Instructions

Tout d'abord, il convient de comprendre que la surface latérale de la pyramide est représentée par plusieurs triangles dont les aires peuvent être trouvées à l'aide de diverses formules, en fonction des données connues :

S = (a*h)/2, où h est la hauteur abaissée du côté a ;

S = a*b*sinβ, où a, b sont les côtés du triangle et β est l'angle entre ces côtés ;

S = (r*(a + b + c))/2, où a, b, c sont les côtés du triangle, et r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle ;

S = (a*b*c)/4*R, où R est le rayon du triangle circonscrit au cercle ;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (si le triangle est rectangle) ;

S = S = (a²*√3)/4 (si le triangle est équilatéral).

En fait, ce ne sont que les formules connues les plus élémentaires pour trouver l'aire d'un triangle.

Après avoir calculé les aires de tous les triangles qui sont les faces de la pyramide à l'aide des formules ci-dessus, vous pouvez commencer à calculer l'aire de cette pyramide. Cela se fait extrêmement simplement : il faut additionner les aires de tous les triangles qui forment surface latérale pyramides. Cela peut être exprimé par la formule :

Sp = ΣSi, où Sp est l'aire de la surface latérale, Si est l'aire du i-ème triangle, qui fait partie de sa surface latérale.

Pour plus de clarté, nous pouvons considérer un petit exemple : étant donné une pyramide régulière dont les faces latérales sont formées de triangles équilatéraux, et à sa base se trouve un carré. La longueur du bord de cette pyramide est de 17 cm. Il faut trouver l'aire de la surface latérale de cette pyramide.

Solution : la longueur de l'arête de cette pyramide est connue, on sait que ses faces sont des triangles équilatéraux. Ainsi, on peut dire que tous les côtés de tous les triangles sur la surface latérale sont égaux à 17 cm. Par conséquent, afin de calculer l'aire de​​l'un de ces triangles, vous devrez appliquer la formule :

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

On sait qu’à la base de la pyramide se trouve un carré. Ainsi, il est clair qu’il existe quatre triangles équilatéraux donnés. Ensuite, l'aire de la surface latérale de la pyramide est calculée comme suit :

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Réponse : La surface latérale de la pyramide est de 500,548 cm²

Tout d'abord, calculons l'aire de la surface latérale de la pyramide. La surface latérale est la somme des aires de toutes les faces latérales. Si nous avons affaire à une pyramide régulière (c'est-à-dire une pyramide qui a un polygone régulier à sa base et dont le sommet est projeté au centre de ce polygone), alors pour calculer toute la surface latérale, il suffit de multiplier le périmètre de la base (c'est-à-dire la somme des longueurs de tous les côtés du polygone situé au niveau de la pyramide de base) par la hauteur de la face latérale (autrement appelée l'apothème) et divisez la valeur résultante par 2 : Sb = 1/2P* h, où Sb est l'aire de la surface latérale, P est le périmètre de la base, h est la hauteur de la face latérale (apothème).

Si vous avez devant vous une pyramide arbitraire, vous devrez calculer séparément les aires de toutes les faces, puis les additionner. Puisque les faces latérales de la pyramide sont des triangles, utilisez la formule pour l'aire d'un triangle : S=1/2b*h, où b est la base du triangle et h est la hauteur. Lorsque les aires de toutes les faces ont été calculées, il ne reste plus qu'à les additionner pour obtenir l'aire de la surface latérale de la pyramide.

Ensuite, vous devez calculer l'aire de la base de la pyramide. Le choix de la formule de calcul dépend du polygone qui se trouve à la base de la pyramide : régulier (c'est-à-dire un avec tous les côtés de la même longueur) ou irrégulier. L'aire d'un polygone régulier peut être calculée en multipliant le périmètre par le rayon du cercle inscrit dans le polygone et en divisant la valeur obtenue par 2 : Sn = 1/2P*r, où Sn est l'aire du polygone, P est le périmètre et r est le rayon du cercle inscrit dans le polygone.

Une pyramide tronquée est un polyèdre formé d’une pyramide et sa section transversale est parallèle à la base. Trouver la surface latérale de la pyramide n'est pas du tout difficile. C'est très simple : l'aire est égale au produit de la moitié de la somme des bases par . Prenons un exemple de calcul de la surface latérale. Supposons que l’on nous donne une pyramide régulière. Les longueurs de la base sont b = 5 cm, c = 3 cm. Apothème a = 4 cm. Pour trouver l'aire de la surface latérale de la pyramide, il faut d'abord trouver le périmètre des bases. Dans une grande base, elle sera égale à p1=4b=4*5=20 cm. Dans une base plus petite, la formule sera la suivante : p2=4c=4*3=12 cm. Par conséquent, l'aire sera égale à : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64cm.

Superficie de la pyramide. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés aux pyramides régulières. Je vous rappelle qu'une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier, le sommet de la pyramide est projeté au centre de ce polygone.

La face latérale d’une telle pyramide est un triangle isocèle.La hauteur de ce triangle tiré du sommet d'une pyramide régulière est appelée apothème, SF - apothème :

Dans le type de problème présenté ci-dessous, vous devez trouver l'aire de la pyramide entière ou l'aire de sa surface latérale. Le blog a déjà évoqué plusieurs problèmes liés aux pyramides régulières, où la question était de trouver les éléments (hauteur, bord de base, bord latéral).

DANS Travaux d'examen d'État unifié En règle générale, les pyramides régulières triangulaires, quadrangulaires et hexagonales sont considérées. Je n’ai vu aucun problème avec les pyramides pentagonales et heptagonales régulières.

La formule pour l'aire de toute la surface est simple - vous devez trouver la somme de l'aire de la base de la pyramide et de l'aire de sa surface latérale :

Considérons les tâches :

Les côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière sont 72, les bords latéraux sont 164. Trouvez l'aire de cette pyramide.

La superficie de la pyramide est égale à la somme des aires de la surface latérale et de la base :

*La surface latérale est constituée de quatre triangles de même aire. La base de la pyramide est un carré.

On peut calculer l'aire du côté de la pyramide en utilisant :

Ainsi, la surface de la pyramide est :

Réponse : 28224

Les côtés de la base d'une pyramide hexagonale régulière sont égaux à 22, les bords latéraux sont égaux à 61. Trouvez la surface latérale de cette pyramide.

La base d’une pyramide hexagonale régulière est un hexagone régulier.

La surface latérale de cette pyramide est constituée de six aires de triangles égaux de côtés 61,61 et 22 :

Trouvons l'aire du triangle en utilisant la formule de Heron :

Ainsi, la surface latérale est :

Réponse : 3240

*Dans les problèmes présentés ci-dessus, l'aire de la face latérale pourrait être trouvée à l'aide d'une autre formule triangulaire, mais pour cela, vous devez calculer l'apothème.

27155. Trouvez l'aire d'une pyramide quadrangulaire régulière dont les côtés de base sont 6 et dont la hauteur est 4.

Afin de trouver l'aire de la pyramide, il faut connaître l'aire de la base et l'aire de la surface latérale :

L'aire de la base est de 36 puisqu'il s'agit d'un carré de côté 6.

La surface latérale est constituée de quatre faces, qui sont triangles égaux. Afin de trouver l'aire d'un tel triangle, vous devez connaître sa base et sa hauteur (apothème) :

*L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la base et de la hauteur tirée à cette base.

La base est connue, elle est égale à six. Trouvons la hauteur. Considérons triangle rectangle(il est surligné en jaune) :

Une jambe est égale à 4, puisque c'est la hauteur de la pyramide, l'autre est égale à 3, puisqu'elle est égale à la moitié du bord de la base. On peut trouver l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore :

Cela signifie que l'aire de la surface latérale de la pyramide est :

Ainsi, la superficie de la pyramide entière est :

Réponse : 96

27069. Les côtés de la base d'une pyramide quadrangulaire régulière sont égaux à 10, les bords latéraux sont égaux à 13. Trouvez l'aire de cette pyramide.

27070. Les côtés de la base d'une pyramide hexagonale régulière sont égaux à 10, les bords latéraux sont égaux à 13. Trouvez la surface latérale de cette pyramide.

Il existe également des formules pour la surface latérale d'une pyramide régulière. DANS pyramide correcte la base est une projection orthogonale de la surface latérale, donc :

P.- périmètre de base, je- apothème de la pyramide

*Cette formule est basée sur la formule de l'aire d'un triangle.

Si vous souhaitez en savoir plus sur la façon dont ces formules sont dérivées, ne le manquez pas, suivez la publication des articles.C'est tout. Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Quelle figure appelle-t-on une pyramide ? Premièrement, c'est un polyèdre. Deuxièmement, à la base de ce polyèdre se trouve un polygone arbitraire, et les côtés de la pyramide (faces latérales) ont nécessairement la forme de triangles convergeant vers un sommet commun. Maintenant, ayant compris le terme, découvrons comment trouver l’aire de la pyramide.

Il est clair que la superficie est telle corps géométrique sera constitué de la somme des aires de la base et de toute sa surface latérale.

Calculer l'aire de la base d'une pyramide

Le choix de la formule de calcul dépend de la forme du polygone sous-jacent à notre pyramide. Il peut être régulier, c'est-à-dire avec des côtés de même longueur, ou irrégulier. Considérons les deux options.

La base est un polygone régulier

Depuis cours scolaire connu:

• l'aire du carré sera égale à la longueur de son côté au carré ;
• carré triangle équilatéralégal au carré de son côté divisé par 4 et multiplié par Racine carrée sur trois.

Mais il y a aussi formule générale, pour calculer l'aire de tout polygone régulier (Sn) : il faut multiplier le périmètre de ce polygone (P) par le rayon du cercle qui y est inscrit (r), puis diviser le résultat par deux : Sn= 1/2P*r.

A la base se trouve un polygone irrégulier

Le schéma pour trouver son aire consiste d'abord à diviser l'ensemble du polygone en triangles, à calculer l'aire de chacun d'eux à l'aide de la formule : 1/2a*h (où a est la base du triangle, h est la hauteur abaissée à cette base), additionner tous les résultats.

Surface latérale de la pyramide

Calculons maintenant l'aire de la surface latérale de la pyramide, c'est-à-dire la somme des aires de tous ses côtés latéraux. Il y a aussi 2 options ici.

1. Ayons une pyramide arbitraire, c'est-à-dire un avec un polygone irrégulier à sa base. Ensuite, vous devez calculer la surface de chaque visage séparément et additionner les résultats. Puisque les côtés d'une pyramide, par définition, ne peuvent être que des triangles, le calcul est effectué à l'aide de la formule mentionnée ci-dessus : S=1/2a*h.
2. Que notre pyramide soit correcte, c'est-à-dire à sa base se trouve un polygone régulier, et la projection du sommet de la pyramide est en son centre. Ensuite, pour calculer l'aire de la surface latérale (Sb), il suffit de trouver la moitié du produit du périmètre du polygone de base (P) et de la hauteur (h) du côté latéral (la même pour toutes les faces ) : Sb = 1/2 P*h. Le périmètre d'un polygone est déterminé en additionnant les longueurs de tous ses côtés.

La surface totale d'une pyramide régulière est obtenue en additionnant l'aire de sa base avec l'aire de toute la surface latérale.

Exemples

Par exemple, calculons algébriquement les surfaces de plusieurs pyramides.

Superficie d'une pyramide triangulaire

A la base d’une telle pyramide se trouve un triangle. En utilisant la formule So=1/2a*h on trouve l'aire de la base. On utilise la même formule pour trouver l'aire de chaque face de la pyramide, qui a également une forme triangulaire, et on obtient 3 aires : S1, S2 et S3. L'aire de la surface latérale de la pyramide est la somme de toutes les aires : Sb = S1+ S2+ S3. En additionnant les aires des côtés et de la base, on obtient zone complète surface de la pyramide souhaitée : Sp= So+ Sb.

Superficie d'une pyramide quadrangulaire

L'aire de la surface latérale est la somme de 4 termes : Sb = S1+ S2+ S3+ S4, chacun étant calculé à l'aide de la formule de l'aire d'un triangle. Et l'aire de la base devra être recherchée en fonction de la forme du quadrilatère - régulière ou irrégulière. La surface totale de la pyramide est à nouveau obtenue en additionnant l'aire de la base et la surface totale de la pyramide donnée.

Pyramide triangulaire est un polyèdre dont la base est un triangle régulier.

Dans une telle pyramide, les bords de la base et les bords des côtés sont égaux les uns aux autres. En conséquence, l'aire des faces latérales est obtenue à partir de la somme des aires de trois triangles identiques. Vous pouvez trouver la surface latérale d'une pyramide régulière à l'aide de la formule. Et vous pouvez effectuer le calcul plusieurs fois plus rapidement. Pour ce faire, vous devez appliquer la formule de la surface latérale pyramide triangulaire:

où p est le périmètre de la base dont tous les côtés sont égaux à b, a est l'apothème abaissé du haut jusqu'à cette base. Considérons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire.

Problème : Soit une pyramide régulière. Le côté du triangle à la base est b = 4 cm. L'apothème de la pyramide est a = 7 cm. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Puisque, selon les conditions du problème, on connaît les longueurs de tous les éléments nécessaires, on trouvera le périmètre. Nous rappelons que dans un triangle régulier, tous les côtés sont égaux et, par conséquent, le périmètre est calculé par la formule :

Remplaçons les données et trouvons la valeur :

Maintenant, connaissant le périmètre, nous pouvons calculer la surface latérale :

Pour appliquer la formule de l'aire d'une pyramide triangulaire afin de calculer la valeur totale, vous devez trouver l'aire de la base du polyèdre. Pour ce faire, utilisez la formule :

La formule pour l'aire de la base d'une pyramide triangulaire peut être différente. Il est possible d'utiliser n'importe quel calcul de paramètres pour un chiffre donné, mais le plus souvent cela n'est pas obligatoire. Considérons un exemple de calcul de l'aire de la base d'une pyramide triangulaire.

Problème : Dans une pyramide régulière, le côté du triangle à la base est a = 6 cm Calculez l'aire de la base.
Pour calculer, nous avons seulement besoin de la longueur du côté du triangle régulier situé à la base de la pyramide. Remplaçons les données dans la formule :

Très souvent, vous devez trouver l'aire totale d'un polyèdre. Pour ce faire, vous devrez additionner la superficie de la surface latérale et de la base.

Considérons un exemple de calcul de l'aire d'une pyramide triangulaire.

Problème : Soit une pyramide triangulaire régulière. Le côté de la base est b = 4 cm, l'apothème est a = 6 cm. Trouvez l'aire totale de la pyramide.
Tout d'abord, trouvons l'aire de la surface latérale à l'aide de la formule déjà connue. Calculons le périmètre :

Remplacez les données dans la formule :
Trouvons maintenant l'aire de la base :
Connaissant l'aire de la base et de la surface latérale, on trouve l'aire totale de la pyramide :

Lors du calcul de l'aire d'une pyramide régulière, il ne faut pas oublier que la base est un triangle régulier et que de nombreux éléments de ce polyèdre sont égaux les uns aux autres.

est une figure à multiples facettes dont la base est un polygone et les faces restantes sont représentées par des triangles avec un sommet commun.

Si la base est un carré, alors la pyramide s'appelle quadrangulaire, si un triangle – alors triangulaire. La hauteur de la pyramide est tracée à partir de son sommet perpendiculairement à la base. Également utilisé pour calculer la superficie apothème– la hauteur de la face latérale, abaissée depuis son sommet.
La formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide est la somme des aires de ses faces latérales, qui sont égales entre elles. Cependant, cette méthode de calcul est très rarement utilisée. Fondamentalement, l'aire de la pyramide est calculée à travers le périmètre de la base et de l'apothème :

Considérons un exemple de calcul de l'aire de la surface latérale d'une pyramide.

Soit une pyramide de base ABCDE et de sommet F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothème a = 5 cm Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Trouvons le périmètre. Puisque toutes les arêtes de la base sont égales, le périmètre du pentagone sera égal à :
Vous pouvez maintenant trouver la zone latérale de la pyramide :

Aire d'une pyramide triangulaire régulière

Une pyramide triangulaire régulière se compose d’une base dans laquelle se trouve un triangle régulier et trois faces latérales de même superficie.
La formule de la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière peut être calculée de différentes manières. Vous pouvez appliquer la formule de calcul habituelle en utilisant le périmètre et l'apothème, ou vous pouvez trouver l'aire d'une face et la multiplier par trois. Puisque la face d'une pyramide est un triangle, nous appliquons la formule de l'aire d'un triangle. Il faudra un apothème et la longueur de la base. Considérons un exemple de calcul de la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière.

Étant donné une pyramide avec l'apothème a = 4 cm et la face de base b = 2 cm, trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Tout d’abord, trouvez l’aire de l’une des faces latérales. Dans ce cas ce sera :
Remplacez les valeurs dans la formule :
Puisque dans une pyramide régulière, tous les côtés sont les mêmes, l'aire de la surface latérale de la pyramide sera égale à la somme des aires des trois faces. Respectivement:

Aire d'une pyramide tronquée

Tronqué Une pyramide est un polyèdre formé d’une pyramide et sa section transversale est parallèle à la base.
La formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée est très simple. L'aire est égale au produit de la moitié de la somme des périmètres des bases et de l'apothème :