…·1=1 et , alors . La dernière expression, par définition, est une puissance de la forme a −(p·q), qui, grâce aux règles de multiplication, peut s'écrire a (−p)·q.
De même 
.
ET 
.
En utilisant le même principe, vous pouvez prouver toutes les autres propriétés d'un degré avec un exposant entier, écrit sous forme d'égalités.
Dans l’avant-dernière des propriétés enregistrées, il convient de s’attarder sur la preuve de l’inégalité a −n >b −n, qui est valable pour tout entier négatif −n et tout a et b positifs pour lesquels la condition a est satisfaite. . Puisque par condition un 0 . Le produit a n · b n est également positif en tant que produit des nombres positifs a n et b n . Alors la fraction résultante est positive comme le quotient des nombres positifs b n −a n et a n ·b n . Par conséquent, d’où a −n >b −n , ce qui devait être prouvé.
La dernière propriété des puissances à exposants entiers se prouve de la même manière qu’une propriété similaire des puissances à exposants naturels.
Propriétés des puissances avec exposants rationnels
Nous avons défini un degré avec un exposant fractionnaire en étendant les propriétés d'un degré avec un exposant entier. En d’autres termes, les puissances à exposants fractionnaires ont les mêmes propriétés que les puissances à exposants entiers. À savoir:
La preuve des propriétés des degrés à exposant fractionnaire repose sur la définition d'un degré à exposant fractionnaire et sur les propriétés d'un degré à exposant entier. Donnons-en la preuve.
Par définition d'une puissance avec un exposant fractionnaire et , alors 
. Les propriétés de la racine arithmétique permettent d'écrire les égalités suivantes. De plus, en utilisant la propriété d'un degré à exposant entier, on obtient , d'où, par la définition d'un degré à exposant fractionnaire, on a 
, et l'indicateur du diplôme obtenu peut être transformé comme suit : . Ceci termine la preuve.
La deuxième propriété des puissances à exposants fractionnaires se prouve d'une manière absolument similaire : 
Les égalités restantes sont prouvées en utilisant des principes similaires : 
Passons à la preuve de la propriété suivante. Montrons que pour tout a et b positifs, a bp. Écrivons le nombre rationnel p sous la forme m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Conditionsp<0 и p>0 dans ce cas les conditions m<0 и m>0 en conséquence. Pour m>0 et a
De même, pour m<0 имеем a m >b m , d'où, c'est-à-dire, et a p >b p .
Reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées. Montrons que pour les nombres rationnels p et q, p>q en 0 
Et 
. Et la définition d'un degré avec un exposant rationnel permet de passer aux inégalités et, en conséquence. De là, nous tirons la conclusion finale : pour p>q et 0
Propriétés des puissances à exposants irrationnels
De la manière dont un degré à exposant irrationnel est défini, nous pouvons conclure qu'il possède toutes les propriétés des degrés à exposant rationnel. Donc, pour tout a>0, b>0 et nombres irrationnels p et q, ce qui suit est vrai propriétés des puissances avec indicateurs irrationnels :
- a p ·a q =a p+q ;
- une p:une q =une p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- pour tout nombre positif a et b, a 0 l'inégalité a p b p ;
- pour les nombres irrationnels p et q, p>q à 0
De cela, nous pouvons conclure que les puissances avec n’importe quel exposant réel p et q pour a>0 ont les mêmes propriétés.
Références.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manuel de mathématiques pour la 5ème année. établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 7e année. établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année. établissements d'enseignement.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 9e année. établissements d'enseignement.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).
