Calcul de tiges sous compression-tension excentrique

Exemple 1.

Court en fonte la tige est comprimée par une force longitudinale F= 600 kN appliqué en un point DANS.

Requis:

1. Déterminez la position de la ligne neutre ;

2. Calculez les contraintes de traction et de compression maximales les plus élevées.

Solution.

1. Dessinons la section à l'échelle.

2. Déterminez la position des principaux axes centraux. La section a un axe de symétrie, donc l'axe Oui Nous pouvons vous le montrer tout de suite.

3. Déterminez la position du centre de gravité de la figure (la figure se compose de deux carrés). Choisissons un système de coordonnées auxiliaires arbitraire.

x 1 C 1 Oui– système de coordonnées auxiliaires ;

déterminer les coordonnées des points AVEC 1 et AVEC 2 dans le système x 1 C 1 Oui.

UN 1 , UN 2 – aire du premier et du deuxième carré, respectivement.

A = A1 – A2– aire de la figure entière.

UN 1 = b 2 = 2500 cm2

AVEC (X c = 0 ; à c = -5,89) – position du centre de gravité dans le système de coordonnées auxiliaire x 1 C 1 Oui.

Axe X dessiner perpendiculairement à l'axe Ouià travers le point AVEC.

Puisque la section est symétrique, alors XС Y– système de coordonnées central principal.

4. Déterminons les principaux moments d'inertie centraux et les carrés des rayons principaux de la section.

Où UN 1 = 5,89 cm – distance entre axes X Et X 1 ;

UN 2 = 5,89 + 17,68 = 23,57 – distance entre les essieux X Et X 2 .

5. Déterminez les coordonnées du point DANS(points d'application de la force) dans le système de coordonnées central principal x c Su c.

6. Déterminez la position de la ligne neutre.

,

Où X N, à N – coordonnées des points de la ligne neutre.

Dans ce problème

La ligne neutre passe par le point ( X N=0;à N =11,36) parallèle à l'axe X Avec.

7. Dans ce problème, une force de compression agit sur la tige, donc les contraintes normales en tout point de la section transversale seront déterminées par la formule

Où x, y– ce sont les coordonnées du point où les contraintes sont calculées.

8. Les contraintes de compression les plus élevées sont atteintes au point DANS. C'est le point le plus éloigné de la ligne neutre dans la zone de compression.

Les contraintes de traction les plus élevées sont atteintes aux points À Et Loui K = à L = 23,57 cm.

Répondre: ,

Exemple 2.

Construisez le noyau de la section.

Solution.

1. Déterminez le type de contour du noyau de section.

2. Déterminez le nombre de sommets du polygone obtenu à l'intérieur du contour (c'est-à-dire le nombre de tangentes limites à la section de la tige). 6 tangentes limites - 6 sommets.

3. Déterminez la position des principaux axes centraux. La section a un axe de symétrie horizontal, donc l'axe " X« Nous pouvons vous le montrer tout de suite. XOOui 0 – système de coordonnées auxiliaire (axe " Oui 0 "est effectué arbitrairement).

La section se compose de deux formes simples (rectangle et carré). Déterminons les coordonnées des centres de gravité AVEC 1 et AVEC 2 dans un système de coordonnées arbitraire XOOui 0 .

Centre de gravité d'un rectangle.

Centre de gravité d'un carré.

Aire d'un rectangle.

Aire d'un carré.

(parce que AVEC 1 et AVEC 2 se trouvent sur l'axe).

Centre de gravité de toute la section dans le système de coordonnées XOOui 0 a des coordonnées AVEC(0,015 ; 0). (Nous le montrerons dans le dessin).

Axe Oui dessiner perpendiculairement à l'axe Oui 0 passant par le centre de gravité AVEC.

La section étant symétrique, l'axe de symétrie et l'axe qui lui est perpendiculaire, passant par le centre de gravité, forment l'axe principal système central coordonnées

X, Oui– les grands axes centraux de la section.

4. Déterminer les caractéristiques géométriques de la section par rapport aux principaux axes centraux.

Calculer les principaux moments centraux d'inertie J. x et J. y.

Principaux moments centraux d'inertie d'un rectangle.

Les principaux moments centraux d'inertie d'un carré.

(ici, nous avons utilisé des formules pour déterminer les moments d'inertie autour d'axes parallèles. Moments axiaux inertie d'une section plate par rapport à des axes arbitraires X 1 et à 1, parallèle aux axes centraux X Et à, déterminé par les formules

;

Où UN,b– distance entre axes X Et X 1 , à Et à 1 , UN– surface transversale. il est admis que x, y– les axes centraux, c'est-à-dire les axes passant par le centre de gravité AVEC section plate).

Calculons les carrés des rayons d'inertie principaux

5. Déterminez les sommets du noyau de la section.

Que la position de la ligne neutre soit connue. Il est nécessaire de déterminer les coordonnées du point d'application de la force.

1. Considérez la position de la ligne neutre 1 – 1.

Nous utilisons la propriété de la ligne neutre. Puisque la ligne neutre 1–1 est parallèle à l'axe Oui, alors le point d'application de la force je 1 est sur l'axe X, c'est à F =0.

X N – abscisse de la ligne neutre point 1 – 1 (distance du point AVECà la ligne neutre 1 – 1).

2. Considérez la position de la ligne neutre 2 – 2.

Prenez deux points de la ligne neutre 2 - 2 (il vaut mieux choisir des points où l'on peut facilement calculer les coordonnées)

DANS(-0,615 ; 0,3)je D(-0,015; 0,6)

Remplaçons les coordonnées des points DANS Et D dans l’équation de la droite neutre.

(1)

(2)

Résolvons le système d'équations (1) – (2)

De la première équation

(3)

Remplaçons (3) par (2)

3. Considérez la position de la ligne neutre 3 – 3.

Nous utilisons la propriété de la ligne neutre. Puisque la ligne neutre 3 – 3 est parallèle à l’axe X, alors le point d'application de la force je 3 est sur l'axe Oui, c'est X F =0.

à N – ordonnée du point de la ligne neutre 3 – 3 (distance du point AVECà la ligne neutre 3 – 3).

4. Considérez la position de la ligne neutre 4 – 4.

Nous utilisons la propriété de la ligne neutre. Puisque la ligne neutre 4 – 4 est parallèle à l’axe Oui, alors le point d'application de la force je 4 est sur l'axe X, c'est à F = 0.

Exemple3 .

Une tige rigide est soumise à deux forces : traction et compression (Fig. 1). La tige est faite d'un matériau fragile avec des caractéristiques et. La section transversale de la tige est symétrique et a la forme et les dimensions correspondant à la Fig. 2.

Requis:

1) trouver la charge admissible sur la tige à partir de la condition de résistance si le rapport des forces de compression et de traction

2) construire le noyau de la section.

Fig.1Fig.2

Solution.

La position des principaux axes centraux d'inertie et les moments d'inertie par rapport à ces axes d'une section donnée ont été retrouvés précédemment (voir la section « Caractéristiques géométriques des sections planes »). Trouvons les efforts internes dans une section arbitraire de la tige :

Pour déterminer la position des points dangereux, on va construire une ligne neutre. Équation de ligne neutre dans ce problème a la forme

De là, nous retrouvons les segments coupés par la ligne neutre sur les axes et. Si donc

et, si, alors

La ligne neutre est représentée sur la Fig. 3.

Figure 3

Traçons des tangentes au contour de la section parallèlement à la ligne neutre. Les points 1 et 1 sont dangereux ¢ (voir Fig. 3), la plus éloignée de la ligne neutre. Pour un matériau fragile, le point où les contraintes de traction sont maximales est plus dangereux, c'est-à-dire point 1. Trouvons la tension à ce point en la substituant dans la formule coordonnées du point 1 :

Condition de résistance au point 1 Ou

De là, vous pouvez trouver la valeur de charge admissible (n'oubliez pas de régler correctement les unités de mesure. Multiplicateur avant F p dans cet exemple il a une dimension de cm -2).

En conclusion, il faut s'assurer qu'au point 1 ¢ , qui dans cet exemple est plus éloigné de l'axe neutre que le point 1, et auquel agissent les contraintes de compression, la condition de résistance est également satisfaite, c'est-à-dire

Construisons maintenant le cœur de la section. Plaçons les poteaux aux coins extérieurs de la section. Compte tenu de la symétrie de la section, il suffit de placer les poteaux en trois points : 1, 2 et 3 (voir Fig. 3). Substitution dans des formules ; coordonnées des pôles, on retrouvera les segments coupés par des lignes neutres sur les axes et. Si le pôle est au point 1, alors ses coordonnées Et

La ligne neutre 1-1, correspondant au pôle au point 1, est représentée sur la Fig. 3. De même, nous construisons les lignes neutres 2-2 et 3-3, correspondant aux pôles 2 et 3. Lors de la construction d'une ligne neutre, assurez-vous qu'elle passe dans le quadrant opposé à celui dans lequel se trouve le pôle. La zone ombrée sur la Fig. 3 est le cœur de la section. Pour le contrôle de la Fig. La figure 3 montre l'ellipse d'inertie. Le noyau de la section doit être situé à l’intérieur de l’ellipse d’inertie, sans la couper nulle part.

Exemple 4.

Une tige de section asymétrique est comprimée par une force appliquée en un point UN (Fig. 1). La section transversale a la forme et les dimensions indiquées sur la Fig. 2. Le matériau de la tige est fragile.

Requis:

1) trouver la charge admissible qui satisfait à la condition de résistance ;

2) construire le noyau de la section.

Solution.

Tout d'abord, il faut déterminer les moments et les rayons d'inertie de la section transversale par rapport aux principaux axes centraux. Cette partie de la solution au problème est donnée dans la section « Caractéristiques géométriques des sections planes ». En figue. La figure 1 montre les principaux axes centraux d'inertie de la section , , dont la position a été trouvée précédemment. Dans le système d'axes centraux OuiZ(Fig. 2) coordonnées du point d'application de la force UN , . Calculons les coordonnées du point UN dans le système des axes centraux principaux selon les formules

.

Fig.1Fig.2

Pour déterminer la position des points dangereux, nous allons construire une ligne neutre à l'aide des formules ; . Rayons d'inertie, trouvés plus tôt.

Traçons ces segments le long des axes principaux et traçons une ligne neutre passant par les points résultants (voir Fig. 3).

Figure 3

Points de danger, c'est-à-dire les points les plus éloignés de l'axe neutre seront les points 1 et 3 (voir Fig. 3). Au point 1, la plus grande contrainte de traction agit. Écrivons la condition de résistance à ce stade en utilisant la formule :

Remplaçons les coordonnées du point dangereux 1 dans les axes principaux dans la condition de résistance, en les calculant à l'aide des formules

soit en mesurant sur un dessin à l'échelle, Ensuite, à partir de la condition de résistance au point 1, la valeur de charge admissible peut être trouvée :

.

Pour la valeur trouvée de la charge admissible, il est nécessaire de s'assurer que la condition de résistance est également remplie au point 3, qui est encore plus éloigné de la ligne neutre et auquel la contrainte de compression agit. Pour déterminer la tension au point 3, substituez les coordonnées de ce point dans la formule

.

Cette tension ne doit pas dépasser . Si la condition de résistance au point présentant les contraintes de compression maximales n'est pas satisfaite, il est nécessaire de retrouver la valeur de la charge admissible à partir de la condition de résistance en ce point.

Enfin, nous construisons le noyau de la section. Plaçons les poteaux aux coins extérieurs de la section, c'est-à-dire aux points 1, 2, 3, 4, 5 (voir Fig. 3). Le point 4, situé sur le contour du quadrant du cercle, est obtenu de la manière suivante. En coupant le point du coin interne, nous traçons une ligne tangente au contour de la section (ligne pointillée sur la Fig. 3). Le point 4 est le point où cette ligne touche le quadrant du cercle. On retrouve successivement la position des lignes neutres correspondant aux pôles aux points indiqués, en trouvant les segments coupés par les lignes neutres sur les axes , , à l'aide des formules ; .Par exemple, si le pôle est au point 1, alors en remplaçant ; coordonnées du point 1 (), on trouve

Comme elle est nettement plus grande, cela signifie que la ligne neutre 1–1 est presque parallèle à l'axe. Nous traçons le segment sur une échelle le long de l'axe et traçons une ligne droite 1–1 parallèle à l'axe (voir Fig. 3). De même, on construit des lignes neutres correspondant à des pôles situés en d'autres points. Le noyau en coupe transversale (zone ombrée) est illustré sur la Fig. 3. Notez que le contour du noyau de section entre les lignes neutres 4-4 et 5-5 est tracé le long d'une courbe, car La transition du pôle du point 4 au point 5 ne se fait pas en ligne droite. En figue. La figure 3 montre également l'ellipse d'inertie de la section, construite précédemment.

Exemple 5.

Sur une poutre d'une section donnée en un point D l'extrémité supérieure présente une force de compression longitudinale R.=300 kN (voir figure). Il faut trouver la position de la ligne zéro, déterminer les contraintes (de traction et de compression) les plus élevées et construire le noyau de la section.

Solution:

1. Trouver la position des principaux axes centraux d'inertie et déterminer la surface de la section transversale

Puisque la section transversale de la poutre (Fig. 1) a deux axes de symétrie, et qu'ils passent toujours par le centre de gravité de la section et sont les principaux, alors les principaux axes centraux de la section X avec et à c coïncidera avec ces axes de symétrie.

Centre de gravité de la section AVEC dans ce cas, il n'est pas nécessaire de le définir puisqu'il coïncide avec le centre géométrique de la section.

La section transversale de la poutre est égale à :

2. Détermination des principaux moments centraux d'inertie et des principaux rayons d'inertie

Les moments d'inertie sont déterminés par les formules :

On calcule les carrés des rayons d'inertie principaux :

3. Détermination de la position de la ligne zéro

Les segments coupés par la ligne zéro sur les principaux axes centraux d'inertie sont déterminés par les formules :

Où xp=2,3 cm et et r=2 cm – coordonnées du point d'application de la force R.(point P sur la figure 11). Mise de côté des segments et respectivement sur les axes xs Et oui et en traçant une ligne droite passant par leurs extrémités, on obtient une ligne de section nulle pour laquelle les contraintes normales sont égales à zéro (). Sur la figure 1, cette ligne est désignée n-n.

4. Détermination des contraintes de compression et de traction les plus élevées et construction d'un diagramme de contraintes

Point D , dont les coordonnées X D =5,25 cm et à D=5 cm, est le plus éloigné de la ligne zéro dans la zone comprimée de la section, c'est pourquoi les contraintes de compression les plus élevées y apparaissent et sont déterminées par la formule

Les contraintes de traction les plus importantes se produisent au point K, qui a pour coordonnées xk= -5,25 cm, ouais= -5cm.

Sur la base des valeurs obtenues, nous construisons un diagramme des contraintes normales (voir Fig. 11).

5. Construction du noyau de section

Pour construire le noyau de la section, en tenant compte du fait que la section est symétrique, considérons deux positions de la tangente au contour de la section I -I et II -II (voir fig. 1).

Segments coupés par la tangente I -I sur les axes de coordonnées sont égaux à :

Les coordonnées du point limite 1 du noyau de la section sont déterminées par les formules :

La tangente II -II coupe les segments =5,25 cm, = ¥ .

Coordonnées du point frontière 2 :

Les coordonnées des points limites de la seconde moitié du noyau de section n'ont pas besoin d'être déterminées, puisque la section de la poutre est symétrique. En tenant compte pour les tangentes III -III et IV -IV, les coordonnées des points limites 3 Et 4 sera:

= 0; = 15,2× 10-3 mètres ;

=23,0× 10 -3 m = 0.

En reliant successivement les points 1, 2, 3 et 4 par des lignes droites, on obtient le noyau de la section (Fig. 1).

Exemple 6.

Dans la section indiquée sur la figure et appartenant à une colonne comprimée de manière excentrique, déterminer les points les plus dangereux et les contraintes qui y sont présentes. Force de compression F= 200 kN = 20 t appliquées en un point UN.

Solution.

Les axes X et Y étant des axes de symétrie, ce sont les principaux axes centraux.

Les points les plus dangereux seront les points où maximum normal tension, et ce sont les points les plus éloignés de la ligne zéro. Par conséquent, nous devons d’abord déterminer la position de la ligne zéro. Nous écrivons l'équation de la droite zéro.

Dans notre cas, les coordonnées du point d'application de la force sont les suivantes (voir figure) :

= – 90 mm = – 0,09 m ;

= – 60 mm = – 0,06 m.

Les carrés des rayons d'inertie sont définis comme suit :

ici et - moments d'inertie axiaux autour des axes centraux principaux X et Y.

Détermination des moments d'inertie axiaux. Pour notre section nous aurons :

M4 ;

M4.

La superficie de la section entière sera égale à :

M2,

puis les carrés des rayons d'inertie :

m2;

m2.

À l'aide de formules, nous déterminons les segments que la ligne zéro coupe sur les axes X Et Oui:

m;

m.

Traçons ces segments sur les axes de coordonnées et obtenons les points auxquels la ligne zéro coupe les axes de coordonnées. Nous traçons une ligne droite passant par ces points (voir figure). On voit que les points les plus éloignés - c'est le point B dans la zone de tension négative et le point D dans la zone de tension positive.

Déterminons les tensions en ces points :

;

D'après le dessin (voir figure), nous obtenons :

= – 0,12 m ; = – 0,03 m.

= –5,39× 10 4 kN/m 2 = – 53,9 MPa.

;

0,12 m ; = 0,03 m.

1,86× 10 4 kN/m 2 = 18,6 MPa.

Exemple 7.

Fontecourtela tige, dont la section transversale est représentée sur la figure, est comprimée par une force longitudinale F, appliqué au point UN.

Requis:

1) calculer les contraintes de traction et de compression maximales les plus élevées dans la section transversale, en exprimant les valeurs de ces contraintes par F et dimensions des sections ; UN= 40 mm, b= 60 mm ;

2) trouver la charge admissible Fà des dimensions de section transversale données et des contraintes admissibles pour la fonte en compression = 100 MPa et en traction = 30 MPa.

Solution.

Il a été indiqué ci-dessus que les caractéristiques géométriques dans les formules de calcul sont prises par rapport aux principaux axes centraux, nous déterminerons donc le centre de gravité de la section. Axe X est l'axe de symétrie, et donc, il passe par le centre de gravité, il suffit donc de trouver son emplacement sur cet axe. Divisons la section en deux composantes (1 et 2) et choisissons les axes auxiliaires. Notez les coordonnées. des centres de gravité AVEC 1 et AVEC 2 dans ces axes.

Aura AVEC 1 (0,0); AVEC 2 (0,04 ; 0), alors :

m;

Donc, dans les axes xy 1 le centre de gravité de toute la section a des coordonnées AVEC (0,0133 ; 0). Nous traçons un axe passant par le centre de gravité de la section Axe Y perpendiculaire X. Axe X et Y seront les principaux axes centraux de la section.

Déterminons la position de la ligne zéro.

Coordonnées du point d'application de la force (points UN) sera la suivante : =(0,02–0,0133)+0,04 =0,0467 m ; = 0,06 m ;

m4,

m4,

où = 0,0133 m ;

m2.

m2, m2;

et on obtient les segments coupés par l'axe neutre sur les axes principaux d'inertie X et Y, respectivement :

Mettez-le sur l'axe X, et sur l'axe Oui et tracez une ligne zéro passant par les points obtenus (voir figure). On voit que les points de la section les plus éloignés de la ligne zéro - c'est le point UN dans une zone et un point compressés DANS dans une zone étendue. Les coordonnées de ces points sont les suivantes : UN(0,0467; 0,06); DANS(–0,0333 ; –0,12). Déterminons les contraintes en ces points, en les exprimant par F.

Tension ponctuelle UN ne doit pas dépasser la contrainte de compression admissible , et la tension au point DANS ne doit pas dépasser la contrainte de traction admissible, c'est-à-dire les conditions suivantes doivent être remplies :

, ,

ou

(UN),

(b).

Depuis:

de (b):

Afin de satisfaire simultanément la condition de résistance dans les zones de traction et de compression de la colonne, il faut prendre la plus petite des deux obtenues comme charge admissible, c'est-à-dire = 103 kN.

Exemple 8.

Court en fonte une tige de section rectangulaire représentée sur la figure est comprimée par une force longitudinale F, appliqué au point UN.

Requis:

1) calculer les contraintes de traction et de compression maximales les plus élevées dans la section transversale, en exprimant les valeurs de ces contraintes par F et dimensions des sections ;

2) trouver la charge admissible Fà des dimensions de section transversale données et des contraintes de compression admissibles pour la fonte et traction .

Solution.

Déterminons la position de la ligne zéro. Pour ce faire, nous utiliserons les formules

Les coordonnées du point d'application de la force (point A) seront les suivantes :

On détermine les carrés des rayons d'inertie à l'aide des formules :

Nous déterminons les segments que la ligne zéro coupe sur les axes X Et à.

Mettez-le sur l'axe X – X 0 , et sur l'axe à – à 0 et tracez une ligne zéro passant par les points obtenus n – n(voir l'image). On voit que les points les plus éloignés de la section sont le point A dans la région compressée et le point B dans la région étirée. Les coordonnées de ces points sont les suivantes : A (0,04 ; 0,06), B (–0,04 ; –0,06). Déterminons l'ampleur de la contrainte en ces points, en les exprimant en termes de force F:

La contrainte au point A ne doit pas dépasser la contrainte de compression admissible, et la contrainte au point B ne doit pas dépasser la contrainte de traction admissible, c'est-à-dire la condition doit être remplie

De la première expression la quantité F

La charge qui est la plus petite des deux trouvées est acceptée, c'est-à-dire = 567 nœuds.

Exemple 9.

Une tige courte en fonte avec la section transversale illustrée à la Fig. UN, comprimé par une force longitudinale P., appliqué au point UN. Déterminer les contraintes de traction et de compression maximales les plus élevées dans la section transversale de la tige, en les exprimant en termes de force P. et dimensions de la section cm, cm. Trouver la charge admissible à des contraintes admissibles données pour le matériau en compression kN/cm 2 et en traction kN/cm 2.

Solution.

Force agissant sur la tige P. en plus de la compression, il plie la tige par rapport aux axes centraux principaux X Et oui. Les moments fléchissants sont respectivement égaux à :

où cm et cm sont les coordonnées du point d'application de la force P.(coordonnées du point UN).

Contraintes normales à un moment donné avec coordonnées X Et ouin'importe lequel la section transversale de la tige est déterminée par la formule

,

Où F est l'aire, et et sont les rayons de giration de la section transversale.

1. Déterminez les caractéristiques géométriques de la section transversale de la tige.

La section transversale de la tige est égale à :

Les principaux moments d'inertie centraux sont déterminés comme suit.

Calcul du moment d'inertie Total sections transversales par rapport à l'axe X, nous divisons la figure entière en un rectangle de largeur et de hauteur et deux rectangles de largeur et de hauteur de sorte que l'axe Xétait central pour ces trois chiffres. Alors

.

Pour calculer le moment d'inertie de toute la section par rapport à l'axe oui divisons la figure entière un peu différemment : un rectangle avec largeur et hauteur et deux rectangles avec largeur et hauteur, de sorte que maintenant l'axe ouiétait central pour ces trois chiffres. On a

.

Les carrés des rayons d'inertie sont :

; .

2. Déterminez la position de la ligne zéro.

Les segments coupés par la ligne zéro des axes de coordonnées sont égaux à :

cm ; cm.

Afficher la ligne zéro N –N En figue. b. La ligne zéro divise la section transversale en deux régions, l’une en traction et l’autre en compression. Dans la figure 1, b étiré surface de la section transversale de la tige par nos soins ombragé.

3. Calculez le plus grand traction tension.

Cela se produit à des moments 6 Et 7 , c'est-à-dire aux points les plus éloignés de la ligne zéro. La valeur de cette tension, calculée par exemple pour le point 6 équivaut à:

4. Calculez le plus grand compressif tension.

Cela se produit à des moments 2 Et 3 , également le plus éloigné de la ligne zéro. La valeur de cette tension, calculée par exemple pour le point 2 , équivaut à:

5. Nous déterminons la charge admissible à partir de la condition de résistance à la traction :

kN/cm 2 ; kN.

6. Nous déterminons la charge admissible à partir de la condition de résistance à la compression :

kN/cm 2 ; kN.

à partir des deux valeurs trouvées aux paragraphes 6 et 7 :

Exemple 10.

Une colonne courte, dont la section transversale est représentée sur la figure 1, est comprimée par une force longitudinale F= 200 kN, appliqué au point À. Dimensions des sections une = 40cm, b = 16 cm. Résistance à la traction calculée du matériau RT = 3 MPa, compression R avec = 30 MPa .

Requis:

1. Trouvez la position de la ligne zéro.

2. Calculez les contraintes de compression et de traction les plus élevées et construisez un diagramme de contraintes. Donnez une conclusion sur la résistance de la colonne.

3. Déterminer la capacité portante de conception (charge de conception) F maximum pour des dimensions de section transversale données.

4. Construisez le noyau de la section.

Fig. 1

Solution.

1. Détermination des coordonnées du centre de gravité de la section.

La section transversale de la colonne a un axe de symétrie Xs, donc le centre de gravité se trouve sur cet axe et pour trouver la coordonnée xs par rapport au petit axe Oui (voir Fig. 1) nous divisons la section complexe en trois rectangles

2. Caractéristiques géométriques de la section.

Pour calculer les principaux moments d'inertie centraux, nous utiliserons la relation entre les moments d'inertie lors de la translation parallèle des axes.

Déterminer les carrés des rayons d'inertie

Coordonnées du point d'application de la force F

3. Position de la ligne zéro

D'après trouvé segments coupés sur les axes de coordonnées que nous dessinons ligne zéro (voir Fig. 2).

4. Détermination des contraintes de compression et de traction les plus élevées. Diagramme .

Points les plus éloignés de la ligne zéro : DANS(-60; 16)EtD(60; -32). Tensions à ces points dangereux avec coordonnées X Dan , oui Dan ne doit pas dépasser la résistance de conception correspondante

.

Force de tension

Contrainte de compression

La solidité de la colonne est assurée.

D'après les résultats des calculs de contraintes et sur la Fig. 2 tracé .

5. Calcul de la capacité portante calculée de la colonne Fmax .

Puisqu'à une valeur donnée de la force de compression, la résistance du matériau de la colonne est considérablement sous-utilisée, nous trouverons la valeur maximale de la charge externe en assimilant les contraintes les plus élevées s t Et s c résistances calculées.

Choisissez enfin une valeur plus petite Fmax = 425,8 kN, assurant la résistance des zones de section en traction et en compression.

Figure 2

6. Construction du noyau de section.

Pour obtenir le contour du noyau de la section, il faut considérer toutes les positions possibles des tangentes au contour de la section et, en supposant que ces tangentes sont des droites nulles, calculer les coordonnées des points limites du noyau par rapport au principaux axes centraux de la section. En reliant ensuite ces points, on obtient le contour du noyau de la section.

Tangente 1-1 : ouais = 32cm,

.

Tangente 2-2 : , .

Tangente 3-3 : , .

Tangente 4-4 : ; ;

; ;

;

.

Tangente 5-5 : ; .

Tangente 6-6 : ; ;

Exemple 11 .

À ce point P. poteaux de section rectangulaire soumis à une force de compression P.(voir l'image). Déterminez les contraintes normales maximales et minimales.

Solution.

La contrainte normale lors de la compression excentrique est déterminée par la formule :

Dans notre tâche

Moment d'inertie, aire ,

Ainsi

Sur la ligne neutre. Donc son équation

Les points les plus éloignés de l'axe neutre sont les points UN Et B:

à ce point UN Et

à ce point B Et

Si un matériau résiste différemment à la traction et à la compression, alors deux équations de résistance doivent être établies :

Exemple 12.

Trouvez la charge admissible pour la poutre indiquée sur la figure si les résistances à la traction et à la compression calculées du matériau de la poutre sont égales Radm,t= 20 MPa ; Adm.R.= 100 MPa.

Solution. Écrivons les conditions de résistance des points les plus sollicités de n'importe quelle section d'une poutre, puisque toutes les sections sont également dangereuses :

Réécrivons ces conditions en tenant compte du fait que

et puis

Et

De là, nous déterminons les valeurs des charges admissibles.

La tension excentrique (compression) est provoquée par une force parallèle à l'axe de la poutre, mais ne coïncidant pas avec lui (Fig. 9.4).

La projection du point d'application de la force sur la section transversale est appelée pôle ou point de force, et la ligne droite passant par le pôle et le centre de la section est appelée ligne de force.

La tension excentrique (compression) peut être réduite à une tension axiale (compression) et à une flexion oblique si la force P est transférée au centre de gravité de la section. Ainsi, la force P, indiquée sur la Fig. 9.4 avec un tiret G provoquera une tension axiale de la poutre, et une paire de forces marquées de deux tirets provoquera une flexion oblique.

Basés sur le principe d'indépendance de l'action des forces de contrainte aux points de section transversale lors d'une tension excentrique (compression), elles sont déterminées par la formule

Dans cette formule, la force axiale, les moments fléchissants, ainsi que les coordonnées du point de section auquel la contrainte est déterminée, doivent être remplacés par leurs signes. Pour les moments fléchissants on acceptera la même règle de signe que pour la flexion oblique, et l'effort axial sera considéré comme positif lorsqu'il provoque une tension.

Si les coordonnées du pôle sont notées , alors le moment Formule (9.5) prend la forme

De cette équation, il ressort clairement que les extrémités des vecteurs de contrainte aux points de la section transversale sont situées sur le plan. La ligne d'intersection du plan de contrainte avec le plan de section est une ligne neutre dont l'équation est trouvée en assimilant le membre droit de l'égalité (9.6) à zéro. Après réduction par P on obtient

Ainsi, la ligne neutre lors d'une traction excentrique (compression) ne passe pas par le centre de gravité de la section et n'est pas perpendiculaire au plan d'action du moment fléchissant. La ligne neutre coupe des segments sur les axes de coordonnées

Représentons les moments d'inertie comme le produit de la surface de la section transversale et du carré du rayon d'inertie correspondant

Alors les expressions (9.8) peuvent s’écrire comme suit :

D'après les formules (9.8), il est clair que le pôle et la ligne neutre sont toujours situés le long différents côtés du centre de gravité de la section, et la position de la ligne neutre est déterminée par les coordonnées du pôle.

À l'approche du pôle ligne électrique vers le centre de gravité de la section, la ligne neutre s'éloignera du centre en restant parallèle à sa direction d'origine. A la limite at, la ligne neutre va vers l'infini. Dans ce cas, une tension centrale (compression) de la poutre se produira.

Sur une ligne de force, vous pouvez toujours trouver une position du pôle à laquelle la ligne neutre touchera le contour de la section sans la couper nulle part. Si nous dessinons toutes les lignes neutres possibles pour qu'elles touchent le contour de la section sans la couper nulle part, et trouvons les pôles correspondants, alors il s'avère que les pôles seront situés sur une ligne fermée complètement spécifique à chaque section. La zone délimitée par cette ligne est appelée le noyau de la section. Dans une section circulaire, par exemple, le noyau est un cercle d'un diamètre 4 fois plus petit que le diamètre de la section, et dans les sections rectangulaires et en I, le noyau a la forme d'un parallélogramme (Fig. 9.5).

De la construction même du noyau de la section, il résulte que tant que le pôle est à l'intérieur du noyau, la ligne neutre ne coupera pas le contour de la section et les contraintes dans toute la section seront du même signe. Si le pôle est situé à l'extérieur du noyau, alors la ligne neutre coupera le contour de la section, puis les contraintes agiront dans la section signe différent. Cette circonstance doit être prise en compte lors du calcul de la compression décentrée des crémaillères en matériaux fragiles. Étant donné que les matériaux fragiles résistent mal aux charges de traction, il est conseillé d'appliquer des forces externes au poteau afin que seules des contraintes de compression agissent sur toute la section transversale. Pour cela, le point d'application de la résultante forces externes, comprimant le rack, doit être à l'intérieur du noyau de la section.

Les calculs de résistance pour la traction et la compression excentriques sont effectués de la même manière que pour la flexion oblique - sur la base de la contrainte au point dangereux de la section transversale. Le point dangereux est le point de section le plus éloigné de sa ligne neutre. Cependant, dans les cas où une contrainte de compression agit à ce point et où le matériau du support est fragile, le point auquel la contrainte de traction la plus importante agit peut être dangereux.

Le diagramme de contraintes est construit sur un axe perpendiculaire à la ligne de section neutre et est limité par une droite (voir Fig. 9.4).

La condition de résistance s’écrira comme suit.

Considérons une tige droite chargée à son extrémité de forces dirigées parallèlement à l'axe Oh. La résultante de ces forces F appliqué au point AVEC. Dans un système de coordonnées local droitier yOz, coïncidant avec les principaux axes centraux de la section, les coordonnées du point AVECégal UN Et b(Fig. 5.18).

Remplaçons la charge appliquée par un système de forces et de moments statiquement équivalent. Pour ce faire, on transfère la force résultante F au centre de gravité de la section À PROPOS et chargez la tige avec deux moments de flexion égaux au produit de la force T^ par ses bras par rapport aux axes de coordonnées : Mff = Fa Et M z = Fb.

A noter que selon la règle du repère droitier pour le point C situé dans le premier quart, les moments fléchissants seront formellement les suivants :

Riz. 5.18.Tige droite chargée à son extrémité avec des forces dirigées parallèlement à l'axeOh

signes de souffle : M y = Fa et M 7 = -Fb. Dans ce cas, dans la zone élémentaire située dans le premier quartier, les deux moments provoquent des contraintes de traction.

En utilisant le principe d'indépendance de l'action des forces, on détermine les contraintes au point courant de la section avec les coordonnées à Et z de chaque facteur de puissance séparément. La tension totale est obtenue en additionnant les trois composantes de tension :

Déterminons la position de l'axe neutre. Pour ce faire, conformément à la formule (5.69), nous assimilons la valeur de la tension normale au point actuel à zéro :

Grâce à des transformations simples, on obtient l'équation de la droite neutre

Où je et Et i z - rayons d'inertie principaux, déterminé par les formules (3.14).

Ainsi, dans le cas d'une traction-compression excentrique, la ligne neutre ne passe pas par le centre de gravité de la section (Fig. 5.19), comme l'indique la présence dans l'équation (5.70) d'un terme libre non nul.

Les contraintes maximales se produisent aux points de section transversale UN Et DANS, le plus éloigné de la ligne neutre. Établissons la relation entre les coordonnées du point d'application de la force et la position de la ligne neutre. Pour ce faire, on détermine les points d'intersection de cette ligne d'axes de coordonnées :

Riz. 5.19.

Les formules résultantes montrent que la coordonnée du point d'application de la force UN et la coordonnée du point où la ligne neutre coupe l'axe des coordonnées Oz(point g 0) ont des signes opposés. On peut en dire autant des quantités b Et oui 0 . Ainsi, le point d’application de la force résultante et la ligne neutre se trouvent sur des côtés opposés par rapport à l’origine.

D'après les formules obtenues, à mesure que le point d'application de la force se rapproche du centre de gravité de la section, la ligne neutre s'éloigne de la zone centrale. Dans le cas limite (une = b = 0) on arrive au cas de tension-compression centrale.

Il est intéressant de déterminer la zone d'application des forces dans laquelle les contraintes dans la section auront le même signe. En particulier, pour les matériaux ayant une faible résistance à la traction, il est rationnel d'appliquer la force de compression précisément dans cette zone, afin que seules les contraintes de compression agissent dans la section. Cette zone autour du centre de gravité de la section est appelée noyau de section.

Si la force est appliquée au cœur de la section, alors la ligne neutre ne coupe pas la section. Si une force est appliquée le long de la limite du noyau de la section, la ligne neutre touche le contour de la section. Pour déterminer le noyau de section transversale, vous pouvez utiliser la formule (5.71).

Si la ligne neutre est représentée comme une tangente au contour de la section et que toutes les positions possibles de la tangente et les points d'application de la force correspondant à ces positions sont considérés, alors les points d'application de la force délimiteront le noyau de la section .

Riz. 5.20.

UN - ellipse; 6 - rectangle

De nombreux éléments des structures du bâtiment (colonnes, crémaillères, supports) sont sous l'influence de forces de compression appliquées hors du centre de gravité de la section. En figue. La figure 12.9 montre le poteau sur lequel repose la poutre de plancher. Comme on peut le voir, la force agit par rapport à l'axe de la colonne avec excentricité e, et donc, dans une section arbitraire Ah ah colonnes avec force longitudinale N = -R il se produit un moment de flexion dont l'amplitude est égale à Concernant. La tension excentrique (compression) d'une tige est un type de déformation dans lequel les forces externes résultantes agissent le long d'une ligne droite parallèle à l'axe de la tige. Dans ce qui suit nous considérerons principalement des problèmes de compression excentrique. Avec une tension excentrique dans toutes les formules de calcul données, le signe devant la force doit être modifié R. au contraire.

Supposons qu'une tige de section transversale arbitraire (Fig. 12.10) soit chargée à son extrémité avec une force de compression appliquée de manière excentrique. R, parallèle à l'axe Oh. Acceptons le positif

directions des principaux axes d'inertie de la section UO Et Oz de sorte que le point d'application de la force R.était dans le premier quart des axes de coordonnées. Notons les coordonnées du point d'application de la force R.à travers et r Et z P -

Les forces internes dans une section arbitraire de la tige sont égales

Les signes négatifs pour les moments fléchissants sont dus au fait que dans le premier quart des axes de coordonnées, ces moments provoquent une compression. Les ampleurs des forces internes dans cet exemple ne changent pas sur la longueur de la tige, et donc la répartition des contraintes dans les sections suffisamment éloignées du lieu d'application de la charge sera la même.

En remplaçant (12.11) dans (12.1), on obtient la formule des contraintes normales sous compression excentrique :

Cette formule peut être convertie sous la forme

Où je, je- principaux rayons d'inertie de la section. Où

En mettant o = 0 dans (12.12), on obtient l'équation ligne zéro :

Ici y 0 et z 0 - coordonnées des points de la ligne zéro (Fig. 12.11). L'équation (12.14) est l'équation d'une droite qui ne passe pas par le centre de gravité de la section. Pour tracer la ligne zéro, on trouve les points de son intersection avec les axes de coordonnées. En supposant dans (12.14) séquentiellement y 0 = 0 et z 0= 0, on trouve donc

Où un z Et Andy - segments coupés par la ligne zéro sur les axes de coordonnées (Fig. 12.11).

Établissons les caractéristiques de la position de la ligne zéro lors de la compression excentrique.

• 1. Des formules (12.15), il s'ensuit que Andy Et un z avoir des signes opposés aux signes respectivement et r Et z P - Ainsi, la ligne zéro passe par les quarts des axes de coordonnées qui ne contiennent pas le point d'application de la force (Fig. 12.12).
• 2. À l'approche du point d'application de la force R. en ligne droite jusqu'au centre de gravité des coordonnées de section de ce point et r Et zP sont en diminution. De (12.15) il résulte que les valeurs absolues des longueurs des segments Andy Et un z augmenter, c'est-à-dire que la ligne zéro s'éloigne du centre de gravité, restant parallèle à elle-même (Fig. 12.13). Dans la limite à Z P = y P = 0 (force appliquée au centre de gravité) la ligne zéro se déplace vers l'infini. Dans ce cas, les contraintes dans la section seront constantes et égales à o = -P/F.
• 3. Si le point d'application de la force R. est sur l'un des axes principaux, la ligne zéro est parallèle à l'autre axe. En effet, en mettant (12.15), par exemple, et r= 0, on obtient ça Andy= c'est-à-dire que la ligne zéro ne coupe pas l'axe UO(Fig. 12.14).
• 4. Si le point d'application de la force se déplace le long d'une ligne droite qui ne passe pas par le centre de gravité, alors la ligne zéro tourne autour d'un certain point. Montrons cette propriété. Points d'application de la force R x Et R2, situés sur les axes de coordonnées correspondent aux lignes zéro 1 - 1 et 2-2, parallèles aux axes (Fig. 12.15), qui se coupent au point D. Puisque ce point appartient à deux lignes nulles, les contraintes en ce point dues aux forces appliquées simultanément R x Et R2 sera égal à zéro. Puisque toute force R3, dont le point d'application est situé sur une ligne droite R ( R 2 , Peut

se décomposer en deux composantes parallèles appliquées aux points Pj et R2, il s'ensuit alors que la contrainte au point D de l'action de la force R3 sont également égaux à zéro. Ainsi, la ligne zéro est 3-3, correspondant à la force R3, passe par un point D.

Autrement dit, à un ensemble de points R, situé sur une ligne droite R ( R 2 , correspond à un faisceau de droites passant par un point D. L'inverse est également vrai : lorsque la ligne zéro tourne autour d'un certain point, le point d'application de la force se déplace le long d'une ligne droite qui ne passe pas par le centre de gravité.

Si la ligne zéro coupe la section, elle la divise en zones de compression et de tension. Comme pour la flexion oblique, il résulte de l'hypothèse des sections plates que les contraintes atteignent leurs plus grandes valeurs aux points les plus éloignés de la ligne zéro. La nature du diagramme de contraintes dans ce cas est représentée sur la Fig. 12.16, UN.

Si la ligne zéro est située à l'extérieur de la section, alors en tous points de la section les contraintes seront du même signe (Fig. 12.16, b).

Exemple 12.3. Construisons un diagramme des contraintes normales dans une section arbitraire d'une colonne compressée excentriquement de section rectangulaire avec des dimensions b X h(Fig. 12.17). Les carrés des rayons d'inertie de la section selon (12.22) sont égaux

Les segments coupés par la ligne zéro sur les axes de coordonnées sont déterminés par les formules (12.15) :

Substituer séquentiellement dans (12.12) les coordonnées des points C et les plus éloignés de la ligne zéro DANS(Fig. 12.18)

nous trouverons

Le diagramme o est présenté sur la Fig. 12.18. Les contraintes de compression les plus élevées selon valeur absolue quatre fois supérieures aux valeurs de contrainte qui le seraient dans le cas d'une application centrale de force. De plus, des contraintes de traction importantes sont apparues dans la section. Notez que de (12.12) il résulte qu'au centre de gravité (y = z= 0) les tensions sont égales à o = -P/F.

Exemple 12.4. La bande découpée est soumise à une force de traction R.(Fig. 12.19, UN). Comparons les contraintes dans la section LV, suffisamment éloigné de l'extrémité et de l'emplacement de la découpe, avec des contraintes dans la section CDà l'endroit de la découpe.

En coupe transversale UN B(Fig. 12.19, b) forcer R. provoque une tension centrale et des contraintes égales à a = P/F = P/bh.

En coupe transversale CD(Fig. 12.19, V) ligne de force R. ne passe pas par le centre de gravité de la section, et donc une tension excentrique se produit. En changeant la formule de connexion (12.12) par l'opposé et en acceptant et r= 0, on obtient pour cette section

Prise

Ligne zéro dans la section CD parallèle à l'axe UO et coupe l'axe Ozà distance une =-je 2 y /z P-b/ 12. Aux points de la section les plus éloignés de la ligne zéro C(z--b/ 4) et ré(z - b/ 4) les tensions selon (12.16) sont égales

Diagrammes de contraintes normales pour les sections LW Et CD montré sur la fig. 12.19, avant JC.

Ainsi, malgré le fait que l'article CD a une superficie deux fois plus petite que la section transversale UN B, En raison de l'application excentrique de la force, les contraintes de traction dans la section affaiblie augmentent non pas deux, mais huit fois. De plus, des contraintes de compression importantes apparaissent dans cette section.

Il convient de noter que le calcul ci-dessus ne prend pas en compte les contraintes locales supplémentaires qui surviennent à proximité du point C en raison de la présence d'un évidement. Ces contraintes dépendent du rayon de la rainure (à mesure que le rayon diminue, elles augmentent) et peuvent dépasser largement la valeur trouvée et avec = 8P/bh. Dans ce cas, la nature du diagramme de contraintes près du point C différera considérablement de linéaire. La détermination des contraintes locales (concentration des contraintes) est abordée au chapitre 18.

De nombreux matériaux de construction (béton, maçonnerie, etc.) ont une faible résistance à la traction. Leur résistance à la traction est plusieurs fois inférieure à leur résistance à la compression. Par conséquent, l'apparition de contraintes de traction dans les éléments structurels constitués de tels matériaux n'est pas souhaitable. Pour que cette condition soit remplie, la ligne zéro doit être en dehors de la section. Sinon, la ligne zéro coupera la section et des contraintes de traction y apparaîtront. Si la ligne zéro est tangente au contour de la section, alors la position correspondante du point d'application de la force est limitante. Conformément à la propriété 2 de la ligne zéro, si le point d'application de la force se rapproche du centre de gravité de la section, la ligne zéro s'en éloignera. Le lieu géométrique des points limites correspondant aux différentes tangentes au contour de la section est la frontière noyaux de section. Le noyau de la section est une zone convexe autour du centre de gravité, qui a la propriété suivante : si le point d'application de la force est situé à l'intérieur ou à la limite de cette zone, alors en tous points de la section les contraintes ont le même signe. Le noyau de la section est une figure convexe, puisque les lignes nulles doivent toucher l'enveloppe du contour de la section et ne pas la couper.

À travers le point UN(Fig. 12.20), vous pouvez tracer d'innombrables tangentes (lignes nulles) ; dans ce cas seulement la tangente CA est tangent à l'enveloppe, et un certain point du contour de l'âme de section doit lui correspondre. En même temps, par exemple, il est impossible de tracer une tangente à la zone UN B contour de section car il coupe la section.

Construisons un noyau de section pour le rectangle (Fig. 12.21). Pour la tangente 1 - 1 une 7 - b/ 2; UN= . De (12.15) on trouve pour le point 1 correspondant à cette tangente, z P = -i 2 y / a 7 = -b/6 ; ouais - 0. Pour la tangente 2-2 une y - k/ 2; un 7 =°°, et les coordonnées du point 2 seront égales àR.- -h/6; z P - 0. Selon la propriété 4 de la ligne zéro, les points d'application de la force correspondant aux différentes tangentes au point du coin inférieur droit de la section sont situés sur la droite 1-2. La position des points 3 et 4 est déterminée à partir des conditions de symétrie. Ainsi, le noyau transversal d'un rectangle est un losange avec des diagonales b/3 et DEPUIS.

Pour construire un noyau de section pour un cercle, il suffit de tracer une tangente (Fig. 12.22). Où une = R ; UN= °o.

"U U ^ ^

Considérant que pour un cercle je y - J y /F - R / 4, de (12.15) on obtient

Ainsi, le noyau transversal d'un cercle est un cercle de rayon R/4.

En figue. 12.23, un, 6 les âmes en coupe transversale de la poutre en I et du canal sont illustrées. Disponibilité de quatre points d'angle La section centrale dans chacun de ces exemples est due au fait que le contour de l'enveloppe de la poutre en I et du canal est un rectangle.

Pour déterminer les efforts internes dans les sections transversales de la poutre sous tension excentrique (compression), nous remplaçons le système de forces donné par un système statiquement équivalent d'autres forces. Basé sur le principe de Saint-Venant, un tel remplacement n'entraînera pas de modifications des conditions de chargement et de déformation de parties de la poutre suffisamment éloignées du lieu d'application des efforts.

Tout d'abord, nous déplaçons le point d'application de la force vers l'axe et appliquons une force à ce point, force égale, mais dans le sens opposé (Fig. 3.2). Pour laisser une force sur l'axe, il faut ajouter à son action l'action d'un couple de forces marqué de deux lignes, ou d'un moment. Ensuite, nous transférons la force au centre de gravité de la section et à ce stade nous appliquons une force égale à la force, mais dans la direction opposée (Fig. 3.2). Pour maintenir la force au centre de gravité, il faut ajouter à son action une autre paire de forces, marquées de croix, ou un moment.

Ainsi, l'action d'une force appliquée de manière excentrique sur une section équivaut à l'action combinée d'une force appliquée centralement et de deux moments concentrés externes et.

En utilisant la méthode des sections, il est facile d'établir que dans toutes les sections transversales d'une poutre étirée de manière excentrique (comprimée), les facteurs de force internes suivants agissent : la force longitudinale et deux moments de flexion et (Fig. 3.3).

Nous déterminons les contraintes dans les sections transversales de la poutre en utilisant le principe d'indépendance de l'action des forces. Les contraintes normales proviennent de tous les facteurs de force internes dans les sections transversales. Les signes de contrainte sont déterminés par la nature des déformations : plus - tension, moins - compression. Plaçons les signes de contraintes de chacun des facteurs de force internes aux points d'intersection des axes et avec le contour de la section (Fig. 3.3). En raison de la force longitudinale, les sections sont en tous points identiques et positives ; à partir du moment au point de contrainte - plus, au point - moins, aux points et, parce que l'axe est dans ce cas une ligne neutre ; à partir du moment au point de contrainte - plus, au point - moins, aux points et, parce que l'axe dans ce cas est la ligne neutre.

La contrainte totale en un point de coordonnées et sera égale à :

Le point le plus chargé dans une section de forme libre est le point le plus éloigné de la ligne neutre. En raison de ce, grande importance des questions liées à la détermination de la position de la ligne neutre se posent.

Détermination de la position de la ligne neutre

La position de la ligne neutre peut être déterminée à l'aide de la formule (3.1), assimilant les contraintes normales à zéro

ici et sont les coordonnées d'un point situé sur la ligne neutre.

La dernière expression peut être transformée à l'aide des formules des rayons de giration : et. Alors

D'après l'équation (3.2), il ressort clairement que la ligne neutre sous tension excentrique (compression) est une ligne droite qui ne passe pas par l'origine des coordonnées (le centre de gravité de la section transversale).

Traçons cette ligne droite passant par deux points situés sur les axes de coordonnées (Fig. 3.4). Laissez le point 1 se trouver sur l'axe, alors ses coordonnées seront et, et le point 2 – sur l'axe, alors ses coordonnées seront et (basé sur l'équation (3.2)).

Si les coordonnées du point d'application de la force (pôle) sont positives, alors les coordonnées des points 1 et 2 sont négatives, et vice versa. Ainsi, le pôle et la ligne neutre sont situés de part et d’autre de l’origine.

La détermination de la position de la ligne neutre permet d'identifier les points dangereux du tronçon, c'est-à-dire points auxquels les contraintes normales prennent valeurs les plus élevées. Pour ce faire, construisez des tangentes au contour de section parallèlement à la ligne neutre. Les points de contact seront dangereux (Fig. 3.4).

Les conditions de résistance aux points dangereux dépendent des propriétés du matériau à partir duquel le bois est fabriqué. Étant donné qu'un matériau fragile a des propriétés différentes dans des conditions de traction et de compression - il résiste mal à la traction et résiste bien à la compression, les conditions de résistance sont pour deux points : où agissent les contraintes maximales de traction (t.) et de compression maximale (t.) (Fig. .3.4)

Pour un matériau plastique qui résiste également à la traction et à la compression, une condition de résistance est établie pour le point de la section transversale où se produisent les contraintes normales maximales en valeur absolue. Dans notre cas, un tel point est le point auquel les accentuations du même signe agissent

Le concept de noyau de section

Lors de la construction d'une ligne neutre (Fig. 3.4), les coordonnées des points 1 et 2 ont été déterminées, à travers lesquelles elle a été tracée

Les coordonnées des points situés sur la ligne neutre dépendent de la position du point d'application de la force (pôle) avec les coordonnées. Si les coordonnées des pôles diminuent, c'est-à-dire le pôle se rapproche du centre de gravité de la section, puis ils augmentent, c'est-à-dire la ligne neutre peut s'étendre au-delà de la section ou toucher le contour de la section. Dans ce cas, des contraintes de même signe se produiront dans la section.

Le domaine d'application des forces longitudinales, qui dans ce cas provoquent des contraintes de même signe dans la section transversale, est appelé noyau de section.

La question de la détermination de l'âme de la section est plus pertinente pour les éléments de structure en matériau fragile travaillant sous compression excentrique, afin d'obtenir uniquement des contraintes de compression dans la section transversale, car le matériau fragile résiste mal à la déformation en traction. Pour ce faire, il est nécessaire de fixer un certain nombre de positions de la ligne neutre, en la traçant par les points limites du contour, et de calculer les coordonnées des points d'application de la force correspondants, selon les formules découlant de (3.5 ).

La localisation géométrique des points ainsi calculés déterminera le contour du noyau de section. En figue. La figure 3.6 montre des exemples de noyaux de section pour des formes courantes.

Considérons un exemple de calculs de traction-compression excentrique.

Exemple 3.1. Une bande d'acier = 10 cm de large et = 1 cm d'épaisseur, étirée centralement par des forces = 70 kN, présente une fente = 3 cm de large (Fig. 3.6). Déterminez les contraintes normales les plus élevées dans la section, sans tenir compte des concentrations de contraintes. Quelle largeur la fente pourrait-elle avoir avec la même force de traction si elle était située au milieu de la largeur de la bande ?

Solution. Avec une fente asymétrique, le centre de gravité de la section affaiblie se déplace de la ligne d'action de la force vers la droite et une tension excentrique se produit. Pour déterminer la position du centre de gravité (), on imagine la section fragilisée comme un grand rectangle coté (figure I) duquel a été supprimé un petit rectangle coté (figure II). Prenons l'axe comme axe initial.

Dans ce cas, deux facteurs de force internes apparaissent dans la section transversale : la force longitudinale et le moment de flexion.

Afin de déterminer le point dangereux, nous placerons des panneaux de contrainte sur les côtés latéraux de la section transversale (Fig. 3.6). En raison de la force longitudinale, des contraintes positives (de traction) se produisent en tous points de la section. A partir du moment fléchissant, il y a des contraintes de traction à gauche de l'axe (signe plus), et des contraintes de compression à droite (signe moins).

Ainsi, les contraintes normales maximales apparaissent dans ce qu'on appelle

où est l'aire de la section affaiblie, égale à = 7 cm 2 ;

Moment d'inertie de la section fragilisée autour de l'axe central principal

Distance de la ligne neutre () au point le plus éloigné (t.)

En conséquence, les contraintes normales maximales seront égales à

Avec une largeur de fente symétrique, seule une tension se produit