Afin de trouver la valeur moyenne dans Excel (qu'il s'agisse d'une valeur numérique, texte, pourcentage ou autre), il existe de nombreuses fonctions. Et chacun d’eux a ses propres caractéristiques et avantages. En effet, dans cette tâche, certaines conditions peuvent être posées.

Par exemple, les valeurs moyennes d'une série de nombres dans Excel sont calculées à l'aide de fonctions statistiques. Vous pouvez également saisir manuellement votre propre formule. Considérons différentes options.

Comment trouver la moyenne arithmétique des nombres ?

Pour trouver la moyenne arithmétique, vous devez additionner tous les nombres de l’ensemble et diviser la somme par la quantité. Par exemple, les notes d'un élève en informatique : 3, 4, 3, 5, 5. Ce qui est inclus dans le trimestre : 4. Nous avons trouvé la moyenne arithmétique en utilisant la formule : =(3+4+3+5+5) /5.

Comment faire cela rapidement en utilisant Fonctions Excel? Prenons par exemple une série de nombres aléatoires dans une chaîne :

Ou : créez la cellule active et entrez simplement la formule manuellement : = MOYENNE (A1: A8).

Voyons maintenant ce que la fonction MOYENNE peut faire d'autre.

Trouvons la moyenne arithmétique des deux et trois premiers derniers numéros. Formule : = MOYENNE (A1:B1,F1:H1). Résultat:



Etat moyen

La condition pour trouver la moyenne arithmétique peut être un critère numérique ou textuel. Nous utiliserons la fonction : =AVERAGEIF().

Trouvez la moyenne arithmétique des nombres supérieurs ou égaux à 10.

Fonction : =MOYENNEIF(A1:A8,">=10")

Le résultat de l'utilisation de la fonction AVERAGEIF sous la condition ">=10" :

Le troisième argument – ​​« Plage moyenne » – est omis. Tout d’abord, ce n’est pas obligatoire. Deuxièmement, la plage analysée par le programme contient UNIQUEMENT valeurs numériques. Les cellules spécifiées dans le premier argument seront recherchées selon la condition spécifiée dans le deuxième argument.

Attention! Le critère de recherche peut être précisé dans la cellule. Et faites un lien vers celui-ci dans la formule.

Trouvons la valeur moyenne des nombres en utilisant le critère texte. Par exemple, les ventes moyennes du produit « tables ».

La fonction ressemblera à ceci : =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Gamme – une colonne avec les noms de produits. Le critère de recherche est un lien vers une cellule avec le mot « tableaux » (vous pouvez insérer le mot « tableaux » à la place du lien A7). Plage de moyenne – les cellules à partir desquelles les données seront extraites pour calculer la valeur moyenne.

Suite au calcul de la fonction, nous obtenons la valeur suivante :

Attention! Pour un critère textuel (condition), la plage de moyenne doit être spécifiée.

Comment calculer le prix moyen pondéré dans Excel ?

Comment avons-nous connu le prix moyen pondéré ?

Formule : =SOMMEPRODUIT(C2:C12,B2:B12)/SOMME(C2:C12).

En utilisant la formule SUMPRODUCT, nous connaissons le revenu total après avoir vendu la totalité de la quantité de marchandises. Et la fonction SOMME résume la quantité de marchandises. En divisant le revenu total de la vente de biens par le nombre total d'unités de biens, nous avons obtenu le prix moyen pondéré. Cet indicateur prend en compte le « poids » de chaque prix. Sa part dans la masse totale des valeurs.

Écart type : formule dans Excel

Il existe des écarts types pour la population générale et pour l’échantillon. Dans le premier cas, c’est la racine de la variance générale. Dans le second - de variance de l'échantillon.

Pour calculer cet indicateur statistique, une formule de dispersion est établie. La racine en est extraite. Mais dans Excel, il existe une fonction toute faite pour trouver l'écart type.

L'écart type est lié à l'échelle des données sources. Pour représentation figurative cela ne suffit pas sur la variation de la plage analysée. Pour obtenir le niveau relatif de dispersion des données, le coefficient de variation est calculé :

écart type / moyenne arithmétique

La formule dans Excel ressemble à ceci :

STDEV (plage de valeurs) / MOYENNE (plage de valeurs).

Le coefficient de variation est calculé en pourcentage. Par conséquent, nous définissons le format de pourcentage dans la cellule.

Salaire moyen... Espérance de vie moyenne... Presque tous les jours, nous entendons ces expressions utilisées pour décrire de nombreuses singulier. Mais curieusement, la « valeur moyenne » est un concept plutôt insidieux, qui induit souvent en erreur les gens ordinaires et inexpérimentés. statistiques mathématiques, personne.

Quel est le problème?

La valeur moyenne désigne le plus souvent la moyenne arithmétique, qui varie considérablement sous l'influence de faits ou d'événements individuels. Et vous n'aurez pas une idée réelle de la façon dont les valeurs que vous étudiez sont distribuées.

Regardons l'exemple classique du salaire moyen.

Une entreprise abstraite compte dix employés. Neuf d'entre eux reçoivent un salaire d'environ 50 000 roubles et un, un salaire de 1 500 000 roubles (par une étrange coïncidence, il est également directeur général de cette entreprise).

La valeur moyenne dans ce cas sera de 195 150 roubles, ce qui, vous en conviendrez, est incorrect.

Quelles sont les méthodes de calcul de la moyenne ?

La première façon est de calculer le déjà mentionné moyenne arithmétique, qui est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre.

• x – moyenne arithmétique ;
• xn – une signification spécifique ;
• n – nombre de valeurs.

• Fonctionne bien avec une distribution normale des valeurs dans l'échantillon ;
• Facile à calculer ;
• Intuitivement clair.

• Ne donne pas une réelle idée de la répartition des valeurs ;
• Une quantité instable qui est facilement sujette à des valeurs aberrantes (comme dans le cas du PDG).

La deuxième façon consiste à calculer mode, c'est-à-dire la valeur la plus fréquente.

• M0 – mode ;
• x0 – limite inférieure de l'intervalle qui contient le mode ;
• n – valeur d'intervalle ;
• f m – fréquence (combien de fois une valeur particulière apparaît dans une série) ;
• f m-1 – fréquence de l'intervalle précédant celui modal ;
• f m+1 – fréquence de l'intervalle suivant celui modal.

• Idéal pour avoir une idée de l’opinion publique ;
• Idéal pour les données non numériques (couleurs de saison, best-sellers, notes) ;
• Facile à comprendre.

• La mode n’existe peut-être tout simplement pas (pas de répétitions) ;
• Il peut y avoir plusieurs modes (distribution multimodale).

La troisième façon est de calculer médianes, c'est-à-dire la valeur qui divise l'échantillon ordonné en deux moitiés et se situe entre elles. Et s'il n'y a pas une telle valeur, alors la moyenne arithmétique entre les limites des moitiés de l'échantillon est prise comme médiane.

• M e – médiane ;
• x0 – la limite inférieure de l'intervalle qui contient la médiane ;
• h – valeur d'intervalle ;
• f i – fréquence (combien de fois une valeur particulière apparaît dans une série) ;
• S m-1 – somme des fréquences des intervalles précédant la médiane ;
• f m – nombre de valeurs dans l'intervalle médian (sa fréquence).

• Fournit l’estimation la plus réaliste et la plus représentative ;
• Résistant aux émissions.

• Plus difficile à calculer, puisqu'il faut commander l'échantillon avant le calcul.

Nous avons examiné les principales méthodes permettant de trouver la valeur moyenne, appelées mesures de tendance centrale(en fait, il y en a plus, mais ce sont les plus populaires).

Revenons maintenant à notre exemple et calculons les trois options pour la moyenne à l'aide de fonctions Excel spéciales :

• MOYENNE(numéro1;[numéro2];…) – fonction pour déterminer la moyenne arithmétique ;
• MODE.ONE(number1;[number2];...) - fonction de mode (dans les anciennes versions d'Excel MODE(number1;[number2];...) était utilisé) ;
• MEDIAN(number1;[number2];...) – fonction pour trouver la médiane.

Et voici les valeurs que nous avons obtenues :

Dans ce cas, le mode et la médiane caractérisent bien mieux salaire moyen en compagnie.

Mais que faire lorsque l'échantillon contient non pas 10 valeurs, comme dans l'exemple, mais des millions ? Cela ne peut pas être calculé dans Excel, mais dans la base de données où sont stockées vos données, pas de problème.

Calculer la moyenne arithmétique en SQL

Tout ici est assez simple, puisque SQL fournit une fonction d'agrégation spéciale AVG.

Et pour l'utiliser, il suffit d'écrire la requête suivante :

Calcul de la mode en SQL

Il n'existe pas de fonction distincte dans SQL pour trouver un mode, mais vous pouvez en écrire un rapidement et facilement vous-même. Pour ce faire, nous devons déterminer quel salaire est le plus souvent répété et choisir le plus populaire.

Écrivons une requête :

/* WITH TIES doit être ajouté à TOP() si l'ensemble est multimodal, c'est-à-dire que l'ensemble a plusieurs modes */ SELECT TOP(1) WITH TIES salaire AS "Mode salaire" FROM employés GROUP BY salaire ORDER BY COUNT(* ) DESC

Calcul de la médiane en SQL

Comme pour le mode, SQL n'a pas de fonction intégrée pour calculer la médiane, mais il dispose d'une fonction générique pour calculer les centiles, PERCENTILE_CONT .

Tout ressemble à ceci :

/* Dans ce cas, le centile est de 0,5 et sera la médiane */ SELECT TOP(1) PERCENTILE_CONT(0.5) Within Group (ORDER BY salaire) OVER() AS "Salaire médian" FROM employés

Il est préférable d'en savoir plus sur le fonctionnement de la fonction PERCENTILE_CONT dans l'aide de Microsoft et Google BigQuery.

Quelle méthode dois-je utiliser ?

De ce qui précède, il s'ensuit que la médiane La meilleure façon pour calculer la moyenne.

Mais ce n'est pas toujours le cas. Si vous travaillez avec une moyenne, alors méfiez-vous d'une distribution multimodale :

Le graphique montre une distribution bimodale avec deux pics. Cette situation peut se produire, par exemple, lors du vote aux élections.

Dans ce cas, la moyenne arithmétique et la médiane sont des valeurs qui se situent quelque part au milieu et elles ne diront rien sur ce qui se passe réellement et il vaut mieux reconnaître immédiatement qu'il s'agit d'une distribution bimodale en rapportant deux modes.

Mieux encore, divisez l'échantillon en deux groupes et collectez des données statistiques pour chacun.

Conclusion:

Lors du choix d'une méthode pour trouver la moyenne, vous devez prendre en compte la présence de valeurs aberrantes, ainsi que la normalité de la distribution des valeurs dans l'échantillon.

Le choix final de la mesure de tendance centrale appartient toujours à l'analyste.

Souviens-toi!

À trouver la moyenne arithmétique, vous devez additionner tous les nombres et diviser leur somme par leur nombre.

Trouvez la moyenne arithmétique de 2, 3 et 4.

Désignons la moyenne arithmétique par la lettre « m ». Par définition ci-dessus, on trouve la somme de tous les nombres.

Divisez le montant obtenu par le nombre de nombres pris. Par convention, nous avons trois nombres.

En conséquence nous obtenons formule de moyenne arithmétique:

A quoi sert la moyenne arithmétique ?

Outre le fait qu'elle est constamment suggérée dans les cours, trouver la moyenne arithmétique est très utile dans la vie.

Par exemple, disons que vous décidez de vendre des ballons de football. Mais comme vous êtes nouveau dans ce métier, on ne sait absolument pas à quel prix vous devriez vendre les balles.

Vous décidez ensuite de découvrir à quel prix les concurrents vendent déjà des ballons de football dans votre région. Découvrons les prix dans les magasins et dressons un tableau.

Les prix des ballons dans les magasins se sont avérés complètement différents. Quel prix faut-il choisir pour vendre un ballon de foot ?

Si nous choisissons le prix le plus bas (290 roubles), nous vendrons les marchandises à perte. Si vous choisissez le plus élevé (360 roubles), les acheteurs ne nous achèteront pas de ballons de football.

Nous avons besoin d'un prix moyen. C'est ici qu'il vient à la rescousse moyenne.

Calculons la moyenne arithmétique des prix des ballons de football :

prix moyen =

290 + 360 + 310

3

=

960

3

= 320 frotter.

Ainsi, nous avons reçu un prix moyen (320 roubles), auquel nous pouvons vendre un ballon de football ni trop bon marché ni trop cher.

Vitesse de conduite moyenne

Le concept est étroitement lié à la moyenne arithmétique vitesse moyenne.

En observant le mouvement de la circulation dans la ville, vous remarquerez que les voitures soit accélèrent et roulent à grande vitesse, soit ralentissent et roulent à basse vitesse.

Il existe de nombreux tronçons de ce type le long du parcours des véhicules. Par conséquent, pour la commodité des calculs, la notion de vitesse moyenne est utilisée.

Souviens-toi!

La vitesse moyenne de déplacement correspond à la distance totale parcourue divisée par la durée totale du déplacement.

Considérons un problème à vitesse moyenne.

Problème n°1503 du manuel « Vilenkin 5e année »

La voiture a roulé pendant 3,2 heures sur une autoroute à une vitesse de 90 km/h, puis 1,5 heure sur un chemin de terre à une vitesse de 45 km/h et enfin 0,3 heure sur une route de campagne à une vitesse de 30 km/h. . Trouvez la vitesse moyenne de la voiture sur tout le parcours.

Pour calculer la vitesse moyenne, vous devez connaître toute la distance parcourue par la voiture et tout le temps pendant lequel la voiture roulait.

S 1 = V 1 t 1

S 1 = 90 3,2 = 288 (km)

- Autoroute.

S 2 = V 2 t 2

S 2 = 45 · 1,5 = 67,5 (km) - chemin de terre.

S 3 = V 3 t 3

S 3 = 30 · 0,3 = 9 (km) - route de campagne.

S = S1 + S2 + S3

S = 288 + 67,5 + 9 = 364,5 (km) - toute la distance parcourue par la voiture.

T = t 1 + t 2 + t 3

T = 3,2 + 1,5 + 0,3 = 5 (h) - tout le temps.

Vav = S : t

V moy = 364,5 : 5 = 72,9 (km/h) — vitesse moyenne mouvement de voiture.

Réponse : V av = 72,9 (km/h) - la vitesse moyenne de la voiture.

Dans la plupart des cas, les données sont concentrées autour d’un point central. Ainsi, pour décrire n'importe quel ensemble de données, il suffit d'indiquer la valeur moyenne. Considérons séquentiellement trois caractéristiques numériques qui sont utilisées pour estimer la valeur moyenne de la distribution : moyenne arithmétique, médiane et mode.

Moyenne

La moyenne arithmétique (souvent appelée simplement moyenne) est l'estimation la plus courante de la moyenne d'une distribution. C'est le résultat de la division de la somme de toutes les valeurs numériques observées par leur nombre. Pour un échantillon composé de nombres X 1, X 2, …, Xn, moyenne de l'échantillon (notée ) équivaut à = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, ou

où est la moyenne de l'échantillon, n- taille de l'échantillon, Xje – i-ième élément des échantillons.

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Envisagez de calculer la moyenne arithmétique des rendements annuels moyens sur cinq ans de 15 fonds communs de placement avec des taux très élevés. haut niveau risque (Fig. 1).

Riz. 1. Rendements annuels moyens de 15 OPCVM à très haut risque

La moyenne de l'échantillon est calculée comme suit :

Il s’agit d’un bon rendement, surtout comparé au rendement de 3 à 4 % que les déposants des banques ou des coopératives de crédit ont reçu au cours de la même période. Si nous trions les rendements, il est facile de constater que huit fonds ont des rendements supérieurs à la moyenne et sept fonds inférieurs à la moyenne. La moyenne arithmétique sert de point d’équilibre, de sorte que les fonds à faible rendement équilibrent les fonds à rendement élevé. Tous les éléments de l'échantillon participent au calcul de la moyenne. Aucune des autres estimations de la moyenne d'une distribution n'a cette propriété.

Quand faut-il calculer la moyenne arithmétique ?Étant donné que la moyenne arithmétique dépend de tous les éléments de l'échantillon, la présence de valeurs extrêmes affecte considérablement le résultat. Dans de telles situations, la moyenne arithmétique peut fausser la signification des données numériques. Par conséquent, lors de la description d’un ensemble de données contenant des valeurs extrêmes, il est nécessaire d’indiquer la médiane ou la moyenne arithmétique et la médiane. Par exemple, si l'on supprime les rendements du fonds RS Emerging Growth de l'échantillon, la moyenne des rendements de l'échantillon des 14 fonds diminue de près de 1 % pour atteindre 5,19 %.

Médian

La médiane représente la valeur médiane d’un tableau ordonné de nombres. Si le tableau ne contient pas de nombres répétitifs, alors la moitié de ses éléments seront inférieurs et l'autre moitié supérieure à la médiane. Si l’échantillon contient des valeurs extrêmes, il est préférable d’utiliser la médiane plutôt que la moyenne arithmétique pour estimer la moyenne. Pour calculer la médiane d’un échantillon, il faut d’abord l’ordonner.

Cette formule est ambiguë. Son résultat dépend si le nombre est pair ou impair n:

• Si l'échantillon contient un nombre impair d'éléments, la médiane est (n+1)/2-ème élément.
• Si l'échantillon contient un nombre pair d'éléments, la médiane se situe entre les deux éléments médians de l'échantillon et est égale à la moyenne arithmétique calculée sur ces deux éléments.

Pour calculer la médiane d’un échantillon contenant les rendements de 15 fonds communs de placement à très haut risque, il faut d’abord trier les données brutes (Figure 2). Alors la médiane sera en face du numéro de l'élément médian de l'échantillon ; dans notre exemple n°8. Excel a une fonction spéciale =MEDIAN() qui fonctionne également avec les tableaux non ordonnés.

Riz. 2. Médiane 15 fonds

La médiane est donc de 6,5. Cela signifie que le rendement de la moitié des fonds à très haut risque ne dépasse pas 6,5 et que le rendement de l'autre moitié le dépasse. Notez que la médiane de 6,5 n’est pas beaucoup plus grande que la moyenne de 6,08.

Si nous supprimons le rendement du fonds RS Emerging Growth de l'échantillon, alors la médiane des 14 fonds restants diminue à 6,2 %, c'est-à-dire pas aussi significativement que la moyenne arithmétique (Figure 3).

Riz. 3. Médiane 14 fonds

Mode

Le terme a été inventé pour la première fois par Pearson en 1894. La mode est le chiffre qui apparaît le plus souvent dans un échantillon (le plus à la mode). La mode décrit bien, par exemple, réaction typique conducteurs à un feu de circulation pour arrêter la circulation. Un exemple classique d’utilisation de la mode est le choix de la pointure des chaussures ou de la couleur du papier peint. Si une distribution comporte plusieurs modes, alors elle est dite multimodale ou multimodale (comporte deux ou plusieurs « pics »). La multimodalité de la distribution fournit des informations importantes sur la nature de la variable étudiée. Par exemple, dans sondages d'opinion Si une variable représente une préférence ou une attitude envers quelque chose, alors la multimodalité peut signifier qu’il existe plusieurs opinions distinctes. La multimodalité sert également d’indicateur du fait que l’échantillon n’est pas homogène et que les observations peuvent être générées par deux ou plusieurs distributions « qui se chevauchent ». Contrairement à la moyenne arithmétique, les valeurs aberrantes n’affectent pas le mode. Pour les variables aléatoires distribuées en continu, telles que le rendement annuel moyen des fonds communs de placement, le mode n'existe parfois pas (ou n'a aucun sens). Étant donné que ces indicateurs peuvent prendre des valeurs très différentes, les valeurs répétitives sont extrêmement rares.

Quartiles

Les quartiles sont les mesures les plus souvent utilisées pour évaluer la distribution des données lors de la description des propriétés de grands échantillons numériques. Alors que la médiane divise le tableau ordonné en deux (50 % des éléments du tableau sont inférieurs à la médiane et 50 % sont supérieurs), les quartiles divisent l'ensemble de données ordonnées en quatre parties. Les valeurs de Q 1 , médiane et Q 3 sont respectivement les 25e, 50e et 75e centiles. Le premier quartile Q 1 est un nombre qui divise l'échantillon en deux parties : 25 % des éléments sont inférieurs et 75 % sont supérieurs au premier quartile.

Le troisième quartile Q 3 est un nombre qui divise également l'échantillon en deux parties : 75 % des éléments sont inférieurs et 25 % sont supérieurs au troisième quartile.

Pour calculer des quartiles dans les versions d'Excel antérieures à 2007, utilisez la fonction =QUARTILE(array,part). A partir d'Excel 2010, deux fonctions sont utilisées :

• =QUARTILE.ON(tableau,partie)
• =QUARTILE.EXC(tableau,partie)

Ces deux fonctions donnent peu différentes significations(Fig. 4). Par exemple, lors du calcul des quartiles d'un échantillon contenant les rendements annuels moyens de 15 fonds communs de placement à très haut risque, Q 1 = 1,8 ou –0,7 pour QUARTILE.IN et QUARTILE.EX, respectivement. D'ailleurs, la fonction QUARTILE, utilisée précédemment, correspond à la fonction QUARTILE.ON moderne. Pour calculer des quartiles dans Excel à l’aide des formules ci-dessus, il n’est pas nécessaire de trier le tableau de données.

Riz. 4. Calcul des quartiles dans Excel

Soulignons encore. Excel peut calculer des quartiles pour une variable univariée série discrète, contenant les valeurs d'une variable aléatoire. Le calcul des quartiles pour une distribution basée sur la fréquence est indiqué ci-dessous dans la section.

Moyenne géométrique

Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique permet d'estimer le degré de changement d'une variable au fil du temps. La moyenne géométrique est la racine nème degré du travail n quantités (dans Excel la fonction =SRGEOM est utilisée) :

g= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Un paramètre similaire est moyen signification géométrique le taux de rendement est déterminé par la formule :

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

Où R je– taux de profit pour jeème période.

Par exemple, supposons que l'investissement initial soit de 100 000 $. À la fin de la première année, il tombe à 50 000 $ et à la fin de la deuxième année, il revient au niveau initial de 100 000 $. Le taux de rendement de cet investissement sur une période de deux La période d'un an est égale à 0, puisque les montants initial et final des fonds sont égaux. Cependant, la moyenne arithmétique des taux de rendement annuels est = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 ou 25 %, puisque le taux de rendement la première année R 1 = (50 000 – 100 000) / 100 000 = –0,5 , et dans le second R 2 = (100 000 – 50 000) / 50 000 = 1. Dans le même temps, la valeur moyenne géométrique du taux de profit sur deux ans est égale à : G = [(1–0,5) * (1+ 1 )] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Ainsi, la moyenne géométrique reflète plus précisément l'évolution (plus précisément, l'absence de changement) du volume d'investissement sur une période de deux ans que la moyenne arithmétique.

Faits intéressants. Premièrement, la moyenne géométrique sera toujours inférieure à la moyenne arithmétique des mêmes nombres. Sauf dans le cas où tous les nombres pris sont égaux les uns aux autres. Deuxièmement, après avoir considéré les propriétés triangle rectangle, on peut comprendre pourquoi la moyenne est dite géométrique. La hauteur d'un triangle rectangle, abaissé jusqu'à l'hypoténuse, est la moyenne proportionnelle entre les projections des jambes sur l'hypoténuse, et chaque jambe est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse (Fig. 5). Cela donne une manière géométrique de construire la moyenne géométrique de deux segments (longueurs) : il faut construire un cercle sur la somme de ces deux segments comme diamètre, puis restituer la hauteur depuis le point de leur connexion jusqu'à l'intersection avec le cercle. donnera la valeur souhaitée :

Riz. 5. Nature géométrique de la moyenne géométrique (figure de Wikipédia)

Deuxième propriété importante données numériques - leur variation, caractérisant le degré de dispersion des données. Deux échantillons différents peuvent différer à la fois en termes de moyennes et de variances. Cependant, comme le montre la Fig. Comme illustré sur les figures 6 et 7, deux échantillons peuvent avoir les mêmes variations mais des moyennes différentes, ou les mêmes moyennes et des variations complètement différentes. Les données qui correspondent au polygone B sur la Fig. 7, changent beaucoup moins que les données sur lesquelles le polygone A a été construit.

Riz. 6. Deux distributions symétriques en forme de cloche avec le même écart et des valeurs moyennes différentes

Riz. 7. Deux distributions symétriques en forme de cloche avec les mêmes valeurs moyennes et des spreads différents

Il existe cinq estimations de la variation des données :

• portée,
• gamme interquartile,
• dispersion,
• écart-type,
• le coefficient de variation.

Portée

La plage est la différence entre les éléments les plus grands et les plus petits de l'échantillon :

Plage = XMax – XMin.

La fourchette d’un échantillon contenant les rendements annuels moyens de 15 fonds communs de placement à très haut risque peut être calculée à l’aide de la matrice ordonnée (voir figure 4) : Fourchette = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Cela signifie que la différence entre les rendements annuels moyens les plus élevés et les plus bas des fonds à très haut risque est de 24,6 %.

La plage mesure la répartition globale des données. Bien que la plage d'échantillonnage soit une estimation très simple de la répartition globale des données, sa faiblesse est qu'elle ne prend pas en compte exactement la manière dont les données sont réparties entre le minimum et le minimum. éléments maximum. Cet effet est clairement visible sur la Fig. 8, qui illustre des échantillons ayant la même plage. L'échelle B démontre que si un échantillon contient au moins une valeur extrême, la plage d'échantillon est une estimation très imprécise de la répartition des données.

Riz. 8. Comparaison de trois échantillons avec la même gamme ; le triangle symbolise le support de la balance, et son emplacement correspond à la moyenne de l'échantillon

Gamme interquartile

L'intervalle interquartile, ou moyenne, est la différence entre le troisième et le premier quartile de l'échantillon :

Écart interquartile = Q 3 – Q 1

Cette valeur permet d'estimer la dispersion de 50% des éléments et de ne pas prendre en compte l'influence des éléments extrêmes. L’intervalle interquartile d’un échantillon contenant les rendements annuels moyens de 15 fonds communs de placement à très haut risque peut être calculé à l’aide des données de la Fig. 4 (par exemple, pour la fonction QUARTILE.EXC) : Écart interquartile = 9,8 – (–0,7) = 10,5. L'intervalle délimité par les nombres 9,8 et -0,7 est souvent appelé la moitié médiane.

Il est à noter que les valeurs de Q 1 et Q 3 , et donc l'intervalle interquartile, ne dépendent pas de la présence de valeurs aberrantes, puisque leur calcul ne prend en compte aucune valeur qui serait inférieure à Q 1 ou supérieure que Q 3 . Total caractéristiques quantitatives les valeurs telles que la médiane, les premier et troisième quartiles et l'intervalle interquartile qui ne sont pas affectées par les valeurs aberrantes sont appelées mesures robustes.

Bien que l’intervalle et l’intervalle interquartile fournissent respectivement des estimations de la répartition globale et moyenne d’un échantillon, aucune de ces estimations ne prend en compte exactement la manière dont les données sont distribuées. Variance et écart type sont dépourvus de cet inconvénient. Ces indicateurs vous permettent d'évaluer dans quelle mesure les données fluctuent autour de la valeur moyenne. Écart de l'échantillon est une approximation de la moyenne arithmétique calculée à partir des carrés des différences entre chaque élément de l'échantillon et la moyenne de l'échantillon. Pour un échantillon X 1, X 2, ... X n, la variance de l'échantillon (notée par le symbole S 2 est donnée par la formule suivante :

DANS cas général la variance de l'échantillon est la somme des carrés des différences entre les éléments de l'échantillon et la moyenne de l'échantillon, divisée par une valeur égale à la taille de l'échantillon moins un :

Où - moyenne arithmétique, n- taille de l'échantillon, X je - jeème élément de sélection X. Dans Excel avant la version 2007, la fonction =VARIN() était utilisée pour calculer la variance de l'échantillon ; depuis la version 2010, la fonction =VARIAN() est utilisée.

L'estimation la plus pratique et la plus largement acceptée de la diffusion des données est écart type de l'échantillon. Cet indicateur est désigné par le symbole S et est égal à racine carréeà partir de la variance de l'échantillon :

Dans Excel avant la version 2007, la fonction =STDEV.() était utilisée pour calculer l'écart type ; depuis la version 2010, la fonction =STDEV.V() est utilisée. Pour calculer ces fonctions, le tableau de données peut être désordonné.

Ni la variance de l'échantillon ni l'écart type de l'échantillon ne peuvent être négatifs. La seule situation dans laquelle les indicateurs S 2 et S peuvent être nuls est si tous les éléments de l'échantillon sont égaux les uns aux autres. Dans ce cas totalement improbable, l’intervalle et l’intervalle interquartile sont également nuls.

Les données numériques sont intrinsèquement variables. Toute variable peut prendre plusieurs différentes significations. Par exemple, différents fonds communs de placement ont différents indicateurs rentabilité et pertes. En raison de la variabilité des données numériques, il est très important d’étudier non seulement les estimations de la moyenne, qui sont de nature sommaire, mais également les estimations de variance, qui caractérisent la répartition des données.

La dispersion et l'écart type vous permettent d'évaluer la répartition des données autour de la valeur moyenne, en d'autres termes, de déterminer combien d'éléments de l'échantillon sont inférieurs à la moyenne et combien sont supérieurs. La dispersion possède des propriétés mathématiques précieuses. Cependant, sa valeur est le carré de l'unité de mesure - pourcentage carré, dollar carré, pouce carré, etc. Par conséquent, une mesure naturelle de la dispersion est l’écart type, qui est exprimé en unités communes de pourcentage de revenu, en dollars ou en pouces.

L'écart type vous permet d'estimer l'ampleur de la variation des éléments de l'échantillon autour de la valeur moyenne. Dans presque toutes les situations, la majorité des valeurs observées se situent dans la plage de plus ou moins un écart type par rapport à la moyenne. Par conséquent, connaissant la moyenne arithmétique des éléments de l'échantillon et l'écart type de l'échantillon, il est possible de déterminer l'intervalle auquel appartient la majeure partie des données.

L'écart type des rendements des 15 fonds communs de placement à très haut risque est de 6,6 (figure 9). Cela signifie que la rentabilité de la majeure partie des fonds ne diffère pas de plus de 6,6 % de la valeur moyenne (c'est-à-dire qu'elle fluctue dans la plage allant de –S= 6,2 – 6,6 = –0,4 à +S= 12,8). En fait, le rendement annuel moyen sur cinq ans de 53,3 % (8 sur 15) des fonds se situe dans cette fourchette.

Riz. 9. Exemple d'écart type

Notez que lors de la somme des différences au carré, les éléments de l’échantillon les plus éloignés de la moyenne sont plus pondérés que les éléments plus proches de la moyenne. Cette propriété est la principale raison pour laquelle la moyenne arithmétique est le plus souvent utilisée pour estimer la moyenne d'une distribution.

Le coefficient de variation

Contrairement aux estimations précédentes de dispersion, le coefficient de variation est une estimation relative. Elle est toujours mesurée en pourcentage et non dans les unités des données originales. Le coefficient de variation, désigné par les symboles CV, mesure la dispersion des données autour de la moyenne. Le coefficient de variation est égal à l'écart type divisé par la moyenne arithmétique et multiplié par 100 % :

Où S- écart type de l'échantillon, - moyenne de l'échantillon.

Le coefficient de variation permet de comparer deux échantillons dont les éléments sont exprimés dans des unités de mesure différentes. Par exemple, le gestionnaire d'un service de livraison de courrier compte renouveler sa flotte de camions. Lors du chargement de colis, il y a deux restrictions à considérer : le poids (en livres) et le volume (en pieds cubes) de chaque colis. Supposons que dans un échantillon contenant 200 sacs, le poids moyen est de 26,0 livres, l'écart type du poids est de 3,9 livres, le volume moyen du sac est de 8,8 pieds cubes et l'écart type du volume est de 2,2 pieds cubes. Comment comparer la variation de poids et de volume des colis ?

Les unités de mesure du poids et du volume étant différentes les unes des autres, le gestionnaire doit comparer la répartition relative de ces quantités. Le coefficient de variation de poids est CV W = 3,9 / 26,0 * 100 % = 15 %, et le coefficient de variation de volume est CV V = 2,2 / 8,8 * 100 % = 25 %. Ainsi, la variation relative du volume des paquets est bien supérieure à la variation relative de leur poids.

Formulaire de distribution

La troisième propriété importante d’un échantillon est la forme de sa distribution. Cette répartition peut être symétrique ou asymétrique. Pour décrire la forme d’une distribution, il est nécessaire de calculer sa moyenne et sa médiane. Si les deux sont identiques, la variable est considérée comme distribuée symétriquement. Si la valeur moyenne d'une variable est supérieure à la médiane, sa distribution présente une asymétrie positive (Fig. 10). Si la médiane est supérieure à la moyenne, la distribution de la variable est asymétrique négativement. Une asymétrie positive se produit lorsque la moyenne augmente jusqu'à des valeurs inhabituellement élevées. Une asymétrie négative se produit lorsque la moyenne diminue jusqu'à des valeurs inhabituellement faibles. Une variable est distribuée symétriquement si elle ne prend aucune valeur extrême dans les deux sens, de sorte que les valeurs grandes et petites de la variable s'annulent.

Riz. 10. Trois types de distributions

Les données affichées sur l’échelle A sont négativement biaisées. Cette figure montre une longue queue et une biaise vers la gauche provoquée par la présence de valeurs inhabituellement petites. Ces valeurs extrêmement petites déplacent la valeur moyenne vers la gauche, la rendant inférieure à la médiane. Les données affichées sur l'échelle B sont réparties symétriquement. Les moitiés gauche et droite de la distribution sont les leurs reflets du miroir. Les valeurs grandes et petites s'équilibrent, et la moyenne et la médiane sont égales. Les données affichées sur l’échelle B sont positivement asymétriques. Cette figure montre une longue queue et une inclinaison vers la droite provoquée par la présence de valeurs inhabituellement élevées. Ces valeurs trop grandes déplacent la moyenne vers la droite, la rendant plus grande que la médiane.

Dans Excel, des statistiques descriptives peuvent être obtenues à l'aide d'un complément Pack d'analyse. Parcourez le menu Données → L'analyse des données, dans la fenêtre qui s'ouvre, sélectionnez la ligne Statistiques descriptives et cliquez D'accord. Dans la fenêtre Statistiques descriptives assurez-vous d'indiquer Intervalle de saisie(Fig. 11). Si vous souhaitez voir les statistiques descriptives sur la même feuille que les données d'origine, sélectionnez le bouton radio Intervalle de sortie et précisez la cellule où doit être placé le coin supérieur gauche des statistiques affichées (dans notre exemple, $C$1). Si vous souhaitez exporter des données vers une nouvelle feuille ou nouveau livre, sélectionnez simplement le commutateur approprié. Cochez la case à côté Statistiques récapitulatives. Si vous le souhaitez, vous pouvez également choisir Niveau de difficulté,le plus petit etle plus grand.

Si en dépôt Données dans la zone Analyse tu ne vois pas l'icône L'analyse des données, vous devez d'abord installer le module complémentaire Pack d'analyse(voir, par exemple).

Riz. 11. Statistiques descriptives des rendements annuels moyens sur cinq ans des fonds présentant des niveaux de risque très élevés, calculées à l'aide du complément L'analyse des données Programmes Excel

Excel calcule un certain nombre de statistiques évoquées ci-dessus : moyenne, médiane, mode, écart type, variance, plage ( intervalle), minimum, maximum et taille de l'échantillon ( vérifier). Excel calcule également certaines statistiques qui sont nouvelles pour nous : l'erreur standard, l'aplatissement et l'asymétrie. Erreur standardégal à l’écart type divisé par la racine carrée de la taille de l’échantillon. Asymétrie caractérise l'écart par rapport à la symétrie de la distribution et est une fonction qui dépend du cube des différences entre les éléments de l'échantillon et la valeur moyenne. L'aplatissement est une mesure de la concentration relative des données autour de la moyenne par rapport aux queues de la distribution et dépend des différences entre les éléments de l'échantillon et la moyenne élevée à la puissance quatre.

Calculer des statistiques descriptives pour une population

La moyenne, l'étendue et la forme de la distribution discutée ci-dessus sont des caractéristiques déterminées à partir de l'échantillon. Cependant, si l’ensemble de données contient des mesures numériques de l’ensemble de la population, ses paramètres peuvent être calculés. Ces paramètres incluent la valeur attendue, la dispersion et l’écart type de la population.

Valeur attendueégal à la somme de toutes les valeurs de la population divisée par la taille de la population :

Où µ - valeur attendue, Xje- jeème observation de la variable X, N- le volume de la population générale. Dans Excel, pour calculer l'espérance mathématique, on utilise la même fonction que pour la moyenne arithmétique : =AVERAGE().

Variance de la populationégal à la somme des carrés des différences entre les éléments de la population générale et le tapis. attente divisée par la taille de la population :

Où σ 2– la dispersion de la population générale. Dans Excel antérieur à la version 2007, la fonction =VARP() est utilisée pour calculer la variance d'une population, à partir de la version 2010 =VARP().

Écart type de la populationégal à la racine carrée de la variance de la population :

Dans Excel antérieur à la version 2007, la fonction =STDEV() est utilisée pour calculer l'écart type d'une population, à partir de la version 2010 =STDEV.Y(). Notez que les formules pour la variance de la population et l'écart type sont différentes des formules de calcul de la variance et de l'écart type de l'échantillon. Lors du calcul des statistiques d'échantillonnage S2 Et S le dénominateur de la fraction est n – 1, et lors du calcul des paramètres σ 2 Et σ - volume de la population générale N.

Règle générale

Dans la plupart des situations, une grande proportion d’observations est concentrée autour de la médiane, formant un cluster. Dans les ensembles de données avec une asymétrie positive, ce groupe est situé à gauche (c'est-à-dire en dessous) de l'espérance mathématique, et dans les ensembles avec une asymétrie négative, ce groupe est situé à droite (c'est-à-dire au-dessus) de l'espérance mathématique. Pour les données symétriques, la moyenne et la médiane sont identiques et les observations se regroupent autour de la moyenne, formant une distribution en forme de cloche. Si la distribution n'est pas clairement asymétrique et que les données sont concentrées autour d'un centre de gravité, une règle empirique qui peut être utilisée pour estimer la variabilité est que si les données ont une distribution en forme de cloche, alors environ 68 % des observations se situent dans un écart type de la valeur attendue. Environ 95 % des observations ne sont pas à plus de deux écarts types de l'espérance mathématique et 99,7 % des observations ne sont pas à plus de trois écarts types de l'espérance mathématique.

Ainsi, l’écart type, qui est une estimation de la variation moyenne autour de la valeur attendue, permet de comprendre comment les observations sont distribuées et d’identifier les valeurs aberrantes. La règle générale est que pour les distributions en forme de cloche, seule une valeur sur vingt diffère de l’espérance mathématique de plus de deux écarts types. Par conséquent, les valeurs en dehors de l'intervalle µ ± 2σ, peuvent être considérées comme des valeurs aberrantes. De plus, seules trois observations sur 1 000 diffèrent des attentes mathématiques de plus de trois écarts types. Ainsi, les valeurs en dehors de l'intervalle µ ± 3σ sont presque toujours des valeurs aberrantes. Pour les distributions très asymétriques ou non en forme de cloche, la règle empirique de Bienamay-Chebyshev peut être appliquée.

Il y a plus de cent ans, les mathématiciens Bienamay et Chebyshev ont découvert indépendamment propriété utileécart-type. Ils ont constaté que pour tout ensemble de données, quelle que soit la forme de la distribution, le pourcentage d'observations situées à une distance de kécarts types par rapport aux attentes mathématiques, pas moins (1 – 1/ k2)*100%.

Par exemple, si k= 2, la règle de Bienname-Chebyshev stipule qu'au moins (1 – (1/2) 2) x 100 % = 75 % des observations doivent se situer dans l'intervalle µ ± 2σ. Cette règle est vraie pour tout k, dépassant un. La règle de Bienamay-Chebyshev est très générale et valable pour les distributions de tout type. Il précise le nombre minimum d'observations dont la distance à l'espérance mathématique ne dépasse pas une valeur spécifiée. Cependant, si la distribution est en forme de cloche, la règle empirique estime plus précisément la concentration des données autour de la valeur attendue.

Calcul de statistiques descriptives pour une distribution basée sur la fréquence

Si les données originales ne sont pas disponibles, la distribution de fréquence devient la seule source d'information. Dans de telles situations, il est possible de calculer des valeurs approximatives d'indicateurs quantitatifs de distribution, tels que la moyenne arithmétique, l'écart type et les quartiles.

Si les données d'échantillon sont représentées sous la forme d'une distribution de fréquence, une approximation de la moyenne arithmétique peut être calculée en supposant que toutes les valeurs de chaque classe sont concentrées au milieu de la classe :

Où - moyenne de l'échantillon, n- nombre d'observations, ou taille de l'échantillon, Avec- nombre de classes dans la distribution de fréquence, mj- point médian jème classe, Fj- fréquence correspondante j-ème classe.

Pour calculer l'écart type par rapport à une distribution de fréquence, on suppose également que toutes les valeurs de chaque classe sont concentrées au milieu de la classe.

Pour comprendre comment les quartiles d'une série sont déterminés en fonction des fréquences, considérons le calcul du quartile inférieur basé sur les données de 2013 sur la répartition de la population russe selon le revenu monétaire moyen par habitant (Fig. 12).

Riz. 12. Part de la population russe avec un revenu monétaire moyen par habitant et par mois, en roubles

Pour calculer le premier quartile de l'intervalle série de variations tu peux utiliser la formule :

où Q1 est la valeur du premier quartile, xQ1 est la limite inférieure de l'intervalle contenant le premier quartile (l'intervalle est déterminé par la fréquence cumulée qui dépasse d'abord 25 %) ; je – valeur d'intervalle ; Σf – somme des fréquences de l'ensemble de l'échantillon ; probablement toujours égal à 100 % ; SQ1–1 – fréquence cumulée de l'intervalle précédant l'intervalle contenant le quartile inférieur ; fQ1 – fréquence de l'intervalle contenant le quartile inférieur. La formule pour le troisième quartile diffère en ce sens qu'à tous les endroits, vous devez utiliser Q3 au lieu de Q1 et remplacer ¾ au lieu de ¼.

Dans notre exemple (Fig. 12), le quartile inférieur est compris entre 7 000,1 et 10 000, dont la fréquence cumulée est de 26,4 %. La limite inférieure de cet intervalle est de 7 000 roubles, la valeur de l'intervalle est de 3 000 roubles, la fréquence cumulée de l'intervalle précédant l'intervalle contenant le quartile inférieur est de 13,4 %, la fréquence de l'intervalle contenant le quartile inférieur est de 13,0 %. Ainsi : Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 frotter.

Pièges associés aux statistiques descriptives

Dans cet article, nous avons examiné comment décrire un ensemble de données à l'aide de diverses statistiques évaluant sa moyenne, sa répartition et sa distribution. La prochaine étape est l’analyse et l’interprétation des données. Jusqu'à présent, nous avons étudié les propriétés objectives des données, et maintenant nous passons à leur interprétation subjective. Le chercheur est confronté à deux erreurs : un sujet d'analyse mal choisi et une mauvaise interprétation des résultats.

L’analyse des rendements de 15 fonds communs de placement à très haut risque est assez impartiale. Il a abouti à des conclusions tout à fait objectives : tous les fonds communs de placement ont des rendements différents, l'écart de rendement des fonds varie de -6,1 à 18,5 et le rendement moyen est de 6,08. L'objectivité de l'analyse des données est assurée le bon choix indicateurs quantitatifs totaux de distribution. Plusieurs méthodes d'estimation de la moyenne et de la dispersion des données ont été envisagées et leurs avantages et inconvénients ont été indiqués. Comment choisir les bonnes statistiques pour fournir une analyse objective et impartiale ? Si la distribution des données est légèrement asymétrique, devriez-vous choisir la médiane plutôt que la moyenne ? Quel indicateur caractérise le plus précisément la diffusion des données : écart type ou plage ? Faut-il souligner que la distribution est positivement asymétrique ?

D’un autre côté, l’interprétation des données est un processus subjectif. Personnes différentes arrivent à des conclusions différentes en interprétant les mêmes résultats. Chacun a son propre point de vue. Quelqu'un considère comme bons les rendements annuels moyens totaux de 15 fonds présentant un niveau de risque très élevé et est assez satisfait des revenus perçus. D’autres peuvent penser que ces fonds ont des rendements trop faibles. Ainsi, la subjectivité doit être compensée par l’honnêteté, la neutralité et la clarté des conclusions.

Questions éthiques

L’analyse des données est inextricablement liée aux questions éthiques. Vous devez être critique à l'égard des informations diffusées par les journaux, la radio, la télévision et Internet. Au fil du temps, vous apprendrez à être sceptique non seulement quant aux résultats, mais également quant aux objectifs, au sujet et à l’objectivité de la recherche. Le célèbre homme politique britannique Benjamin Disraeli l’a très bien dit : « Il existe trois sortes de mensonges : les mensonges, les maudits mensonges et les statistiques. »

Comme indiqué dans la note, des questions éthiques se posent lors du choix des résultats qui doivent être présentés dans le rapport. Les résultats positifs et négatifs doivent être publiés. De plus, lors de la rédaction d’un rapport ou d’un rapport écrit, les résultats doivent être présentés de manière honnête, neutre et objective. Il y a une distinction à faire entre les présentations infructueuses et malhonnêtes. Pour ce faire, il est nécessaire de déterminer quelles étaient les intentions de l’orateur. Parfois, l'orateur omet des informations importantes par ignorance, et parfois c'est délibéré (par exemple, s'il utilise la moyenne arithmétique pour estimer la moyenne de données clairement asymétriques afin d'obtenir le résultat souhaité). Il est également malhonnête de supprimer des résultats qui ne correspondent pas au point de vue du chercheur.

Des documents du livre Levin et al. Statistics for Managers sont utilisés. – M. : Williams, 2004. – p. 178-209

La fonction QUARTILE a été conservée pour des raisons de compatibilité avec les versions antérieures d'Excel.

En mathématiques, la moyenne arithmétique des nombres (ou simplement la moyenne) est la somme de tous les nombres d'un ensemble donné divisée par le nombre de nombres. Il s'agit de la notion de valeur moyenne la plus généralisée et la plus répandue. Comme vous l'avez déjà compris, pour trouver la moyenne, vous devez additionner tous les nombres qui vous sont donnés et diviser le résultat obtenu par le nombre de termes.

Quelle est la moyenne arithmétique ?

Regardons un exemple.

Exemple 1. Nombres donnés : 6, 7, 11. Vous devez trouver leur valeur moyenne.

Solution.

Tout d’abord, trouvons la somme de tous ces nombres.

Divisez maintenant la somme obtenue par le nombre de termes. Puisque nous avons trois termes, nous diviserons donc par trois.

La moyenne des nombres 6, 7 et 11 est donc 8. Pourquoi 8 ? Oui, car la somme de 6, 7 et 11 équivaudra à trois huit. Cela se voit clairement sur l’illustration.

La moyenne, c’est un peu comme « égaliser » une série de chiffres. Comme vous pouvez le constater, les piles de crayons sont devenues au même niveau.

Regardons un autre exemple pour consolider les connaissances acquises.

Exemple 2. Nombres donnés : 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Vous devez trouver leur moyenne arithmétique.

Solution.

Trouvez le montant.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Divisez par le nombre de termes (dans ce cas - 15).

La valeur moyenne de cette série de nombres est donc 22.

Considérons maintenant nombres négatifs. Rappelons comment les résumer. Par exemple, vous avez deux nombres 1 et -4. Trouvons leur somme.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Sachant cela, regardons un autre exemple.

Exemple 3. Trouvez la valeur moyenne d'une série de nombres : 3, -7, 5, 13, -2.

Solution.

Trouvez la somme des nombres.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Puisqu’il y a 5 termes, divisez la somme obtenue par 5.

Par conséquent, la moyenne arithmétique des nombres 3, -7, 5, 13, -2 est 2,4.

A notre époque de progrès technologique, il est beaucoup plus pratique d'utiliser pour trouver la valeur moyenne logiciels d'ordinateur. Microsoft Office Excel en fait partie. Trouver la moyenne dans Excel est simple et rapide. De plus, ce programme est inclus dans le progiciel Microsoft Office. Examinons une brève instruction sur la façon de trouver la moyenne arithmétique à l'aide de ce programme.

Afin de calculer la valeur moyenne d'une série de nombres, vous devez utiliser la fonction MOYENNE. La syntaxe de cette fonction est la suivante :
= Moyenne(argument1, argument2, ... argument255)
où argument1, argument2, ... argument255 sont soit des nombres, soit des références de cellules (par cellules, nous entendons des plages et des tableaux).

Pour que ce soit plus clair, testons les connaissances que nous avons acquises.

1. Entrez les nombres 11, 12, 13, 14, 15, 16 dans les cellules C1 – C6.
2. Sélectionnez la cellule C7 en cliquant dessus. Dans cette cellule, nous afficherons la valeur moyenne.
3. Cliquez sur l'onglet Formules.
4. Sélectionnez Plus de fonctions > Statistiques pour ouvrir la liste déroulante.
5. Sélectionnez MOYENNE. Après cela, une boîte de dialogue devrait s'ouvrir.
6. Sélectionnez et faites glisser les cellules C1 à C6 pour définir la plage dans la boîte de dialogue.
7. Confirmez vos actions avec le bouton "OK".
8. Si vous avez tout fait correctement, vous devriez avoir la réponse dans la cellule C7 – 13.7. Lorsque vous cliquez sur la cellule C7, la fonction (=Moyenne(C1:C6)) apparaîtra dans la barre de formule.

Cette fonctionnalité est très utile pour la comptabilité, les factures ou lorsque vous avez simplement besoin de trouver la moyenne d'une très longue série de chiffres. C’est pourquoi il est souvent utilisé dans les bureaux et les grandes entreprises. Cela vous permet de garder vos registres en ordre et de calculer rapidement quelque chose (par exemple, le revenu mensuel moyen). Vous pouvez également utiliser Excel pour trouver la valeur moyenne d'une fonction.

Moyenne

Ce terme a d'autres significations, voir signification moyenne.

Moyenne(en mathématiques et en statistiques) ensembles de nombres - la somme de tous les nombres divisée par leur nombre. C'est l'une des mesures de tendance centrale les plus courantes.

Elle a été proposée (avec la moyenne géométrique et la moyenne harmonique) par les Pythagoriciens.

Les cas particuliers de la moyenne arithmétique sont la moyenne (population générale) et la moyenne de l'échantillon (échantillon).

Introduction

Notons l'ensemble des données X = (X 1 , X 2 , …, X n), alors la moyenne de l'échantillon est généralement indiquée par une barre horizontale au-dessus de la variable (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), prononcée " X avec une ligne").

La lettre grecque μ est utilisée pour désigner la moyenne arithmétique de l’ensemble de la population. Pour une variable aléatoire dont la valeur moyenne est déterminée, μ est moyenne probabiliste ou l'espérance mathématique d'une variable aléatoire. Si l'ensemble X est une collection de nombres aléatoires avec une moyenne probabiliste μ, alors pour tout échantillon X je de cet ensemble μ = E( X je) est l'espérance mathématique de cet échantillon.

En pratique, la différence entre μ et x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) est que μ est une variable typique car vous pouvez voir un échantillon plutôt que la population entière. Par conséquent, si l'échantillon est représenté de manière aléatoire (en termes de théorie des probabilités), alors x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (mais pas μ) peut être traité comme une variable aléatoire ayant une distribution de probabilité sur l'échantillon ( la distribution de probabilité de la moyenne).

Ces deux quantités sont calculées de la même manière :

X ¯ = 1 n ∑ je = 1 n x je = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Si X est une variable aléatoire, alors l'espérance mathématique X peut être considéré comme la moyenne arithmétique des valeurs lors de mesures répétées d'une quantité X. C'est une manifestation de la loi grands nombres. Par conséquent, la moyenne de l’échantillon est utilisée pour estimer la valeur attendue inconnue.

Il a été prouvé en algèbre élémentaire que la moyenne n+ 1 chiffres au dessus de la moyenne n nombres si et seulement si le nouveau nombre est supérieur à l'ancienne moyenne, moins si et seulement si le nouveau nombre est inférieur à la moyenne, et ne change pas si et seulement si le nouveau nombre est égal à la moyenne. Le plus n, plus la différence entre les nouvelles et anciennes moyennes est faible.

Notez qu'il existe plusieurs autres « moyennes » disponibles, notamment la moyenne de puissance, la moyenne de Kolmogorov, la moyenne harmonique, la moyenne arithmétique-géométrique et diverses moyennes pondérées (par exemple, moyenne arithmétique pondérée, moyenne géométrique pondérée, moyenne harmonique pondérée).

Exemples

• Pour trois nombres, il faut les additionner et diviser par 3 :

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Pour quatre nombres, il faut les additionner et diviser par 4 :

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Ou plus simple 5+5=10, 10:2. Parce que nous ajoutions 2 nombres, ce qui signifie combien de nombres nous ajoutons, nous divisons par ce nombre.

Variable aléatoire continue

Pour une quantité distribuée continuellement f (x) (\displaystyle f(x)), la moyenne arithmétique sur l'intervalle [ a ; b ] (\displaystyle ) est déterminé par une intégrale définie :

F (x) ¯ [ une ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Quelques problèmes d'utilisation de la moyenne

Manque de robustesse

Article principal : Robustesse des statistiques

Bien que les moyennes arithmétiques soient souvent utilisées comme moyennes ou tendances centrales, ce concept ne constitue pas une statistique robuste, ce qui signifie que la moyenne arithmétique est fortement influencée par les « grands écarts ». Il est à noter que pour les distributions avec un coefficient d'asymétrie élevé, la moyenne arithmétique peut ne pas correspondre au concept de « moyenne », et les valeurs de la moyenne issues de statistiques robustes (par exemple, la médiane) peuvent mieux décrire la centrale tendance.

Un exemple classique est le calcul du revenu moyen. La moyenne arithmétique peut être interprétée à tort comme une médiane, ce qui peut conduire à la conclusion qu'il y a plus de personnes ayant des revenus plus élevés qu'il n'y en a réellement. Le revenu « moyen » est interprété comme signifiant que la plupart des gens ont des revenus autour de ce chiffre. Ce revenu « moyen » (au sens de moyenne arithmétique) est supérieur aux revenus de la plupart des gens, car un revenu élevé avec un écart important par rapport à la moyenne rend la moyenne arithmétique très asymétrique (en revanche, le revenu moyen au niveau médian « résiste » à un tel biais). Cependant, ce revenu « moyen » ne dit rien sur le nombre de personnes proches du revenu médian (ni sur le nombre de personnes proches du revenu modal). Cependant, si l’on prend à la légère les concepts de « moyenne » et de « la plupart des gens », on peut conclure à tort que la plupart des gens ont des revenus plus élevés qu’ils ne le sont en réalité. Par exemple, un rapport sur le revenu net « moyen » à Medina, Washington, calculé comme la moyenne arithmétique de tous les revenus nets annuels des résidents, donnera de manière surprenante grand nombreà cause de Bill Gates. Considérons l'échantillon (1, 2, 2, 2, 3, 9). La moyenne arithmétique est de 3,17, mais cinq valeurs sur six se situent en dessous de cette moyenne.

Intérêts composés

Article principal : Retour sur investissement

Si les chiffres multiplier, mais non pli, vous devez utiliser la moyenne géométrique et non la moyenne arithmétique. Le plus souvent, cet incident se produit lors du calcul du retour sur investissement en finance.

Par exemple, si un titre a chuté de 10 % la première année et a augmenté de 30 % la seconde, il est alors incorrect de calculer l'augmentation « moyenne » sur ces deux années comme la moyenne arithmétique (−10 % + 30 %) / 2 = 10 % ; la moyenne correcte dans ce cas est donnée par le taux de croissance annuel composé, qui donne un taux de croissance annuel d'environ 8,16653826392 % seulement ≈ 8,2 %.

La raison en est que les pourcentages ont à chaque fois un nouveau point de départ : 30 % est 30 % à partir d'un nombre inférieur au prix de début de première année : si une action démarre à 30 $ et chute de 10 %, elle vaut 27 $ au début de la deuxième année. Si le titre augmentait de 30 %, il vaudrait 35,1 $ à la fin de la deuxième année. La moyenne arithmétique de cette croissance est de 10%, mais comme le titre n'a augmenté que de 5,1$ sur 2 ans, la croissance moyenne de 8,2% donne un résultat final de 35,1$ :

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Si nous utilisons la moyenne arithmétique de 10 % de la même manière, nous n'obtiendrons pas la valeur réelle : [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Intérêts composés au bout de 2 ans : 90 % * 130 % = 117 %, soit l'augmentation totale est de 17 %, et l'intérêt composé annuel moyen est de 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\environ 108,2\%) , soit une augmentation annuelle moyenne de 8,2 %.

Directions

Article principal : Statistiques des destinations

Lors du calcul de la moyenne arithmétique d'une variable qui change de manière cyclique (telle que la phase ou l'angle), une attention particulière doit être prise. Par exemple, la moyenne de 1° et 359° serait 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ce numéro est incorrect pour deux raisons.

• Premièrement, mesures angulaires sont définis uniquement pour la plage de 0° à 360° (ou de 0 à 2π lorsqu'ils sont mesurés en radians). Ainsi, la même paire de nombres pourrait s’écrire (1° et −1°) ou (1° et 719°). Les valeurs moyennes de chaque paire seront différentes : 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ )) .
• Deuxièmement, dans ce cas, une valeur de 0° (équivalent à 360°) sera une valeur moyenne géométriquement meilleure, puisque les nombres s'écartent moins de 0° que de toute autre valeur (la valeur 0° a la plus petite variance). Comparer:
  • le chiffre 1° ne s'écarte de 0° que de 1° ;
  • le chiffre 1° s'écarte de la moyenne calculée de 180° de 179°.

La valeur moyenne d'une variable cyclique calculée à l'aide de la formule ci-dessus sera artificiellement décalée par rapport à la moyenne réelle vers le milieu de la plage numérique. Pour cette raison, la moyenne est calculée d'une manière différente, à savoir que le nombre présentant la plus petite variance (le point central) est sélectionné comme valeur moyenne. De plus, au lieu de la soustraction, la distance modulaire (c'est-à-dire la distance circonférentielle) est utilisée. Par exemple, la distance modulaire entre 1° et 359° est de 2° et non de 358° (sur le cercle entre 359° et 360°==0° - un degré, entre 0° et 1° - également 1°, au total - 2°).

Moyenne pondérée : qu'est-ce que c'est et comment la calculer ?

En étudiant les mathématiques, les écoliers se familiarisent avec le concept de moyenne arithmétique. Plus tard, en statistique et dans certaines autres sciences, les étudiants sont confrontés au calcul d'autres valeurs moyennes. Que peuvent-ils être et en quoi diffèrent-ils les uns des autres ?

Moyennes : signification et différences

Des indicateurs précis ne permettent pas toujours de comprendre la situation. Afin d'évaluer une situation particulière, il est parfois nécessaire d'analyser grande quantité Nombres Et puis les moyennes viennent à la rescousse. Ils nous permettent d’évaluer la situation dans son ensemble.

Depuis l’école, de nombreux adultes se souviennent de l’existence de la moyenne arithmétique. C'est très simple à calculer : la somme d'une séquence de n termes est divisée par n. Autrement dit, si vous devez calculer la moyenne arithmétique dans la séquence de valeurs 27, 22, 34 et 37, vous devez alors résoudre l'expression (27+22+34+37)/4, puisque 4 valeurs sont utilisés dans les calculs. Dans ce cas, la valeur requise sera 30.

Souvent à l'intérieur cours scolaire La moyenne géométrique est également étudiée. Le calcul de cette valeur repose sur l’extraction de la nième racine du produit de n termes. Si l'on prend les mêmes nombres : 27, 22, 34 et 37, alors le résultat des calculs sera égal à 29,4.

Moyenne harmonique dans lycée ne fait généralement pas l’objet d’études. Cependant, il est utilisé assez souvent. Cette valeur est l'inverse de la moyenne arithmétique et est calculée comme le quotient de n - le nombre de valeurs et la somme 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n. Si nous prenons à nouveau la même série de nombres pour le calcul, alors l'harmonique sera de 29,6.

Moyenne pondérée : caractéristiques

Cependant, toutes les valeurs ci-dessus ne peuvent pas être utilisées partout. Par exemple, en statistique, lors du calcul de certaines moyennes, le « poids » de chaque nombre utilisé dans les calculs joue un rôle important. Les résultats sont plus indicatifs et corrects, car ils prennent en compte Plus d'information. Ce groupe de quantités est Nom commun"moyenne pondérée". Ils ne sont pas enseignés à l’école, cela vaut donc la peine de les examiner plus en détail.

Tout d’abord, il convient de dire ce que l’on entend par « poids » d’une valeur particulière. La façon la plus simple d'expliquer cela est exemple spécifique. Deux fois par jour à l'hôpital, la température corporelle de chaque patient est mesurée. Sur 100 patients dans différents services de l'hôpital, 44 auront une température normale - 36,6 degrés. 30 autres auront une valeur augmentée - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39 et les deux autres - 40. Et si nous prenons la moyenne arithmétique, alors cette valeur en général pour l'hôpital sera supérieure à 38 degrés! Mais près de la moitié des patients ont une température tout à fait normale. Et ici, il serait plus correct d'utiliser une moyenne pondérée, et le « poids » de chaque valeur serait le nombre de personnes. Dans ce cas, le résultat du calcul sera de 37,25 degrés. La différence est évidente.

Dans le cas de calculs de moyenne pondérée, le « poids » peut être considéré comme le nombre d'envois, le nombre de personnes travaillant un jour donné, en général, tout ce qui peut être mesuré et affecter le résultat final.

Variétés

La moyenne pondérée est liée à la moyenne arithmétique évoquée au début de l'article. Cependant, la première valeur, comme déjà mentionné, prend également en compte le poids de chaque nombre utilisé dans les calculs. De plus, il existe également des valeurs géométriques et harmoniques pondérées.

Il existe une autre variante intéressante utilisée dans les séries de nombres. Il s'agit deà propos d’une moyenne mobile pondérée. C'est sur cette base que les tendances sont calculées. Outre les valeurs elles-mêmes et leur poids, la périodicité y est également utilisée. Et lors du calcul de la valeur moyenne à un moment donné, les valeurs des périodes précédentes sont également prises en compte.

Calculer toutes ces valeurs n'est pas si difficile, mais en pratique, seule la moyenne pondérée ordinaire est généralement utilisée.

Méthodes de calcul

À l’ère de l’informatisation généralisée, il n’est pas nécessaire de calculer manuellement la moyenne pondérée. Il serait cependant utile de connaître la formule de calcul afin de pouvoir vérifier et, si nécessaire, ajuster les résultats obtenus.

Le moyen le plus simple est d'envisager le calcul à l'aide d'un exemple précis.

Il est nécessaire de connaître quel est le salaire moyen dans cette entreprise, en tenant compte du nombre de travailleurs percevant l'un ou l'autre salaire.

Ainsi, la moyenne pondérée est calculée à l'aide de la formule suivante :

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Par exemple, le calcul serait le suivant :

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Évidemment, il n’y a pas de difficulté particulière à calculer manuellement la moyenne pondérée. La formule pour calculer cette valeur dans l'une des applications de formules les plus populaires - Excel - ressemble à la fonction SUMPRODUCT (série de nombres ; série de poids) / SUM (série de poids).

Comment trouver la moyenne dans Excel ?

comment trouver la moyenne arithmétique dans Excel ?

Vladimir09854

Aussi facile que la tarte. Pour trouver la moyenne dans Excel, vous n’avez besoin que de 3 cellules. Dans le premier, nous écrirons un numéro, dans le second, un autre. Et dans la troisième cellule, nous entrerons une formule qui nous donnera la valeur moyenne entre ces deux nombres de la première et de la deuxième cellule. Si la cellule n° 1 s'appelle A1, la cellule n° 2 s'appelle B1, alors dans la cellule avec la formule, vous devez écrire ceci :

Cette formule calcule la moyenne arithmétique de deux nombres.

Pour rendre nos calculs plus beaux, nous pouvons mettre en évidence les cellules avec des lignes, en forme de plaque.

Dans Excel lui-même, il existe également une fonction pour déterminer la valeur moyenne, mais j'utilise la méthode à l'ancienne et saisis la formule dont j'ai besoin. Ainsi, je suis sûr qu'Excel calculera exactement ce dont j'ai besoin et ne proposera pas sa propre sorte d'arrondi.

M3sergey

C'est très simple si les données sont déjà saisies dans les cellules. Si vous n'êtes intéressé que par un nombre, sélectionnez simplement la ou les plages souhaitées, et la valeur de la somme de ces nombres, leur moyenne arithmétique et leur nombre apparaîtront en bas à droite dans la barre d'état.

Vous pouvez sélectionner une cellule vide, cliquer sur le triangle (liste déroulante) « Somme automatique » et y sélectionner « Moyenne », après quoi vous accepterez la plage de calcul proposée, ou sélectionner la vôtre.

Enfin, vous pouvez utiliser des formules directement en cliquant sur "Insérer une fonction" à côté de la barre de formule et de l'adresse de la cellule. La fonction MOYENNE se trouve dans la catégorie « Statistiques » et prend comme arguments à la fois des nombres et des références de cellules, etc. Vous pouvez également y sélectionner des options plus complexes, par exemple AVERAGEIF - calculer la moyenne en fonction de la condition.

Trouver la valeur moyenne dans Excel est une tâche assez simple. Ici, vous devez comprendre si vous souhaitez ou non utiliser cette valeur moyenne dans certaines formules.

Si vous avez seulement besoin d'obtenir la valeur, sélectionnez simplement la plage de nombres requise, après quoi Excel calculera automatiquement la valeur moyenne - elle sera affichée dans la barre d'état, la rubrique « Moyenne ».

Dans le cas où vous souhaitez utiliser le résultat dans des formules, vous pouvez faire ceci :

1) Additionnez les cellules à l’aide de la fonction SOMME et divisez le tout par le nombre de nombres.

2) Une option plus correcte consiste à utiliser une fonction spéciale appelée MOYENNE. Les arguments de cette fonction peuvent être des nombres spécifiés séquentiellement ou une plage de nombres.

Vladimir Tikhonov

Encerclez les valeurs qui participeront au calcul, cliquez sur l'onglet « Formules », là vous verrez à gauche il y a « AutoSum » et à côté un triangle pointant vers le bas. Cliquez sur ce triangle et sélectionnez "Moyen". Voila, c'est fait) en bas de la colonne vous verrez la valeur moyenne :)

Ekaterina Moutalapova

Commençons par le début et dans l'ordre. Que signifie la moyenne ?

La moyenne est une valeur qui est la moyenne arithmétique, c'est-à-dire est calculé en additionnant un ensemble de nombres, puis en divisant la somme totale des nombres par leur nombre. Par exemple, pour les nombres 2, 3, 6, 7, 2 il y aura 4 (la somme des nombres 20 est divisée par leur nombre 5)

Dans un tableur Excel, pour moi personnellement, le plus simple était d'utiliser la formule = MOYENNE. Pour calculer la valeur moyenne, vous devez saisir des données dans le tableau, écrire la fonction =AVERAGE() sous la colonne de données et indiquer la plage de nombres dans les cellules entre parenthèses, en mettant en évidence la colonne avec les données. Après cela, appuyez sur ENTRÉE ou faites simplement un clic gauche sur n'importe quelle cellule. Le résultat apparaît dans la cellule sous la colonne. Cela semble décrit de manière incompréhensible, mais en fait, ce n’est qu’une question de minutes.

Aventurier 2000

Excel est un programme varié, il existe donc plusieurs options qui vous permettront de trouver des moyennes :

Première option. Vous additionnez simplement toutes les cellules et divisez par leur nombre ;

Deuxième option. Utilisez une commande spéciale, écrivez la formule « = MOYENNE (et indiquez ici la plage de cellules) » dans la cellule souhaitée ;

Troisième option. Si vous sélectionnez la plage requise, veuillez noter que sur la page ci-dessous, la valeur moyenne dans ces cellules est également affichée.

Ainsi, il existe de nombreuses façons de trouver la moyenne, il vous suffit de choisir celle qui vous convient le mieux et de l'utiliser constamment.

Dans Excel, vous pouvez utiliser la fonction MOYENNE pour calculer la moyenne arithmétique simple. Pour ce faire, vous devez saisir un certain nombre de valeurs. Appuyez sur égal et sélectionnez Statistiques dans la Catégorie, parmi lesquelles sélectionnez la fonction MOYENNE

De plus, à l'aide de formules statistiques, vous pouvez calculer la moyenne arithmétique pondérée, considérée comme plus précise. Pour le calculer, nous avons besoin des valeurs des indicateurs et de la fréquence.

Comment trouver la moyenne dans Excel ?

Voilà la situation. Il existe le tableau suivant :

Les colonnes ombrées en rouge contiennent les valeurs numériques des notes dans les matières. Dans la colonne " Score moyen"Il faut calculer leur valeur moyenne.
Le problème est le suivant : il y a 60 à 70 éléments au total et certains d’entre eux se trouvent sur une autre feuille.
J'ai regardé dans un autre document et la moyenne a déjà été calculée, et dans la cellule il y a une formule comme
="nom de la feuille"!|E12
mais cela a été fait par un programmeur qui a été licencié.
S'il vous plaît, dites-moi qui comprend cela.

Hector

Dans la ligne des fonctions, vous insérez « MOYENNE » parmi les fonctions proposées et sélectionnez l'endroit à partir duquel elles doivent être calculées (B6:N6) pour Ivanov, par exemple. Je ne suis pas sûr des feuilles adjacentes, mais cela figure probablement dans l'aide standard de Windows.

Dites-moi comment calculer la valeur moyenne dans Word

S'il vous plaît dites-moi comment calculer la valeur moyenne dans Word. À savoir la valeur moyenne des notes, et non le nombre de personnes qui ont reçu les notes.

Ioulia Pavlova

Word peut faire beaucoup de choses avec les macros. Appuyez sur ALT+F11 et écrivez un programme de macro.
De plus, Insert-Object... vous permettra d'utiliser d'autres programmes, même Excel, pour créer une feuille avec un tableau à l'intérieur d'un document Word.
Mais dans ce cas, vous devez noter vos chiffres dans une colonne du tableau et saisir la moyenne dans la cellule du bas de la même colonne, n'est-ce pas ?
Pour ce faire, insérez un champ dans la cellule du bas.
Insérer un champ... -Formule
Contenu du champ
[= MOYENNE (CI-DESSUS)]
donne la moyenne de la somme des cellules ci-dessus.
Si vous sélectionnez un champ et cliquez sur le bouton droit de la souris, vous pouvez le mettre à jour si les nombres ont changé,
visualiser le code ou la valeur d'un champ, modifier le code directement dans le champ.
Si quelque chose ne va pas, supprimez tout le champ de la cellule et créez-le à nouveau.
MOYENNE signifie moyenne, AU-DESSUS - environ, c'est-à-dire un nombre de cellules situées au-dessus.
Je ne savais pas tout cela moi-même, mais je l'ai découvert facilement dans HELP, bien sûr, avec un peu de réflexion.