La division apparaît. Dans cet article, nous parlerons de division fractions ordinaires . Tout d’abord, nous donnerons une règle pour diviser des fractions ordinaires et examinerons des exemples de division de fractions. Nous nous concentrerons ensuite sur la division d'une fraction ordinaire par entier naturel et les nombres en fractions. Enfin, voyons comment diviser une fraction commune par un nombre fractionnaire.

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Diviser une fraction commune par une fraction commune

On sait que la division est l’action inverse de la multiplication (voir le lien entre division et multiplication). Autrement dit, la division consiste à trouver un facteur inconnu lorsque le produit et un autre facteur sont connus. Le même sens de division est conservé lors de la division de fractions ordinaires.

Regardons des exemples de division de fractions ordinaires.

Notez qu’il ne faut pas oublier de réduire les fractions et de séparer la partie entière d’une fraction impropre.

Diviser une fraction par un nombre naturel

Nous le donnerons tout de suite règle pour diviser une fraction par un nombre naturel: pour diviser la fraction a/b par un nombre naturel n, vous devez laisser le numérateur identique et multiplier le dénominateur par n, c'est-à-dire .

Cette règle de division découle directement de la règle de division des fractions ordinaires. En effet, représenter un nombre naturel sous forme de fraction conduit aux égalités suivantes .

Regardons l'exemple de la division d'une fraction par un nombre.

Exemple.

Divisez la fraction 16/45 par l'entier naturel 12.

Solution.

D'après la règle de division d'une fraction par un nombre, on a . Faisons l'abréviation : . Cette division est complète.

Répondre:

.

Diviser un nombre naturel par une fraction

La règle pour diviser les fractions est similaire règle pour diviser un nombre naturel par une fraction: pour diviser un nombre naturel n par une fraction commune a/b, il faut multiplier le nombre n par l'inverse de la fraction a/b.

D'après la règle énoncée, , et la règle de multiplication d'un nombre naturel par une fraction ordinaire permet de le réécrire sous la forme .

Regardons un exemple.

Exemple.

Divisez l'entier naturel 25 par la fraction 15/28.

Solution.

Passons de la division à la multiplication, nous avons . Après avoir réduit et sélectionné la partie entière, nous obtenons .

Répondre:

.

Diviser une fraction par un nombre fractionnaire

Diviser une fraction par un nombre fractionnaire se réduit facilement à la division de fractions ordinaires. Pour ce faire, il suffit d'effectuer

La dernière fois, nous avons appris à additionner et soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La plupart moment difficile ces actions impliquaient de ramener les fractions à un dénominateur commun.

Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. La bonne nouvelle est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Considérons d’abord le cas le plus simple, lorsqu’il existe deux fractions positives sans partie entière séparée.

Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.

Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».

Désignation:

De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.

À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.

Par définition nous avons :

Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives

Si présent en fractions partie entière, ils doivent être convertis en incorrects - et ensuite seulement multipliés selon les schémas décrits ci-dessus.

S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :

1. Plus par moins donne moins ;
2. Deux négatifs font un affirmatif.

Jusqu'à présent, ces règles n'étaient rencontrées que lors de l'addition et de la soustraction de fractions négatives, lorsqu'il fallait se débarrasser de la partie entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :

1. On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
2. S'il ne reste plus de points négatifs, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n’est pas barré parce qu’il n’y avait pas de paire, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste selon les règles habituelles. On a:

Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).

Notez également nombres négatifs: Lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.

Réduire les fractions à la volée

La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Par définition nous avons :

Dans tous les exemples, les nombres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.

Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple, il n’a pas été possible d’obtenir une réduction complète, mais le montant total des calculs a néanmoins diminué.

Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :

Vous ne pouvez pas faire ça !

L'erreur se produit car lors de l'addition, le numérateur d'une fraction produit une somme et non un produit de nombres. Par conséquent, il est impossible d'appliquer la propriété principale d'une fraction, puisque dans cette propriété nous parlons de spécifiquement sur la multiplication des nombres.

Il n'y a tout simplement aucune autre raison pour réduire les fractions, donc la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Bonne solution :

Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.

Vous pouvez tout faire avec les fractions, y compris la division. Cet article montre la division des fractions ordinaires. Des définitions seront données et des exemples seront discutés. Arrêtons-nous en détail sur la division de fractions par des nombres naturels et vice versa. La division d'une fraction commune par un nombre fractionnaire sera discutée.

Diviser des fractions

La division est l'inverse de la multiplication. Lors de la division, l'inconnue se trouve à œuvre célèbre et un autre facteur, où sa signification donnée est préservée avec les fractions ordinaires.

S'il est nécessaire de diviser une fraction commune a b par c d, alors pour déterminer un tel nombre, vous devez multiplier par le diviseur c d, cela donnera finalement le dividende a b. Prenons un nombre et écrivons-le a b · d c , où d c est l'inverse du nombre c d. Les égalités peuvent être écrites en utilisant les propriétés de la multiplication, à savoir : a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, où l'expression a b · d c est le quotient de la division de a b par c d.

De là, nous obtenons et formulons la règle de division des fractions ordinaires :

Définition 1

Pour diviser une fraction commune a b par c d, vous devez multiplier le dividende par l'inverse du diviseur.

Écrivons la règle sous la forme d'une expression : a b : c d = a b · d c

Les règles de division se résument à la multiplication. Pour vous y tenir, vous devez avoir une bonne compréhension de la multiplication des fractions.

Passons à la division des fractions ordinaires.

Exemple 1

Divisez 9 7 par 5 3. Écrivez le résultat sous forme de fraction.

Solution

Le nombre 5 3 est la fraction réciproque 3 5. Il est nécessaire d'utiliser la règle de division des fractions ordinaires. On écrit cette expression comme suit : 9 7 : 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Répondre: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Lors de la réduction de fractions, séparez la partie entière si le numérateur est supérieur au dénominateur.

Exemple 2

Divisez 8 15 : 24 65. Écrivez la réponse sous forme de fraction.

Solution

Pour résoudre, vous devez passer de la division à la multiplication. Écrivons-le sous cette forme : 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Il faut faire une réduction, et cela se fait comme suit : 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Sélectionnez la partie entière et obtenez 13 9 = 1 4 9.

Répondre: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Diviser une fraction extraordinaire par un nombre naturel

On utilise la règle de division d'une fraction par un nombre naturel : pour diviser a b par un nombre naturel n, il suffit de multiplier le dénominateur par n. De là, nous obtenons l'expression : a b : n = a b · n.

La règle de division est une conséquence de la règle de multiplication. Par conséquent, représenter un nombre naturel sous forme de fraction donnera une égalité de ce type : a b : n = a b : n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Considérez cette division d'une fraction par un nombre.

Exemple 3

Divisez la fraction 16 45 par le nombre 12.

Solution

Appliquons la règle pour diviser une fraction par un nombre. On obtient une expression de la forme 16 45 : 12 = 16 45 · 12.

Réduisons la fraction. Nous obtenons 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Répondre: 16 45: 12 = 4 135 .

Diviser un nombre naturel par une fraction

La règle de division est similaire Ô la règle pour diviser un nombre naturel par une fraction ordinaire : pour diviser un nombre naturel n par une fraction ordinaire a b, il faut multiplier le nombre n par l'inverse de la fraction a b.

D'après la règle, nous avons n : a b = n · b a, et grâce à la règle de multiplication d'un nombre naturel par une fraction ordinaire, nous obtenons notre expression sous la forme n : a b = n · b a. Il faut considérer cette division avec un exemple.

Exemple 4

Divisez 25 par 15 28.

Solution

Il faut passer de la division à la multiplication. Écrivons-le sous la forme de l'expression 25 : 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Réduisons la fraction et obtenons le résultat sous la forme de la fraction 46 2 3.

Répondre: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Diviser une fraction par un nombre fractionnaire

Lorsque vous divisez une fraction commune par un nombre fractionnaire, vous pouvez facilement commencer à diviser des fractions communes. Vous devez convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre.

Exemple 5

Divisez la fraction 35 16 par 3 1 8.

Solution

Puisque 3 1 8 est un nombre fractionnaire, représentons-le comme une fraction impropre. On obtient alors 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Maintenant, divisons les fractions. On obtient 35 16 : 3 1 8 = 35 16 : 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Répondre: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

La division d'un nombre fractionnaire se fait de la même manière que les nombres ordinaires.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Contenu de la leçon

Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires

Il existe deux types d'addition de fractions :

1. Additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs ;
2. Additionner des fractions avec différents dénominateurs.

Tout d’abord, étudions l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé.

Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :

Exemple 2. Ajoutez des fractions et .

La réponse n'était pas fraction propre. Si la fin de la tâche arrive, alors à partir de fractions impropres Il est d'usage de s'en débarrasser. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux feront un :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajoutez des fractions et .

Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être ajoutées parce qu'elles ont mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être ajoutées tout de suite, puisque ces fractions différents dénominateurs. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.

L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, des fractions ayant des dénominateurs différents se transforment en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Additionnons les fractions et

Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).

Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. DANS les établissements d'enseignement Il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions données ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires

On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :

L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière

Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :

Nous avons reçu une réponse

Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fractions :

1. Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé.

Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1. Trouvez le sens de l'expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).

Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :

Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Nous avons reçu une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza

Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :

La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).

Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au-dessus de la deuxième fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Ce qui peut être fait? Vous pouvez raccourcir cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.

On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10

Nous avons reçu une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur inchangé.

Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.

Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez des pizzas 1 fois, vous obtenez des pizzas

Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :

Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la fraction par 4

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières

Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :

Le nombre multiplié par la fraction et le dénominateur de la fraction sont résolus s'ils ont un facteur commun supérieur à un.

Par exemple, une expression peut être évaluée de deux manières.

Première façon. Multipliez le nombre 4 par le numérateur de la fraction et laissez le dénominateur de la fraction inchangé :

Deuxième façon. Le quatre étant multiplié et le quatre au dénominateur de la fraction peut être réduit. Ces quatre peuvent être réduits de 4, puisque le plus grand diviseur commun à deux quatre est le quatre lui-même :

Nous avons obtenu le même résultat 3. Après avoir réduit les quatre, de nouveaux nombres se forment à leur place : deux uns. Mais multiplier un par trois, puis diviser par un ne change rien. La solution peut donc s’écrire brièvement :

La réduction peut être effectuée même lorsque nous avons décidé d'utiliser la première méthode, mais au stade de la multiplication du nombre 4 et du numérateur 3 nous avons décidé d'utiliser la réduction :

Mais par exemple, l'expression ne peut être calculée que de la première manière - multipliez 7 par le dénominateur de la fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cela est dû au fait que le nombre 7 et le dénominateur de la fraction n'ont pas de diviseur commun supérieur à un et ne s'annulent donc pas.

Certains élèves raccourcissent par erreur le nombre à multiplier et le numérateur de la fraction. Vous ne pouvez pas faire ça. Par exemple, l'entrée suivante n'est pas correcte :

Réduire une fraction signifie que à la fois numérateur et dénominateur sera divisé par le même nombre. Dans le cas de l'expression, la division est effectuée uniquement au numérateur, car l'écrire équivaut à écrire . Nous voyons que la division s'effectue uniquement au numérateur et qu'aucune division ne se produit au dénominateur.

Multiplier des fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.

Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.

Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :

Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :

Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :

En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.

Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un nombre entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :

Nombres réciproques

Maintenant, nous allons faire connaissance avec très sujet intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des « numéros inversés ».

Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.

Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :

Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :

Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.

L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.

Trouver numéro réciproque C’est également possible pour toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.

Diviser une fraction par un nombre

Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?

On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.

) et dénominateur par dénominateur (on obtient le dénominateur du produit).

Formule pour multiplier des fractions :

Par exemple:

Avant de commencer à multiplier les numérateurs et les dénominateurs, vous devez vérifier si la fraction peut être réduite. Si vous parvenez à réduire la fraction, il vous sera plus facile de faire d'autres calculs.

Diviser une fraction commune par une fraction.

Division de fractions impliquant des nombres naturels.

Ce n'est pas aussi effrayant qu'il y paraît. Comme dans le cas de l’addition, on convertit l’entier en une fraction avec un au dénominateur. Par exemple:

Multiplier des fractions mixtes.

Règles de multiplication des fractions (mixtes) :

• convertir des fractions mixtes en fractions impropres ;
• multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions ;
• réduire la fraction;
• Si vous obtenez une fraction impropre, nous convertissons la fraction impropre en fraction mixte.

Note! Multiplier fraction mixte en une autre fraction mixte, vous devez d'abord les convertir sous forme de fractions impropres, puis les multiplier selon la règle de multiplication des fractions ordinaires.

La deuxième façon de multiplier une fraction par un nombre naturel.

Il peut être plus pratique d'utiliser la deuxième méthode pour multiplier une fraction commune par un nombre.

Note! Pour multiplier une fraction par un nombre naturel, vous devez diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre et laisser le numérateur inchangé.

D'après l'exemple donné ci-dessus, il est clair que cette option est plus pratique à utiliser lorsque le dénominateur d'une fraction est divisé sans reste par un nombre naturel.

Fractions à plusieurs étages.

Au lycée, on rencontre souvent des fractions de trois étages (ou plus). Exemple:

Pour ramener une telle fraction à sa forme habituelle, utilisez la division par 2 points :

Note! Lors de la division de fractions, l’ordre de division est très important. Attention, il est facile de se tromper ici.

Note, Par exemple:

En divisant un par n'importe quelle fraction, le résultat sera la même fraction, seulement inversée :

Conseils pratiques lors de la multiplication et de la division de fractions :

1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention. Effectuez tous les calculs avec soin et précision, de manière concentrée et claire. Il vaut mieux écrire quelques lignes supplémentaires dans son brouillon plutôt que de se perdre dans des calculs mentaux.

2. Dans les tâches avec différents types fractions - passez à la forme de fractions ordinaires.

3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de les réduire.

4. À plusieurs étages expressions fractionnaires nous les mettons sous forme ordinaire, en utilisant la division en 2 points.

5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.