Encyclopédie mathématique

Encyclopédie mathématique- Publication encyclopédique soviétique en cinq volumes consacrés aux sujets mathématiques. Publié en 1985 par la maison d'édition "Encyclopédie soviétique". Rédacteur en chef: Académicien I.M. Vinogradov.

Il s'agit d'une publication illustrée fondamentale sur toutes les principales branches des mathématiques. Le livre présente de nombreux documents sur le sujet, des biographies de mathématiciens célèbres, des dessins, des graphiques, des tableaux et des diagrammes.

Volume total : environ 3000 pages. Répartition des articles par volume :

• Tome 1 : Boulier – Principe de Huygens, 576 pp.
• Tome 2 : Opérateur D'Alembert - Jeu coopératif, 552 pp.
• Tome 3 : Coordonnées – Monôme, 592 pp.
• Tome 4 : L'Œil du Théorème - Fonction complexe, 608 p.
• Tome 5 : Valeur aléatoire- Cellule, 623 pp.
  Addendum au tome 5 : index des sujets, une liste de fautes de frappe notées.

Liens

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ÉCOLE MATHÉMATIQUE EN SOCIOLOGIE- Anglais école de mathématiques en sociologie ; Allemand Mathematische Schule in der Soziologie. Tendance de la sociologie apparue dans la première moitié du XXe siècle, les fondateurs de la sociologie (A. Zipf, E. Dodd, etc.) pensaient que les théories d'un sociologue atteignaient le niveau de... ... Encyclopédie de sociologie

Modèle mathématique des bâtiments et des structures- Modèle mathématique (informatique) de bâtiments et de structures - représentation de bâtiments et de structures sous la forme d'un diagramme d'éléments finis pour effectuer des calculs numériques lors de la résolution d'un ensemble de problèmes survenant lors de la conception, de la construction et... ... Encyclopédie des termes, définitions et explications des matériaux de construction

Livres

• Encyclopédie mathématique (ensemble de 5 livres), . Encyclopédie mathématique - une publication de référence pratique sur toutes les branches des mathématiques. L'Encyclopédie est basée sur des articles consacrés à les domaines les plus importants mathématiques. Le principe de localisation...

Encyclopédie mathématique - une publication de référence sur toutes les branches des mathématiques. L'Encyclopédie est basée sur des articles de synthèse consacrés aux domaines les plus importants des mathématiques. La principale exigence pour les articles de ce type est l'exhaustivité possible de l'aperçu de l'état actuel de la théorie avec une accessibilité maximale de la présentation ; Ces articles sont généralement accessibles aux étudiants seniors en mathématiques, aux étudiants diplômés et aux spécialistes des domaines connexes des mathématiques, et dans certains cas - aux spécialistes d'autres domaines de la connaissance qui utilisent des méthodes mathématiques dans leur travail, aux ingénieurs et aux professeurs de mathématiques. En outre, des articles de taille moyenne sont fournis pour les particuliers. problèmes spécifiques et méthodes mathématiques; Ces articles sont destinés à un lectorat plus restreint et peuvent donc être moins accessibles. Enfin, un autre type d'article - information brève-définitions. A la fin du dernier volume de l'Encyclopédie, il y aura un index thématique, qui comprendra non seulement les titres de tous les articles, mais aussi de nombreux concepts dont les définitions seront données dans les articles des deux premiers types, ainsi que comme les résultats les plus importants mentionnés dans les articles. La plupart des articles de l'Encyclopédie sont accompagnés d'une bibliographie avec Numéros de série chaque nom, ce qui permet de citer dans les textes d'articles. À la fin des articles (en règle générale), l'auteur ou la source est indiqué si l'article a déjà été publié précédemment (il s'agit principalement d'articles dans la Grande Encyclopédie soviétique). Les noms de scientifiques étrangers (sauf anciens) mentionnés dans les articles sont accompagnés de l'orthographe latine (s'il n'y a pas de lien vers la liste de références).

Téléchargez et lisez l'Encyclopédie mathématique, volume 3, Vinogradov I.M., 1982.

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Téléchargez et lisez l'Encyclopédie mathématique, volume 2, Vinogradov I.M., 1979

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Téléchargez et lisez l'Encyclopédie mathématique, volume 1, Vinogradov I.M., 1977

L'algèbre était à l'origine une branche des mathématiques consacrée à la résolution d'équations. Contrairement à la géométrie, construction axiomatique L'algèbre n'existait qu'au milieu du 19e siècle, lorsqu'une théorie fondamentalement Un nouveau look sur le sujet et la nature de l'algèbre. La recherche a commencé à se concentrer de plus en plus sur l’étude des structures dites algébriques. Cela présentait deux avantages. D'une part, les domaines pour lesquels les différents théorèmes sont valables ont été clarifiés ; d'autre part, il est devenu possible d'utiliser les mêmes preuves de manière complètement différentes régions. Cette division de l'algèbre a perduré jusqu'au milieu du XXe siècle et s'est traduite par l'apparition de deux noms : « algèbre classique » et « algèbre moderne ». Cette dernière est mieux caractérisée par un autre nom : « algèbre abstraite ». Le fait est que cette section - pour la première fois en mathématiques - était caractérisée par une abstraction complète.

Téléchargez et lisez Petite encyclopédie mathématique, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976

"Probabilités et statistiques mathématiques" - une publication de référence sur la théorie des probabilités, les statistiques mathématiques et leurs applications dans divers domaines science et technologie. L'encyclopédie comprend deux parties : la principale contient des articles de synthèse, des articles consacrés à des problèmes et méthodes spécifiques, de brèves références donnant des définitions des concepts de base, les théorèmes et formules les plus importants. Une place considérable est consacrée aux questions appliquées - théorie de l'information, théorie des files d'attente, théorie de la fiabilité, planification expérimentale et domaines connexes - physique, géophysique, génétique, démographie et branches individuelles de la technologie. La plupart des articles sont accompagnés d'une bibliographie des ouvrages les plus importants sur cette question. Les titres des articles sont également traduits en langue anglaise. La deuxième partie - «Anthologie sur la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques» contient des articles écrits pour des encyclopédies nationales du passé, ainsi que des documents encyclopédiques précédemment publiés dans d'autres ouvrages. L'encyclopédie est accompagnée d'une longue liste de revues, de périodiques et de publications en cours couvrant des questions de théorie des probabilités et statistiques mathématiques.
Le matériel inclus dans l'Encyclopédie est nécessaire aux étudiants de premier cycle, aux étudiants diplômés et aux chercheurs dans le domaine des mathématiques et d'autres sciences qui utilisent des méthodes probabilistes dans leurs recherches et travaux pratiques.

Encyclopédie mathématique - une publication de référence sur toutes les branches des mathématiques. L'Encyclopédie est basée sur des articles de synthèse consacrés aux domaines les plus importants des mathématiques. La principale exigence pour les articles de ce type est l'exhaustivité possible de l'aperçu de l'état actuel de la théorie avec une accessibilité maximale de la présentation ; Ces articles sont généralement accessibles aux étudiants seniors en mathématiques, aux étudiants diplômés et aux spécialistes des domaines connexes des mathématiques, et dans certains cas - aux spécialistes d'autres domaines de la connaissance qui utilisent des méthodes mathématiques dans leur travail, aux ingénieurs et aux professeurs de mathématiques. En outre, des articles de taille moyenne sur des problèmes spécifiques et des méthodes mathématiques sont fournis ; Ces articles sont destinés à un lectorat plus restreint et peuvent donc être moins accessibles. Enfin, un autre type d’article consiste en de brèves références et définitions. Certaines définitions sont données dans les deux premiers types d'articles. La plupart des articles de l'Encyclopédie sont accompagnés d'une bibliographie avec des numéros d'ordre pour chaque titre, ce qui permet de les citer dans les textes des articles. À la fin des articles (en règle générale), l'auteur ou la source est indiqué si l'article a déjà été publié précédemment (il s'agit principalement d'articles dans la Grande Encyclopédie soviétique). Les noms de scientifiques étrangers (sauf anciens) mentionnés dans les articles sont accompagnés de l'orthographe latine (s'il n'y a pas de lien vers la liste de références).

Le principe de classement des articles dans l'Encyclopédie est alphabétique. Si le titre de l'article est un terme qui possède un synonyme, alors ce dernier est donné après le principal. Dans de nombreux cas, les titres des articles sont composés de deux mots ou plus. Dans ces cas, les termes sont donnés soit sous leur forme la plus courante, soit le mot ayant la signification la plus importante est attribué en premier. Si le titre de l'article comprend prénom, il est placé en première place (la liste des références de ces articles contient généralement la source principale expliquant le nom du terme). Les titres des articles sont donnés principalement au singulier.

L'Encyclopédie utilise largement un système de liens vers d'autres articles, où le lecteur trouvera des informations supplémentaires sur le sujet considéré. La définition ne fait pas référence au terme apparaissant dans le titre de l’article.

Afin de gagner de la place, les articles utilisent les abréviations habituelles de certains mots pour les encyclopédies.

J'ai travaillé sur le tome 1

Comité de rédaction des mathématiques de la maison d'édition "Encyclopédie soviétique" - V. I. BITYUTSKOV (responsable de la rédaction), M. I. VOITSEKHOVSKY (rédacteur scientifique), Yu. A. GORBKOV (rédacteur scientifique), A. B. IVANOV (rédacteur scientifique principal), O A. IVANOVA (rédacteur scientifique principal) rédacteur scientifique), T. Y. POPOVA (éditeur scientifique), S. A. RUKOVA (éditeur scientifique principal), E. G. SOBOLEVSKAYA (éditeur), L. V. SOKOLOVA (éditeur junior), L. R. HABIB (éditeur junior).

Personnel de la maison d'édition : E. P. RYABOVA (éditeurs littéraires). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliographie). A. F. DALKOVSKAYA (transcription). N. A. FEDOROVA (service d'acquisition). 3. A. SUKHOVA (édition d'illustrations). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUZHALOVA (éditeur du dictionnaire). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (relecteur). G. V. SMIRNOVA (édition technique).

Couverture de l'artiste R.I. MALANICHEV.

Informations complémentaires sur le tome 1

Maison d'édition "Encyclopédie soviétique"

Encyclopédies, dictionnaires, ouvrages de référence

Conseil scientifique et éditorial de la maison d'édition

A. M. PROKHOROV (président), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTSUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV, M. P. BAZHAN, Y. Y. BARABASH, N. V. BARANOV, N. N. BOGOLYUBOV, P. U. BROVKA , Y. V. BROMLEY, B. E. BYKHOVSKY, V. X. VASILENKO , L M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUSHKO, V. M. GLUSHKOV, G. N GOLIKOV, D. B. GULIEV, A. A. GUSEV (vice-président), V. P. ELUTIN, V. S. EMELYANOV, E. M. ZHUK VO , A. A. IMSHENETSKY, N. N. INOZEMTSEV, M A. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAEV, K. K. KARAKEEV, M. K. KARATAEV, B. M. KEDROV, G. V. KELDYSH, V. A. KIRILLIN, I. L KNUNYANTS, S. M. KOVALEV (premier vice-président), F. V. KONSTANTINOV, V. N. KUDRYAVTSEV , M. I. KUZNETSOV (vice-président), B. V. KUKARKIN, V. G. KULIKOV, I. ​​A. KUTUZOV, P. P. LOBANOV, G. M. LOZA, YE MAKSAREV, P. A. MARKOV, A. I. MARKUSHEVICH, Y. Y. MATULIS, G. I. NAAN, G. D. OBICHKIN, B. E. PATON, V. M .POLEVOY, M. A. PROKOFIEV, Y. V. PROKHOROV, N. F. ROSTOVTSEV, A. M. RUMYANTSEV, B. A. RYBAKOV, V. P. SAMSON, M. I. SLADKOVSKY, V. I. SMIRNOV, D. N. SOLOVIEV (vice-président), V. G. SOLODOVNIKOV, V. N. STOLETOV, B. I. STUCALIN, A. A. . SURKOV, M. L. TERENTYEV, S. A. TOKAREV, V. A. TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. KHRAPCHENKO, E. I. CHAZOV, V. N. CHERNIGOVSKY, YE SHMUSHKIS, S. I. YUTKEVICH. Secrétaire du Conseil L.V. KIRILLOVA.

Moscou 1977

Encyclopédie mathématique. Tome 1 (A - D)

Rédacteur en chef I. M. VINOGRADOV

Équipe éditoriale

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (rédacteur en chef adjoint), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOV, V. A. ILYIN, A. A. KARATSUBA, L. D. KUDRYAVTSEV, B. M. LEVITAN, K. K. MARZHANISHVILI, E. F. MISHCHENKO, S. P. NOVIKOV, E. G. POZNYAK, Y. V. PROKHOROV (rédacteur en chef adjoint), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Encyclopédie mathématique. Éd. conseil d'administration : I. M. Vinogradov (rédacteur en chef) [et autres] T. 1 - M., " Encyclopédie soviétique", 1977

(Encyclopédies. Dictionnaires. Ouvrages de référence), tome 1. A - G. 1977. 1152 stb. de l'illus.

Soumis pour composition le 9 juin 1976. Signé pour impression le 18 février 1977. Impression de texte à partir de matrices réalisées à la First Model Printing House du nom. A. A. Jdanova. Maison d'édition de l'Ordre du Drapeau Rouge du Travail "Encyclopédie soviétique". 109817. Moscou, Zh - 28, boulevard Pokrovsky, 8. T - 02616 Tirage 150 000 exemplaires. N° de commande 418. Papier d'impression n° 1. Format papier 84xl08 1/14. Tome 36 physique. PL. ; 60, 48 conventionnel PL. texte. 101, 82 académique. - éd. l. Le prix du livre est de 7 roubles. 10k.

Ordre du Drapeau rouge du travail Imprimerie de Moscou n° 1 "Soyouzpoligrafproma" relevant du Comité d'État du Conseil des ministres de l'URSS pour l'édition, l'imprimerie et le commerce du livre, Moscou, I - 85, Prospekt Mira, 105. Arrêté n° 1. 865.

20200 - 004 abonnement © Maison d'édition "Encyclopédie soviétique", 1977 007(01) - 77

Le contenu de l'article

MATHÉMATIQUES. Les mathématiques sont généralement définies en énumérant les noms de certaines de leurs branches traditionnelles. Il s’agit tout d’abord de l’arithmétique, qui traite de l’étude des nombres, des relations entre eux et des règles de fonctionnement des nombres. Les faits arithmétiques sont susceptibles de diverses interprétations spécifiques ; par exemple, la relation 2 + 3 = 4 + 1 correspond à l'affirmation selon laquelle deux et trois livres font autant de livres que quatre et un. Toute relation comme 2 + 3 = 4 + 1, c'est-à-dire une relation entre des objets purement mathématiques sans référence à aucune interprétation du monde physique est dite abstraite. La nature abstraite des mathématiques leur permet d’être utilisées pour résoudre une grande variété de problèmes. Par exemple, l’algèbre, qui traite des opérations sur les nombres, peut résoudre des problèmes qui vont au-delà de l’arithmétique. Une branche plus spécifique des mathématiques est la géométrie, dont la tâche principale est l'étude des tailles et des formes des objets. La combinaison des méthodes algébriques et géométriques conduit, d'une part, à la trigonométrie (consacrée à l'origine à l'étude triangles géométriques, et couvrant désormais un éventail de questions beaucoup plus large), et d'autre part - à la géométrie analytique, dans laquelle les corps et figures géométriques sont étudiés par des méthodes algébriques. Il existe plusieurs branches de l'algèbre et de la géométrie supérieures qui ont plus haut degré abstractions et non impliqués dans l'étude des nombres ordinaires et des nombres ordinaires formes géométriques; la plus abstraite des disciplines géométriques est appelée topologie.

L'analyse mathématique traite de l'étude des quantités qui changent dans l'espace ou dans le temps et repose sur deux concepts de base : la fonction et la limite, que l'on ne retrouve pas dans les branches les plus élémentaires des mathématiques. Initialement, l'analyse mathématique consistait en calcul différentiel et intégral, mais comprend désormais d'autres sections.

Il existe deux branches principales des mathématiques : les mathématiques pures, qui mettent l’accent sur le raisonnement déductif, et les mathématiques appliquées. Le terme « mathématiques appliquées » fait parfois référence aux branches des mathématiques qui ont été créées spécifiquement pour satisfaire les besoins et les exigences de la science, et parfois aux sections de diverses sciences (physique, économie, etc.) qui utilisent les mathématiques comme moyen de résoudre des problèmes. leurs tâches. De nombreuses idées fausses courantes sur les mathématiques proviennent de la confusion entre ces deux interprétations des « mathématiques appliquées ». L'arithmétique peut être un exemple de mathématiques appliquées dans le premier sens et de comptabilité dans le second.

Contrairement à la croyance populaire, les mathématiques continuent de progresser rapidement. La revue Mathematical Review publie env. 8 000 courts résumés d'articles contenant les derniers résultats - de nouveaux faits mathématiques, de nouvelles preuves de faits anciens et même des informations sur des domaines mathématiques complètement nouveaux. La tendance actuelle dans l’enseignement des mathématiques est d’initier les élèves à des idées mathématiques modernes et plus abstraites plus tôt dans l’enseignement des mathématiques. voir également HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES. Les mathématiques sont l’une des pierres angulaires de la civilisation, mais très peu de gens ont une idée de l’état actuel des choses dans cette science.

Les mathématiques ont subi d’énormes changements au cours des cent dernières années, tant dans leur objet que dans leurs méthodes de recherche. Dans cet article, nous allons essayer de donner idée générale sur les principales étapes de l'évolution des mathématiques modernes, dont les principaux résultats peuvent être considérés, d'une part, une augmentation de l'écart entre les mathématiques pures et appliquées, et d'autre part, une refonte complète des domaines traditionnels des mathématiques .

DÉVELOPPEMENT DE MÉTHODE MATHÉMATIQUE

La naissance des mathématiques.

Vers 2000 avant JC on a remarqué que dans un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités de longueur, l'un des angles est de 90° (cette observation permettait de construire facilement un angle droit pour des besoins pratiques). Avez-vous alors remarqué le rapport 5 2 = 3 2 + 4 2 ? Nous n'avons aucune information à ce sujet. Plusieurs siècles plus tard, on a découvert règle générale: dans n'importe quel triangle abc avec un angle droit au sommet UN et les partis b = CA Et c = UN B, entre lequel cet angle est enfermé, et le côté opposé un = AVANT JC. le rapport est valable un 2 = b 2 + c 2. On peut dire que la science commence lorsqu'une masse d'observations individuelles est expliquée par une loi générale ; par conséquent, la découverte du « théorème de Pythagore » peut être considérée comme l'un des premiers exemples connus d'une réalisation véritablement scientifique.

Mais encore plus important Ce qui compte pour la science en général et pour les mathématiques en particulier, c'est qu'à côté de la formulation d'une loi générale apparaissent des tentatives pour la prouver, c'est-à-dire montrer qu'elle découle nécessairement d'autres propriétés géométriques. L'une des « preuves » orientales est particulièrement claire dans sa simplicité : quatre triangles égaux à celui-ci sont inscrits dans un carré. BCDE comme le montre le dessin. Surface carrée un 2 est divisé par quatre triangle égal superficie totale 2 avant JC et carré AFGH zone ( b – c) 2 . Ainsi, un 2 = (b – c) 2 + 2avant JC = (b 2 + c 2 – 2avant JC) + 2avant JC = b 2 + c 2. Il est instructif d’aller plus loin et de découvrir plus précisément quelles propriétés « antérieures » sont censées être connues. Le fait le plus évident est que puisque les triangles BAC Et BEF exactement, sans espaces ni chevauchements, « ajustés » sur les côtés B.A. Et B.F., cela signifie que les deux angles au sommet B Et AVEC dans un triangle abc forment ensemble un angle de 90° et donc la somme de ses trois angles est égale à 90° + 90° = 180°. La "preuve" ci-dessus utilise également la formule ( avant JC/2) pour l'aire d'un triangle abc avec un angle de 90° au sommet UN. En fait, d'autres hypothèses ont également été utilisées, mais ce qui a été dit suffit pour voir clairement le mécanisme essentiel de la preuve mathématique - raisonnement déductif, qui permet, à l'aide d'arguments purement logiques (basés sur un matériel correctement préparé, dans notre exemple - la division d'un carré), de déduire de nouvelles propriétés à partir de résultats connus, qui, en règle générale, ne découlent pas directement des données disponibles.

Axiomes et méthodes de preuve.

L'une des caractéristiques fondamentales de la méthode mathématique est le processus de création, à l'aide d'arguments purement logiques soigneusement construits, d'une chaîne d'énoncés dans laquelle chaque maillon suivant est connecté aux précédents. La première considération assez évidente est que dans toute chaîne il doit y avoir un premier maillon. Cette circonstance est devenue évidente pour les Grecs lorsqu’ils ont commencé à systématiser un ensemble d’arguments mathématiques au VIIe siècle. AVANT JC. Pour mettre en œuvre ce plan, les Grecs avaient besoin d'env. Il y a 200 ans, et les documents survivants ne donnent qu'une idée approximative de leur fonctionnement exact. Nous ne disposons d'informations précises que sur le résultat final de la recherche - le fameux Les débuts Euclide (vers 300 avant JC). Euclide commence par énumérer les positions initiales, dont toutes les autres dérivent de manière purement logique. Ces dispositions sont appelées axiomes ou postulats (les termes sont pratiquement interchangeables) ; ils expriment soit des propriétés très générales et quelque peu vagues d'objets de toute sorte, par exemple « le tout est plus grand que la partie », soit des propriétés mathématiques spécifiques, par exemple que pour deux points quelconques, il existe une ligne droite unique qui les relie. . Nous n’avons aucune information quant à savoir si les Grecs attachaient une signification ou une signification plus profonde à la « vérité » des axiomes, bien que certains indices suggèrent que les Grecs en ont discuté pendant un certain temps avant d’accepter certains axiomes. Chez Euclide et ses disciples, les axiomes ne sont présentés que comme points de départ pour la construction des mathématiques, sans aucun commentaire sur leur nature.

Quant aux méthodes de preuve, elles se résumaient en règle générale à l'utilisation directe de théorèmes préalablement prouvés. Parfois, cependant, la logique du raisonnement s’avère plus complexe. Nous mentionnerons ici la méthode préférée d’Euclide, devenue partie intégrante de la pratique quotidienne des mathématiques : la preuve indirecte, ou preuve par contradiction. A titre d'exemple élémentaire de preuve par contradiction, nous montrerons qu'un échiquier dans lequel sont découpées deux cases de coin, situées aux extrémités opposées de la diagonale, ne peut pas être recouvert de dominos dont chacun est égal à deux cases. (On suppose que chaque case de l’échiquier ne doit être couverte qu’une seule fois.) Supposons que l’affirmation opposée (« opposée ») soit vraie, c’est-à-dire : que le plateau peut être recouvert de dominos. Chaque tuile couvre un carré noir et un carré blanc, donc quelle que soit la disposition des dominos, ils couvrent un nombre égal de carrés noirs et blancs. Cependant, comme les deux cases d'angle sont supprimées, l'échiquier (qui avait à l'origine autant de cases noires que de blanches) comporte deux cases d'une couleur de plus que de cases de l'autre couleur. Cela signifie que notre hypothèse initiale ne peut pas être vraie, car elle conduit à une contradiction. Et puisque les propositions qui se contredisent ne peuvent pas être fausses en même temps (si l’une d’elles est fausse, alors le contraire est vrai), notre hypothèse initiale doit être vraie, car l’hypothèse qui la contredit est fausse ; par conséquent, un échiquier avec deux cases d'angle découpées en diagonale ne peut pas être recouvert de dominos. Ainsi, afin de prouver une certaine affirmation, nous pouvons supposer qu'elle est fausse et déduire de cette hypothèse une contradiction avec une autre affirmation dont la vérité est connue.

Un excellent exemple de preuve par contradiction, qui est devenue l'un des jalons du développement des mathématiques grecques anciennes, est la preuve qu'il n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire non représentable sous forme de fraction p/q, Où p Et q- des nombres entiers. Si , alors 2 = p 2 /q 2, d'où p 2 = 2q 2. Supposons qu'il y ait deux entiers p Et q, Pour qui p 2 = 2q 2. En d’autres termes, nous supposons qu’il existe un entier dont le carré est le double du carré d’un autre entier. Si des entiers satisfont à cette condition, alors l’un d’eux doit être plus petit que tous les autres. Concentrons-nous sur le plus petit de ces nombres. Que ce soit un nombre p. Depuis 2 q 2 – nombre pair Et p 2 = 2q 2, puis le numéro p 2 doit être pair. Puisque les carrés de tous les nombres impairs sont impairs et que le carré p 2 est pair, ce qui signifie le nombre lui-même p doit être pair. Autrement dit, le nombre p deux fois la taille d'un entier r. Parce que p = 2r Et p 2 = 2q 2 , on a : (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 et q 2 = 2r 2. La dernière égalité a la même forme que l'égalité p 2 = 2q 2, et on peut, en répétant le même raisonnement, montrer que le nombre q est pair et qu'il existe un tel entier s, Quoi q = 2s. Mais alors q 2 = (2s) 2 = 4s 2, et, depuis q 2 = 2r 2 , nous concluons que 4 s 2 = 2r 2 ou r 2 = 2s 2. Cela nous donne un deuxième entier qui satisfait à la condition selon laquelle son carré est le double du carré de l’autre entier. Mais alors p ne peut pas être le plus petit nombre (puisque r = p/2), même si au départ nous avions supposé qu’il s’agissait du plus petit de ces nombres. Par conséquent, notre hypothèse initiale est fausse, car elle conduit à une contradiction, et donc il n’existe pas de tels entiers p Et q, Pour qui p 2 = 2q 2 (c'est-à-dire tel que ). Cela signifie que le nombre ne peut pas être rationnel.

D'Euclide au début du XIXe siècle.

Au cours de cette période, les mathématiques ont changé considérablement grâce à trois innovations.

(1) Au cours du développement de l'algèbre, une méthode de notation symbolique a été inventée, permettant de représenter sous une forme abrégée des relations de plus en plus complexes entre quantités. À titre d’exemple des inconvénients qui surviendraient s’il n’y avait pas une telle « écriture cursive », essayons de traduire par des mots la relation ( un + b) 2 = un 2 + 2un B + b 2 : « L'aire d'un carré avec un côté égal au montant Les côtés de deux carrés donnés sont égaux à la somme de leurs aires ainsi que le double de l'aire d'un rectangle dont les côtés sont égaux aux côtés des carrés donnés.

(2) Création dans la première moitié du XVIIe siècle. la géométrie analytique, qui permettait de réduire n'importe quel problème de géométrie classique à un problème algébrique.

(3) La création et le développement dans la période de 1600 à 1800 du calcul infinitésimal, qui a permis de résoudre facilement et systématiquement des centaines de problèmes liés aux notions de limite et de continuité, dont très peu seulement ont été résolus avec beaucoup de difficulté par les mathématiciens grecs anciens. Ces branches des mathématiques sont abordées plus en détail dans les articles ALGEBRA ; GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ; ANALYSE MATHEMATIQUE ; REVUE DE LA GÉOMÉTRIE.

Depuis le 17ème siècle. La question, jusqu’ici restée insoluble, se précise peu à peu. Qu'est-ce que les mathématiques ? Avant 1800, la réponse était assez simple. À cette époque, il n'y avait pas de frontières claires entre les différentes sciences ; les mathématiques faisaient partie de la « philosophie naturelle » – l'étude systématique de la nature utilisant les méthodes proposées par les grands réformateurs de la Renaissance et du début du XVIIe siècle. – Galilée (1564-1642), F. Bacon (1561-1626) et R. Descartes (1596-1650). On croyait que les mathématiciens avaient leur propre domaine d'étude - les nombres et les objets géométriques et qu'ils n'utilisaient pas méthode expérimentale. Cependant, Newton et ses disciples ont étudié la mécanique et l’astronomie en utilisant la méthode axiomatique, similaire à la façon dont la géométrie a été présentée par Euclide. Plus généralement, il a été reconnu que toute science dans laquelle les résultats d'une expérience peuvent être représentés à l'aide de nombres ou de systèmes de nombres devient un domaine d'application des mathématiques (en physique, cette idée n'a été établie qu'au XIXe siècle).

Les domaines des sciences expérimentales qui ont subi un traitement mathématique sont souvent appelés « mathématiques appliquées » ; C'est un nom très malheureux, car, ni selon les normes classiques ni selon les normes modernes, il n'y a (au sens strict) des arguments véritablement mathématiques dans ces applications, puisque le sujet d'étude dans celles-ci sont des objets non mathématiques. Une fois les données expérimentales traduites dans le langage des nombres ou des équations (une telle « traduction » requiert souvent une grande ingéniosité de la part du mathématicien « appliqué »), il devient possible d'appliquer largement théorèmes mathématiques; le résultat est ensuite rétrotraduit et comparé aux observations. Le fait que le terme « mathématiques » soit appliqué à un processus de ce genre est l’une des sources d’innombrables malentendus. À l’époque « classique » dont nous parlons maintenant nous parlons de, ce genre de malentendu n’existait pas, puisque les mêmes personnes étaient à la fois des mathématiciens « appliqués » et « purs », travaillant simultanément sur des problèmes d’analyse mathématique ou de théorie des nombres, et des problèmes de dynamique ou d’optique. Cependant, la spécialisation accrue et la tendance à séparer les mathématiques « pures » et « appliquées » ont considérablement affaibli la tradition d'universalité qui existait auparavant, et les scientifiques qui, comme J. von Neumann (1903-1957), étaient capables de mener une recherche active activité scientifique tant en mathématiques appliquées qu'en mathématiques pures, sont devenues l'exception plutôt que la règle.

Quelle est la nature des objets mathématiques – nombres, points, lignes, angles, surfaces, etc., dont nous tenions l’existence pour acquise ? Que signifie le concept de « vérité » par rapport à de tels objets ? Des réponses tout à fait précises ont été apportées à ces questions à l'époque classique. Bien sûr, les scientifiques de cette époque ont clairement compris que dans le monde de nos sensations, il n'existe pas de « ligne droite infiniment étendue » ou de « point sans dimension » d'Euclide, tout comme il n'existe pas de « métaux purs », de « métaux monochromatiques ». lumière », « systèmes calorifugés », etc. .d., que les expérimentateurs opèrent dans leur raisonnement. Tous ces concepts sont des « idées platoniciennes », c'est-à-dire une sorte de modèles génératifs de concepts empiriques, bien que de nature radicalement différente. Néanmoins, il était tacitement supposé que les « images » physiques des idées pouvaient être aussi proches que souhaité des idées elles-mêmes. Dans la mesure où l'on peut dire quoi que ce soit sur la proximité des objets avec les idées, les « idées » sont considérées comme étant, pour ainsi dire, des « cas limites » d'objets physiques. De ce point de vue, les axiomes d'Euclide et les théorèmes qui en dérivent expriment les propriétés d'objets « idéaux » auxquels doivent correspondre des faits expérimentaux prévisibles. Par exemple, mesurer par des méthodes optiques les angles d’un triangle formé par trois points dans l’espace, dans le « cas idéal », devrait donner une somme égale à 180°. Autrement dit, les axiomes sont placés au même niveau que les lois physiques, et donc leur « vérité » est perçue au même titre que la vérité des lois physiques ; ceux. les conséquences logiques des axiomes sont sujettes à vérification par comparaison avec des données expérimentales. Bien entendu, l’accord ne peut être obtenu que dans les limites d’erreur liées au caractère « imparfait » instrument de mesure, et la « nature imparfaite » de l’objet mesuré. Cependant, on suppose toujours que si les lois sont « vraies », alors les améliorations apportées aux processus de mesure peuvent en principe rendre l’erreur de mesure aussi faible que souhaité.

Tout au long du XVIIIe siècle. il était de plus en plus évident que toutes les conséquences obtenues à partir des axiomes de base, notamment en astronomie et en mécanique, sont cohérentes avec les données expérimentales. Et comme ces conséquences ont été obtenues à l'aide de l'appareil mathématique qui existait à cette époque, les succès obtenus ont contribué à renforcer l'opinion sur la vérité des axiomes d'Euclide, qui, comme le disait Platon, est « claire pour tout le monde » et n'est pas sujette à discussion.

Des doutes et de nouveaux espoirs.

Géométrie non euclidienne.

Parmi les postulats donnés par Euclide, l'un était si peu évident que même les premiers étudiants du grand mathématicien le considéraient comme un point faible du système. A commencé. L'axiome en question stipule que passant par un point situé en dehors d'une ligne donnée, une seule ligne peut être tracée parallèlement à une ligne donnée. La plupart des géomètres pensaient que l'axiome parallèle pouvait être prouvé par d'autres axiomes et qu'Euclide avait formulé l'énoncé parallèle comme un postulat simplement parce qu'il était incapable de proposer une telle preuve. Mais, bien que les meilleurs mathématiciens aient tenté de résoudre le problème des parallèles, aucun d’entre eux n’a réussi à surpasser Euclide. Enfin, dans la seconde moitié du XVIIIe siècle. Des tentatives ont été faites pour prouver le postulat de parallèles d'Euclide par contradiction. Il a été suggéré que l’axiome parallèle est faux. A priori, le postulat d'Euclide pourrait s'avérer faux dans deux cas : s'il est impossible de tracer une seule droite parallèle passant par un point extérieur à une droite donnée ; ou si plusieurs parallèles peuvent être tracés à travers lui. Il s'est avéré que la première possibilité a priori est exclue par d'autres axiomes. Ayant adopté un nouvel axiome au lieu de l'axiome traditionnel sur les parallèles (selon lequel, à travers un point situé en dehors d'une ligne donnée, plusieurs lignes parallèles à une ligne donnée peuvent être tracées), les mathématiciens ont tenté d'en tirer une affirmation qui contredisait d'autres axiomes, mais a échoué : non Même s’ils ont essayé de tirer les conséquences du nouvel axiome « ​​anti-euclidien » ou « non-euclidien », une contradiction n’est jamais apparue. Enfin, indépendamment l'un de l'autre, N.I. Lobachevsky (1793-1856) et J. Bolyai (1802-1860) se sont rendu compte que le postulat d'Euclide sur les parallèles n'est pas démontrable, ou, en d'autres termes, qu'une contradiction n'apparaîtra pas dans la « géométrie non euclidienne ». »

Avec l’avènement de la géométrie non euclidienne, plusieurs problèmes philosophiques se sont immédiatement posés. Depuis que la prétention à la nécessité a priori des axiomes a disparu, la seule manière de tester leur « vérité » était expérimentale. Mais, comme l'a noté plus tard A. Poincaré (1854-1912), dans la description de tout phénomène, il y a tellement d'hypothèses physiques cachées qu'aucune expérience ne peut fournir une preuve convaincante de la vérité ou de la fausseté d'un axiome mathématique. De plus, même si nous supposons que notre monde est « non euclidien », s’ensuit-il que toute géométrie euclidienne est fausse ? À notre connaissance, aucun mathématicien n’a jamais sérieusement envisagé une telle hypothèse. L'intuition suggérait que la géométrie euclidienne et non euclidienne sont des exemples de mathématiques à part entière.

Des "monstres" mathématiques.

De manière inattendue, les mêmes conclusions ont été tirées d'une direction complètement différente : des objets ont été découverts qui ont choqué les mathématiciens du XIXe siècle. choqués et surnommés « monstres mathématiques ». Cette découverte est directement liée à des problèmes très subtils d’analyse mathématique qui ne sont apparus qu’au milieu du XIXe siècle. Des difficultés sont apparues lorsqu'on a essayé de trouver un analogue mathématique exact au concept expérimental de courbe. Quelle était l'essence du concept de « mouvement continu » (par exemple, la pointe d'un stylo à dessin se déplaçant sur une feuille de papier) était soumise à des règles précises. définition mathématique, et cet objectif a été atteint lorsque le concept de continuité a acquis un sens mathématique strict ( cm. Aussi COURBE). Intuitivement, il semblait que la « courbe » en chacun de ses points avait une direction, c'est-à-dire V cas général Au voisinage de chacun de ses points, la courbe se comporte quasiment comme une droite. (Par contre, il n'est pas difficile d'imaginer que la courbe ait numéro final points d'angle, « plis », comme un polygone.) Cette exigence pouvait être formulée mathématiquement, à savoir, l'existence d'une tangente à la courbe était supposée, et ce jusqu'au milieu du XIXe siècle. on croyait que la « courbe » avait une tangente en presque tous ses points, peut-être à l'exception de certains points « spéciaux ». Dès lors, la découverte de « courbes » qui n’avaient à aucun moment de tangente a provoqué un véritable scandale ( cm. Aussi THÉORIE DES FONCTIONS). (Le lecteur familier avec la trigonométrie et la géométrie analytique peut facilement vérifier que la courbe donnée par l'équation oui = X péché(1/ X), n'a pas de tangente à l'origine, mais définir une courbe qui n'a de tangente en aucun de ses points est beaucoup plus difficile.)

Un peu plus tard, un résultat beaucoup plus « pathologique » a été obtenu : il a été possible de construire un exemple de courbe remplissant complètement un carré. Depuis, des centaines de ces « monstres » ont été inventés, contredisant « bon sens" Il convient de souligner que l'existence d'objets mathématiques aussi inhabituels découle d'axiomes de base aussi strictement et logiquement parfaits que l'existence d'un triangle ou d'une ellipse. Parce que les « monstres » mathématiques ne peuvent correspondre à aucun objet expérimental, et la seule conclusion possible est que le monde des « idées » mathématiques est beaucoup plus riche et plus inhabituel qu'on pourrait le croire, et que très peu d'entre elles ont des correspondances dans le monde de notre sensations. Mais si des « monstres » mathématiques découlent logiquement des axiomes, alors les axiomes peuvent-ils encore être considérés comme vrais ?

Nouveaux objets.

Les résultats ci-dessus ont été confirmés d'un autre côté : en mathématiques, principalement en algèbre, les uns après les autres, de nouveaux objets mathématiques ont commencé à apparaître, qui étaient des généralisations du concept de nombre. Les entiers ordinaires sont assez « intuitifs », et il n'est pas du tout difficile d'arriver au concept expérimental de fraction (même s'il faut admettre que l'opération de division d'une unité en plusieurs parts égales et la sélection de plusieurs d'entre eux est de nature différente du processus de comptage). Après avoir découvert qu'un nombre ne pouvait pas être représenté sous forme de fraction, les Grecs furent contraints de considérer des nombres irrationnels, qui pouvaient être correctement déterminés par une séquence infinie d'approximations. nombres rationnels appartient aux plus hautes réalisations de l'esprit humain, mais ne correspond guère à quelque chose de réel dans notre monde physique (où toute mesure est invariablement associée à des erreurs). Néanmoins, l’introduction de nombres irrationnels s’est produite plus ou moins dans l’esprit de « l’idéalisation » des concepts physiques. Que dire des nombres négatifs qui, peu à peu, rencontrant une grande résistance, ont commencé à entrer dans l'usage scientifique en relation avec le développement de l'algèbre ? On peut affirmer avec certitude qu'il n'existait pas d'objets physiques tout faits à partir desquels nous pourrions, par un processus d'abstraction directe, développer le concept d'un nombre négatif, et dans l'enseignement cours élémentaire algèbre, il faut introduire de nombreux auxiliaires et tout à fait exemples complexes(segments orientés, températures, dettes, etc.) pour expliquer ce nombres négatifs. Cette situation est très loin d’être une notion « claire pour tous », comme l’exigeait Platon des idées qui sous-tendent les mathématiques, et l’on rencontre souvent des diplômés universitaires pour qui la règle des signes reste encore un mystère (– un)(–b) = un B. voir également NOMBRE .

La situation est encore pire avec les nombres « imaginaires » ou « complexes », puisqu’ils comportent un « nombre » je, tel que je 2 = –1, ce qui constitue une violation flagrante de la règle du signe. Néanmoins, les mathématiciens de la fin du XVIe siècle. n'hésitez pas à effectuer des calculs avec des nombres complexes comme s'ils « avaient un sens », même s'il y a 200 ans ils ne pouvaient pas définir ces « objets » ni les interpréter à l'aide d'une construction auxiliaire, comme, par exemple, ils étaient interprétés à l'aide de segments orientés nombres négatifs . (Après 1800 plusieurs interprétations ont été proposées nombres complexes, le plus célèbre utilise des vecteurs sur un plan.)

Axiomatiques modernes.

La révolution a eu lieu dans la seconde moitié du XIXe siècle. Et même si cela ne s'est pas accompagné de l'adoption de déclarations officielles, il s'agissait en réalité de la proclamation d'une sorte de « déclaration d'indépendance ». Plus précisément, sur la déclaration de facto d’indépendance des mathématiques vis-à-vis du monde extérieur.

De ce point de vue, les « objets » mathématiques, s’il est logique de parler de leur « existence », sont de pures créations de l’esprit, et ont-ils des « correspondances » et permettent-ils une « interprétation » dans le monde physique ? , car les mathématiques n'ont pas d'importance (même si cette question en elle-même est intéressante).

Les déclarations « vraies » concernant de tels « objets » sont les mêmes conséquences logiques des axiomes. Mais maintenant, les axiomes doivent être considérés comme complètement arbitraires et il n’est donc pas nécessaire qu’ils soient « évidents » ou déductibles de l’expérience quotidienne par le biais d’une « idéalisation ». En pratique, la liberté totale est limitée par diverses considérations. Bien sûr, les objets « classiques » et leurs axiomes restent inchangés, mais désormais ils ne peuvent plus être considérés comme les seuls objets et axiomes des mathématiques, et l'habitude de jeter ou de modifier les axiomes pour qu'il soit possible de les utiliser est devenue une partie de la pratique quotidienne. différentes façons, comme cela a été fait lors du passage de la géométrie euclidienne à la géométrie non euclidienne. (C'est ainsi qu'ont été obtenues de nombreuses variantes de géométries « non euclidiennes », différentes de la géométrie euclidienne et de la géométrie de Lobatchevski-Bolyai ; par exemple, il existe des géométries non euclidiennes dans lesquelles il n'y a pas de lignes parallèles.)

Je voudrais particulièrement souligner une circonstance qui découle de la nouvelle approche des « objets » mathématiques : toutes les preuves doivent être basées exclusivement sur des axiomes. Si l’on se souvient de la définition d’une preuve mathématique, alors une telle affirmation peut sembler répétitive. Cependant, cette règle était rarement suivie en mathématiques classiques en raison de la nature « intuitive » de ses objets ou axiomes. Même dans Les débuts Euclide, malgré toute leur « rigueur » apparente, de nombreux axiomes ne sont pas énoncés explicitement et de nombreuses propriétés sont soit tacitement supposées, soit introduites sans justification suffisante. Pour donner à la géométrie euclidienne une base solide, une révision critique de ses principes mêmes était nécessaire. Il ne vaut guère la peine de dire que le contrôle pédant des moindres détails d’une preuve est une conséquence de l’apparition de « monstres » qui ont appris aux mathématiciens modernes à être prudents dans leurs conclusions. L'affirmation la plus inoffensive et la plus « évidente » concernant les objets classiques, par exemple l'affirmation selon laquelle une courbe reliant des points situés sur les côtés opposés d'une ligne coupe nécessairement cette ligne, nécessite une preuve formelle stricte en mathématiques modernes.

Il peut sembler paradoxal de dire que c’est précisément en raison de leur adhésion à des axiomes que les mathématiques modernes constituent un exemple clair de ce que devrait être toute science. Cependant, cette approche illustre caractéristique l'un des processus les plus fondamentaux de la pensée scientifique : obtenir des informations précises dans une situation donnée connaissance incomplète. Recherche scientifique d'une certaine classe d'objets suppose que les caractéristiques qui permettent de distinguer un objet d'un autre soient délibérément vouées à l'oubli et que seules les caractéristiques générales des objets en question soient préservées. Qu’est-ce qui distingue les mathématiques ? série générale sciences, consiste à suivre strictement ce programme en tous ses points. On dit que les objets mathématiques sont entièrement déterminés par les axiomes utilisés dans la théorie de ces objets ; ou, selon les mots de Poincaré, les axiomes servent de « définitions déguisées » des objets auxquels ils se réfèrent.

MATHÉMATIQUES MODERNES

Bien que l’existence d’axiomes soit théoriquement possible, seul un petit nombre d’axiomes ont été proposés et étudiés jusqu’à présent. Habituellement, lors du développement d’une ou plusieurs théories, on remarque que certains modèles de preuve se répètent dans des conditions plus ou moins similaires. Une fois découvertes les propriétés utilisées dans les schémas de preuve généraux, elles sont formulées sous forme d’axiomes et leurs conséquences sont intégrées dans une théorie générale qui n’a aucun rapport direct avec les contextes spécifiques dont les axiomes ont été extraits. Les théorèmes généraux ainsi obtenus sont applicables à toute situation mathématique dans laquelle il existe des systèmes d'objets qui satisfont aux axiomes correspondants. La répétition des mêmes schémas de preuve dans différentes situations mathématiques indique que nous avons affaire à des spécifications différentes du même théorie générale. Cela signifie qu’après une interprétation appropriée, les axiomes de cette théorie deviennent des théorèmes dans chaque situation. Toute propriété dérivée des axiomes sera valable dans toutes ces situations, mais il n'est pas nécessaire d'avoir une preuve distincte pour chaque cas. Dans de tels cas, on dit que les situations mathématiques partagent la même « structure » mathématique.

Nous utilisons l'idée de structure à chaque étape de notre Vie courante. Si le thermomètre indique 10°C et que le bureau de prévision prévoit une hausse de température de 5°C, on s'attend sans aucun calcul à une température de 15°C. Si on ouvre un livre à la page 10 et qu'on nous demande de regarder 5 pages plus loin , on n'hésite pas à l'ouvrir à la 15ème page, sans compter les pages intermédiaires. Dans les deux cas, nous pensons que l'addition des nombres donne le résultat correct, quelle que soit leur interprétation - en tant que température ou numéro de page. Nous n’avons pas besoin d’apprendre une arithmétique pour les thermomètres et une autre pour les numéros de page (bien que nous utilisions une arithmétique spéciale pour les horloges, dans laquelle 8 + 5 = 1, puisque les horloges ont une structure différente de celle des pages d’un livre). Les structures qui intéressent les mathématiciens sont un peu plus complexes, comme il est facile de le constater à partir des exemples abordés dans les deux sections suivantes de cet article. L'un d'eux parlera de théorie des groupes et concepts mathématiques structures et isomorphismes.

Théorie des groupes.

Pour mieux comprendre le processus décrit ci-dessus, prenons la liberté de nous plonger dans le laboratoire d'un mathématicien moderne et d'examiner de plus près l'un de ses principaux outils - la théorie des groupes ( cm. Aussi ALGÈBRE ABSTRAITE). Un groupe est un ensemble (ou « ensemble ») d’objets g, sur lequel une opération est définie qui correspond à deux objets ou éléments quelconques un, b depuis g, pris dans l'ordre spécifié (le premier est l'élément un, le second est l'élément b), troisième élément c depuis g selon une règle strictement définie. Par souci de concision, nous désignons cet élément un*b; L'astérisque (*) désigne l'opération de composition de deux éléments. Cette opération, que nous appellerons multiplication de groupe, doit satisfaire les conditions suivantes :

(1) pour trois éléments quelconques un, b, c depuis g la propriété d'associativité contient : un* (b*c) = (un*b) *c;

(2) dans g il y a un tel élément e, qui pour tout élément un depuis g il y a un rapport e*un = un*e = un; cet élément e appelé l'élément singulier ou neutre d'un groupe ;

(3) pour tout élément un depuis g il y a un tel élément unў, dit inversé ou symétrique à l'élément un, Quoi un*unў = unў* un = e.

Si ces propriétés sont considérées comme des axiomes, alors leurs conséquences logiques (indépendantes de tout autre axiome ou théorème) forment ensemble ce qu'on appelle communément la théorie des groupes. Déduire ces conséquences une fois pour toutes s'est avéré très utile, puisque les groupes sont largement utilisés dans toutes les branches des mathématiques. Parmi des milliers d’exemples possibles de groupes, nous n’en sélectionnerons que quelques-uns parmi les plus simples.

(a) Fractions p/q, Où p Et q– des entiers arbitraires i1 (avec q= 1 nous obtenons des entiers ordinaires). Fractions p/q former un groupe sous multiplication de groupe ( p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Les propriétés (1), (2), (3) découlent des axiomes de l'arithmétique. Vraiment, [( p/q) *(r/s)] *(t/toi) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[(r/s)*(t/toi)]. L'élément unité est le nombre 1 = 1/1, puisque (1/1)*( p/q) = (1H p)/(1H q) = p/q. Enfin, l'élément inverse de la fraction p/q, est une fraction q/p, parce que ( p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Considérer comme g un ensemble de quatre entiers 0, 1, 2, 3, et comme un*b- reste de la division un + b en 4. Les résultats de l'opération ainsi introduite sont présentés dans le tableau. 1 (élément un*b se trouve à l'intersection de la ligne un et colonne b). Il est facile de vérifier que les propriétés (1) à (3) sont satisfaites et que l'élément d'identité est le nombre 0.

(c) Choisissons comme g un ensemble de nombres 1, 2, 3, 4, et comme un*b- reste de la division un B(produit ordinaire) par 5. En conséquence, nous obtenons une table. 2. Il est facile de vérifier que les propriétés (1) à (3) sont satisfaites et que l'élément d'identité est 1.

(d) Quatre objets, tels que les quatre nombres 1, 2, 3, 4, peuvent être disposés en rangée de 24 manières. Chaque arrangement peut être représenté visuellement comme une transformation qui transforme l'arrangement « naturel » en un arrangement donné ; par exemple, l'arrangement 4, 1, 2, 3 résulte de la transformation

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

qui peut être écrit sous une forme plus pratique

Pour deux de ces transformations S, T nous déterminerons S*T comme une transformation résultant d'une exécution séquentielle T, et puis S. Par exemple, si , alors . Avec cette définition, les 24 transformations possibles forment un groupe ; son élément unitaire est , et l'élément inverse de S, obtenu en remplaçant les flèches dans la définition S au contraire; par exemple, si , alors .

Il est facile de voir que dans les trois premiers exemples un*b = b*un; dans de tels cas, le groupe ou la multiplication de groupe est dit commutatif. En revanche, dans le dernier exemple, et donc T*S diffère de S*T.

Le groupe de l'exemple (d) est un cas particulier de ce qu'on appelle. groupe symétrique, dont le champ d'application comprend, entre autres, les méthodes de résolution équations algébriques et le comportement des raies dans le spectre des atomes. Les groupes des exemples (b) et (c) jouent un rôle important dans la théorie des nombres ; dans l'exemple (b) le chiffre 4 peut être remplacé par n'importe quel nombre entier n, et les nombres de 0 à 3 – les nombres de 0 à n– 1 (avec n= 12 nous obtenons un système de chiffres qui se trouvent sur les cadrans de l'horloge, comme nous l'avons mentionné ci-dessus) ; dans l'exemple (c), le chiffre 5 peut être remplacé par n'importe quel nombre premier R., et les nombres de 1 à 4 - les nombres de 1 à p – 1.

Structures et isomorphisme.

Les exemples précédents montrent à quel point la nature des objets qui forment un groupe peut être variée. Mais en fait, dans chaque cas, tout se résume au même scénario : des propriétés d'un ensemble d'objets, on ne considère que celles qui font de cet ensemble un groupe (voici un exemple de connaissance incomplète !). Dans de tels cas, nous considérons la structure de groupe donnée par la multiplication de groupe que nous avons choisie.

Un autre exemple de structure est ce qu'on appelle. structure des commandes. Un tas de E doté de la structure de l'ordre, ou ordonné s'il est entre les éléments un è b, appartenir à E, une certaine relation est donnée, que nous notons R. (un,b). (Cette relation doit avoir un sens pour toute paire d'éléments de E, mais en général c'est faux pour certaines paires et vrai pour d'autres, par exemple la relation 7

(1) R. (un,un) vrai pour tout le monde UN, possédé E;

(2) de R. (un,b) Et R. (b,un) il s'ensuit que un = b;

(3) de R. (un,b) Et R. (b,c) devrait R. (un,c).

Donnons quelques exemples tirés d'un grand nombre d'ensembles ordonnés divers.

(UN) E se compose de tous les entiers R. (un,b) – rapport « UN inférieur ou égal b».

(b) E se compose de tous les entiers >1, R. (un,b) – rapport « UN divise b ou égal b».

(c) E se compose de tous les cercles du plan, R. (un,b) – relation « cercle un contenu dans b ou coïncide avec b».

Comme dernier exemple de structure, mentionnons la structure de l'espace métrique ; une telle structure est définie sur l'ensemble E, si chaque paire d'éléments un Et b appartenir à E, vous pouvez faire correspondre le numéro d (un,b) i 0, satisfaisant les propriétés suivantes :

(1) d (un,b) = 0 si et seulement si un = b;

(2) d (b,un) = d (un,b);

(3) d (un,c) Ј d (un,b) + d (b,c) pour trois éléments donnés un, b, c depuis E.

Donnons des exemples d'espaces métriques :

(a) un espace « tridimensionnel » ordinaire, où d (un,b) – distance ordinaire (ou « euclidienne ») ;

(b) la surface d'une sphère, où d (un,b) – la longueur du plus petit arc de cercle reliant deux points un Et b sur la sphère ;

(c) n'importe quel ensemble E, Pour qui d (un,b) = 1 si un № b; d (un,un) = 0 pour n'importe quel élément un.

La définition précise de la notion de structure est assez difficile. Sans entrer dans les détails, on peut dire que sur de nombreux E une structure d'un certain type est spécifiée si entre les éléments de l'ensemble E(et parfois d'autres objets, par exemple des nombres qui jouent un rôle auxiliaire) sont spécifiées des relations qui satisfont un certain ensemble fixe d'axiomes caractérisant la structure du type considéré. Ci-dessus nous avons présenté les axiomes de trois types de structures. Bien entendu, il existe de nombreux autres types de structures dont les théories sont pleinement développées.

De nombreux concepts abstraits sont étroitement liés au concept de structure ; Citons seulement l’un des plus importants : le concept d’isomorphisme. Rappelez-vous l’exemple des groupes (b) et (c) donnés dans la section précédente. Il est facile de vérifier cela à partir du tableau. 1 à table 2 peut être parcouru en utilisant la correspondance

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

Dans ce cas on dit que ces groupes sont isomorphes. En général, deux groupes g Et gў sont isomorphes si entre les éléments du groupe g et éléments de groupe gў il est possible d'établir une telle correspondance biunivoque un « unў, et si c = un*b, Que cў = unў* bў pour les éléments correspondants Gў. Toute affirmation de la théorie des groupes valable pour un groupe g, reste valable pour le groupe gў, et vice versa. Groupes algébriques g Et gў impossible à distinguer.

Le lecteur peut facilement voir que de la même manière on peut définir deux ensembles ordonnés isomorphes ou deux espaces métriques isomorphes. On peut montrer que le concept d'isomorphisme s'étend à des structures de tout type.

CLASSIFICATION

Anciennes et nouvelles classifications des mathématiques.

Le concept de structure et d’autres concepts connexes ont pris une place centrale dans les mathématiques modernes, tant d’un point de vue purement « technique » que philosophique et méthodologique. Les théorèmes généraux des principaux types de structures constituent des outils extrêmement puissants de « technique » mathématique. Chaque fois qu'un mathématicien parvient à montrer que les objets qu'il étudie satisfont aux axiomes d'un certain type de structure, il prouve ainsi que tous les théorèmes de la théorie des structures de ce type s'appliquent aux objets spécifiques qu'il étudie (sans ces théorèmes généraux, il aurait très probablement manqué, perdrait de vue leurs options spécifiques ou serait obligé d'alourdir mon raisonnement avec des hypothèses inutiles). De même, si deux structures se révèlent isomorphes, alors le nombre de théorèmes double immédiatement : chaque théorème prouvé pour l'une des structures donne immédiatement un théorème correspondant pour l'autre. Il n’est donc pas surprenant qu’il existe des théories très complexes et difficiles, par exemple la « théorie des champs de classes » en théorie des nombres, dont l’objectif principal est de prouver l’isomorphisme des structures.

D'un point de vue philosophique, l'utilisation généralisée des structures et des isomorphismes démontre la caractéristique principale des mathématiques modernes - le fait que la « nature » des « objets » mathématiques n'a pas beaucoup d'importance, seules les relations entre les objets sont significatives (une sorte de principe de connaissance incomplète).

Enfin, on ne peut manquer de mentionner que la notion de structure a permis de classer les branches des mathématiques d'une manière nouvelle. Jusqu'au milieu du 19ème siècle. ils variaient selon le sujet de l'étude. L'arithmétique (ou théorie des nombres) traitait des nombres entiers, la géométrie traitait des lignes droites, des angles, des polygones, des cercles, des aires, etc. L'algèbre concernait presque exclusivement les méthodes de solution équations numériques ou des systèmes d'équations, la géométrie analytique a développé des méthodes de transformation problèmes géométriques en problèmes algébriques équivalents. L’éventail des intérêts d’une autre branche importante des mathématiques, appelée « analyse mathématique », comprenait principalement le calcul différentiel et intégral et leurs diverses applications à la géométrie, à l’algèbre et même à la théorie des nombres. Le nombre de ces applications a augmenté, et leur importance a également augmenté, ce qui a conduit à la fragmentation de l'analyse mathématique en sous-sections : théorie des fonctions, équations différentielles (dérivées ordinaires et partielles), géométrie différentielle, calcul des variations, etc.

Pour de nombreux mathématiciens modernes, cette approche rappelle l'histoire de la classification des animaux par les premiers naturalistes : autrefois, la tortue de mer et le thon étaient considérés comme des poissons parce qu'ils vivaient dans l'eau et avaient des caractéristiques similaires. L’approche moderne nous a appris à voir non seulement ce qui se trouve à la surface, mais aussi à regarder plus profondément et à essayer de reconnaître les structures fondamentales qui se cachent derrière l’apparence trompeuse des objets mathématiques. De ce point de vue, il est important d’étudier les types de structures les plus importants. Il est peu probable que nous disposions d’une liste complète et définitive de ces types ; certains d’entre eux ont été découverts au cours des 20 dernières années et il y a tout lieu d’espérer de nouvelles découvertes à l’avenir. Cependant, nous avons déjà une compréhension de nombreux types de structures « abstraites » de base. (Ils sont « abstraits » par rapport aux objets mathématiques « classiques », même si même ceux-ci peuvent difficilement être qualifiés de « concrets » ; il s’agit plutôt d’une question de degré d’abstraction.)

Les structures connues peuvent être classées selon les relations qu'elles contiennent ou selon leur complexité. D’une part, il existe un vaste bloc de structures « algébriques », dont un cas particulier est, par exemple, une structure de groupe ; Parmi d'autres structures algébriques, nous nommons anneaux et champs ( cm. Aussi ALGÈBRE ABSTRAITE). La branche des mathématiques concernée par l'étude des structures algébriques est appelée « algèbre moderne » ou « algèbre abstraite », par opposition à l'algèbre ordinaire ou classique. Une partie importante de la géométrie euclidienne, de la géométrie non euclidienne et de la géométrie analytique ont également été incluses dans la nouvelle algèbre.

Au même niveau de généralité se trouvent deux autres blocs de structures. L'une d'elles, appelée topologie générale, comprend des théories de types de structures, dont un cas particulier est la structure d'un espace métrique ( cm. TOPOLOGIE ; ESPACES ABSTRAITS). Le troisième bloc comprend les théories des structures d'ordre et leurs extensions. « L'expansion » de la structure consiste à ajouter de nouveaux axiomes à ceux existants. Par exemple, si aux axiomes du groupe on ajoute la propriété de commutativité comme quatrième axiome un*b = b*un, on obtient alors la structure d'un groupe commutatif (ou abélien).

De ces trois blocs, les deux derniers étaient dans un état relativement stable jusqu'à récemment, et le bloc « algèbre moderne » se développait rapidement, parfois dans des directions inattendues (par exemple, une branche entière appelée « algèbre homologique » s'est développée). En dehors de ce qu'on appelle Les types de structures « pures » se situent à un autre niveau – les structures « mixtes », par exemple algébriques et topologiques, avec de nouveaux axiomes qui les relient. De nombreuses combinaisons de ce type ont été étudiées, dont la plupart se répartissent en deux grands blocs : « l'algèbre topologique » et la « topologie algébrique ».

Pris ensemble, ces blocs constituent un domaine scientifique « abstrait » très important. De nombreux mathématiciens espèrent utiliser de nouveaux outils pour mieux comprendre les théories classiques et résoudre des problèmes difficiles. En effet, avec un niveau d'abstraction et de généralisation approprié, les problèmes des anciens peuvent apparaître sous un jour nouveau, ce qui permettra de trouver leurs solutions. De vastes pans du matériel classique sont tombés sous l’emprise des nouvelles mathématiques et ont été transformés ou fusionnés avec d’autres théories. Il reste de vastes zones dans lesquelles méthodes modernes Je n'ai pas été aussi profond. Les exemples incluent la théorie équations différentielles et une partie importante de la théorie des nombres. Il est très probable que des progrès significatifs dans ces domaines seront réalisés une fois que de nouveaux types de structures seront découverts et étudiés de manière approfondie.

DIFFICULTÉS PHILOSOPHIQUES

Même les Grecs de l’Antiquité comprenaient clairement que la théorie mathématique devait être exempte de contradictions. Cela signifie qu'il est impossible de déduire comme conséquence logique des axiomes l'énoncé R. et son déni n'est pas P.. Cependant, comme on croyait que les objets mathématiques avaient des correspondances dans le monde réel et que les axiomes étaient des « idéalisations » des lois de la nature, personne ne doutait de la cohérence des mathématiques. Lors du passage des mathématiques classiques aux mathématiques modernes, le problème de la cohérence a acquis un sens différent. La liberté de choisir les axiomes de toute théorie mathématique doit évidemment être limitée par la condition de cohérence, mais peut-on être sûr que cette condition sera remplie ?

Nous avons déjà évoqué la notion d'ensemble. Ce concept a toujours été utilisé de manière plus ou moins explicite en mathématiques et en logique. Dans la seconde moitié du XIXe siècle. les règles élémentaires de traitement du concept d'ensemble ont été partiellement systématisées, en outre, certains résultats importants ont été obtenus qui ont formé le contenu de ce qu'on appelle. théorie des ensembles ( cm. Aussi THÉORIE DES ENSEMBLES), qui est devenue, pour ainsi dire, le substrat de toutes les autres théories mathématiques. De l'Antiquité au XIXème siècle. il y avait des inquiétudes concernant ensembles infinis, par exemple, reflété dans les célèbres paradoxes de Zénon d'Élée (Ve siècle avant JC). Ces préoccupations étaient en partie de nature métaphysique et en partie causées par des difficultés associées au concept de mesure des quantités (par exemple, la longueur ou le temps). Il n'a été possible d'éliminer ces difficultés qu'après le XIXe siècle. les concepts de base de l'analyse mathématique étaient strictement définis. En 1895, toutes les craintes étaient dissipées et il semblait que les mathématiques reposaient sur les fondements inébranlables de la théorie des ensembles. Mais au cours de la décennie suivante, de nouveaux arguments apparurent qui semblaient montrer l’incohérence interne de la théorie des ensembles (et du reste des mathématiques).

Les nouveaux paradoxes étaient très simples. Le premier d’entre eux, le paradoxe de Russell, peut être considéré dans une version simple connue sous le nom de paradoxe du barbier. Dans une certaine ville, un barbier rase tous les habitants qui ne se rasent pas. Qui rase le barbier lui-même ? Si le barbier se rase, il rase non seulement les résidents qui ne se rasent pas, mais aussi un résident qui se rase ; s'il ne se rase pas lui-même, il ne rase pas tous les habitants de la ville qui ne se rasent pas. Un paradoxe de ce type apparaît chaque fois que l’on considère le concept de « l’ensemble de tous les ensembles ». Bien que cet objet mathématique semble très naturel, raisonner à son sujet conduit vite à des contradictions.

Le paradoxe de Berry est encore plus révélateur. Considérez l'ensemble de toutes les phrases russes ne contenant pas plus de dix-sept mots ; Le nombre de mots dans la langue russe est fini, donc le nombre de ces phrases est fini. Choisissons parmi eux ceux qui définissent de manière unique un entier, par exemple : « Le plus grand nombre impair est inférieur à dix ». Le nombre de ces phrases est également limité ; par conséquent, l’ensemble des entiers qu’ils déterminent est fini. Notons l'ensemble fini de ces nombres par D. Des axiomes de l'arithmétique, il s'ensuit qu'il existe des entiers qui n'appartiennent pas à D, et que parmi ces nombres il y a le plus petit nombre n. Ce nombre n est défini de manière unique par la phrase : « Le plus petit nombre entier qui ne peut être défini par une phrase composée de dix-sept mots russes au maximum. » Mais cette phrase contient exactement dix-sept mots. Il détermine donc le nombre n, qui devrait appartenir D, et nous arrivons à une contradiction paradoxale.

Intuitionnistes et formalistes.

Le choc provoqué par les paradoxes de la théorie des ensembles a suscité des réactions diverses. Certains mathématiciens étaient très déterminés et ont exprimé l’opinion que les mathématiques avaient évolué dans la mauvaise direction dès le début et qu’elles devraient reposer sur une base complètement différente. Il n’est pas possible de décrire avec précision le point de vue de ces « intuitionnistes » (comme ils ont commencé à s’appeler eux-mêmes), car ils ont refusé de réduire leurs vues à un schéma purement logique. Du point de vue des intuitionnistes, il est erroné d’appliquer des processus logiques à des objets intuitivement non représentables. Les seuls objets intuitivement clairs sont les nombres naturels 1, 2, 3,... et les ensembles finis nombres naturels, « construit » selon des règles précisément spécifiées. Mais même à de tels objets, les intuitionnistes n’ont pas permis d’appliquer toutes les déductions de la logique classique. Par exemple, ils n'ont pas reconnu que pour aucune déclaration R. vrai non plus R., ou non R.. Avec des moyens aussi limités, ils évitaient facilement les « paradoxes », mais en même temps ils jetaient par-dessus bord non seulement toutes les mathématiques modernes, mais aussi une partie importante des résultats des mathématiques classiques, et pour ceux qui restaient, il fallait trouver de nouveaux , des preuves plus complexes.

La grande majorité des mathématiciens modernes n’étaient pas d’accord avec les arguments des intuitionnistes. Les mathématiciens non intuitionnistes ont remarqué que les arguments utilisés dans les paradoxes diffèrent considérablement de ceux utilisés dans le travail mathématique ordinaire avec la théorie des ensembles, et par conséquent de tels arguments devraient être exclus comme illégaux sans mettre en danger les théories mathématiques existantes. Une autre observation était que dans la théorie des ensembles "naïve", qui existait avant l'avènement des "paradoxes", le sens des termes "ensemble", "propriété", "relation" n'était pas remis en question - tout comme dans la géométrie classique l'"intuitivité" n'a pas été remise en question. La nature des activités habituelles concepts géométriques. Par conséquent, on peut agir de la même manière qu’en géométrie, c’est-à-dire rejeter toute tentative de faire appel à « l’intuition » et prendre comme point de départ de la théorie des ensembles un système d’axiomes formulés avec précision. Il n’est cependant pas évident que des mots tels que « propriété » ou « relation » puissent être privés de leur sens ordinaire ; c'est pourtant ce qu'il faut faire si nous voulons exclure des arguments tels que le paradoxe de Berry. La méthode consiste à s'abstenir d'utiliser le langage ordinaire pour formuler des axiomes ou des théorèmes ; seules les propositions construites conformément à un système explicite de règles rigides sont autorisées comme « propriétés » ou « relations » en mathématiques et entrent dans la formulation des axiomes. Ce processus est appelé « formalisation » langage mathématique(pour éviter les malentendus découlant des ambiguïtés du langage ordinaire, il est recommandé de faire un pas de plus et de remplacer les mots eux-mêmes par des symboles spéciaux dans des phrases formalisées, par exemple remplacer le connecteur « et » par le symbole &, le connecteur « ou " avec le symbole Ъ, " existe " avec le symbole $, etc.). Les mathématiciens qui rejetaient les méthodes proposées par les intuitionnistes ont commencé à être appelés « formalistes ».

Cependant, la question initiale n’a jamais reçu de réponse. La « théorie des ensembles axiomatiques » est-elle exempte de contradictions ? De nouvelles tentatives pour prouver la cohérence des théories « formalisées » furent faites dans les années 1920 par D. Hilbert (1862-1943) et son école et furent appelées « métamathématiques ». Essentiellement, les métamathématiques sont une branche des « mathématiques appliquées », dans laquelle les objets auxquels le raisonnement mathématique est appliqué sont des propositions d'une théorie formalisée et leur arrangement dans des preuves. Ces phrases doivent être considérées simplement comme des combinaisons matérielles de symboles produites selon certaines règles établies, sans aucune référence à la « signification » possible de ces symboles (le cas échéant). Une bonne analogie est le jeu d'échecs : les symboles correspondent aux pièces, les phrases correspondent à différentes positions sur l'échiquier et les conclusions logiques correspondent aux règles de déplacement des pièces. Pour établir la cohérence d'une théorie formalisée, il suffit de montrer que dans cette théorie pas une seule preuve ne se termine par l'énoncé 0 n° 0. On peut cependant s'opposer à l'utilisation d'arguments mathématiques dans une preuve « méta-mathématique » de la cohérence d'une théorie mathématique ; si les mathématiques étaient incohérentes, alors les arguments mathématiques perdraient toute force et nous nous retrouverions dans une situation de cercle vicieux. Pour répondre à ces objections, Hilbert a autorisé un raisonnement mathématique très limité du type que les intuitionnistes considèrent comme acceptable pour une utilisation en métamathématiques. Cependant, K. Gödel montra bientôt (1931) que la cohérence de l'arithmétique ne peut être prouvée par des moyens aussi limités si elle est vraiment cohérente (le cadre de cet article ne permet pas d'esquisser la méthode ingénieuse par laquelle ce résultat remarquable a été obtenu, et l'histoire ultérieure des métamathématiques).

Résumant d’un point de vue formaliste les tendances dominantes situation problématique, il faut admettre qu'il est loin d'être complet. L'utilisation du concept d'ensemble était limitée par des réserves spécifiquement introduites pour éviter les paradoxes connus, et rien ne garantit que de nouveaux paradoxes n'apparaîtront pas dans la théorie des ensembles axiomatisée. Néanmoins, les limites de la théorie des ensembles axiomatiques n’ont pas empêché la naissance de nouvelles théories viables.

MATHÉMATIQUES ET MONDE RÉEL

Malgré les affirmations sur l’indépendance des mathématiques, personne ne niera que les mathématiques et le monde physique sont liés les uns aux autres. Bien entendu, l’approche mathématique pour résoudre les problèmes de physique classique reste valable. Il est également vrai que dans un domaine très important des mathématiques, à savoir la théorie des équations différentielles, des dérivées ordinaires et partielles, le processus d'enrichissement mutuel de la physique et des mathématiques est très fructueux.

Les mathématiques sont utiles pour interpréter les phénomènes du micromonde. Cependant, les nouvelles « applications » des mathématiques diffèrent considérablement des applications classiques. L'un des outils les plus importants de la physique est devenu la théorie des probabilités, qui était auparavant principalement utilisée en théorie. jeu d'argent et les activités d'assurance. Les objets mathématiques que les physiciens associent aux « états atomiques » ou aux « transitions » sont de nature très abstraite et ont été introduits et étudiés par les mathématiciens bien avant l'avènement de la science. mécanique quantique. Il faut ajouter qu'après les premiers succès, de sérieuses difficultés sont apparues. Cela s'est produit à une époque où les physiciens essayaient d'appliquer les idées mathématiques à des aspects plus subtils. théorie des quanta; Néanmoins, de nombreux physiciens envisagent encore avec espoir les nouvelles théories mathématiques, croyant qu’elles les aideront à résoudre de nouveaux problèmes.

Les mathématiques sont-elles une science ou un art ?

Même si l’on inclut la théorie des probabilités ou la logique mathématique dans les mathématiques « pures », il s’avère que moins de 50 % des résultats mathématiques connus sont actuellement utilisés par d’autres sciences. Que penser de la moitié restante ? En d’autres termes, quelles sont les motivations derrière ces domaines des mathématiques qui ne sont pas liés à la résolution de problèmes physiques ?

Nous avons déjà mentionné l'irrationalité des nombres comme représentant typique de ce type de théorèmes. Un autre exemple est le théorème démontré par J.-L. Lagrange (1736-1813). Il n’y a pratiquement aucun mathématicien qui ne la qualifierait d’« importante » ou de « belle ». Le théorème de Lagrange stipule que tout entier supérieur ou égal à un, peut être représenté comme une somme de carrés de quatre nombres maximum ; par exemple, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Dans l’état actuel des choses, il est inconcevable que ce résultat puisse être utile à la résolution d’un problème expérimental. Il est vrai que les physiciens travaillent beaucoup plus souvent aujourd'hui que par le passé avec des nombres entiers, mais les nombres entiers avec lesquels ils opèrent sont toujours limités (ils dépassent rarement quelques centaines) ; par conséquent, un théorème tel que celui de Lagrange ne peut être « utile » que s’il est appliqué à des nombres entiers compris dans une certaine limite. Mais dès qu’on limite la formulation du théorème de Lagrange, celui-ci cesse aussitôt d’être intéressant pour un mathématicien, puisque tout le pouvoir attractif de ce théorème réside dans son applicabilité à tous les entiers. (Il existe un grand nombre d’énoncés sur les nombres entiers qui peuvent être vérifiés par des ordinateurs de façon très précise. grands nombres; mais, comme aucune preuve générale n'a été trouvée, elles restent hypothétiques et n'intéressent pas les mathématiciens professionnels.)

Il n’est pas inhabituel pour les scientifiques travaillant dans n’importe quel domaine, qu’il s’agisse de l’astronomie ou de la biologie, de se concentrer sur des sujets très éloignés des applications immédiates. Cependant, même si le résultat expérimental peut être affiné et amélioré, la preuve mathématique est toujours concluante. C’est pourquoi il est difficile de résister à la tentation de considérer les mathématiques, ou du moins cette partie de celles-ci qui n’a aucun rapport avec la « réalité », comme un art. Les problèmes mathématiques ne sont pas imposés de l’extérieur et, si l’on se place du point de vue moderne, nous sommes totalement libres dans le choix du matériel. Lorsqu’ils évaluent certains travaux mathématiques, les mathématiciens n’ont pas de critères « objectifs » et sont obligés de se fier à leur propre « goût ». Les goûts varient considérablement selon les époques, les pays, les traditions et les individus. Dans les mathématiques modernes, il existe des modes et des « écoles ». Actuellement, il existe trois de ces « écoles », que nous appellerons par commodité « classicisme », « modernisme » et « abstractionnisme ». Pour mieux comprendre les différences entre eux, analysons les différents critères utilisés par les mathématiciens pour évaluer un théorème ou un groupe de théorèmes.

(1) Selon l’opinion générale, un « beau » résultat mathématique doit être non trivial, c’est-à-dire : ne devrait pas être une conséquence évidente d’axiomes ou de théorèmes déjà prouvés ; la preuve doit utiliser une sorte de nouvelle idée ou de vieilles idées sont intelligemment appliquées. En d’autres termes, ce qui est important pour un mathématicien n’est pas le résultat lui-même, mais le processus permettant de surmonter les difficultés qu’il a rencontrées pour l’obtenir.

(2) Tout problème mathématique a sa propre histoire, un « pedigree », pour ainsi dire, qui suit le même schéma général selon lequel se développe l’histoire de toute science : après les premiers succès, un certain temps peut s’écouler avant la réponse à la question. la question posée est trouvée. Lorsqu’une solution est obtenue, l’histoire ne s’arrête pas là, car les processus bien connus d’expansion et de généralisation commencent. Par exemple, le théorème de Lagrange mentionné ci-dessus pose la question de la représentation de tout entier comme une somme de cubes, de puissances quatrième, cinquième, etc. C’est ainsi que surgit le « problème de Waring », qui n’a pas encore reçu de solution définitive. De plus, si nous avons de la chance, le problème que nous résoudrons sera lié à un ou plusieurs structures fondamentales, ce qui, à son tour, entraînera de nouveaux problèmes associés à ces structures. Même si la théorie originale finit par mourir, elle laisse généralement derrière elle de nombreuses pousses vivantes. Les mathématiciens modernes sont confrontés à une telle diversité de problèmes que même si toute communication avec science expérimentale, leur solution prendrait encore plusieurs siècles.

(3) Tout mathématicien conviendra que lorsqu'un nouveau problème se présente à lui, il est de son devoir de le résoudre par tous les moyens possibles. Lorsqu'un problème concerne des objets mathématiques classiques (les classiques traitent rarement d'autres types d'objets), les classiques tentent de le résoudre en utilisant uniquement des moyens classiques, tandis que d'autres mathématiciens introduisent des structures plus « abstraites » afin d'utiliser des théorèmes généraux pertinents pour la tâche. Cette différence d’approche n’est pas nouvelle. Depuis le 19ème siècle. les mathématiciens sont divisés en « tacticiens » qui s'efforcent de trouver une solution purement forcée au problème, et en « stratèges » enclins aux manœuvres détournées qui permettent d'écraser l'ennemi avec de petites forces.

(4) Un élément essentiel de la « beauté » du théorème est sa simplicité. Bien entendu, la recherche de la simplicité caractérise toute pensée scientifique. Mais les expérimentateurs sont prêts à accepter des « solutions laides » si seulement le problème est résolu. De même, en mathématiques, les classicistes et les abstractionnistes se soucient peu de l’apparition de résultats « pathologiques ». En revanche, les modernistes vont jusqu’à voir dans l’apparition de « pathologies » de la théorie un symptôme révélateur de l’imperfection des concepts fondamentaux.



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