Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Propriété. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux et les angles opposés sont égaux.

Propriété. Les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par le point d'intersection.

1 signe d'un parallélogramme. Si deux côtés d’un quadrilatère sont égaux et parallèles, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

2 signe d'un parallélogramme. Si dans un quadrilatère les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

3 signe d'un parallélogramme. Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Définition. Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles. Les côtés parallèles sont appelés les raisons.

Le trapèze s'appelle isocèle (équilatéral), si ses côtés sont égaux. Dans un trapèze isocèle, les angles aux bases sont égaux.

Un trapèze dont l'un des angles est droit s'appelle rectangulaire.

Le segment reliant les milieux des côtés est appelé ligne médiane du trapèze. La ligne médiane est parallèle aux bases et égale à leur demi-somme.

Définition. Un rectangle est un parallélogramme dont les angles sont bons.

Propriété. Les diagonales d'un rectangle sont égales.

Panneau rectangulaire. Si les diagonales d'un parallélogramme sont égales, alors ce parallélogramme est un rectangle.

Définition. Un losange est un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux.

Propriété. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires entre elles et coupent ses angles en deux.

Définition. Un carré est un rectangle dont les côtés sont tous égaux.

Un carré est un type particulier de rectangle, ainsi qu'un type particulier de losange. Il possède donc toutes leurs propriétés.

Propriétés:
1. Tous les angles d’un carré sont droits

2. Les diagonales du carré sont égales, perpendiculaires entre elles, le point d'intersection coupe et coupe en deux les coins du carré.

Avec quatre coins et quatre côtés. Un quadrilatère est formé d'une ligne brisée fermée composée de quatre maillons et de la partie du plan qui se trouve à l'intérieur de la ligne brisée.

La désignation d'un quadrilatère est constituée des lettres situées à ses sommets, les nommant dans l'ordre. Par exemple, ils disent ou écrivent : quadrilatère A B C D :

Dans un quadrilatère A B C D points UN, B, C Et D- Ce sommets d'un quadrilatère, segments UN B, AVANT JC., CD Et D.A. - côtés.

Les sommets appartenant à un côté sont appelés voisin, les sommets qui ne sont pas voisins sont appelés opposé:

Dans un quadrilatère A B C D pics UN Et B, B Et C, C Et D, D Et UN- les voisins et les sommets UN Et C, B Et D- opposé. Les angles situés aux sommets adjacents sont également appelés adjacents et aux sommets opposés - opposés.

Les côtés d'un quadrilatère peuvent également être divisés par paires en adjacents et opposés : les côtés qui ont un sommet commun sont appelés voisin(ou adjacent), côtés qui n'ont pas de sommets communs - opposé:

Des soirées UN B Et AVANT JC., AVANT JC. Et CD, CD Et D.A., D.A. Et UN B- adjacents et côtés UN B Et CC, ANNONCE Et AVANT JC.- opposé.

Si les sommets opposés sont reliés par un segment, alors un tel segment sera appelé diagonale du quadrilatère. Considérant qu’un quadrilatère n’a que deux paires de sommets opposés, alors il ne peut y avoir que deux diagonales :

Segments A.C. Et BD- les diagonales.

Considérons les principaux types de quadrilatères convexes :

• Trapèze- un quadrilatère dans lequel une paire de côtés opposés est parallèle l'un à l'autre et l'autre paire n'est pas parallèle.
  • Trapèze isocèle- un trapèze dont les côtés sont égaux.
  • Trapèze rectangulaire - un trapèze dont l'un des angles est droit.
• Parallélogramme- un quadrilatère dont les deux paires de côtés opposés sont parallèles entre elles.
  • Rectangle- un parallélogramme dans lequel tous les angles sont égaux.
  • Rhombe- un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux.
  • Carré- un parallélogramme à côtés et angles égaux. Un rectangle et un losange peuvent former un carré.

Propriétés des angles des quadrilatères convexes

Tous les quadrilatères convexes ont les deux propriétés suivantes à leurs angles :

1. Tout angle interne inférieur à 180°.
2. La somme des angles intérieurs est de 360°.

DANS programme scolaire dans les cours de géométrie, vous devez gérer différents types de quadrilatères : losanges, parallélogrammes, rectangles, trapèzes, carrés. Les toutes premières formes à étudier sont le rectangle et le carré.

Alors, qu'est-ce qu'un rectangle ? Définition 2e année lycée ressemblera à ceci : c’est un quadrilatère dont les quatre coins sont à droite. Il est facile d'imaginer à quoi ressemble un rectangle : c'est une figure avec 4 angles droits et côtés parallèles deux à deux.

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Comment comprendre lors de la résolution du prochain problème géométrique, de quel type de quadrilatère avons-nous affaire ? Il y a trois signes principaux, par lequel on peut déterminer sans équivoque qu'il s'agit d'un rectangle. Appelons-les :

• la figure est un quadrilatère dont les trois angles sont égaux à 90° ;
• le quadrilatère représenté est un parallélogramme à diagonales égales ;
• un parallélogramme qui a au moins un angle droit.

Il est intéressant de savoir : ce qui est convexe, ses caractéristiques et ses symptômes.

Puisqu'un rectangle est un parallélogramme (c'est-à-dire un quadrilatère avec des paires de côtés opposés parallèles), alors toutes ses propriétés et caractéristiques seront remplies pour lui.

Formules de calcul des longueurs des côtés

Dans un rectangle les côtés opposés sont égaux et parallèles entre eux. Le côté le plus long est généralement appelé longueur (noté a), le côté le plus court est appelé largeur (noté b). Dans le rectangle de l'image, les longueurs sont les côtés AB et CD, et les largeurs sont AC et B. D. Elles sont également perpendiculaires aux bases (c'est-à-dire que ce sont les hauteurs).

Pour trouver les côtés, vous pouvez utiliser les formules ci-dessous. Ils ont accepté symboles: a - la longueur du rectangle, b - sa largeur, d - la diagonale (un segment reliant les sommets de deux angles opposés), S - l'aire de la figure, P - le périmètre, α - l'angle entre la diagonale et la longueur, β - un angle aigu formé par les deux diagonales. Méthodes pour trouver les longueurs des côtés :

• En utilisant une diagonale et un côté connu : a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Basé sur l'aire de la figure et l'un de ses côtés : a = S / b, b = S / a.
• En utilisant le périmètre et le côté connu : a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Par la diagonale et l'angle qu'elle forme avec la longueur : a = d sinα, b = d cosα.
• Par la diagonale et l'angle β : a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Périmètre et superficie

Le périmètre d'un quadrilatère s'appelle la somme des longueurs de tous ses côtés. Pour calculer le périmètre, peut être utilisé formules suivantes:

• Des deux côtés : P = 2 (a + b).
• A travers l'aire et l'un des côtés : P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

La surface est l'espace délimité par un périmètre. Trois façons principales de calculer la superficie :

• Sur les longueurs des deux côtés : S = a*b.
• En utilisant le périmètre et n'importe quel côté connu : S = (Pa - 2 a²) / 2 ; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• En diagonale et angle β : S = 0,5 d² sinβ.

Dans les tâches cours scolaire il faut souvent maîtriser les mathématiques propriétés des diagonales d'un rectangle. Nous listons les principaux :

1. Les diagonales sont égales entre elles et sont divisées en deux segments égaux au point de leur intersection.
2. La diagonale est définie comme la racine de la somme des deux côtés au carré (découle du théorème de Pythagore).
3. Une diagonale divise un rectangle en deux triangles rectangles.
4. Le point d'intersection coïncide avec le centre du cercle circonscrit et les diagonales elles-mêmes coïncident avec son diamètre.

Les formules suivantes sont utilisées pour calculer la longueur de la diagonale :

• En utilisant la longueur et la largeur de la figure : d = √(a² + b²).
• En utilisant le rayon d'un cercle circonscrit à un quadrilatère : d = 2 R.

Définition et propriétés d'un carré

Le carré est cas particulier losange, parallélogramme ou rectangle. Sa différence avec ces figures est que tous ses angles sont droits et que ses quatre côtés sont égaux. Un carré est un quadrilatère régulier.

Un quadrilatère est appelé carré dans les cas suivants :

1. S'il s'agit d'un rectangle dont la longueur a et la largeur b sont égales.
2. Si c'est un losange avec longueurs égales diagonales et à quatre angles droits.

Les propriétés d'un carré incluent toutes les propriétés évoquées précédemment liées à un rectangle, ainsi que les suivantes :

1. Les diagonales sont perpendiculaires les unes aux autres (propriété du losange).
2. Le point d'intersection coïncide avec le centre du cercle inscrit.
3. Les deux diagonales divisent le quadrilatère en quatre triangles égaux rectangles et isocèles.

Voici les formules fréquemment utilisées pour calculs de périmètre, d'aire et d'éléments carrés :

• Diagonale d = une √2.
• Périmètre P = 4 a.
• Aire S = a².
• Le rayon du cercle circonscrit est la moitié de la diagonale : R = 0,5 a √2.
• Le rayon du cercle inscrit est défini comme la moitié de la longueur du côté : r = a / 2.

Exemples de questions et de tâches

Examinons quelques questions que vous pourriez rencontrer lorsque vous étudiez un cours de mathématiques à l'école et résolvons quelques problèmes simples.

Problème 1. Comment l'aire d'un rectangle changera-t-elle si la longueur de ses côtés est triplée ?

Solution : Notons l'aire de la figure originale par S0, et l'aire d'un quadrilatère ayant le triple de la longueur de ses côtés par S1. En utilisant la formule évoquée précédemment, nous obtenons : S0 = ab. Augmenteons maintenant la longueur et la largeur de 3 fois et écrivons : S1= 3 a 3 b = 9 ab. En comparant S0 et S1, il devient évident que la deuxième zone est 9 fois plus grande que la première.

Question 1. Un quadrilatère à angles droits est-il un carré ?

Solution : De la définition, il résulte qu'une figure à angles droits n'est un carré que si les longueurs de tous ses côtés sont égales. Dans d'autres cas, la figure est un rectangle.

Problème 2. Les diagonales d'un rectangle forment un angle de 60 degrés. La largeur du rectangle est de 8. Calculez quelle est la diagonale.

Solution: Rappelons que les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection. Nous avons donc affaire à triangle isocèle avec un angle au sommet de 60°. Puisque le triangle est isocèle, les angles à la base seront également les mêmes. Par des calculs simples on constate que chacun d’eux est égal à 60°. Il s’ensuit que le triangle est équilatéral. La largeur que nous connaissons est la base du triangle, donc la moitié de la diagonale est également égale à 8, et la longueur de toute la diagonale est deux fois plus grande et égale à 16.

Question 2. Un rectangle a-t-il tous les côtés égaux ou non ?

Solution : Il suffit de rappeler que tous les côtés doivent être égaux dans un carré, qui est un cas particulier d’un rectangle. Dans tous les autres cas condition suffisante- c'est la présence d'au moins 3 angles droits. L'égalité des parties n'est pas une condition obligatoire.

Problème 3. L'aire du carré est connue et égale à 289. Trouvez les rayons du cercle inscrit et circonscrit.

Solution : A l'aide des formules d'un carré, nous effectuerons les calculs suivants :

• Déterminons à quoi sont égaux les éléments de base du carré : a = √ S = √289 = 17 ; d = une √2 =1 7√2.
• Calculons le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère : R = 0,5 d = 8,5√2.
• Trouvons le rayon du cercle inscrit : r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Un quadrilatère convexe est une figure composée de quatre côtés reliés les uns aux autres au niveau des sommets, formant avec les côtés quatre angles, tandis que le quadrilatère lui-même est toujours dans le même plan par rapport à la ligne droite sur laquelle se trouve l'un de ses côtés. En d’autres termes, la figure entière se trouve du même côté de n’importe lequel de ses côtés.

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Comme vous pouvez le constater, la définition est assez facile à retenir.

Propriétés et types de base

Presque toutes les figures connues constituées de quatre coins et côtés peuvent être classées comme quadrilatères convexes. On peut distinguer :

1. parallélogramme;
2. carré;
3. rectangle;
4. trapèze;
5. rhombe.

Toutes ces figures sont unies non seulement par le fait qu'elles sont quadrangulaires, mais aussi par le fait qu'elles sont également convexes. Il suffit de regarder le schéma :

La figure montre un trapèze convexe. Ici vous pouvez voir que le trapèze est sur le même plan ou sur un côté du segment. Si vous effectuez des actions similaires, vous constaterez que dans le cas de tous les autres côtés, le trapèze est convexe.

Un parallélogramme est-il un quadrilatère convexe ?

Ci-dessus, une image d'un parallélogramme. Comme le montre la figure, le parallélogramme est également convexe. Si vous regardez la figure par rapport aux lignes sur lesquelles se trouvent les segments AB, BC, CD et AD, il devient clair qu'elle est toujours sur le même plan à partir de ces lignes. Les principales caractéristiques d’un parallélogramme sont que ses côtés sont deux à deux parallèles et égaux, tout comme les angles opposés sont égaux entre eux.

Imaginez maintenant un carré ou un rectangle. Selon leurs propriétés fondamentales, ce sont également des parallélogrammes, c'est-à-dire que tous leurs côtés sont situés par paires parallèles. Seulement dans le cas d'un rectangle, les longueurs des côtés peuvent être différentes et les angles sont droits (égaux à 90 degrés), un carré est un rectangle dans lequel tous les côtés sont égaux et les angles sont également droits, et dans un parallélogramme, les longueurs des côtés et les angles peuvent être différents.

En conséquence, la somme des quatre angles d’un quadrilatère devrait être égal à 360 degrés. Le moyen le plus simple de le déterminer est de regarder un rectangle : les quatre coins du rectangle sont droits, c'est-à-dire égaux à 90 degrés. La somme de ces angles de 90 degrés donne 360 ​​degrés, autrement dit, si vous ajoutez 4 fois 90 degrés, vous obtenez le résultat souhaité.

Propriété des diagonales d'un quadrilatère convexe

Les diagonales d'un quadrilatère convexe se coupent. En effet, ce phénomène peut être observé visuellement, il suffit de regarder la figure :

La figure de gauche montre un quadrilatère ou quadrilatère non convexe. Comme vous le souhaitez. Comme vous pouvez le constater, les diagonales ne se coupent pas, du moins pas toutes. À droite se trouve un quadrilatère convexe. Ici, la propriété des diagonales de se croiser est déjà observée. La même propriété peut être considérée comme un signe de convexité d'un quadrilatère.

Autres propriétés et signes de convexité d'un quadrilatère

Il est très difficile de nommer des propriétés et caractéristiques spécifiques en utilisant ce terme. Il est plus facile de distinguer les différents types de quadrilatères de ce type. Vous pouvez commencer avec un parallélogramme. On sait déjà qu'il s'agit d'une figure quadrangulaire dont les côtés sont parallèles et égaux deux à deux. En même temps, cela inclut également la propriété des diagonales d'un parallélogramme de se croiser, ainsi que le signe même de convexité de la figure : le parallélogramme est toujours dans le même plan et du même côté par rapport à l'un des ses côtés.

Donc, les principales caractéristiques et propriétés sont connues :

1. la somme des angles d'un quadrilatère est de 360 ​​​​degrés ;
2. Les diagonales des figures se croisent en un point.

Rectangle. Cette figure a toutes les mêmes propriétés et caractéristiques qu'un parallélogramme, mais en même temps tous ses angles sont égaux à 90 degrés. D'où le nom - rectangle.

Carré, le même parallélogramme, mais ses angles sont droits comme un rectangle. Pour cette raison, un carré est rarement appelé rectangle. Mais la principale caractéristique distinctive d'un carré, en plus de celles déjà énumérées ci-dessus, est que ses quatre côtés sont égaux.

Le trapèze est une figure très intéressante. C'est aussi un quadrilatère et également convexe. Dans cet article, le trapèze a déjà été examiné à l'aide de l'exemple d'un dessin. Il est clair qu’il est également convexe. La principale différence, et donc signe d'un trapèze, est que ses côtés peuvent être absolument inégaux les uns par rapport aux autres en longueur, ainsi que ses angles en valeur. Dans ce cas, la figure reste toujours sur le même plan par rapport à l'une des lignes qui relient deux de ses sommets le long des segments formant la figure.

Un losange est une figure tout aussi intéressante. En partie, un losange peut être considéré comme un carré. Un signe d'un losange est le fait que ses diagonales non seulement se coupent, mais divisent également les coins du losange en deux, et que les diagonales elles-mêmes se coupent à angle droit, c'est-à-dire qu'elles sont perpendiculaires. Si les longueurs des côtés d’un losange sont égales, alors les diagonales sont également divisées en deux lorsqu’elles se croisent.

Deltoïdes ou losanges convexes (losanges) peut avoir des longueurs de côté différentes. Mais en même temps, les propriétés et caractéristiques fondamentales du losange lui-même, ainsi que les caractéristiques et propriétés de convexité, sont toujours préservées. Autrement dit, nous pouvons observer que les diagonales coupent les angles en deux et se coupent à angle droit.

La tâche d’aujourd’hui était d’examiner et de comprendre ce que sont les quadrilatères convexes, à quoi ils ressemblent ainsi que leurs principales caractéristiques et propriétés. Attention! Il convient de rappeler encore une fois que la somme des angles d'un quadrilatère convexe est de 360 ​​​​degrés. Le périmètre des figures, par exemple, égal à la somme les longueurs de tous les segments formant la figure. Les formules de calcul du périmètre et de l'aire des quadrilatères seront abordées dans les articles suivants.

Types de quadrilatères convexes

Sujet de la leçon

• Définition d'un quadrilatère.

Objectifs de la leçon

• Pédagogique – répétition, généralisation et test des connaissances sur le thème : « Quadrangle » ; développement des compétences de base.
• Développemental – pour développer l’attention, la persévérance, la persévérance, la pensée logique et le discours mathématique des élèves.
• Éducatif - à travers la leçon, cultiver une attitude attentive les uns envers les autres, inculquer la capacité d'écoute des camarades, d'entraide et d'indépendance.

Objectifs de la leçon

• Développer des compétences dans la construction d'un quadrilatère à l'aide d'une règle à échelle et d'un triangle à dessiner.
• Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.

Plan de cours

1. Référence historique. Géométrie non euclidienne.
2. Quadrilatère.
3. Types de quadrilatères.

Géométrie non euclidienne

Géométrie non euclidienne, géométrie similaire à la géométrie Euclide en ce qu'elle définit le mouvement des figures, mais diffère de la géométrie euclidienne en ce que l'un de ses cinq postulats (le deuxième ou le cinquième) est remplacé par sa négation. La négation de l'un des postulats euclidiens (1825) fut un événement important dans l'histoire de la pensée, car elle constitua le premier pas vers théorie de la relativité.

Le deuxième postulat d'Euclide stipule que tout segment de ligne droite peut être prolongé indéfiniment. Euclide croyait apparemment que ce postulat contenait également l'affirmation selon laquelle une ligne droite a une longueur infinie. Cependant en géométrie « elliptique », toute ligne droite est finie et, comme un cercle, fermée.

Le cinquième postulat stipule que si une ligne coupe deux lignes données de telle manière que les deux angles intérieurs d'un côté de celle-ci totalisent moins de deux angles droits, alors ces deux lignes, si elles sont prolongées indéfiniment, se couperont du côté où la somme de ces angles est inférieure à la somme de deux droites. Mais en géométrie « hyperbolique » il peut y avoir une droite CB (voir figure), perpendiculaire au point C à une droite donnée r et coupant une autre droite s sous angle aigu au point B, mais néanmoins les lignes infinies r et s ne se couperont jamais.

De ces postulats révisés, il résulte que la somme des angles d'un triangle, égale à 180° en géométrie euclidienne, est supérieure à 180° en géométrie elliptique et inférieure à 180° en géométrie hyperbolique.

Quadrilatère

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